Plastyczność polikryształów metali - materiały do wykładu

Transkrypt

1 Plastyczność polikyształów metali - mateiały do wykładu Katazyna Kowalczyk-Gajewska Instytut Podstawowych Poblemów Techniki PAN, Świętokzyska 21, Waszawa, kkowalcz@ippt.gov.pl 1 Fizyczne podstawy teoii plastyczności dla metali Metale są mateiałami polikystalicznymi. Repezentacyjny element objętości dla takich mateiałów składa się z dużej liczby pojedynczych ziaen kystalicznych. Śedni wymia wielkości ziana to mm. Mikostuktua pojedynczego kyształu chaakteyzowana jest pzez budowę sieci kystalogaficznej. Najczęściej spotykane typy sieci dla metali to (ysunek 1): sieć A1 (RSC) - egulana ściennie centowana (miedź, aluminium) sieć A2 (RPC) - egulana pzestzennie centowana (żelazo α, wolfam) sieć A3 - heksagonalna zwata (cynk, magnez). Rysunek 1: Typowe sieci kyształów metali: a) A1 (RSC) b) A2 (RPC) c) A3 waz z zaznaczonymi płaszczyznami poślizgu W badaniach doświadczalnych stwiedzono, że o ile podczas defomacji spężystych kieunki mateialne i sieciowe defomują się tak samo o tyle defomacja plastyczna zachodzi 1

2 pzez uch dyslokacji (poślizg) na pewnych, ściśle okeślonych dla danego typu sieci, płaszczyznach sieciowych wzdłuż ściśle okeślonych kieunków sieciowych. Defomacja taka pozostawia sieć niezmienioną (ysunek 2). Defomację plastyczną możemy więc opisać jako sumę postych ścinań zadanych pzez dwa otogonalne do siebe wektoy: n - unomowany wekto postopadły do płaszczyzny ścinania (płaszczyzny poślizgu) m - unomowany wekto ównoległy do kieunku ścinania (kieunku poślizgu) Rysunek 2: Poównanie defomacji plastycznej a) włókien mateialnych i b) kieunków sieciowych. Defomacja sztywno-plastyczna pojedynczego kyształu o jednym systemie poślizgu pzy jednosiowym ozciąganiu c) Paę tych wektoów nazywamy systemem poślizgu. Należy wspomnieć, że dla silnie zaawansowanych defomacji plastycznych (ε > 100%) opócz powyżej opisanego podsta- 2

3 wowego mechanizmu defomacji mamy często doczynienia z bliźniakowaniem oaz pasmami ścinania. Aby opisać plastyczność polikyształów metali opócz sfomułowania modelu konstytutywnego opisującego defomację pojedynczego kyształu pod wpływem zadanych obciążeń należy ównież ozważyć zachowanie się agegatu ziaen. Zwykle epezentatywny element polikyształu stanowi agegat składający się z ok ziaen wypełniających objętość 1 mm 3. Rozważając zachowanie agegatu należy odpowiedzieć na pytanie w jaki sposób globalne obciążenie jakiemu poddany jest agegat jest dystybuowane pomiędzy zianami, któych sieć może być óżnie zoientowana w pzestzeni fizycznej. Jeżeli pominiemy wpływ wielkości i kształtu ziaen, to znaczy uznamy, że wszystkie ziana mają ten sam wymia i kształt kulisty, to dwa najczęściej stosowane modele odpowiadające na postawione pytanie to (ysunek 3): model Sachsa zakładający, że stan napężenia jest w każdym zianie taki sam i ówny globalnemu stanowi napężenia. Pzy takim założeniu nie spełnione są waunki ciągłości na ganicach ziaen, model Tayloa zakładający, że odkształcenie w każdym zianie jest takie same i ówne globlanemu odkształceniu agegatu. W tym pzypadku nie spełnione są ównania ównowagi na ganicach ziaen. Rysunek 3: Defomacja agegatu ziaen podczas jednoosiowego ozciągania: a) początkowy stan agegatu b) po dużym odkształceniu plastycznym według modelu Sachsa c)według modelu Tayloa Stwiedzono, że założenie Tayloa jest bliższe zeczywistości obsewowanej w ekspeymentach. Badziej zaawansowane modele dla polikyształu polegają bądź na uwolnieniu niektó- 3

4 ych więzów nałożonych pzez powyższe modele (np. na pzyjęciu założenia, że tylke pewne składowe stanu napężenia lub odkształcenia są sobie ówne) lub na zastosowaniu teoii homogenizacji do wyznaczenia ozkładów odkształceń i napężeń w agegacie poddanym jednoodnemu stanowi napężenia. 2 Plastyczność pojedynczych kyształów metali - model sztywno-idealnie plastyczny 2.1 Kinemtyka pojedynczego kyształu Gadient defomacji Rozpatujemy następujące konfiguacje ciała (pojedynczego kyształu metalu): konfiguację początkową, konfiguację aktualną i konfiguację pośednią (ysunek 4). Obecność konfiguacji pośedniej wynika z ozbicia defomacji na jej część spężystą i plastyczną. W teoii dużych defomacji, w miejsce addytywnego ozbicia odkształceń chaakteystycznego dla teoii małych odkształceń, pzyjmuje się multiplikatywny ozkład całkowitego gadientu defomacji F na część spężystą i część plastyczną F p. W modelu sztywno-idealnie plastycznym oganiczamy część spężystą gadientu defomacji do sztywnego obotu R e, a zatem (objaśnienia dotyczące wyażeń matematycznych znajdują się w ostatniej części mateiałów) (2.1) F ij = RikF e p kj. Rysunek 4: Rozkład gadientu defomacji pojedynczego ziana Zgodnie z obsewacjami doświadczalnymi pzytoczonymi w popzedniej części wykładu uch włókien mateialnych opisany powyżej jest inny od uchu sieci. Ruch sieci opisany 4

5 jest pzez sztywny obót R, któy ówny jest spężystej części gadientu defomacji R e : (2.2) R ij = R e ij Gadient pędkości Dla teoii plastyczności chaakteystyczny jest zapis pędkościowy (podstawowe pole jakim się posługujemy, to pole pędkości v ciała). Wyznaczmy zatem gadient pędkości mateiału i sieci. Dla mateiału otzymujemy (2.3) L ij = v i = F x ik F 1 kj = Ṙ ikrjk +Rik F j }{{} p kl (F p lm ) 1 Rjm, gdzie d () = }{{} dt () L e ij L p ij natomiast dla sieci (2.4) L ij = v x j = Ṙ ikr jk = L e ij. Jak mówiliśmy w popzedniej części wykładu defomacja plastyczna zachodzi pzez poślizg na okeślonych dla danego typu sieci systemach poślizgu. Oznaczmy pzez M liczbę systemów poślizgu chaakteystyczną dla danego typu sieci (np.: A1 - M = 12, A2 - M = 48). Dla każdego systemu poślizgu, = 1,...,M znane są wektoy n i m definiujące system poślizgu. Część plastyczna gadientu pędkości L p będzie zatem sumą pędkości postego ścinania na wszystkich systemach poślizgu: (2.5) M L p ij = γ m in j Skalane wielkości γ to pędkości poślizgu na poszczególnych systemach odniesione do początkowej oientacji sieci. Oznacza to, że definiowane są w taki sposób, aby spełniały waunek (patz ysunek 4) (2.6) F p ik (F p kj ) 1 = M γ m ion jo Tenso pędkości odkształceń plastycznych i tensoy spinu Możemy dokonać podziału zaówno całkowitego gadientu pędkości L jak i jego części związanej ze sztywnym spężystym obotem L i plastycznej L p na część symetyczną i antysymetyczną. Dla części związanej ze sztywnym spężystym obotem część symetyczna jest ówna zeu. Pozostaje część antysymetyczna nazywana tensoem spinu spężystego Ω. Dla części związanej z defomacją plastyczną niezeowe mogą być obie części. Część symetyczna nazywana jest tensoem pędkości odkształceń plastycznych D p, natomiast część antysymetyczna tensoem spinu plastycznego Ω p. Dla defomacji sieci mamy wyłącznie do czynienia ze spinem sieci ównym spinowi mateiału związanemu ze sztywnym 5

6 obotem Ω. Odpowiednio otzymujemy następujące wyażenia (2.7) (2.8) (2.9) Ω ij = Ṙ ikr jk Ω p ij = 1 2 (Lp ij Lp ji ) = M D p ij = 1 2 (Lp ij + Lp ji ) = M γ W ij γ P ij gdzie W ij = 1 2 (m in j n im j) gdzie P ij = 1 2 (m in j + n im j) Powyżej wykozystaliśmy ównania (2.5). Można zauważyć, że pojedynczy kyształ sztywno-plastyczny jest mateiałem plastycznie nieściśliwym, ponieważ v i M (2.10) = γ m x in i = 0. i 2.2 Związki konstytutywne Waunek uplastycznienia Poniżej pzedstawimy dwa waunki uplastycznienia dla pojedynczego kyształu, a mianowicie waunek opaty o klasyczne pawo Schmida waunek opaty o egulayzowane pawo Schmida Klasyczne pawo Schmida mówi, że poślizg na danym systemie poślizgu ozpoczyna się w momencie, gdy watość efektywnego napężenia ścinającego τ osiągnie watość kytyczną τ c. Efektywne napężenie ścinające obliczamy jako zut tensoa napężenia σ na płaszczyznę i kieunek ścinania: (2.11) τ = m iσ ij n j Rysunek 5: Definicja efektywnego napężenia ścinającego. W modelu sztywno-idealnie plastycznym watość τ c jest stałą mateiałową. Waunek uplastycznienia pojedynczego kyształu możemy zatem zapisać w postaci (2.12) max τ = τc. 6

7 Według powyższego waunku pojedynczy kyształ uplastycznia się (ozpoczyna się poślizg na systemach poślizgu) w momencie, gdy watość maksymalnego z efektywnych napężeń ścinających na systemach poślizgu osiągnie watość kytyczną. Waunki obciążenie-odciążenie możemy sfomułować w następujący sposób (2.13) τ < τc = element pozostaje sztywny (2.14) (2.15) τ = τ c i τ < 0 = element ulega odciążeniu τ = τ c i τ = 0 = element ulega uplastycznieniu Powyższy waunek uplastycznienia twozy w pzestzeni napężeń powiezchnię plastyczności. Jest to waunek odcinkowo-liniowy, a więc powiezchnia ta chaakteyzuje się występowaniem naoży (ysunek 6). Rysunek 6: Kształt powiezchni plastyczności dla pawa Schmida i egulayzowanego pawa Schmida (n = 1 i n = 6) dla płaskiego stanu napężenia o osiach głównych zoientowanych w óżny sposób względem kieunków sieciowych W 1991 Gambin zapoponował egulayzowany waunek Schmida jako waunek uplastycznienia pojedynczego kyształu. Według tego waunku kyształ uplastycznia się 7

8 w momencie, gdy spełnione jest ównanie M ( ) τ 2n (2.16) f(σ) m = m = 0. Opócz wielkości τ c stałymi mateiałowymi są tu ównież wykładnik n > 1 i wielkość m > 0. W tym pzypadku waunki obciążenie-odciążenie pzyjmują postać (2.17) (2.18) (2.19) f(σ) < m = f(σ) = m i f < 0 = f(σ) = m i f = 0 = τ c element pozostaje sztywny element ulega odciążeniu element ulega uplastycznieniu Kształty powiezchni plastyczności opisanych pzez oba waunki są sobie bliskie dla dużych watości wykładnika n. Dla niskich watości n naoża na powiezchni plastyczności ulegają coaz większemu zaokągleniu dla egulayzowanego pawa Schmida Pawa płynięcia i pawa spinu plastycznego W modelu wykozystującym klasyczne pawo Schmida ozpatujemy poszczególne systemy poślizgu oddzielnie. Jak zauważono w części wykładu poświęconej kinematyce pojedynczego ziana tenso pędkości defomacji plastycznej i tenso spinu możemy ozbić na części związane z postymi ścinaniami na poszczególnych systemach poślizgu (2.20) D p ij = M D p, ij Ω p ij = M Zakłada się, że funkcja opisująca pawo Schmida dla ozważanego systemu poślizgu jest potencjałem dla wielkości D p,, a zatem D p, ij = λ 1 ( τ + τ ) (2.21) = λ P 2 σ ij σ ij. ji Funkcja λ jest tzw. mnożnikiem plastycznym i jest niezeowa wyłącznie wtedy, gdy spełniony jest waunek (2.15). Systemy poślizgu spełniające ten waunek nazywamy aktywnymi systemami poślizgu. Analogicznie możemy sfomułować pawo spinu plastycznego zakładając, że (2.22) Ω p, ij = λ 1 2 ( τ σ ij τ σ ji ) Ω p, ij = λ W ij. Dla egulayzowanego pawa Schmida wszystkie systemy poślizgu ozpatywane są ównocześnie. Pzyjmując, że funkcja f(σ) jest potencjałem dla tensoa pędkości odkształceń plastycznych D p otzymujemy stowazyszone pawo płynięcia postaci (2.23) D p ij = λ1 2 ( f + f ) σ ij σ ji 8 = λ M ( ) τ 2n 1 2n τ c τ c P ij

9 Analogicznie pawo spinu plastycznego pzyjmuje postać (2.24) Ω p ij = λ1 2 ( f f ) = λ σ ij σ ji M ( ) τ 2n 1 2n Również i w tym pzypadku funkcja λ nazywana jest mnożnikiem plastycznym. Funkcja ta jest óżna od zea jeżeli spełniony jest waunek (2.19). 2.3 Zamknięty układ ównań teoii plastyczności pojedynczych kyształów Własności kyształu opisane są pzez następujące wielkości: dla klasycznego pawa Schmida: kytyczne napężenia ścinające τ c, systemy poślizgu {n,m } dla egulayzowanego pawa Schmida pzez: kytyczne napężenia ścinające τ c, systemy poślizgu {n,m } oaz stałe n i m W tabeli zestawione zostały poszukiwane pole oaz ównania teoii plastyczności pojedynczego ziana, któe twozą zamknięty układ 12 + M lub ównań z 12 + M lub niewiadomymi. Do opisania konketnego poblemu bzegowego potzebne będą jeszcze waunki bzegowe i waunki poczatkowe. Poszukiwane pola Równania teoii pole pędkości v i (3) ównania ównowagi (3) pole napężeń σ ij (6) pawo płynięcia (2.21) lub (2.23) (6) aktualna oientacja sieci φ i (3) pawo spinu plastycznego (2.22) lub (2.24) (3) mnożniki λ (M) mnożnik λ (1) wa. plast. (2.15) (M) wa. plast. (2.19) (1) = 12 + M = = 12 + M = Tablica 1: Zestawienie poszukiwanych pól i ównań jakimi dysponujemy w modelu plastyczności pojedynczego ziana. τ c τ c W ij 3 Rozwój tekstuy kystalogaficznej Rozpatzmy agegat ziaen składający się z N gup ziaen o takiej samym typie sieci (np. A1) ale o óżnej oientacji kieunków sieciowych, a tym samym kieunków definiujących systemy poślizgu wobec układu globalnego. Pzyjmiemy założenie Tayloa w następującej postaci: (3.25) L = L g dla każdego ziana g = 1,...,N 9

10 gdzie D = D p = D p,g = 1 2 (L + LT ), Ω = Ω g = 1 2 (L LT ). W pocesie zaawansowanych defomacji plastycznych (ε 30%) oientacja sieci poszczególnych ziaen zmienia się dążąc do pewnych, upzywilejowanych dla danego pocesu defomacji, oientacji. Zjawisko to nazywamy ozwojem tekstuy kystalogaficznej. Rozwój tekstuy kystalogaficznej manifestuje się na poziomie makoskopowym anizotopią in. kieunkowością właściwości mateiału. Rysunek 7: Rozwój tekstuy w pocesie walcowania w agegacie ziaen o początkowo losowym ozkładzie oientacji. Pojedyncza kopka na powyższym wykesie zwanym figuą biegunową epezentuje oientację poszczególnych ziaen. Zakładając, że mamy dany gadient pędkości L(t) możemy wyznaczyć ozwój tekstuy w agegacie ziaen. Pogam obliczeń jest następujący: Dla chwili t na początku ozpatywanego koku obliczeń mamy dane dla każdego ziana g L(t), R g (t) = R g (φ 1 (t),φ 2 (t),φ 3 (t)) gdzie R g (t) opisuje oientację kieunków sieciowych ozpatywanego ziana g względem układu globalnego. Oientację taką można opisać pzez 3 kąty Eulea φ i (t). Kozystając z jednego z pzedstawionych modeli pojedynczego kyształu na podstawie danych obliczamy σ g (t), Ω p,g (t), Ω,g (t) Na podstawie Ω,g (t) możemy wyznaczyć zmianę kątów Eulea kozystając z pzekształcenia Ω p,g (t) = Ṙ(t)RT (t) Ṙ(t) = Ωp,g (t)r(t) φ 1 (t), φ 2 (t), φ 3 (t) 10

11 Na zakończenie koku obliczeń dla chwili t obliczamy dane do następnego koku obliczeń L(t + t), R g (t + t) = R g (φ 1 (t) + φ 1 (t) t,φ 2 (t) + φ 2 (t) t,φ 3 (t) + φ 3 (t) t) Na ysunku 7 pokazaliśmy zmianę tekstuy dla agegatu ziaen poddanego pocesowi walcowania. Na początku agegat ten miał losowy ozkład oientacji. 4 Powiezchnia plastyczności dla polikyształu Opisując zachowanie polikyształu taktujemy epezentacyjny agegat ziaen jak punkt mateialny. W punkcie tym możemy szukać zależności między globalnym polem pędkości v i globalnym polem napężenia σ. Wiążąc te wielkości z lokalnym pole pędkości v g i napężenia σ g wpowadzamy pewną poceduę uśedniania i okeślamy L i σ jako śednie po agegacie z wielkości lokalnych. Pocedua uśedniania może wyglądać następująco (4.26) σ = N γ g σ g, L = g=1 N γ g L g g=1 gdzie γ g oznacza udział objętościowy ziana g w epezentacyjnym agegacie ziaen. Rysunek 8: Powiezchnie plastyczności dla polikyształu o losowym ozkładzie ziaen (makoskopowo mateiał jest izotopowy) a) fizyczna b) fiz.-fenomenologiczna c) Hubea- Misesa Wykozystując pojęcie globalnego uśednionego napężenia i gadientu pędkości możemy zdefiniować powiezchnię plastyczności dla polikyształu. W zależności od tego w jaki sposób pzy definicji tej powiezchni wpowadzamy mikostuktuę polikyształu powiezchnie plastyczności dla polikyształu możemy podzielić na 11

12 fizyczne powiezchnie plastyczności - np. powiezchnia Tayloa-Bishopa-Hilla zdefiniowana jako obwiednia lokalnych powiezchni plastyczności Schmida dla pojedynczego ziana i powstała pzy wykozystaniu stowazyszoności pawa płynięcia i założenia Tayloa, fizyczno-fenomenologiczne powiezchnie plastyczności, gdzie poponując ównanie opisujące powiezchnię wpowadza się do niego infomację o mikostuktuze N M ( ) n,g σ m,g 2n γ g K = 0 g=1 τ,g c gdzie γ g, n,g, m,g i τc,g są zdefiniowane jak popzednio (dodatkowy indeks g oznacza, że wielkości te mogą być óżne w poszczególnych zianach). Wielkość K i wykładnik n są stałymi mateiałowymi, fenomenologiczne powiezchnie plastyczności np. powiezchnia Hubea-Misesa dla metali. W pzypadku takich powiezchni mikostuktua występuje w teoii w sposób mocno uposzczony np. tekstuę mateiału uwzględniamy pzyjmując anizotopową powiezchnię plastyczności i poszukując paametów ją okeślających w testach wytzymałościowych. Taki typ powiezchni plastyczności powadzi nas do klasycznego sfomułowania teoii plastyczności. Rysunek 8 pzedstawia tzy z powyższych typów powiezchni plastyczności dla pzypadku agegatu o losowym ozkładzie oientacji ziaen. Wszystkie ziana są zianami typu A1. Jak można zauważyć otzymujemy zbliżone kształty powiezchni. Sytuacja komplikuje się w pzypadku mateiałów z tekstuą. W wyniku pocesu walcowania dla óżnych kieunków w mateiale otzymujemy óżne watości napężeń uplastyczniających. 5 Liteatua 1. W. Gambin, K. Kowalczyk Plastyczność metali, Oficyna Wydawnicza PW, Waszawa K. Pzybyłowicz Podstawy teoetyczne metaloznastwa, WNT, Waszawa S. Ebel, K. Kuczyński, M. Maciniak Obóbka plastyczna, PWN Waszawa W. Olszak, P. Pezyna, A.Sawczuk Teoia plastyczności, PWN Waszawa, M. Życzkowski Obciążenia złożone w teoii plastyczności 12

13 6 Objaśnienia do sfomułowań matematycznych 1. W miejsce tadycyjnego (inżynieskiego) oznaczania osi układu współzędnych pzez {x,y,z} stosujemy oznaczenia {x 1,x 2,x 3 }. Powoduje to następującą zmianę poszczególnych oznaczeń x x 1, y x 2, z x 3 v x v 1, v y v 2, v z v 3, i.t.p. σ xx σ 11, σ xy σ 12,..., σ zz σ 33, i.t.p. 2. Czcionką pogubioną i wielkimi liteami oznaczamy tensoy. Tenso możemy utożsamiać z jego współzędnymi w ozważanym układzie współzędnych. Współzędne te możemy zapisać jako maciez o wymiaze 3 x 3 F F ij, i,j = 1, 2, 3 F 11 F 12 F 13 F 21 F 22 F 23 F 31 F 32 F W sfomułowanym modelu często mamy do czynienia z opeacją nasunięcia dwóch tensoów. Opeację tą możemy utożsamiać z mnożeniem maciezy współzędnych np.: F = R e F p i ogólnie F 11 F 12 F 13 F 21 F 22 F 23 F 31 F 32 F 33 = R11 e R12 e R13 e R21 e R22 e R23 e R31 e R32 e R33 e a więc F 11 = R e 11F p 11 + R e 12F p 21 + R e 13F p 31 = F ij = R e i1f p 1j + Re i2f p 2j + Re i3f p 3j = 3 k=1 3 k=1 F p 11 F p 12 F p 13 F p 21 F p 22 F p 23 F p 31 F p 32 F p 33 R e 1kF p k1 RikF e p kj, i,j = 1, 2, Dla skócenia zapisu stosujemy konwencję sumacyjną. Według tej konwencji jeżeli jakiś indeks powtaza się we wzoze dwa azy, to należy wykonać po nim sumowanie od 1 do 3. Według tej konwencji powyższy wzó możemy zapisać (opuszczamy znak sumy): 3 F ij = RikF e p kj, i,j = 1, 2, 3 F ij = RikF e p kj. k=1 5. Tenso opisujący sztywny obót jest tzw. tensoem otogonalnym t.zn. spełnia waunek R 11 R 12 R 13 R 11 R 21 R RR T = I R 21 R 22 R 23 R 12 R 22 R 32 = R 31 R 32 R 33 R 13 R 23 R , 13