1 Funkcje i ich granice

Transkrypt

1 Funkcje i ich granice Byªo: Zbiór argumentów; zbiór warto±ci; monotoniczno± ; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotno±ci; funkcja wykªadnicza i logarytmiczna.. Funkcja wykªadnicza kilka dopowiedze«.. Warto± funkcji wykªadniczej dla argumentów niewymiernych Mówi c o funkcji wykªadniczej a x, wykªadowca prze±lizgn ª si nad problemem denicji tej»e dla x niewymiernych (byªo konsekwentnie powiedziane jedynie, jak si liczy warto± a x dla x Q). Teraz b dzie o tym dopowiedzenie. "Szkolny" sposób wprowadzenia pot gi a x dla x niewymiernych polegaª zazwyczaj na zdeniowaniu a x jako granicy n a r n, gdzie {r n } byª jakim± ci giem monotonicznym liczb wymiernych zbie»nym do x (np. ci giem przybli»e«dziesi tnych x). W wykªadzie szkolnym zazwyczaj nie dowodziªo si istnienia granicy tego ci gu, poprzestaj c na argumentach intuicyjnych. Uzbrojeni w twierdzenia o granicach ci gów, mo»emy ªatwo pokaza istnienie granicy n a r n : Otó» je±li {r n } jest ci giem monotonicznym, to taki jest te» ci g a r n ; jest to ponadto ci g ograniczony, wi c zbie»ny... Funkcja wykªadnicza o podstawie e Okazuje si dogodne (z przyczyn, które stan si jasne niedªugo) wzi w denicji funkcji wykªadniczej a = e. Funkcja odwrotna do e x, tzn. log e x, nazywa si logarytmem naturalnym.. Granica funkcji w punkcie Denicja ( Heinego). Liczb g nazywamy granic funkcji f w punkcie a (co oznaczamy: x a f(x) = g) je»eli dla ka»dego ci gu {x n } zbie»nego do a i o wyrazach ró»nych od a zachodzi równo± : n f(x n) = g () Przykª. x 0 (x ) = 0. We¹my bowiem dowolny ci g {x n } zbie»ny do zera; mamy: (x n n) ( ) = x n n = 0. Wprowadzono je w XVII w., a pierwsi zrobili to Napier i Bernoulli.

2 Przykª. Rozwa»my funkcj sgn(x), deniowan jako sgn(x) = + dla x > 0 0 dla x = 0 dla x < 0 () Funkcja sgn(x) nie posiada granicy w punkcie x = 0. We¹my bowiem: x n = n ; mamy x n n = 0 oraz n sgn(x n ) =. We¹my teraz drugi ci g x n = n ; mamy n x n = 0 oraz n sgn(x n) =, tak wi c sgn(x) nie istnieje. x 0 Mo»na jednak mówi tu o granicy jednostronnej w punkcie 0. Denicja Liczb g nazywamy granic lewostronn (prawostronn ) funkcji f w punkcie a, je±li warunki: n x n = a i x n < a (odpowiednio x n > a) implikuj n f(x n ) = g. Sytuacje te oznaczamy symbolami: f(x) = g granica lewostronna i f(x) = g x a x a + granica prawostronna. (3) W ten sposób, mamy Przykª. (c.d.) x 0 sgn(x) = i x 0+ sgn(x) = +. Symbolu x a f(x) u»ywamy równie» na oznaczenie granicy niewªa±ciwej: Przykª. Mamy: x = ; natomiast Przykª. x 0 x x 0 Przykª. Podobnie: x π nie istnieje; natomiast: x 0 x = i x 0 + x = +. tg(x) nie istnieje; natomiast: tg(x) = i tg(x) = +. x ( π ) x ( π ) + Istniej jednak funkcje, które nie posiadaj nawet jednostronnych granic (wªa±ciwych, ani niewªa±ciwych). Nale»y do nich np. funkcja: ( f(x) = sin x) x 0.

3 W punkcie x = 0 nie posiada ona jednostronnej granicy (ani lewo-, ani prawostronnej). Aby pokaza nieistnienie granicy prawostronnej, we¹my dwa ci gi o wyrazach dodatnich: {x n } = (4n+)π, {x n} = (4n+3)π. Oba ci gi s zbie»ne do zera. Mamy ( ) f(x n ) = sin xn = sin ( (4n + )π = sin πn + π ) = + i podobnie f(x n) = sin ( x = sin πn + 3π ) = n Widzimy,»e nie istnieje granica prawostronna w zerze (podobnie przekonujemy si,»e nie istnieje te» granica lewostronna). Prócz granicy funkcji dla sko«czonego a, rozwa»amy te» granic w niesko«czono±ci. Denicja 3 Mówimy,»e granic funkcji f(x) w niesko«czono±ci jest liczba g (ozn. x f(x) = g), je»eli dla ka»dego ci gu {x n } takiego,»e n x = zachodzi: n f(x n ) = g. Przykª. Mamy: x x = 0, x ex =, x ex = 0. (4) Przykª. Funkcje trygonometryczne: sin x, cos x, tg x nie posiadaj granic w ±..3 Dziaªania na granicach Twierdzenie Przy zaªo»eniu,»e granice x a f(x) i sko«czone, zachodz wzory: x a g(x) istniej i s [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x); (5) x a x a x a [f(x) g(x)] = f(x) g(x); (6) x a x a x a [f(x)g(x)] = g(x); (7) x a x a f(x) x a f(x) x a g(x) = f(x) x a g(x), je»eli g(x) 0. (8) x a x a Wzory te pozostaj te» prawdziwe, je±li a jest ±, jak te» s prawdziwe dla granic jednostronnych. 3

4 Dow. Dowody s takie same jak dla granic ci gów z poprzedniego rozdziaªu. Mamy te» analogony innych twierdze«dla granic ci gów: Twierdzenie Je±li granice x a f(x) i x a g(x) istniej, to nierówno± f(x) g(x) implikuje x a f(x) x a g(x); (9) nierówno±ci f(x) h(x) g(x) wraz z równo±ci x a f(x) = x a g(x) implikuj x a f(x) = x a h(x) = x a g(x). (0) Jak poprzednio, wzory te s te» prawdziwe dla a = ± oraz dla granic jednostronnych. Dowody s analogiczne jak w przypadu granic ci gów..4 Kilka warunków dostatecznych istnienia granicy Najsampierw przenie±my denicj ci gu ograniczonego na funkcje: Denicja 4 Mówimy,»e funkcja f(x) jest ograniczona z góry (doªu), je»eli istnieje taka staªa M,»e dla ka»dego x z dziedziny zachodzi: f(x) < M (odpowiednio f(x) > M). W±ród ró»nych analogonów na istnienie granic ci gów i funkcji, mamy nast puj cy odpowiednik twierdzenia o zbie»no±ci ci gów monotonicznych ograniczonych: Twierdzenie 3 Je±li funkcja jest niemalej ca i ograniczona z góry, to istnieje granica x a f(x) dla dowolnego a. Uwaga. Niezb dne jest tu zaªo»enie o monotoniczno±ci funkcji. Dla funkcji niemonotonicznych twierdzenie to nie zachodzi przypomnijmy sobie przykªad funkcji f(x) = sin x. Dow. Ci g { a } { ( )} n jest rosn cy, a st d ci g f a n jest niemalej - cy; a poniewa» jest te» ograniczony (bo f ograniczona), to jest zbie»ny. Oznaczmy jego granic przez g: (a f ) = g. n n 4

5 Pozostaje pokaza,»e przy narzuceniu warunków: n x n = a oraz x n < a zachodzi n f(x n) = g. We¹my jakie± ɛ > 0. Istnieje wówczas N takie,»e g f ( a ) N < ɛ. Maj c to N bierzemy takie k,»eby dla n > k zachodziªa nierówno± a N < x n. St d ( f a ) < f(x n ), N sk d g f(x n ) < g f ( a ) < ɛ. () N n Jednocze±nie: Poniewa» x n a, to dla ka»dego n istnieje r n N (wska¹nik) takie,»e x n < a r n. Mamy st d f(x n ) < f (a ) g = g f(x n ) > 0. () rn Z obu nierówno±ci: () i () mamy: ɛ < 0 < g f(x n ) < ɛ = g f(x n ) < ɛ = n f(x n ) = g. W analogiczny sposób dowodzi si twierdze«dla funkcji nierosn cych oraz dla granic prawostronnych. Mo»na to podsumowa jako Twierdzenie 4 Je±li funkcja jest nierosn ca lub niemalej ca i ograniczona, to granice granica x a ± f(x) istniej w ka»dym punkcie a. Dla a = ±, istnieje f(x) x ± Uwaga. Twierdzenie to mówi jedynie o granicach jednostronnych. Nie mówi nic o granicach zwykªych (dwustronnych), które mog nie istnie p. przykªad z funkcj sgn. Zachodzi te» twierdzenie w pewnym sensie odwrotne do powy»szego: Twierdzenie 5 Je±li funkcja f nie posiada granicy sko«czonej w punkcie a, to istnieje ci g {x n } rozbie»ny. taki,»e x n a, n x n = a oraz ci g {f(x n )} jest 5

6 Dow. Przypu± my,»e przeciwnie: Dla ka»dego ci gu {x n } o powy»szych wªasno±ciach (tzn. x n a, n x = a) ci g {f(x n )} jest zbie»ny. Poniewa» funkcja f z zaªo»enia nie posiada granicy w punkcie a, wi c musz istnie dwa ci gi {x n } i {x n} o powy»szych wªasno±ciach i takie,»e f(x n n) n f(x n). Rozpatrzmy ci g: x, x, x, x,..., x n, x n,.... Ci g ten jest zbie»ny do a, wszystkie jego wyrazy s ró»ne od a, a zarazem ci g f(x ), f(x ), f(x ), f(x ),..., f(x n ), f(x n),... jest rozbie»ny. Sprzeczno±. Prócz denicji Heinego, jest jeszcze jedna, inna ale równowa»na, i równie wa»na, denicja Cauchy'ego. Denicja 5 Mówimy,»e funkcja f posiada w punkcie a granic g, je»eli ɛ>0 δ>0 x:0< x a <δ : f(x) g < ɛ. Przykª. Raz jeszcze, z def. Cauchy'ego: Nieistnienie w x = 0 granicy funkcji sgn oraz sin ( ) x ; funkcja f(x) = x ma w x = 0 granic 0. A oto obiecana równowa»no± : Twierdzenie 6 Obie denicje granicy funkcji w punkcie: Cauchy'ego i Heinego s równowa»ne. Tzn. je±li funkcja w jakim± punkcie ma granic g w my±l def. Cauchy'ego, to ma j te» równ g zgodnie z def. Heinego i na odwrót; a je±li nie ma w my±l def. Cauchy'ego to nie ma te» z def. Heinego i na odwrót. Dow. Przypu± my najsampierw,»e warunek Cauchy'ego nie jest speªniony, tzn. ɛ>0 δ>0 x:0< x a <δ : f(x) g ɛ. W szczególno±ci, bior c δ = n, wnioskujemy,»e istnieje ci g {x n} taki,»e 0 < x n a < n (3) oraz f(x n ) g ɛ. (4) Warunek (3) mówi,»e n x n = a oraz x n a. Gdyby wi c przypu±ci,»e x a f(x) = g, to musiaªaby by speªniona równo± n f(x n ) = g; ale ta równo± jest sprzeczna z (4). Pokazali±my w ten sposób,»e warunek Cauchy'ego jest konieczny, aby funkcja posiadaªa granic w my±l denicji Heinego. 6

7 Teraz poka»emy,»e jest on równie» warunkiem wystarczaj cym. Niech b dzie dane ɛ > 0 i niech n x n = a oraz x n a. Poniewa» z zaªo»enia warunek Cauchy'ego jest speªniony, to istnieje δ > 0 takie,»e nierówno± : 0 < x n a < δ implikuje f(x n ) g < ɛ. Poniewa» speªniona jest równo± n x n = a, to nierówno± x n a < δ zachodzi dla wszystkich dostatecznie du»ych n (tzn. pocz wszy od pewnego M N). Dla tych n mamy wi c nierówno± f(x n ) g < ɛ, a to znaczy,»e n f(x n ) = g czyli f(x) = g. x a W teorii ci gów mieli±my warunek Cauchy'ego dla ci gów, którego speªnienie gwarantowaªo zbie»no± ci gu. Przy granicy funkcji mamy analogiczne twierdzenie. Twierdzenie 7 Warunkiem koniecznym i dostatecznym na istnienie (sko«- czonej) granicy funkcji f w punkcie a jest, aby dla dowolnego ɛ > 0 istniaªo takie δ > 0,»e dla x, x speªniaj cych: zachodzi: f(x) f(x ) < ɛ. 0 < x a < δ, 0 < x a < δ (5) Dow. Poka»emy najsampierw konieczno± tego warunku. Je±li x a f(x) = g, to dla dowolnego zadanego ɛ > 0 istnieje takie δ > 0,»e warunek: 0 < x a < δ implikuje f(x) g < ɛ. Je±li wi c warunki (5) s speªnione, to zachodz nierówno±ci: f(x) g < ɛ i f(x ) g < ɛ, i po dodaniu tych»e pod znakiem warto±ci bezwzgl dnej otrzymujemy f(x) f(x ) < ɛ. Je±li chodzi o dostateczno± warunku, to przypu± my,»e granica funkcji f w punkcie a nie istnieje, mimo i» s speªnione zaªo»enia tw. 7 Istnieje wówczas na mocy tw. 5 taki ci g {x n },»e n x n = a, x n a oraz»e ci g {f(x n )} jest rozbie»ny. Z równo±ci n x n = a wynika,»e istnieje takie k,»e dla n k mo»na w nierówno±ciach (5) podstawi x = x n i x = x k. To implikuje,»e f(x n ) f(x k ) < ɛ. Z twierdzenia Cauchy'ego dla ci gów wnioskujemy st d,»e ci g {f(x n )} jest zbie»ny wbrew naszemu przypuszczeniu. Powy»sze twierdzenia 6 i 7 daj si rozszerzy na przypadek a =. Brzmi one wtedy nast puj co: 7

8 Twierdzenie 8 Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby zachodziªa równo± x f(x) = g jest, aby ɛ>0 r x>r : f(x) g < ɛ. Twierdzenie 9 Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby istniaªa granica (sko«czona) x f(x), jest, aby ɛ>0 r x,x >r : f(x) f(x ) < ɛ. Dow. Dowody s analogiczne jak twierdze«6 i 7. Funkcje ci gªe Denicja 6 Mówimy,»e funkcja f jest ci gªa w punkcie a, je±li speªniony jest warunek f(x) = f(a). (6) x a Przypominaj c sobie denicj granicy funkcji f w punkcie a mo»na wi c powiedzie,»e dla funkcji f ci gªej w punkcie a mamy: Dla dowolnego ci gu {x n } takiego,»e n x n = a zachodzi f( n x n ) = n f(x n ). (7) Je±li w równo±ci (6) zast pic granic przez granic jednostronn, to otrzymamy denicj ci gªo±ci jednostronnej: Denicja 7 Mówimy,»e funkcja f jest prawostronnie (lewostronnie) ci gªa w punkcie a, je±li f(x) = f(a) x a + ( f(x) = f(a) x a Je±li funkcja f jst okre±lona nie dla wszystkich x, dla których okre±lona jest granica, to w powy»szych denicjach ograniczamy zakres zmienno±ci x do zbioru argumentów funkcji. I tak np. je±li f jest okre±lona na odcinku domkni tym [a, b], to ci gªo± f w punkcie a oznacza jedynie jej ci gªo± prawostronn, ci gªo± w punkcie b ci gªo± lewostronn. ) 8

9 Denicja 8 Funkcj ci gª dla ka»dej warto±ci argumentu ze zbioru X nazywamy funkcj ci gª na X. I tak np. mówi c,»e funkcja f jest ci gªa na odcinku domkni tym [a, b] mamy na my±li,»e jest prawostronnie ci gªa w punkcie a, lewostronnie ci gªa w punkcie b oraz obustronnie ci gªa w punktach wewn trznych odcinka [a, b]. Denicja 9 Mówimy,»e funkcja f jest przedziaªami ci gªa na odcinku [a, b], je±li ten odcinek mo»na podzieli za pomoc sko«czonego ukªadu punktów a 0, a, a,..., a n gdzie a = a 0 < a < a < a n = b na podprzedziaªy [a k, a k ] (k =,,..., n) w taki sposób,»e wewn trz ka»- dego przedziaªu funkcja f jest ci gªa i istniej granice jednostronne f(x) x a k,+ i f(x). x a k, Innymi sªowy, funkcja posiadaj ca sko«czon ilo± punktów nieci gªo±ci, w których istniej obie granice jednostronne, jest funkcj przedziaªami ci gª. Przykªady.. Pokazali±my niedawno,»e x 0 x = 0. Znaczy to,»e funkcja f(x) = x jest ci gªa w punkcie x = 0 (jest te» ci gªa na caªym zbiorze R, co niedªugo poka»emy).. Funkcja f(x) = [x] (wykres) jest nieci gªa w punktach caªkowitych. Dokªadniej, w tych punktach jest ci gªa prawostronnie, lecz nie lewostronnie. Poniewa» jednak granice lewostronne istniej, to jest przedziaªami ci gªa na dowolnym odcinku sko«czonym. 3. Funkcja f(x) = sin ( ) x ma nieokre±lon warto± w punkcie x = 0. Dookre±lmy j tam, deniuj c: f(0) = 0. Nawet tak dookre±lona funkcja jest nieci gªa w x = 0, poniewa» nie istniej granice (lewo- ani prawostronne) w tym punkcie. 4. Funkcja Dirichleta jest nieci gªa w ka»dym punkcie.. Warunek ci gªo±ci Cauchy'ego Twierdzenie poni»ej mo»e by przyj te jako denicja ci gªo±ci funkcji (denicja Cauchy'ego) Jest ona równowa»na denicji Heinego. Ta równowa»no± jest konsekwencj twierdzenia o równowa»no±ci warunków istnienia granic funkcji: Cauchy'ego i Heinego. 9

10 Twierdzenie 0 Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby funkcja f byªa ci gªa w punkcie a, jest, aby ɛ>0 δ>0 x: x a <δ f(x) f(a) < ɛ. Mo»na to wyrazi bardziej obrazowo mówi c,»e dostatecznie maªym przyrostom zmiennej niezale»nej odpowiadaj tak maªe, jak tylko si chce, przyrosty warto±ci funkcji. Mo»na to zapisa nast puj co (po ostatnim kwantykatorze w wyra»eniu powy»ej): Warunek h < δ implikuje: f(a + h) f(a) < ɛ. Rys. Jeszcze inaczej: Funkcja f jest ci gªa w punkcie a, je»eli (f(x) f(a)) = (f(a + h) f(a)) = 0. (8) x a h 0 Uwaga. Ci gªo± funkcji w punkcie jest wªasno±ci lokaln : Aby zbada, czy funkcja jest ci gªa w punkcie a, wystarczy zna zna t funkcj w dowolnie maªym otoczeniu a.. Ci gªo± funkcji elementarnych Z wzorów na dziaªania na granicach funkcji wynika od razu,»e dziaªania arytmetyczne wykonywane na funkcjach ci gªych daj w wyniku funkcje ci - gªe. Innymi sªowy: Je±li funkcje f, g s ci gªe w punkcie a, to ich suma, ró»nica, iloczyn, iloraz (je±li g(a) 0) s równie» ci gªe w punkcie a. Zróbmy teraz maªy katalog funkcji ci gªych: Funkcja staªa f(x) = const. i funkcja f(x) = x s funkcjami ci gªymi w dowolnym punkcie x R, co wida od razu z denicji. St d oraz z twierdzenia o ci gªo±ci iloczynu i sumy funkcji ci gªych wynika,»e wielomiany s funkcjami ci gªymi. St d oraz z twierdzenia o ci gªo±ci ilorazu funkcji ci gªych wynika,»e s funkcjami ci gªymi w tych punktach, gdzie Q(x) 0. Ci gªo± funkcji wykªadniczej a x, a > 0. Najsampierw poka»emy,»e funkcje wymierne f(x) = P (x) Q(x) x 0 ax =. Pami tamy bowiem granic dla ci gów: a n n =. 0

11 St d wynika,»e równie» n a n = n a n =. Dlatego te», dla dowolnego ɛ > 0 mo»na znale¹ wska¹nik N taki,»e (dla a > ) ɛ < a N < a N < + ɛ Je»eli teraz we¹miemy takie x,»e x < N, (czyli N < x < N ), to mamy a N < a x < a N sk d ɛ < a x < + ɛ = a x < ɛ a to oznacza,»e a x =. x 0 Teraz! We¹my dowolne x. Mamy: a x+h a x = a x (a h ) oraz a h =, h 0 sk d h 0 (ax+h a x ) = 0, co zgodnie z wersj warunku ci gªo±ci (8) oznacza,»e funkcja a x jest ci gªa w dowolnym punkcie x R. Ci gªo± funkcji trygonometrycznych. Przypominaj c sobie denicj funkcji sin x (RYS) mamy nierówno± (dla x > 0): 0 < sin x < x St d, na mocy twierdzenia o granicach trzech funkcji, wynika,»e sin x = 0 (9) x 0 (±ci±le rzecz bior c, powy»sza granica jest granic prawostronn ; ale z antysymetrii funkcji sin wynika równie» ta sama równo± dla granicy lewostronnej). Nierówno± (9) znaczy te»,»e funkcja sin x jest ci gªa w x = 0. Znaj c granic (9) ªatwo poka»emy,»e cos x =. x 0 Mamy bowiem: cos x = sin x < sin x < x, co na mocy twierdzenia o granicach trzech funkcji oznacza,»e ( cos x) = 0. Mamy te» w ten x 0 sposób ustanowion ci gªo± funkcji cos x w zerze. Teraz poka»emy,»e funkcje: sin x i cos x s wsz dzie ci gªe, korzystaj c tu z warunku (8).

12 Mamy bowiem: sin(x + h) sin x = sin h ( cos x + h ) (0) Mamy bowiem, dla dowolnych α i β: ( α + β sin α + sin β = sin ) ( ) α β cos. () Poka»my ten wzór, wykorzystuj c znany nam wzór na sinus sumy k tów: Oznaczmy: Wtedy: oraz sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. x = α + β, y = α β. sin x cos y + cos x sin y = sin(x + y) = sin α, sin x cos y cos x sin y = sin(x y) = sin β; dodaj c stronami obie równo±ci, mamy ( α + β sin α + sin β = sin x cos y = sin ) ( α β cos czyli wzór (). Bior c teraz α = x + h, β = x, otrzymujemy wzór (0). i, korzystaj c z nierówno±ci: sin x x oraz cos x, mamy czyli Podobnie co daje sin(x + h) sin x h = h 0 sin(x + h) sin x = 0 sin(x + h) sin x = 0. h 0 cos(x + h) cos x = sin h sin (x + h cos(x + h) cos x = 0. h 0 ) h Wniosek. Funkcja tg x = sin x cos x jest ci gªa dla x π +kπ, a ctg x dla x kπ (tu k Z). )

13 Do kompletu funkcji elementarnych trzeba by jeszcze pokaza ci gªo± logarytmu oraz funkcji cyklometrycznych (odwrotnych do funkcji trygonometrycznych). Zrobimy to za chwil, kiedy poka»emy ci gªo± funkcji odwrotnych do ci gªych. Na razie za± b dziemy potrzebowa : Twierdzenie Je±li x a f(x) = A i y A g(y) = B, to x a g(f(x)) = B. Dow. Niech n x n = a; mamy wtedy n f(x n ) = A. We¹my y n = f(x n ). Mamy n y n = A, zatem n g(y n ) = B = n g(f(x n )), a to znaczy,»e x g (f(x)) = B. Korzystaj c z tego, poka»emy,»e superpozycja (zªo»enie) dwóch funkcji ci gªych jest funkcj ci gª. Dokªadniej: Twierdzenie Je±li funkcja y = f(x) jest ci gªa w punkcie x = a, za± funkcja z = g(y) jest ci gªa w punkcie y = f(a), to funkcja g(f(x)) jest ci gªa w punkcie x = a. Dow. We¹my ci g {x n } taki,»e n x n = a. Mamy wtedy n f(x n ) = f(a). Bior c b = f(a) i y n = f(x n ) mamy n y n = b, sk d wykorzystuj c z kolei ci gªo± funkcji g: g(y n n) = g(b), tzn. n g(f(x n )) = g(f(a)). ) jest ci gªa we wszyst- Przykª. Przywoªywana tu kilkakrotnie funkcja sin ( x kich punktach poza x = 0..3 Niektóre ogólne wªasno±ci funkcji ci gªych Denicja 0 Ci gªo± jednostajna Mówimy,»e funkcja f jest ci gªa jednostajnie na zbiorze X, je±li ɛ>0 δ>0 x X x X: x x <δ : f(x) f(x ) < ɛ. () Uwaga. Zauwa»my,»e denicja ci gªo±ci zwykªej mówiªa o ci gªo±ci funkcji w punkcie, natomiast denicja ci gªo±ci jednostajnej mówi o ci gªo±ci funkcji na zbiorze. Uwaga. Porównuj c to z denicj ci gªo±ci funkcji f na zbiorze X, tzn. w ka»dym punkcie x X: x X ɛ>0 δ>0 x X: x x <δ : f(x) f(x ) < ɛ. (3) 3

14 wida nast puj ce ró»nice: W denicji ci gªo±ci zwykªej, delta mogªa zale»e od wybranego ɛ oraz x. W denicji ci gªo±ci jednostajnej, delta mo»e zale»e tylko od ɛ, musi za± by taka sama dla wszystkich x X. RYS. o co chodzi w def. ci gªo±ci jednostajnej Przykª. Rozwa»my funkcj f(x) = x na zbiorze X = [0, ] i na zbiorze X = [0, [. Na obu tych zbiorach jest oczywi±cie ci gªa w zwykªym sensie. Co do ci gªo±ci jednostajnej, to f(x) jest ci gªa jednostajnie na X (wystarczy wzi δ = ɛ 3 przy sprawdzaniu warunku ()), natomiast nie jest ci gªa jednostajnie na X. We¹my bowiem np. ɛ = i jakiekolwiek δ. Wtedy x = x + δ i mamy: f(x) f(x ) = xδ + 4 δ, co mo»na uczyni dowolnie du»ym przez odpowiedni dobór x tu wystarczy wzi x = δ. Przykª. Funkcja fx = x jest ci gªa na zbiorze X =]0, ], natomiast nie jest tam jednostajnie ci gªa. Nast puj ce twierdzenie mówi o tym,»e taka sytuacja nie mo»e si zdarzy dla funkcji ci gªych na odcinku domkni tym. Twierdzenie 3 o ci gªo±ci jednostajnej Funkcja ci gªa na odcinku domkni tym [a, b] jest te» na nim jednostajnie ci gªa. Dow. si b dzie odbywaª przez sprowadzenie do niedorzeczno±ci (tzn. przyjmijmy,»e prawdziwe jest zaprzeczenie tezy, i jako konsekwencj otrzymamy sprzeczno± ). Przyjmijmy wi c,»e istnieje ɛ > 0 takie,»e dla ka»dego δ > 0 istnieje para argumentów x, x takich»e x x < δ i f(x) f(x ) > ɛ. W szczególno±ci, bior c δ = n, wnioskujemy,»e istniej takie dwa ci gi {x n} i {x n},»e a x n b, a x n b, x n x n < n, f(x) f(x ) ɛ. (4) Poniewa» ci g {x n } jest ograniczony, zatem na podstawie tw. Bolzano- Weierstrassa zawiera podci g zbie»ny {x mn }. Oznaczmy jego granic jako c: n x mn = c. Z pierwszej z nierówno±ci (4) mamy: a c b. Funkcja f z zaªo»enia jest ci gªa wsz dzie na [a, b], wi c tak»e w punkcie c [a, b]. Mamy wi c: n f(x mn ) = f(c). Ale teraz: Rozwa»my podci g ci gu {x n}o tych samych numerach, co podci g {x mn }, tzn. {x m n }. Z trzeciej z nierówno±ci (4) wynika,»e równie» {x m n } d»y do tej samej granicy: n x m n = c, bo n x m n = n x mn. Ci gªo± funkcji f jak poprzednio daje: n f(x m n ) = f(c). A zatem: n (f(x m n ) f(x mn )) = 0. 4

15 Ale to jest sprzeczne z ostatni z nierówno±ci (4). Twierdzenie 4 (Weierstrassa). Funkcja f ci gªa w przedziale domkni tym [a, b] jest ograniczona, a ponadto osi ga tam swoje kresy: dolny m = inf f(x) oraz górny M = sup f(x). Innymi sªowy, istniej w tym przedziale takie dwa punkty c i d,»e f(c) = m oraz f(d) = x [a,b] x [a,b] M. Dow. Poka»emy najsampierw,»e funkcja f jest ograniczona, tzn. A : x [a,b] : f(x) < A. Otó» z poprzedniego twierdzenia (o ci gªo±ci jednostajnej) wnioskujemy,»e: Wzi wszy np. ɛ = istnieje takie δ > 0,»e je±li punkty x, x nale» do przedziaªu o dªugo±ci mniejszej o δ, to f(x) f(x ) <. We¹my n takie, aby zachodziªa nierówno± : b a n < δ. W ten sposób, je±li podziey przedziaª [a, b] na n cz ±ci, to dªugo± ka»dego z nich jest mniejsza od δ. Oznaczmy przez a 0, a,..., a n ko«ce tych przedziaªów, przy czym a 0 = a, a n = b. RYS. W ten sposób mamy: dla a 0 x a : f(x) f(a ) <, sk d f(x) + f(a ) ; dla a x a : f(x) f(a ) <, sk d f(x) + f(a ) ; itd.; ogólnie, w k-tym przedziale: dla a k x a k : f(x) f(a k ) <, sk d f(x) + f(a k ). Oznaczmy przez A najwi ksz z liczb ze zbioru {+ f(a k ) }, k {,,..., n}. Mamy w ten sposób: f(x) < A dla dowolnego x [a, b]. W ten sposób pokazali±my,»e funkcja f jest ograniczona (tzn. zbiór warto±ci tej funkcji jest ograniczony). Istniej wi c kresy: górny i dolny tego zbioru. Poka»emy teraz przez sprowadzenie do niedorzeczno±ci»e M jest jedn z warto±ci funkcji, tzn. M = f(d) dla pewnego d [a, b]. Przypu± my wi c,»e jest to nieprawda, tzn. x [a,b] : M f(x) 0. Skoro tak, to funkcja g(x) = M f(x) jest okre±lona na caªym przedziale [a, b] i jest w tym przedziale ci gªa. Jest to wi c zgodnie z tym co pokazali±my przed chwil funkcja ograniczona. Istnieje wi c takie N,»e x [a,b] : g(x) < N, czyli M f(x) > N, lub w innej formie: f(x) < M N. Ale jest to sprzeczne z zaªo»eniem,»e M jest kresem górnym zbioru warto±ci funkcji f na [a, b]. 5

16 Dla kresu dolnego dowód jest analogiczny. Twierdzenie 5 (Wªasno± Darboux). Funkcja ci gªa w przedziale domkni tym [a, b] przyjmuje w tym przedziale wszystkie warto±ci po±rednie. Innymi sªowy: Je±li f(a) < y < f(b) (lub f(a) > y > f(b)) to c [a,b] : f(c) = y. Dow. Zaªó»my,»e f(a) < y < f(b) (gdy f(b) < y < f(a), dowód jest analogiczny). Przypu± my,»e twierdzenie jest faªszywe, a wi c,»e x [a,b] : y f(x) 0. Zdeniujmy funkcj h(x) = y f(x) ; jest ona okre±lona na caªym [a, b], a ponadto na mocy twierdzenia Weierstrassa ograniczona. Niech h(x) < M, tzn. y f(x) > (5) M Podstawiaj c w twierdzeniu 3 (O Ci gªo±ci Jednostajnej) ɛ = M wnioskujemy,»e istnieje δ > 0 takie,»e dla dowolnych punktów x, x nale» cych do przedziaªu o dªugo±ci mniejszej ni» δ, zachodzi f(x) f(x ) < M. Niech n oznacza liczb naturaln tak,»e b a n < δ. Podzielmy odcinek [a, b] na n równych cz ±ci. W oznaczeniach z poprzedniego twierdzenia mamy f(a k ) f(a k ) < M dla k =,,..., n. (6) Poniewa» f(a 0 ) = f(a) < y < f(a n ) = f(b), wi c w±ród liczb,,..., n istnieje taka najmniejsza liczba m,»e y < f(a m ). Mamy wi c m > 0 oraz f(a m ) < y < f(a m ), skąd 0 < y f(a m ) < f(a m ) f(a m ) < M (ostatnia nierówno± wynika z (6)), co jednak przeczy (5). Zestawiaj c dwa poprzednie twierdzenia, mo»emy powiedzie,»e zachodzi nast puj ce Twierdzenie 6 Funkcja ci gªa w przedziale domkni tym [a, b] przyjmuje wszystkie warto±ci od kresu dolnego m do kresu górnego M, wª cznie z m i M. Innymi sªowy, zbiorem warto±ci funkcji jest przedziaª [m, M]. 6

17 Uwaga. Wªasno± Darboux wdzi cznie ilustruje si rysunkowo. Jednak ci - gªo± funkcji nie jest warunkiem koniecznym, aby ta wªasno± miaªa miejsce; zachodzi ona równie» dla niektórych funkcji nieci gªych. Przykª. Przykª. Jak z wª. Darboux wynika istnienie pierwiastków rzeczywistych równania: x k+ + a k x k + + a 0 = 0..4 Ci gªo± funkcji odwrotnych Niech X, Y zbiory. Wiadomo,»e je±li f : X Y jest bijekcj, to istnieje funkcja odwrotna f : Y X. Poka»emy teraz,»e funkcja odwrotna do funkcji ci gªej jest ci gªa. Dokªadniej, zachodzi nast puj ce Twierdzenie 7 Je±li funkcja f : [a, b] [A, B] jest ci gª bijekcj, to funkcja odwrotna g f : [A, B] [a, b] te» jest ci gªa. Uwaga. Z tw.weierstrassa wiemy,»e A = m = inf f(x) oraz B = M = x [a,b] sup f(x). x [a,b] Dow. Niech m c M. Na mocy ostatniego Twierdzenia, funkcja g jest okre±lona w punkcie c. Niech c = n y n, gdzie {y n } nale»y do przedziaªu [m, M], tzn. jest postaci y n = f(x n ). Trzeba pokaza,»e n g(y n ) = g(c). Przeformuªujmy to w nast puj cy sposób: Niech c = f(d). Trzeba pokaza,»e warunek n f(x n ) = f(d) poci ga za sob n x n = d (bo g(y n ) = x n, g(c) = d). Ci g {x n } jest ograniczony, jako le» cy w przedziale [a, b]. Je±li tak, to mo»na wybra z niego podci g zbie»ny {x kn }. Niech n x kn = d. Wyka»emy,»e d = d. Z ci gªo±ci funkcji f wynika,»e f(x n k n ) = f(d ). Poniewa» za± f(x n k n ) = n y kn = n y n = n f(x n ) = f(d), (w drugiej równo±ci korzystali±my z twierdzenia,»e je±li ci g {a n } jest ograniczony i je±li wszystkie jego podci gi zbie»ne s zbie»ne do tej samej granicy G, to równie» sam ci g {a n } jest zbie»ny do G) wi c f(d ) = f(d). Poniewa» za± f jest wzajemnie jednoznaczna, to d = d. Zastosowania. Logarytm jest funkcj ci gª (dokªadniej, log a x, gdzie a > 0, a jest funkcj ci gª ). Jest on bowiem funkcj odwrotn do funkcji ci gªej a x. 7

18 Funkcje cyklometryczne: arcsin x, arccos x, arctg x s ci gªe, jako funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych (co do których pokazywali±my dopiero co,»e s ci gªe). Korzystaj c z powy»szego twierdzenia, poka»emy,»e Twierdzenie 8 Ka»da funkcja f, ci gªa na odcinku [a, b], b d ca bijekcj, jest ±ci±le monotoniczna (tzn. ±ci±le rosn ca b d¹ ±ci±le malej ca). Dow. Z zaªo»enia f(a) f(b). Zaªó»my,»e f(a) < f(b) (gdy jest na odwrót, rozumowanie jest analogiczne). Udowodnimy,»e wtedy f(x) jest w caªym przedziale [a, b] rosn ca. Niech x < x. Trzeba pokaza,»e f(x) < f(x ). Zauwa»my najsampierw,»e warunki a x b i f(a) < f(b) implikuj f(a) f(x) f(b). Gdyby bowiem tak nie byªo, to mieliby±my albo i) f(x) < f(a), albo ii) f(x) > f(b). W przypadku i) mieliby±my nierówno± : f(x) < f(a) < f(b) i, na mocy wªasno±ci Darboux, istniaªby w przedziale [x, b] punkt x taki,»e f(x ) = f(a); ale to przeczy zaªo»eniu,»e f(x) jest ró»nowarto±ciowa (bo x a). W przypadku ii) natomiast istniaªby w przedziale [a, x] punkt x taki,»e f(x ) = f(b), co z kolei jest sprzeczne z zaªo»eniem o ró»nowarto±ciowo±ci funkcji f(x) (bo podobnie jak uprzednio x b). Pokazali±my wi c,»e f(a) f(x) f(b). Jednocze±nie wnioskujemy,»e warunki x x b i f(x) < f(b) poci gaj za sob f(x) f(x ) f(b). Tak wi c f(x) < f(x ). 8