Energia kulombowska jądra atomowego

Transkrypt

1 744 einhad Kulessa 6. Enegia kulombowska jąda atomowego V Enegię tą otzymamy w opaciu o wzó (6.6) wstawiając do niego wyażenie na potencjał (6.4) pochodzący od jednoodnie naładowanej kuli. Obliczenie wykonamy we współzędnych sfeycznych. Wtedy: Wykład 5 8 ) ( Ze πε τ ρ d τ V W ) ( ) ( coul Ze d Ze d d E sin πε π ρ πε θ θ ϕ ρ π π Po uposzczeniach i wstawieniu wyażenia na ρ otzymujemy: ( ) Ze E coul πε Ze dla ) ( dla 4 ) ( ρ π ρ ρ (6.5)

2 We wzoze (6.6) uwzględniane są oddziaływania pomiędzy wszystkimi ładunkami. Musimy więc odjąć odjąć enegie własne wszystkich potonów, któe mają ładunek e, czyli Z e πε Enegia kulombowska jąda jest więc ówna óżnicy watości podanej we wzoze (6.5) i powyższej watości. Na enegie kulombowską jąda atomowego otzymujemy więc watość: E coul 744 einhad Kulessa e Z( Z πε ) (6.6) W opaciu o ten wzó można oszacować pomień jąda w pzypadku jąde zwieciadlanych, czyli takich dla któych A A, Z N i Z N.

3 6C B Weźmy dla pzykładu dwa jąda zwieciadlane 5 i 5 6. óżnica enegii kulombowskich tych jąde jest ówna; E E ( Z + ) E ( Z) coul coul e πε Otzymujemy po podstawieniu watości E8.64/ [MeV]. Doświadczalnie zmiezona óżnica enegii (óżnica mas) dla podanych jąde wynosi E.786 MeV. Możemy stąd wyznaczyć watość pomienia jąda o liczbie masowej A. Na watość pomienia otzymujemy:. fm.94 A fm Jakie z tych ozważań możemy wyciągnąć wnioski? 744 einhad Kulessa

4 I. Możemy te ozważania uważać za potwiedzenie paw elektostatyki dla zjawisk na odległościach cm, mimo, że oceniona watość pomienia jest ok.. 5% większa niż otzymana innymi metodami. W naszych ocenach nie uwzględniliśmy pewnych efektów, któe należy ozważać na guncie mechaniki kwantowej. II. Dugi wniosek wychodzący poza elektostatykę to fakt, że zaniedbanie óżnicy oddziaływań silnych np, pp i pn daje mały wpływ na pomień jąda, co oznacza niezależność ładunkową oddziaływań silnych. Fakt ten w naszym pzypadku jest potwiedzony pzez badzo dobą zgodność poziomów enegetycznych enegetycznych ozważanych jąde zwieciadlanych. 744 einhad Kulessa 4

5 B C 744 einhad Kulessa 5

6 6. Klasyczny pomień elektonu Wzó (6.5) podający enegię kulombowską jednoodnie naładowanej kuli, możemy wykozystać do oszacowania tzw. klasycznego pomienia elektonu. Załóżmy, że elekton jest kulką o pomieniu jednoodnie wypełniony ładunkiem. Oszacowania tego dokonamy pzyównując Enegię kulombowską elektonu, do enegii jego masy spoczynkowej. Otzymamy wtedy: UZUPEŁ m c e πε e e e NIENIE πε m c e e Jeżeli elekton byłby kulą o pomieniu lecz pzewodzącą, to ładunek skupiłby się na powiezchni, wtedy; 744 einhad Kulessa 6

7 m c e 8 πε e e UZUPEŁNIENIE e 8πε m c e e Mamy więc niepewność dotyczącą ozłożenia ładunku w elektonie. Doświadczenie wskazuje jednak, że aż do ozmiaów 8 w pocesie anihilacji e + e cząstki te są punktowe. Jako klasyczny pomień elektonu definiuje się jako: e 4 πε e m c e m Powyższa wielkość jest właściwie oceną obszau w któym znajduje się ładunek elektonu, a nie pomienia elektonu. 744 einhad Kulessa 7

8 W 6.4 Enegia własna dipola Enegię własną dipola możemy posto policzyć w opaciu o wzó (6.5). N N q V ( ξ i k i ) Ładunek ujemny znajduje się w potencjale i k i + ładunku dodatniego V. 4πε L L Ładunek dodatni znajduje się w potencjale ładunku ujemnego V. 4πε L Na enegię elektostatyczną dipola otzymujemy: W 4πε L + 4πε L 4πε L 744 einhad Kulessa 8

9 Enegia ta zmienia się w sposób monotoniczny i nie ma ekstemów. Układ ten jest stabilny tylko wtedy, gdy ładunki pozostają w stałej odległości od siebie. 744 einhad Kulessa 9

10 6.5 Enegia elektostatyczna kyształu jonowego ozważmy jako pzykład kyształ soli kuchennej NaCl. Dodatnie jony sodu i ujemne jony chlou twozą egulaną kubiczną sieć kystaliczną w któym jony te są ułożone napzemiennie tak jak na poniższym ysunku. Cl Na 8 Å Doświadczalna enegia ozdzielenia kyształu NaCl na jony Na + i Cl wynosi 7.9 ev. ev.6 9 J Enegia ozdzielenia jednego mola (N6. cząstek) wynosi W J/mol 8 kcal/mol. 744 einhad Kulessa

11 Czy możemy tą enegie policzyć? Zgodnie z naszą teoią paca ta jest sumą enegii potencjalnych wszystkich pa jonów. A enegia jednej pay jonów wynosi q u q 4πε a a 4πε W gdzie u Enegia ta wynosi 5. ev. Musimy zsumować pzyczynki pochodzące od wszystkich jonów. Zaczynając od śodkowego jonu Na + otzymujemy: Na einhad Kulessa

12 u 8 W a + + ev Wynik ten jest ~% większy od doświadczalnego. Jednak pzypuszczenie że sieć kystaliczna jest utzymywana w całości pzez siły kulombowskie jest słuszna. óżnica pomiędzy wielkością obliczoną a doświadczalna bieze się z nieuwzględnienia sił odpychających, któe osną gdy maleje, oaz od innych pzyczynków. 744 einhad Kulessa

13 7. Pojemność elektyczna 7. Pole elektyczne nieskończonej naładowanej wastwy σ ładunek z powiezchniowy +σ S E E y ds x S ds 744 einhad Kulessa

14 Natężenie pola elektycznego pochodzące od nieskończonej naładowanej wastwy możemy wyznaczyć dwoma sposobami, metodą supepozycji, oaz w opaciu o pawo Gaussa. Zgodnie z pawem Gaussa całkowity stumień jest ówny Φ ε Linie natężenia pola elektycznego są postopadłe do naładowanej płaszczyzny, wobec tego całkowity stumień wynosi: Φ ( E ds + E ds ) S Widzimy z ysunku, że ds Całkowity stumień jest więc ówny: 744 einhad Kulessa 4 ds, E E

15 744 einhad Kulessa 5 ε σ ε Φ S S E Czyli: ε σ E Pole pochodzące od tej wastwy wygląda następująco: y z E y σ ε E y σ ε

16 7. Pole między dwoma naładowanymi wastwami +σ i σ Zastanówmy się jaka jest watość pola pomiędzy dwoma pzeciwnie naładowanymi wastwami. +σ σ σ ε σ ε y σ ε σ ε 744 einhad Kulessa 6

17 7. Kondensato płaski Zajmijmy się układem dwóch płaskoównoległych pzewodników (elektod) o powiezchni S położonych w odległości d od siebie. Elektody są naładowane odpowiednio ładunkami + i. Układ taki nazywamy kondensatoem płaskim. Gęstość S powiezchniowa + ładunku wynosi: E σ /S d Pole wewnątz elektod z pominięciem efektów bzegowych jest jednoodne. Niech óżnica potencjałów pomiędzy elektodami wynosi V. 744 einhad Kulessa 7

18 Oznaczmy tą óżnicę pzez V. V V ( + ) ( ) Z zależności pomiędzy potencjałem a natężeniem pola elektycznego. (5.9) otzymujemy, że: Widzimy więc, że: ( + ) ( ) V V E d V V d E d, a kozystając z obliczonej popzednio watości natężenia pola elektycznego pomiędzy dwoma naładowanymi płaszczyznami otzymujemy: V ε d S (7.) 744 einhad Kulessa 8

19 Wpowadźmy pojęcie pojemności kondensatoa jako współczynnika we wzoze: (7.) Pojemność kondensatoa płaskiego wynosi więc: C V C ε d S (7.) 744 einhad Kulessa 9

20 7.4 Kondensato kulisty ozpatzmy układ dwóch współśodkowych czasz kulistych naładowanych odpowiednio ładunkami + i. Pole elektyczne dla takiego E układu jest polem adialnym, + więc ds E ds E ds E < < E() Policzmy stumień pola elektycznego pzechodzącego pzez powiezchnię kuli o śodku w i pomieniu 4π 744 einhad Kulessa E.

21 744 einhad Kulessa Z pawa Gaussa otzymamy: 4 4 E E πε ε π dla dowolnego z podanego popzednio pzedziału. óżnica potencjałów VV V ma watość: d d E V πε πε πε Zgodnie z wzoem (7.) otzymujemy na pojemność kondensatoa złożonego z dwóch czasz kulistych wyażenie:

22 C 4πε (7.4) Z wyażenia tego widać, że gdy pojemność kondensatoa kulistego, inaczej mówiąc pojemność pzewodnika będącego kulą jest ówna: C 4πε 744 einhad Kulessa Jednostką pojemności w układzie SI jest FAAD. C F A V [ 4 m kg s ] Pojemność kuli ziemskiej, ~6.4 6 m, C 7 µf, a kula o pojemności F ma pomień 9 6 km.

23 7.5 Kondensato cylindyczny. Kondensato cylindyczny składa się z dwóch współśodkowych cylindów o pomieniach a i b. a b Stosując Pawa Gaussa dla dowolnej odległości od śodka walców otzymujemy, że Pow. l E πl ε + Na watość potencjału otzymamy więc wyażenie: 744 einhad Kulessa

24 V a b πε πε Ed l l a b a b d πε πε l πε d ( ln a lnb) b a ( ) lnb ln a ln l l Pojemność kondensatoa cylindycznego wynosi więc: C V πε l b ln a (7.5) 744 einhad Kulessa 4

25 7.6 Łączenie kondensatoów 7.6. Połączenie ównoległe V C C C C 4 V 4 Potencjał V V V jest taki sam na każdym kondensatoze. Ładunek, któy znajduje się na każdym z kondensatoów i C i V, a całkowity ładunek i i. Otzymujemy więc C i i V V C i i. Czyli C C i (7.5) 744 einhad Kulessa 5 i

26 7.5. Połączenie szeegowe C C C C V V V V V 4 Ładunki na okładkach kondensatoów połączonych szeegowo są jednakowe. Całkowita óżnica potencjałów jest ówna sumie óżnic potencjałów między okładkami poszczególnych kondensatoów. V V i i V i Wiemy, że czyli C i V C. / i 744 einhad Kulessa 6

27 Otzymujemy więc C i C i (7.6) 744 einhad Kulessa 7

28 7.6 Ziemia jako kondensato kulisty Mimo, że wydaje się nam, że Ziemia jest ładunkowo obojętna, to doświadczenie uczy, że tak nie jest. Na Ziemi zachodzi szeeg zjawisk chaakteystycznych dla ciał naładowanych. Znane nam są wszystkim wyładowania atmosfeyczne w czasie buz, ale jak jest w czasie gdy nie ma buz. Okazuje się, że w atmosfeze istnieje pionowe pole elektyczne o natężeniu E ~ V/m. Co m wysokości potencjał wzasta o V. Ładunek Ziemi jest ujemny. UZUPEŁNIENIE Waunkiem istnienia pola jest:. Obecność jonów w atmosfeze,. ozdzielenie istniejących ładunków pzez jakiś mechanizm. Ad.. Pzypuszczano, że obecność jonów w atmosfeze związana jest z natualna pomieniotwóczością. Wtedy liczba 744 einhad Kulessa 8

29 jonów powinna być największa pzy powiezchni Ziemi. Stwiedzono jednak, że liczba jonów ośnie z wysokością i osiąga maksimum na wysokości powyżej 5 km, na wysokości gdzie ozciąga się tzw. jonosfea. UZUPE ŁNIENIE Jonizacja jest wywoływana pzez pomieniowanie kosmiczne. Ad. Ziemia ma ładunek ujemny a potencjał powietza jest dodatni km 4 V Pąd jonu/(s m ) Stale więc płynie pąd ładunków dodatnich z atmosfey do Ziemi. Całkowity pąd ma moc ok. 7 MW 744 einhad Kulessa 9

30 Taki pąd powinien w ciągu.5 godz. wyównać óżnicę ładunków. Aby dać odpowiedź na pytanie jaki mechanizm dostacza ujemnych ładunków powiezchni Ziemi wykonano w óżnych miejscach pomiaów zmiany potencjałów i pądów. Wybieano zwykle pogodne dni nad oceanami. Pogodne dni wybieano aby uniknąć wpływu buz na pomiay, a oceany miały osłabić pocesy jonizacji zwykle silniejsze nad kontynentami. W wyniku tych pomiaów stwiedzono że: śedni gadient potencjału zmienia się o ±5% waz ze zmianą czasu uniwesalnego. V/cm UZUPEŁNIENIE Godz.(Geenwich) 744 einhad Kulessa

31 Świadczy to o tym, że: a) Na dużych wysokościach istnieje duże pzewodnictwo poziome, wobec tego óżnica potencjałów między jonosfeą a Ziemią nie zmienia się. b) Istnieje mechanizm ładowania Ziemi ładunkiem ujemnym ze śednim pądem 8 A. Odpowiedzialne za to są buze, głównie topikalne, a ozładowanie następuje w okesie ładnej pogody. UZUPEŁ NIENIE (Patz Feynmann t.ii cz.i 94 na temat mechanizmów powstawania buz na Ziemi) 744 einhad Kulessa

32 8. Mateia w polu elektycznym Na każdy ładunek umieszczonej w polu elektycznym mateii działa siła wynikająca z pawa Coulomba. Ze względu na óżną uchliwość ładunków w óżnych mateiałach można zaobsewować następujące zjawiska: a). W pzewodniku uchliwe elektony zostają pzesunięte w stosunku do dodatnich atomów, co daje ozdzielenie ładunków dodatnich od ujemnych, czyli tzw. zjawisko indukcji. b). W izolatoach nośniki ładunku zostają pzesunięte tylko nieznacznie, obsewujemy tzw. polayzację. ozważmy pzewodnik umieszczony w polu elektycznym. Znajdujące się w nim swobodne elektony będą pzesuwały się w okeślonym kieunku. 744 einhad Kulessa

33 744 einhad Kulessa E E Cond. Dopowadzi to do nagomadzenia się na ściankach pzewodnika tzw. ładunku indukcyjnego. Ładunek ten geneuje wewnątz pzewodnika pole elektyczne skieowane pzeciwnie do pola zewnętznego. Pzesuwanie się ładunku twa tak długo, aż wypadkowe pole wewnątz pzewodnika osiągnie watość zeo.

34 E Cond E ładunki indukcyjne Zastanówmy się teaz jak wygląda sytuacja, gdy w polu elektycznym umieścimy mateiał nie pzewodzący ładunku. Doświadczenie uczy nas, że jeśli pomiędzy dwa ładunki wpowadzimy izolato, to maleje siła kulombowska działająca pomiędzy ładunkami. 744 einhad Kulessa 4

35 Omówmy ten poblem na pzykładzie kondensatoa płaskiego. C C powietze dielektyk Po włożeniu dielektyka pomiędzy okładki kondensatoa płaskiego, na pewno nie zmienił się ładunek na okładkach a jednak zmalał potencjał jak wskazał elektoskop. Zgodnie ze wzoem (7.) musiała wzosnąć pojemność kondensatoa. ównocześnie spadek potencjału na okładkach oznacza spadek natężenie pola elektycznego wewnątz okładek. 744 einhad Kulessa 5

36 Zastanówmy się nad faktem wzostu pojemności kondensatoa, do wnętza któego włożyliśmy dielektyk. Jak wytłumaczyć fakt zmniejszenia się natężenia pola elektycznego wewnątz kondensatoa. E E A σ pol Według pawa Gaussa stumień natężenia pola elektycznego jest bezpośednio związany z ładunkiem wewnątz powiezchni A dla któej ten stumień liczymy. Zmniejszenie się natężenia pola oznacza że wypadkowy ładunek wewnątz powiezchni A jest mniejszy niż wtedy gdy nie ma tam dielektyka. Wynika stąd, że na powiezchni dielektyka wewnątz powiezchni A muszą być ładunki ujemne. 744 einhad Kulessa 6

37 Ładunków jest mniej niż dodatnich, gdyż pole nie znika zupełnie. Na dugiej powiezchni izolatoa wytwaza się ładunek dodatni. Ładunek pojawiający się na izolatoze umieszczonym w polu elektycznym nazywamy ładunkiem polayzacyjnym. Pojawianie się tego ładunku związane jest z indukowaniem się i uszeegowaniem dipoli elektycznych w dielektyku, lub tylko uszeegowaniem istniejących dipoli. Gdybyśmy pomiędzy okładki kondensatoa włożyli pzewodnik, to ładunek polayzacyjny byłby identyczny jak ten na okładkach. Pole wewnątz pzewodnika byłoby ówne. Pole istniałoby tylko w małych szczelinach między okładkami a pzewodnikiem. E E ównież w tym pzypadku zaobsewujemy wzost pojemności kondensatoa. 744 einhad Kulessa 7

38 8. Wekto polayzacji P W izolatoach w pzeciwieństwie do pzewodników ładunki nie mogą się swobodnie pouszać. Jednak w atomach i cząsteczkach może nastąpić pzemieszczenie się ładunku pod wpływem pola elektycznego. E Na wskutek działania pola nastąpiło + + δ pzesunięcie ładunków o δ. Pod wpływem pola elektycznego następuje ównież pzesunięcie jonów w kyształach. Istnieją ównież cząsteczki posiadające moment dipolowy wynikający z ich stuktuy. Dipole te polayzują się pod wpływem pola E. 744 einhad Kulessa 8

39 Pzykładem stuktu posiadających moment dipolowych są np. CO, SO, H O, HCl, NH, C H 5 OH. H + H + Cl p e.4 C m O 5 p e 6. C m Jeśli w pzypadku atomu czy cząsteczki ładunek pzesunie się o δ, to moment dipolowy będzie ówny p q δ. Jeżeli w jednostce objętości znajduje się N atomów któe mogą się polayzować, to moment dipolowy na jednostkę objętości P N q δ (8.) 744 einhad Kulessa 9 H +

40 Wekto P nazywamy wektoem polayzacji. E F Ze δ +Ze F pomień a Zastanówmy się od czego ten wekto zależy. Pzesunięty o δ ładunek Ze oddziałuje tylko z częścią chmuy elektonowej o pomieniu δ. Natężenie pola elektycznego pochodzące od ładunku polayzacyjnego ma watość: E pol δ pol δ Ze a δ Zeδ a Ze jest ładunkiem całej kuli o pomieniu a. 744 einhad Kulessa 4

41 ównowaga nastąpi wtedy gdy E E. Oznacza to, że pol Zeδ a E. Widać więc, że moment dipolowy jest popocjonalny do natężenia zewnętznego pola polayzującego. Jest tak pzynajmniej dla niedużych pól. 744 einhad Kulessa 4