Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
|
|
- Adrian Zakrzewski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje elementarne nad uk ladem wektorów (α 1,..., α n ): O1. Zamiana miejscami wektorów α i z α j (dla i j) oznaczana przez w i w j. Oczywiście operacja ta jest do siebie odwrotna. O2. Pomnożenie i-tego wektora przez niezerowy skalar a K, oznaczenie: a w i. Ponieważ dla a 0 jest a 1 (a α i ) = (a 1 a) α i = 1 α i = α i, wiec operacj odwrotn do a w i jest operacja a 1 w i. O3. Dodanie do wektora α i wektora α j (dla i j) pomnożonego przez dowolny skalar a K, oznaczenie: w i + a w j. Ponieważ (α i + a α j ) + ( a) α j = α i + a α j + ( (a α j )) = α i, wiec operacj odwrotn do operacji w i + a w j jest operacja w i + ( a) w j. Twierdzenie 9.1. Jeżeli uk lad wektorów (β 1,..., β n ) przestrzeni liniowej V nad cia lem K powstaje z uk ladu wektorów (α 1,..., α n ) przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to L(β 1,..., β n ) = L(α 1,..., α n ). Dowód. Indukcja pozwala nam ograniczyć sie do jednej operacji. Ponadto operacje elementarne s odwracalne, wiec wystarczy wykazać, że L(β 1,..., β n ) L(α 1,..., α n ), czyli, że {β 1,..., β n } L(α 1,..., α n ). Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy, że β j = α j dla j i oraz β i = a α i L(α 1,..., α n ). Dla operacji O3 β k = α k dla k i oraz β i = α i + a α j L(α 1,..., α n ). Twierdzenie 9.2. Jeżeli uk lad wektorów (β 1,..., β n ) przestrzeni liniowej V nad cia lem K powstaje z uk ladu (α 1,..., α n ) przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to uk lad (β 1,..., β n ) jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy uk lad (α 1,..., α n ) jest liniowo niezależny. Dowód. Indukcja pozwala nam ograniczyć sie do jednej operacji elementarnej. Ponadto operacje elementarne s odwracalne, wiec wystarczy wykazać, że jeżeli uk lad (α 1,..., α n ) jest lnz, to uk lad (β 1,..., β n ) jest lnz. Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy, że β j = α j dla j i oraz β i = a α i dla pewnego a 0. Weźmy dowolne a 1,..., a n K takie, że a 1 β a n β n = Θ. Wtedy a 1 α (a i a) α i a n α n = Θ. Stad z liniowej niezależności uk ladu (α 1,..., α n ) mamy, że a 1 = a 2 =... = a i a =... = a n = 0. Ale a 0, wiec stad a 1 =... = a i =... = a n = 0, czyli uk lad (β 1,..., β n ) jest lnz. 1
2 Dla operacji O3 bez zmniejszania ogólności możemy zak ladać, że β 1 = α 1 +a α 2 oraz β j = α j dla j = 2,..., n. Weźmy dowolne a 1,..., a n K takie, że a 1 β a n β n = Θ. Wtedy a 1 (α 1 + a α 2 ) + a 2 α a n α n = Θ, czyli a 1 α 1 +(a 1 a+a 2 ) α a n α n = Θ, skad z lnz uk ladu (α 1,..., α n ) mamy, że a 1 = a 1 a + a 2 = a 3 =... = a n = 0, czyli a 1 = a 2 =... = a n = 0, a wiec uk lad (β 1,..., β n ) jest lnz. Nietrudno jest wykazać, że dla każdego podzbioru X przestrzeni liniowej V nad cia lem K istnieje najmniejsza w sensie inkluzji podprzestrzeń L(X) zawierajac zbiór X. Np. L( ) = {Θ} oraz dla niepustego X, L(X) sk lada sie ze wszystkich kombinacji liniowych dowolnego skończonego podzbioru wektorów zawartego w X. Jeżeli V = L(X), to mówimy, że X generuje V. Twierdzenie 9.3. Niech X b edzie zbiorem liniowo niezależnym wektorów przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wówczas dla każdego wektora α V : α L(X) [α X lub zbiór X {α} jest liniowo zależny]. Dowód.. Za lóżmy, że α L(X). Wtedy α X, gdyż X L(X). Zatem zbiór X {α} jest liniowo zależny. Ale zbiór X jest liniowo niezależny, wiec istniej parami różne wektory α 1,..., α n X takie, że zbiór {α, α 1,..., α n } jest liniowo zależny. Zatem istniej skalary a, a 1,..., a n K nie wszystkie równe 0 i takie, że a α+a 1 α a n α n = Θ. Stad z liniowej niezależności wektorów α 1,..., α n wynika, że a 0. Zatem α = ( a 1 a ) α ( an a ) α n L(X), czyli α L(X) i mamy sprzeczność.. Istniej α 1,..., α n X oraz a 1,..., a n K takie, że α = a 1 α a n α n. Zatem 1 α+( a 1 ) α ( a n ) α n = Θ, skad wynika, że α X albo α X i zbiór X {α} jest liniowo zależny. 2 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzeni liniow nad cia lem K. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem liniowo niezależnym oraz dla każdego zbioru liniowo niezależnego Y V takiego, że X Y jest X = Y. Definicja 9.4. Każdy maksymalny liniowo niezależny podzbiór X wektorów przestrzeni liniowej V nad cia lem K nazywamy baz tej przestrzeni. Przyk lad 9.5. W przestrzeni zerowej V = {Θ} mamy tylko dwa podzbiory: i V, przy czym V jest lz, a jest lnz. Zatem jest baz przestrzeni zerowej V. Jeśli przestrzeń liniowa W nie jest zerowa, to istnieje w niej wektor niezerowy α i wówczas zbiór {α} jest lnz, wiec {α} i wobec tego nie jest baz W. Twierdzenie 9.6. Każdy liniowo niezależny zbiór wektorów X 0 przestrzeni liniowej V nad cia lem K można rozszerzyć do bazy X X 0 tej przestrzeni. W szczególności, każda przestrzeń liniowa posiada baz e. 2
3 Twierdzenie 9.7. Niech V bedzie przestrzeni liniow nad cia lem K. Zbiór X V jest baz przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór X jest liniowo niezależny i generuje V. Dowód. Za lóżmy, że X jest baz przestrzeni V. Wówczas X jest zbiorem liniowo niezależnym. Weźmy dowolne α V i za lóżmy, że α L(X). Wtedy z twierdzenia 9.3 wynika, że α X oraz zbiór X {α} jest liniowo niezależny. Zatem X nie jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym i mamy sprzeczność. Na odwrót, za lóżmy, że zbiór X jest liniowo niezależny oraz V = L(X). Weźmy dowolny liniowo niezależny zbiór Y V taki, że X Y. Gdyby X Y, to dla pewnego α Y by loby, że α X i zbiór X {α} Y jest liniowo niezależny. Zatem z twierdzenia 9.3 mielibyśmy, że α L(X) = V, co prowadzi do sprzeczności. Zatem X = Y i zbiór X jest baz przestrzeni V. Przyk lad 9.8. Dla dowolnego cia la K zbiór {1, x, x 2,...} generuje przestrzeń K[x] i jest liniowo niezależny, wiec na mocy twierdzenia 9.7 jest on baz tej przestrzeni. Przyk lad 9.9. Niech K bedzie dowolnym cia lem i niech n N. Wówczas z twierdzenia 9.7 oraz z przyk ladów 8.12 i 8.14 wynika od razu, że zbiór {ε 1,..., ε n } jest baz przestrzeni K n. Nazywamy j baz kanoniczna. Z twierdzeń 9.1, 9.2 i 9.7 wynika od razu nastepuj ace Twierdzenie Niech α 1,..., α n bed parami różnymi wektorami i niech β 1,..., β n bed parami różnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Za lóżmy, że uk lad wektorów (β 1,..., β n ) powstaje z uk ladu (α 1,..., α n ) przez kolejne zastosowanie skończonej liczby operacji elementarnych. Wówczas zbiór {β 1,..., β n } jest baz przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {α 1,..., α n } jest baz tej przestrzeni. Twierdzenie Niech α 1,..., α n bed wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wówczas każdy maksymalny (wzgledem liczby elementów) podzbiór liniowo niezależny A {α 1,..., α n } jest baz podprzestrzeni L(α 1,..., α n ). Dowód. Niech A {α 1,..., α n } bedzie maksymalnym (wzgledem liczby elementów) podzbiorem liniowo niezależnym. Wówczas oczywiście L(A) L(α 1,..., α n ) = W. Niech i = 1,..., n. Jeśli α i A, to α i L(A); jeśli zaś α i A, to z maksymalności A wynika, że zbiór A {α i } jest liniowo zależny. Zatem z twierdzenia 9.3 α i L(A). Stad {α 1,..., α n } L(A), czyli W L(A) i ostatecznie L(A) = W. Zatem z twierdzenia 9.7 zbiór A jest baza podprzestrzeni W. Przyk lad Niech a 11, a 22,..., a nn bed niezerowymi elementami cia la K, niech α 1 = [a 11, a 12,..., a 1n ], α 2 = [0, a 22, a 23,..., a 2n ], α 3 = [0, 0, a 33,..., a 3n ],..., α n = [0, 0, 0,..., a nn ] i niech a 11 a 12 a a 1n 0 a 22 a a 2n A = 0 0 a a 3n, (1) a nn 3
4 tzn. wektory α 1,..., α n można uważać za kolejne wiersze macierzy A. Latwo zauważyć, że stosujac operacje elementarne na wierszach macierzy A można j przekszta lcić do macierzy jednostkowej I n. Zatem uk lad wektorów (α 1, α 2,..., α n ) można przy pomocy operacji elementarnych przekszta lcić do uk ladu (ε 1, ε 2,..., ε n ). Zatem na mocy twierdzenia 9.11 i przyk ladu 9.9, zbiór {α 1, α 2,..., α n } jest baz przestrzeni K n i w szczególności ten zbiór jest lnz, a wiec każdy jego podzbiór jest też lnz. Przyk lad Rozważmy ogólniejszy przypadek niż omawiany w przyk ladzie Niech α i = [a i1, a i2,..., a in ] K n dla i = 1, 2,..., n i niech a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n A = a 31 a 32 a a 3n, (2) a n1 a n2 a n3... a nn tzn. wektory α 1,..., α n można uważać za kolejne wiersze macierzy A. Za lóżmy, że det(a) 0. Wtedy istnieje A 1 i z analizy algorytmu odwracania macierzy przy pomocy operacji elementarnych wynika, że macierz A można przekszta lcić do macierzy I n przy pomocy operacji elementarnych na wierszach macierzy A. Zatem uk lad wektorów (α 1, α 2,..., α n ) można przy pomocy operacji elementarnych przekszta lcić do uk ladu (ε 1, ε 2,..., ε n ). Zatem na mocy twierdzenia 9.11 i przyk ladu 9.9, zbiór {α 1, α 2,..., α n } jest baz przestrzeni K n i w szczególności ten zbiór jest lnz. Na odwrót, za lóżmy, że {α 1, α 2,..., α n } jest baz przestrzeni K n. Wtedy dla i = 1, 2,..., n: ε i = b 1i α 1 + b 2i α b ni α n dla pewnych skalarów b 1i, b 2i,..., b ni K. Stad A B = I n dla B = [b ij ] i,j=1,2,...,n i z twierdzenia Cauchy ego det(a) 0. Twierdzenie Niech α 1,..., α n bed parami różnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wówczas zbiór {α 1,..., α n } jest baz przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor α V można jednoznacznie zapisać w postaci α = a 1 α a n α n dla pewnych a 1,..., a n K. Dowód. Za lóżmy, że zbiór {α 1,..., α n } jest baz przestrzeni V. Wówczas z twierdzenia 9.7 mamy, że V = L(α 1,..., α n ) oraz zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny. Zatem dla dowolnego α V istniej a 1,..., a n K takie, że α = a 1 α a n α n. Jeśli b 1,..., b n K s takie, że α = b 1 α b n α n, to a 1 α a n α n = b 1 α b n α n, czyli (a 1 b 1 ) α (a n b n ) α n = Θ, wiec z liniowej niezależności zbioru {α 1,..., α n } mamy, że a i b i = 0, czyli a i = b i dla i = 1,..., n. Na odwrót, jeżeli a 1,..., a n K s takie, że a 1 α a n α n = Θ, to a 1 α a n α n = 0 α α n, skad z jednoznaczności zapisu wektora a i = 0 dla i = 1,..., n, czyli zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny. Ponadto z za lożenia V = L(α 1,..., α n ), wiec z twierdzenia 9.7 zbiór {α 1,..., α n } jest baz przestrzeni V. Definicja Niech {α 1,..., α n } bedzie baz przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wówczas ciag (α 1,..., α n ) nazywamy baz uporzadkowan przestrzeni V. Niech α V. 4
5 Wtedy na mocy twierdzenia 9.14 istnieje dok ladnie jeden wektor [a 1,..., a n ] K n taki, że α = a 1 α a n α n. Wektor [a 1,..., a n ] nazywamy ciagiem wspó lrzednych wektora α w bazie (α 1,..., α n ), a element a i, dla każdego i = 1,..., n, nazywa sie i-t wspó lrzedn wektora α w tej bazie. Wniosek Niech V bedzie przestrzeni liniow nad cia lem K i niech, dla pewnej liczby naturalnej n, (α 1,..., α n ) bedzie baz uporzadkowan tej przestrzeni. Przyporzadkujmy każdemu wektorowi α V, ciag jego wspó lrzednych w bazie (α 1,..., α n ). Otrzymane w ten sposób odwzorowanie φ jest bijekcj zbioru V na zbiór K n. Przy tym φ(α i ) = ε i dla i = 1,..., n. 3 Wymiar przestrzeni liniowej Lemat Niech wektory α 1,..., α n tworz baze przestrzeni V i niech α = a 1 α a n α n, przy czym a j 0. Wówczas wektory α 1,..., α j 1, α, α j+1,..., α n (3) też tworz baze przestrzeni V. Dowód. Zauważmy, że wektory (3) powstaj z wektorów α 1,..., α n przez kolejne wykonanie nastepuj acych operacji elementarnych: a j w j, w j + a 1 w 1,..., w j + a j 1 w j 1, w j + a j+1 w j+1,..., w j + a n w n. Zatem na mocy twierdzenia 9.10, wektory (3) tworz baze przestrzeni V. Twierdzenie 9.18 (Steinitza o wymianie). Jeśli wektory α 1,..., α n tworz baze przestrzeni liniowej V nad cia lem K, a wektory β 1,..., β s s liniowo niezależne, to (i) s n oraz (ii) spośród wektorów α 1,..., α n można wybrać n s wektorów, które l acznie z wektorami β 1,..., β s tworz baze przestrzeni V. Dowód. Zastosujemy indukcje wzgledem s. Dla s = 0 teza jest oczywista. Za lóżmy, że teza zachodzi dla liczb mniejszych od pewnej liczby naturalnej s i rozpatrzmy s wektorów liniowo niezależnych β 1,..., β s. Wektory β 1,..., β s 1 s liniowo niezależne, a wiec z za lożenia indukcyjnego s 1 n i istnieje n s + 1 = n (s 1) wektorów spośród wektorów α 1,..., α n, które l acznie z β 1,..., β s 1 tworz baze przestrzeni V. Dla uproszczenia znakowania przyjmiemy, że tymi wektorami s α 1,..., α n s+1. Wykażemy najpierw, że s 1 < n. W przeciwnym razie by loby n = s 1 (bo s 1 n), a zatem już wektory β 1,..., β s 1 tworzy lyby baze przestrzeni V, a stad wynika loby, że β s L(β 1,..., β s 1 ), co na mocy twierdzenia 9.3 prowadzi do sprzeczności (gdyż wektory β 1,..., β s s liniowo niezależne). Wobec tego s 1 < n, a stad s n. To dowodzi (i). Ponieważ wektory β 1,..., β s 1, α 1,..., α n s+1 tworz baze przestrzeni V, wiec β s jest ich kombinacj liniowa. Wobec liniowej niezależności wektorów β 1,..., β s i twierdzenia 9.3, w kombinacji liniowej przedstawiajacej β s, co najmniej jeden z wektorów α 1,..., α n s+1 wystepuje ze wspó lczynnikiem różnym od zera. Bez zmniejszania ogólności rozważań możemy przyjać, że 5
6 a n s+1 0. Wtedy z lematu 9.17 wektory β 1,..., β s 1, α 1,..., α n s, β s tworz baze przestrzeni V, czyli wektory β 1,..., β s, α 1,..., α n s tworz baze przestrzeni V, co kończy dowód twierdzenia. Wniosek Jeśli n-elementowy zbiór jest baz przestrzeni liniowej V nad cia lem K, to każda baza tej przestrzeni sk lada sie z dok ladnie n wektorów. Dowód. Niech wektory α 1,..., α n tworz baze przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Niech X bedzie inn baz tej przestrzeni. Gdyby zbiór X mia l wiecej niż n elementów, to by lyby one liniowo niezależne i otrzymalibyśmy sprzeczność z twierdzeniem Steinitza o wymianie. Zatem X n. Ale wektory α 1,..., α n s liniowo niezależne i zbiór skończony X jest baz przestrzeni V, wiec znowu z twierdzenia Steinitza o wymianie n X, czyli ostatecznie X = n. Definicja Liczbe elementów dowolnej skończonej bazy przestrzeni liniowej V nad cia lem K nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy przez dim K V lub dim V, jeśli wiadomo nad jakim cia lem rozpatrujemy przestrzeń V. W ten sposób wymiar jest określony dla wszystkich takich przestrzeni, które maj skończona baze. Jeśli dana przestrzeń liniowa V nie ma skończonej bazy, to mówimy, że jej wymiar jest nieskończony i piszemy dim V =. Można udowodnić, że wszystkie bazy dowolnej przestrzeni liniowej V maj te sam moc. Wobec tego można określić wymiar dowolnej przestrzeni liniowej V jako moc dowolnej bazy przestrzeni V. Przyk lad Ponieważ dla dowolnego cia la K przestrzeń K n posiada baze n-elementowa (np. baze kanoniczna), wiec dim K K n = n. Przyk lad Ponieważ dla dowolnego cia la K zbiór {1} jest baz przestrzeni liniowej K K, wiec dim K K = 1. W szczególności dim C C = 1 oraz dim R C = 2, gdyż zbiór {1, i} jest baz przestrzeni C R. Przyk lad Ponieważ zbiór pusty jest baz przestrzeni zerowej {Θ}, wiec dim{θ} = 0. Przyk lad Ponieważ dla dowolnego cia la K zbiór {1, x, x 2,...} jest baz przestrzeni K[x], wiec dim K K[x] =. Przyk lad Dla dowolnego cia la K w przestrzeni liniowej K wektory ε 1 = [1, 0, 0,...], ε 2 = [0, 1, 0,...],... s liniowo niezależne. Zatem z twierdzenia Steinitza o wymianie dim K =. Twierdzenie Jeśli przestrzeń liniowa V ma wymiar n, to każda jej podprzestrzeń W ma wymiar nie wiekszy niż n. Dowód. Niech X bedzie baz podprzestrzeni W. Wtedy zbiór X jest liniowo niezależny, wiec na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie X n. Twierdzenie Dla dowolnej podprzestrzeni W przestrzeni liniowej V wymiaru skończonego równoważne s warunki: (i) dim W = dim V, (ii) W = V. 6
7 Dowód. (ii) (i). Oczywiste. (i) (ii). Oznaczmy n = dim V. Wtedy istnieje baza {α 1,..., α n } przestrzeni V. Ale dim W = n, wiec istnieje baza {β 1,..., β n } podprzestrzeni W. Zatem wektory β 1,..., β n s liniowo niezależne i na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie można je uzupe lnić do bazy przestrzeni V, n n = 0 wektorami wybranymi spośród wektorów α 1,..., α n. Zatem wektory β 1,..., β n tworz baze przestrzeni V, skad V = L(β 1,..., β n ) = W. Z twierdzenia 9.11 wynika od razu nastepuj ace Twierdzenie Niech α 1,..., α n bed wektorami przestrzeni liniowej V. Wówczas dim L(α 1,..., α n ) n. Ponadto dim L(α 1,..., α n ) = n wtedy i tylko wtedy, gdy wektory α 1,..., α n s liniowo niezależne. Twierdzenie Niech α 1,..., α n bed wektorami przestrzeni liniowej V wymiaru n. Wówczas równoważne s warunki: (i) zbiór {α 1,..., α n } jest baz przestrzeni V, (ii) zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny, (iii) zbiór {α 1,..., α n } generuje przestrzeń V. Dowód. (i) (ii). Oczywiste. (ii) (iii). Wynika od razu z twierdzenia Steinitza o wymianie. (iii) (i). Z za lożenia wynika, że V = L(α 1,..., α n ). Zatem dim L(α 1,..., α n ) = n i na mocy twierdzenia 9.25 zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny. Zatem ostatecznie ten zbiór jest baz przestrzeni V. Twierdzenie Niech V 1 i V 2 bed skończenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wówczas podprzestrzenie V 1 V 2 i V 1 +V 2 s również skończenie wymiarowe i zachodzi wzór: dim(v 1 + V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 dim(v 1 V 2 ). (4) Dowód. Ponieważ V 1 V 2 jest podprzestrzeni przestrzeni skończenie wymiarowej V 1, wiec z twierdzenia 9.26 przestrzeń V 1 V 2 jest skończenie wymiarowa. Niech {α 1,..., α k } bedzie baza przestrzeni V 1 V 2. Wtedy z twierdzenia Steinitza o wymianie ten zbiór można uzupe lnić do bazy {α 1,..., α k, β 1,..., β s } przestrzeni V 1 i można go też uzupe lnić do bazy {α 1,..., α k, γ 1,..., γ r } przestrzeni V 2. Wtedy dim(v 1 V 2 ) = k, dim V 1 = k + s i dim V 2 = k + r, wiec pozostaje wykazać, że dim(v 1 + V 2 ) = k + s + r. Ale V 1 + V 2 = L(α 1,..., α k, β 1,..., β s ) + L(α 1,..., α k, γ 1,..., γ r ) = L(α 1,..., α k, β 1,..., β s, γ 1,..., γ r ), wiec wystarczy wykazać, że wektory α 1,..., α k, β 1,..., β s, γ 1,..., γ r s liniowo niezależne. W tym celu weźmy dowolne skalary a 1,..., a k, b 1,..., b s, c 1,..., c r K takie, że a 1 α a k α k +b 1 β b s β s +c 1 γ c r γ r = Θ. Oznaczmy: α = a 1 α a k α k, β = b 1 β b s β s, γ = c 1 γ c r γ r. Wtedy γ = (α+β) V 1 V 2. Zatem istniej d 1,..., d k K takie, że γ = d 1 α d k α k, skad c 1 γ c r γ r + ( d 1 ) α ( d k ) α k = Θ. Zatem z liniowej niezależności wektorów α 1,..., α k, γ 1,..., γ r mamy, że c 1 =... = c r = d 1 =... = d k = 0, czyli γ = Θ oraz Θ = α + β. Zatem z liniowej niezależności wektorów α 1,..., α k, β 1,..., β s otrzymamy, że a 1 =... = a k = b 1 =... = b s = 0 i ostatecznie wektory α 1,..., α k, β 1,..., β s, γ 1,..., γ r sa liniowo niezależne. 7
8 Wniosek Niech V 1, V 2 bed podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V wymiaru n. Wtedy dim(v 1 V 2 ) dim V 1 + dim V 2 n. Dowód. Ponieważ dim(v 1 + V 2 ) n, wiec z twierdzenia 9.30 uzyskujemy, że dim V 1 + dim V 2 dim(v 1 V 2 ) n, skad mamy teze. Przyk lad Znajdziemy baze podprzestrzeni W przestrzeni R 4 generowanej przez wektory: [ 1, 4, 3, 2], [3, 7, 5, 3], [3, 2, 1, 0], [ 4, 1, 0, 1]. W tym celu stosujemy twierdzenie 9.1. Wygodnie jest wykonywać operacje elementarne na wierszach macierzy A - tego uk ladu wektorów. Wszystkierównoważności dotycz podprzestrzeni generowanej: w 2 w 3 w 3 +3 w w 3 +2 w 2 [ ] w 4 4 w 1 w 3 3 w 2 Zatem z twierdzenia 9.1 W = L([ 1, 4, 3, 2], [0, 5, 4, 3]}. Ponadto na mocy przyk ladu 9.12 zbiór {[ 1, 4, 3, 2], [0, 5, 4, 3], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]} jest baz przestrzeni R 4 i wektory [ 1, 4, 3, 2], [0, 5, 4, 3] s lnz. Stad zbiór {[ 1, 4, 3, 2], [0, 5, 4, 3]} jest baz W oraz dim(w ) = 2. Zauważmy, że wiersze macierzy A M m n (K) możemy traktować jako wektory przestrzeni K n, zaś jej kolumny-jako wektory przestrzeni K m. Twierdzenie Niech A = [a ij ] M m n (K). Wówczas r(a) = m wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze macierzy A s liniowo niezależne. Dowód. Za lóżmy, że r(a) = m. Wtedy pewien minor stopnia m macierzy A jest niezerowy. Z przyk ladu 9.13 wynika, że wiersze tego minora s lnz. A stad już wynika, że wiersze macierzy A s lnz. Na odwrót. Za lóżmy nie wprost, że wszystkie minory stopni m macierzy A s równe 0. Oznaczmy α i = [a i1,..., a in ] dla i = 1, 2,..., m. Z liniowej niezależności wierszy macierzy A wynika, że α 1 Θ, a wiec a 1j 0 dla pewnego j = 1, 2,..., n. Istnieje zatem r N, które jest najwiekszym stopniem niezerowego minora macierzy A, przy czym r < m. Dla przejrzystości zapisu niech a a 1r a r1... a rr 8
9 Zauważmy, że dla każdego j = 1, 2,..., n prawdziwa jest równość: a a 1r a 1j = 0. a r1... a rr a rj a r+1,1... a r+1,r a r+1,j Istotnie, dla j = 1, 2,..., r w tym wyznaczniku s dwie identyczne kolumny, zaś dla j > r jest to minor stopnia r + 1 macierzy A równy 0 na podstawie określenia liczby r. Po rozwinieciu ostatniego wyznacznika wzgledem ostatniej kolumny i oznaczeniu przez D j = ( 1) j+r+1 det(b j,r+1 ) dla j = 1, 2,..., r + 1 oraz a a 1r a 1r+1. B =..... a r1... a rr a r,r+1, a r+1,1... a r+1,r a r+1,r+1 uzyskamy, że a 1j D 1 + a 2j D a r+1,j D r+1 = 0 dla j = 1, 2,..., r + 1. A to oznacza, że a a 1r Ale D r+1 =..... a r1... a rr sprzeczność. D 1 α D r α r + D r+1 α r+1 = Θ. 0, wiec wektory α 1,..., α r, α r+1 s liniowo zależne i mamy Twierdzenie Niech A = [a ij ] M m n (K). Wówczas wymiar podprzestrzeni generowanej przez wiersze macierzy A jest równy r(a). Ponadto wymiar podprzestrzeni generowanej przez kolumny macierzy A też jest równy r(a). Dowód. Dla macierzy zerowej teza jest oczywista. Niech dalej A bedzie niezerowa. Oznaczmy przez k wymiar podprzestrzeni W generowanej przez wiersze macierzy A i przez r jej rzad. Wtedy k, r N. Ponadto z twierdzenia 9.11 pewne k wierszy macierzy A tworzy baze podprzestrzeni W. Dla uproszczenia notacji niech to bed pierwsze k wiersze tej macierzy. Wówczas z twierdzenia 9.33 w macierzy B powstajacej z A przez wykreślenie wierszy o numerach wiekszych niż k istnieje minor niezerowy stopnia k, który jednocześnie jest minorem macierzy A. Wobec tego r k. Dalej, w macierzy A istnieje niezerowy minor stopnia r. Dla uproszczenia znakowania za lóżmy, że tym minorem jest wyznacznik macierzy C powstajacej z A przez wykreślenie wszystkich wierszy i wszystkich kolumn o numerach wiekszych od r. Wówczas z twierdzenia 9.33 wszystkie wiersze macierzy D powstajacej z A przez wykreślenie wierszy o numerach wiekszych od r s lnz. Zatem k r i ostatecznie k = r. 9
10 Ponieważ wierszami macierzy A T s kolumny macierzy A i r(a T ) = r(a), wiec stad i z pierwszej cześci dowodu uzyskujemy, że wymiar podprzestrzeni generowanej przez kolumny macierzy A też jest równy r(a). Uwaga Z twierdzeń 9.11 i 9.34 mamy, że rzad macierzy A jest równy maksymalnej liczbie jej liniowo niezależnych wierszy i jest też równy maksymalnej liczbie jej liniowo niezależnych kolumn. Możemy zatem stosować rzad macierzy przy obliczaniu wymiaru podprzestrzeni przestrzeni K n generowanej przez skończony zbiór wektorów oraz do badania liniowej niezależności skończonego uk ladu wektorów przestrzeni K n. Przyk lad Znajdziemy wymiar podprzestrzeni W przestrzeni R 4 generowanej przez wektory [1, 2, 3, 1], [2, 1, 2, 3], [3, 3, 5, 4], [3, 0, 1, 5]. Macierz tego uk ladu wektorów jest A = Obliczamy rz ad macierzy A wykonujac operacje w 1 2 w 2 i w 3 3 w 2 : r(a) = r = 1 + r Po wykonaniu operacji w 1 + w 3 oraz w 2 + w 3 uzyskamy ostatecznie, że r(a) = = 2. Zatem z twierdzenia 9.34 dim(w ) = 2. Przyk lad Zbadamy dla jakich wartości parametru a wektory [a, 1, 0], [1, a, 3], [a, 1, 1] a 1 0 R 3 s liniowo niezależne. Macierz tego uk ladu wektorów ma postać A = 1 a 3. Z a 1 1 twierdzenia 9.29 i z przyk ladu 9.13 wynika, że nasze wektory s liniowo niezależne wtedy i tylko a 1 0 wtedy, gdy det(a) 0. Ale det(a) w 3 w = 1 1 a 3 = ( 1) 3+3 a a = a2 1, wiec det(a) = 0 wtedy, i tylko wtedy, gdy a = 1 lub a = 1. Zatem nasze wektory s liniowo niezależne jedynie dla wszystkich liczb rzeczywistych a 1, 1. Z twierdzenia 9.29 wynika, że dla takich a nasze wektory tworz baze przestrzeni R 3. 4 Zadania do samodzielnego rozwiazania Zadanie W przestrzeni R 4 zbadać liniow niezależność wektorów: [1, 4, 7, 10], [2, 5, 8, 11], [2, 6, 9, 12]. Odp. Wektory te s liniowo zależne. Zadanie Dla jakich a R wektory [1, 1, 1], [1, a, 2], [2, 3, 4] tworz baze przestrzeni R 3? Odp. a
11 Zadanie Pokazać, że V = {[x, y, z] R 3 : x + y + z = 0} jest podprzestrzenia przestrzeni R 3. Wyznaczyć baze i wymiar V. Odp. Baz V jest {[1, 0, 1], [0, 1, 1]} i dim V = 2. Zadanie Znaleźć baze i wymiar podprzestrzeni V przestrzeni R 4 generowanej przez wektory: [ 1, 3, 4, 2], [3, 5, 7, 3], [3, 1, 2, 0], [ 4, 0, 1, 1]. Odp. Baz V jest {[ 1, 3, 4, 2], [0, 4, 5, 3]} oraz dim(v ) = 2. Zadanie Znajdź baze i wymiar podprzestrzeni V przestrzeni R 5 generowanej przez wektory: [ 3, 1, 5, 3, 2], [2, 3, 0, 1, 0], [1, 2, 3, 2, 1], [3, 5, 1, 3, 1], [3, 0, 1, 0, 0]. Uzupe lnij znalezion baze podprzestrzeni V do bazy ca lej przestrzeni R 5. Odp. Baz V jest {[ 1, 3, 1, 1, 0], [0, 1, 6, 3, 2], [0, 0, 28, 12, 9]}, dim(v ) = 3. Szukan baz przestrzeni R 5 jest {[ 1, 3, 1, 1, 0], [0, 1, 6, 3, 2], [0, 0, 28, 12, 9], [0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1]}. Zadanie W przestrzeni liniowej R 4 dane s podprzestrzenie: V = L([1, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1]), W = L([1, 0, 1, 0], [0, 2, 1, 1], [1, 2, 1, 2]). Wyznacz baze i wymiar podprzestrzeni: a) V, b) W, c) V + W, d) V W. Odp. a) Baz V jest {[1, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1]} oraz dim V = 3. b) Baz W jest {[1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [0, 0, 1, 1]} oraz dim W = 3. c) Baz V + W jest {[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]}, dim(v +W ) = 4 i V +W = R 4. d) Baz V W jest {[1, 0, 0, 1], [0, 1, 1, 0]} oraz dim(v W ) = 2. 11
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe w zadaniach
Przestrzenie linioe zadaniach Zadanie 1. Cz ektor [3, 4, 4 jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5 przestrzeni R 3? Roziazanie. Szukam x,, z R takich, że [3, 4, 4 x [1, 1, 1 + [1, 0,
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowo1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowo5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoR k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoEgzamin z algebry liniowej 2003 r.
Egzamin z algebry linioej 003 r. Cześć I na ocene dostateczna Zadanie. Wyznacz szystkie liczby zespolone z takie, że a) z = 8 + 6i, b) ( + 3i) z = i. Zadanie. Wykonaj podane dzia lania macierzoe: [ 3 0
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowo1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej
1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowo6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych
konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem
Bardziej szczegółowoKOLOKWIUM Z ALGEBRY I R
Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowo4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Bardziej szczegółowo