Wahania aktywności gospodarczej w Polsce i strefie euro *

Transkrypt

1 Wahania akywności gospodarczej w Polsce i srefie euro * Paweł Skrzypczyński ** Sierpień, 2008 Sreszczenie Zbliżone kszałowanie się cykli koniunkuralnych w krajach worzących unię waluową jes jednym z ważniejszych czynników wpływających na efekywność wspólnej poliyki monearnej. Tym samym pyanie o podobieńswa i różnice pomiędzy wahaniami akywności gospodarczej w nowych gospodarkach członkowskich Unii Europejskiej oraz gospodarkach srefy euro, a więc pyanie o synchronizację krajowego cyklu koniunkuralnego z cyklem charakeryzującym unię monearną, jes zasadne w obliczu przyszłego rozszerzenia srukur srefy euro. W arykule podjęo próbę odpowiedzi na powyższe pyanie w przypadku gospodarki polskiej, opierając badanie na ilościowej analizie przebiegu cyklu koniunkuralnego w Polsce i srefie euro w laach -. Głównym celem pracy jes zbadanie synchronizacji pomiędzy wahaniami koniunkury w ych gospodarkach. W ym celu wykorzysano meody analizy szeregów czasowych, operujące zarówno w dziedzinie czasu jak i częsoliwości, kóre umożliwiły pomiar cykli koniunkuralnych oraz określenie ich korelacji. Uzyskane wyniki wskazują, że w analizowanym okresie gospodarka polska i srefy euro wykazują średnie i sabilne w czasie dopasowanie wahań cyklicznych. Synchronizacja cykli o długości do około 3 la jes wyższa niż cykli o dłuższym okresie, kóre wykazują endencję do wyraźnego wyprzedzania analogicznych flukuacji w srefie euro. Zarówno cykle o długości do około 3 la, jak również cykle dłuższe, mają w przypadku Polski wyższe ampliudy niż w srefie euro. Słowa kluczowe: synchronizacja cykli koniunkuralnych; filry częsoliwościowe; model SVAR; model UCARIMA; analiza spekralna. Klasyfikacja JEL: C22, C32, E32, F15. * Projek badawczy zrealizowany w ramach współpracy z Biurem ds. Inegracji ze Srefą Euro, sanowiący część przygoowywanego w Narodowym Banku Polskim Raporu n. pełnego uczesnicwa Rzeczypospoliej Polskiej w rzecim eapie Unii Gospodarczej i Waluowej. ** Insyu Ekonomiczny, Narodowy Bank Polski, ul. Święokrzyska 11/21, Warszawa, Pawel.Skrzypczynski@mail.nbp.pl.

2 Wprowadzenie Zbliżone kszałowanie się cykli koniunkuralnych w krajach worzących unię waluową jes jednym z ważniejszych czynników wpływających na efekywność wspólnej poliyki monearnej. Podobny przebieg wahań koniunkury danego kraju, jak i flukuacji koniunkuralnych unii monearnej eliminuje porzebę zachowania auonomicznej poliyki pieniężnej, ponieważ wspólna poliyka pieniężna jes wówczas w sanie sabilizować flukuacje gospodarcze we wszyskich krajach członkowskich. Tym samym pyanie o podobieńswa i różnice pomiędzy wahaniami akywności gospodarczej w nowych gospodarkach członkowskich Unii Europejskiej oraz gospodarkach srefy euro, a więc pyanie o synchronizację krajowego cyklu koniunkuralnego z cyklem charakeryzującym unię monearną, jes zasadne w obliczu przyszłego rozszerzenia srukur srefy euro. W arykule podjęo próbę przedsawienia zjawiska synchronizacji wahań akywności gospodarczej pomiędzy gospodarką Polski a srefy euro. Głównym celem badania jes odpowiedź na pyanie, jak cykle koniunkuralne gospodarki polskiej są zsynchronizowane z cyklami koniunkuralnymi gospodarek srefy euro, oraz jak zjawisko dopasowywania się cykli koniunkuralnych Polski i srefy euro ewoluuje w czasie. Należy podkreślić, że wraz ze wzrosem liczby dosępnych obserwacji szeregów czasowych dla gospodarki polskiej wnioskowanie na ema procesu synchronizacji cykli koniunkuralnych pomiędzy Polską i srefą euro nabiera znaczenia. Przykładowo dane doyczące produku krajowego bruo w Polsce obejmują obecnie okres 13 la, co wydaje się być minimalną długością próby obserwacji przy badaniu cyklu koniunkuralnego 1. W celu przeprowadzenia badania wykorzysano meody analizy szeregów czasowych, operujące zarówno w dziedzinie czasu jak i częsoliwości, kóre umożliwiły pomiar cykli koniunkuralnych oraz określenie ich korelacji. Dzięki emu uzyskano całościowy obraz zależności pomiędzy cyklem gospodarczym Polski i srefy euro poprzez określenie dopasowania ampliud oraz punków zwronych akywności gospodarczej. Dodakowo w przeprowadzonym badaniu przedsawiono wyniki doyczące synchronizacji cykli gospodarczych krajów wchodzących w skład srefy euro, jak również wyniki doyczące synchronizacji cykli gospodarczych krajów kandydujących do członkoswa w srefie euro. Tym samym umożliwiło o lepsze 1 Burns i Michell (1946) określili, że flukuacje koniunkuralne nie muszą być ściśle periodyczne, oraz że ich długość może wahać się od ponad roku do około la. Zgodnie z chronologią powojennych cykli koniunkuralnych w Sanach Zjednoczonych według Naional Bureau of Economic Research (NBER) jednym ze sylizowanych faków na ema flukuacji koniunkuralnych w gospodarce rynkowej jes swierdzenie, że długość cyklu koniunkuralnego leży w zakresie od około 2 do około 10 la. 2

3 umiejscowienie Polski pośród innych gospodarek pod względem dopasowania wahań akywności gospodarczej do cyklu referencyjnego srefy euro. Moywacją do napisania arykułu było wykorzysanie meod częsoliwościowych w analizie dopasowania flukuacji koniunkuralnych w Polsce i srefie euro z uwagi na znikomą liczbę ego ypu analiz w lieraurze przedmiou. Tym samym wkład, jaki wnosi do lieraury prezenowane badanie, polega przede wszyskim na przedsawieniu synchronizacji cykli gospodarczych w Polsce i srefie euro widzianej przez pryzma analizy częsoliwościowej (spekralnej). Dodakowo badanie prezenuje zjawisko synchronizacji cykli gospodarczych pomiędzy Polską i srefą euro na le analogicznego porównania innych gospodarek ze srefą euro. Srukura arykułu jes nasępująca. W rozdziale pierwszym przedsawiono przegląd lieraury doyczącej synchronizacji wahań akywności gospodarczej. Rozdział drugi omawia podsawy meodologiczne przeprowadzonego badania empirycznego, skupiając się przede wszyskim na definicji cyklu koniunkuralnego oraz przyjęej meodzie pomiaru wahań akywności gospodarczej, jak również na meodach pomiaru dopasowania ych wahań pomiędzy sobą. W rozdziale rzecim opisano wyniki badania empirycznego synchronizacji cykli koniunkuralnych w Polsce i srefie euro na le wyników analogicznego badania pomiędzy innymi gospodarkami i srefą euro. Pracę kończy rozdział czwary, kóry sanowi podsumowanie i zesawienie wniosków płynących z przeprowadzonej analizy. 1. Przegląd lieraury Problemayka synchronizacji cykli koniunkuralnych wśród krajów srefy euro, jak również zależności pomiędzy wahaniami akywności gospodarczej na świecie, jes podejmowana przez wielu auorów. W przypadku analiz doyczących związków pomiędzy cyklami koniunkuralnymi gospodarek pozosających poza srefą euro z wahaniami koniunkuralnymi gospodarek wchodzących w jej skład liczba dosępnych badań jes nieco mniejsza, aczkolwiek można zaobserwować wyraźny przyros badań doyczących ej emayki. Tym samym dokonanie całościowego przeglądu lieraury jes rudnym i czasochłonnym zadaniem. W związku z powyższym w rozdziale skupiono się na najważniejszych, zdaniem auora, opracowaniach z zakresu przedmiou. Osaecznie należy podkreślić, że wśród meod badawczych, wykorzysywanych na łamach lieraury przedmiou, analiza spekralna pozosaje narzędziem, kóre nie jes najczęściej wykorzysywaną echniką. 3

4 W szczególności w lieraurze isnieje wyraźny brak badań oparych na analizie spekralnej dla przypadku gospodarki polskiej. Badania doyczące synchronizacji cykli koniunkuralnych w ramach srukur srefy euro wskazują, że większość gospodarek osiągnęła wysoką synchronizację cykliczną. Przykładowo Valle e Azevedo (2002), badając wahania koniunkury w krajach UE, jak również w Sanach Zjednoczonych i Japonii, dowodzi, że większość krajów członkowskich srefy euro cechuje się wysoką współzależnością, jeśli chodzi o flukuacje akywności gospodarczej względem referencyjnego cyklu dla srefy euro jako całości. Auor wykazuje, że cykle koniunkuralne w Szwecji, Finlandii, Wielkiej Bryanii oraz Sanach Zjednoczonych mają endencję do wyprzedzania koniunkury srefy euro o ponad rok. Naomias w Holandii, Włoszech, Japonii oraz Hiszpanii empo wyprzedzania jes dużo słabsze i nie przekracza roku. Z kolei Bergman (2004) wierdzi, że europejskie cykle koniunkuralne są do siebie dobrze dopasowane, aczkolwiek odkrywa, że poziom synchronizacji jes niższy w okresach niskiej zmienności kursu waluowego. Auor wskazuje na inegrację ekonomiczną (zwiększenie wymiany handlowej) osanich dziesięciu la jako czynnik, kóry przyczynił się do zwiększenia dopasowania wahań koniunkuralnych w Europie oraz na inegrację monearną jako czynnik osłabiający dopasowanie (poprzez zmniejszoną zmienność kursu waluowego). Ponado auor dowodzi, że w srefie euro wysępują różnice pomiędzy ampliudami cykli koniunkuralnych i ym samym podkreśla poencjalny problem implemenacji wspólnej poliyki monearnej. Podobne wnioski prezenowali wcześniej Dickerson, Gibson i Tsakaloos (1998), kórzy wykazali, że isnieją isone różnice pomiędzy ampliudami cykli koniunkuralnych krajów członkowskich UE, co może sawiać pod znakiem zapyania przyszłe efeky wspólnej poliyki monearnej. Auorzy wymieniają również powiązania handlowo-finansowe jako czynnik deerminujący synchronizację cykli koniunkuralnych. Skrzypczyński (2006), analizując cykle koniunkuralne w srefie euro, wskazuje na wysokie dopasowanie cykli koniunkuralnych gospodarek Niemiec, Ausrii, Francji, Belgii oraz Holandii do cyklu srefy euro jako całości. W przypadku pozosałych gospodarek srefy euro auor wskazuje, że synchronizacja jes słabsza. Podobnie jak w innych badaniach auor również wskazuje na wysępowanie pewnych różnic pomiędzy ampliudami i punkami zwronymi cykli gospodarczych w ramach srefy euro. Wynne i Koo (2000), bazując na analizie krajów pięnaski UE i dwunasu dysrykach Rezerwy Federalnej w Sanach Zjednoczonych, wskazują na wymianę handlową jako czynnik wpływający na synchronizację koniunkury. Ponado, auorzy powołują się na zw. efek sąsiedzwa (ang. border effec), kóry polega na ym, że zwiększona synchronizacja cykli koniunkuralnych jes 4

5 obserwowana w krajach sąsiadujących. Kraje e wykazują większą skłonność do wymiany handlowej aniżeli kraje oddalone od siebie. Auorzy pokazali również, że w krajach będących członkami UE przez dłuższy czas (ang. long-sanding members) widać większą synchronizację wahań akywności gospodarczej niż u członków z krókim sażem. Ponado auorzy wnioskują, że cykle koniunkuralne dużych gospodarek UE są wyraźnie połączone z cyklami koniunkuralnymi Sanów Zjednoczonych (w szczególności cykl gospodarczy Wielkiej Bryanii). De Haan, Inklaar i Sleijpen (2002), badając regiony USA i Niemiec, wskazują na inensywność wymiany handlowej jako czynnik wpływający na synchronizację cykli koniunkuralnych. Auorzy wykazują, że wyższa inensywność wymiany handlowej przekłada się na większą synchronizację flukuacji koniunkury pomiędzy parnerami handlowymi. Rose i Engel (2002) pokazali, że kraje członkowskie unii monearnych wykazują wyższą synchronizację cykli koniunkuralnych aniżeli kraje posiadające krajową waluę. Auorzy łumaczą, że odzwierciedla o zwiększone przepływy handlowe pomiędzy krajami worzącymi unie monearne. Wnioski prezenowane przez auorów są jednak sprzeczne ze sanowiskiem Bergmana (2004), kóry jak wcześniej wspomniano wskazuje na inegrację monearną jako czynnik osłabiający synchronizację cykli koniunkuralnych. Badania doyczące synchronizacji cykli koniunkuralnych pomiędzy nowymi członkami UE, kórzy pozosają poza srefą euro, z cyklami gospodarek wchodzących w skład srefy euro wskazują, że dopasowanie jes mniejsze aniżeli w przypadku gospodarek worzących unię monearną. Dodakowo można zaobserwować isone różnice pomiędzy ymi gospodarkami pod względem synchronizacji cyklicznej ze srefą euro rozparywaną jako całość. Przykładowo Darvas i Szapary (2004) wskazują, że Polska, Węgry i Słowenia, kóra w momencie powsawania ich arykułu pozosawała poza srefą euro, charakeryzują się dużym dopasowaniem wahań akywności gospodarczej do srefy euro. Z kolei kraje akie jak Czechy i Słowacja zosały zidenyfikowane jako mające mniejszą synchronizację, naomias kraje bałyckie oceniono jako gospodarki o najniższym dopasowaniu wahań akywności gospodarczej do srefy euro. Z kolei Varpaloai () przedsawia nieco odmienny obraz synchronizacji niż en wyłaniający się z pracy Darvasa i Szapary (2004) zwracając uwagę przede wszyskim na różnice w wysępowaniu punków zwronych. W przypadku Esonii, Węgier i Słowenii auor wskazuje, że cykle gospodarcze mają endencję do zbliżonego w sosunku do srefy euro wysępowania punków zwronych. W przypadku Polski auor podkreśla obecność isonego przesunięcia faz wahań akywności gospodarczej w porównaniu ze srefą euro. Eickmeier i Breiung (2006), badając cykle koniunkuralne w nowych gospodarkach UE, wskazują na znaczne zróżnicowanie synchronizacji cykli ych gospodarek 5

6 ze srefą euro. Auorzy wymieniają Węgry, Esonię, Słowenię i Polskę jako kraje najlepiej dopasowane pod względem wahań koniunkuralnych do srefy euro. Ciekawym opracowaniem na ema synchronizacji cykli koniunkuralnych pomiędzy nowymi członkami UE a srefą euro jes mea-analiza auorswa Fidrmuca i Korhonena (2006). Dokonując przeglądu 35 publikacji z zakresu synchronizacji cykli koniunkuralnych gospodarek Europy Środkowo-Wschodniej z cyklem referencyjnym srefy euro auorzy wskazują, że największą korelację cykli można odnoować w przypadku Węgier, Słowenii oraz Polski. Ważnym swierdzeniem auorów jes o, że obraz synchronizacji cykli koniunkuralnych może różnić się ze względu na wykorzysywaną meodę badawczą. Wreszcie waro również przyoczyć wyniki badania auorswa Woźniaka i Paczyńskiego (). Wykorzysując echniki analizy czasowo-częsoliwościowej auorzy wskazują, że dopasowanie wahań akywności gospodarczej pomiędzy Polską i srefą euro jes niskie w przypadku cykli o długim okresie oraz znacznie wyższe w przypadku cykli o krókim okresie. Podobne wnioski dla Polski i Węgier przedsawili za pomocą zbliżonych meod badawczych Hughes Halle i Richer (). Wnioski prezenowane na łamach lieraury przedmiou wskazują na isnienie synchronizacji pośród krajów członkowskich srefy euro. Jednakże nie można powiedzieć, że są o wnioski spójne i jednoznaczne, co m.in. jes związane z długością wykorzysanych prób obserwacji, jak również różnorodnością wykorzysywanych meod ekonomerycznych. Podobnie w przypadku gospodarek Europy Środkowo-Wschodniej wyniki badań różnych auorów wskazują na wysępowanie pewnej synchronizacji ych gospodarek ze srefą euro, wskazując m.in. na Polskę jako pańswo z relaywnie wysokim dopasowaniem krajowego cyklu koniunkuralnego do wahań akywności gospodarczej w srefie euro. 2. Meodologia W rozdziale ym przedsawiono zarys meodologiczny przeprowadzonego badania synchronizacji cykli koniunkuralnych w Polsce i srefie euro. Na począku zaprezenowano przyjęą definicję cyklu koniunkuralnego, a nasępnie dokonano krókiej charakerysyki narzędzi ekonomerycznych wykorzysanych w badaniu Definicja cyklu koniunkuralnego Esymacja zmiennych obrazujących kszałowanie się akywności gospodarczej w Polsce i pozosałych gospodarkach objęych analizą zosała dokonana na podsawie szeregów 6

7 czasowych realnego PKB oraz przewórswa przemysłowego 2. Z uwagi na wysępowanie sezonowości w powyższych danych dokonano oczyszczania sezonowego przyjęych szeregów czasowych za pomocą meody TRAMO/SEATS 3. W analizie uwzględniono okres od I kwarału do III kwarału r. włącznie. Z uwagi na o, że uwzględnienie w badaniu miesięcznych danych doyczących przewórswa przemysłowego nie sanowi warości dodanej w przypadku analizy spekralnej zjawisk cyklicznych i przyjęej definicji cyklu koniunkuralnego (przedsawionej poniżej), zdecydowano, że analogicznie do przypadku danych o PKB zosaną w ym celu wykorzysane kwaralne dane o przewórswie przemysłowym 4. W celu uzyskania składowych cyklicznych wyżej wymienionych szeregów czasowych wykorzysano filr band-pass auorswa Chrisiano i Fizgeralda () 5. Z uwagi na specyfikację ego narzędzia koniecznym było przyjęcie a priori długości flukuacji, kóre mogą być posrzegane jako wahania o charakerze koniunkuralnym. W badaniu przyjęo definicję cyklu koniunkuralnego, kóra zosała zaproponowana przez Burnsa i Michella (1946) i sanowi zw. sylizowany fak w badaniach cyklu koniunkuralnego. Zgodnie z ą definicją cykle koniunkuralne o flukuacje akywności gospodarczej, niebędące ściśle periodycznymi wahaniami, o okresach pomiędzy 1,5 roku a około laami. Tym samym przyjęa definicja jes spójna z podejściem Lucasa (1977), zgodnie z kórym wahania koniunkuralne o proces powarzających się, lecz nieregularnych, oscylacji produku wokół jego długookresowej ścieżki wzrosu. Cykl koniunkuralny zgodnie z ym podejściem może zosać zobrazowany jako komponen zmiennej obrazującej kszałowanie się produku gospodarki w czasie, powsały w wyniku usunięcia komponenu obrazującego długookresową ścieżkę wzrosową ego produku. W przeprowadzonej analizie przyjęo, że komponen cyklu koniunkuralnego o oscylacje o długościach cyklu leżących pomiędzy 1,5 roku a 10 laami. Założenie odnośnie do pasma wahań koniunkuralnych, jak również określenie czy poddawany dekompozycji szereg czasowy jes sacjonarny, czy nie, jes warunkiem koniecznym przy wyborze odpowiedniej specyfikacji filra band-pass. W celu określenia 2 W badaniu uwzględniono oprócz Polski i srefy euro, rozparywanej jako agrega 13 krajów, 17 wybranych gospodarek: Czechy, Esonię, Liwę, Łowę, Słowację, Węgry, Ausrię, Belgię, Finlandię, Francję, Grecję, Hiszpanię, Holandię, Niemcy, Porugalię, Słowenię oraz Włochy. Szereg czasowy realnego PKB Polski pozyskano z bazy danych GUS. W przypadku pozosałych gospodarek wykorzysano szeregi czasowe realnego PKB pochodzące z bazy danych Eurosau. Szeregi czasowe przewórswa przemysłowego dla wszyskich gospodarek zaczerpnięo z bazy danych OECD. 3 W ramach meody TRAMO/SEATS zasosowano addyywną dekompozycję. Szeregi czasowe realnego PKB i przewórswa przemysłowego zosały uprzednio poddane ransformacji logarymicznej. W dalszej części pracy zmienne określane jako realny PKB i przewórswo przemysłowe doyczą zmiennych przeransformowanych za pomocą logarymu nauralnego i oczyszczonych z wahań sezonowych, o ile nie zaznaczono inaczej. 4 Dane kwaralne zosały uzyskane poprzez agregację i uśrednianie danych miesięcznych. 5 Do celów esymacji komponenu obrazującego cykl koniunkuralny w gospodarce polskiej wykorzysano również inne meody, o kórych mowa w dalszej części opracowania. 7

8 sopnia inegracji badanych zmiennych posłużono się esem pierwiaska jednoskowego ADF (por. Dickey i Fuller (1979)) oraz esem sacjonarności KPSS (por. Kwiakowski e al. (1992)) Meody esymacji i analizy składowych cyklicznych W celu określenia przebiegu cyklu koniunkuralnego w gospodarce polskiej wykorzysano pięć meod esymacji składowej cyklicznej produku krajowego bruo: filr Hodricka-Prescoa (), zmodyfikowany filr Hodricka-Prescoa (), filr band-pass Chrisiano-Fizgeralda (), model SVAR ypu Blancharda-Quaha (1988) oraz model UCARIMA (ang. unobserved componens auoregressive inegraed moving average), zgodny ze specyfikacją Wasona (1986). W przypadku badania synchronizacji cyklu polskiego z cyklem srefy euro na podsawie danych o realnym PKB, jak również w przypadku analizy synchronizacji cykli pozosałych gospodarek objęych analizą z cyklem srefy euro wykorzysano miarę składowej cyklicznej wynikającą z zasosowania filra bandpass. Podobnie w przypadku esymacji cykli gospodarczych na bazie danych o przewórswie przemysłowym zasosowano filr band-pass. O wykorzysaniu filra band-pass jako narzędzia eksrakcji cykli koniunkuralnych zadecydowano z uwagi na ławość aplikacji ej meody do wszyskich przyjęych w badaniu szeregów czasowych. Z uwagi na o, że filr band-pass generuje cykle, kóre ilościowo i jakościowo są zbliżone do cykli uzyskanych za pomocą filra Hodricka-Prescoa i jego zmodyfikowanej wersji uznano, że prezenacja wyników analizy na podsawie ych narzędzi nie będzie wnosiła warości dodanej do wyników badania. Ponado wykorzysany filr band-pass jes narzędziem uwzględniającym srukurę sochasyczną dekomponowanej zmiennej, a ym samym filracja nie ma charakeru ad hoc jak np. w przypadku filra Hodricka-Prescoa. Osanim argumenem przemawiającym za wykorzysaniem filra band-pass jes o, że dzięki emu narzędziu można ograniczyć analizę ylko do flukuacji o charakerze koniunkuralnym, pomijając przede wszyskim wahania nieregularne, kóre z punku widzenia celów badania są nieisone. Z kolei w przypadku modelu SVAR ypu Blancharda-Quaha oraz przyoczonego wcześniej modelu UCARIMA należy liczyć się z możliwością uzyskania w przypadku niekórych gospodarek niezadowalających wyników. Przykładowo może o oznaczać uzyskanie nieisonych saysycznie oszacowań paramerów. Tym samym wiąże się o z niemożnością uzyskania komponenów cyklicznych, kóre mogą być uznane za dobrą aproksymację cyklu koniunkuralnego. Wyłumaczeniem ego sanu rzeczy może być o, że esymacja jes opara 8

9 na relaywnie krókiej próbie obserwacji dla analizy cyklu koniunkuralnego, kóra obejmuje niecałe 13 la danych lub nieadekwaność srukury przyjęego modelu dla danej gospodarki. Analiza synchronizacji cykli koniunkuralnych uzyskanych za pomocą filra band-pass zosała przeprowadzona w dziedzinie częsoliwości. Wnioskowanie o dopasowaniu cykli gospodarczych oparo na saysykach analizy cross-spekralnej, akich jak wzmocnienie, przesunięcie fazowe, koherencja oraz dynamiczny współczynnik korelacji. Tym samym wykorzysane meody ekonomeryczne umożliwiły określenie dopasowania cykli koniunkuralnych zarówno pod względem ampliud, jak i punków zwronych. Poniżej przedsawiono króki opis wyżej wymienionych meod ekonomerycznych Filr Hodricka-Prescoa Filr Hodricka-Prescoa (filr HP) umożliwia przeprowadzenie addyywnej dekompozycji zmiennej y na komponen rendu g i komponen cykliczny c : y = g + c dla = 1,2, K T., (1) Esymacja komponenu rendu problemu minimalizacyjnego posaci: g w ramach filra HP sprowadza się do rozwiązania T T min ( y g ) + λ ( Δ g ), T = 1 = 1 = 3 { g } (2) gdzie λ sanowi nieujemny paramer rzeczywisy zwany paramerem wygładzającym (ang. 2 smoohing paramer), kóry określa sopień gładkości rendu, naomias Δ jes operaorem drugiej różnicy. W przypadku, gdy λ 0, dopasowanie rendu do obserwowanego szeregu czasowego saje się coraz silniejsze, a w granicznym przypadku λ = 0 orzymuje się g = y. W przeciwnym przypadku, czyli gdy λ +, rend wynikający z zasosowania filra HP jes aki sam jak deerminisyczny rend liniowy dopasowany meodą najmniejszych kwadraów do zmiennej y. Z warunków pierwszego rzędu dla problemu (2) uzyskuje się oznaczony układ T równań liniowych o łącznej liczbie T niewiadomych (układ Cramera). Rozwiązaniem ego układu jes zmienna komponenu rendu dana jako cˆ ĝ dla = 1,2, K, T sanowiąca esymaor g. Zmienna ĉ będąca esymaorem komponenu cyklicznego c jes = y gˆ dla = 1,2, K, T. Zgodnie z oryginalną specyfikacją filra HP w 9

10 przypadku danych kwaralnych Hodrick i Presco () zaproponowali sosowanie parameru wygładzającego λ = Taki dobór parameru λ zapewnia rozgraniczenie pomiędzy rendem i cyklem na poziomie około 10 la (por. Maravall i del Rio (), s. 18) 6, co jes zgodne z definicją cyklu koniunkuralnego według Burnsa i Michella (1946). W przypadku danych miesięcznych dobór parameru λ zapewniający rozgraniczenie pomiędzy rendem i cyklem na poziomie około 10 la może być dokonany zgodnie z regułą proponowaną przez Maravalla i del Rio () lub meodą Ravna i Uhliga (2002). W przeprowadzonym badaniu wykorzysano jedynie paramer λ = 1600 z uwagi na wykorzysane dane kwaralne. Filr HP ma równoważną reprezenację jako filr ypu Wienera-Kolmogorowa (por. Kaiser i Maravall (2002)), należy również do rodziny filrów ypu Buerworha (por. Maravall i del Rio ()), a ponado może być również zapisany w formie modelu ypu UCARIMA w reprezenacji przesrzeni sanów (ang. sae-space) i oszacowany za pomocą algorymu filra Kalmana (por. Dueker i Nelson (2002)) Zmodyfikowany filr Hodricka-Prescoa Kaiser i Maravall (, 2002) zaproponowali rozszerzenie meody oczyszczania sezonowego i eksrakcji składowych szeregów czasowych TRAMO/SEATS o esymację składowej obrazującej wahania koniunkuralne. W ym celu wykorzysano filr HP, kóry w ramach meody TRAMO/SEATS ma modelową inerpreację, zn. że uzyskana składowa cykliczna ma reprezenację sacjonarnego procesu ARMA, podczas gdy komponen rendu jes reprezenowany przez niesacjonarny proces ypu ARIMA. Idea zw. filra MHP (ang. modified Hodrick-Presco filer) polega na eksrakcji składowej cyklicznej na podsawie szeregu czasowego komponenu rend-cykl, kóry na począku i końcu próby obserwacji zosał rozszerzony o prognozy wynikające z procesu ARIMA, dopasowanego do ej składowej w ramach dekompozycji TRAMO/SEATS. W procedurze filra MHP wykorzysuje się o, że jes on filrem ypu Wienera-Kolmogorowa, co ym samym prowadzi do uzyskania esymaora składowej cyklicznej o minimalnym błędzie średniokwadraowym (esymaor MMSE). Inerpreacja parameru wygładzającego λ w ramach filra MHP pozosaje analogiczna do przypadku sandardowej specyfikacji filra HP. W skończonych próbach 6 Rozgraniczenie pomiędzy rendem i cyklem na poziomie 10 la oznacza, że obecne w dekomponowanej zmiennej flukuacje o okresach powyżej 10 la są idenyfikowane jako rend, podczas gdy wahania o okresach krószych niż 10 la uożsamia się z flukuacjami cyklicznymi (koniunkuralnymi). 10

11 obserwacji implemenacja filra MHP odbywa się zgodnie z algorymem Burmana-Wilsona (por. Kaiser i Maravall ()) Filr band-pass Chrisiano-Fizgeralda Filr band-pass Chrisiano-Fizgeralda (filr CF) jes przykładem aproksymacji idealnego filra band-pass (ang. ideal band-pass filer). Filr CF wymaga określenia, czy poddawany dekompozycji szereg czasowy jes zmienną sacjonarną czy niesacjonarną. W przypadku niesacjonarności ważnym jes również określenie jej ypu, a więc rozróżnienie pomiędzy przyroso-sacjonarnością pierwszego rzędu (jeden pierwiasek jednoskowy) a rendo-sacjonarnością. W przypadku zmiennych przyroso-sacjonarnych pierwszego rzędu, czyli zinegrowanych w sopniu pierwszym I(1), filr CF wymaga uprzedniego usunięcia dryfu ze zmiennej poddawanej filracji, o ile jes on obecny. Z kolei w przypadku zmiennych rendo-sacjonarnych filr CF wymaga usunięcia rendu deerminisycznego (zazwyczaj liniowego). W przypadku zmiennych zinegrowanych w sopniu pierwszym filr CF nosi nazwę filra I(1), naomias w przypadku zmiennych sacjonarnych nazywa się go filrem I(0). Esymaor komponenu cyklicznego lub I(0)) do zmiennej y jes dany jako 7 : c y wynikający z zasosowania filra CF (w wersji I(1) ( L) y, gdzie Bˆ ( L) c j yˆ = Bˆ = Bˆ j, L dla = 1,2, K, T. j= 1 ( T ) (3) Tym samym filr CF dany wzorem (3) sanowi filr ypu Wienera-Kolmogorowa. Zesaw wag ˆ sanowi rozwiązanie problemu minimalizacyjnego posaci 8 : B j, π 2 min ˆ, j, j= π Bˆ, iω iω B( e ) B ( e ) S y ( ) d dla = 1,2, K T ( T ), K, 1 ω ω, (4) 7 k Symbolem L oznaczono operaor opóźnień (ang. lag operaor), kóry jes zdefiniowany jako L y y k dla każdego k należącego do zbioru liczb całkowiych. 8 Problem (4) może zosać równoważnie zapisany w dziedzinie czasu jako ( ) dla = 1,2, K T c c T E ( y yˆ ) 2 { y } ( T ), K, 1 min, = 1 j, j= Bˆ,. Tym samym esymacja komponenu cyklicznego za pomocą filra CF prowadzi do uzyskania esymaora o minimalnym błędzie średniokwadraowym (esymaor MMSE) w skończonej T -elemenowej próbie obserwacji szeregu czasowego { y } T = 1, będącego realizacją procesu sochasycznego I(1) lub I(0). 11

12 iω gdzie B( e iω ) oznacza wzmocnienie idealnego filra band-pass, B ( ) aproksymowanego, naomias ( ω) y ˆ wzmocnienie filra S odpowiada (pseudo-)spekrum mocy procesu poddawanego filracji (w zależności od wersji filra jes o pseudo-spekrum mocy procesu I(1), czyli procesu błądzenia losowego lub spekrum mocy procesu I(0), będącego białym szumem). Dodakowo w przypadku filra I(1) warunkiem ograniczającym dla problemu (4) jes wymóg sumowalności wag do zera, j. 1 j= ( T ) e B ˆ 0 dla = 1,2, K, T, kóry zapewnia usuwanie przez filr rendów sochasycznych. W przypadku filra I(0) warunek en nie jes uwzględniany, ponieważ zmienne sacjonarne nie pozosają pod wpływem rendów iω sochasycznych. Funkcja ( e ) jako 9 : j, = B w przypadku idealnego filra band-pass jes zdefiniowana B ω ( e i ) 1 0 dla dla ω ω [ ω, ω] [ ω, ω ], [ π, ω ) ( ω, ω) ( ω, π ], (5) gdzie ω = 2π τ sanowi częsoliwość wyrażoną w radianach o okresie równym τ. Wielkości ω 2π τ = U oraz L ω = 2π τ są określane mianem dolnej i górnej częsoliwości ucięcia (ang. cu-off frequency) i spełniają warunek 0 < ω < ω < π. Tym samym idealny filr band-pass usuwa z wejściowej zmiennej wahania o okresach większych niż τ U oraz wahania o okresach mniejszych niż τ L, pozosawiając wahania o okresach pomiędzy τ L i τ U. Odpowiednio dobrane okresy τ L i τ U wyznaczają pasmo wahań o charakerze koniunkuralnym. W przypadku przyjęej w badaniu definicji cyklu koniunkuralnego według Burnsa i Michella (1946) oznacza o, że dla danych kwaralnych wykorzysano τ = 6 i τ = 40. U L 9 iω Równoważnie wzmocnienie ( e ) B sanowi ransformaę Fouriera (pomijany jes czynniki 2π B L wielomianu idealnego filra band-pass, zn. wielomianu posaci ( ) + = ransformaę Fouriera uzyskuje się z kolei formułę umożliwiającą obliczenie wag B j idealnego filra band- π 1 iω pass, zn. B = B( e ) symeryczne, zn. j iωj π e dω π B j = B j oraz sumują się do zera, zn. + B = 0 j= j iω B e 2 dla j = 0, ± 1, ± 2, K aproksymowanego, zn. funkcja ( ) ˆ. wielomianu ( L) B = j B j L j 1 ). Sosując odwroną. Wagi idealnego filra band-pass są. Wzmocnienie filra ˆ jes dane jako ransformaa Fouriera (pomijany jes czynniki 2π 1 ) 12

13 Model SVAR ypu Blancharda-Quaha Meoda Blancharda-Quaha (1988) opiera się na esymacji dwuwymiarowego modelu VAR(p), bez wekora sałych, dla zmiennej obrazującej oczyszczoną ze średniej sopę wzrosu realnego PKB oraz dla sopy bezrobocia, kóra również zosała oczyszczona ze średniej 10. Tempo wzrosu produku jes dane jako ( ln( PKB ) ln( PKB 1) ) = pkb pkb 1 Δpkb = 100, gdzie PKB odpowiada szeregowi czasowemu realnego PKB, wyrażonemu w jednoskach pieniężnych, po usunięciu wahań sezonowych. Sopa bezrobocia SB jes również oczyszczona z wahań sezonowych, ale nie jes poddawana ransformacji logarymicznej. Obydwie zmienne są oczyszczane ze średnich i ym samym modelowane zmienne są dane jako y = Δpkb E( Δpkb ) ur = SB E ( SB ) Δ oraz 11. Należy podkreślić, że obydwie zmienne są sacjonarne 12, a więc i model VAR spełnia warunki sabilności, a w konsekwencji ma reprezenację VMA. Model VAR(p) jes dany jako: Δy φ = ur φ 1,11 1,21 φ φ 1,12 1,22 Δy ur 1 1 φ + φ 2,11 2,21 φ φ 2,12 2,22 Δy ur 2 2 φ p,11 φ p,12 Δy p ε1, + K + +, φ p,21 φ p,22 ur p ε 2, (6) ε jes wekorem składników losowych, gdzie symeryczna i gdzie [ ε ] ~ i. i. d. ( 0,Ω) 1, 2, N dodanio określona macierz Ω sanowi macierz wariancji-kowariancji składników losowych. Idenyfikacja posaci srukuralnej na podsawie posaci zredukowanej (6) odbywa się poprzez nałożenie rzech resrykcji na macierz wariancji-kowariancji składników losowych oraz powiązanej z nimi jednej resrykcji długookresowej, co w sumie daje czery resrykcje wymagane do jednoznacznej idenyfikowalności modelu SVAR w przypadku sysemu składającego się z dwóch zmiennych. Resrykcje doyczące macierzy wariancji-kowariancji Ω prowadzą do oronormalizacji szoków, a ym samym macierz wariancji-kowariancji 10 W pracy Blancharda i Quaha (1988) z szeregu czasowego dynamiki realnego PKB usunięo średnie w dwóch podpróbach, naomias z szeregu czasowego sopy bezrobocia usunięo rend liniowy. 11 Tym samym prawdą jes, że E ( Δy ) = ( ) = 0 E ur. Waro również zauważyć, że usunięcie średniej z szeregu czasowego przyrosu produku jes równoważne z usunięciem dryfu z szeregu czasowego poziomu produku. Nauralnie poziom produku po usunięciu dryfu jes reprezenowany przez zmienną y. 12 Waro zauważyć, że poziom produku jes zmienną zinegrowaną w sopniu pierwszym, zn. pkb ~ I () 1, a więc pierwszy przyros ej zmiennej jes sacjonarny (wokół średniej), zn. Δ pkb ~ I( 0) Δ y ~ I( 0). Sopa bezrobocia jes naomias zmienną sacjonarną (wokół średniej), zn. SB ~ I( 0) oznacza, że również ur ~ I( 0)., a ym samym, co 13

14 E e = szoków srukuralnych jes jednoskowa, zn. ( e ) I dany jako [ ] D S e = e e, gdzie D e oznacza szok popyowy, a. Wekor szoków srukuralnych jes S e szok podażowy. Model (6) może zosać zapisany w formie VMA( + ) przy wykorzysaniu szoków srukuralnych: Δy π = ur π 0,11 0,21 π π 0,12 0,22 e e D S π + π 1,11 1,21 π π 1,12 1,22 e e D 1 S 1 π + π 2,11 2,21 π π 2,12 2,22 e e D 2 S 2 +K. (7) Resrykcja długookresowa polega na założeniu, że w długim okresie szoki popyowe nie wpływają na poziom produku, czyli na zmienną y, co ym samym oznacza, że dla h +, + 0, 11 = h= h czyli dla długiego okresu, spełniona jes równość π 0. Zgodnie ze schemaem idenyfikacji Blancharda-Quaha w długim okresie poziom produku jes kszałowany wyłącznie przez szoki podażowe wywierające rwały wpływ na gospodarkę (czynniki rwałe), naomias flukuacje produku wokół ścieżki długookresowej, powodowanej przez szoki podażowe, są deerminowane przez szoki popyowe (czynniki przejściowe). Meoda Blancharda-Quaha jes ym samym jednym ze sposobów modelowania luki popyowej w gospodarce, czyli odchyleń poziomu produku od długookresowej ścieżki, zwanej poziomem produku poencjalnego. Luka popyowa może być inerpreowana jako komponen obrazujący kszałowanie się wahań koniunkuralnych produku. Eksrakcja składowej obrazującej wahania produku ze względu na szoki popyowe, czyli zmiennej y D będącej luką popyową, polega po pierwsze na zniwelowaniu wpływu szoków podażowych na empo wzrosu produku, co sprowadza się do obliczenia empa wzrosu produku wynikającego ylko z szoków popyowych 13 : + h= 0 D Δy = π e D h,11 h (8) oraz po drugie na skumulowaniu uzyskanego empa wzrosu (8) w celu uzyskania zmiennej obrazującej lukę popyową, zn.: y D = y 1 + Δy, D D (9) 13 Waro zauważyć, że empo wzrosu produku y może zosać zapisane zgodnie z (7) jako suma wpływu szoków popyowych i podażowych, zn. Δy = + D + S = + h 0 h, 11e h π h= 0 h, 12e h π. 14

15 gdzie począkowa obserwacja odpowiadająca zmiennej y D jes równa korespondującej obserwacji zmiennej D Δ y. Esymacja paramerów posaci zredukowanej modelu odbywa się za pomocą meody najmniejszych kwadraów, naomias idenyfikacja posaci srukuralnej jes dokonywana na podsawie meody największej wiarygodności Model UCARIMA specyfikacja Wasona Srukuralne modele szeregów czasowych (ang. srucural ime series models) umożliwiają modelowanie nieobserwowalnych komponenów szeregu czasowego akich jak rend, cykl, składowa sezonowa i składowa nieregularna 14. Modele e określa się mianem modeli UCARIMA, ponieważ każda ze składowych szeregu czasowego jes modelowana jako odpowiedni proces sochasyczny ypu ARIMA. Model Wasona (1986), oryginalnie zaproponowany dla gospodarki Sanów Zjednoczonych, służy do dekompozycji ypu rendcykl w przypadku realnego PKB. Dekompozycja zmiennej y (realnego PKB) na składową rendu jako: μ i składową cykliczną ψ dla = 1,2, K, T w ramach modelu Wasona jes dana y = μ + ψ, μ = δ + μ ψ = φ ψ ε + φ ψ 2 2 gdzie + ξ 2 ( 0, σ ), ε ~ i. i. d. N ε 2 gdzie ξ ~ i. i. d. N( 0, σ ), ξ (10) gdzie składnik losowy w równaniu rendu ( ε ) jes nieskorelowany ze składnikiem losowym w równaniu cyklu ( ξ ), zn. ( ε ξ ) 0 σ εξ = E =. W ramach modelu Wasona komponen rendu jes dany jako proces błądzenia losowego z dryfem, czyli niesacjonarny proces I(1), naomias składowa cykliczna jako sacjonarny proces AR(2) o zespolonych pierwiaskach wielomianu charakerysycznego. Zapis powyższego modelu w reprezenacji przesrzeni sanów jes dany poprzez równanie pomiaru: y = [ 1 1 0] μ ψ, ψ 1 (11) oraz równanie sanu: 14 Opis modeli ej klasy można znaleźć m.in. w pracy Proiei (2008), jak również w arykule Orphanidesa i van Nordena (2002). 15

16 μ δ 1 + ψ = 0 0 ψ φ μ φ 2 ψ 0 ψ ε 1. ξ 0 (12) Esymacja paramerów modelu, j. δ, φ 1, φ 2, 2 σ ε oraz największej wiarygodności przy wykorzysaniu algorymu filra Kalmana. 2 σ ξ, odbywa się za pomocą meody Analiza spekralna Analiza szeregów czasowych w dziedzinie częsoliwości jes określana mianem analizy spekralnej i sprowadza się do wyznaczenia spekrum mocy (ang. power specrum), czyli widma rozparywanego szeregu czasowego. Spekrum mocy sanowi rozkład wariancji analizowanego szeregu czasowego w dziedzinie częsoliwości i umożliwia idenyfikację znaczenia cykli o określonych częsoliwościach dla przebiegu analizowanego szeregu czasowego. Innymi słowy spekrum mocy odpowiada na pyanie, kóre częsoliwości mają większe, a kóre mniejsze znaczenie w wyjaśnianiu zmienności analizowanego szeregu czasowego. Spekrum mocy procesu sochasycznego z czasem dyskrenym { y o } + = zerowej średniej i sacjonarnej funkcji kowariancyjnej jes zdefiniowane jako ransformaa Fouriera ciągu auokowariancyjnego { γ ego procesu i jes dane jako (por. Hamilon (1994), s. 61): y k } + k = S 1 = + 2π k = y iωk ( ω) γ e dla ω [ π, π ] y k, (13) gdzie ω = 2π τ jes częsoliwością odpowiadającą okresowi τ. Spekrum mocy jes funkcją ciągłą o warościach rzeczywisych i symeryczną względem zera, a więc dla celów analizy można ograniczyć dziedzinę częsoliwości do przedziału [ 0,π ]. Zależność pomiędzy spekrum mocy procesu { y } i jego wariancją jes dana wzorem, kóry jes odwroną ransformaą Fouriera: π ( ω) dω S ( ω) y γ 0 = S y = 2 y dω. π π 0 (14) 16

17 W przypadku skończonej próby obserwacji, nauralnym sposobem esymacji spekrum y mocy jes zasąpienie w równaniu (13) ciągu eoreycznych auokowariancji γ k przez ciąg empirycznych auokowariancji γˆ y k, kóry uzyskuje się na podsawie szeregu czasowego { } T y = 1, sosując esymaor auokowariancji: T y 1 ˆ γ k = ( y y)( y k y) dla k = 0,1, K, T 1, T = 1+ k (15) 1 gdzie y = T = y 1 T ( 1). Ciąg auokowariancyjny jes symeryczny, a więc auokowariancje dla k = 1, 2, K, T są równe auokowariancjom dla k = 1,2, K, T 1, zn. ˆ γ = ˆ y y k γ k. Esymaor spekrum mocy uzyskany w wyniku zamiany ciągu eoreycznych auokowariancji przez ciąg empirycznych auokowariancji nosi nazwę periodogramu z próby i wyraża się wzorem: I y ( ω ) j = 1 T 1 1 y iω 1 ˆ = ˆ0 + T jk y y γ 2 ˆ k e γ γ k cos 2π k = ( T 1) 2π k = 1 ( ω k) j, (16) gdzie ω j oznacza dyskreną częsoliwość Fouriera, zn. ω j = 2πj T, gdzie j = 0,1, K, T 2 dla T parzysego lub = 0,1,,( T 1) 2 j K dla T nieparzysego. Okres cyklu odpowiadający j -ej dyskrenej częsoliwości Fouriera wynosi τ j = T j. Periodogram jes asympoycznie nieobciążonym esymaorem spekrum mocy, ale nie jes esymaorem zgodnym, zn. że jego wariancja nie zmniejsza się wraz ze wzrosem dosępnej liczby obserwacji. W celu zredukowania wariancji periodogramu dopuszcza się jego wygładzanie, jednakże odbywa się o koszem uray nieobciążoności esymaora. W analizie przedsawionej w arykule wykorzysano meodę wygładzania w dziedzinie opóźnień (ang. lag domain smoohing) za pomocą zw. okna Parzena (ang. Parzen kernel). Esymaor spekrum mocy uzyskiwany dzięki ej meodzie przyjmuje posać: Sˆ y 1 1 = k k 0 0 k k cos 2π k = H 2π k = 1 H H y iωk y y ( ω) w ˆ γ e = w ˆ γ + 2 w ˆ γ ( ωk), (17) 17

18 gdzie symeryczne wagi w k reprezenują okno Parzena 15, dla kórego maksymalny rząd opóźnień H, noszący nazwę opóźnienia ucięcia (ang. runcaion lag) lub równoważnie szerokości pasma przenoszenia (ang. bandwidh), jes dobierany zgodnie z regułą ( T ) H = in 2 (por. Chafield (1996), s. 115). Podsawową wielkością w przypadku analizy zależności dwóch zmiennych w dziedzinie częsoliwości jes cross-spekrum (ang. cross-specrum), kóre sanowi rozkład kowariancji dwóch sacjonarnych procesów sochasycznych w dziedzinie częsoliwości. Załóżmy, że proces sochasyczny z czasem dyskrenym { } + = x o zerowej średniej i sacjonarnej funkcji kowariancyjnej jes zmienną niezależną, naomias proces o analogicznych własnościach { y jes zmienną zależną, wówczas cross-spekrum ych } + = zmiennych jes zdefiniowane jako ransformaa Fouriera ciągu cross-kowariancyjnego yx { } + k k = γ ych zmiennych i jes dane wzorem (por. Hamilon (1994), s. 270): S 1 = + 2π k = yx iωk ( ω) γ e = c ( ω) iq ( ω) dla ω [ π, π ] yx k yx yx. (18) + k= 1 yx Wielkość c ( ω) = 2π γ cos( ωk) yx k nosi nazwę co-spekrum i sanowi część + k = 1 yx rzeczywisą cross-spekrum, naomias wielkość q ( ω) = 2π γ sin( ωk) yx k, zwana spekrum kwadraurowym, sanowi ujemną część urojoną cross-spekrum. W przeciwieńswie do spekrum mocy, cross-spekrum przyjmuje z reguły warości zespolone, ponieważ ciąg cross-kowariancyjny nie jes symeryczny ( γ yx k γ yx k, ale γ = γ yx k xy k ). Na podsawie crossspekrum mocy jes możliwe zdefiniowanie rzech saysyk cross-spekralnych zwanych odpowiednio wzmocnieniem (ang. gain) pomiędzy procesem { x } i { y } fazowym (ang. phase shif) pomiędzy procesem { x } i { } pomiędzy procesem { x } i { } 269):, przesunięciem y oraz koherencją (ang. coherence) y. Saysyki e są kolejno dane jako (por. Sargen (1987), s. 15 Wagi okna Parzena są dane jako w k 2 6( k H ) + 6( k H ) 3 ( k H ) dla H 1 = dla k > H. 3 dla k H 2 k H, 2, 18

19 G 2 2 ( c yx( ω) + q yx( ω) ) S ( ω) 1 2 yx ( ω ) = dla ω [ π, π ], x ( ω) ( ω) q ϕ ( ω) an 1 yx = dla ω, c yx K [ π π ] yx, ( ) 2 ( ω) + q yx ( ω) ( ω) S ( ω) 2 c yx ω = dla ω, S [ π π ] 2 yx, y x (19) (20) (21) gdzie S x ( ω) oznacza spekrum mocy procesu { x }, naomias y ( ω) mocy procesu { y }. Wzmocnienie pomiędzy procesem { x } i { } moduł współczynnika β w regresji zmiennej y względem Jeżeli G ( ω) > 1 yx S odpowiada spekrum y jes inerpreowane jako x dla danej częsoliwości ω., wówczas zmienna x charakeryzuje się niższą ampliudą niż zmienna y dla częsoliwości ω oraz odwronie w przypadku, gdy G yx ( ω) < 1 fazowe pomiędzy procesem { x } i { }. Naomias przesunięcie y informuje o ym czy zmienna x wyprzedza zmienną y, czy eż opóźnia się w sosunku do niej, dla danej częsoliwości ω. Ujemna (dodania) warość przesunięcia fazowego ϕ yx ( ω) informuje o wyprzedzaniu (opóźnianiu) dla częsoliwości ω. Z kolei koherencja pomiędzy procesem { x } i { y } sanowi miarę dopasowania 2 R w regresji zmiennej y względem x dla częsoliwości ω i przyjmuje warości z przedziału [ 0,1]. Croux e al. () proponują dodakową saysykę crossspekralną, kóra jes określana mianem dynamicznego współczynnika korelacji (ang. dynamic correlaion coefficien) pomiędzy procesem { x } i { y } jako (por. Croux e al. (), s. 2):. Współczynnik en jes dany yx ( ω) ( ω) S ( ω) c ρ ( ω) = dla ω, S y x [ π π ] yx. (22) Dynamiczny współczynnik korelacji pomiędzy procesem { x } i { y } przyjmuje warości z przedziału [ 1,1 ] i określa sopień współzależności pomiędzy zmienną x i y dla danej częsoliwości ω. Ponado dla dwóch częsoliwości ω 1 i ω 2 akich, że 0 ω < ω π, 1 2 współczynnik korelacji posaci ([, ω2 ω2 ω2 ρ yx ω1 ω2 ]) = c yx ( ω) dω S y ( ω) dω S x ( ω) ω 1 ω 1 ω 1 dω 19

20 określa sopień współzależności pomiędzy zmienną [ ω, ω ] [ ω ω ] 2 1 1, 2 x i y w paśmie częsoliwości. Podobnie pozosałe saysyki cross-spekralne mogą być obliczane dla zadanego z góry pasma częsoliwości. W przypadku analizy cross-spekralnej, ak samo jak w przypadku analizy spekralnej, można ograniczyć dziedzinę częsoliwości do przedziału [ 0,π ]. W przypadku esymacji cross-spekrum dla skończonych prób obserwacji posępuje się analogicznie jak w przypadku esymacji spekrum mocy, zn. należy zamienić ciąg eoreycznych cross-kowariancji przez ciąg empiryczny, wykorzysując w ym celu esymaor cross-kowariancji pomiędzy szeregami czasowymi { x } T 1 y : = 1 = i { }T ˆ γ yx k 1 T = 1 T T = 1+ k T + k = 1 ( y y)( x x) k dla k = 0,1, K, T 1, ( y y)( x x) dla k = 1, 2, K, ( T 1 ), k (23) 1 gdzie y = T = y 1 T T 1 i x = T = x 1. Esymacja wzmocnienia, przesunięcia fazowego, koherencji i dynamicznego współczynnika korelacji wymaga zasosowania wygładzonych posaci co-spekrum, spekrum kwadraurowego oraz spekrum mocy zmiennej y oraz x. W ym celu w przeprowadzonej analizie wykorzysano wyżej wspomniane okno Parzena. 3. Wyniki W rozdziale ym przedsawiono wyniki esymacji i analizy synchronizacji cykli koniunkuralnych w badanych gospodarkach. Na począku omówiono wyniki esymacji cyklu koniunkuralnego w Polsce na podsawie przyjęych meod ekonomerycznych, a nasępnie przedsawiono wyniki doyczące kwesii synchronizacji cyklu gospodarczego w Polsce i srefie euro na le pozosałych analizowanych gospodarek. Odpowiednie abele i wykresy zosały zamieszczone w aneksie Esymacja cyklu koniunkuralnego w Polsce na podsawie PKB Wykorzysując przyjęe narzędzia ekonomeryczne, dokonano esymacji składowej cyklicznej realnego PKB w Polsce w okresie I kw. III kw.. Wyniki esu pierwiaska jednoskowego ADF oraz esu sacjonarności KPSS, zaware kolejno w abelach 20

21 1-4 16, nakazały uznać szereg realnego PKB w Polsce za realizację procesu I(1) z dryfem 17. Wykres 1 przedsawia uzyskane składowe cykliczne realnego PKB 18. Składowe e okazały się być zmiennymi sacjonarnymi, na co wskazują wyniki esu ADF i KPSS zaware w abeli 5. Nieformalna analiza uzyskanych składowych cyklicznych wskazuje na zbliżone kszałowanie się uzyskanych szeregów czasowych. Powierdzają o wysokie warości współczynników korelacji bieżącej pomiędzy uzyskanymi składowymi, kóre zesawiono w abeli 6. Tym samym wszyskie wykorzysane meody wskazują na zbliżony przebieg cyklu koniunkuralnego w Polsce, co sanowi zadowalający rezula i może świadczyć o rwałości uzyskanych wyników. Szacunki składowej cyklicznej produku podlegają zazwyczaj sosunkowo wysokim rewizjom w czasie wraz z rozszerzaniem próby obserwacji o nowe dane (por. Orphanides i van Norden (2002)). Dzieje się ak z jednej srony z uwagi na rewizje danych o PKB (dane ypu real-ime), z drugiej naomias z uwagi na rewizje wprowadzane przez sosowaną meodę eliminacji wahań sezonowych oraz eksrakcji cyklu. W przypadku filrów ypu HP i CF rewizje doyczą przede wszyskim końców próby obserwacji, gdzie filry e sają się jednosronne 19. W związku z powyższym należy mieć świadomość, że uzyskane składowe cykliczne sanowią oszacowania warunkowe względem dosępnej próby obserwacji. Efek wpływu rewizji danych o PKB oraz rewizji wprowadzanych przez zasosowane meody eksrakcji cyklu (jak również meodę eliminacji wahań sezonowych TRAMO/SEATS) zobrazowano na wykresie 2, kóry przedsawia szacunki składowej cyklicznej PKB w Polsce na podsawie czerech osanich zesawów danych ypu real-ime 20. Waro zauważyć, że w ym porównaniu filr CF wydaje się generować sosunkowo zadowalające rezulay z uwagi na małe rewizje składowej cyklicznej. 16 W abelach ych zamieszczono również wyniki esów dla pozosałych szeregów czasowych realnego PKB wykorzysanych w dalszej części badania. 17 Tym samym deerminowało o specyfikację przyjęego filra CF filr I(1). Dodakowo w przypadku filra CF przed filracją usunięo ze zmiennej dryf. 18 Esymacja za pomocą filra HP i MHP zosała opara na składowej rend-cykl realnego PKB. W przypadku filra CF, modelu SVAR oraz modelu UCARIMA wykorzysano szereg realnego PKB oczyszczony z wahań sezonowych. W przypadku modelu SVAR wykorzysano opóźnienia do drugiego włącznie, co zosało określone na podsawie kryerium informacyjnego Schwarza. Składowe cykliczne uzyskane za pomocą filra HP, MHP, CF i modelu UCARIMA pokrywają okres I kw. III kw.. Składowa cykliczna uzyskana za pomocą modelu SVAR obejmuje okres II kw III kw.. Szczegółowe informacje i wyniki doyczące esymacji modelu SVAR, UCARIMA, jak również filra MHP są dosępne u auora. 19 Zarówno filr HP, MHP jak i filr CF w skończonych próbach obserwacji są filrami asymerycznymi. Oznacza o, że ich wagi w reprezenacji Wienera-Kolmogorowa zależą od indeksu czasu. Innymi słowy, w przypadku środka próby obserwacji filry ego ypu są symeryczne, naomias wraz ze zbliżaniem się do końców próby obserwacji filry e sają się asymeryczne z uwagi na jednosronny charaker esymacji. 20 Szacunki uzyskane na podsawie osaniego zesawu danych o realnym PKB w Polsce, obejmującego okres I kw. III kw., sanowią składowe cykliczne, kóre zobrazowano na wykresie 1. 21

22 Z uwagi na sacjonarność uzyskanych składowych cyklicznych realnego PKB w Polsce możliwym było zasosowanie meod analizy spekralnej w celu idenyfikacji długości dominującego cyklu, czego dokonano na podsawie korespondujących periodogramów. Wykres 3 przedsawia periodogramy poszczególnych składowych cyklicznych uzyskanych na bazie danych z okresu I kw. III kw.. Analiza periodogramów wskazuje, że wahania akywności gospodarczej w Polsce są kszałowane poprzez dwa dominujące cykle o okresach odpowiednio około 3 la oraz 6-7 la. Wskazują na o widoczne na wykresie 3 piki rozkładów przypadające dla ych długości cykli. Wyniki uzyskane na bazie modelu SVAR wskazują, że okres dłuższego cyklu wynosi około 11 la 21. Z uwagi na o, że analiza jes opara na relaywnie krókiej próbie obserwacji, należy mieć na uwadze, że oszacowanie okresu dłuższego cyklu w przypadku wszyskich esymaorów składowej cyklicznej może być obarczone pewnym błędem. Niemniej jednak zarówno nieformalna analiza przebiegu komponenów cyklicznych w czasie, jak również formalna analiza rozkładów wariancji ych zmiennych w dziedzinie częsoliwości wskazuje, że w przypadku gospodarki polskiej mamy do czynienia z dwoma rodzajami flukuacji o naurze koniunkuralnej: cyklem 3-lenim oraz cyklem dłuższym o okresie około 6-7 la Analiza synchronizacji cykli koniunkuralnych Analiza na podsawie PKB Wykorzysując komponen cykliczny realnego PKB w Polsce uzyskany za pomocą filra CF oraz analogiczne miary wahań akywności gospodarczej w pozosałych gospodarkach w okresie I kw. III kw. dokonano analizy synchronizacji cykli koniunkuralnych poszczególnych gospodarek z cyklem referencyjnym srefy euro rozparywanej jako całość 22. Wyniki esów ADF i KPSS wskazują, że w większości przypadków szeregi czasowe PKB winny być posrzegane jako realizacje procesu I(1) z dryfem (por. abele 1-4). Tym samym we wszyskich przypadkach wykorzysano specyfikację I(1) dla filra CF, uprzednio usuwając dryf z każdego szeregu czasowego. Wykres 4 przedsawia składowe cykliczne poszczególnych gospodarek na le składowej cyklicznej srefy euro rozparywanej jako całość. Zgodnie z wynikami esów ADF i KPSS składowe e okazały się być zmiennymi sacjonarnymi (por. abela 7 i 8), a ym samym możliwym było 21 Waro również zauważyć, że uzyskane pierwiaski wielomianu charakerysycznego procesu AR(2) dla składowej cyklicznej w modelu UCARIMA wskazują, że średnia długość dominującego cyklu wynosi około 8 la. 22 W analizie nie uwzględniono Grecji z uwagi na brak szeregu czasowego PKB o odpowiedniej liczbie obserwacji. 22