Materiaªy do Repetytorium z matematyki

Transkrypt

1 Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy ( + ) ( ). ( : ) ( : 4) { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) ( 0) ( ) ( 4 ) 6 ( 6 ) ( 6 ) 4. ( : ( )) : ( 4) wiczenie. Obliczy ( ( ) + ) ( : ) (0 ) [ ( 0 ) ( 4 )] [ ( )] : 4 ( ). (05) + ( 4) : ( + ) oraz 4 + gdy 0 i + = gdy > 0 i + = 7. (n+) n+n n+ wiczenie. Która z nast puj cych liczb jest wymierna wiczenie 4. Uzasadni»e liczby 5 oraz + s niewymierne. wiczenie 5. Usun niewymierno± z mianownika w nast puj cych wyra»eniach wiczenie 6. Wykaza»e =. a + a b + a a b = a + b a > b > a + a b a a b = a b a > b > 0 ( a + b + ab + a + b ) ab = 4a a b 0 5. ab 0 a 6 b + b6 a a4 + b 4.

2 wiczenie 7. Rozªo»y na czynniki nast puj ce wyra»enia 4 y 4. y + y ( y) +(y z) +(z ) 6. ( + y + z) y z. wiczenie 8. Zamieni uªamek zwykªy 7 9 na uªamek dziesi tny.. Zamieni uªamek dziesi tny 0 (5) na uªamek zwykªy. wiczenie 9. Wykaza»e Je»eli a + b + c = 0 to a + b + c = abc.. Je»eli a +b +c = ab+ac+bc to a = b = c.. a b = (a b)(a + ab + b ). 4. a + b = (a + b)(a ab + b ). Indukcja matematyczna wiczenie. Udowodni»e n N n = n(n + ). n N n(n + ) = n n +. wiczenie.. Pokaza»e n N n = n(n + )(n + ). 6 wiczenie.. Udowodni»e ab R n N (ab) n = a n b n. 0<a<b n N a n < b n. wiczenie.4. Wykaza»e dla dowolnego n N liczba postaci 4n+ + jest podzielna przez 0. 0 n 4 jest podzielna przez 6. n + n jest podzielna przez 4. 4n jest podzielna przez n 4 jest podzielna przez n + jest podzielna przez n + 5n jest podzielna przez n+ + jest podzielna przez 9. 0 n ( ) n jest podzielna przez 0. 6n jest podzielna przez 7 n n jest podzielna przez 6 n(n n + ) jest wielokrotno±ci 6. wiczenie.5. Udowodni wzory na wyrazy ogólne danego ci gu arytmetycznego i geometrycznego oraz na sumy wyrazów tych ci gów. wiczenie.6. Korzystajac z zasady indukcji matematycznej wykaza»e n N n n. n n > n n. n 5 n > n 4. n 5 n > n 5. n N (n)! < n (n!) 6. n (n!) < (n)! n+ 7. n N n! n 8. n n n! 4 n 9. n N n n 0. n n! n + n n > n n N n+ + n n+ >

3 Funkcja liniowa. Warto± bezwzgl dna wiczenie. Rozwi za równania + =. = = 5 4. = = 6. = 7. = = = = 7 + = wiczenie.. Rozwi za równania w zale»no±ci od parametrów m n m m =. (m + ) + m =. m + = 4. + = m 5. m + = 6. + m = m 7. m + = m 8. = m 9. m + = n + n 0. ( + m) = ( + n). wiczenie.. Niech m R b dzie parametrem. Rozwi za nierówno±ci < > 4. < ( + ) 8 + < < < 8. + < 5 9. < < < > > m 8. < m 9. (m + ) + 4 < ( m) wiczenie.4. Poda przykªad równania którego rozwi zaniem s jedynie liczby = 5. = = 5. = a = b = c gdzie a b c R 4. naturalne 5. wszystkie liczby rzeczywiste. wiczenie.5. Dla jakich warto±ci parametru m rozwi zaniem ukªadu równa«{ + y = my = m jest para liczb dodatnich?. { + 4y 5m + 7 = 0 4y m = 0 znakach? jest para liczb rzeczywistych o ró»nych

4 wiczenie.6. Narysowa wykresy funkcji oraz okre±li ich dziedziny f() = +. f() =. f() = 4. f() = 5. f() = f() = + 7. f() = + m gdzie m R 8. f() = m gdzie m R 9. f() = m gdzie m R 0. f() = m gdzie m R { k dla [k k + f() = ) (k + ) dla [k + k + ) gdzie k Z. wiczenie.7. Narysowa wykresy funkcji f() = [] R. f() = [ ] R. f() = [] R. wiczenie.8. Narysowa wykres funkcji f() = oraz przeprowadzi dyskusj liczby rozwi za«równania f() = m w zale»no±ci od parametru m. wiczenie.9. Narysowa wykres funkcji f() = Jak nale»y dobra parametr n aby równanie g() = nie miaªo rozwi za«je»eli g() = f() + n. wiczenie.0. Narysowa wykres funkcji f() = Jak nale»y dobra parametr m aby funkcja g() = f() + m nie miaªa miejsc zerowych. wiczenie. Rozwi za ukªad nierówno±ci 4 Funkcje trygonometryczne I + wiczenie 4. Sprawdzi to»samo±ci trygonometryczne +. cos cos sin sin = tg. sin +cos cos +cos = tg. wiczenie 4.. Rozwi za równania cos = cos. sin + cos =. sin + cos = 0 4. sin + sin + sin = 0 5. tg + ctg = 4 sin. 6. tg ( π 4 ) + tg = 0 7. sin sin = cos 8. sin (a + b) = 0. wiczenie 4.. Rozwi za nierówno±ci sin >. cos <. sin > 4. cos + tg < + sin 5. ctg ( + ) > 0 6. sin < 4 7. cos 4 8. cos +sin cos < 0 [0 π] 9. sin < cos 0. cos ( + a) > 4

5 wiczenie 4.4. Sporz dzi wykresy funkcji oraz okre±li ich dziedziny f() = sin. f() = sin. f() = sin 4. f() = cos 5. f() = tg 6. f() = ctg 7. f() = a cos 8. f() = sin(a) 9. f() = tg( + a). wiczenie 4.5. Dla jakich k Z równanie sin = k k 4 ma rozwi znie? wiczenie 4.6. Obliczy sin je»eli ctg = 8 5 oraz ( π π).. Obliczy cos je»eli tg = oraz ( π π).. Obliczy cos i tg je»eli sin = oraz ( 7 π 4π). 4. Obliczy sin i ctg je»eli cos = oraz ( π π). 5. Obliczy tg je»eli sin = 5 oraz ( 4 π π). 6. Obliczy cos i tg je»eli ctg = oraz ( π π). wiczenie 4.7. Obliczy tg 4 o tg 4 o... tg 49 o. cos 0 o cos 40 o cos 80 o. cos 6 o. 5 Funkcja kwadratowa wiczenie 5. Wyznaczy wzory na pierwiastki równania a + b + c = 0. Wyznaczy wzór na wspóªrz dne wierzchoªka paraboli y = a + b + c. wiczenie 5.. Niech m R b d parametrami. Rozwi za równania =. 6 7 = 0. 9 = = = 0 6. m = m + = 0 8. (m 4) 4 m + = 0 9. (m )+m+ = 0. wiczenie 5.. Niech m R b dzie parametrem. Rozwi za nierówno±ci 4 < m + + > m + > m > 0 6. (m ) +(m )+ > 0. wiczenie 5.4. Niech f() = (m + 4m 5) (m ) + R. Wyznaczy wszystkie warto±ci parametru m dla których funkcja f przyjmuje warto±ci dodatnie dla ka»dego R. wiczenie 5.5. Dla jakich warto±ci parametru m ukªad równa«{ 4 + y = 0 m y + = 0 ma dokªadnie jedno rozwi zanie? Poda interpretacj geometryczn problemu. wiczenie 5.6. Funkcja kwadratowa y = a + b + c ma dokªadnie jedno miejsce zerowe i do jej wykresu nale» punkty A = (0 ) oraz B = ( 9). Wyznaczy a b c oraz poda ilustracj graczn rozwi zania zadania. wiczenie 5.7. Dane jest równanie (m 5) 4m + m = 0. W jaki sposób ilo± ró»nych rozwi za«danego równania zale»y od parametru m? 5

6 . Dla jakich warto±ci parametru m liczba zawiera si mi dzy ró»nymi pierwiastkami tego równania lub jest jednym z nich? wiczenie 5.8. Niech f() = (m ) (m + ) m R. Dla jakich warto±ci parametru m funkcja f ma dwa miejsca zerowe dodatnie a dla jakich ró»nych znaków? Okre±li zbiór rozwi za«nierówno±ci f() < 0 w zale»no±ci od parametru m. wiczenie 5.9. Dla jakich warto±ci parametru m pierwiastki rzeczywiste równania speªniaj warunek m + m + m + = 0 wiczenie 5.0. Zbada dla jakich warto±ci parametru m równanie (m ) 4 (m + ) + = 0 ma cztery ró»ne pierwiastki? wiczenie 5. Dla jakich warto±ci parametru m nierówno± jest speªniona dla ka»dego R. (m ) + (m ) + > 0 wiczenie 5. Niech b d pierwiastkami równania + = 0 oraz niech n = +. Dla jakich warto±ci parametru m nierówno± jest speªniona przez ka»d liczb rzeczywist? + (m + n) + m + n wiczenie 5.. Wykaza»e dla dowolnej liczby R zachodzi nierówno± wiczenie 5.4. Narysowa wykres funkcji f : R R +. f() = 4. f() = 4. f() = 4. f() = + 5. f() = ( + ) 6. f() = + m m R 7. f() = ( + m) m R 8. f() = m m R. wiczenie 5.5. Niech f() = g() = + 8 R. Narysowa wykres funkcji h() = ma (f() g()) R. wiczenie 5.6. Narysowa wykres funkcji f() = oraz okre±li ilo± ró»nych rozwi za«równania f() = m w zale»no±ci od parametru m. wiczenie 5.7. Poda przykªad funkcji kwadratowej której wykresem jest parabola przechodz ca przez punkt ( ) o wierzchoªku w punkcie ( ). przechodz ca przez punkt ( ) o wierzchoªku w punkcie ( ). przechodz ca przez punkty ( ) (4 0) ( ) 4. przechodz ca przez punkty ( ) ( ). wiczenie 5.8. Poda przykªad równania kwadratowego którego rozwi zaniem s jedynie liczby = =. = 5. = 7 4. = m + = m + m R. wiczenie 5.9. Poda przykªad równania kwadratowego które nie posiada rozwi za«. 6

7 wiczenie 5.0. Poda przykªad nierówno±ci kwadratowej której zbiorem rozwi za«jest zbiór pusty. [ ]. ( ] [ + ). 6 Wielomiany wiczenie 6. Liczba - jest pierwiastkiem wielomianu W () = Okre±li krotno± tego pierwiastka oraz wyznaczy pozostaªe pierwiastki wielomianu W. wiczenie 6.. Liczba - jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu W () = Wyznaczy pozostaªe pierwiastki wielomianu W. wiczenie 6.. Rozwi za równania i nierówno±ci = = = = ( ) 4 ( + ) ( ) 0 6. ( + 6) ( ) ( 9) 0 7. ( )(4 ) > 0 8. < ( + ) ( 5)( + ) < 0. wiczenie 6.4. Wyznaczy warto±ci parametru m dla których wielomian ma cztery pierwiastki rzeczywiste ró»ne od zera. W () = (m ) 4 (m + ) + m wiczenie 6.5. Rozwi za równanie a + b + c + d = 0 wiedz c»e wspóªczynniki a b c d w podanej kolejno±ci tworz ci g geometryczny o ilorazie q =. wiczenie 6.6. Wyznaczy a b c tak aby wielomian W () = a + b + c byª podzielny przez a przy dzieleniu przez + dawaª reszt -80. wiczenie 6.7. Wielomian Q() = p + q + daje przy dzieleniu przez wielomian P () = + reszt R() = + Wyznaczy wspóªczynniki p oraz q. wiczenie 6.8. Przy dzieleniu wielomianu W () stopnia n > przez otrzymujemy reszt natomiast przy dzieleniu W () przez reszt Ile wynosi reszta przy dzieleniu tego wielomianu przez ( )( )? wiczenie 6.9. Wielomian Q() = (k + m) (k m) + jest podzielny przez dwumiany oraz. Rozwi za nierówno± Q() < 0. wiczenie 6.0. Dla jakich warto±ci a b c liczba jest potrójnym pierwiastkiem równania 4 +a + b + c = 0? wiczenie 6. Dany jest wielomian Q() = + a b 6. Liczby oraz s pierwiastkami tego wielomianu. Wyznaczy wspóªczynniki a b oraz rozwi za nierówno± ( 4 + 5) Q() 0. wiczenie 6. Wielomiany W () = a( )( ) + b( )( ) + c( )( ) oraz G() = s równe. Wyznaczy liczby a b c. wiczenie 6.. Dla jakich warto±ci p oraz q równanie + p + q = 0 ma trzy pierwiastki takie»e = = + 6? wiczenie 6.4. Rozªo»y na czynniki wielomian postaci W () = 4 + R. 7

8 7 I kolokwium odb dzie si w dniach Funkcje wymierne wiczenie 8. Rozwi za równania z niewiadom. Przeprowadzi dyskusj istnienia rozwi za«i ich liczby w zale»no±ci od warto±ci parametru a = = = 6 ( + ) a + a = a 9a. wiczenie 8.. Niech m R b dzie parametrem. Rozwi za nierówno±ci 5 < < < 4. < + < 5. 0 < + < wiczenie 8.. Dla jakich warto±ci parametru m zbiorem rozwi za«nierówno±ci jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych? < + m + < 7. + m <. m ( + ) > +. wiczenie 8.4. Dobra liczby a b tak aby dla ka»dego R \ { } zachodziªa równo± + 5 = a + b ( + ). wiczenie 8.5. Naszkicowa wykresy funkcji oraz okre±li ich dziedziny f() = +. h() = + 6. s() =. g() = + 9 Funkcje pierwiastkowe 4. k() = 5. r() = wiczenie 9. Rozwi za równania niewymierne 7. t() = a 8. w() = a. + + = = = = 5. + a = = = = (6 ) 9. = = 8

9 wiczenie 9.. Rozwi za nierówno±ci pierwiastkowe 4. + > 8. > ( + 4)( ) < > < ( ) + 4 < wiczenie 9.. Niech m R b dzie parametrem rozwi za 4 m + = m > 5 m. wiczenie 9.4. Narysowa wykresy funkcji oraz okre±li ich dziedziny f() = [ ].. f() = +. f() = 0 Funkcje wykªadnicze 4. f() = + 5. f() = + 6. f() = 7. f() = [ ] 8. f() = [ ]. wiczenie 0. Rozwi za równania 5 5 = = ( + ) = = 0. + = = 0 9. [ ( ) ] + = 4 0. = = 0 8. ( ) + = a = 0. wiczenie 0.. Rozwi za nierówno±ci < + <. >. ( ) ( ) 4. + < 5. ( ) 6 + < ( ) 6. < wiczenie 0.. Punkt o wspóªrz dnych ( 6) nale»y do wykresu funkcji wykªadniczej f. Rozwi za nierówno± f() 6. wiczenie 0.4. Sporz dzi wykresy funkcji f() =. f() = +. f() = 4. f() = wiczenie 0.5. Dla jakich warto±ci parametru m równanie ma dwa pierwiastki ró»nych znaków? 5. f() = ( ) + 6. f() = [ ] ( m ) ( 4 m m ) = 0 wiczenie 0.6. Dla jakich warto±ci parametru m równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste? 4 + (m ) + 4 = 0 7. f() = [ ]. wiczenie 0.7. Dane s funkcje f oraz f okre±lone wzorami f () = f () = Rozwi za równanie f ( ) = f ( ). 9

10 wiczenie 0.8. Rozwi za ukªady równa«{ y = 0 +y = 8. { y = y = 8. wiczenie 0.9. Obliczy trzeci wyraz ci gu geometrycznego postaci... wiedz c»e = 0 oraz 7 = 4. wiczenie 0.0. Rozwi za równanie n = n N. wiczenie 0. Jakie warunki powinien speªnia parametr m aby pierwiastki równania 5 (+) 5 m(m ) = 5 5 m+m+ speªniaªy nierówno± + > 0. Funkcje logarytmiczne wiczenie Obliczy log 8. log 7. log log 00. wiczenie. Rozwi za równania +log + 5 log =. log 8 + log 4 = + log. log (9 ) = 4. log( ) log(4 ) = log(5 ) 5. log log + = log log 4 log log = 0 7. log = log 6 + log 4 + log = 7 9. (log )(log 5) = log log( + ) = log 5 + log 6 log = (log 5) log + log ( ) = log 0 + log ( + ). 6 log 6 + log 6 = 4. log a +a = 5. log a + log a = 6. log a (a) log (a) = log a a. wiczenie. Wyznaczy zbiory okre±lono±ci funkcji zdeniowanych poni»szymi wzorami f() = log ( ). f() = log log( ) log( ). f() = ( ) log ( ). Funkcje logarytmiczne wiczenie Rozwi za nierówno±ci log (log 4 ( + )) > 0. log () > 0. log ( 5+7) < 4. log (+) < 5. log () log () > log (4) 6. log > log 7. log ( log ) log (log ( )) ( 8. log ) log ( ) ( 4) 9. log + 0

11 0. log a ( + ) > log a < a log a >. log(a) > log( + ) 4. ( + log a) + log a + > 0. wiczenie. Sporz dzi wykresy funkcji f() = log > 0. f() = log ( ) <. f() = log 4. f() = log > 0 5. f() = log (log ) > 6. f() = log > f() = log log > 0 8. f() = log log 0 { } 9. f() = log > 0 0. f() = log R f() = [log ] > 0. wiczenie. Dla jakich warto±ci parametru m równanie + + log m = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste których suma odwrotno±ci jest mniejsza od? wiczenie 4. Dla jakich warto±ci parametru m równanie log m = log( + ) ma dokªadnie jedno rozwi zanie? Funkcje trygonometryczne wiczenie. Sprawdzi to»samo± trygonometryczn sin 6 + cos 6 = 4 sin. wiczenie.. Rozwi za równania cos =. log sin 4 =. cos sin = 4. sin cos = wiczenie.. Rozwi za nierówno±ci cos <. cos( ) >. sin < 4. tg( + 5) > 5. cos ctg 0 6. cos cos < (0 π) 7. tg + > 8. sin > a 9. cos < a 0. tg > a ctg < a sin cos cos sin 4. cos cos sin [0 π].

12 wiczenie.4. Sporz dzi wykresy funkcji oraz okre±li ich dziedziny f() = sin. f() = arccos(cos ). f() = cos(arccos ) 4. f() = arctg(tg ) 5. f() = tg(arctg ). wiczenie.5. Upro±ci wyra»enie sin α( + ctg α) + cos α( + tg α). wiczenie.6. Dla jakich warto±ci α [0 π] równanie ma dwa ró»ne pierwiastki rzeczywiste? sin α + + cos α = 0 wiczenie.7. Niech f(a) oznacza liczb pierwiastków rzeczywistych równania 4 sin a + = 0 gdzie a [0 π] jest parametrem. Funkcj f zapisa wzorem i narysowa jej wykres. wiczenie.8. Dla jakich warto±ci parametru α R równanie + (sin α + cos α) + sin α = 0 4 ma dwa pierwiastki rzeczywiste o tych samych znakach? 4 Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej wiczenie 4. Korzystaj c z denicji sprawdzi czy podane funkcje s monotoniczne na wskazanych zbiorach f() = R;. g() = (0 );. h() = + 4 [ ); 4. r() = 4 [ ). wiczenie 4.. Okre±li (o ile jest to mo»liwe) funkcje zªo»one f f f g g f g g je»eli f() = g() = ;. f() = g() = ;. f() = g() = ; 4. f() = log g() = ; 5. f() = g() = log ; 6. f() = g() = 4 ; 7. f() = + cos g() =. wiczenie 4.. Sprawdzi na podstawie denicji czy podane funkcje s ró»nowarto±ciowe na wskazanych zbiorach f() = ( ];. h() = + R;. g() = + R \ { } ; 4. r() = 4 [0 ). wiczenie 4.4. Znale¹ funkcje odwrotne do podanych f() = ;. g() = log 5 ;. h() = + + 7; 4. u() = 4.

13 wiczenie 4.5. Zbada parzysto± nast pujacych funkcji f() = sin + cos ;. g() = + ;. h() = log 4. r() = log + ; ( + + ). wiczenie 4.6. Wykaza»e funkcja f() = + 0 jest funkcj nieparzyst ±ci±le rosnac na przedziale [ + ) oraz ±ci±le malej c na przedziale (0 ]. wiczenie 4.7. Wykaza»e zªo»enie dwóch funkcji ró»nowarto±ciowych jest funkcj ró»nowarto±ciow. wiczenie 4.8. Niech D b dzie niepustym podzbiorem R symetrycznym wzgl dem zera i niech f : D R. Wykaza»e f mo»na przedstawi jako sum funkcji parzystej i nieparzystej. wiczenie 4.9. Wykaza»e iloczyn dwóch funkcji nieparzystych lub parzystych jest funkcj parzyst. iloczyn funkcji nieparzystej i parzystej jest funkcja parzyst. suma dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcja parzyst (nieparzyst ). wiczenie 4.0. Niech f : D R g : G R gdzie f(d) G. Wykaza»e je»eli funkcje f g s jednocze±nie rosn ce lub jednocze±nie malej ce to g f jest funkcj rosnac ;. je»eli f jest rosn ca za± g malej ca to g f jest funkcj malej c ;. je»eli f jest malej ca za± g rosn ca to g f jest funkcj malejac. 5 II kolokwium odb dzie si w dniach Poprawa I i II kolokwium odb dzie si w dniach