Teoria miary i całki
|
|
- Ryszard Piątkowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów Definicja pierścienia ciała i σ ciała Pierścień, ciało i σ ciało generowane przez rodzinę zbiorów Rodziny monotoniczne zbiorów Półpierścienie Definicja półpierścienia Pierścień generowany przez półpierścień Iloczyn kartezjański półpierścieni Funkcje addytywne i miary Pojęcie funkcji addytywnej Miary na σ ciele Zupełność miary Funkcje addytywne i miary na półpierścieniach Funkcje addytywne i miary na dowolnej rodzinie zbiorów Przedłużanie funkcji addytywnych i miar z półpierścienia na pierścień Funkcja addytywna na iloczynie kartezjańskim półpierścieni Miara Jordana generowana przez funkcję addytywną Miara zewnętrzna Definicja i własności miary zewnętrznej Twierdzenie Caratheodyr ego Ogólna metoda konstrukcji miary zewnętrznej Miara zewnętrzna generowana przez funkcję addytywną na półpierścieniu
2 9 Miara Lebesque a w R k Przedziały k wymiarowe, figury elementarne Objętość figur elementarnych Miara zewnętrzna Lebesque a w R k Zbiory mierzalne w sensie Lebesque a Zbiory borelowskie Miara wewnętrzna Lebesque a Miara Jordana Jedyność miary Lebsque a Funkcje mierzalne Definicja funkcji mierzalnych, podstawowe własności Ciągi funkcji mierzalnych Funkcje proste Funkcje mierzalne względem σ ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesque a Zbieżność prawie wszędzie i zbieżność według miary Całka Lebesque a Całka funkcji nieujemnych Funkcje całkowalne Całka Lebesque a a całka Riemanna Iloczyn kartezjański miar Iloczyn kartezjański półpierścieni Miara na iloczynie kartezjańskim półpierścieni Iloczyn kartezjański przestrzeni z miarą Miary zespolone 76 2
3 1 Wstęp Problem. Czy istnieje funkcja µ : 2 Rk [0, ] taka, że (i) µ( ) = 0, (ii) µ( n ) = µ( n ), (iii) µ(p ) = P dla dowolnego przedziału k wymiarowego P, (iv) µ( + x) = µ() dla dowolnego zbioru R k i dowolnego x R k. Twierdzenie 1.1 Nie istnieje funkcja µ : 2 R [0, ] spełniająca warunki (i), (ii), (iii), (iv). Dowód. Załóżmy, że funkcja µ : 2 Rk [0, ] spełnia warunki (i), (ii), (iii). Zauważmy, że z warunku (ii) wynika, że dla dowolnych zbiorów, B R, jeżeli B, to µ() µ(b). Zdefiniujmy zbiór V [0, 1] w następujący sposób. Zdefiniujmy relację w zbiorze [0, 1] w sposób następujący: x y x y Q. Łatwo sprawdzić, że relacja jest relacją równoważności w [0, 1]. Jak wiadomo dowolna relacja w zbiorze rozbija ten zbiór na sumę rodziny podzbiorów niepustych i parami rozłącznych mianowicie na sumę klas abstrakcji tej relacji. Niech V będzie zbiorem zawierającym po dokładnie jednym elemencie każdej klasy abstrakcji relacji. Ustawmy dalej wszystkie liczby wymierne odcinka [ 1, 1] w ciąg q 1, q 2,... i niech V n = q n + V. Wówczas z warunku (iv) mamy µ(v n ) = µ(v ). Zauważmy, że V n V m = gdy n m. Mogą zajść dwa przypadki. lbo µ(v ) = 0 albo µ(v ) > 0. Rozpatrzmy najpierw pierwszy przypadek. Jeżeli x [0, 1], to zbiór V zawiera dokładnie jeden element v klasy abstrakcji [x]. Z definicji relacji mamy x v Q. le x v [ 1, 1] więc istnieje takie n, ze x v = q n, zatem x = v + q n, stąd zaś wynika, że x V n. Pokazaliśmy więc, że [0, 1] V n, więc 1 = µ([0, 1]) µ( V n ) = µ(v n ) = 0. Zatem przypadek µ(v ) = 0 jest niemożliwy. Stąd wynika, że musi być µ(v ) > 0. Zauważmy, że dla dowolnego n N mamy V n [ 1, 2] więc V n [ 1, 2]. Stąd wynika, że µ( V n ) 3 ale to prowadzi do sprzeczności, bo µ( V n ) = µ(v n ) = µ(v ) =. 3
4 Tak więc nie możliwe jest zdefiniowanie miary zdefiniowanej na wszystkich podzbiorach R tak aby spełniała ona naturalne warunki (i) - (iv). Zbiór V zdefiniowany w dowodzie powyższego twierdzenia nazywa się zbiorem Vitaliego. 4
5 2 lgebra zbiorów Definicja 2.1 Niech będzie podzbiorem ustalonego zbioru X. Wówczas dla ε { 1, 1} przez ε oznaczamy zbiór zdefiniowany następująco: { ε jeżeli ε = 1 = jeżeli ε = 1 Lemat 2.1 Niech 1,..., n będą podzbiorami zbioru X. Wówczas dla dowolnego i = 1,..., n mamy: i = ε ε n n ε i =1 Dowód. Inkluzja jest oczywista. by uzasadnić inkluzję wystarczy zauważyć, że jeżeli x i, to x ε ε n n, gdzie { 1 jeżeli i = j; ε j = 0 jeżeli i j. Definicja 2.2 Mówimy, że rodzina zbiorów parami rozłącznych S jest rozbiciem rodziny R jeżeli: (a) dowolny zbiór rodziny S jest zawarty w pewnym zbiorze rodziny R; (b) dla dowolnego zbioru R istnieje skończona podrodzina S 0 S taka, że S 0 =. Z lematu 2.1 wynika: Twierdzenie 2.1 Niech R = { 1,..., x n } będzie dowolną skończoną rodzinę podzbiorów zbioru X. Niech S będzie rodziną składająca się z wszystkich zbiorów postaci ε ε n n gdzie ε 1,..., ε n { 1, 1} są takie, że co najmniej jeden z wskaźników ε i nie jest równy 1. Wówczas rodzina S jest rozbiciem rodziny R. oraz Z definicji granicy górnej i dolnej wynika, że Zatem mamy zawsze x lim sup n x n dla nieskończenie wielu n, n x lim inf n n x n dla prawie wszystkich n. lim inf n lim sup n. n n 5
6 Definicja 2.3 Mówimy, że ciąg zbiorów ( n ) jest zbieżny do zbioru (albo, że jest granicą ciągu ( n ), jeżeli lim inf n = lim sup n =. n n Zauważmy, że jeżeli ( n ) jest ciągiem zstępującym zbiorów (to znaczy gdy n+1 n dla dowolnego n N, to dla dowolnego m N mamy zatem m=n m = n, m = n, m=n lim inf n = lim sup n = n n n. nalogicznie, jeżeli ( n ) jest ciągiem wstępującym zbiorów to lim inf n = lim sup n = n n n. Definicja 2.4 Mówimy, że ciąg zbiorów ( n ) jest ciągiem monotonicznym, jeżeli jest wstępującym, albo zstępującym. Tak więc dowolny ciąg monotoniczny zbiorów ma granicę. 6
7 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała Niech X będzie niepustym zbiorem a M rodziną podzbiorów zbioru X. Definicja 3.1 Mówimy, że niepusta rodzina zbiorów M jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące warunki: (a) M; (b), B M B M; (c), B M \ B M. Zauważmy, że jeśli założyć warunek (b) powyższej definicji to warunek (a) jest równoważny temu, że M jest rodziną niepustą. Uwaga 3.1 Z warunku (b) powyższej definicji poprzez indukcję matematyczną dowodzimy, że 1... n M dla dowolnych 1,..., n M. Przykład 3.1 (a) Rodzina wszystkich podzbiorów skończonych zbioru X jest pierścieniem. (b) Jeżeli jest dowolnym podzbiorem X, to rodzina dwuelementowa {, } jest pierścieniem. (c) Niech P będzie rodziną wszystkich przedziałów ograniczonych (bierzemy przedziały wszystkich możliwych typów, to znaczy przedziały otwarte, domknięte, i oba typy przedziałów domknięto otwartych, przyjmujemy, że zbiór pusty jest przedziałem (x, x).) Łatwo udowodnić, że rodzina M = {P 1... P n : P 1,..., P n inp} jest pierścieniem. (d) Wszystkie podzbiory R k mierzalne w sensie Jordana tworzą pierścień. Uwaga 3.2 Jeżeli M jest pierścieniem zbiorów, to B M dla dowolnych zbiorów, B M. Dowód Mamy B = \ ( \ B) M. Poprzez indukcję matematyczną podobnie jak w przypadku sumy dowodzimy, że 1... n M dla dowolnych 1,..., n M. Definicja 3.2 Mówimy, że rodzina M jest ciałem podzbiorów zbioru X jeżeli spełnione są następujące warunki: (a) M, (b), B M B M, (c) M M. 7
8 Ponieważ = ( ) więc przy założeniach (a) i (b) warunek (a) jest równoważny niepustości rodziny M. Z warunków (a) i (c) definicji ciała zbiorów wynika, że X M dla dowolnego ciała podzbiorów zbioru X. Przykład 3.2 (a) Rodzina 2 X wszystkich podzbiorów zbioru X jest ciałem zbiorów. (b) Rodzina {, X} jest ciałem podzbiorów X. (c) Niech M będzie rodziną tych podzbiorów zbioru X które są skończone, lub których dopełnienia są skończone. Łatwo sprawdzić, że M jest ciałem podzbiorów X. Twierdzenie 3.1 Dowolne ciało zbiorów jest pierścieniem. Dowód. Jeżeli M jest ciałem podzbiorów X, to dla dowolnych, B M mamy B = ( B) więc z warunków (b) i (c) definicji 3.2 mamy \ B M. Jak łatwo zauważyć, pierścień podzbiorów zbioru X jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy zawiera X. Definicja 3.3 Mówimy, że M jest σ ciałem podzbiorów zbioru X, jeżeli spełnione są następujące warunki: (a) M, (b) jeżeli n M dla dowolnego n N, to n M, (c) M M. Przykład 3.3 (a) Dowolne skończone ciało zbiorów jest σ ciałem. (b) Rodzina 2 X wszystkich podzbiorów zbioru X jest σ ciałem. (c) Niech M = { X : przeliczalny lub przeliczalny}. Sprawdza się łatwo, że M jest σ ciałem podzbiorów zbioru X. Ciało zbiorów zdefiniowane w punkcie (c) przykładu 3.2 w przypadku gdy zbiór X jest nieskończony jest ciałem ale nie jest σ ciałem podzbiorów zbioru X. Twierdzenie 3.2 Dowolne σ ciało jest ciałem. Dowód Niech M będze σ ciałem podzbiorów zbioru X i weźmy dwa dowolne dwa zbiory, B M. Zdefiniujmy ciąg zbiorów ( n ) w sposób następujący: 1 =, 2 = B, n = gdyn 3. Wówczas n M dla dowolnego n zatem B = n M. 8
9 Ponieważ dla dowolnego ciągu zbiorów ( n ) zachodzą wzory de Morgana: n = ( n), n = ( n) więc mamy następujące twierdzenie Twierdzenie 3.3 M jest σ ciałem wtedy i tylko wtedy gdy spełnia warunki (a) i (c) definicji 3.3 oraz n M dla dowolnego n N n M. Następujące dwa twierdzenia pokazują, że w przypadku gdy rodzina M jest ciałem warunek (b) w definicji σ ciała można osłabić. Pierwsze z tych twierdzeń mówi, że wystarczy zakładać aby suma ciągu zbiorów parami rozłącznych należała do M, a drugie że suma ciągu wstępującego należy do M. Twierdzenie 3.4 Ciało M podzbiorów zbioru X jest σ ciałem jeżeli spełnia następujący warunek: n M, n m = (n, m N, n m) n M. Dowód. Niech B n będzie ciągiem dowolnych zbiorów należących do ciała M i niech zbiory n będą zdefiniowane w następujący sposób 1 = B 1, n = B n \ (B 1... B n 1 ) gdy n > 1. Wówczas ( n ) jest takim ciągiem zbiorów rozłącznych, że n = B n. Ponieważ M jest ciałem podzbiorów X więc n M dla dowolnego n. Stąd na podstawie założenia mamy B n M. Twierdzenie 3.5 Na to aby ciało zbiorów było σ ciałem wystarcza aby spełniony był następujący warunek: n M, n n+1 (n N) n M. Twierdzenie to dowodzimy podobnie jak poprzednie przyjmując B n = 1... n. Twierdzenie 3.6 Na to aby ciało zbiorów było σ ciałem wystarcza aby spełniony był następujący warunek: n M, n+1 n (n N) n M. Twierdzenie 3.7 Przekrój dowolnej ilości pierścieni, podzbiorów zbioru X jest pierścieniem podzbiorów X. nalogicznie przekrój dowolnej ilości ciał (σ ciał) podzbiorów zbioru X jest ciałem (σ-ciałem). 9
10 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane przez rodzinę zbiorów. Twierdzenie 3.8 Jeżeli R jest dowolną rodziną podzbiorów X, to istnieje najmniejszy pierścień, najmniejsze ciało i najmniejsze σ ciało podzbiorów zbioru X zawierające R. Dowód. Jak łatwo zauważyć iloczyn {M ; M pierścień podzbiorów X, R M} jest najmniejszym pierścieniem zawierającym R. Definicja 3.4 Najmniejszy pierścień zawierający rodzinę R nazywamy pierścieniem generowanym przez rodzinę R i oznaczamy przez P (R). nalogicznie najmniejsze ciało (σ ciało) podzbiorów zbioru X zawierające rodzinę R nazywamy ciałem (σ ciałem) generowanym przez R. Ciało generowane przez rodzinę R oznaczamy F (R), natomiast przez Σ(R) oznaczamy σ ciało generowane przez R. Bezpośrednio z powyższej definicji i z tego, że pierścień jest ciałem a σ ciało ciałem dostajemy inkluzję: P (R) F (R) Σ(R). 3.3 Rodziny monotoniczne zbiorów Twierdzenie 3.9 Załóżmy, że N jest ciałem podzbiorów zbioru X i niech M będzie najmniejszą rodziną podzbiorów zbioru X taką, że (a) N M, (b) M M, (c) n M, n n+1, dla n N n M. Wówczas M = Σ(R). Dowód. Na podstawie twierdzenia 3.5 wystarczy pokazać, że M jest ciałem zbiorów. Dla dowolnego M niech: M() := {B M : B, \ B, B \, B M}. Z definicji M() wynika, że M(B) B M(). (1) Udowodnimy, że dla dowolnego M rodzina M() spełnia warunki (b) i (c) dowodzonego twierdzenia. Niech B M() wówczas B = (B \ ) M, 10
11 \ B = B M, B \ = (B ) M, B = \ B M. Załóżmy dalej, że (B n ) jest ciągiem wstępującym zbiorów należących do M(). Wówczas B n = ( B n ) M, B n = ( B n ) M, \ B n = ( B n ) = ( B n) = ( B n) = (B n ) = ( B n ) M, B n \ = (B n \ ) M. Zauważmy, że jeżeli N, to N M() zatem z (1) mamy N M() dla dowolnego M. Zatem M() spełnia warunki (i), (ii), (iii). Stąd wynika, że M = M(), dla dowolnego M zatem M jest ciałem zbiorów. Definicja 3.5 Mówimy, że rodzina N podzbiorów zbioru X jest rodziną monotoniczną, jeżeli granica dowolnego ciągu monotonicznego zbiorów należących do N należy do N. Oczywiście dowolne σ ciało zbiorów jest rodziną monotoniczną. Z praw de Morgana wynika, że ciało M jest rodziną monotoniczną wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu ( n ) zbiorów należących do M mamy n M. Z twierdzenia 3.5, wynika, że ciało jest σ ciałem wtedy i tylko wtedy gdy jest rodziną monotoniczną. Podobnie jak w twierdzeniu 3.8 dowodzimy, że dla dowolnej rodziny R podzbiorów zbioru X istnieje najmniejsza rodzina monotoniczna zawierająca R. Najmniejszą rodzinę monotoniczną zawierającą rodzinę R będziemy oznaczać przez M(R). Twierdzenie 3.10 Niech N będzie dowolnym ciałem podzbiorów zbioru X. Wówczas σ ciało generowane przez rodzinę N pokrywa się z najmniejszą rodziną monotoniczną zawierającą N, to znaczy mamy równość Σ(N) = M(N). 11
12 Dowód. Niech M = { M(N) : M(N)}. Wówczas M jest rodziną monotoniczną zawierającą N i zawartą w M(R). Stąd wynika, że M = M(M). le z definicji M wynika, że M wraz z każdym zbiorem zawiera dopełnienie tego zbioru. Inaczej mówiąc jeżeli M(N), to M(N). Na podstawie twierdzenia 3.9 mamy M(N) = Σ(N). 12
13 4 Półpierścienie 4.1 Definicja półpierścienia Definicja 4.1 Mówimy, że niepusta rodzina R jest półpierścieniem jeżeli (a) jeżeli, B R to B R, (b) dla dowolnych zbiorów, B R istnieją zbiory C 1,..., C n R parami rozłączne takie, że \ B = C 1... C n. Z niepustości półpierścienia warunku (b) wynika, że R. Przykład 4.1 Jeżeli P jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, zawierającą zbiór pusty, to P jest półpierścieniem. Podstawowy przykład półpierścienia stanowi rodzina wszystkich przedziałów w R. Definicja 4.2 Przedziałem w R nazywamy jeden ze zbiorów postaci (a, b), [a, b), [a, b], (a, b], gdzie a b. I. Rodzinę wszystkich przedziałów w R będziemy oznaczać przez Zauważmy, że w definicji przedziału zakładamy tylko, że zachodzi słaba nierówność a b, zatem zbiór pusty i zbiór jednopunktowy są również przedziałami. Twierdzenie 4.1 Rodzina I wszystkich przedziałów w R jest półpierścieniem. Dowód. Iloczyn dwóch przedziałów jest przedziałem. Natomiast różnica P 1 P 2 dwóch przedziałów jest sumą co najwyżej dwóch przedziałów. 4.2 Pierścień generowany przez półpierścień Twierdzenie 4.2 Niech R będzie taką niepustą rodziną podzbiorów zbioru X, że dla dowolnych zbiorów, B R istnieją zbiory C 1,..., C n R takie, że \ B = C 1... C n. (2) Wówczas P (R) = {C 1... C n : C 1, C 2,..., C n R}. (3) 13
14 Dowód. Oznaczmy przez M rodzinę zbiorów występującą po prawej stronie równości (3). Oczywiście R M oraz M P (R). by pokazać równość wystarczy pokazać, że M jest pierścieniem. Ponieważ z definicji rodziny M wynika, że jest to rodzina zamknięta na sumy skończone, więc wystarczy pokazać, że \ B M dla dowolnych, B M. Udowodnimy najpierw przez indukcję względem n, że jeżeli R, oraz B = B 1... B n, gdzie B 1,..., B n R, to \ B M. Inaczej mówiąc, że \ B M, gdy R, oraz B M. W przypadku n = 1 dostajemy \ B M na podstawie założenia. Przypuśćmy, że dowodzone wynikanie jest prawdziwe dla pewnego n N. Załóżmy, że, B 1,..., B n+1 R, B = B 1... B n+1. Wówczas: \ B = [ \ (B 1... B n )] \ B n+1. Z założenia indukcyjnego zbiór \ (B 1... B n ) daje się przedstawić w postaci sumy C 1... C m, zatem \ B = (C 1 \ B n+1 )... (C m \ B n+1 ). Ponieważ każdy ze zbiorów C i \ B n+1 M i rodzina M jest zamknięta na sumy skończone, więc \ B M. Rozpatrzmy teraz przypadek ogólny gdy oba zbiory, B należ do M. Załóżmy, że = 1... n, wówczas \ B = ( 1 \ B)... ( n \ B) a ponieważ i \ B M dla i = 1,..., n więc \ B M. Twierdzenie 4.3 Jeżeli rodzina R jest półpierścieniem, to P (R) = {C 1... C n : C i R, C i C j = (i j)} Dowód. Oznaczmy przez M rodzinę występującą po prawej stronie równości Jak łatwo zauważyć, rodzina ta jest zamknięta na iloczyny skończone. Na podstawie twierdzenia 4.2 wystarczy pokazać, ze C 1... C n M dla dowolnych zbiorów C 1,..., C n M. Dowód przeprowadzamy przez indukcję względem n. Dla n = 1 dowodzone wynikanie wynikanie jest oczywiste. Załóżmy, że jest prawdziwe dla pewnego n N, i weźmy dowolne zbiory C 1,..., C n+1 R. Z założenia indukcyjnego istnieją parami rozłączne zbiory D 1,..., D m R takie, że C 1... C n = D 1... D m. Wówczas sumę C 1... C n+1 można przedstawić w postaci sumy B gdzie: = C 1... C n, B = C n+1 \ (C 1... C n ) Ponieważ zbiory, B są rozłączne więc wystarczy pokazać, że B M. Mamy B = (C n+1 \ C 1 )... (C n+1 \ C n ). 14
15 Z założenia, ze R jest półpierścieniem wynika, że każdy ze zbiorów C n+1 \C i należy do M dla dowolnego i = 1,..., n. Ponieważ rodzina M jest zamknięta na iloczyny skończone więc B M. Twierdzenie 4.4 Niech P będzie półpierścieniem i załóżmy, że mamy skończoną rodzinę R = { 1,..., n } zbiorów należących do P. Wówczas istnieją zbiory B 1,..., B m P takie, że rodzina {B 1,..., B m } jest rozbiciem R. Dowód. Jeżeli P jest pierścieniem to rodziną tą jest rodzina zdefiniowana w twierdzeniu 2.1. W przypadku ogólnym oznaczmy przez M pierścień generowany przez P, i niech rodzina {B 1,..., B m } elementów pierścienia M będzie rozbiciem rodziny R. Z twierdzenia 4.3 wynika, że każdy ze zbiorów B i można zapisać w postaci sumy zbiorów rozłącznych: B i = C i1... C ini, gdzie C iji P dla i = 1,..., n oraz j = 1,..., n i. Jak łatwo zauważyć rodzina {C ij : i = 1,..., n, j = 1,..., n i } jest rozbiciem rodziny R. 4.3 Iloczyn kartezjański półpierścieni Twierdzenie 4.5 Załóżmy, że P 1, P 2 są półpierścieniami. Wówczas P jest również półpierścieniem. Dowód Mamy oraz P = { B : P 1, B P 2 }. (4) ( B) (C D) = ( C) (B D) ( B) \ (C D) = ( B) (C D) = [( \ C) B] [ (B \ D)] = = [( \ C) (B D)] [( \ C) (B \ D)] [( C) (B \ D)] Zauważmy, że wszystkie trzy zbiory występujące w ostatniej sumie są parami rozłączne. Wystarczy więc pokazać, że każdy z nich jest sumą rozłącznych zbiorów należących do rodziny P. Załóżmy, że \ C = m E i, B \ D = F j, i=1 j=1 15
16 gdzie zbiory E i, F j należą odpowiednio do P 1, P 2. Wówczas n ( \ C) (B D) = [E i (C D)], i=1 n m ( \ C) (B \ D) = (C i D j ), i=1 j=1 m ( C) (B \ D) = [( C) D j ]. j=1 Jak łatwo zauważyć wszystkie zbiory występujące po prawej stronie w trzech ostatnich równościach należą do P i są parami rozłączne.. Wykorzystując poprzednie twierdzenie poprzez indukcję matematyczną dowodzimy: Twierdzenie 4.6 Jeżeli P 1,..., P n są półpierścieniami to rodzina jest półpierścieniem. P = { 1... n : i P i dla i = 1,..., n} 16
17 5 Funkcje addytywne i miary. 5.1 Pojęcie funkcji addytywnej Definicja 5.1 Niech X będzie dowolnym zbiorem a M pierścieniem podzbiorów X. Mówimy, że funkcja µ : M [0, ] jest funkcją addytywną, jeżeli (i) µ( ) = 0; (ii) µ( B) = m() + m(b) dla dowolnych zbiorów, B M takich, że B =. Przykład 5.1 (a) Załóżmy, że M = 2 X i niech: µ() = ilość elementów gdy jest podzbiorem skończonym i µ() = dla nieskończonych podzbiorów X. Funkcja µ jest funkcją addytywną na M. (b) Niech Ω będzie zbiorem skończonym n elementowym i niech dla dowolnego zbioru Ω : µ() = Indukcyjnie dowodzimy ilość elementów zbioru. n Uwaga 5.1 Jeżeli µ jest funkcją addytywną na pierścieniu M, to µ( 1... n ) = µ( 1 ) µ( n ) dla dowolnych zbiorów 1, 2,..., n M parami rozłącznych. Twierdzenie 5.1 Jeżeli µ jest funkcją addytywną na na pierścieniu M, to (a) jeżeli, B M oraz B, to µ(b) µ(). (b) µ( \ B) = µ() \ µ(b) dla dowolnych, B M takich, że B, oraz µ(b) <. (c) µ( B) = µ()+µ(b)\µ( B) dla dowolnych, B M takich, że µ( B) <. (d) µ( B) µ() + µ(b) dla dowolnych, B M. Dowód. (a), (b) wynikają z równości = B ( \ B). (c) Mamy µ( B) = µ( (B \ )) = µ() + µ(b \ ) = µ() + µ(b \ ( B)) = µ() + µ(b) \ µ( B). (d) µ( B) = µ(( \ B) B) = µ( \ B) + µ(b) µ() + µ(b). Definicja 5.2 Funkcje określone na pewnym pierścieniu M i spełniającą warunek (a) twierdzenia 5.1 nazywamy funkcjami monotonicznymi. Natomiast funkcje spełniające warunek (d) tego twierdzenia nazywamy funkcjami podaddytywnymi (albo skończenie podaddytywnymi). 17
18 Przez indukcję matematyczną dowodzimy, że dowolna funkcja podaddytywna spełnia warunek dla dowolnych 1,..., n M. µ( 1... n ) µ( 1 ) µ( n ) Twierdzenie 5.2 Jeżeli µ jest funkcją addytywną na pierścieniu M, to µ( n ) µ( n ) dla dowolnego ciągu ( n ) parami rozłącznych zbiorów należących do σ ciała takiego, że n M. Dowód. Z punktu (a) twierdzenia 5.1 i uwagi 5.1 dla dowolnego m N mamy: m m µ( n ) µ( n ) = µ( n ). Przechodząc z m do dostajemy dowodzoną nierówność. 5.2 Miary na σ ciele Definicja 5.3 Niech X będzie zbiorem niepustym a M dowolnym σ ciałem podzbiorów X. Mówimy, że funkcja µ : M [0, ] jest miarą jeśli: (i) µ( ) = 0, (ii) Dla dowolnego ciągu ( n ) zbiorów parami rozłącznych należących do M zachodzi równość: µ( n ) = µ( n ). Jeżeli µ(x) < to mówimy, że miara µ jest miarą skończoną, a jeżeli µ(x) = 1 to miarę nazywamy miarą probabilistyczną. Jeżeli istnieją takie zbiory n M, że µ( n ) < oraz X = n, to mówimy, że miara µ jest miarą σ skończoną. Uwaga 5.2 Dowolna miara jest funkcją addytywną. Dowód. Załóżmy, że, B M są zbiorami rozłącznymi i niech 1 =, 2 = B, n = gdy n 3. Ponieważ zbiory n są parami rozłączne więc: m( B) = m( n ) = m( n ) = m() + m(b). 18
19 Przykład 5.2 (a) Niech (ε n ) będzie ciągiem liczb nieujemnych. Zdefiniujmy funkcję µ : 2 N [0, ] wzorem: µ() = n ε n Łatwo sprawdzić, że µ jest miarą na 2 N. (b) Niech X będzie zbiorem niepustym a x dowolnym punktem zbioru X. Funkcja δ x : 2 X {0, 1} określona wzorem { 0, gdy x ; δ x ()) = 1, gdy x. jest miarą. Miarę tą nazywamy miarą Diraca. Twierdzenie 5.3 Jeżeli µ jest miarą na σ ciele M, to µ( n ) dla dowolnych zbiorów n M. µ( n ) (5) Dowód. Niech B n będą zbiorami zdefiniowanymi w następujący sposób: B 1 = 1, B n = n \ ( 1... n 1 ). Zbiory B n są parami rozłączne, należą do M oraz n = B n. Ponieważ B n n, więc µ( n ) = µ( B n ) = µ(b n ) µ( n ). Definicja 5.4 Funkcję określoną na σ ciele M o wartościach w [0, ] i spełniającą dla dowolnych zbiorów n M warunek (5) nazywamy funkcją przeliczalnie podaddytywną. Twierdzenie 5.4 Funkcja µ określona na σ ciele M jest miarą wtedy i tylko wtedy gdy jest funkcją addytywną i przeliczalnie podaddytywną. Dowód. Konieczność wynika z twierdzenia 5.3, natomiast wystarczalność z twierdzenia 5.2. Twierdzenie 5.5 Jeżeli µ jest miarą na σ ciele M, to µ( n ) = lim n µ( n) (6) dla dowolnego ciągu wstępującego ciągu zbiorów ( n ). 19
20 Dowód. Zdefiniujmy ciąg zbiorów (B n ) w następujący sposób: B 1 = 1, B n = n \ n 1 gdy n > 1. Oczywiście B n M dla dowolnego n N, ponadto zbiory B n są parami rozłączne, oraz B n = n. Stąd m µ( n ) = µ( B n ) = µ(b n ) = lim µ(b n ) = m lim µ( m B n ) = lim µ(b m). m m Twierdzenie 5.6 Jeżeli µ jest funkcją addytywną na σ ciele M spełniającą warunek (6) z tezy poprzedniego twierdzenia, to µ jest miarą na M. Dowód. Jeżeli ( n ) jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych, to n = B n, gdzie B n = 1... n. Mamy więc ponieważ, ciąg zbiorów (B n ) jest ciągiem wstępującym więc: µ( n ) = µ( B n ) = lim m µ(b m) = lim Twierdzenie 5.7 Jeżeli µ jest miarą na σ ciele M, to µ( m µ( n ) = µ( n ). m n ) = lim n µ( n) (7) dla dowolnego ciągu ( n ) zbiorów należących do M, takiego, że µ( n0 ) < dla pewnego n 0 N. Dowód. Dla dowolnego n n 0 niech B n = n0 \ n. Tak zdefiniowane zbiory B n tworzą ciąg wstępujący więc z twierdzenia 5.5 mamy µ( B n ) = le lim µ(b n) = lim µ( n n n 0 \ n ) = lim [µ( n n 0 ) µ( n )] = µ( n0 ) lim n µ( n). µ( B n ) = µ( n0 \ n ) = µ( n0 ) µ( n ). Stąd dostajemy dowodzoną równość. Uwaga 5.3 Z dowodu twierdzenia 5.7 wynika, że jeżeli µ jest taką funkcją addytywną, że µ(x) < to spełnianie warunku 7 twierdzenia 5.7 jest równoważne spełnianiu warunku 6 twierdzenia
21 Twierdzenie 5.8 Jeżeli µ jest funkcją addytywną na σ ciele M taką, że µ(x) < i spełniającą dla dowlnego ciągu zstępującego ( n ) dowarunek (7), to µ jest miarą na M. Szczególną rolę w teorii miary odgrywają zbiory miary zero. Uwaga 5.4 Załóżmy, że µ jest miarą na σ ciele M. Wówczas (a) jeżeli, B M, B, µ() = 0, to µ(b) = 0, (b) jeżeli n M oraz µ( n ) = 0 to µ( n ) = 0. Punkt (a) wynika z monotoniczności miar, a punkt (b) z przeliczalnej podaddytywności. Definicja 5.5 Mówimy, że zbiór M jest atomem miary µ, jeżeli (a) µ() > 0, (b) jeżeli B M i B, to albo µ(b) = 0 albo µ(b) = µ(). Jeżeli żaden zbiór M nie jest atomem miary µ to mówimy, że miara µ jest miarą bezatomową. Przykład 5.3 Niech δ x będzie miarą Diraca zdefiniowaną w przykładzie 5.2 punkt (b). Jak łatwo zauważyć dowolny zbiór X jest atomem miary δ x. 5.3 Zupełność miary Definicja 5.6 Mówimy, że miara µ określona na σ ciele M jest miara zupełną, jeżeli z tego, że M oraz µ() = 0 wynika, że B M dla dowolnego zbioru B. Uwaga 5.5 Miara µ jest miarą zupełną wtedy i tylko wtedy gdy: [ M i B C, gdzie C M, oraz µ(c) = 0] B M. (8) Dowód. Załóżmy, że spełniony jest warunek (8). Jeżeli M, µ() = 0 oraz B, to B więc z (8) wynika, że B M. Zatem miara µ jest miarą zupełną. Załóżmy, że µ jest miarą zupełną i załóżmy, że zbiory, B spełniają warunki z (8). Wówczas B = [( B) \ ] ( B) = [( B) \ ] [ \ ( \ B)]. (9) Zgodnie założeniem zbiór B należy do M i miarę równą 0. Z zupełności miary również zbiory ( B)\ oraz \B należą do M. Zatem na podstawie równości (9) również B M. 21
22 Twierdzenie 5.9 Załóżmy, że µ jest miarą na σ ciele M podzbiorów zbioru X. Niech M = {B C : B M, D M µ(d) = 0, C D}. Jeżeli = B C gdzie B M, C D, D M, µ(d) = 0 to przyjmujemy µ() = µ(b). Wówczas (a) M jest σ ciałem podzbiorów zbioru X zawierającym M, (b) definicja µ() nie zależy od przedstawienia zbioru w postaci sumy B C, (c) µ jest miarą zupełną na M taką, że µ() = µ() dla dowolnego M. Dowód. Udowodnimy najpierw, że M jest σ ciałem zbiorów. Weźmy dowolny zbiór M i niech = B C gdzie M, C D, D M, µ(d) = 0. Wówczas = B C = B [D\(D\C)] = B [D (D\C)] = (B D ) B (D\C). Oczywiście B D M, oraz B (D \ C) D, zatem M. Załóżmy dalej, że mamy ciąg zbiorów ( n ) należących do M. Niech n = B n C n, gdzie B n M, C n D n D n M, µ(d n ) = 0. Wówczas oraz n = n C n, C n D n, D n M, µ( D n ) = 0. Zatem M jest σ ciałem zbiorów zawierającym M. by pokazać punkt (b) twierdzenia załóżmy, że B 1 C 1 = B 2 C 2, gdzie C 1 D 1, C 2 D 2, oraz µ(d 1 ) = µ(d 2 ) = 0. Wówczas B 1 B 2 C 2 B 2 D 2, więc µ(b 1 ) = µ(b 2 )+µ(d 2 ) = µ(b 2 ). nalogicznie µ(b 2 ) µ(b 1 ) zatem µ(b 1 ) = µ(b 2 ). Jeżeli M, to = więc (µ)() = µ(). Udowodnimy dalej, że µ( n ) = µ( n ) dla dowolnych zbiorów n M parami rozłącznych. Załóżmy, że n = B n C n, gdzie n M, C n D n, D n M, µ(d n ) = 0. Wówczas n = B n C n, 22
23 oraz B n M, C n D n, oraz D n M, i µ( D n ) = 0. Zatem µ( n ) = µ(b n ), a ponieważ zbiory B n są parami rozłączne więc µ( n ) = µ(b n ) = µ( n ). 6 Funkcje addytywne i miary na półpierścieniach 6.1 Funkcje addytywne i miary na dowolnej rodzinie zbiorów Dalej będzie wygodniej rozpatrywać pojęcie funkcji addytywnej nie tylko dla funkcji określonych na pierścieniu zbiorów, ale dla funkcji określonej na dowolnej rodzinie zbiorów zawierającej zbiór pusty. Definicja 6.1 Niech R będzie dowolną rodziną zbiorów zawierającą zbiór pusty. Wówczas mówimy, że funkcja µ : R [0, ] jest (a) µ jest funkcją addytywną jeżeli µ() = µ( 1 ) µ( n ) dla dowolnych, 1,..., n R takich, że = 1... n, oraz zbiory i (i = 1,..., n) są parami rozłączne, (b) µ jest miarą jeżeli µ() = µ( n ), dla dowolnego ciągu ( n ) zbiorów parami rozłącznych takiego, że n R, oraz = n R. (c) µ jest funkcją monotoniczną jeżeli µ(b) µ(), dla dowolnych, B R takich, że B. (d) µ jest funkcją podaddytywną jeżeli: µ() µ( 1 ) µ( n ) dla dowolnych dla dowolnych, 1,..., n R takich, że = 1... n. 23
24 (e) µ jest funkcją przeliczalnie podaddytywną jeżeli: µ() µ( n ) przy założeniu, że n R dla dowolnego n N, oraz = n R. Zauważmy, że jeżeli rodzina R jest pierścieniem, to definicje pojęć podanych w punktach (a), (c), (d) pokrywają się z wcześniejszymi definicjami tych pojęć. nalogiczna uwaga dotyczy punktów (b), (e) w przypadku gdy R jest σ ciałem. Zupełnie analogicznie jak twierdzenie 5.3 dowodzimy: Lemat 6.1 Dowolna miara określona na pierścieniu jest funkcją przeliczalnie podaddytywną. 6.2 Przedłużanie funkcji addytywnych i miar z półpierścienia na pierścień Twierdzenie 6.1 Załóżmy, że P jest półpierścieniem podzbiorów zbioru X. Niech µ 0 : P [0, ) będzie funkcją addytywną. Niech M będzie pierścieniem generowanym przez P (patrz twierdzenie??). Jeżeli M oraz = C 1... C n, gdzie zbiory C i są parami rozłączne, to przyjmijmy Wówczas: µ() = µ 0 (C 1 ) µ 0 (C n ). (a) funkcja µ jest poprawnie określona; to znaczy jej definicja nie zależy od przedstawienia zbioru z M w postaci sumy zbiorów parami rozłącznych należących do M, (b) µ jest funkcją addytywną na M. Dowód. (a) Załóżmy, że C 1... C n = D 1.. D m gdzie zbiory C i (i = 1,..., n) oraz D j (j = 1,..., m) są parami rozłączne. Wówczas dla dowolnego i = 1,..., n mamy m C i = C i D j j=1 zatem m µ 0 (C i ) = µ 0 (C i D j ). j=1 24
25 nalogicznie Zatem n µ 0 (B j ) = µ 0 (D i D j ). i=1 n n m m n m µ 0 (C i ) = µ 0 (C i D j ) = µ 0 (C i D j ) = µ 0 (D j ). i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 Punkt (b) twierdzenia jest oczywisty. Ponieważ funkcje addytywne na półpierścieniach są podaddytywne (twierdzenie 5.1) więc z twierdzenia 6.1 wynika: Twierdzenie 6.2 Dowolna funkcja addytywna na półpierścieniu jest funkcją monotoniczną i podaddytywną. Twierdzenie 6.3 Załóżmy, że µ 0 jest miarą określoną na półpierścieniu P. Niech M będzie pierścieniem generowanym przez P, a µ funkcją addytywną będącą przedłużeniem µ 0 na M (zdefiniowanym tak jak w twierdzeniu 6.1). Wówczas µ jest miarą na M. Dowód. Załóżmy, że M oraz = n gdzie n M są parami rozłączne. Załóżmy najpierw, że P. Jeżeli n = n1... nkn, gdzie ni, i = 1,..., k n są zbiorami parami rozłącznymi należącymi do P, to k n = nki, (10) i=1 i wszystkie zbiory występujące w sumie po prawej (10) stronie są parami rozłącznymi zbiorami z półpierścienia P. Ponieważ µ 0 jest miarą na P, więc k n µ() = µ 0 () = µ 0 ( nki ) = µ( n ). i=1 Weźmy teraz dowolny zbiór M i załóżmy, że = C 1... C k, gdzie zbiory C i P są parami rozłączne. Wówczas µ() = µ 0 (C 1 ) µ 0 (C k ), oraz C i = C i = (C i n ), zatem ponieważ C i P oraz C i n P dla dowolnego i = 1,..., k, oraz n N, więc µ(c i ) = µ(c i n ). 25
26 Stąd dostajemy równość: k k k µ() = µ(c i ) = µ(c i n ) = µ(c i n ) = i=1 i=1 i=1 k k µ( (C i n )) = µ(( C i ) n ) = µ( n ) = µ( n ). i=1 i=1 Twierdzenie 6.4 Niech P będzie półpierścieniem. Funkcja addytywna µ na P jest miarą jest miarą wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją przeliczalnie podaddytywną. Dowód. Niech M będzie pierścieniem generowanym przez P, a ν funkcją addytywną na M będącą przedłużeniem µ. by udowodnić wystarczalność podanego warunku załóżmy, że ( n ) jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych takim, że = n P. Z twierdzenia 5.2 wynika, że µ( n ) = ν( n ) ν() = µ(). Nierówność w przeciwną stronę wynika z przeliczalnej podaddytywności. Do dowodu konieczności zauważmy, że z twierdzenia 6.3 wynika, że ν jest miarą na M, więc z lematu 6.1 wnioskujemy, że ν jest funkcją przeliczalnie podaddytywną na M a więc również na R. 7 Funkcja addytywna na iloczynie kartezjańskim półpierścieni Definicja 7.1 Załóżmy, że P 1, P 2 są półpierścieniami a µ 1, µ 2 funkcjami addytywnymi odpowiednio na P 1, P 2. Niech P = { B : P 1, B P 2 } Zdefiniujmy funkcję µ na P przyjmując µ( B) = µ 1 ()µ 2 (B), przy czym przyjmujemy, że iloczyn po prawej stronie jest równy 0, gdy jeden z czynników jest równy 0, a drugi jest. 26
27 Dowód. Załóżmy, że P 1, B P 2 oraz, że B = i=1( i B i ) gdzie i P 1 oraz B i P 2 dla i = 1,..., n, oraz zbiory i B i są parami rozłączne. Na mocy twierdzenia 4.4 istnieje rodzina zbiorów {C 1,..., C k } P 1 będąca rozbiciem { 1,..., n } oraz rodzina {D 1,..., D m } P 2 będąca rozbiciem {B 1,..., B n }. Oczywiście możemy zakładać, że wszystkie zbiory C i i wszystkie zbiory D j są zbiorami niepustymi. Mamy ( n m ) k m µ( B) = µ 1 ()µ 2 (B) = µ 1 (C j ) µ 2 (D l ) = µ 1 (C j )µ 2 (D l ). j=1 l=1 i=1 j=1 Oznaczmy M i = {(j, l) : C j D l i B i }. dla i = 1,..., n. Wówczas M i są zbiorami parami rozłącznymi takimi, że (j, l) M i (C j D l ) = i B i. 7.1 Miara Jordana generowana przez funkcję addytywną Twierdzenie 7.1 Niech N będzie pierścieniem podzbiorów zbioru X, a µ skończoną funkcją addytywną na N. Dla dowolnego zbioru X zdefiniujmy dwie funkcje m w, m z : 2 X [0, ] w następujący sposób: m w () = sup{µ(b) : B N, B }, m z () = inf{µ(b) : C N, C}. Niech M = { X : m w () = m z () < }. Dla zbiorów M przez m() oznaczamy wspólną wartość funkcji m w, m z na zbiorze. Wówczas M jest pierścieniem zawierającym pierścień N. Funkcja m funkcją addytywną na X będącą przedłużeniem µ. Jeżeli µ jest miarą, to m jest miarą na pierścieniu M. Uwaga 7.1 Przy założeniach twierdzenia jeżeli jest dowolnym podzbiorem X, to M dla dowolnego ε > 0 istnieją zbiory B, C N takie, że B C, oraz µ(c \ B) < ε. Dowód twierdzenia Weźmy dowolne zbiory 1, 2 X takie, że, B M. 27
28 8 Miara zewnętrzna 8.1 Definicja i własności miary zewnętrznej Definicja 8.1 Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym. Mówimy, że funkcja µ : 2 X [0, ] jest miarą zewnętrzną, jeżeli spełnia następujące warunki: (a) µ ( ) = 0, (b) B X µ () µ (B), (c) µ ( n ) µ ( n ) dla dowolnego ciągu ( n ) podzbiorów zbioru X. Jak łatwo zauważyć jeśli założymy, że funkcja µ : 2 X [0, ] spełnia warunek (a) powyższej definicji, to warunki (b) i (c) można sformułować równoważnie w postaci jednego warunku: (c ) n µ() µ ( n ) dla dowolnego zbioru X i dowolnego ciągu ( n ) podzbiorów zbioru X. Inaczej mówiąc miara zewnętrzna na zbiorze X, jest to funkcja monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna określona na σ ciele wszystkich podzbiorów zbioru X. W szczególności dowolna miara zewnętrzna jest również funkcją skończenie podaddytywną, to znaczy dla dowolnej skończonej ilości zbiorów 1, 2,..., n X zachodzi nierówność: µ ( n ) µ ( 1 ) + µ ( 2 ) µ ( n ). Z twierdzenia 5.3 wynika, że dowolna miara określona na 2 X jest miarą zewnętrzną na X, ponadto z twierdzenia 5.4 wnioskujemy, że miara zewnętrzna jest miarą wtedy i tylko wtedy gdy jest funkcją addytywną. Co więcej możemy sformułować następujące twierdzenie. Twierdzenie 8.1 Jeżeli µ jest miarą zewnętrzną, M jest takim σ ciałem podzbiorów zbioru X, że µ jest funkcją addytywną na M, to µ jest miarą na M. 8.2 Twierdzenie Caratheodyr ego Definicja 8.2 Niech µ będzie miarą zewnętrzną na zbiorze X. Mówimy, że zbiór X spełnia warunek Caratheodory ego względem miary zewnętrznej µ jeśli dla dowolnego zbioru Z X zachodzi równość: µ (Z) = µ (Z ) + µ (Z ). (11) 28
29 Ponieważ miara zewnętrzna jest funkcją podaddytywną, więc na to aby zbiór X spełniał warunek Caratheodory ego, wystarcza aby dla dowolnego zbioru Z X zachodziła nierówność: µ (Z) µ (Z ) + µ (Z ). (12) Lemat 8.1 Niech µ będzie miarą zewnętrzną na zbiorze X. Jeśli X jest takim zbiorem, że µ () = 0 to spełnia warunek Caratheodory ego względem µ. Dowód. Weźmy dowolny zbiór Z X. Wówczas z warunku (b) w definicji 8.1 miary zewnętrznej, mamy µ ( Z) = 0, oraz µ (Z) µ (Z ). Stąd µ (Z) µ ( Z) + µ ( Z ). Nierówność przeciwna wynika z podaddytywności miary zewnętrznej. Twierdzenie 8.2 (Caratheodorye go) Niech µ będzie miarą zewnętrzną na zbiorze X. Oznaczmy przez M klasę wszystkich podzbiorów X spełniających warunek Caratheodory ego względem µ. Wówczas: (a) M jest σ ciałem podzbiorów zbioru X, (b) µ jest miarą na M. Dowód. Dowodzimy najpierw, że M jest ciałem zbiorów. Oczywiście M, oraz jeśli M to M bo prawa strona w równości (11) nie zmienia się gdy zbiór zastąpić zbiorem. Wystarczy więc udowodnić, że suma dwóch zbiorów spełniających warunek Caratheodory ego również spełnia ten warunek. by to pokazać weźmy dwa dowolne zbiory, B M i dowolny zbiór Z X. Ponieważ zbiór spełnia warunek Caratheodory ego to biorąc w równości (11) zamiast zbioru Z kolejno zbiory Z B i Z B otrzymujemy równości: µ (Z B) = µ (Z B ) + µ (Z B ) (13) µ (Z B ) = µ (Z B ) + µ (Z B ) (14) Ponieważ zbiór B spełnia warunek Caratheodory ego więc mamy równość: µ (Z) = µ (Z B) + µ (Z B ), zatem wykorzystując równości (13) i (14) dostajemy: µ (Z) = µ (Z B )+µ (Z B )+µ (Z B )+µ (Z B ) (15) 29
30 Oznaczmy przez I, II, III, IV kolejne składniki sumy po prawej stronie równości (15). Ponieważ miara zewnętrzna jest funkcją podaddytywną, więc zachodzi nierówność I +II +III µ ((Z B ) (Z B )+(Z B )) = µ (Z ( B)), (16) bo (Z B ) (Z B ) + (Z B ) = Z ( B). Ponadto mamy B = ( B) więc: Z (15), (16) i (17) otrzymujemy nierówność: IV = µ (Z ( B)) (17) µ (Z) µ (Z ( B)) + µ (Z ( B) ), dla dowolnego zbioru Z X. Z nierówności tej wynika, że zbiór B spełnia warunek Caratheodory ego. Udowodniliśmy więc, że rodzina M wszystkich zbiorów spełniających warunek Caratheodory ego jest ciałem podzbiorów X. W następnym kroku dowodu udowodnimy indukcyjnie że dla dowolnego m N, dowolnych zbiorów parami rozłącznych 1, 2,..., m M i dowolnego zbioru Z X, zachodzi równość: m m µ (Z n ) = µ (Z n ). (18) Dla m=1 równość (18) jest oczywista. Załóżmy że jest prawdziwa dla pewnego m N i weźmy m+1 zbiorów parami rozłącznych 1, 2,..., m+1 M i dowolny zbiór Z X. Ponieważ zbiór m+1 spełnia warunek Caratheodory ego więc biorąc w (11) zamiast Z zbiór Z m+1 n a zamiast zbiór m+1 otrzymujemy równość: m+1 µ (Z oraz m+1 n ) = µ ((Z m+1 n ) m+1 )+µ ((Z n ) m+1) (19) Ponieważ wszystkie zbiory n są parami rozłączne, więc mamy równości: m+1 (Z n ) m+1 = Z m+1 (20) m+1 (Z n ) m+1 = Z Zatem z założenia indukcyjnego i z (21) mamy m+1 µ ((Z n ) m+1) = 30 m n. (21) m µ (Z n ) (22)
31 Z (19), (20) i (22) otrzymujemy więc równość: m+1 µ (Z ( n )) = m+1 µ ( n ) kończącą dowód indukcyjny równości (18) Dalej pokażemy że w równości (18) zamiast skończonej sumy zbiorów parami rozłącznych, można wziąć sumę nieskończoną. Dokładniej mówiąc udowodnimy, że jeśli ( n ) jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych takim, że n M dla dowolnego n N to dla dowolnego zbioru Z X zachodzi równość: µ (Z n ) = µ (Z n ). (23) Zauważmy, że nierówność: µ (Z n ) µ (Z n ), (24) wynika bez żadnych założeń o zbiorach n z warunku (c) w definicji 8.1 miary zewnętrznej. Wystarczy więc pokazać nierówność przeciwną. Ponieważ miara zewnętrzna jest funkcją monotoniczną (warunek (b) w definicji miary zewnętrznej) więc dla dowolnego m N mamy nierówność: m µ (Z n ) µ (Z n ) (25) Wykorzystując powyższą nierówność i równość (18) widzimy, że dla dowolnego m N zachodzi nierówność: m µ (Z n ) µ (Z n ). Przechodząc z m do dostajemy nierówność µ (Z n ) µ (Z n ). (26) Nierówności (24), (26) dają nam równość (23). Udowodnimy dalej, że M jest σ ciałem podzbiorów zbioru X. Ponieważ udowodniliśmy wcześniej, że M jest ciałem zbiorów więc na podstawie twierdzenia 3.4 wystarczy pokazać, że jeśli ( n ) jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych takim że n M dla dowolnego n N to n M. Weźmy dowolny zbiór Z X. Ponieważ M jest ciałem zbiorów więc dla dowolnego m N mamy nierówność: m m µ (Z) = µ(z n ) + µ (Z ( n )) ) (27) 31
32 Ponieważ miara zewnętrzna jest funkcją monotoniczną więc: m µ (Z ( n ) ) µ (Z ( n ) ) (28) Z równości (18) oraz z (28) i (27) otrzymujemy dla dowolnego m N nierówność: m µ(z) µ (Z n ) + µ (Z ( n ) ) Przechodząc w ostatniej nierówności z m do dostajemy nierówność: µ(z) µ (Z n ) + µ (Z ( n ) ) Na koniec wykorzystując równość (23) otrzymujemy nierówność: µ (Z) µ (Z n ) + µ (Z ( n ) ) dla dowolnego zbioru Z X. To zaś oznacza, że zbiór n spełnia warunek Caratheodory ego, a więc należy do M. Udowodniliśmy więc, że M jest σ ciałem podzbiorów zbioru X. by pokazać że µ jest miarą na M weźmy dowolny ciąg zbiorów ( n ) parami rozłącznych takich, że n M dla dowolnego n N. Biorąc w równości (23) Z = X, dostajemy równość: µ ( n ) = µ ( n ) dowodzącą, że µ jest miarą na M i kończącą dowód twierdzenia. Definicja 8.3 Jeżeli µ jest miarą zewnętrzną na zbiorze X, to σ ciało złożone z wszystkich zbiorów spełniających warunek Caratheodory ego względem tej miary zewnętrznej będziemy nazywać σ ciałem generowanym przez miarę zewnętrzną µ, a miarę będącą obcięciem miary zewnętrznej do σ ciała generowanego przez µ, nazywamy miarą generowaną przez miarę zewnętrzną µ. Z lematu 8.1 otrzymujemy. Twierdzenie 8.3 Miara generowana przez miarę zewnętrzną jest miarą zupełną. 32
33 Twierdzenie 8.4 Załóżmy, że µ jest miarą zewnętrzną na zbiorze X. Niech M będzie σ ciałem generowanym przez miarę zewnętrzną µ. Jeśli jest takim podzbiorem X, że dla dowolnego ε > 0 istnieją zbiory B, C M takie, że B C, oraz µ(c \ B) ε, to M. Dowód.Z założenie dla dowolnego n N istnieją zbiory B n, C n M takie, że B n C n oraz µ (C n \ B n ) < 1/n. Niech B = B n, C = C n. Wówczas B C, B, C M, oraz dla dowolnego n N zachodzi nierówność µ (C \ B) 1/n, zatem µ (C \ B) = 0. Ponieważ \ B C \ B więc również µ ( \ B) = 0. Z lematu 8.1 wynika więc, że \ B M a ponieważ B M oraz = B ( \ B) więc M. 8.3 Ogólna metoda konstrukcji miary zewnętrznej Następujące twierdzenie podaje ogólną metodę konstrukcji miary zewnętrznej. Twierdzenie 8.5 Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym, a R rodziną podzbiorów X. Załóżmy, że ν : R [0, ] jest taką funkcją, że Dla dowolnego zbioru X niech µ () = inf{ ν( n ) : inf{ν() : R} = 0 (29) n, n R dla dowolnego n N} (30) (przyjmujemy, że inf zbioru pustego jest równe.) Wówczas µ jest miarą zewnętrzną na X. Dowód. Funkcja zdefiniowana wzorem 8.4 Miara zewnętrzna generowana przez funkcję addytywną na półpierścieniu Uwaga 8.1 Jeżeli P jest półpierścieniem σ skończonym a ν funkcją addytywną ma P. Wówczas funkcja µ : 2 X [0, ] określona wzorem (30) jest miarą zewnętrzną na X. Jeżeli M jest pierścieniem generowanym przez P a nu : M [0, ] funkcją addytywną będącą przedłużeniem funkcji ν, to µ () = inf{ ν( n ) : n, n M} 33
34 Twierdzenie 8.6 Niech P będzie półpierścieniem sigma skończonym podzbiorów zbioru X, a µ : 2 X [0, ] miarą zewnętrzną zdefiniowaną tak jak w twierdzeniu 8.5. Wówczas: (a) dowolny zbiór należący do P spełnia warunek Caratheodory ego; (b) µ () ν() dla dowolnego P; (c) jeżeli ν jest miarą na P, to µ () = ν() dla dowolnego P. Dowód. Na podstawie uwagi 8.1 możemy zakładać, że P jest pierścieniem. by udowodnić (a) weźmy dowolny zbiór P i Z X. by pokazać nierówność (12) można zakładać, że µ (Z) <. Weźmy dowolne ε > 0 i dobierzmy takie ciągi zbiorów (C n ), że C n P dla dowolnego n N, oraz: Z C n oraz ν(c n ) < µ () + ε. Zauważmy, że Z (C n ), oraz Z (C n ), oraz dla dowolnego n N. Ponieważ C n, C n P, więc Stąd µ (Z ) + µ (Z ) ν(c n ) + ν(c n ) = [ν(c n ) + ν(c n )] = ν(c n ) µ (Z) + ε. Ze względu na dowolność ε mamy nierówność µ (Z )+µ (Z ) µ (Z). Ponieważ we wzorze (30) możemy przyjąć 1 =, oraz n = dla n > 1 więc mamy nierówność µ () ν(). by pokazać punkt (b) twierdzenia wystarczy udowodnić, że ν() µ () gdy N. Można zakładać, że µ () <. Weźmy dowolne ε > 0 i niech ( n ) będzie takim ciągiem zbiorów z N, że n oraz ν( n ) < µ () + ε. Wówczas = ( n ) więc ν() ν( n ) ν( n ) µ () + ε. Ze względu na dowolność ε dostajemy dowodzoną nierówność. 34
35 9 Miara Lebesque a w R k 9.1 Przedziały k wymiarowe, figury elementarne Przez R k oznaczamy przestrzeń euklidesową k wymiarową, to znaczy R k = {(x 1,..., x k ) : x i R (i = 1,..., k)} W przestrzeni tej będziemy rozpatrywać zwykłą metrykę euklidesową ( n ) 1 d k (x, y) = x i y i 2 2, i=1 jeżeli x = (x 1, x 2,..., x k ), y = (y 1, y 2,..., y k ). W stosunku do tej przestrzeni będziemy używać wszystkich pojęć wprowadzanych w teorii przestrzeni metrycznych i w topologii; jak pojęcia kuli, zbiorów otwartych, zbiorów domkniętych, wnętrza i domknięcia zbioru, zbiorów zwartych i.t.d. Definicja 9.1 (a) Przedziałem w R nazywamy dowolny ze zbiorów postaci (a, b), [a, b], [a, b), (a, b], gdzie a, b R oraz a b. W szczególności zbiór pusty i zbiór jednopunktowy jest przedziałem. (b) Przedziałem k wymiarowym nazywamy dowolny zbiór w R k postaci P 1 P 2... P k (31) gdzie P i jest przedziałem jednowymiarowym dla i = 1, 2,..., k. Rodzinę wszystkich przedziałów k wymiarowych będziemy oznaczać przez P k. Jeżeli conajmniej jeden z przedziałów P i jest zbiorem jednopunktowym lub zbiorem pustym, to mówimy, że przedział jest przedziałem zdegenerowanym. Jeżeli wszystkie przedziały P i są przedziałami domkniętymi (otwartymi) to przedział (31) nazywamy przedziałem domkniętym (otwartym). Definicja 9.2 Dla dowolnych a, b R k takich, że a = (a 1, a 2,..., a k ), b = (b 1, b 2,..., b k ) przyjmujemy, że a b jeżeli a i b i dla dowolnego i = 1,.., k, oraz a < b jeżeli a i < b i dla dowolnego i = 1,..., k. Jeżeli a, b R k i a b to przyjmujemy [a, b] = {x R k : a x b} [a, b) = {x R k : a x < b} (a, b] = {x R k : a < x b} 35
36 [a, b] = {x R k : a < x < b} Jeżeli a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że a b, to definiujemy [a, b] k jako przedział k wymiarowy [a, b] gdzie a = (a,..., a), b = (b,..., b). nalogicznie definujemy przedziały (a, b) k, [a, b) k, (a, b] k. Uwaga 9.1 Jeżeli P jest dowolnym przedziałem k wymiarowym postaci (31) to P = P 1 P 2... P k, oraz int(p ) = int(p 1 ) int(p 2 )... int(p k ). Twierdzenie 9.1 Dowolny zbiór otwarty można zapisać w postaci sumy przeliczalnej ilości przedziałów otwartych. Dowód. Udowodnimy najpierw, że dla dowolnego x U istnieją takie punkty a, b Q k, że a < x < b, oraz (a, b) U. Weźmy dowolny punkt x = (x 1,..., x k ) U i niech ε > 0 będzie takie, że K(x, ε) U. Weźmy δ > 0 takie, że δ < ε k. Niech a i, b i będą takimi liczbami wymiernymi, że a i < x i < b i, oraz x i a i, b i x i < δ dla i = 1,..., k. Niech a = (a 1,..., a k ), b = (b 1,..., b k ) i załóżmy, że y = (y 1,..., y k ) U. Wówczas ( n ) 1 ( d k (x, y) = (x i y i ) 2 2 n ) 1 < δ 2 2 = kδ < ε. i=1 i=1 Niech teraz dla dowolnego x U, a x, b x Q k będą takie, że a x < x < b x, (a x, b x ) U. Wówczas oraz rodzina (a x, b x ) = U x U {(a x, b x ) : x U} jest rodziną przeliczalną (bo Q k Q k jest zbiorem przeliczalnym). Twierdzenie 9.2 Dowolny zbiór otwarty można zapisać w postaci sumy przeliczalnej ilości przedziałów parami rozłącznych. Uwaga 9.2 Dowolny zbiór otwarty w R można zapisać w postaci sumy przeliczalnej ilości przedziałów otwartych (ograniczonych albo nieograniczonych) parami rozłącznych. 36
37 Lemat 9.1 Niech X będzie ośrodkową przestrzenią topologiczną. Jeżeli R jest rodziną podzbiorów niepustych, parami rozłącznych otwartych w X, to R jest rodziną przeliczalną. Dowód lematu. Niech będzie dowolnym podzbiorem przeliczalnym i gęstym w X. Niech f : R będzie taką funkcją, że f(u) U dla dowolnego zbioru U R. Funkcja f jest funkcją przeliczalną więc ℵ 0. Dowód twierdzenia. Niech U będzie dowolnym zbiorem otwartym w R. Dla dowolnego x U, niech a x = inf{a : (a, x] U}, b x = sup{b : [x, b) U}. Jak łatwo zauważyć, mamy x (a x, b x ) U, zatem (a x, b x ) = U. (32) x U Z definicji przedziałów (a x, b x ) wynika, że dla dowolnych punktów x, y U zbiory (a x, b x ) są albo identyczne albo rozłączne, zatem na podstawie lematu 9.1 rodzina {(a x, b x ) : x U} jest rodziną przeliczalną, stąd z (32) dostajemy tezę twierdzenia. Definicja 9.3 Mówimy, że zbiór R k jest k wymiarową figurą elementarną jeżeli można przedstawić w postaci = P 1 P 2... P n (33) gdzie P i dla i = 1, 2,..., n jest przedziałem k wymiarowym. Zbiór wszystkich k wymiarowych figur elementarnych będziemy oznaczać przez E k. Definicja 9.4 Mówimy, że figura elementarna jest figurą zdegenerowaną jeżeli daje się przedstawić w postaci sumy skończonej ilości przedziałów zdegenerowanych. Mówimy, że dwie figury elementarne, B są prawie rozłączne, jeżeli ich iloczyn B jest figurą elementarną zdegenerowaną. Twierdzenie 9.3 Rodzina P k wszystkich przedziałów k wymiarowych jest półpierścieniem. Dowód. Dla k = 1 twierdzenie jest oczywiste a dla dowolnego k wynika z twierdzenia Z twierdzenia 9.3 wynika 37
38 Twierdzenie 9.4 Rodzina E k wszystkich figur elementarnych k wymiarowych jest pierścieniem. Dowolną figurą elementarną można przedstawić w postaci sumy P 1... P n, gdzie P i są przedziałami k wymiarowymi parami rozłącznymi. Wniosek 9.1 Jeżeli jest figurą elementarną domkniętą to można przedstawić w postaci skończonej sumy przedziałów dotkniętych prawie rozłącznych. 9.2 Objętość figur elementarnych Definicja 9.5 Dla dowolnego przedziału k wymiarowego P = P 1 P 2... P k definiujemy uogólnioną objętość tego przedziału jako P k = P 1 P 2... P k. gdzie dla dowolnego przedziału jednowymiarowego P i, przez P i oznaczyliśmy długość tego przedziału. Przedział k wymiarowy P jest przedziałem zdegenerowanym wtedy i tylko wtedy gdy jego objętość jest równa 0. Jak łatwo zauważyć, mamy P k = P k = int(p k ) k (34) dla dowolnego przedziału k wymiarowego P. Tak więc dla dowolnego przedziału k wymiarowego P istnieje przedział otwarty zawarty w tym przedziale i istnieje przedział domknięty zawierający P taki, że objętości obu przedziałów są równe P k. Lemat 9.2 Dla dowolnego przedziału k wymiarowego P i dla dowolnego ε > 0 istnieje przedział domknięty K i przedział otwarty Q takie, że K P Q oraz K k > P k ε, Q k < P k + ε. Definicja 9.6 Mówimy, że dwa przedziały k wymiarowe P i Q są prawie rozłączne jeżeli ich iloczyn jest przedziałem k wymiarowym zdegenerowanym, to znaczy gdy int(p Q) = albo równoważnie gdy P Q k = 0. Dalej będziemy używać następującego oczywistego choć trudnego technicznie w dowodzie lematu 38
39 Lemat 9.3 Jeżeli dowolny przedział k wymiarowy P przedstawić w postaci skończonej sumy rozłącznych przedziałów k wymiarowych to P = P 1 P 2... P k P k = P 1 k + P 2 k P k k Inaczej mówiąc funkcja k jest funkcją addytywną na P k. Ponieważ pierścieniem generowanym przez P k jest rodzina wszystkich k wymiarowych figur elementarnych więc na podstawie twierdzenia 6.1 możemy zdefiniować objętość k wymiarowych figur elementarnych przyjmując, że E k = P 1 k P n k gdy E = P 1... P n gdzie P i P j = gdy i j. W ten sposób przedłużamy k do funkcji addytywnej na pierścień E k. Lemat 9.4 (a) Jeżeli E jest figurą elementarną to int(e) i E są figurami elementarnymi o takiej samej objętości co E. (b) Dla dowolnej figury elementarnej E i dowolnego ε > 0 istnieją domknięta figura elementarna F oraz otwarta G takie, że F E G oraz F k > E k ε, G k < E k + ε. Wykorzystując lemat 9.3 udowodnimy. Twierdzenie 9.5 Funkcja k jest miarą na P k. Dowód. Na podstawie twierdzenia 9.3 P jest półpierścieniem. Z lematu 9.3 wynika, że k jest funkcją addytywną na P. Z twierdzenia 6.4 wystarczy pokazać, że jeżeli P jest dowolnym przedziałem k wymiarowym a (P n ) takim ciągiem przedziałów, że P P n to, P k P n k. (35) Załóżmy najpierw, że P jest przedziałem domkniętym. Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas dla dowolnego n istnieje przedział otwarty Q n taki, że P n Q n oraz Q n k < P n k +ε/2 n. Ponieważ P Q n i P jest zbiorem zwartym więc istnieje takie m N, że P m Q n. Ponieważ k jest funkcją addytywną na P więc m P k Q n k Q n k P n k + ε 2 i=1 n = P n k + ε. 39
Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoElementy Teorii Miary i Całki
Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoI kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary
I kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary 17.11.05 Grupa A 1. (a)udowodnić,żelim(a n B n ) lima n limb n. (b) Znaleźć granice górną i dolną ciągu zbiorów: ( A n = ( 1) n 1,1 ( 1)n 1 ) [3,4+( 1) n ). n n a)x
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoDekompozycje prostej rzeczywistej
Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoGrzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste c Grzegorz Plebanek (2009) wersja γ (2013) Spis treści 0 Wiadomości wstępne 1 0.1
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowof(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf
9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoFunkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki
Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Ostatnio poprawiłem 25 stycznia 2015 r. Nadeszła pora na całkowanie. Pierwsza rzecza jest zdefiniowanie
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoMetoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych
Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoTopologia I Wykład 4.
Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowoMNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk
MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoTopologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Szeregi
Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi
Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni
Bardziej szczegółowo