OBLICZENIA NUMERYCZNE TENSORA PRZEPUSZCZALNOŚCI DARCY EGO W OPARCIU O METODĘ ASYMPTOTYCZNEJ HOMOGENIZACJI

Transkrypt

1 Gónictwo i Geoinżynieia Rok 3 Zeszyt 008 Tomasz Stzelecki* OBLICZENIA NUMERYCZNE TENSORA PRZEPUSZCZALNOŚCI DARCY EGO W OPARCIU O METODĘ ASYMPTOTYCZNEJ HOMOGENIZACJI 1. Wpowadzenie Załóżmy, że ośodek poowaty twozy nieodkształcalną stuktuę utwozoną z ciała stałego. Wewnątz te stuktuy istniee sieć kanalików iltacynych wzaemnie połączonych na tyle egulanie, że można okeślić obętość elementaną epezentatywną VER, spełniaącą waunki peiodyczności stuktualne. Pzymuemy, że ozważane ciało zawiea dużą liczbę takich powtazalnych elementów, co schematycznie można pzedstawić na ysunku 1. Rys. 1. Pzekó pzez peiodyczną stuktuę ośodka poowatego Pzez poy ośodka pzepływa nieściśliwa ciecz Newtona, a zawisko odbywa się w stałe tempeatuze (poces izotemiczny). Teoia homogenizaci pzepływu iltacynego była pzedmiotem licznych publikaci [1,, 4 7]. * Wydział Budownictwa Lądowego, Politechnika Wocławska, Wocław 87

2 Poces pzepływu w peiodycznym obszaze VER opisuą ównania: Równania uchu: diσ =ρ l D Dt (1) gdzie: D = + gad Dt t okeśla wekto pędkości płynące cieczy, pzy czym indeks oznacza, że mamy do czynienia z watością izyczną wymiaową; l σ okeśla wekto napężenia w cieczy, pzy czym indeks l oznacza ciecz; ρ oznacza gęstość pzepływaące pzez ośodek cieczy. Związki konstytutywne w pzypadku cieczy Newtona: l σ = p I+μD( ) () pzy czym D oznacza tenso pędkości dewiatoa odkształcenia. W zapisie wskaźnikowym tenso ten opisue się wyażeniem: 1 D = e ( ) δekk ( ) 3 gdzie: e ( ) = 1 i + dla pzypadku małych pędkości pzepływu (pzepływ laminany), I est tensoem ednostkowym, X X i δ deltą Koneckea. Równania zachowania masy: ρ + di( ρ ) = 0 (3) t Powyższy zbió ównań (1) (3), opisuący pzepływ cieczy, uzupełnia waunek adhezi na ganicy azy ciekłe i azy stałe ośodka: 0 (4) = 88

3 Zakładamy ponadto, że peiodyczność stuktuy powodue, iż wszystkie unkce wektoowe i skalane są Ω -peiodyczne ( Ω okeśla obętość komóki elementane epezentatywne VER). Uwzględniaąc postulat nieściśliwości cieczy newtonowskie, układ ównań opisuących poces pzepływu z uwzględnieniem postulatu peiodyczności można pzedstawić w postaci: t μ gad p = ρ + gad di, = = 0 0, [ ] = 0, [ p] = 0. (5) Powyższym układem ównań (5) opisue się poces pzepływu cieczy nieściśliwe pzez poy nieodkształcalnego ośodka i stanowi on punkt wyścia do ozpoczęcia pocesu homogenizaci, opate na metodzie zbieżności dwuskalowe opisane szczegółowo w pacy [, 7]. Rozwiązaniem powyższego układu ównań są: (0) (0) = k y gadx p ( ), p ( ) p p ( x), (1) (0) (1) = τ y gad % x + (6) gdzie tenso k( y) i wekto τ ( y) są unkcami zmienne lokalne, a p% (1) est unkcą zależną tylko od zmienne makoskopowe x. Układ ównań teoii homogenizaci dla poedyncze celki peiodyczne spowadza się ostatecznie, na podstawie pac [1,, 7], do postaci: τ( y) y k( y) + +δ 0, = y di k( y) I = 0, y (7) k( y) = 0, [ k( y) ] = 0, [ τ( y) ] = 0. Równania (7) stanowią punkt wyścia do okeślenia, po ich uśednieniu, wielkości makoskopowego współczynnika iltaci Dacy ego. Pzy użyciu metod numeycznych, układ ównań (7) pozwala na somułowanie zagadnienie bzegowego. Uzyskane unkce k( y) i τ ( y ) po uśednieniu wyznaczaą tenso dugiego zędu k i wekto τ. Zapisuąc ozwiązanie piewsze z (6) w składowych wektoa pędkości iltaci mamy: (0) p i = k( y) x (0) (8) 89

4 Pzechodząc w ównaniu (8) do zmiennych izycznych uzyskuemy: (0) i (0) l p = k ( y) (9) μ X gdzie l okeśla oznacza wymia celki VER, a μ lepkość pzepływaące cieczy. Po dokonaniu opeaci uśednienia ze względu na współzędną pzestzenną y mamy: (0) i (0) l p = k ( y) (10) μ X gdzie: 1 < >= Ω d, Ω k % est tensoem dugiego zędu pzepuszczalności iltacyne, l któego watość liczbowa est zędu wielkości k% = O k, pzy czym k μ est wielkością l śednią k ( y), zależną od stuktuy wewnętzne w skali nieednoodności. μ ( 0) Wątpliwości może budzić sens wielkości śednie deiniowane ako wielkość śednie obętościowe, gdy tymczasem pędkość iltaci est związana z pzepływem pzez powiezchnię, a więc powinniśmy obliczać śednią po powiezchni. W zeczywistości można udowodnić, ak to pokazano w pacy [7], że w tym pzypadku obie śednie są sobie ówne. Wynika to z chaakteu selenoidalnego unkci ( 0 ).. Okeślenie współczynnika iltaci metodą numeyczną Okeślimy watości tensoa pzepuszczalności w pzypadku płaskiego i odpowiadaącego mu pzestzennego pzepływu pzez peiodyczną komókę o wymiaze l. Na podstawie popzednio pzedstawionych ozważań zagadnienie spowadza się do ozwiązania układu ównań pzepływu iltacynego z waunkami bzegowymi na kontakcie z ciałem stałym = 0, z waunkiem peiodyczności na unkce wektoową i unkcę ciśnienia cieczy w poach p. Zgodnie z (7) układ ównań, aki spełniaą w komóce peiodyczności znomalizowane unkce i p est następuący: gad p gad p = 0, (0) (1) (0) y y x (0) di y = 0, (11) = 0, [ ] = 0, [ p ] = 0. (0) (0) (1) 90

5 Powyższy układ ównań (11) z uwzględnieniem peiodyczności waunków bzegowych spowadza się ostatecznie do ozwiązania układu ównań dla pzypadku, gdy zewnętzna siła działa w kieunku osi y : 1 p ( u) + = y1 1, p y ( ) + = p y ( w) + = 3 0, 0, (1) u w + + = 0. y y y 1 3 Odpowiednio, aby okeślić wszystkie watości tensoa pzepuszczalności, należy ozwiązać powyższy układ ównań dla pzypadków, gdy siła działa w kieunku y i y 3.. Ponadto pzyęto oznaczenia: u,, wsą składowymi wektoa pędkości pzepływu, y1, y, y3są współzędnymi w lokalnym układzie współzędnych. Powyższy układ ównań uzupełniaą waunki bzegowe na kontakcie ciało stałe p ciecz: u = 0, = 0, w = 0, = 0 oaz waunki peiodyczności na kontaktach ciecz n ciecz pomiędzy komókami peiodyczności:[ u] [ ] [ w] [ p] = 0, = 0, = 0, = 0. Wstawienie układu ównań do pocedu obliczeń metodą elementów skończonych powadzi do wyniku negatywnego wynikaącego z aktu, że maciez sztywności est osobliwa i zadanie est niemożliwe do ozwiązania. Aby pokonać tę tudność, można na podstawie pac [3, 7] zastąpić w układzie ównań (11) (0) ównanie di 0 ównaniem p = 0. Wpowadzenie tego ównania w miesce ówna- y = nia ciągłości pzepływu z dodatkowym waunkiem zamykaącym: pdω= 0 dae układ ównań ekwiwalentny do układu ównań (11). Powyższe zagadnienie bzegowe ozwiązano pzymuąc komókę dwuwymiaową w układzie y 1 i y oaz komókę tówymiaową w układzie współzędnych y 1, y, y 3. Pzymuąc komókę sześcienną szeokości bezwymiaowe 1, wykonano obliczenia dla postego pzypadku położenia w pzekou azy stałe w postaci walca położonego centycznie w kieunku osi y. 3 Rozważono dwa pzypadki obliczeniowe: pzypadek pzestzenny i pzypadek płaski w płaszczyźnie postopadłe do osi y. 3 Siatkę elementów skończonych wygeneowaną pzez pogam Flex PDE.5 dla obu pzypadków obliczeniowych pzedstawiono na ysunku. Ω 91

6 a) b) Rys.. Siatka elementów skończonych dla = 0,3: a) w pzypadku zagadnienia płaskiego, b) w pzypadku zagadnienia pzestzennego Na ysunku 3 pzedstawiono ozkład pędkości iltaci w ozpatywanych pzypadkach obliczeń. 9

7 a) b) Rys. 3. Pole wektoowe pędkości iltaci w komóce: dla poowatości = 0,5 dla pzypadku: a) dla pzypadku płaskiego, b) dla pzypadku pzestzennego dla y 3 = 0,5 Obliczony tenso pzepuszczalności Dacy ego ma dla pzypadku zagadnienia płaskiego postać k % dla poowatości = 0,5: k = 7 3,101* ,101*

8 natomiast dla odpowiadaącego pzypadkowi płaskiemu zagadnienia pzestzennego: k = 6 1, 76 * ,76* ,76*10 6 W obydwu pzypadkach obliczeniowych pzeanalizowano zmianę znaczących watości współczynników iltaci k11 w zakesie poowatości od = 0,3 do = 0,8 dla pzypadku płaskiego i pzestzennego i pzedstawiono e na ysunku 4. a) b) Rys. 4. Wykes zmian współczynnika k 11 dla pzypadku: a) ozwiązania płaskiego, b) pzestzennego 94

9 Dla pzypadku pzestzennego analizowano ponadto ewolucę zmian k 33 w tym samym zakesie zmian poowatości. We wszystkich wykesach watości zmian poowatości zostały wykonane w zależności od skali 1:30, gdzie eden element skali odpowiada zmianie poowatości o watość 0, Wnioski Pzepowadzone symulace komputeowe obliczeń współczynnika iltaci dla pzyętego postego schematu zagadnienia komóki peiodyczne w opaciu o teoię asymptotyczne homogenizaci pozwalaą wysnuć kilka ogólnych wniosków: 1) watości obliczeniowe współczynników iltaci dla komóki i pzyęte wielkości bzegu 10 5 m odpowiadaą tabelaycznym wielkościom współczynnika iltaci dla piaskowca, ) istnieą óżnice w watościach obliczeniowych współczynników iltaci dla pzypadku płaskiego i pzestzennego, ale watości współczynników są tego samego zędu wielkości, 3) zależność zmian współczynnika iltaci od poowatości ma w pzypadku komóki D chaakte wyaźnie nieliniowy, natomiast w pzypadku komóki 3D quasi-liniowy, 4) pzymuąc, że badzie wiaygodne są wyniki dla pzypadku zadania tówymiaowego, to bioąc pod uwagę aspekt tudności w twozeniu numeycznego modelu 3D ten sam ząd wielkości obliczeniowych współczynników iltaci uzyskanych dla obydwu pzypadków pozwala stwiedzić, że stosowanie płaskiego modelu obliczeniowego może być wystaczaące w pzypadku izotopowych ośodków guntowych, 5) kozystaąc z wyników obliczeń modelu D należałoby, moim zdaniem, pzymować liniową zależność watości k od poowatości. LITERATURA [1] Auiault J.L., Sanchez-Palencia E.: Etude du compotement macoscopique d'un milieu poeux satué déomable, J. de Mécanique, ol.16, 4, 1977, s [] Auiault J.L.: Dynamic Behaiou o a Poous Medium Satuated by a Newtonian Fluid. Int. J. Engng. Sc., ol. 18, 1980, s [3] Baue J., Kaczmaek J., Stzelecki T.: Uwagi o maciezach sztywności mateiału obętościowo-nieściśliwego, Pace Nauk. Inst. Geot. i Hyd. Pw. n 63/Kon, Wocław, 199, s. 5 1 [4] Bensoussan A., Lions J.L.: Papanicolaou G, Asymptotic Analysis o Peiodic Stuctues, Noth-Holland Publishing Company, Amstedam, 1978 [5] Ene H.I., Sanchez-Palencia E.: Equations et phénoménes de suace pou l'écoulement dans un modéle de milieu poeux, Jounal de Mécanique, 14, 1, 1975, s [6] Łydżba D.: Zastosowanie metody asymptotyczne homogenizaci w mechanice guntów i skał. Oicyna Wydawnicza Politechniki Wocławskie, 00 (ozpawa habilitacyna) [7] Stzelecki T. (ed.) i in.: Mechanika ośodków nieednoodnych, Teoia homogenizaci. Wocław, Wydawnictwo DWE 1996 [8] FLEX PDE 5, 5.0.7, FlexPDE Reeence, 006 ( 95