Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Ćwiczenie 3. Transformata Z; blokowe struktury opisujące filtr

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Ćwiczenie 3. Transformata Z; blokowe struktury opisujące filtr"

Transkrypt

1 Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie Transformata ; blokowe struktury opisujące filtr Przemysław Korohoda, KE, AGH awartość instrukcji: Materiał z zakresu DSP. Transformata.2 Transmitancja. Blokowa struktura filtru.4 mienne stanu 2 Korzystanie z pakietu MATLAB 2. Struktury filtrów używane w Matlab ie 2.2 Opis wybranych funkcji pakietu adania do wykonania

2 Na instrukcję składają się następujące części: Materiał z zakresu DSP 2 Korzystanie z pakietu MATLAB adania do wykonania Do sprawnego wykonania ćwiczenia nie jest konieczna wcześniejsza praktyczna znajomość nie wprowadzonych w ramach poprzednich ćwiczeń funkcji pakietu MATLAB, jednak niezbędna jest dobra orientacja w materiale przedstawionym w częściach oraz 2 tej instrukcji oraz w zagadnieniach będących przedmiotem poprzednich ćwiczeń. Dlatego też wskazane jest dokładne przeczytanie obu wymienionych części instrukcji oraz zanalizowanie podanych przykładów. UWAGA: znajomość i zrozumienie części, 2 oraz materiału z poprzednich ćwiczeń mogą zostać przez prowadzącego skontrolowane w trakcie zajęć. W realizacji zadań z części może pomóc ich wcześniejsze przemyślenie. W razie niejasności należy skonsultować się przed zajęciami ( tzn. na przykład w terminie konsultacji ) z prowadzącym, bezpośrednio lub poprzez 2

3 Materiał z zakresu DSP UWAGA: Rozważane są wyłącznie systemy liniowe, niezmienne względem przesunięcia.. Transformata Ważnym narzędziem w badaniu i projektowaniu systemów (filtrów) cyfrowych jest transformacja. Istnieją dwie podstawowe odmiany tej transformacji - jednostronna i dwustronna. Obie polegają na wyznaczeniu dla zadanego ciągu, oznaczonego przykładowo jako x[ n], transformaty będącej funkcją ciągłej zmiennej zespolonej, oznaczanej zwykle jako z. Nie ma znaczenia, czy x[ n] reprezentuje sygnał, czy na przykład odpowiedź impulsową. Będzie on niekiedy nazywany ciągiem pierwotnym lub oryginalnym. Analogicznie dziedzina indeksów n będzie nazywana dziedziną pierwotną lub oryginalną, natomiast dziedzina z - dziedziną transformaty (lub w skrócie, gdy nie będzie to powodowało nieporozumień - dziedziną transformaty). Jednostronna transformata ciągu x[n] dana jest wzorem. X ( z) = x[ n] z n= 0 n () natomiast dwustronna transformata : n (a) n= X ( z) = x[ n] z nacznie częściej stosuje się transformację dwustronną (a) i na tej wersji będą bazowały dalsze rozważania. Dla wielu typowych ciągów x[ n] wzór (a) nie jest zbieżny (do wartości o skończonym module) dla dowolnej zespolonej liczby z. Przykładowo łatwo jest sprawdzić, że dla x[ n] = u[ n] oraz z = wzór (a) nie jest zbieżny. Wartości z, dla których transformata jest zbieżna tworzą na płaszczyźnie zespolonej pewien obszar zwany obszarem zbieżności. Dyskusja obszarów zbieżności nie będzie przedmiotem ćwiczeń, jednak warto o tym ograniczeniu pamiętać i w prostych przypadkach umieć określić obszar zbieżności. Dokładniejsze wyjaśnienia można znaleźć w podanej literturze uzupełniającej. Transformata (o ile istnieje) zawiera pełną informację umożliwiającą idealne odtworzenie ciągu pierwotnego za pomocą transformacji odwrotnej. wykle informacja ta jest zawarta w transformacie z dość dużą nadmiarowością. Do wyznaczenia transformaty odwrotnej wystarczy bowiem znać postać transformaty wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej, obejmującej na płaszczyźnie z punkt (0,0) - może to być na przykład okrąg. Oczywiście krzywa ta musi zawierać się w obszarze zbieżności, bo poza nim transformata nie istnieje. Wyznaczanie transformaty odwrotnej według odpowiedniego wzoru definicyjnego nie będzie tematem ćwiczeń, zatem dalszych wyjaśnień należy szukać w literaturze uzupełniającej. Transformacja jest liniowa, czyli dla dowolnych liczb a i b oraz ciągów posiadających transformaty zachodzi: x[ n] X ( z) y[ n] Y( z) a x[ n] + b y[ n] a X ( z) + b Y( z) (2) W ramach przygotowania do ćwiczeń laboratoryjnych należy przećwiczyć wykazanie tej cechy za pomocą wzoru (a) i odpowiednich przekształceń.

4 Jedną z ważniejszych właściwości transformacji jest fakt, że przesunięciu ciągu w dziedzinie pierwotnej odpowiada pomnożenie transformaty tego ciągu przez wartość z w odpowiedniej potędze: ( x n X z ) ( x n k [ ] ( ) [ ] z X z ) k ( ) Można to wykazać za pomocą wzoru definicyjnego (a) i podstawienia l = n k dla k < : n l k k l x[ n k] z = x[ l] z = z x[ l] z (4) n= l= Jaka jest transformata z delty Kroneckera oraz delty Kroneckera przesuniętej w czasie? Jakie są odpowiednie obszary zbieżności? (4) oraz liniowości transformacji wynika, że liniowa kombinacja kopii ciągu x[ n] poprzesuwanych w dziedzinie indeksów posiada następującą transformatę: ( x[ n] X ( z) ) l= a x[ n] + a x[ n ] + + ak x[ n k + ] 2 k + a X ( z) + a z X ( z) + + a z X ( z) 2 (5) wynika transformata równania różnicowego: K a y[ n k + ] = b x[ n m + ] k k = m= K k = k + m+ a z Y( z) = b z X ( z) k M M m= m m k () (5) (6).2 Transmitancja a pomocą elementarnych przekształceń można transformatę (6) sprowadzić do następującej postaci (zakładamy, że wcześniej zadbano by a = ): Y( z) X ( z) b + b2 z + b z + + bm z = H( z) = + a z + a z + + a z 2 2 M + 2 K+ K (7) Otrzymaną funkcję ciągłej zmiennej zespolonej z, czyli H( z), nazywa się transmitancją systemu. Ponieważ transmitancja zawiera identyczne współczynniki, co odpowiadające jej równanie różnicowe, więc zawiera dokładnie tę samą informację o systemie, zatem dyskusja cech systemu w zależności od warunków początkowych dotyczy jej w tym samym stopniu. Dla równania różnicowego w postaci nierekursywnej - odpowiadającego systemowi FIR - postać transmitancji (7) jest nieco prostsza: Y( z) X ( z) = H( z) = b + b z + b z + + b z 2 (8) 2 M + M 4

5 Wynika stąd, że ponieważ odpowiedź impulsowa składa się z elementów będących współczynnikami prawej strony równania różnicowego ( h[ k] = ), więc w tym przypadku transmitancja jest transformatą odpowiedzi impulsowej: b k h[ n] H( z) (9) Dla systemów typu IIR zależność (9) jest także aktualna. Pomijając problematykę zbieżności transformaty, można to wykazać w sposób następujący. Mimo, że w praktyce jest to mało przydatne, to dla potrzeb teoretycznych rozważań odpowiedź impulsową filtru typu IIR można zapisać za pomocą sumy o nieskończonej ilości składników: (0) h[ n] = h[ k] d[ n k] k = Transformata takiej odpowiedzi impulsowej jest zatem przedstawiona poniżej: h[ n] H ( z) = h[ k] z k () k = Współczynniki h[ k] nie uległy zmianie, gdyż z punktu widzenia transformacji są to stałe - nie zależą od n. Splot liniowy sygnału i odpowiedzi impulsowej (skończonej lub nieskończonej) określa odpowiedź systemu na ten sygnał. Porównując zatem związek pomiędzy ciągiem x[ n] i y[ n] opisany za pomocą h[ n] oraz związek pomiędzy odpowiednimi transformatami zapisany dla systemów FIR w (8) można stwierdzić, że splot liniowy w dziedzinie pierwotnej (indeksów) odpowiada mnożeniu odpowiednich transformat: y[ n] = x[ n] h[ n] Y( z) = X ( z) H( z) (2) ależność (2) jest prawdziwa także dla systemów IIR. Aby to wykazać można posłużyć się ogólniejszym wyprowadzeniem niż przedstawione powyżej dla systemów FIR. Jeżeli system liniowy, stacjonarny jest opisany za pomocą odpowiedzi impulsowej (która może być nieskończona), to jego odpowiedź na sygnał x[ n] można wyznaczyć za pomocą splotu liniowego i splot ten można również poddać transformacji (należy pamiętać, że w tym przypadku wartości ciągów zależne wyłącznie od indeksu k są traktowane jako stałe): () k = k = k y[ n] = h[ k] x[ n k] Y( z) = h[ k] z X ( z) Po zamianie w otrzymanej transformacie liter indeksów sumowania z k na n (co nie było konieczne, jednak zostało przeprowadzone dla podkreślenia związku ze wzorem (a)) oraz wyciągnięciu wspólnego elementu przed znak sumy otrzymuje się równość potwierdzającą prawdziwość wzoru (2): n Y( z) = X ( z) h[ n] z = X ( z) H ( z) (4) n= Otrzymany wynik potwierdza także, że transmitancja H( z) określona równaniem (7) jest transformata H ( z) według równania (). równa odpowiedzi impulsowej 5

6 Transmitancja (7) posiada w liczniku i mianowniku ujemne potęgi zmiennej z. W celu zapisu transmitancji z wykorzystaniem wyłącznie dodatnich potęg tej zmiennej należy w zależności (7) pomnożyć licznik i mianownik przez odpowiednią potęgę z, wymaga to jednak rozróżnienia trzech przypadków: a) dla K > M K K 2 K b z + b2 z + b z + + bm z H( z) = K K 2 K z + a z + a z + + a K M 2 K (5a) b) dla K < M H( z) = M M 2 M b z + b z + b z + + b 2 M M N 2 K M M 2 M z + a z + a z + + a z (5b) c) dla K = M K K 2 K b z + b2 z + b z + + b H( z) = K K 2 K z + a z + a z + + a 2 K M (5c) Postać wzorów (5) jest oparta na współczynnikach wielomianów licznika i mianownika. Tę samą transmitancję można opisać za pomocą miejsc zerowych licznika i mianownika, czyli zer (z) i biegunów (p): Jak łatwo zauważyć: K H( z) = K m = b m a = b ( z z) ( z z2 ) ( z z M ) ( z p ) ( z p ) ( z p ). 2 K Transmitancja systemu o strukturze nierekursywnej (FIR) posiada w punkcie (0,0) płaszczyzny z tyle biegunów, ile zer ma licznik transmitancji. W takim przypadku można bowiem (8) przepisać do postaci: H( z) = K m ( z z ) ( z z ) ( z z ) M M z 2 Pamiętając o związku transmitacji z równaniem różnicowym, łatwo teraz pokazać, w jaki sposób można tworzyć równoważne równania różnicowe (a w szczególności, jak system nierekursywny opisać za pomocą struktury rekursywnej). Wystarczy w transmitancji w postaci (6) lub (7) pomnożyć licznik i mianownik przez te same czynniki wprowadzające dodatkowe miejsca zerowe do licznika i mianownika. punktu widzenia funkcjonowania systemu wprowadzone dodatkowe zera i bieguny redukują się wzajemnie, jednak po przekształceniu do postaci równania różnicowego można stwierdzić pojawienie się nowych czynników po obu stronach równania. opisanych powiązań można także skorzystać, chcąc sprawdzić, czy określone rekursywne równanie różnicowe opisuje system FIR - jeżeli tak, to bieguny położone poza punktem (0,0) powinny redukować się z odpowiednimi zerami transmitancji. Należy jednak pamiętać, że zera i bieguny mogą być liczbami zespolonymi, co nie zawsze prowadzi do równania różnicowego o współczynnikach pozbawionych części urojonej. W ramach ćwiczeń trzeba będzie sprawdzić, jakie warunki powinny spełniać zera i bieguny, by danej transmitancji odpowiadało równanie różnicowe o wyłącznie rzeczywistych współczynnikach. Różne formy opisu tego samego systemu - równanie różnicowe, odpowiedź impulsowa, transmitancja - mogą się okazać przydatne dlatego, iż w każdej z nich w łatwy sposób można określić pewne wybrane cechy systemu. Jak pokazano powyżej transmitancja w postaci zer i biegunów ukazuje wprost, czy (6) (7) 6

7 system może mieć strukturę nierekursywną. Inną cechą łatwą do sprawdzenia jest stabilność (w sensie BIBO). Aby filtr przyczynowy był stabilny potrzeba i wystarcza, by wszystkie bieguny (czyli miejsca zerowe mianownika) znajdowały się wewnątrz okręgu jednostkowego o środku w środku układu współrzędnych. Warto się zastanowić z czego ta właściwość wynika (patrz też literatura uzupełniająca). Powyższy warunek stabilności jest oczywiście spełniony dla wszystkich systemów typu FIR.. Blokowa struktura filtru Dany filtr można opisać za pomocą schematu blokowego na wiele sposobów. Jednak z punktu widzenia realizacji nawiązujących do równania różnicowego lub transmitancji istotne znaczenie mają dwie podstawowe struktury opisane poniżej. Schematy składają się z elementów trzech typów: sumatora, elementu mnożącego oraz elementu opóźniającego. Ponadto schematy te pokazują kierunki przepływu sygnałów. Rys. przedstawia przykład typowej struktury blokowej filtru drugiego rzędu, powstałą bezpośrednio z poniższego równania różnicowego: a y[ n] = b x[ n] + b x[ n ] + b x[ n 2] a y[ n ] a y[ n 2] (8) 2 2 Rys.. Przykładowa struktura filtru typu I, równoważna transponowanej strukturze typu II (ang. Direct form II transposed) Na rys.2 pokazano przykład nierekursywnej struktury filtru drugiego rzędu. Rys. 2. Struktura filtru drugiego rzędu realizująca splot liniowy ciągu wejściowego x[ n] oraz ciągu współczynników b, ciąg y[ n] jest wynikiem splatania 7

8 .4 mienne stanu Ten sam system, opisany za pomocą transmitancji (w postaci (6) lub (7)) albo równania różnicowego, może być także opisany za pomocą czterech macierzy A, B, C, D, o odpowiednich wymiarach, z wykorzystaniem zmiennych stanu, które stanowią wektor ciągów oznaczony poniżej jako s[ n] : s[ n + ] = A s[ n] + B x[ n] y[ n] = C s[ n] + D x[ n] Opis (7) jest równoważny opisowi za pomocą równania różnicowego (otrzymanego przez wyrugowanie z (7) zmiennych stanu) lub też transmitancji: (9) ( ) H( z) = C z I A B + D (20) gdzie I to macierz jednostkowa - tj. posiadająca na diagonalnej i 0 w pozostałych miejscach. W przypadku przykładu z rys. wektor zmiennych stanu z równania (9) jest dwuelementowy (składa się z dwóch ciągów): s [ n] s[ n] = s [ n] 2 (2) Dla przedstawionego przykładu macierze opisujące filtr za pomocą zmiennych stanu według równania (9) mają następujące wymiary: A 2 x2, B 2 x, C x2, D x. + Rys.. Filtr w postaci struktury typu Transposed direct form II z zaznaczonymi zmiennymi stanu Transpozycja struktury filtru polega na zamianie kolumn ze współczynnikami a i b, odwróceniu kierunków przepływu w gałęziach poziomych i pionowych oraz przeniesieniu elementów sumujących z gałęzi centralnych na brzegowe (lub odwrotnie). 8

9 Rys.4. Filtr w postaci struktury typu Direct form II z zaznaczonymi zmiennymi stanu Rząd filtru jest równy ilości elementów opóźniających w jego strukturze - czyli ilości zmiennych stanu. Przedstawiony opis filtru za pomocą zmiennych stanu ma sens tylko wtedy, gdy filtr jest liniowy i niewrażliwy na przesunięcie. Jako ćwiczenie przygotowujące należy porównać opis w postaci zmiennych stanu dla obu przedstawionych typów struktur (macierze A,B,C,D), gdy wiadomo, że dany system przyczynowy jest opisany równaniem: a) y[ n] y[ n ] = 2 x[ n] b) y[ n] 0, 5 y[ n ] = 2 x[ n] 0, 5 x[ n ] 9

10 2 Korzystanie z pakietu MATLAB 2. Struktury filtrów używane w Matlab ie Postać ogólna instrukcji filter (z warunkami początkowymi): [wyjscie,warunki_koncowe]=filter(b,a,x,zin); gdzie b, a, x, zin oznaczają kolejno: wektory współczynników b, a, ciąg wejściowy oraz warunki początkowe Element wzmacniający struktury z rys. otoczony przerywaną linią nie jest zazwyczaj uwzględniany Współczynnik a przyjmuje się wtedy jako równy, skalując odpowiednio pozostałe współczynniki. W takim przypadku można ten element pominąć na schemacie. Jednak instrukcja filter wymaga zawsze podania niezerowej wartości a, która w razie potrzeby może być różna od, o czym należy pamiętać podając wektor współczynników a. Odpowiedź filtru składa się z odpowiedzi wymuszonej (w wyniku podania niezerowego sygnału na wejście) oraz z odpowiedzi swobodnej (na niezerowe warunki początkowe). Obie odpowiedzi sumują się dając sygnał wyjściowy filtru. Warunki początkowe opisane są za pomocą zmiennych stanu - w przypadku Matlab a są to sygnały wyjściowe z elementów opóźniających - patrz rys. (wiele podręczników definiuje jako zmienne stanu sygnały wejściowe elementów opóźniających, naturalnie obie wersje są z punktu widzenia zastosowań równoważne, wymagają jedynie modyfikacji indeksów czasowych przy dalszym wykorzystywaniu zmiennych stanu). Warto się zastanowić - ogólnie lub na przykładzie systemów z ćwiczenia na końcu poprzedniego rozdziału - jak taka zmiana w definicji zmiennych stanu może wpłynąć na postać równania (9) oraz zawartość macierzy A,B,C,D. UWAGA : Przy wyznaczaniu za pomocą funkcji filter odpowiedzi swobodnej filtru na niezerowe warunki początkowe wartość współczynnika a jest zawsze przyjmowana jako równa, natomiast odpowiedź wymuszona wyliczana jest przy uwzględnieniu podanej przez użytkownika wartości tego współczynnika. UWAGA 2: Przy korzystaniu z funkcji zamiany postaci opisu filtru tf2ss oraz tf2zp należy dopilnować, by wektory współczynników licznika i mianownika były tej samej długości (w razie potrzeby należy je dopełnić zerami). UWAGA : Strukturę typu Direct form II założono w funkcjach: tf2ss, ss2tf, zp2ss, ss2zp. Strukturę typu Direct form II transposed założono w funkcjach filter oraz filtic. 0

11 2.2 Opis wybranych funkcji pakietu Funkcja Opis filtic przeliczenie podanych ciągów wejściowego i wyjściowego dla indeksów czasowych poprzedzających początek aktualnej filtracji na zmienne stanu filtru o podanych współczynnikach - czyli wyznaczenie warunków początkowych dla instrukcji filter w oparciu o ciągi: wejściowy i wyjściowy z przeszłości poly wyznaczanie współczynników wielomianu o podanych miejscach zerowych roots wyznaczanie miejsc zerowych wielomianu o podanych współczynnikach ss2zp przeliczenie opisu filtru z macierzy dla zmiennych stanu na zera i bieguny transmitancji ss2tf przeliczenie opisu filtru z macierzy dla zmiennych stanu na współczynniki licznika i mianownika transmitancji zp2ss przeliczenie opisu filtru z postaci zer i biegunów transmitancji na odpowiednie macierze opisu za pomocą zmiennych stanu zp2tf przeliczenie opisu filtru z postaci zer i biegunów transmitancji na współczynniki licznika i mianownika transmitancji tf2zp przeliczenie opisu filtru z postaci współczynników licznika i mianownika transmitancji na zera i bieguny transmitancji tf2ss przeliczenie opisu filtru z postaci współczynników licznika i mianownika transmitancji na odpowiednie macierze opisu za pomocą zmiennych stanu impz wyznaczanie odpowiedzi impulsowej filtru o zadanej transmitancji z (transmitancję można określić za pomocą współczynników licznika i mianownika) zplane zaznaczanie na płaszczyźnie zespolonej zer i biegunów transmitacji podanej w postaci współczynników licznika i mianownika lub w postaci zer i biegunów Szczegółowy opis powyższych funkcji dostępny jest po wywołaniu funkcji help z nazwą funkcji jako parametrem, np: >>help ss2zp; Jeżeli wektory opisujące transmitancję dla funkcji zplane są wektorami wierszowymi, wówczas są traktowane jako zera i bieguny opisujące transmitancję. Funkcja zplane umożliwia także wykreślenie zer i biegunów wprost z wielomianowej postaci transmitancji. Kolejne współczynniki wielomianów licznika i mianownika (w takiej właśnie kolejności) należy w takiej sytuacji podać w postaci wektorów kolumnowych.

12 adania do wykonania. Wykazać za pomocą przykładów równoważność opisów systemu poprzez równanie różnicowe oraz transmitancję (w postaci układu zer, biegunów i wzmocnienia). 2. Po przeprowadzeniu odpowiednio dobranych prób odpowiedzieć na pytanie: Kiedy z układu zer i biegunów transmitancji wynika równanie różnicowe o zespolonych współczynnikach?. Wykazać w oparciu o przykłady, że dany system może być opisany za pomocą różnych równań różnicowych, a w szczególności, że system FIR może być opisany za pomocą struktury rekursywnej. 4. Potwierdzić za pomocą przykładu, iż z rozmieszczenia biegunów transmitancji wynika stabilność filtru. 5. Pokazać na przykładzie, że funkcja filter może wyznaczać zarówno odpowiedź wymuszoną, jak i swobodną systemu oraz, że odpowiedź ogólna jest sumą obu wspomnianych odpowiedzi. 6. Pokazać, w jaki sposób można wyznaczyć odpowiedź systemu na zadany sygnał, jeżeli interesujący nas przedział indeksów czasowych zostanie podzielony na kilka kolejnych podprzedziałów. Należy skorzystać z funkcji filter oraz warunków początkowych i końcowych. 7. Potwierdzić za pomocą przykładu równoważność - przy odpowiednich założeniach - opisów poprzez zmienne stanu i transmitancję (patrz wzory (9) i (20)). 8. a pomocą prostego przykładu filtru drugiego rzędu sprawdzić, jakie struktury przyjęto do realizacji funkcji filtic i filter oraz np. tf2ss lub zp2ss (według wyboru prowadzącego). 9. (dodatkowe) Korzystając z możliwości pakietu DSP-Blockset (opis w literaturze uzupełniającej) zanalizować działanie filtru o zadanej strukturze blokowej. Wykazać na przykładzie wybranego filtru, że transpozycja struktury nie zmienia funkcji realizowanej przez filtr. 2

ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET

ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET CPS - - ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET Rozwiązywanie równań różnicowych Dyskretny system liniowy-stacjonarny można opisać równaniem różnicowym w postaci ogólnej N M aky[ n k] bkx[ n k] k k Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Systemy i wybrane sposoby ich opisu

Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Systemy i wybrane sposoby ich opisu Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Systemy i wybrane sposoby ich opisu Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Klasyfikacja systemów 1.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 10. Dyskretyzacja

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 2. REPREZENTACJA

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Z. Krzysztof Patan

Przekształcenie Z. Krzysztof Patan Przekształcenie Z Krzysztof Patan Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji

Bardziej szczegółowo

Transmitancje układów ciągłych

Transmitancje układów ciągłych Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA II rok Kierunek Transport Temat: Transmitancja operatorowa. Badanie odpowiedzi układów automatyki. Opracował

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Opracowanie: mgr inż. Krystian Łygas, inż. Wojciech Danilczuk Na podstawie materiałów Prof. dr hab.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

DSP-MATLAB, Ćwiczenie 2, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 2. Przemysław Korohoda, KE, AGH

DSP-MATLAB, Ćwiczenie 2, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 2. Przemysław Korohoda, KE, AGH Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie 2 Systemy i wybrane sposoby ich opisu Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Klasyfikacja

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) = Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne . Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

3 Przestrzenie liniowe

3 Przestrzenie liniowe MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych

Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z metodą wyznaczania odpowiedzi skokowych oraz impulsowych podstawowych obiektów regulacji.

Bardziej szczegółowo

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)

Bardziej szczegółowo

Elementy metod numerycznych

Elementy metod numerycznych Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektryczny. Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej. Konstrukcje i Technologie w Aparaturze Elektronicznej.

Wydział Elektryczny. Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej. Konstrukcje i Technologie w Aparaturze Elektronicznej. Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Konstrukcje i Technologie w Aparaturze Elektronicznej Ćwiczenie nr 5 Temat: Przetwarzanie A/C. Implementacja

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów

Przetwarzanie sygnałów Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 5 Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI) Spis treści 1 Wprowadzenie 1 1.1 Filtry jednobiegunowe....................... 1 1.2 Filtry wąskopasmowe........................

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Granica funkcji

Wykłady z matematyki - Granica funkcji Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w

Bardziej szczegółowo

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej:

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej: 1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Badanie stabilności liniowych układów sterowania

Badanie stabilności liniowych układów sterowania Badanie stabilności liniowych układów sterowania ver. 26.2-6 (26-2-7 4:6). Badanie stabilności liniowych układów sterowania poprzez analizę równania charakterystycznego. Układ zamknięty liniowy i stacjonarny

Bardziej szczegółowo

Metody i analiza danych

Metody i analiza danych 2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego

4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego 4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ Podstawowe wzory Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat (4.1) Transmitancja układu zamkniętego częstotliwość naturalna współczynnik tłumienia Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 7 BADANIE ODPOWIEDZI USTALONEJ NA OKRESOWY CIĄG IMPULSÓW 1. Cel ćwiczenia Obserwacja przebiegów wyjściowych

Bardziej szczegółowo