1. Podstawowe pojęcia mechaniki płynów

Transkrypt

1 1. Podstawowe pojęcia mechaniki płynów W większości zastosowań technicznych wyóżnia się dwa odzaje ciał, tzn. płyny i ciała stałe, pzy czym najczęściej spotykana definicja pozwalająca ozóżnić te dwa ośodki bzmi następująco:...płyny w odóżnieniu od ciał stałych poddają się działaniu dowolnie nawet małych sił wywołujących zmiany kształtu. Mimo, iż definicja ta jest całkowicie pecyzyjna i łatwa do zozumienia, to jednak po głębszym zastanowieniu nasuwać może szeeg wątpliwości Mechanika ciała stałego a mechanika płynów. Piewsza wątpliwość dotyczyć może spzeczności między intuicyjnie wyczuwaną stuktuą płynu i pojęciem kształtu, bo pzecież niektóe podęczniki definiują płyny jako ośodki bezpostaciowe, któe albo pzyjmują kształt naczynia (ciecze) lub wypełniają całe naczynie (gazy). Kolejna wątpliwość dotyczyć może celowości wpowadzania ozóżnienia między ciałami stałymi i płynami. Miedź, któa jest typowym pzedstawicielem ciał stałych, po podgzaniu do tempeatuy powyżej 1350 o K staje się cieczą i można spodziewać się, że w odpowiednio wysokiej tempeatuze zamieni się w paę, czyli pzejdzie w stan gazowy. Inne zaś ciała taktowane jako płyny jak np. asfalt czy lepik udezane młotkiem będą pękać jak ciało stałe. Jeżeli jednak odwócimy do góy dnem beczkę z lepikiem, to po upływie odpowiednio długiego czasu wypłynie on z beczki (chociaż w tempeatuze otoczenia może to twać nawet kilka tygodni). Spóbujmy zatem pzedstawić badziej wnikliwą analizę właściwości fizycznych obydwu tych substancji. Z punktu widzenia inżyniea najistotniejszą własnością każdego mateiału konstukcyjnego jest jego zdolność do pzenoszenia obciążeń, w któych to waunkach defomacja konstukcji nie może pzekoczyć założonych pzez pojektanta ganic. Pzepowadźmy zatem doświadczenie ilustujące pzebieg odkształcenia belki wykonanej z dowolnego mateiału z klasy ciał stałych, któa to belka będzie utwiedzona w podłożu i poddana działaniu siły F F, jak pokazano na ys. 1.1a. Jeżeli pole pzekoju popzecznego belki jest ówne A (patz ys. 1.1a), wówczas napężenia styczne w tym pzekoju wynoszą: F τ (1.1) A Napężenia te są tym większe, im większa jest watość siły F działającej na belkę, czemu towazyszy większa defomacja kątowa d φ, jak pokazano schematycznie na ys. 1.1b. Jeżeli defomacja mieści się w zakesie spężystym, wówczas zgodnie z pawem Hooke a napisać można: τ c dφ (1.2) s któe to pawo zakłada liniową popocjonalność napężeń stycznych i odkształceń, a współczynnik popocjonalności jest modułem Younga chaakteyzującym spężystość poszczególnych mateiałów (ciał stałych). Zależność (1.2) opisuje łatwe do pzewidzenia zachowanie ciała stałego, któe poddane działaniu siły F będzie defomować się aż do osiągnięcia ganicznego odkształcenia ( dφ ) g, pzy któym napężenia spężyste okeślone wz. (1.2): 1

2 a) c) F F φ φ du φ A F F b) d) φ φ du φ Rys Poces defomacji ciała stałego a), b) oaz płynu c), d). ( dφ) g τ c (1.2a) s zównają się z napężeniami wywołanymi działaniem sił F, któe okeślone są wz. (1.1). Z poównania zależności (1.1) i (1.2) wynika następujący związek: któy pzekształcony do postaci: F A ( d ) ( dφ) g c (1.3) s 1 F φ g (1.3a) cs A wyjaśnia zachowanie spężystej belki w sposób zgodny z naszymi intuicyjnymi oczekiwaniami. Ze wzou (1.3a) wynika bowiem, że odkształcenie belki będzie tym większe, im większa jest watość pzyłożonej siły i odwotnie popocjonalne do pola pzekoju popzecznego belki oaz jej stałej spężystości. Sfomułowanie intuicyjnie oczywisty 2

3 wyaża tutaj zozumiałą dla wszystkich egułę, iż belka o zadanym kształcie będzie mogła pzenieść żądaną siłę F nie ulegając pzy tym odkształceniu większemu niż założone pod waunkiem, że jej pzekój popzeczny będzie odpowiednio duży oaz mateiał odpowiednio mocny. Podobne doświadczenie z belką wykonaną z płynu choć badzo poste w zamyśle, jest niestety niemożliwe do wykonania w paktyce. Popzestańmy zatem na doświadczeniu myślowym (zabieg, któy będziemy często powtazać) wydzielając z pzestzeni wypełnionej płynem identyczną jak popzednio belkę o pzekoju popzecznym A. Wydzielenie to można ozumieć jako ozciągnięcie w płynie nieważkiej, idealnie podatnej folii, któa utwozy płynną belkę w sposób pokazany na ys. 1.1c oaz d. W tym pzypadku pzyłożenie siły (nawet badzo małej) spowoduje, że płynna belka będzie odkształcać się w sposób ciągły, nie osiągając żadnej watości ganicznej odkształcenia. Pzyłożenie większej siły spowoduje natomiast, że belka będzie odkształcać się z większą pędkością, co pokazano schematycznie na ys. 1.1d. Uogólnieniem tej obsewacji jest następujący związek: dφ τ c (1.4) p dt dφ w któym du jest pędkością odkształcenia, a współczynnik popocjonalności dt decydujący o opoze, z jakim płyn pzeciwstawia się uchowi, nazwany został pzez Newtona lepkością c µ. p Po uwzględnieniu we wz. (1.4) powyższej zależności otzymujemy pawo Newtona: dφ τ µ (1.5) dt wyażające podstawową własność płynu jaka jest popocjonalność napężeń stycznych do pędkości odkształcenia. Paktyczną ilustacją tego pawa będzie póba pzemieszczania dłoni zanuzonej w cieczy, kiedy to badzo powolny uch powoduje minimalny opó, podczas gdy póba pzyspieszenia uchu wywoła gwałtownie naastającą eakcję płynnego ośodka. Podsumowaniem powyższych obsewacji może być następująca definicja:...płyn jest ośodkiem, któy póbom zmiany jego postaci stawia opó popocjonalny do pędkości defomacji. Oznacza to, że do zmiany postaci płynu wystaczy dowolnie mała siła, jeżeli tylko defomacja będzie pzepowadzona badzo powoli a jeśli do danego fagmentu płynu zostanie pzyłożona duża siła, wówczas pzy znacznych pędkościach defomacji płyn pzejawiać będzie badzo duży opó. Omówione powyżej doświadczenie myślowe spawiać może ważenie zabiegu sztucznego, chociaż w zeczywistości takim właśnie defomacjom może w zeczywistości podlegać płyn. Dla pzykładu, pzeanalizujmy zachowanie elementu płynu w pzepływie pokazanym na ys. 1.2a, w któym występuje gadient pędkości spowodowany np. obecnością ściany (ys. 1.2a). Pokazany tu element płynu o długości kawędzi dy, poddany jest odkształceniu postaciowemu, wywołanemu óżnicą pędkości du na gónej i dolnej ścianie (patz ys. 1.2b). Liniowe pzemieszczenie gónej ściany naasta w sposób ciągły w czasie, spełniając pzy tym następujący związek: du dt tg(dφ ) (1.6) dy Ponieważ element płynu ma ozmiay nieskończenie małe, stąd zależność ta może być zapisana jako: dudt d φ (1.6a) dy co pozwala powiązać pędkość defomacji kątowej i gadient pędkości: 3

4 d φ du dt dy a) b) y U+dU du dt (1.6b) dy dy U du U(y) Rys Poces defomacji elementanej objętości płynu w pzepływie w obecności gadientu pędkości. Podstawienie powyższej zależności do wz. (1.5) pozwala z kolei wyazić pawo Newtona w najczęściej wykozystywanej postaci: dφ du τ µ µ (1.7) dt dy gdyż w mechanice płynów analizie poddajemy nie pędkość defomacji lecz pole pędkości (np. U (y) - ys. 1.2a), któe uzyskujemy jako ozwiązanie ównań uchu. Możemy zatem uogólnić podaną powyżej definicję płynu, któa zgodnie z zal. (1.7) może być wyażona następująco:...płyn jest ośodkiem, w któym napężenia styczne są popocjonalne do pędkości defomacji *. powiezchnia swobodna ciecz gaz Rys Zachowanie cieczy a) oaz gazu b) w stanie ównowagi statycznej. Płynami są zaówno ciecze jak i gazy, któe jednak óżnią się dwoma istotnymi cechami. Ciecze pzyjmują zawsze kształt naczynia, w któym się znajdują i na ganicy z otaczającym je innym płynem twozą powiezchnię ozdziału nazywaną często swobodną * - gadient du/dy jest w pzepływie dwuwymiaowym pokazanym na ys. 2a jedyną niezeową składową tensoa pędkości defomacji patz ozdz.3. 4

5 powiezchnią (ys. 1.3a). Gaz jest natomiast płynem, któy ozpzestzenia się w całej pzestzeni nie twoząc jakichkolwiek powiezchni ozdziału (patz ys. 1.3b). Duga istotna óżnica pomiędzy cieczami i gazami to ich ściśliwość ozumiana jako opó stawiany póbom zmiany objętości. Ciecze są paktycznie nieściśliwe, gdyż pzykładowo zmiana objętości wody o zaledwie 5% zachodzi dopieo pzy ciśnieniu pzekaczającym 1000 ba. Gazy natomiast badzo łatwo dają się spężać do badzo małych objętości i z ówną łatwością ozpężają się zajmując zawsze całą dostępną pzestzeń. Tzecim powodem konieczności utzymywania podziału na ciecze i gazy jest badzo duża óżnica ich gęstości, niespotykana w ciałach stałych. Pzykładowo, óżnica gęstości między powietzem ( ρ 1.2 [kg/m 3 ] i wodą ( ρ 1000 [kg/m 3 ] sięga aż tzech zędów wielkości a jeżeli poównamy najlżejszy z gazów (wodó o gęstości ρ [kg/m 3 ]) i najcięższą ze znanych cieczy (tęć dla któej ρ x 10 4 [kg/m 3 ]) to stosunek ten pzekoczy wówczas Zainteesowany Czytelnik może łatwo spawdzić, że stosunek gęstości najlżejszych i najcięższych ciał stałych niewiele pzekacza ząd wielkości. Podsumowując pzedstawione powyżej infomacje stwiedzić można, że właściwości fizyczne płynów i ciał stałych óżnią się badzo istotnie Stuktua molekulana płynów. Póbując wyjaśnić óżnice własności ciał stałych i płynów pzypomnijmy podstawowe wiadomości o budowie mateii w ujęciu, któe nazywane jest atomistycznym. W największym skócie teść tej teoii ująć można następująco:...mateia składa się z atomów, pouszających się bezustannie, pzyciągających się gdy są od siebie nieco oddalone, odpychających się zaś, gdy je zbytnio ścieśnić (R.Feynman). Spawdźmy, czy odmienne eakcje na obciążenie wykazywane pzez ciała stałe i płyny mogą być wyjaśnione pzez óżnice w ich budowie atomowej. Zgodnie z założeniami teoii atomistycznej ciała stałe składają się z atomów tkwiących w węzłach pewnej pzestzennej stuktuy zwanej siecią kystaliczną (ys. 1.4). Ciało stałe : enegia kinetyczna ciepło Rys Sieć kystaliczna ciała stałego. Węzły te ozmieszczone są w sposób ściśle upoządkowany co nie oznacza jednak, że każdy atom ma swoje okeślone położenie. Atomy nie pozostają bowiem w spoczynku a węzeł sieci pzedstawia jedynie pewne śednie położenie, wokół któego atomy wykonują uch dgający. Tylko w ten sposób teoia atomistyczna może wyjaśnić np. zdolność ciał stałych do akumulacji ciepła, któe pzekształcone jest w enegię kinetyczną dgających atomów, co ównież pokazano schematycznie na ys Odkształcenie ciała stałego jest ównoważne defomacji sieci kystalicznej, pokazanej na ys. 1.5, któej towazyszyć musi zmiana odległości między atomami wywołująca z kolei opó sił międzyatomowych. Pzyłożenie siły F pokazanej na ys. 1.1a,b wywoła zatem taką defomację sieci kystalicznej, pzy 5

6 któej siły opou mateii zównoważą obciążenia zewnętzne i w ten sposób ustala się położenie ównowagi między obciążeniem i defomacją, któe jest chaakteystyczne dla zachowania ciał stałych. Znajomość budowy molekulanej płynu zawdzięczamy Robetowi Bownowi któy zauważył, że cząstki pyłku kwiatowego zawieszone w wodzie wykonują bezładne, zygzakowate uchy, któe nie mogły być wyjaśnione istnieniem pądów konwekcyjnych F defomacja stuktuy (opó mateiału) utzymująca się w obecności siły Rys Defomacja stuktuy kystalicznej ciała stałego cieczy. Początkowo sądzono, że uch cząstek zawiesiny jest wynikiem udezeń molekuł cieczy, lecz wkótce okazało się, że ozmiay atomów są na tyle małe, że niemożliwe jest aby cząstka zawiesiny mogła pzemieścić się w wyniku udezenia pzez pojedynczą molekułę. Dziś wiadomo, że uchy Bowna są efektem statystycznym, w któym każde pzemieszczenie jest ezultatem wypadkowym wielkiej liczby jednoczesnych udezeń molekuł cieczy w cząstkę zawiesiny. Jeżeli w jakimś momencie udezenia z jednego kieunku będą badziej intensywne, wówczas cząstka zawiesiny podąży w tym właśnie kieunku. Istnienie uchów Bowna wykazuje zatem, że płyn uważany być może za zbioowisko bezładnie pouszających się cząstek (atomów lub molekuł) co pokazano na ys Molekuły płynu zdezają się ze sobą, pzekazując sobie wzajemnie enegię a jednym z ważniejszych paametów chaakteyzujących molekulaną budowę płynu jest śednia doga, któą pzebywa cząstka płynu między kolejnymi zdezeniami, nazywana śednią odległością międzycząsteczkową i oznaczona symbolem λ (patz ys. 1.6). Płyn : λ Rys Stuktua cząsteczkowa płynu. Ściana zanuzona w płynie jest z obu ston poddana jednoczesnemu bombadowaniu molekuł, któych pędkości są identyczne po lewej i pawej stonie ściany (ys. 1.7) i dlatego też na nieuchomej ścianie nie występuje jakiekolwiek oddziaływanie płynu. Jeżeli natomiast ściana zacznie się pouszać, wówczas po pawej stonie ściany wypadkowa pędkości molekuł będzie sumą, po lewej zaś óżnicę pędkości uchu molekuł i ściany. W ezultacie óżnica pędów molekuł udezających z obydwu ston w uchomą ścianę powoduje powstanie siły opou, któa istnieć będzie tak długo, jak długo twać będzie uch zanuzonej w płynie ściany. 6

7 Model atomistyczny tłumaczy zatem, dlaczego w płynie napężenia styczne popocjonalne są do pędkości defomacji i dlatego płyn, w odóżnieniu od ciała stałego nie może utzymać pzez czas skończony napężeń stycznych. Teoia atomistyczna pozwala wyjaśnić zauważone w ozdziale popzednim óżnice w zachowaniu ciał stałych i płynów, jak ównież odmienne właściwości fizyczne cieczy i gazów. Pzykładowo, paa wodna chaakteyzuje się śednią dogą swobodną zędu λ 4 x 10-8 [m], co oznacza óżnicę dwóch zędów wielkości w upakowaniu molekuł pay i wody, czego skutkiem jest istotna óżnica gęstości fazy ciekłej i gazowej tej samej substancji. Znajomość stuktuy molekulanej tłumaczy ównież dlaczego podgzanie cieczy powoduje iż pouszające się w niej ciało doznaje mniejszego opou, podczas gdy w gazach opó uchu ośnie waz z tempeatuą ośodka. Opó wywołany taciem płynu o ściany jest bowiem popocjonalny do współczynnika lepkości dynamicznej µ, któy waz ze wzostem tempeatuy wzasta w cieczach i maleje w gazach, jak pokazano w tabl. 1.1 na pzykładzie wody i powietza (dane dla ciśnienia pa 10 5 ). Odmienność zachowania współczynnika lepkości µ może zostać wytłumaczona pzez molekulane właściwości tych płynów, gdyż teoia kinetyczno-molekulana powadzi do wniosku, że lepkość płynu jest popocjonalna do długości dogi swobodnej: µ l Wzost tempeatuy cieczy, zwiększający pędkość uchu molekuł pzy niezmiennym ich upakowaniu (stała gęstość) zmniejszać musi śednią odległość między zdezeniami, co z kolei zmniejsza współczynnik lepkości. Pzyost tempeatuy gazu pozostającego pod stałym ciśnieniem zmniejsza upakowanie molekuł (spadek gęstości gazu pod wpływem tempeatuy, co z kolei zwiększa długość dogi swobodnej i powoduje wzost watości współczynnika lepkości dynamicznej gazu. ściana nieuchoma pędkość wypadkowa opó opó (napężenia styczne) istnieją tak długo jak długo twa uch ściana uchoma Rys Opó uchu wywołany stuktuą cząsteczkową płynu. 7

8 Tablica 1.1. Zmienność lepkości wody i powietza w funkcji tempeatuy Temp. o C µ W o d a Powietze ν µ ν Pa s 10 5 m 2 /s 10 6 Pa s 10 5 m 2 /s ,2 130,7 100,2 79,7 65, ,792 1,307 1,004 0,801 0, ,724 1,773 1,882 1,869 1, ,33 14,21 15,12 16,04 16, W mechanice płynów posługujemy się także pojęciem lepkości kinematycznej ν definiowanej jako iloaz lepkości dynamicznej i gęstości: µ m 2 ν (1.8) ρ s Jeżeli w cieczach wzost tempeatuy powoduje pzyost pędkości uchu molekuł bez zmiany ich wzajemnych odległości, w ezultacie spadek lepkości dynamicznej cieczy pzy niezmiennej gęstości (okeślonej upakowaniem molekuł) powoduje identyczne zmniejszenie lepkości kinematycznej, co pokazano na ys.1.8a. Molekuły gazu odległe są od siebie na tyle daleko, że siły wzajemnego pzyciągania nie mogą już działać i dlatego pzyost tempeatuy powoduje nie tylko wzost pędkości ich uchu lecz zwiększa także ich wzajemne odległości, czego wynikiem jest spadek gęstości gazu powadzący do szybszego wzostu współczynnika lepkości kinematycznej (patz ys. 1.8b). a) b) ν µ ν µ µ µ ν θ θ ν Rys Zmienność lepkości kinematycznej cieczy a) i gazu b) Molekulana stuktua płynu chaakteyzuje się badzo małymi ozmiaami, gdyż odległość między śodkami atomów wodou i tlenu w cząsteczce wody pzedstawionej schematycznie na ys. 1.6 wynosi zaledwie [m], podczas gdy śednia odległość między cząsteczkami wody w tempeatuze 4 o C wynosi zaledwie [m]. Oznacza to, że w 1 cm 3 wody zawatych jest około molekuł a poglądową ilustacją mikoskopijnych ozmiaów skal cząsteczkowych jest obazowe stwiedzenie Feynmanna, iż...powiększenie kopli do ozmiaów kuli ziemskiej spawiłoby, że cząsteczka miałaby śednicę zbliżoną do kopli. 8

9 1.3. Płyn jako ośodek ciągły Model atomistyczny wyjaśnia co pawda podstawowe własności płynów lecz jego stosowanie wymaga badzo złożonych metod opisu uchu poszczególnych molekuł, pzy czym stopień tudności zagadnienia jest tym większy, im więcej cząstek objąć musimy analizą. Opis stuktuy molekulanej opeuje jednak badzo małymi wymiaami, o czym mówiliśmy już w ozdz. 1.2 podając pzykładowe wymiay molekuł i dóg swobodnych. W zastosowaniach technicznych opeujemy znacznie większymi skalami liczonymi w metach (długość kadłuba statku, ozpiętość skzydeł samolotu), centymetach (śednice winików pomp) lub milimetach (szeokość szczeliny łożyska ślizgowego). Najmniejszy wymia liniowy, któy może mieć znaczenie w mechanice płynów jest zędu dziesiętnych lub co najwyżej setnych części milimeta i odpowiada wysokości chopowatości powiezchni, któa wywoływać może zmiany opoów tacia płynu o ścianę. Wobec tak znacznej óżnicy skal między stuktuą molekulaną płynu i geometycznymi wymiaami pzepływu oczywistym staje się pytanie, czy w mechanice płynów musimy stosować metody opisu opate o model atomistyczny mateii. Kyteium pozwalającym ozstzygnąć tę kwestię jest liczba Knudsena Kn, definiowana jako iloaz chaakteystycznej skali molekulanej ośodka λ oaz skali geometycznej L analizowanego zjawiska: λ Kn (1.9) L Jeżeli pzyjmiemy, że ozpatywanym ośodkiem będzie powietze, wówczas dla tzw. waunków nomalnych: p 10 5 [ Pa] ; T 273 [ K] śednia długość dogi swobodnej będąca chaakteystyczną skalą stuktuy molekulanej ośodka wynosić będzie: λ 9.2 x 10-8 m Jeżeli pzyjmiemy, że najmniejszy wymia liniowy istotny dla opisu zachowania płynu będzie zędu setnych części milimeta tzn.: L 10 5 [ m] wówczas liczba Knudsena wynosić będzie: λ Kn 10 2 L Jak podaje W. Posnak, dla liczb Knudsena spełniających waunek: Kn < 0.1 analizowany ośodek uważać można za ciągły, tzn. opis jego nieupoządkowanej i chaotycznej stuktuy molekulanej zastąpiony być może pzez tzw. model continuum. Ciągłość ośodka wymaga, aby jego gęstość zmieniała się w sposób ciągły, tzn. aby nie była ważliwa na chwilowe zmiany ilości cząstek zawatych w analizowanej objętości. Będzie to możliwe jeżeli objętość ta nie będzie mniejsza od pewnej wielkości ganicznej, tzn.: m ρ lim (1.10) V V V g co oznacza, że najmniejszy wymia płynu spełniającego waunki ciągłości jest zędu: L 3 V g Jak podaje F.M.White, dla większości gazów i cieczy ganiczna objętość jest zędu: V [m 3 ] g gdyż wówczas ilość zawatych w niej molekuł jest na tyle duża, że pzypadkowe zmiany ich koncentacji nie mogą zmienić wyniku pomiau gęstości dokonanego zgodnie ze wzoem 9

10 (1.10). Pzykładowo, ganiczna objętość powietza w standadowych waunkach (10 5 Pa; 273 o K) zawieać będzie aż 10 7 molekuł i dopieo wówczas wymia liniowy L 10 6 [m] g wstawiony do wzou (1.9) spawi, że liczba Knudsena osiągnie ganiczną watość: Kn 0.1. Jeżeli dla tak małego fagmentu objętości układać będziemy waunek ównowagi sił, wówczas zaniedbać będzie można zmienność tychże sił wzdłuż długości L, gdyż g pzykładowo dla najcięższej cieczy jaką jest tęć, zmienność ciśnienia pomiędzy góną i dolną kawędzią objętości V g (ys. 1.9) wynosić będzie: p 10 6 x 1.36 x [Pa] co wobec watości ciśnienia atmosfeycznego na swobodnej powiezchni wynoszącej 10 5 [Pa] stanowić będzie znikomo małą część. Jeżeli zatem dla tak małej objętości zmienność gęstości będzie ciągła, wówczas możliwe będzie użycie achunku óżniczkowego w opisie stanów ównowagi płynu, podobnie jak ma to miejsce w klasycznej mechanice. L L >>1 λ Rys Element płynu jako ganiczna objętość ośodka ciągłego Dalsze analizy powadzić więc będziemy dla objętości spełniających waunki ciągłości i objętość taką nazywa się elementem płynu dla któego definicja sfomułowana być może następująco:...elementem płynu jest wyodębniona część masy płynu o wymiaach nieskończenie małych w poównaniu z wymiaami całej masy płynu pouszającej się lub pozostającej w spoczynku a jednocześnie dużych w poównaniu z wymiaami stuktuy molekulanej płynu. Tak ozumiany płyn okeślany jest powszechnie mianem continuum a stosowany w dalszej części tekstu sposób analizy typowy jest dla ośodków ciągłych i w większości zastosowań technicznych ten sposób opisu własności płynu jest wystaczająco dokładny. Jedynie w szczególnych pzypadkach (np. w gónych wastwach statosfey) np. gdy ciśnienie gazu jest badzo niskie, wówczas odległości między molekułami stają się tak duże, że założenie o ciągłości ośodka pzestaje być spełnione. W takich pzypadkach konieczne jest stosowanie innych metod opisu własności płynu, któe chaakteystyczne są dla mechaniki gazów ozzedzonych lecz ta dziedzina wykacza poza pzyjęty zakes tematyczny niniejszego wykładu Siły działające na element płynu Podstawową metodą opisu ównowagi układu mateialnego stosowaną w mechanice ogólnej jest następujące stwiedzenie wynikające z paw Newtona:...układ mateialny jest w stanie ównowagi pod działaniem sił zewnętznych, jeżeli siły działające na każdą dowolnie oganiczoną jego część twozą układ wektoów ównoważny zeu. Pawa Newtona sfomułowano dla układów mateialnych ozumianych jako układ ciał sztywnych oaz układów znajdujących się pod wpływem sił zewnętznych, tzn. takich, któe 10

11 działają między poszczególnymi masami układu oaz masami nie należącymi do tego układu. Tymczasem masy należące do układu oddziaływują ównież między sobą, pzy czym są to zawsze dwie ówne siły o tej samej linii działania i pzeciwnych zwotach i taki odzaj sił nazywany jest siłami wewnętznymi. W mechanice płynów siły masowe między masami układu są oczywiście pomijalnie małe, ale podczas uchu względnego sąsiednie elementy płynu odkształcają się i pzemieszczają i wówczas lepkość powoduje powstanie tacia wewnętznego i jako skutek powstają napężenia nomalne (wywołane odkształceniem) i styczne (wywołane pzesunięciem) i ten odzaj sił zakwalifikować musimy do sił wewnętznych. Pojawić się musi zatem oczywiste pytanie, czy sposób opisu stanu ównowagi stosowany w mechanice ogólnej może być zastosowany w mechanice płynów i w tym celu potzebne jest pzyjęcie dwóch dodatkowych założeń. Po piewsze, twiedzenie o ównowadze może być ozszezone także i na pzypadek ównowagi płynu, jeżeli wpowadzimy tzw. zasadę zesztywnienia któa głosi, że ównowaga dowolnego obszau płynu nie ulegnie zakłóceniu, jeżeli jego fagment zostanie zesztywniony w taki sposób, aby własności fizyczne zesztywnionego fagmentu nie uległy zmianie. Zesztywnieniem nie jest zatem pzemiana wody w lód, gdyż gęstości tych dwóch ośodków są óżne, jeżeli jednak potafimy sobie wyobazić stwozenie takiego lodu, któy będzie miał gęstość identyczną jak woda, wówczas ten zesztywniony fagment płynu będzie pozostawał w ównowadze zanuzony w dowolnym miejscu w płynie. Zasada zesztywnienia jest intuicyjnie oczywista w pzypadku, gdy płyn pozostaje w spoczynku natomiast stosowanie tej zasady dla opisu stanu ównowagi pouszającego się płynu nie jest dobym ozwiązaniem a zagadnienie to zostanie omówione w ozdziale dotyczącym metod analizy uchu płynu. a) b) Rys Metoda pzekojów zastosowana do wyznaczania sił wewnętznych Dugie założenie potzebne do zastosowania zasad dynamiki Newtona do opisu stanu ównowagi płynu dotyczy sił wewnętznych w płynie, któe włączyć możemy do bilansu sił zewnętznych stosując tzw. metodę pzekojów zilustowaną na ys Pzedstawia on ciało poddane działaniu sił zewnętznych (zaznaczonych na ys. 1.10a dwiema stzałkami), w któym zaznaczono ównież pzekój dzielący ciało na dwie części. Jeżeli jedną z nich wyodębnimy myślowo, wówczas siły wewnętzne, któymi część pawa oddziaływała na część lewą staną się siłami zewnętznymi dla części lewej, co pokazano na ys. 1.10b. Jeżeli siłę wypadkową wynikającą z waunku ównowagi podzielimy pzez pole pzekoju otzymamy śednią watość napężenia, któe podobnie jak siła będzie wektoem. 11

12 W analizie stanu ównowagi płynu powadzonej dla wydzielonego metodą pzekojów elementu płynu występować będą zatem tylko siły zewnętzne, wśód któych wyóżnić można dwie odębne klasy sił o óżnych własnościach Siły masowe Siły masowe stanowią piewszą gupę sił zewnętznych będących wynikiem działania mas nie należących do wydzielonego układu mateialnego na masę elementu płynu. Siły masowe działają na odległość, oddziaływują na każdy element płynu i są popocjonalne do masy elementu płynu m wydzielonej z całej masy m jak pokazano na ys V A m m V F' Rys Elementana siła masowa Wekto sił masowych F ' działa na masę płynu m zawatą w objętości V i ze względu na elementane wymiay objętości zaówno masa jak i siła masowa może być pzypoządkowane śodkowi ciężkości A wydzielonego obszau. W mechanice płynów posługujemy się pojęciem jednostkowej siły masowej F, któa jest ganicą iloazu F ' F lim m0 m (1.11) a pzy założeniu nieściśliwości płynu (ρ idem) jednostkową siłę masową wyazić można: 1 F ' 1 d F' F lim (1.11a) ρ V ρ dv Wekto F ma chaakte współczynnika popocjonalności, niezależnego od wielkości obanego elementu płynu i ma wymia pzyspieszenia, co pozwala zapisać wekto siły masowej F ' następująco: F ' ρ V F (1.12) Jeżeli na element płynu działa tylko pzyspieszenie ziemskie, wówczas jednostkowa siła masowa wynosi: F g (1.13) a w najczęściej stosowanym katezjańskim układzie współzędnych składowe wektoa F zapisuje się następująco: F X i + Y j + Z k (1.14) gdzie X, Y, Z są zwyczajowo stosowanymi oznaczeniami dla katezjańskich składowych wektoa jednostkowych sił masowych. 12

13 Siły powiezchniowe Dugą gupą sił zewnętznych są siły powiezchniowe, któe są bezpośednio pzyłożone do powiezchni obejmującej wydzieloną część układu mateialnego o masie m i powiezchni S (ys. 1.12). m S A m Rys Elementana siła powiezchniowa p' S n Podobnie jak w pzypadku sił masowych wpowadzimy pojęcie jednostkowej siły powiezchniowej p ' definiowanej jako ganica iloazu siły powiezchniowej p ' i powiezchni S pzy założeniu, że ta ostatnia wielkość dąży do zea: p p ' d p' S lim 1.15) 0 S ds któa to wielkość pzyłożona jest w punkcie A leżącym na powiezchni S oganiczającej element płynu. Wekto p ' jest ównież współczynnikiem popocjonalności siły powiezchniowej do powiezchni i ma wymia napężenia co oznacza, że wekto siły powiezchniowej p zapisany być może jako: p' p S (1.16) tzn. siła powiezchniowa jest ówna iloczynowi wektoa jednostkowej siły powiezchniowej i pola powiezchni elementu płynu Siły zewnętzne podsumowanie Siły masowe F i powiezchniowe p mimo iż okeślone są wspólną nazwą sił zewnętznych, wykazują jednak badzo istotne óżnice. Jednostkowa siła masowa F w danym punkcie A (x, y, z) i w chwili t pzyjmować może tylko ściśle okeśloną watość jednoznacznie skieowaną co oznacza, że jest ona jednoznaczną funkcją wektoową współzędnych i czasu F F (x, y, z, t) (1.17) Jednostkowa siła powiezchniowa p może natomiast w każdym punkcie płynu pzybieać nieskończenie wiele watości, w zależności od oientacji powiezchni w punkcie, w któym 13

14 pzyłożony jest wekto sił powiezchniowych. Jeżeli położenie punktu A okeślone jest pomieniem (wektoem) a oientacja powiezchni w danym punkcie okeślona jest pzez weso n wówczas jednostkowa siła powiezchniowa zapisana być może następująco: p f, n (1.18) co oznacza, że waz ze zmianą położenia punktu i oientacji powiezchni zmienia się zaówno watość liczbowa jak i kieunek napężenia p Ciśnienie w płynie jako wielkość skalana Pojęcie ciśnienia definiowanego jako watość napężeń powiezchniowych działających postopadle do powiezchni można wyjaśnić ozpatując płyn pozostający w spoczynku, gdyż bak tacia spawia, że siła powiezchniowa musi być skieowana postopadle do powiezchni. Dla analizy własności ciśnienia wybiezmy w płynie znajdującym się w stanie ównowagi element płynu o kształcie czwoościanu jak pokazano na ys x z y py dsy Rys Siły powiezchniowe działające na czwoościenny element płynu dx dsz Napężenia powiezchniowe zostały pzeniesione na powiezchnie czwoościanu pzy zastosowaniu metody pzekojów a sam czwoościan poddany zostanie zesztywnieniu, pzy czym dla ułatwienia analizy boki dx, dy, dz są ównoległe do odpowiednich osi pzyjętego katezjańskiego układu współzędnych. Jeżeli p x, p y, p z oznaczają wektoy napężeń działających na ściany boczne czwoościanu ds, ds, ds postopadłe do osi współzędnych x, y, z wówczas p x y z oznaczać będzie napężenia nomalne do powiezchni ds. Na element płynu w stanie ównowagi działać będą siły masowe * F X i + Y j + Z k (1.14) oaz siły powiezchniowe dla któych pzyjmiemy: dz pz ds dy px p dsx * należy zwócić uwagę, że zgodnie z pzyjętą konwencją ozpatujemy tu siły jednostkowe. 14

15 p x p x py p y pz p z (1.19) p p Powyższe siły spełniać muszą waunki ównowagi, któe dla poszczególnych osi układu współzędnych zapisać można następująco: wszystkich sił na dany kieunek 0 Po uwzględnieniu związków (1.14) i (1.19) oaz po zsumowaniu sił pokazanych na ys waunek powyższy zapisać można następująco: na oś x: 1 ρ X ds dx + p ds p d S cos p, i 0 3 x x x - na oś y: 1 ρ Y ds dy + p ds p d S cos p, j 0 3 y y y - na oś z: 1 ρ Z ds dz + p ds p d S cos p, k 0 3 z z z Występujące w powyższych waunkach ównowagi siły masowe są dla elementu płynu pomijalnie małe (dx, dy, dz 0), wobec czego zapisać można: p ds pds cos p, i 0 x x py dsy p ds cos p, j 0 p ds - pds cos p, k 0 z z Ponieważ z elementanych zależności geometycznych dla czwoościanu wynika: 15

16 d S x d S cos p, i d Sy d S cos p, j d S z d S cos p, k więc powyższe waunki ównowagi powadzą do związków: p x p 0 py p 0 p z p 0 co ostatecznie pozwala zapisać: p p p p 0 (1.20) x y z Ponieważ nie poczyniliśmy żadnych założeń dotyczących elementu płynu, więc jego objętość może maleć do zea i wówczas dla każdego punktu płynu słuszna będzie zależność (1.20), któa opisuje pawo Eulea o niezależności ciśnienia od oientacji elementu powiezchni. Zgodnie z tym pawem w płynie pozostającym w spoczynku w stanie ównowagi ciśnienie jest wielkością skalaną i w każdym punkcie płynu okeślone być może pzez podanie jednej tylko watości będącej skalaną funkcją położenia i czasu: p p x, y, z, t (1.21) ( ) Pawo to jest ważne jeżeli w analizowanym ośodku nie występują siły lepkości tzn. dla płynu pozostającego w spoczynku lub pouszającego się jako ciało sztywne. Jeżeli w płynie zachodzą defomacje aktywizujące lepkość wówczas pawo Eulea wymaga pewnej koekty omówionej w ozdz. 3. Jednostki ciśnienia i poblem wybou poziomu odniesienia pzy obliczaniu watości ciśnienia omówiony jest w ozdz. 4 dotyczącym ównowagi hydostatycznej. 16