Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Systemy i wybrane sposoby ich opisu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Systemy i wybrane sposoby ich opisu"

Transkrypt

1 Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Systemy i wybrane sposoby ich opisu Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Klasyfikacja systemów 1. Odpowiedź impulsowa 1.3 Splot liniowy 1.4 Równanie różnicowe Korzystanie z pakietu MATLAB.1 Funkcje z zakresu DSP Do sprawnego wykonania ćwiczenia nie jest konieczna wcześniejsza praktyczna znajomość nie wprowadzonych w ramach poprzednich ćwiczeń funkcji pakietu MATLAB, jednak niezbędna jest dobra orientacja w materiale przedstawionym w częściach 1 oraz tej instrukcji oraz w zagadnieniach będących przedmiotem poprzednich ćwiczeń. Dlatego też wskazane jest dokładne przeczytanie obu wymienionych części instrukcji oraz zanalizowanie podanych przykładów. UWAGA: znajomość i zrozumienie części 1 i oraz materiału z poprzednich ćwiczeń mogą zostać przez prowadzącego skontrolowane w trakcie zajęć. 1

2 1 Materiał z zakresu DSP DSP-MATLAB, Ćwiczenie, P.Korohoda, KE AGH System cyfrowy przekształca podany na wejście systemu ciąg w ciąg wyjściowy. Oba ciągi określone są na tej samej dziedzinie indeksów, czyli liczb całkowitych. Zatem przez system można rozumieć zarówno jakikolwiek opis zależności ciągu wyjściowego od wejściowego (na przykład równanie), jak i, przykładowo, układ scalony realizujący tę samą operację, gdzie kolejne indeksy odpowiadają taktom zegara. Z punktu widzenia dalszych rozważań nie ma to żadnego znaczenia. Równanie (lub inną formę opisu) należy traktować jako model rzeczywistego układu cyfrowego. Warto jedynie przypomnieć, że jeżeli przyjmiemy, iż precyzja zapisu liczb jest dostatecznie duża by aproksymować nieskończoną precyzję, to system taki powinien być nazywany systemem z czasem dyskretnym (ze względu na całkowite indeksy zastępujące ciągły czas). 1.1 Klasyfikacja systemów Systemy ze względu na strukturę można podzielić na: a) nierekursywne - gdy wartość na wyjściu w danej chwili (czyli dla danego indeksu) jest określona wyłącznie przez wartość lub wartości ciągu wejściowego (niekoniecznie przez wartość wejściową w jednej tylko chwili ); b) rekursywne - gdy wartość na wyjściu w danej chwili jest określona przez wartość lub wartości ciągu wejściowego oraz wartość lub wartości ciągu wyjściowego. Przedstawienie systemu nierekursywnego w postaci rekursywnej jest możliwe zawsze. Natomiast często postaci rekursywnej nie da się przekształcić do nierekursywnej (o skończonym zakresie indeksów określających, które elementy ciągu wejściowego decydują o danej wartości wyjściowej). System wykonujący określoną operację na ciągu wejściowym może być z punktu widzenia jego struktury przedstawiony na nieskończenie wiele sposobów. Zagadnienie to zostanie dokładniej opisane w kontekście równań różnicowych oraz transmitancji z. Rys.1.1 Uproszczony schemat systemu o strukturze: a) nierekursywnej, b) rekursywnej Na rysunku pokazano, iż w chwili określonej przez indeks n na wejście systemu podawana jest odpowiednia wartość ciągu wejściowego, a na wyjściu pojawia się w tej samej chwili pojedyncza wartość ciągu wyjściowego. Warto zaznaczyć, iż system w swojej strukturze może zapamiętywać wartości ciągu wejściowego a także wyjściowego (system rekursywny) dla minionych indeksów, a w przypadku systemu nieprzyczynowego konieczne jest także założenie, iż system dysponuje odpowiednimi wartościami dla przyszłych indeksów (większych od n ). Jeżeli przez S[ ] oznaczy się operację, jaką system wykonuje na ciągu (lub ciągach) podanym w miejsce kropki, to rysunkowi 1.1 może odpowiadać następujący ogólny zapis: a) b) [ ] yn [ ] = Sxn [ ] (1) [ ] yn [ ] = Sxn [ ], yn [ ] () W ogólnym przypadku ciąg wejściowy określony jest dla indeksów rozpoczynających się w minus nieskończoności. W praktyce często rozważa się jednak oś indeksów począwszy od określonej, skończonej wartości. W takiej sytuacji to, co wydarzyło się w systemie do tej chwili początkowej jest opisywane za pomocą warunków początkowych lub stanu początkowego systemu. Oznaczmy tę dodatkową informację jako s. Wtedy ogólny zapis odpowiedzi systemu wyglądać może następująco: [ ] yn [ ] Sxn [ ], yn [ ], s = (3) Problematyka ta będzie jeszcze poruszona przy omawianiu równania różnicowego oraz opisu za pomocą zmiennych stanu.

3 Istnieją różne kryteria klasyfikacji systemów cyfrowych - podobne do kryteriów klasyfikacji systemów analogowych. Na ćwiczeniach skoncentrujemy się na czterech z nich: 1) liniowości, ) zmienności względem przesunięcia (stacjonarności), 3) stabilności, 4) przyczynowości. 1) System S[ ] jest liniowy, jeżeli dla dowolnych dwóch sygnałów wejściowych oraz wszystkich n cechy: addytywności: [ 1[ ] [ ]] [ 1[ ]] [ [ ]] posiada dwie Sx n+ x n = Sx n + Sx n (4) oraz jednorodności, zwanej też skalowalnością lub homogenicznością, czyli dla dowolnej stałej : a [ ] = a Sxn [ ] Sa xn [ ] [ ] (5) Obie powyższe cechy można zapisać łącznie (dla dwóch dowolnych stałych a oraz ): 1 a [ ] = 1 [ 1 ] + [ ] Sa x[ n] a x[ n] a Sx[ n] a Sx[ n] (6) System nie spełniający powyższych warunków jest nieliniowy. ) System S[ ] jest niezmienny względem przesunięcia (w dziedzinie indeksów czasowych ), jeżeli dla dowolnego całkowitego przesunięcia k zachodzi: [ ] [ ] yn [ ] = Sxn [ ] yn [ + k] = Sxn [ + k] (7) System nie spełniający tego warunku jest zmienny względem przesunięcia. System niezmienny względem przesunięcia nazywa się też systemem stacjonarnym. 3) System jest stabilny w sensie BIBO (skrót z j.ang. - Bounded Input Bounded Output, czyli Ograniczone Wejście Ograniczone Wyjście) jeżeli: ( M < ) ( M < ) : : n x[ n] M n y[ n] M (8) x x Powyższy zapis oznacza, że jeżeli żadna wartość wejściowa x[ n] nie przekracza co do modułu pewnej skończonej wartości progowej, to można określić skończoną wartość progową także dla wszystkich modułów wartości wyjściowych y[ n]. System nie spełniający tego warunku jest niestabilny w sensie BIBO. Stabilność można zdefiniować także w inny sposób i dlatego należy zawsze dopilnować, by było oczywiste, w jakim sensie określamy stabilność danego systemu. 4) System jest przyczynowy, jeżeli dla dowolnie wybranego n 0 prawdziwe jest poniższe sformułowanie: ( ) ( ) y n n x n] = 0 n n y[ n] 0 (9) 0 [ 0 = Czyli, gdy wszystkie wartości wejściowe dla wszystkich indeksów mniejszych lub równych n 0 są równe zero, to dla tych indeksów również na wyjściu nie pojawi się żadna wartość różna od zera. Inaczej - pojawienie się na wyjściu wartości niezerowej musi być poprzedzone lub co najwyżej równoczesne (w sensie indeksów czasowych ) z podaniem na wejście co najmniej jednej wartości niezerowej. Istnieją różne równoważne formy zapisu tej samej właściwości. System nie spełniający powyższego postulatu jest nieprzyczynowy. Szczególnym przypadkiem systemu nieprzyczynowego jest system antyprzyczynowy, czyli taki, gdy: ( ) ( ) n < n x[ n] = 0 n n : y[ n] 0 (10) 0 : 0 = y 3

4 Oznacza to, że odpowiedź systemu może być niezerowa jedynie do chwili pojawienia się pierwszej niezerowej wartości wymuszenia. Przykłady systemów (We wszystkich podanych niżej przykładach przyjmujemy, że < n < oraz, że k należy do zbioru liczb całkowitych) a) system niestabilny w sensie BIBO (akumulator - ang. accumulator): yn [ ] = xk [ ] n k = b) system zmienny względem przesunięcia (kompresor - ang. compressor): c) system nieprzyczynowy (różnica w przód - ang. forward difference): (11) yn [ ] = xk [ n] : k> 1 (1) y[ n] = x[ n + 1 ] x[ n] (13) d) system antyprzyczynowy (odwrócenie osi czasu, a także przesunięcie, gdy k<0): yn [ ] = xk [ n] : k 0 (14) e) system nieliniowy (dodanie stałej na wyjściu): y[ n] = x[ n] + 1 (15) Należy przemyśleć podane przykłady tak, by umieć uzasadnić dlaczego stanowią przykłady odpowiednich cech, a także by umieć określić pozostałe trzy cechy (na przykład dla systemu (11), czy jest on liniowy, stacjonarny czy przyczynowy). Warto też umieć podać inne przykłady oraz sklasyfikować inny system. 1. Odpowiedź impulsowa W przypadku sygnałów i systemów dyskretnych odpowiedzią impulsową nazywa się odpowiedź danego systemu na podany na wejście ciąg delty Kroneckera. Zazwyczaj odpowiedź impulsową oznacza się literą h, zatem dla systemu S[ ] będzie to: [ ] hn [ ] = Sdn [ ] (16) W przypadku gdy system jest liniowy i niezmienny względem przesunięcia (odtąd będzie mowa wyłącznie o takich systemach), odpowiedź impulsowa opisuje go jednoznacznie (jak to wykazać? - warto powrócić do tego problemu po przeczytaniu rozdz.1.3). Gdy system jest niestabilny (w sensie BIBO), wówczas odpowiedź impulsowa może, ale nie musi, zawierać elementy o modułach rosnących do nieskończoności (sprawdź dla systemu kumulator). Natomiast gdy elementy odpowiedzi impulsowej dążą (w module) do nieskończoności, to system taki jest zawsze niestabilny w sensie BIBO. Systemy (liniowe, niezmienne względem przesunięcia) są stabilne (w sensie BIBO) wtedy i tylko wtedy, gdy suma modułów wszystkich elementów odpowiedzi impulsowej jest mniejsza od nieskończoności: hn [ ] < (17) n= Proszę się zastanowić, jakie będą odpowiedzi impulsowe dla systemów podanych w rozdziale 1.1 i co z postaci tych odpowiedzi wynika z punktu widzenia opisanej klasyfikacji systemów. 1.3 Splot liniowy Splot liniowy jest operacją umożliwiającą określenie za pomocą odpowiedzi impulsowej systemu (liniowego, niezmiennego względem przesunięcia) odpowiedzi tego systemu na dowolny sygnał wejściowy. Splot liniowy dwóch ciągów x1[ n] oraz x[ n] jest zdefiniowany następująco: yn [ ] = x[ k] x[ n k] = x[ n k] x[ k k= 1 1 ] k= Powyższy zapis pokazuje, iż splot liniowy jest operacją przemienną (warto umieć to wykazać). Jest to także operacja liniowa, a nawet dwuliniowa (też warto wiedzieć dlaczego). Symbolem oznaczającym skrótowo zapis sumacyjny (18) jest, zatem (18) można zapisać również jako: (18) 4

5 y[ n] = x [ n] x [ n] = x [ n] x [ n] 1 1 (19) Jeżeli jeden z dwóch splatanych ciągów jest odpowiedzią impulsową danego systemu, to wynik splotu jest odpowiedzią systemu na drugi ze splatanych ciągów, pełniący rolę sygnału wejściowego: yn [ ] = xn [ ] hn [ ] (0) Jeżeli dowolne dwa systemy są opisane przez swoje odpowiedzi impulsowe i systemy te zostaną połączone równolegle lub szeregowo, to, dzięki odpowiednim cechom splotu, można w prosty sposób określić odpowiedź impulsową układu zastępczego takiego połączenia. Jako ćwiczenie przygotowujące do zajęć należy dla obu przypadków wyprowadzić zależność odpowiedzi impulsowej układu zastępczego od odpowiedzi impulsowych systemów składowych. Splot sygnału z odpowiedzią impulsową można przedstawić opisowo w sposób następujący. Ciąg odpowiedzi impulsowej należy odwrócić tył na przód i stopniowo przesuwać nad ciągiem sygnału wejściowego. W każdym położeniu wyznacza się iloczyny tych elementów obu ciągów, które znalazły się jeden nad drugim. Zsumowanie tych iloczynów daje wynik splotu dla pojedynczej wartości indeksu sygnału wyjściowego. W praktyce oba ciągi nie rozciągają się w nieskończonym zakresie indeksów (określenie ciągów w skończonym zakresie indeksów oznacza zwykle, że poza nim ciągi te przyjmują wartości zerowe ). Wystarczy zatem wziąć pod uwagę tylko ten zakres położeń ciągu hn [ ] nad ciągiem x[ n], dla którego można otrzymać niezerowe wartości ciągu wynikowego. Jeżeli ciąg hn [ ] jest określony na długości, a ciąg x[ n] na długości, to wynik splatania powinien być ciągiem o długości: L h L x Ly = Lh + Lx 1 (1) Warto pamiętać, że w określonym zakresie indeksów każdy z ciągów może być również zerowy. Rys.1. przedstawia graficznie trzy położenia ( w tym dwa krańcowe ) dwóch ciągów, hn [ ] oraz s1[ n], przy wyznaczaniu ich splotu liniowego s[ n]. Rys.1. Przykład wyznaczania splotu liniowego dla ciągów określonych na skończonym zakresie indeksów Należy zwrócić uwagę na wartości indeksów ciągu wynikowego. Zależą one od tego, jak na osi indeksów ułożona jest odpowiedź impulsowa i sygnał wejściowy. W przypadku zignorowania indeksów nie jest możliwe rozróżnienie na przykład odpowiedzi systemu przyczynowego i nieprzyczynowego. Jeżeli zakres indeksów, dla którego określono ciąg x[ n], zaczyna się od n x, natomiast ciąg hn [ ] określono poczynając od indeksu n h, to pierwszy element ciągu wynikowego jest określony dla indeksu: ny = nx + nh () 5

6 Pominięcie indeksów spowoduje, że nie będzie możliwe potwierdzenie ważnego efektu, iż splot sygnału z ciągiem delty Kroneckera przesuniętym o k daje w wyniku ten sam sygnał, ale przesunięty właśnie o k : xn [ ] dn [ k] = xn [ k] (3) Właściwość tę można (i należy to umieć) łatwo sprawdzić analizując wzór (3) w zapisie sumacyjnym (patrz (18)). Zależność (3) wynika także wprost z wyznaczenia odpowiedzi impulsowej systemu opóźniającego o k indeksów. Ponieważ funkcja conv MATLAB a nie uwzględnia indeksów, więc należy tę ważną niekiedy informację wprowadzić samodzielnie. Jednym ze sposobów jest użycie dodatkowych wektorów o długościach identycznych z wektorami reprezentującymi oba splatane ciągi. Te dodatkowe ciągi powinny mieć wartości zerowe wszędzie poza jednym elementem wskazującym na wybrany indeks (na przykład 0 ). Wykonanie polecenia conv dla tych pomocniczych wektorów da w wyniku wektor z jednym niezerowym elementem wskazującym położenie wybranego indeksu w ciągu wynikowym. Domowe ćwiczenia uzupełniające: 1. Dlaczego liniowość oraz niezmienność względem przesunięcia są warunkami koniecznymi do tego, by odpowiedź impulsowa umożliwiała określenie odpowiedzi systemu na dowolny sygnał wejściowy? Uzasadnienie można oprzeć na przykładach systemów nie spełniających wymaganych założeń. Można jednak przeprowadzić dowód bazujący na następujących wskazówkach: a) splot jest operacją liniową, b) dowolny sygnał można przedstawić jako kombinację liniową przesuniętych delt Kroneckera, c) splot dowolnego ciągu z przesuniętą deltą Kroneckera daje ten sam ciąg, jednak przesunięty tak samo jak jest przesunięta delta.. Korzystając z właściwości splotu oraz odpowiedzi impulsowej proszę wykazać, że każdy system ( w tym przypadku liniowy i stacjonarny) można przedstawić jako złożenie systemu przyczynowego i antyprzyczynowego. 1.4 Równanie różnicowe Zależność pomiędzy ciągiem wejściowym i wyjściowym dla danego systemu (liniowego, niezmiennego względem przesunięcia) można opisać za pomocą liniowego równania różnicowego o stałych współczynnikach a k oraz b m, przy czym zakłada się, że a 1 0 : K a y[ n k + 1] = b x[ n m+ 1] M k k = 1 m= 1 W ogólnym przypadku sumowanie po obu stronach może przebiegać po indeksach zmierzających do nieskończoności. Przekształcenie (4) do postaci odpowiadającej wyznaczeniu wartości y[ n], czyli wartości wyjściową w danej chwili, daje: a 1 a y[ n] = b x[ n] + b x[ n 1] b x[ n M + 1] 1 1 a y[ n 1] a y[ n ]... a y[ n K+ 1] 3 Współczynnik przyjmuje się zwykle jako równy 1, co nie ogranicza ogólności wzoru (5), gdyż wymaga jedynie odpowiedniego przeskalowania wszystkich pozostałych współczynników równania. UWAGA: System opisany równaniem (5) nie musi być przyczynowy - przyczynowość może zależeć od założonych warunków początkowych (patrz przykład na końcu podrozdziału). Często jednak przyjmuje się z założenia przyczynowość systemu. W ogólnym przypadku ( ponieważ wartość wyjściowa w danej chwili zależy zarówno od wartości ciągu wejściowego, jak i wyjściowego ) równanie opisuje strukturę rekursywną. Jednak gdy wszystkie współczynniki, z a 1 wyjątkiem, są zerowe, to równanie (5) opisuje strukturę nierekursywną i jeżeli zakres sumowania jest skończony, to równanie takie odpowiada systemowi o skończonej odpowiedzi impulsowej FIR (skrót z j.ang. - Finite Impulse Response ). Jako ćwiczenie wstępne należy wykazać, że w takim przypadku kolejne elementy odpowiedzi impulsowej są równe kolejnym współczynnikom b k (natomiast dla indeksów mniejszych od zera elementy odpowiedzi impulsowej są równe zero), czyli: m M K a k (4) (5) hk [ ]= (6) Równość (6) zachodzi także, gdy zakres sumowania nie jest skończony, czyli gdy M =. Wtedy jednak odpowiedź impulsowa także nie jest skończona zatem jest to system o nieskończonej odpowiedzi impulsowej IIR ( skrót z j.ang. - b k 6

7 Inifinite Impulse Response ). Ponieważ równanie różnicowe o nieskończonym zakresie sumowania ma niewielkie zastosowanie praktyczne, zatem przyjmuje się, że systemu IIR nie da się przedstawić w postaci nierekursywnej. Warto przypomnieć, że system określony jednoznacznie z punktu widzenia realizowanej operacji może być opisany za pomocą nieskończenie wielu równań różnicowych, a w szczególności że każdy opis nierekursywny można przedstawić jako równoważny opis rekursywny ( jednak twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe ). Możliwość wielu wariantów opisu jednego systemu łatwo będzie potwierdzić przy omawianiu transmitancji z. Warunki początkowe równania różnicowego Samo równanie różnicowe nie zawsze jest kompletnym opisem systemu. Odpowiedź systemu wyznaczona z danego równania różnicowego może zależeć od warunków początkowych. Od ich wyboru może zależeć nawet, czy system jest przyczynowy, czy też nie. Jednak termin warunki początkowe posiada nieco inne znaczenie w teorii równań różnicowych, a inne z punktu widzenia implementacji systemów (filtrów) cyfrowych: a) Warunki początkowe dla równania różnicowego (4), to zbiór K 1 przyjętych z założenia wartości ciągu y[ n] dla dowolnych K 1 różnych wartości indeksów. Ponadto zakłada się znajomość ciągu x[ n] dla pełnego zakresu indeksów. Określenie jako zadanych z góry K 1 kolejnych wartości y[ n] gwarantuje znalezienie rozwiązania dla pozostałych elementów ciągu y[ n]. Przyjęcie natomiast jako warunków początkowych dowolnych, ale nie kolejnych K 1 wartości ciągu wyjściowego może - choć nie musi - doprowadzić do sprzeczności. Kompletny ciąg y[ n]można nazwać ogólnym rozwiązaniem równania różnicowego. Rozwiązanie to posiada dwie składowe - rozwiązanie szczególne (zwane też wymuszonym, ponieważ zależy od wymuszenia w postaci ciągu x[ n]) oraz rozwiązanie jednorodne (zwane też swobodnym, ponieważ zależy od K 1 warunków początkowych, a nie zależy od x[ n]). W tym przypadku słowo początkowe nie ma bezpośredniego związku z jakąkolwiek chwilą początkową wynikającą z indeksów czasowych. Przykładowo z warunku początkowego w postaci wartości y[ 10] wyznaczane są pozostałe elementy ciągu y[ n] - zarówno dla n < 10, jak i dla n > 10. b) Warunki początkowe dla wyznaczenia odpowiedzi filtru cyfrowego to wartości potrzebne do wyznaczenia fragmentu ciągu wyjściowego y[ n] dla zakresu indeksów czasowych rozpoczynającego się od skończonej wartości n 0 (na przykład n 0 = 0 ), w sytuacji gdy ciąg wejściowy x[ n] znany jest również dopiero od chwili n 0. Zakłada się wówczas zwykle, że system jest przyczynowy (dla systemu antyprzyczynowego można przyjąć przeciwny bieg indeksów). Warunki początkowe, w postaci na przykład zmiennych stanu systemu, zawierają niezbędną informację zastępującą brakujące z punktu widzenia równania różnicowego elementy ciągów wejściowego i wyjściowego sprzed chwili początkowej n 0. Określenie warunków początkowych można w tym przypadku porównać do odczytania pamięci systemu. Termin początkowe można zatem zinterpretować bardziej dosłownie, w nawiązaniu do chwili początkowej n 0. Dla filtru opisanego równaniem (4) ilość warunków początkowych w postaci np. zmiennych stanu powinna wynosić: ( ) N max K 1, M 1 (7) IC = N IC Mówi się, że rząd filtru (systemu) jest równy. Dla M = K =1 system nie zawiera żadnych opóźnień, jest bezpamięciowy, więc warunki początkowe w sensie b) nie są konieczne. Warto zwrócić uwagę, że dla systemu FIR nie ma potrzeby określania warunków początkowych w sensie a), natomiast w sensie b) konieczne one będą zawsze, gdy tylko M > 1. Rozpatrywanie klasy systemów z zerowymi warunkami początkowymi typu b) odpowiada założeniu, że w czasie poprzedzającym analizowanie odpowiedzi systemu sygnał wejściowy był zerowy oraz system posiadał zerowy stan wewnętrzny. Nie jest to założenie abstrakcyjne, gdyż w praktyce łatwo jest je spełnić przez zerowanie odpowiednich buforów. Podsumowując, przy założeniu że: 1) system jest przyczynowy oraz ) przy zerowych warunkach początkowych w sensie b) dane równanie różnicowe jednoznacznie definiuje system. Dość istotny jest fakt, że określając warunki początkowe dla wymuszenia w postaci ciągu dn [ ], wyznacza się jednoznaczny opis systemu w postaci odpowiedzi impulsowej. Odpowiedź impulsowa systemu (liniowego i stacjonarnego) nie zależy od ciągu wejściowego x[ n], natomiast opis tego samego systemu za pomocą równania 7

8 różnicowego może wymagać dobierania warunków początkowych dla każdego ciągu wejściowego (patrz ćwiczenia uzupełniające do przykładu 1.1 na końcu podrozdziału). Pominięcie dostosowania warunków początkowych do danego ciągu wejściowego może dać w rezultacie system o zupełnie innych właściwościach niż wynikałoby to z wyznaczonej odpowiedzi impulsowej. Przykłady systemów opisanych przez równania różnicowe 1. System przyczynowy lub antyprzyczynowy ( nieszczelny akumulator - ang. leaky accumulator ): y[ n] 05, y[ n 1 ] = x[ n] (8) Wyznaczymy dla tego systemu odpowiedź impulsową dla dwóch różnych warunków początkowych w sensie a): 1.1 y[ 1] = 0; xn [ ] = dn [ ] (czyli x[ n] jest określone dla < n < ) Dla n > 1 równanie (5) przekształca się do postaci: y[ n] = 05, y[ n 1 ] + x[ n] n < 1do: yn [ ] = yn [ + 1] xn [ + 1 ] natomiast dla ( ) Oddalając się z indeksami od punktu n 0 = 1 w obie strony można w sposób rekurencyjny wyznaczyć ciąg y[ n] dla wszystkich < n <. Fragment ciągu wynikowego jest następujący: yn [ ] = h[ n] = 1 1, 1 1 1,, dla n=,,, 4 8 h1[ n]= 0 dla wszystkich n < 0 { 013 } 1. y[ 1] = 0; xn [ ] = dn [ ] Postępując analogicznie otrzymuje się kompletny ciąg y[ n], którego fragment przedstawiono poniżej: Domowe ćwiczenia uzupełniające: { } { } yn [ ] = h[ n] = 16, 8, 4,, 0 dla n= 4, 3,, 1, 0 h[ n]= 0 dla wszystkich n > 0 1. Dla systemu przyczynowego o odpowiedzi impulsowej hn [ ] = { 1, 05. } dla n= { 0, 1} proszę napisać odpowiednie równanie różnicowe oraz określić warunki początkowe w sensie a) w postaci wartości y[ 1 ] przyjmując, że na wejście podany jest: 1) ciąg x1[ n] = u[ n] ) ciąg x[ n] = un [ ] un [ ]. System o skończonej odpowiedzi impulsowej ( różnica wstecz - ang. backward difference ): 3. Inny system FIR ( bieżąca średnia - ang. moving average ): y[ n] = x[ n] x[ n 1 ] (9) M 1 yn [ ] = M xn [ k + 1] (30) k = 1 8

9 Korzystanie z pakietu MATLAB.1 Funkcje z zakresu DSP DSP-MATLAB, Ćwiczenie, P.Korohoda, KE AGH Polecenie filter( dane wejściowe ) conv( dane wejściowe ) Opis wyznaczanie odpowiedzi systemu opisanego przez równanie różnicowe wyznaczanie splotu liniowego dwóch ciągów (w postaci wektorów) Obie funkcje są podobne - umożliwiają wyznaczenie odpowiedzi stacjonarnego systemu liniowego na podane wymuszenie. Funkcja filter może jednak modelować zarówno system opisany równaniem nierekursywnym, jak i rekursywnym, natomiast instrukcja conv jest przydatna bezpośrednio jedynie dla opisu nierekursywnego. Z kolei funkcja filter wyznacza odpowiedź o długości takiej samej jak długość sygnału wejściowego, podczas gdy wynik funkcji conv ma długość wynikającą z długości sygnału wejściowego i odpowiedzi impulsowej (patrz materiał z zakresu DSP). Ograniczona długość wyniku dla funkcji filter jest rekompensowana przez możliwość wykorzystania warunków początkowych ( w sensie b) ) oraz końcowych - zagadnienie to będzie elementem kolejnego ćwiczenia. W tym ćwiczeniu przyjmuje się założenie o zerowych warunkach początkowych (nie będą więc także analizowane warunki końcowe). Dlatego z funkcji filter należy korzystać w sposób następujący: >>y=filter(b,a,x); gdzie x oraz y to wektory reprezentujące ciągi wejściowy i wyjściowy, natomiast b oraz a to wektory reprezentujące ciągi współczynników równania różnicowego o nazwach zgodnych z oznaczeniami we wzorach (4) i (5) ((UWAGA NA KOLEJNOŚĆ!!!). Naturalnie nie ma konieczności stosowania takich samych nazw - istotna jest kolejność wektorów podanych na liście wejściowej funkcji filter. Ponieważ przyjmuje się, że w równaniu (5) a 1 = 1, więc należy o tym pamiętać przy tworzeniu wektorów opisujących badany filtr. Dla systemu według równania (9) przykładowa sekwencja komend mogłaby wyglądać następująco: >> a9=1; >> b9=[1, -1]; >> d=zeros(1,64); >> d(33)=1; zatem umawiamy się, że 33 pozycji odpowiada indeks 0 >> h9=filter(b9,a9,d); h9 jest odpowiedzią impulsową systemu (9) dla wybranego zakresu indeksów ( jakiego?) Podobne zadanie można także zrealizować za pomocą funkcji conv (system nie jest rekursywny), jednak tym razem musimy założyć znajomość odpowiedzi impulsowej: >> x=rand(1,64); >> y=conv(x,h9); odpowiedź systemu (9) na pseudolosowy ciąg wejściowy Powyższe przykłady nie uwzględniają indeksów - jak zatem należałoby je uzupełnić, by można było przedstawić graficznie odpowiednie ciągi z opisem osi poziomej w postaci indeksów czasowych? W celu uruchomienia generatora liczb pseudolosowych w uzależnieniu od stanu zegara komputera należy podać komendę: >> rand( seed,sum(100*clock)); 9

DSP-MATLAB, Ćwiczenie 2, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 2. Przemysław Korohoda, KE, AGH

DSP-MATLAB, Ćwiczenie 2, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 2. Przemysław Korohoda, KE, AGH Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie 2 Systemy i wybrane sposoby ich opisu Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Klasyfikacja

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Ćwiczenie 3. Transformata Z; blokowe struktury opisujące filtr

Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Ćwiczenie 3. Transformata Z; blokowe struktury opisujące filtr Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie Transformata ; blokowe struktury opisujące filtr Przemysław Korohoda, KE, AGH awartość instrukcji: Materiał z zakresu DSP. Transformata.2

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZEIE 7 Splot liniowy i kołowy sygnałów 1. Cel ćwiczenia Operacja splotu jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na sygnale. Każde przejście

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:

x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu: RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,

Bardziej szczegółowo

1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie

1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza

Bardziej szczegółowo

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem

Bardziej szczegółowo

Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych

Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Operacja na dwóch funkcjach dająca w wyniku modyfikację oryginalnych funkcji (wynikiem jest iloczyn splotowy). Jest

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów dyskretnych

Przetwarzanie sygnałów dyskretnych Przetwarzanie sygnałów dyskretnych System dyskretny p[ n ] r[ n] Przykłady: [ ] = [ ] + [ ] r n a p n a p n [ ] r n = 2 [ + ] + p[ n ] p n 2 r[ n] = a p[ n] + b n [ ] = [ ] r n a p n n [ ] = [ + ] r n

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014) dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe 1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

Właściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan

Właściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan Właściwości sygnałów i splot Krzysztof Patan Właściwości sygnałów Dla sygnału ciągłego x(t) można zdefiniować wielkości liczbowe charakteryzujące ten sygnał wartość średnia energia sygnału x sr = lim τ

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej:

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej: 1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

x(n) x(n-1) x(n-2) D x(n-n+1) h N-1

x(n) x(n-1) x(n-2) D x(n-n+1) h N-1 Laboratorium Układy dyskretne LTI projektowanie filtrów typu FIR Z1. apisać funkcję y = filtruj(x, h), która wyznacza sygnał y będący wynikiem filtracji sygnału x przez filtr FIR o odpowiedzi impulsowej

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Przetworniki cyfrowo-analogowe C-A CELE ĆWICZEŃ PODSTAWY TEORETYCZNE

Przetworniki cyfrowo-analogowe C-A CELE ĆWICZEŃ PODSTAWY TEORETYCZNE Przetworniki cyfrowo-analogowe C-A CELE ĆWICZEŃ Zrozumienie zasady działania przetwornika cyfrowo-analogowego. Poznanie podstawowych parametrów i działania układu DAC0800. Poznanie sposobu generacji symetrycznego

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z automatyki

Laboratorium z automatyki Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z automatyki Algebra schematów blokowych, wyznaczanie odpowiedzi obiektu na sygnał zadany, charakterystyki częstotliwościowe Kierunek studiów:

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów:

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów: Logika rozmyta 2 Zbiór rozmyty może być formalnie zapisany na dwa sposoby w zależności od tego z jakim typem przestrzeni elementów mamy do czynienia: Jeśli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów

Bardziej szczegółowo

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób: 1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ. Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych. ćwiczenie 204

KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ. Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych. ćwiczenie 204 Opracował: prof. dr hab. inż. Jan Kazimierczak KATEDA INFOMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 204 Temat: Hardware'owa implementacja automatu skończonego pełniącego

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA II rok Kierunek Transport Temat: Transmitancja operatorowa. Badanie odpowiedzi układów automatyki. Opracował

Bardziej szczegółowo

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t 4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie schematów blokowych. Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:

Przekształcanie schematów blokowych. Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia: Warszawa 2017 1 Cel ćwiczenia rachunkowego Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia: zasady budowy schematów blokowych układów regulacji automatycznej na podstawie równań operatorowych;

Bardziej szczegółowo

========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2

========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2 Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1

Bardziej szczegółowo

Część 1. Transmitancje i stabilność

Część 1. Transmitancje i stabilność Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA

OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA Wprowadzenie W robotyce przez pojęcie manipulacji rozumiemy przemieszczanie w przestrzeni przedmiotów i narzędzi za pomocą specjalnego mechanizmu. W związku z tym pojawia

Bardziej szczegółowo

SPRZĘTOWA REALIZACJA FILTRÓW CYFROWYCH TYPU SOI

SPRZĘTOWA REALIZACJA FILTRÓW CYFROWYCH TYPU SOI 1 ĆWICZENIE VI SPRZĘTOWA REALIZACJA FILTRÓW CYFROWYCH TYPU SOI (00) Celem pracy jest poznanie sposobu fizycznej realizacji filtrów cyfrowych na procesorze sygnałowym firmy Texas Instruments TMS320C6711

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów

Przetwarzanie sygnałów Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 3 Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Spis treści 1 Filtracja cyfrowa podstawowe wiadomości 1 1.1 Właściwości filtru w dziedzinie czasu............... 1 1.2

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET

ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET CPS - - ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET Rozwiązywanie równań różnicowych Dyskretny system liniowy-stacjonarny można opisać równaniem różnicowym w postaci ogólnej N M aky[ n k] bkx[ n k] k k Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Teoria i przetwarzanie sygnałów Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EEL-1-524-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Elektrotechnika

Bardziej szczegółowo

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25 MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia

Bardziej szczegółowo

składa się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:

składa się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność: TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

Ćw. 7 Wyznaczanie parametrów rzeczywistych wzmacniaczy operacyjnych (płytka wzm. I)

Ćw. 7 Wyznaczanie parametrów rzeczywistych wzmacniaczy operacyjnych (płytka wzm. I) Ćw. 7 Wyznaczanie parametrów rzeczywistych wzmacniaczy operacyjnych (płytka wzm. I) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie parametrów typowego wzmacniacza operacyjnego. Ćwiczenie ma pokazać w jakich warunkach

Bardziej szczegółowo

Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik

Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik gdzie: m-masa bloczka [kg], ẏ prędkośćbloczka [ m s ]. 3. W kolejnym energię potencjalną: gdzie: y- przemieszczenie bloczka [m], k- stała sprężystości, [N/m].

Bardziej szczegółowo

Równanie Schrödingera

Równanie Schrödingera Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

STUDIA MAGISTERSKIE DZIENNE LABORATORIUM SYGNAŁÓW, SYSTEMÓW I MODULACJI. Filtracja cyfrowa. v.1.0

STUDIA MAGISTERSKIE DZIENNE LABORATORIUM SYGNAŁÓW, SYSTEMÓW I MODULACJI. Filtracja cyfrowa. v.1.0 Politechnika Warszawska Instytut Radioelektroniki Zakład Radiokomunikacji SUDIA MAGISERSKIE DZIENNE LABORAORIUM SYGNAŁÓW, SYSEMÓW I MODULACJI Filtracja cyfrowa v.1. Opracowanie: dr inż. Wojciech Kazubski,

Bardziej szczegółowo

8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji.

8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji. 8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji. W tym ćwiczeniu zapoznamy się z modelem sztucznego neuronu oraz przykładem jego wykorzystania do rozwiązywanie prostego zadania klasyfikacji. Neuron biologiczny i

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.

1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. 1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. A Najłatwiejszym sposobem jest rozpatrzenie wszystkich odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej

Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Przetwarzanie Sygnałów Kod: TS1A400027 Temat ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przerzutnik ma pewną liczbę wejść i z reguły dwa wyjścia.

Przerzutnik ma pewną liczbę wejść i z reguły dwa wyjścia. Kilka informacji o przerzutnikach Jaki układ elektroniczny nazywa się przerzutnikiem? Przerzutnikiem bistabilnym jest nazywany układ elektroniczny, charakteryzujący się istnieniem dwóch stanów wyróżnionych

Bardziej szczegółowo

TEMAT: PROJEKTOWANIE I BADANIE PRZERZUTNIKÓW BISTABILNYCH

TEMAT: PROJEKTOWANIE I BADANIE PRZERZUTNIKÓW BISTABILNYCH Praca laboratoryjna 2 TEMAT: PROJEKTOWANIE I BADANIE PRZERZUTNIKÓW BISTABILNYCH Cel pracy poznanie zasad funkcjonowania przerzutników różnych typów w oparciu o różne rozwiązania układowe. Poznanie sposobów

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.

FUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. FUNKCJA LINIOWA Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? R: Przedstawiona prosta, jest wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo