1 Granice funkcji wielu zmiennych.

Transkrypt

1 AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica nie istnieje, (e), (f) 0, (g) 0, (h) 0, (i), (j), (k) 0, (l) 0, (m) nie istnieje, (n) nie istnieje. (a) tak, nie, (c) tak, (d) tak. Zadanie 3. (a) e xy [y 3, (xy + y) ], [ 5x 4 3y, 3x ], (c) cos (xy + z) [y, x, ], [ (d) e e x e x, 0 ], (e) sin ( sin(x + tg(y)) ) cos(x + tg(y)) [, Zadanie 4. Pochodna mieszana wynosi ]. cos (y) e x cos(xy)( x sin(xy) x y cos(xy) x sin(xy) ( cos(xy) xy sin(xy) )). Zadanie 5. e y sin(x) + xy + z. Zadanie 6. (a) ( e x cos(y) e x ) sin(y) e x sin(y) e x, cos(y) ( ) yz xz xy, (c) y x 0 ( sin(x) 0 0 y x 0. cos (x y) cos (x y) 0

2 Zadanie 7. (a) tak, tak, (c) tak, (d) nie. Zadanie 8. Nale»y policzy pochodn zªo»enia dwoma metodami, raz ze wzoru na zªo»enie pochodnych M(f g)(x) = M(g)(f(x)) M(f)(x) (macierz pochodnej zªo»enia to iloczyn macierzy czynników) a drugi raz licz c funkcj zªo»on i jej macierz pochodnej. Powinno wyj± to samo. Odpowiednie zªo»enia wynosz (a) h(x, y) = e x y, (c) h(x) = sin(x + 5x), h(x, y, z) = (z, y, x). 3 Zastosowania geometryczne gradientu. Zadanie 9. [5,, 0]. Zadanie 0. x + y = 7. Zadanie. (a) 5x + y = 5 4x + 5y 3z = 0 pªaszczyzna styczna do pªaszczyzny to ta sama pªaszczyzna, Zadanie. (ln(),, ). 4 Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Zadanie 3. (a) f max = f(cos 3 8 π, sin 3 8 π) = 3 + za± f min = f(0, 0) = 0, f max = f(,, 0) = 6 za± f min = f(, 0, ) = 3; (c) f min = f( 3, 3 ) = 3 e 3 za± f max = f(, ) = e. Zadanie 4. Chodzi o punkt (0, ). Zadanie 5. Odlegªo± wynosi 3 6 i odpowiada punktowi ( 4 3, 0 3, 4 3 ) Zadanie 6. (a) (, ) maksimum; (,, 3) maksimum; (c) (, ) oraz 3 (4, 5) oba maksima. Zadanie 7. f max = f( π 3, π 6 ) = π 6 za± f min = f(0, 0) = 0. Zadanie 8. Ekstremum warunkowe w punkcie ( 5 4, 0, ).

3 5 Twierdzenie o funkcji uwikªanej, dyfeomorzmy Zadanie 9. Trzeba skorzysta z twierdzenia o funkcji uwikªanej patrz rozwi zanie. Zadanie 0. Sposobów jest wiele, ja proponuj takie (a) f(x, y) = (x, y), f(x, y) = (x, y x ), (c) f(x, y) = (x + y, y), (d) f(x, y) = x +y (x, y) (takie przeksztaªcenie nazywa si inwersj ), (e) f(x, y) = ( x, y) (odbicie lustrzane wzgl dem osi x =. 6 Przykªadowe rozwi zania Zadanie. Zbiór opisany jest równaniem f(x, y, z) = 0, gdzie f(x, y, z) = (e x y z). Oznaczmy ten zbiór przez M). Pªaszczyzna styczna do M w punkcie P M jest prostopadªa do gradientu f P. f = [e x y, e x, ]. Wektory f = [e x y, e x, ] i [,, ] maj by jednocze±nie prostopadªe do tej samej pªaszczyzny. Wobec tego musz by do siebie równolegªe, to znaczy f = [e x y, e x, ] = λ[,, ] dla pewnej liczby λ R. Z powy»szego równania ªatwo wywnioskowa,»e x = ln, y =. Wstawiamy te wielko±ci do równania f(x, y, z) = 0 i wyliczamy z =. Zadanie 3. Punkt (a). Gradient funkcji wynosi f = [x y, x 4y]. Szukamy punktów krytycznych f P = [0, 0]. Jedynym rozwi zaniem jest P = (0, 0). Teraz zbadamy funkcj na brzegu. U»ywaj c podstawienia ze wskazówki otrzymamy g(φ) = f(cos φ, sin φ) = + cos φ sin φ + sin φ. To jest funkcja jednej zmiennej, szukamy jej ekstremów dla φ [0, π]. g (φ) = cos φ sin φ + sin φ cos φ = cos φ + sin φ. Punkty podejrzane to takie w których cos φ = sin φ. Šatwo sprawdzi,»e cos x = sin x dla x = kπ π 4 gdzie k Z. St d ªatwo wyliczymy,»e punkty w których g (φ) = 0 to φ = 3 8 π, 7 8 π, 8 π i 5 8 π. (inaczej φ = 3 4 π, 3 4 π, 3 4 π, π). 3

4 Liczymy warto±ci f w punktach podejrzanych. f(0, 0) = 0. eby policzy warto±ci na brzegu dobrze b dzie zauwa»y,»e g(φ) = ( sin φ cos φ) + 3. St d g( 3 π) = g( 8 8 π) = 3 +, g( 7 π) = g(5 8 8 π) = 3. St d f min = 0, f max = 3 +. Zadanie 5. Rozwi»emy dwoma sposobami. Zadanie mo»na przetªumaczy nast puj co znajd¹ ekstermum funkcji f(x, y, z) = (x 5) + (y 7) + (z 6) przy warunku g(x, y, z) = x + y + z =. Sposób metoda mno»ników Lagrange'a. Gradienty f i g wynosz odpowiednio Równania Lagrange'a: f = [5x 5, y 7, z 6] g = [,, ] x 5 =λ y 7 = λ z 6 = λ Mo»emy st d wywnioskowa x 5 = y 7 oraz (x 5) = z 6. Pozwala to wyliczy y i z jako funkcje x: y = x + z = x 4. Po wstawieniu do równania x + y + z = otrzymujemy x = 4 3 a dalej y = 0 3 i z = 4 3. Sposób Z równania x + y + z = wyliczamy, dajmy na to, x jako funkcje y i z, wstawiamy do f i otrzymujemy zadanie na ekstremum funkcji dwóch zmiennych bez»adnych warunków. Punkt krytyczny to punkt w którym odlegªo± jest najmniejsza. Zadanie 8. Mamy typowe zadanie na metod Lagrange'a. Zbiór na którym rozpatrujemy funkcj f jest zadany równaniem g(x, y, z) = gdzie g(x, y, z) = x + y z. Gradient g wynosi g = [, x, z] i nigdzie nie znika, a wi c zaªo»enia tw. Lagrange'a s speªnione. Gradient f wynosi f = [, 0, ]. Szukamy punktów speªniaj cych równanie f = λ g, tzn. =λ 0 =λy =λ( z). St d ªato y = 0, z = a x wyznaczymy z równanie g(x, y, z) =. 4

5 Zadanie 9. Druga cz ± zadania wynika z twierdzenia o funkcji uwikªanej. y jest rozwi zaniem równania funkcyjnego f(x, y) = 0, gdzie f(x, y) = y + sin y x. Je±li (x 0, y 0 ) speªnia to równanie, to poniewa» f y = + cos y > 0 wiemy,»e wokóª punktu x 0 y jest funkcj y(x) klasy C. Pozostaje jeszcze pokaza,»e dla ka»dego x istnieje odpowiednie y i do tego jest jedyne. Zauwa»my,»e funkcja g(y) = y + sin y jest rosn ca i przyjmuje wszystkie mo»liwe warto±ci rzeczywiste. Wynika st d,»e dla ka»dego ustalonego x istnieje dokªadnie jedno y takie,»e g(y) = x (wªasno± Darboux plus ró»nowarto±ciowo± g). Michaª Jó¹wikowski, 7 maja