Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Systemy i wybrane sposoby ich opisu
|
|
- Juliusz Lipiński
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Systemy i wybrane sposoby ich opisu Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Klasyfikacja systemów 1. Odpowiedź impulsowa 1.3 Splot liniowy 1.4 Równanie różnicowe Korzystanie z pakietu MATLAB.1 Funkcje z zakresu DSP Do sprawnego wykonania ćwiczenia nie jest konieczna wcześniejsza praktyczna znajomość nie wprowadzonych w ramach poprzednich ćwiczeń funkcji pakietu MATLAB, jednak niezbędna jest dobra orientacja w materiale przedstawionym w częściach 1 oraz tej instrukcji oraz w zagadnieniach będących przedmiotem poprzednich ćwiczeń. Dlatego też wskazane jest dokładne przeczytanie obu wymienionych części instrukcji oraz zanalizowanie podanych przykładów. UWAGA: znajomość i zrozumienie części 1 i oraz materiału z poprzednich ćwiczeń mogą zostać przez prowadzącego skontrolowane w trakcie zajęć. 1
2 1 Materiał z zakresu DSP DSP-MATLAB, Ćwiczenie, P.Korohoda, KE AGH System cyfrowy przekształca podany na wejście systemu ciąg w ciąg wyjściowy. Oba ciągi określone są na tej samej dziedzinie indeksów, czyli liczb całkowitych. Zatem przez system można rozumieć zarówno jakikolwiek opis zależności ciągu wyjściowego od wejściowego (na przykład równanie), jak i, przykładowo, układ scalony realizujący tę samą operację, gdzie kolejne indeksy odpowiadają taktom zegara. Z punktu widzenia dalszych rozważań nie ma to żadnego znaczenia. Równanie (lub inną formę opisu) należy traktować jako model rzeczywistego układu cyfrowego. Warto jedynie przypomnieć, że jeżeli przyjmiemy, iż precyzja zapisu liczb jest dostatecznie duża by aproksymować nieskończoną precyzję, to system taki powinien być nazywany systemem z czasem dyskretnym (ze względu na całkowite indeksy zastępujące ciągły czas). 1.1 Klasyfikacja systemów Systemy ze względu na strukturę można podzielić na: a) nierekursywne - gdy wartość na wyjściu w danej chwili (czyli dla danego indeksu) jest określona wyłącznie przez wartość lub wartości ciągu wejściowego (niekoniecznie przez wartość wejściową w jednej tylko chwili ); b) rekursywne - gdy wartość na wyjściu w danej chwili jest określona przez wartość lub wartości ciągu wejściowego oraz wartość lub wartości ciągu wyjściowego. Przedstawienie systemu nierekursywnego w postaci rekursywnej jest możliwe zawsze. Natomiast często postaci rekursywnej nie da się przekształcić do nierekursywnej (o skończonym zakresie indeksów określających, które elementy ciągu wejściowego decydują o danej wartości wyjściowej). System wykonujący określoną operację na ciągu wejściowym może być z punktu widzenia jego struktury przedstawiony na nieskończenie wiele sposobów. Zagadnienie to zostanie dokładniej opisane w kontekście równań różnicowych oraz transmitancji z. Rys.1.1 Uproszczony schemat systemu o strukturze: a) nierekursywnej, b) rekursywnej Na rysunku pokazano, iż w chwili określonej przez indeks n na wejście systemu podawana jest odpowiednia wartość ciągu wejściowego, a na wyjściu pojawia się w tej samej chwili pojedyncza wartość ciągu wyjściowego. Warto zaznaczyć, iż system w swojej strukturze może zapamiętywać wartości ciągu wejściowego a także wyjściowego (system rekursywny) dla minionych indeksów, a w przypadku systemu nieprzyczynowego konieczne jest także założenie, iż system dysponuje odpowiednimi wartościami dla przyszłych indeksów (większych od n ). Jeżeli przez S[ ] oznaczy się operację, jaką system wykonuje na ciągu (lub ciągach) podanym w miejsce kropki, to rysunkowi 1.1 może odpowiadać następujący ogólny zapis: a) b) [ ] yn [ ] = Sxn [ ] (1) [ ] yn [ ] = Sxn [ ], yn [ ] () W ogólnym przypadku ciąg wejściowy określony jest dla indeksów rozpoczynających się w minus nieskończoności. W praktyce często rozważa się jednak oś indeksów począwszy od określonej, skończonej wartości. W takiej sytuacji to, co wydarzyło się w systemie do tej chwili początkowej jest opisywane za pomocą warunków początkowych lub stanu początkowego systemu. Oznaczmy tę dodatkową informację jako s. Wtedy ogólny zapis odpowiedzi systemu wyglądać może następująco: [ ] yn [ ] Sxn [ ], yn [ ], s = (3) Problematyka ta będzie jeszcze poruszona przy omawianiu równania różnicowego oraz opisu za pomocą zmiennych stanu.
3 Istnieją różne kryteria klasyfikacji systemów cyfrowych - podobne do kryteriów klasyfikacji systemów analogowych. Na ćwiczeniach skoncentrujemy się na czterech z nich: 1) liniowości, ) zmienności względem przesunięcia (stacjonarności), 3) stabilności, 4) przyczynowości. 1) System S[ ] jest liniowy, jeżeli dla dowolnych dwóch sygnałów wejściowych oraz wszystkich n cechy: addytywności: [ 1[ ] [ ]] [ 1[ ]] [ [ ]] posiada dwie Sx n+ x n = Sx n + Sx n (4) oraz jednorodności, zwanej też skalowalnością lub homogenicznością, czyli dla dowolnej stałej : a [ ] = a Sxn [ ] Sa xn [ ] [ ] (5) Obie powyższe cechy można zapisać łącznie (dla dwóch dowolnych stałych a oraz ): 1 a [ ] = 1 [ 1 ] + [ ] Sa x[ n] a x[ n] a Sx[ n] a Sx[ n] (6) System nie spełniający powyższych warunków jest nieliniowy. ) System S[ ] jest niezmienny względem przesunięcia (w dziedzinie indeksów czasowych ), jeżeli dla dowolnego całkowitego przesunięcia k zachodzi: [ ] [ ] yn [ ] = Sxn [ ] yn [ + k] = Sxn [ + k] (7) System nie spełniający tego warunku jest zmienny względem przesunięcia. System niezmienny względem przesunięcia nazywa się też systemem stacjonarnym. 3) System jest stabilny w sensie BIBO (skrót z j.ang. - Bounded Input Bounded Output, czyli Ograniczone Wejście Ograniczone Wyjście) jeżeli: ( M < ) ( M < ) : : n x[ n] M n y[ n] M (8) x x Powyższy zapis oznacza, że jeżeli żadna wartość wejściowa x[ n] nie przekracza co do modułu pewnej skończonej wartości progowej, to można określić skończoną wartość progową także dla wszystkich modułów wartości wyjściowych y[ n]. System nie spełniający tego warunku jest niestabilny w sensie BIBO. Stabilność można zdefiniować także w inny sposób i dlatego należy zawsze dopilnować, by było oczywiste, w jakim sensie określamy stabilność danego systemu. 4) System jest przyczynowy, jeżeli dla dowolnie wybranego n 0 prawdziwe jest poniższe sformułowanie: ( ) ( ) y n n x n] = 0 n n y[ n] 0 (9) 0 [ 0 = Czyli, gdy wszystkie wartości wejściowe dla wszystkich indeksów mniejszych lub równych n 0 są równe zero, to dla tych indeksów również na wyjściu nie pojawi się żadna wartość różna od zera. Inaczej - pojawienie się na wyjściu wartości niezerowej musi być poprzedzone lub co najwyżej równoczesne (w sensie indeksów czasowych ) z podaniem na wejście co najmniej jednej wartości niezerowej. Istnieją różne równoważne formy zapisu tej samej właściwości. System nie spełniający powyższego postulatu jest nieprzyczynowy. Szczególnym przypadkiem systemu nieprzyczynowego jest system antyprzyczynowy, czyli taki, gdy: ( ) ( ) n < n x[ n] = 0 n n : y[ n] 0 (10) 0 : 0 = y 3
4 Oznacza to, że odpowiedź systemu może być niezerowa jedynie do chwili pojawienia się pierwszej niezerowej wartości wymuszenia. Przykłady systemów (We wszystkich podanych niżej przykładach przyjmujemy, że < n < oraz, że k należy do zbioru liczb całkowitych) a) system niestabilny w sensie BIBO (akumulator - ang. accumulator): yn [ ] = xk [ ] n k = b) system zmienny względem przesunięcia (kompresor - ang. compressor): c) system nieprzyczynowy (różnica w przód - ang. forward difference): (11) yn [ ] = xk [ n] : k> 1 (1) y[ n] = x[ n + 1 ] x[ n] (13) d) system antyprzyczynowy (odwrócenie osi czasu, a także przesunięcie, gdy k<0): yn [ ] = xk [ n] : k 0 (14) e) system nieliniowy (dodanie stałej na wyjściu): y[ n] = x[ n] + 1 (15) Należy przemyśleć podane przykłady tak, by umieć uzasadnić dlaczego stanowią przykłady odpowiednich cech, a także by umieć określić pozostałe trzy cechy (na przykład dla systemu (11), czy jest on liniowy, stacjonarny czy przyczynowy). Warto też umieć podać inne przykłady oraz sklasyfikować inny system. 1. Odpowiedź impulsowa W przypadku sygnałów i systemów dyskretnych odpowiedzią impulsową nazywa się odpowiedź danego systemu na podany na wejście ciąg delty Kroneckera. Zazwyczaj odpowiedź impulsową oznacza się literą h, zatem dla systemu S[ ] będzie to: [ ] hn [ ] = Sdn [ ] (16) W przypadku gdy system jest liniowy i niezmienny względem przesunięcia (odtąd będzie mowa wyłącznie o takich systemach), odpowiedź impulsowa opisuje go jednoznacznie (jak to wykazać? - warto powrócić do tego problemu po przeczytaniu rozdz.1.3). Gdy system jest niestabilny (w sensie BIBO), wówczas odpowiedź impulsowa może, ale nie musi, zawierać elementy o modułach rosnących do nieskończoności (sprawdź dla systemu kumulator). Natomiast gdy elementy odpowiedzi impulsowej dążą (w module) do nieskończoności, to system taki jest zawsze niestabilny w sensie BIBO. Systemy (liniowe, niezmienne względem przesunięcia) są stabilne (w sensie BIBO) wtedy i tylko wtedy, gdy suma modułów wszystkich elementów odpowiedzi impulsowej jest mniejsza od nieskończoności: hn [ ] < (17) n= Proszę się zastanowić, jakie będą odpowiedzi impulsowe dla systemów podanych w rozdziale 1.1 i co z postaci tych odpowiedzi wynika z punktu widzenia opisanej klasyfikacji systemów. 1.3 Splot liniowy Splot liniowy jest operacją umożliwiającą określenie za pomocą odpowiedzi impulsowej systemu (liniowego, niezmiennego względem przesunięcia) odpowiedzi tego systemu na dowolny sygnał wejściowy. Splot liniowy dwóch ciągów x1[ n] oraz x[ n] jest zdefiniowany następująco: yn [ ] = x[ k] x[ n k] = x[ n k] x[ k k= 1 1 ] k= Powyższy zapis pokazuje, iż splot liniowy jest operacją przemienną (warto umieć to wykazać). Jest to także operacja liniowa, a nawet dwuliniowa (też warto wiedzieć dlaczego). Symbolem oznaczającym skrótowo zapis sumacyjny (18) jest, zatem (18) można zapisać również jako: (18) 4
5 y[ n] = x [ n] x [ n] = x [ n] x [ n] 1 1 (19) Jeżeli jeden z dwóch splatanych ciągów jest odpowiedzią impulsową danego systemu, to wynik splotu jest odpowiedzią systemu na drugi ze splatanych ciągów, pełniący rolę sygnału wejściowego: yn [ ] = xn [ ] hn [ ] (0) Jeżeli dowolne dwa systemy są opisane przez swoje odpowiedzi impulsowe i systemy te zostaną połączone równolegle lub szeregowo, to, dzięki odpowiednim cechom splotu, można w prosty sposób określić odpowiedź impulsową układu zastępczego takiego połączenia. Jako ćwiczenie przygotowujące do zajęć należy dla obu przypadków wyprowadzić zależność odpowiedzi impulsowej układu zastępczego od odpowiedzi impulsowych systemów składowych. Splot sygnału z odpowiedzią impulsową można przedstawić opisowo w sposób następujący. Ciąg odpowiedzi impulsowej należy odwrócić tył na przód i stopniowo przesuwać nad ciągiem sygnału wejściowego. W każdym położeniu wyznacza się iloczyny tych elementów obu ciągów, które znalazły się jeden nad drugim. Zsumowanie tych iloczynów daje wynik splotu dla pojedynczej wartości indeksu sygnału wyjściowego. W praktyce oba ciągi nie rozciągają się w nieskończonym zakresie indeksów (określenie ciągów w skończonym zakresie indeksów oznacza zwykle, że poza nim ciągi te przyjmują wartości zerowe ). Wystarczy zatem wziąć pod uwagę tylko ten zakres położeń ciągu hn [ ] nad ciągiem x[ n], dla którego można otrzymać niezerowe wartości ciągu wynikowego. Jeżeli ciąg hn [ ] jest określony na długości, a ciąg x[ n] na długości, to wynik splatania powinien być ciągiem o długości: L h L x Ly = Lh + Lx 1 (1) Warto pamiętać, że w określonym zakresie indeksów każdy z ciągów może być również zerowy. Rys.1. przedstawia graficznie trzy położenia ( w tym dwa krańcowe ) dwóch ciągów, hn [ ] oraz s1[ n], przy wyznaczaniu ich splotu liniowego s[ n]. Rys.1. Przykład wyznaczania splotu liniowego dla ciągów określonych na skończonym zakresie indeksów Należy zwrócić uwagę na wartości indeksów ciągu wynikowego. Zależą one od tego, jak na osi indeksów ułożona jest odpowiedź impulsowa i sygnał wejściowy. W przypadku zignorowania indeksów nie jest możliwe rozróżnienie na przykład odpowiedzi systemu przyczynowego i nieprzyczynowego. Jeżeli zakres indeksów, dla którego określono ciąg x[ n], zaczyna się od n x, natomiast ciąg hn [ ] określono poczynając od indeksu n h, to pierwszy element ciągu wynikowego jest określony dla indeksu: ny = nx + nh () 5
6 Pominięcie indeksów spowoduje, że nie będzie możliwe potwierdzenie ważnego efektu, iż splot sygnału z ciągiem delty Kroneckera przesuniętym o k daje w wyniku ten sam sygnał, ale przesunięty właśnie o k : xn [ ] dn [ k] = xn [ k] (3) Właściwość tę można (i należy to umieć) łatwo sprawdzić analizując wzór (3) w zapisie sumacyjnym (patrz (18)). Zależność (3) wynika także wprost z wyznaczenia odpowiedzi impulsowej systemu opóźniającego o k indeksów. Ponieważ funkcja conv MATLAB a nie uwzględnia indeksów, więc należy tę ważną niekiedy informację wprowadzić samodzielnie. Jednym ze sposobów jest użycie dodatkowych wektorów o długościach identycznych z wektorami reprezentującymi oba splatane ciągi. Te dodatkowe ciągi powinny mieć wartości zerowe wszędzie poza jednym elementem wskazującym na wybrany indeks (na przykład 0 ). Wykonanie polecenia conv dla tych pomocniczych wektorów da w wyniku wektor z jednym niezerowym elementem wskazującym położenie wybranego indeksu w ciągu wynikowym. Domowe ćwiczenia uzupełniające: 1. Dlaczego liniowość oraz niezmienność względem przesunięcia są warunkami koniecznymi do tego, by odpowiedź impulsowa umożliwiała określenie odpowiedzi systemu na dowolny sygnał wejściowy? Uzasadnienie można oprzeć na przykładach systemów nie spełniających wymaganych założeń. Można jednak przeprowadzić dowód bazujący na następujących wskazówkach: a) splot jest operacją liniową, b) dowolny sygnał można przedstawić jako kombinację liniową przesuniętych delt Kroneckera, c) splot dowolnego ciągu z przesuniętą deltą Kroneckera daje ten sam ciąg, jednak przesunięty tak samo jak jest przesunięta delta.. Korzystając z właściwości splotu oraz odpowiedzi impulsowej proszę wykazać, że każdy system ( w tym przypadku liniowy i stacjonarny) można przedstawić jako złożenie systemu przyczynowego i antyprzyczynowego. 1.4 Równanie różnicowe Zależność pomiędzy ciągiem wejściowym i wyjściowym dla danego systemu (liniowego, niezmiennego względem przesunięcia) można opisać za pomocą liniowego równania różnicowego o stałych współczynnikach a k oraz b m, przy czym zakłada się, że a 1 0 : K a y[ n k + 1] = b x[ n m+ 1] M k k = 1 m= 1 W ogólnym przypadku sumowanie po obu stronach może przebiegać po indeksach zmierzających do nieskończoności. Przekształcenie (4) do postaci odpowiadającej wyznaczeniu wartości y[ n], czyli wartości wyjściową w danej chwili, daje: a 1 a y[ n] = b x[ n] + b x[ n 1] b x[ n M + 1] 1 1 a y[ n 1] a y[ n ]... a y[ n K+ 1] 3 Współczynnik przyjmuje się zwykle jako równy 1, co nie ogranicza ogólności wzoru (5), gdyż wymaga jedynie odpowiedniego przeskalowania wszystkich pozostałych współczynników równania. UWAGA: System opisany równaniem (5) nie musi być przyczynowy - przyczynowość może zależeć od założonych warunków początkowych (patrz przykład na końcu podrozdziału). Często jednak przyjmuje się z założenia przyczynowość systemu. W ogólnym przypadku ( ponieważ wartość wyjściowa w danej chwili zależy zarówno od wartości ciągu wejściowego, jak i wyjściowego ) równanie opisuje strukturę rekursywną. Jednak gdy wszystkie współczynniki, z a 1 wyjątkiem, są zerowe, to równanie (5) opisuje strukturę nierekursywną i jeżeli zakres sumowania jest skończony, to równanie takie odpowiada systemowi o skończonej odpowiedzi impulsowej FIR (skrót z j.ang. - Finite Impulse Response ). Jako ćwiczenie wstępne należy wykazać, że w takim przypadku kolejne elementy odpowiedzi impulsowej są równe kolejnym współczynnikom b k (natomiast dla indeksów mniejszych od zera elementy odpowiedzi impulsowej są równe zero), czyli: m M K a k (4) (5) hk [ ]= (6) Równość (6) zachodzi także, gdy zakres sumowania nie jest skończony, czyli gdy M =. Wtedy jednak odpowiedź impulsowa także nie jest skończona zatem jest to system o nieskończonej odpowiedzi impulsowej IIR ( skrót z j.ang. - b k 6
7 Inifinite Impulse Response ). Ponieważ równanie różnicowe o nieskończonym zakresie sumowania ma niewielkie zastosowanie praktyczne, zatem przyjmuje się, że systemu IIR nie da się przedstawić w postaci nierekursywnej. Warto przypomnieć, że system określony jednoznacznie z punktu widzenia realizowanej operacji może być opisany za pomocą nieskończenie wielu równań różnicowych, a w szczególności że każdy opis nierekursywny można przedstawić jako równoważny opis rekursywny ( jednak twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe ). Możliwość wielu wariantów opisu jednego systemu łatwo będzie potwierdzić przy omawianiu transmitancji z. Warunki początkowe równania różnicowego Samo równanie różnicowe nie zawsze jest kompletnym opisem systemu. Odpowiedź systemu wyznaczona z danego równania różnicowego może zależeć od warunków początkowych. Od ich wyboru może zależeć nawet, czy system jest przyczynowy, czy też nie. Jednak termin warunki początkowe posiada nieco inne znaczenie w teorii równań różnicowych, a inne z punktu widzenia implementacji systemów (filtrów) cyfrowych: a) Warunki początkowe dla równania różnicowego (4), to zbiór K 1 przyjętych z założenia wartości ciągu y[ n] dla dowolnych K 1 różnych wartości indeksów. Ponadto zakłada się znajomość ciągu x[ n] dla pełnego zakresu indeksów. Określenie jako zadanych z góry K 1 kolejnych wartości y[ n] gwarantuje znalezienie rozwiązania dla pozostałych elementów ciągu y[ n]. Przyjęcie natomiast jako warunków początkowych dowolnych, ale nie kolejnych K 1 wartości ciągu wyjściowego może - choć nie musi - doprowadzić do sprzeczności. Kompletny ciąg y[ n]można nazwać ogólnym rozwiązaniem równania różnicowego. Rozwiązanie to posiada dwie składowe - rozwiązanie szczególne (zwane też wymuszonym, ponieważ zależy od wymuszenia w postaci ciągu x[ n]) oraz rozwiązanie jednorodne (zwane też swobodnym, ponieważ zależy od K 1 warunków początkowych, a nie zależy od x[ n]). W tym przypadku słowo początkowe nie ma bezpośredniego związku z jakąkolwiek chwilą początkową wynikającą z indeksów czasowych. Przykładowo z warunku początkowego w postaci wartości y[ 10] wyznaczane są pozostałe elementy ciągu y[ n] - zarówno dla n < 10, jak i dla n > 10. b) Warunki początkowe dla wyznaczenia odpowiedzi filtru cyfrowego to wartości potrzebne do wyznaczenia fragmentu ciągu wyjściowego y[ n] dla zakresu indeksów czasowych rozpoczynającego się od skończonej wartości n 0 (na przykład n 0 = 0 ), w sytuacji gdy ciąg wejściowy x[ n] znany jest również dopiero od chwili n 0. Zakłada się wówczas zwykle, że system jest przyczynowy (dla systemu antyprzyczynowego można przyjąć przeciwny bieg indeksów). Warunki początkowe, w postaci na przykład zmiennych stanu systemu, zawierają niezbędną informację zastępującą brakujące z punktu widzenia równania różnicowego elementy ciągów wejściowego i wyjściowego sprzed chwili początkowej n 0. Określenie warunków początkowych można w tym przypadku porównać do odczytania pamięci systemu. Termin początkowe można zatem zinterpretować bardziej dosłownie, w nawiązaniu do chwili początkowej n 0. Dla filtru opisanego równaniem (4) ilość warunków początkowych w postaci np. zmiennych stanu powinna wynosić: ( ) N max K 1, M 1 (7) IC = N IC Mówi się, że rząd filtru (systemu) jest równy. Dla M = K =1 system nie zawiera żadnych opóźnień, jest bezpamięciowy, więc warunki początkowe w sensie b) nie są konieczne. Warto zwrócić uwagę, że dla systemu FIR nie ma potrzeby określania warunków początkowych w sensie a), natomiast w sensie b) konieczne one będą zawsze, gdy tylko M > 1. Rozpatrywanie klasy systemów z zerowymi warunkami początkowymi typu b) odpowiada założeniu, że w czasie poprzedzającym analizowanie odpowiedzi systemu sygnał wejściowy był zerowy oraz system posiadał zerowy stan wewnętrzny. Nie jest to założenie abstrakcyjne, gdyż w praktyce łatwo jest je spełnić przez zerowanie odpowiednich buforów. Podsumowując, przy założeniu że: 1) system jest przyczynowy oraz ) przy zerowych warunkach początkowych w sensie b) dane równanie różnicowe jednoznacznie definiuje system. Dość istotny jest fakt, że określając warunki początkowe dla wymuszenia w postaci ciągu dn [ ], wyznacza się jednoznaczny opis systemu w postaci odpowiedzi impulsowej. Odpowiedź impulsowa systemu (liniowego i stacjonarnego) nie zależy od ciągu wejściowego x[ n], natomiast opis tego samego systemu za pomocą równania 7
8 różnicowego może wymagać dobierania warunków początkowych dla każdego ciągu wejściowego (patrz ćwiczenia uzupełniające do przykładu 1.1 na końcu podrozdziału). Pominięcie dostosowania warunków początkowych do danego ciągu wejściowego może dać w rezultacie system o zupełnie innych właściwościach niż wynikałoby to z wyznaczonej odpowiedzi impulsowej. Przykłady systemów opisanych przez równania różnicowe 1. System przyczynowy lub antyprzyczynowy ( nieszczelny akumulator - ang. leaky accumulator ): y[ n] 05, y[ n 1 ] = x[ n] (8) Wyznaczymy dla tego systemu odpowiedź impulsową dla dwóch różnych warunków początkowych w sensie a): 1.1 y[ 1] = 0; xn [ ] = dn [ ] (czyli x[ n] jest określone dla < n < ) Dla n > 1 równanie (5) przekształca się do postaci: y[ n] = 05, y[ n 1 ] + x[ n] n < 1do: yn [ ] = yn [ + 1] xn [ + 1 ] natomiast dla ( ) Oddalając się z indeksami od punktu n 0 = 1 w obie strony można w sposób rekurencyjny wyznaczyć ciąg y[ n] dla wszystkich < n <. Fragment ciągu wynikowego jest następujący: yn [ ] = h[ n] = 1 1, 1 1 1,, dla n=,,, 4 8 h1[ n]= 0 dla wszystkich n < 0 { 013 } 1. y[ 1] = 0; xn [ ] = dn [ ] Postępując analogicznie otrzymuje się kompletny ciąg y[ n], którego fragment przedstawiono poniżej: Domowe ćwiczenia uzupełniające: { } { } yn [ ] = h[ n] = 16, 8, 4,, 0 dla n= 4, 3,, 1, 0 h[ n]= 0 dla wszystkich n > 0 1. Dla systemu przyczynowego o odpowiedzi impulsowej hn [ ] = { 1, 05. } dla n= { 0, 1} proszę napisać odpowiednie równanie różnicowe oraz określić warunki początkowe w sensie a) w postaci wartości y[ 1 ] przyjmując, że na wejście podany jest: 1) ciąg x1[ n] = u[ n] ) ciąg x[ n] = un [ ] un [ ]. System o skończonej odpowiedzi impulsowej ( różnica wstecz - ang. backward difference ): 3. Inny system FIR ( bieżąca średnia - ang. moving average ): y[ n] = x[ n] x[ n 1 ] (9) M 1 yn [ ] = M xn [ k + 1] (30) k = 1 8
9 Korzystanie z pakietu MATLAB.1 Funkcje z zakresu DSP DSP-MATLAB, Ćwiczenie, P.Korohoda, KE AGH Polecenie filter( dane wejściowe ) conv( dane wejściowe ) Opis wyznaczanie odpowiedzi systemu opisanego przez równanie różnicowe wyznaczanie splotu liniowego dwóch ciągów (w postaci wektorów) Obie funkcje są podobne - umożliwiają wyznaczenie odpowiedzi stacjonarnego systemu liniowego na podane wymuszenie. Funkcja filter może jednak modelować zarówno system opisany równaniem nierekursywnym, jak i rekursywnym, natomiast instrukcja conv jest przydatna bezpośrednio jedynie dla opisu nierekursywnego. Z kolei funkcja filter wyznacza odpowiedź o długości takiej samej jak długość sygnału wejściowego, podczas gdy wynik funkcji conv ma długość wynikającą z długości sygnału wejściowego i odpowiedzi impulsowej (patrz materiał z zakresu DSP). Ograniczona długość wyniku dla funkcji filter jest rekompensowana przez możliwość wykorzystania warunków początkowych ( w sensie b) ) oraz końcowych - zagadnienie to będzie elementem kolejnego ćwiczenia. W tym ćwiczeniu przyjmuje się założenie o zerowych warunkach początkowych (nie będą więc także analizowane warunki końcowe). Dlatego z funkcji filter należy korzystać w sposób następujący: >>y=filter(b,a,x); gdzie x oraz y to wektory reprezentujące ciągi wejściowy i wyjściowy, natomiast b oraz a to wektory reprezentujące ciągi współczynników równania różnicowego o nazwach zgodnych z oznaczeniami we wzorach (4) i (5) ((UWAGA NA KOLEJNOŚĆ!!!). Naturalnie nie ma konieczności stosowania takich samych nazw - istotna jest kolejność wektorów podanych na liście wejściowej funkcji filter. Ponieważ przyjmuje się, że w równaniu (5) a 1 = 1, więc należy o tym pamiętać przy tworzeniu wektorów opisujących badany filtr. Dla systemu według równania (9) przykładowa sekwencja komend mogłaby wyglądać następująco: >> a9=1; >> b9=[1, -1]; >> d=zeros(1,64); >> d(33)=1; zatem umawiamy się, że 33 pozycji odpowiada indeks 0 >> h9=filter(b9,a9,d); h9 jest odpowiedzią impulsową systemu (9) dla wybranego zakresu indeksów ( jakiego?) Podobne zadanie można także zrealizować za pomocą funkcji conv (system nie jest rekursywny), jednak tym razem musimy założyć znajomość odpowiedzi impulsowej: >> x=rand(1,64); >> y=conv(x,h9); odpowiedź systemu (9) na pseudolosowy ciąg wejściowy Powyższe przykłady nie uwzględniają indeksów - jak zatem należałoby je uzupełnić, by można było przedstawić graficznie odpowiednie ciągi z opisem osi poziomej w postaci indeksów czasowych? W celu uruchomienia generatora liczb pseudolosowych w uzależnieniu od stanu zegara komputera należy podać komendę: >> rand( seed,sum(100*clock)); 9
DSP-MATLAB, Ćwiczenie 2, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 2. Przemysław Korohoda, KE, AGH
Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie 2 Systemy i wybrane sposoby ich opisu Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Klasyfikacja
Bardziej szczegółowoInstrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Ćwiczenie 3. Transformata Z; blokowe struktury opisujące filtr
Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie Transformata ; blokowe struktury opisujące filtr Przemysław Korohoda, KE, AGH awartość instrukcji: Materiał z zakresu DSP. Transformata.2
Bardziej szczegółowoTransformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:
PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoDyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform
Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoAndrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZEIE 7 Splot liniowy i kołowy sygnałów 1. Cel ćwiczenia Operacja splotu jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na sygnale. Każde przejście
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowox 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:
RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowo1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoWłaściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan
Właściwości sygnałów i splot Krzysztof Patan Właściwości sygnałów Dla sygnału ciągłego x(t) można zdefiniować wielkości liczbowe charakteryzujące ten sygnał wartość średnia energia sygnału x sr = lim τ
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Operacja na dwóch funkcjach dająca w wyniku modyfikację oryginalnych funkcji (wynikiem jest iloczyn splotowy). Jest
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów dyskretnych
Przetwarzanie sygnałów dyskretnych System dyskretny p[ n ] r[ n] Przykłady: [ ] = [ ] + [ ] r n a p n a p n [ ] r n = 2 [ + ] + p[ n ] p n 2 r[ n] = a p[ n] + b n [ ] = [ ] r n a p n n [ ] = [ + ] r n
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowob n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej:
1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowox(n) x(n-1) x(n-2) D x(n-n+1) h N-1
Laboratorium Układy dyskretne LTI projektowanie filtrów typu FIR Z1. apisać funkcję y = filtruj(x, h), która wyznacza sygnał y będący wynikiem filtracji sygnału x przez filtr FIR o odpowiedzi impulsowej
Bardziej szczegółowoPrzetworniki cyfrowo-analogowe C-A CELE ĆWICZEŃ PODSTAWY TEORETYCZNE
Przetworniki cyfrowo-analogowe C-A CELE ĆWICZEŃ Zrozumienie zasady działania przetwornika cyfrowo-analogowego. Poznanie podstawowych parametrów i działania układu DAC0800. Poznanie sposobu generacji symetrycznego
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoWykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika
Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoLaboratorium z automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z automatyki Algebra schematów blokowych, wyznaczanie odpowiedzi obiektu na sygnał zadany, charakterystyki częstotliwościowe Kierunek studiów:
Bardziej szczegółowoJeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów:
Logika rozmyta 2 Zbiór rozmyty może być formalnie zapisany na dwa sposoby w zależności od tego z jakim typem przestrzeni elementów mamy do czynienia: Jeśli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoKATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ. Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych. ćwiczenie 204
Opracował: prof. dr hab. inż. Jan Kazimierczak KATEDA INFOMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 204 Temat: Hardware'owa implementacja automatu skończonego pełniącego
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowozaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:
1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoStabilność. Krzysztof Patan
Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA II rok Kierunek Transport Temat: Transmitancja operatorowa. Badanie odpowiedzi układów automatyki. Opracował
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów
Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 3 Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Spis treści 1 Filtracja cyfrowa podstawowe wiadomości 1 1.1 Właściwości filtru w dziedzinie czasu............... 1 1.2
Bardziej szczegółowo5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Bardziej szczegółowoCzęść 1. Transmitancje i stabilność
Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości
Bardziej szczegółowouzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t
4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie schematów blokowych. Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:
Warszawa 2017 1 Cel ćwiczenia rachunkowego Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia: zasady budowy schematów blokowych układów regulacji automatycznej na podstawie równań operatorowych;
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowoĆw. 7 Wyznaczanie parametrów rzeczywistych wzmacniaczy operacyjnych (płytka wzm. I)
Ćw. 7 Wyznaczanie parametrów rzeczywistych wzmacniaczy operacyjnych (płytka wzm. I) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie parametrów typowego wzmacniacza operacyjnego. Ćwiczenie ma pokazać w jakich warunkach
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoSPRZĘTOWA REALIZACJA FILTRÓW CYFROWYCH TYPU SOI
1 ĆWICZENIE VI SPRZĘTOWA REALIZACJA FILTRÓW CYFROWYCH TYPU SOI (00) Celem pracy jest poznanie sposobu fizycznej realizacji filtrów cyfrowych na procesorze sygnałowym firmy Texas Instruments TMS320C6711
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoInstrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Wybrane właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera
Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Wybrane właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Macierzowy
Bardziej szczegółowoOPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA
OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA Wprowadzenie W robotyce przez pojęcie manipulacji rozumiemy przemieszczanie w przestrzeni przedmiotów i narzędzi za pomocą specjalnego mechanizmu. W związku z tym pojawia
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET
CPS - - ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET Rozwiązywanie równań różnicowych Dyskretny system liniowy-stacjonarny można opisać równaniem różnicowym w postaci ogólnej N M aky[ n k] bkx[ n k] k k Przekształcenie
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Teoria i przetwarzanie sygnałów Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EEL-1-524-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Elektrotechnika
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoskłada się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:
TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.
Bardziej szczegółowoRys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik
Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik gdzie: m-masa bloczka [kg], ẏ prędkośćbloczka [ m s ]. 3. W kolejnym energię potencjalną: gdzie: y- przemieszczenie bloczka [m], k- stała sprężystości, [N/m].
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoPrzerzutnik ma pewną liczbę wejść i z reguły dwa wyjścia.
Kilka informacji o przerzutnikach Jaki układ elektroniczny nazywa się przerzutnikiem? Przerzutnikiem bistabilnym jest nazywany układ elektroniczny, charakteryzujący się istnieniem dwóch stanów wyróżnionych
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowoSTUDIA MAGISTERSKIE DZIENNE LABORATORIUM SYGNAŁÓW, SYSTEMÓW I MODULACJI. Filtracja cyfrowa. v.1.0
Politechnika Warszawska Instytut Radioelektroniki Zakład Radiokomunikacji SUDIA MAGISERSKIE DZIENNE LABORAORIUM SYGNAŁÓW, SYSEMÓW I MODULACJI Filtracja cyfrowa v.1. Opracowanie: dr inż. Wojciech Kazubski,
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowo8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji.
8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji. W tym ćwiczeniu zapoznamy się z modelem sztucznego neuronu oraz przykładem jego wykorzystania do rozwiązywanie prostego zadania klasyfikacji. Neuron biologiczny i
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoSiły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH
METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w
Bardziej szczegółowo1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.
1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. A Najłatwiejszym sposobem jest rozpatrzenie wszystkich odpowiedzi
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo