Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
|
|
- Marian Kasprzak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej (krótko: logik a modaln a, gdy X jest zamkniȩty na regu lȩ (MP ) oraz dla dowolnej α L : jeżeli CL α, to α X, gdzie relacja konsekwencji CL jest wyznaczona tak jak logika klasyczna, przez zbiór regu l CL, ale dla jȩzyka L (innymi s lowy, X jest zamkniȩty na każd a regu lȩ z CL). Logika modalna X jest klasyczna, gdy jest zamkniȩta na regu lȩ (RE) α β/ α β, gdzie dla dowolnych α, β L : α β = (α β) (β α). Logika modalna X jest regularna, gdy jest klasyczna oraz zawiera wszystkie formu ly z L postaci: (C) ( α β) (α β) oraz (M) (α β) ( α β), tzn. X jest zamkiȩty na regu ly aksjomatyczne (C), (M). Logika modalna X jest normalna, gdy jest regularna oraz zamkniȩta na regu lȩ (NR) α/ α. Twierdzenie 10.1: Dla dowolnej logiki modalnej X : (RE) oraz (M) wtw X jest zamkniȩty na regu lȩ: (R) α β/ α β. X jest zamkniȩty na Dowód: ( ): Za lóżmy, że X jest logik a modaln a zamkniȩt a na regu ly (RE), (M). Nastȩpuj acy dowód formu ly α β ze zbioru formu l: {α β} na gruncie regu l ze zbioru CL {(RE), (M)} uzasadnia fakt, iż X jest zamkniȩty na (R): α β, α α (H0), (α α) ((α β) (α (α β))) (I1), α (α β) (MP ), (α β) α ( 1), α (α β) ( 3), (MP ),def., α (α β) (RE), α (α β) def., ( 1)(MP ), (α β) ( α β) (M),
2 1. Logiki modalne normalne 77 α ( α β) (Syll), ( α β) β ( 2), α β (Syll), gdzie (Syll) jest regu l a klasycznej logiki zdaniowej, postaci: α β, β γ/α γ. ( ): Za lóżmy, że X jest logik a modaln a zamkniȩt a na regu lȩ (R). Nastȩpuj acy dowód formu ly α β ze zbioru {α β} na gruncie regu l z CL {(R)} świadczy o tym, że X jest zamkniȩty na regu lȩ (RE): α β, α β def., ( 1), (MP ), β α def., ( 2), (MP ), α β (R), β α (R), α β ( 3), (MP ),def.. Nastȩpuj acy dowód formu ly (α β) ( α β) z pustego zbioru formu l na gruncie regu l z CL {(R)} oznacza, iż zbiór X jest zamkniȩty na regu lȩ aksjomatyczn a (M): (α β) α ( 1), (α β) β ( 2), (α β) α (R), (α β) β (R), (α β) ( α β) (I1), (MP ). Wniosek: Logika modalna jest regularna wtw jest zamkniȩta na regu ly (R), (C). Dowód: oczywisty na podstawie Tw Twierdzenie 10.2: Jeżeli logika modalna jest regularna, to zawiera wszystkie formu ly postaci: (K) (α β) ( α β), tzn. jest zamkniȩta na regu lȩ aksjomatyczn a (K). Dowód: Niech X bȩdzie logik a modaln a regularn a. Na mocy Wniosku powyżej X jest zamkniȩta na (R) oraz (C). Nastȩpuj acy dowód formu ly (α β) ( α β) z pustego zbioru formu l na gruncie regu l z CL {(R), (C)} świadczy o tym, że X jest zamkniȩty na regu lȩ (K): ((α β) α) β (teza klasyczna), ((α β) α) β (R), ( (α β) α) ((α β) α) (C), ( (α β) α) β (Syll), (( (α β) α) β) ( (α β) ( α β)) (teza klasyczna), (α β) ( α β) (MP). Twierdzenie 10.3: Logika modalna X jest normalna wtw X jest zamkniȩty na regu ly (NR), (K).
3 1. Logiki modalne normalne 78 Dowód: ( ): oczywisty na mocy Tw ( ): Za lóżmy, że logika modalna X jest zamkniȩta na (N R), (K). Aby wykazać, iż X jest normalna, wystarcza dowieść, że X jest regularna. Wobec Wniosku powyżej wykazujemy, że X jest zamkniȩty na regu ly (R), (C). Nastȩpuj acy dowód formu ly α β ze zbioru formu l {α β} wed lug regu l z CL {(NR), (K)} jest uzasadnieniem dla faktu, że X jest zamkniȩty na regu lȩ (R): α β, (α β) (NR), (α β) ( α β) (K), α β (MP ). Nastȩpuj acy dowód formu ly ( α β) (α β) z pustego zbioru formu l wed lug regu l ze zbioru CL {(NR), (K)} świadczy o tym, iż X jest zamkniȩty na regu lȩ aksjomatyczn a C: α (β (α β)) ( 3), α (β (α β)) (R), (β (α β)) ( β (α β)) (K), α ( β (α β)) (Syll) ( α β) α ( 1), ( α β) ( β (α β)) Syll, (( α β) β) (( α β) (α β)) (H2), (MP ), ( α β) β ( 2), ( α β) (α β) (MP ). Niech N bȩdzie dowoln a modaln a logik a normaln a. Oznaczmy jako R N zbiór dwóch regu l: R N = {(AxN), (MP )}, gdzie (AxN) jest regu l a aksjomatyczn a postaci: (AxN) = {<, α >: α N}. Relacjȩ wyprowadzalności RN, oznaczan a dalej w skrócie jako N bȩdziemy nazywać konsekwencj a stowarzyszon a z logik a modaln a N. Twierdzenie 10.4: Dla dowolnej normalnej logiki modalnej N : {α L : N α} = N. Dowód: Niech N bȩdzie dowoln a normaln a logik a modaln a. ( ): Oczywisty na mocy definicji konsekwencji N. ( ): Zbiór {α L : N α} jest najmniejsz a wzglȩdem inkluzji teori a konsekwencji N. Lecz N T h( N ), bo N jest zamkniȩty na regu ly (AxN), (MP ), tzn. N jest zamkniȩty na każd a regu lȩ ze zbioru R N. Ostatecznie, {α L : N α} N. Naturalnie dla każdej konsekwencji N stowarzyszonej z jak aś normaln a logik a modaln a N zachodzi twierdzenie o dedukcji, bowiem {(AxN),(MP )} = R, gdzie R = {(H1), (H2), (MP ), (AxN)} (zauważmy, że R N = R i zastosujmy Tw.5.11(2)), zaś (M P ) jest jedyn a nieaksjomatyczn a regu l a w R oraz regu ly (H1), (H2) wystȩpuj a w R.
4 2. Logika Kripkego K 79 Twierdzenie 10.5: Dla dowolnej logiki normalnej N oraz dowolnej teorii X logiki N, zbiór X = {α L : α X} jest również teori a logiki N. Dowód: Niech X T h( N ). Na mocy Tw.5.13 wystarcza wykazać, że zbiór X jest zamkniȩty na dwie regu ly: (AxN) oraz (MP ). Rozważmy wiȩc parȩ uporz adkowan a <, α > (AxN). Wówczas α N. Ponieważ N jest zamkniȩty na regu lȩ (N R), wiȩc α N. Lecz wed lug Tw.10.4, N jest najmniejsz a teori a logiki N, zatem z za lożenia, α X, zatem α X, co dowodzi, że zbiór X jest zamkniȩty na regu lȩ (AxN). Aby wykazać, że zbiór ten jest zamkniȩty na (MP ) przypuśćmy, że α, α β X. Wówczas α, (α β) X. Wobec inkluzji N X oraz faktów: (α β) ( α β) X, X jest zamkniȩty na (M P ) wnosimy, iż β X. Ostatecznie, β X. Lemat fundamentalny dla N : Dla dowolnej logiki normalnej N, dowolnej teorii X RMax( N ) oraz dowolnych α, β L : ( ) α β X wtw α, β X, ( ) α β X wtw α X lub β X, ( ) α β X wtw α X lub β X, ( ) α X wtw α X, ( ) α X wtw Y RMax( N )( X Y α Y ). Dowód: Niech X RMax( N ). Warunki ( ), ( ), ( ) oraz ( ) dowodzi siȩ tak samo jak w lemacie fundamentalnym dla CL, bowiem skoro N X oraz X jest zamkniȩty na (MP ), wiȩc X jest zamkniȩty na każd a regu lȩ z CL; ponadto dla N spe lnione jest twierdzenie o dedukcji. dla ( )( ): Niech α X, Y RMax( N ) oraz X Y. Wówczas α X, a st ad α Y. dla ( )( ): Za lóżmy, że α X. Wówczas α X. Ponieważ X T h( N ) (Tw.10.5), wiȩc X N α. Zatem wed lug lematu Lindenbauma, dla pewnej teorii Y RMax( N ) zachodzi: X Y oraz α Y, co kończy dowód. 2. Logika Kripkego K Najmniejsza normalna logika modalna, czyli najmniejszy (wzglȩdem inkluzji) ze wszystkich zbiór formu l jȩzyka modalnego zamkniȩty na regu ly CL {(K), (NR)} (inaczej zbiór tez: {α L : CL {(K),(NR)} }) nazywamy logik a Kripkego i oznaczamy jako K. Niech K bȩdzie klas a wszystkich modeli m = < W m, = m > takich, że W m jest dowolnym niepustym zbiorem (punktów) oraz relacja prawdziwości w punkcie = m jest określona przez dwa parametry: dowoln a relacjȩ binarn a R m W m W m oraz dowoln a funkcjȩ v m P (W m ) V ar, w sposób nastȩpuj acy: x = m p wtw x v m (p), x = m α β wtw x = m α oraz x = m β,
5 2. Logika Kripkego K 80 x = m α β wtw x = m α lub x = m β, x = m α β wtw x = m α lub x = m β, x = m α wtw x = m α, x = m α wtw y W m (< x, y > R m y = m α). Naturalnie klasa K wyznacza semantycznie konsekwencjȩ = K. Lecz nie tyle ta konsekwencja bȩdzie w centrum zainteresowania, ile raczej zbiór formu l logicznie prawdziwych: {α L : = K α}: Twierdzenie o przystosowaniu dla logiki K: α L (α K = K α). Dowód: Ponieważ zbiór K jest z definicji najmniejszym zbiorem zamkniȩtym na regu ly ze zbioru CL {(K), (NR)}, wiȩc aby dowieść inkluzji: K {α L : = K α} wystarcza wykazać, iż zbiór {α L : = K α} jest zamkniȩty na owe regu ly. Tutaj wykazujemy tylko jego zamkniȩcie na (K) oraz (N R). Za lóżmy wiȩc nie wprost, że dla pewnych formu l α, β : = K (α β) ( α β). Zatem dla pewnego modelu m K oraz x W m zachodzi: x = m (α β) ( α β). W konsekwencji, (1) x = m (α β), (2) x = m α oraz (3) x = m β. Z (3) wynika, iż dla pewnego y W m takiego że < x, y > R m zachodzi: y = m β. Jednakże na mocy (1) i (2): y = m α β oraz y = m α. Zatem y = m β; sprzeczność. Aby wykazać zamkniȩcie zbioru {α L : = K α} na (NR) za lóżmy, że dla pewnej formu ly α : = K α oraz = K α. Wówczas dla pewnego m K oraz x W m zachodzi: x = m α. Zatem dla pewnego y W m takiego, że < x, y > R m mamy: y = m α, co jest niemożliwe skoro z za lożenia: m K z W m, z = m α. Aby dowieść twierdzenia o pe lności: α L : = K α α K, rozważmy nastȩpuj acy model kanoniczny: k = < RMax( K ), = k >, w którym relacja = k jest określona tak jak w każdym modelu z klasy K, przez nastȩpuj ace parametry: dla dowolnych X, Y RMax( K ), < X, Y > R k wtw X Y ; dla dowolnego p V ar, v k (p) = {X RMax( K ) : p X}. Lemat g lówny: W modelu k, dla dowolnych X RMax( K ), α L : X = k α wtw α X. Dowód: (indukcyjny ze wzglȩdu na postać formu ly α) Niech X RMax( K ) oraz α jest postaci p, gdzie p V ar. Wówczas X = k p wtw X v k (p) wtw p X. Niech α jest postaci: β γ, przy czym spe lnione jest za lożenie indukcyjne: Y RMax( K )(Y = k β wtw β Y ) oraz Y RMax( K )(Y = k γ wtw γ Y ). Wówczas X = k β γ wtw X = k β oraz X = k γ wtw β X oraz γ X wtw β γ X, na mocy lematu fundamentalnego dla K, warunek ( ). Analogicznie, gdy α jest postaci: β γ, β γ, β. Niech α jest postaci β oraz spe lnione jest za lożenie indukcyjne: Y RMax( K )(Y = k β wtw β Y ). Wówczas X = k β wtw Y RMax( K ) (< X, Y > R k Y = k β) wtw Y RMax( K )( X
6 3. Logika T Feysa - von Wrighta 81 Y β Y ) wtw β X), na mocy odpowiednio, warunku prawdziwości dla formu ly postaci β w modelu, definicji relacji R k i za lożenia indukcyjnego, oraz lematu fundamentalnego dla K, warunek ( ). Twierdzenie o pe lności dla logiki K: α L ( = K α α K). Dowód: Za lóżmy, że α K. Wówczas wed lug Tw.10.4: K α. Zatem na mocy lematu Lindenbauma, dla pewnej teorii Y RMax( K ), α Y. St ad, wed lug lematu g lównego, w modelu kanonicznym mamy: Y = k α. Ostatecznie, ponieważ k K, wiȩc = K α. 3. Logika T Feysa - von Wrighta Najmniejsza ze wszystkich modalnych logik normalnych zamkniȩtych na regu lȩ aksjomatyczn a: (T ) α α, nazywana jest logik a T Feysa - von Wrighta. Niech T bȩdzie klas a wszystkich modeli m = < W m, = m > takich, że W m jest dowolnym niepustym zbiorem (punktów) oraz relacja prawdziwości w punkcie = m jest określona przez dwa parametry: dowoln a zwrotn a relacjȩ R m W m W m oraz dowoln a funkcjȩ v m P (W m ) V ar, w sposób identyczny jak w dowolnym modelu z klasy K. Oczywiście T K oraz T K. Twierdzenie o przystosowaniu dla logiki T : α L (α T = T α). Dowód: Ponieważ zbiór T jest z definicji najmniejszym zbiorem zamkniȩtym na regu ly ze zbioru CL {(K), (NR), (T )}, wiȩc aby dowieść inkluzji: T {α L : = T α} wystarcza wykazać, iż zbiór {α L : = T α} jest zamkniȩty na owe regu ly. Tutaj wykazujemy tylko jego zamkniȩcie na (T ). Przypuśćmy, że = T α α. Zatem dla pewnego modelu m T oraz x W m zachodzi: x = m α α. Wówczas x = m α oraz x = m α. W konsekwencji, dla wszystkich y W m takich, że < x, y > R m zachodzi: y = m α. Wobec zwrotności relacji R m otrzymujemy: x = m α; sprzeczność. Twierdzenie 10.6: Model kanoniczny k = < RMax( T ), = k > dla logiki T, taki, że relacja = k jest w nim identycznie zdefiniowana na zbiorze RMax( T ) jak relacja = k jest zdefiniowana na zbiorze RMax( K ) w modelu kanonicznym dla logiki K, należy do klasy T, tzn. relacja R k jest zwrotna. Dowód: Niech X RMax( T ). Oczywiście < X, X > R k wtw X X. Aby wykazać tȩ inkluzjȩ weźmy α X. Wówczas α X. Lecz X, bȩd ac teori a logiki T, jest zamkniȩty na regu lȩ (T ) oraz (MP ). Zatem α X. Twierdzenie o pe lności dla logiki T : α L ( = T α α T ),
7 4. Logika S4 82 jest prostym wnioskiem, identycznie dowodzonym jak twierdzenie o pe lności dla logiki K, w oparciu o Tw.10.6 oraz o analogicznie sformu lowany i dowodzony jak dla logiki K lemat g lówny. 4. Logika S4 Najmniejsza ze wszystkich modalnych logik normalnych oraz zamkniȩtych na regu ly aksjomatyczne: (T ) oraz (4) α α, nazywana jest logik a S4. Niech S4 bȩdzie klas a wszystkich modeli m = < W m, = m > takich, że W m jest dowolnym niepustym zbiorem (punktów) oraz relacja prawdziwości w punkcie = m jest określona przez dwa parametry: dowoln a zwrotn a i przechodni a relacjȩ R m W m W m oraz dowoln a funkcjȩ v m P (W m ) V ar, w sposób identyczny jak w dowolnym modelu z klasy K. Oczywiście S4 T oraz S4 T. Twierdzenie o przystosowaniu dla logiki S4: α L (α S4 = S4 α). Dowód: Wykazujemy jedynie, że zbiór formu l: {α L : = S4 α) jest zamkniȩty na regu lȩ aksjomatyczn a (4). Przypuśćmy wiȩc, że dla pewnej formu ly α : = S4 α α. Wówczas dla pewnego m S4 oraz x W m, x = m α α. Oznacza to, iż (1) x = m α oraz (2) x = m α. Z (2) otrzymujemy: dla pewnego y W m takiego, że < x, y > R m zachodzi: y = m α. St ad dla pewnego z W m takiego, że < y, z > R m mamy: z = m α. Lecz z (1), na mocy przechodniości relacji R m otrzymujemy: z = m α; sprzeczność. Twierdzenie 10.7: Model kanoniczny k = < RMax( S4 ), = k > dla logiki S4, taki, że relacja = k jest w nim identycznie zdefiniowana na zbiorze RMax( S4 ) jak relacja = k jest zdefiniowana na zbiorze RMax( K ) w modelu kanonicznym dla logiki K, należy do klasy S4, tzn. relacja R k jest zwrotna i przechodnia.
8 5. Logika B Brouwera 83 Dowód: Dowiedzenie zwrotności relacji R k przebiega tak samo jak w dowodzie Tw Aby wykazać przechodniość za lóżmy, że dla jakichś X, Y, Z RMax( S4 ) zachodzi: < X, Y > R k, < Y, Z > R k. Wówczas X Y oraz Y Z. Niech α X. Wtedy α X. Lecz X jest zamkniȩty na (4) i (MP ), zatem α X. St ad α X i w konsekwencji, α Y, a zatem α Y. Dlatego α Z, co dowodzi inkluzji X Z, a st ad < X, Z > R k. Twierdzenie o pe lności dla logiki S4: α L ( = S4 α α S4), jest prostym wnioskiem, identycznie dowodzonym jak twierdzenie o pe lności dla logiki K, w oparciu o Tw.10.7 oraz o analogicznie sformu lowany i dowodzony jak dla logiki K lemat g lówny. 5. Logika B Brouwera Najmniejsza ze wszystkich modalnych logik normalnych oraz zamkniȩtych na regu ly aksjomatyczne: (T ) oraz (B) α α, nazywana jest logik a B Brouwera. Niech B bȩdzie klas a wszystkich modeli m = < W m, = m > takich, że W m jest dowolnym niepustym zbiorem (punktów) oraz relacja prawdziwości w punkcie = m jest określona przez dwa parametry: dowoln a zwrotn a i symetryczn a relacjȩ R m W m W m oraz dowoln a funkcjȩ v m P (W m ) V ar, w sposób identyczny jak w dowolnym modelu z klasy K. Oczywiście B T oraz B T. Twierdzenie o przystosowaniu dla logiki B: α L (α B = B α). Dowód: Wykazujemy jedynie, że zbiór formu l: {α L : = B α) jest zamkniȩty na regu lȩ aksjomatyczn a (B). Przypuśćmy wiȩc, że dla pewnej formu ly α : = B α α. Wówczas w pewnym modelu m B oraz punkcie x W m zachodzi: x = m α α. Czyli x = α, tzn. (1) x = m α oraz (2) x = m α. Z (2) wnosimy, iż dla pewnego y W m takiego, że < x, y > R m zachodzi: y = m α. St ad, wobec symetrii relacji R m otrzymujemy: x = m α; sprzeczność z (1). Twierdzenie 10.8: Model kanoniczny k = < RMax( B ), = k > dla logiki B, taki, że relacja = k jest w nim identycznie zdefiniowana na zbiorze RMax( B ) jak relacja = k jest zdefiniowana na zbiorze RMax( K ) w modelu kanonicznym dla logiki K, należy do klasy B, tzn. relacja R k jest zwrotna i symetryczna. Dowód: Wykazujemy tylko, że R k jest symetryczna. Za lóżmy, że tak nie jest. Niech zatem X, Y RMax( B ) bȩd a takie, że < X, Y > R k oraz < Y, X > R k, tzn. X Y i Y X. Niech wiȩc α Y oraz α X. Na
9 6. Logika S5 84 mocy lematu fundamentalnego dla B, warunek ( ) (identycznego z lematem fundamentalnym dla konsekwencji K ) otrzymujemy natychmiast: α X. Ponieważ X jest zamkniȩty na (B) oraz (MP ), wiȩc α X, czyli α X. Zatem z za lożenia: α Y. St ad (lemat fundamentalny) α Y, zatem α Y. Sprzeczność. Twierdzenie o pe lności dla logiki B: α L ( = B α α B), jest prostym wnioskiem, identycznie dowodzonym jak twierdzenie o pe lności dla logiki K, w oparciu o Tw.10.8 oraz o analogicznie sformu lowany i dowodzony jak dla logiki K lemat g lówny. 6. Logika S5 Najmniejsza ze wszystkich modalnych logik normalnych oraz zamkniȩtych na regu ly aksjomatyczne: (T ) oraz (5) α α, nazywana jest logik a S5. Nastȩpuj acy dowód formu ly α α z pustego zbioru formu l na gruncie regu l ze zbioru CL {(NR), (K), (T ), (5)} świadczy o tym, że logika S5 jest zamkniȩta na regu lȩ aksjomatyczn a (4): 1. α α (5), 2. α α (T ), 3. ( α α) ( α α (I3), 4. α α (MP ) 2,3, 5. α α (Syll) 4,1, 6. ( α α) ( α α) (teza CL ), 7. α α (5), 8. α α (MP ) 6,7, 9. α α (teza CL ), 10. α α (Syll) 8,9, 11. ( α α) (N R) 10, 12. ( α α) ( α α) (K), 13. α α (MP ) 11,12, 14. α α (Syll) 5,13. Niech S5 bȩdzie klas a wszystkich modeli m = < W m, = m > takich, że W m jest dowolnym niepustym zbiorem (punktów) oraz relacja prawdziwości w punkcie = m jest określona przez dwa parametry: dowoln a relacjȩ równoważności R m W m W m oraz dowoln a funkcjȩ v m P (W m ) V ar, w sposób identyczny jak w dowolnym modelu z klasy K.
10 7. Logika modalna trywialna T R 85 Twierdzenie o przystosowaniu dla logiki S5: α L (α S5 = S5 α). Dowód: Wykazujemy jedynie, że zbiór formu l: {α L : = S5 α) jest zamkniȩty na regu lȩ aksjomatyczn a (5). Przypuśćmy wiȩc, że dla pewnej formu ly α : = S5 α α. Wówczas w pewnym modelu m S5 oraz punkcie x W m zachodzi: x = m α α. Zatem x = m α, czyli (1) x = m α oraz (2) x = m α. Z (2) dla pewnego y W m takiego, że < x, y > R m mamy: y = α, tzn. (3) y = α. Lecz z (1) wnosimy, iż dla pewnego z W m takiego, że < x, z > R m zachodzi: (4) z = m α. Wobec symetrii i przechodniości relacji R m : < y, z > R m, zatem z (3): z = m α; sprzeczność z (4). Twierdzenie 10.9: Model kanoniczny k = < RMax( S5 ), = k > dla logiki S5, taki, że relacja = k jest w nim identycznie zdefiniowana na zbiorze RMax( S5 ) jak relacja = k jest zdefiniowana na zbiorze RMax( K ) w modelu kanonicznym dla logiki K, należy do klasy S5, tzn. relacja R k jest równoważnościowa. Dowód: Fakty, że relacja R k jest zwrotna i przechodnia wykazuje siȩ identycznie jak odpowiednio w dowodach Tw.10.6, Tw.10.7 (wobec tego, że logika S5 jest zamkniȩta na regu lȩ aksjomatyczn a (4)). Dowodzimy, że R k jest symetryczna. Za lóżmy, że nie jest. Niech wiȩc X, Y RMax( S5 ) bȩd a takie, że < X, Y > R k oraz < Y, X > R k. Zatem X Y oraz Y X. Niech wiȩc α Y i α X. St ad, wobec zamkniȩcia zbioru X na regu ly (T ), (MP ) uzyskujemy: α X. Zatem wed lug lematu fundamentalnego: α X. Ponieważ X jest zamkniȩty ponadto na (5), wiȩc α X. Dlatego α X. St ad i z za lożenia otrzymujemy: α Y, czyli α Y, a wiȩc α Y ; sprzeczność. Twierdzenie o pe lności dla logiki S5: α L ( = S5 α α S5), jest prostym wnioskiem, identycznie dowodzonym jak twierdzenie o pe lności dla logiki K, w oparciu o Tw.10.9 oraz o analogicznie sformu lowany i dowodzony jak dla logiki K lemat g lówny. 7. Logika modalna trywialna T R Najmniejsza ze wszystkich modalnych logik normalnych oraz zamkniȩtych na regu ly aksjomatyczne: (T ) oraz (T R) α α nazywana jest logik a normaln a trywialn a. Twierdzenie 10.10: S5 T R oraz S5 T R.
11 7. Logika modalna trywialna T R 86 Dowód: Zauważmy, że (5) (T R) (inkluzja zbiorów par uporz adkowanych). Zatem zbiór T R, bȩd ac zamkniȩty na regu lȩ (T R) jest tym samym zamkniȩty na (5). Z definicji jest również logik a normaln a zamkniȩt a na (T ). Lecz zbiór S5 jest najmniejszym (wzglȩdem inkluzji) wśród wszystkich modalnych logik normalnych zamkniȩtych na regu ly (T ), (5). Zatem S5 T R. Fakt, że te dwa zbiory s a różne dowodzi siȩ latwo, np. wykazuj ac, że = S5 p p, pos luguj ac siȩ 2-elementowym modelem Kripkego. Niech TR bȩdzie klas a wszystkich modeli m = < W m, = m > takich, że W m jest dowolnym niepustym zbiorem (punktów) oraz relacja prawdziwości w punkcie = m jest określona przez dwa parametry: relacjȩ R m = id(w m ) (relacja identycznościowa na zbiorze W m ) oraz dowoln a funkcjȩ v m P (W m ) V ar, w sposób identyczny jak w dowolnym modelu z klasy K. Naturalnie obecnie warunek prawdziwości w punkcie x modelu m TR dla formu ly postaci α wygl ada nastȩpuj aco: x = m α wtw x = m α. Twierdzenie o przystosowaniu dla logiki T R: α L (α T R = TR α). Dowód: Wobec powyższego warunku prawdziwości dla formu ly postaci α latwo wykazać, że zbiór formu l {α L : = TR α} jest zamkniȩty na (T ) oraz (T R), tzn. = TR α α oraz = TR α α. Twierdzenie 10.11: Model kanoniczny k = < RMax( T R ), = k > dla logiki T R, taki, że relacja = k jest w nim identycznie zdefiniowana na zbiorze RMax( T R ) jak relacja = k jest zdefiniowana na zbiorze RMax( K ) w modelu kanonicznym dla logiki K, należy do klasy TR, tzn. relacja R k jest identycznościowa na RMax( T R ). Innymi s lowy, warunek ( ) w lemacie fundamentalnym dla T R ma postać: X RMax( T R ) ( α X wtw α X). Dowód: Za lóżmy, że dla X, Y RMax( T R ) zachodzi: < X, Y > R k, tzn., X Y. Dowodzimy inkluzji: X Y. Niech α X. Ponieważ X jest zamkniȩty na (T R), (MP ) wiȩc α X, st ad α X, zatem z za lożenia: α Y. Inkluzjȩ przeciwn a: Y X otrzymujemy na mocy symetrii relacji R k, tzn. maj ac dane wyrażenie Y X dochodzimy do tejże inkluzji identycznie jak przed chwil a, zamieniaj ac X na Y i Y na X. Symetria relacji R k jest konsekwencj a zamkniȩcia teorii X na regu ly (T ), (MP ) oraz (5) X jest bowiem zamkniȩty na (T R) (por. dowód Tw.10.9). Twierdzenie o pe lności dla logiki T R: α L ( = TR α α T R), jest prostym wnioskiem, identycznie dowodzonym jak twierdzenie o pe lności dla logiki K, w oparciu o Tw oraz o analogicznie sformu lowany i dowodzony jak dla logiki K lemat g lówny.
12 7. Logika modalna trywialna T R 87 Zbiór czȩściowo uporz adkowany rozważanych logik modalnych normalnych: < {K, T, S4, B, S5, T R}, > przedstawia siȩ nastȩpuj aco: T R S5 S4 B T K
Rozdzia l 3. Relacje binarne
Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoRozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat
Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna
Bardziej szczegółowoRozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne
Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoRozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej
Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Liczby kardynalne
Rozdzia l 11. Liczby kardynalne 1. Równoliczność zbiorów Definicja. Dla dowolnych zbiorów x, y : x jest równoliczny z y, gdy istnieje funkcja f : x y, która jest bijekcj a. Zauważmy, że funkcja f : y,
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoRachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Bardziej szczegółowoRozdzia l 7. Liczby naturalne
Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia.
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoOSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoP. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF
29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoR k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoParadoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania
Logika w zastosowaniach kognitywistycznych Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania (notatki do wykładów) Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Wprowadzenie Podobnie jak w przypadku
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoSzymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka
Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowoz n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1
3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Bardziej szczegółowo25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Logika Hoare a Rozważamy najprostszy model imperatywnego jezyka programowania z jednym typem danych. Wartości tego
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowoTomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoM. Nowak, Materia ly do wyk ladu z logiki na kierunkach humanistycznych
M. Nowak, Materia ly do wyk ladu z logiki na kierunkach humanistycznych Pojȩcie znaku Definicja znaku Ch. S. Peirce a: Znak jest to coś, co komuś zastȩpuje coś innego pod pewnym wzglȩdem lub w pewien sposób.
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoDOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA)
DOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO I DO SPRAWDZENIA) R R Tematem niniejszych notatek jest zbadanie warunków istnienia normy na ewnej rzestrzeni funkcji rzeczywistych określonych
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoDODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowo... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski, 015-1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach, które
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoRezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowo