RUCH DRGAJĄCY. Ruch harmoniczny. dt A zatem równanie różniczkowe ruchu oscylatora ma postać:

Transkrypt

1 RUCH DRGAJĄCY Ruch haroniczny Ruch, tóry owtarza się w regularnych odstęach czasu, nazyway ruche oresowy (eriodyczny). Szczególny rzyadie ruchu oresowego jest ruch haroniczny: zależność rzeieszczenia od czasu wyrażona jest rzez funcję sinus lub osinus. Co więcej, wyazuje się, że dowolny ruch oresowy ożna wyrazić jao odowiednią suę (szereg) ruchów haronicznych. Ułade, tóry wyonuje ruch haroniczny jest oscylator haroniczny. Przyłady oscylatora haronicznego: Mechaniczne: asa na srężynie, wahadło. Eletryczny: obwód LC (tutaj wychylenie jest n. naięcie, rąd lub ładune eletryczny). Jaie cechy usi ieć uład echaniczny (n. asa na srężynie), aby był oscylatore haroniczny? Są one nastęujące: a) Drgające ciało osiada unt równowagi trwałej, b) Siła działająca na ciało wynosi: F= - x (x jest wychylenie z ołożenia równowagi, jest stałą srężystości srężyny), c) Zasada liniowości: wychylenie ciała wsute działania wielu sił równe jest suie wychyleń jaie wywołują oszczególne siły, d) Częstość ruchu nie zależy od alitudy drgań. x x=0 Naiszy równanie ruchu oscylatora haronicznego, tóry jest asa na srężynie. Z II zasady dynaii: F = a d x x = A zate równanie różniczowe ruchu oscylatora a ostać: d x = x ()

2 Rozwiązanie Równ. () jest: x(t) = x0 cos( ωt + ϕ) () gdzie x 0 jest alitudą drgań, ω jest tzw. częstością ołową, zaś ϕ jest fazą oczątową (alitudę x 0 ja i ąt ϕ dobieray z warunu oczątowego, ówiącego jaie było wychylenie x w chwili t=0). Podstawiając rozwiązanie () do Równ. (), łatwo srawdzić, że istotnie jest to dobre rozwiązanie. Co więcej, doonując tego srawdzenia, znajdujey nastęujący związe iędzy stałyi: (3) ω = Ja już wsoniano, ω jest częstością ołową drgań (rzy czy ω=πν gdzie ν jest częstotliwością drgań). Definiuje się taże ores drgań, T; jest to czas wyonania jednego ełnego drgania. Oczywiście: π T = = ν ω Wyorzystując Równ. (3), ores drgań oscylatora haronicznego wynosi: (4) T = π Na oniec zauważy, że uwzględniając relację (3), równanie ruchu oscylatora (Równ. ()) ożna rzedstawić w charaterystycznej forie: d x (5) = ω x Związe ruchu haronicznego z ruche o oregu Znaczenie częstości ołowej stanie się dla nas jaśniejsze, gdy uświadoiy sobie związe ruchu haronicznego z jednostajny ruche obrotowy ciała o oręgu. y r α(t) x W czasie t ciało zatoczyło ąt α: α(t)=ωt + ϕ. Rzuty wetora wodzącego (wsazującego atualne ołożenie ciała) na oś x i y wynoszą:

3 x = r cosα = r cos( ωt + ϕ) y = rsin α = rsin( ωt + ϕ) Widziy zate, że rzut ciała rążącego o oręgu na dowolną oś leżącą w jego łaszczyźnie, jest ruche haroniczny. W równaniu owyższy ω oznacza rędość ątową ruch ciała o oręgu, odczas gdy w Równ. (3) lub (5) ten sa sybol oznaczał częstość ołową. Ta więc częstość ołowa w ruchu haroniczny oże być utożsaiona z rędością ątową odowiadającego u ruchu o oręgu. Przyonijy raz jeszcze odstawową cechę ruchu haronicznego: ores drgań (lub jego częstotliwość) nie zależą od alitudy ruchu. Wahadło Wahadło fizyczne Rozatrzy od razu ogólny rzyade wahadła czyli tzw. wahadło fizyczne. Wahadło fizyczne to dowolne ciało ogące się obracać woół jaiejś ustalonej osi, nie rzechodzącej jedna rzez środe asy. 0 l 0' g Na owyższy rysunu wahadło wyonuje drgania woół osi 0; jest ona odległa o l od środa asy (0 ). Załóży, że w danej chwili wahadło wychylone jest z ołożenia równowagi o ąt θ. Na wahadło działa oent siły, ochodzący od siły ciężości o wartości g, zaczeionej w środu asy 0. Zgodnie z definicją oentu siły, oent ten wynosi: θ Wartość oentu siły wynosi: M = l g M = glsin θ Zna inus w owyższy równaniu ochodzi stąd, że oent siły i ąt θ ają zawsze rzeciwny zna (onao, zauważy, że funcja sinus jest funcją niearzystą, więc rzy zianie znau ąta θ zienia się taże zna oentu siły). Pisanie równania ruchu rozoczynay zawsze od II zasady dynaii (w ty wyadu oczywiście dla ruchu obrotowego): d θ M = I 3

4 Po odstawieniu wyrażenia na oent siły i o odzieleniu obustronnie rzez I: d θ gl (6) = sin θ I Równanie owyższe jest równanie ruchu wahadła fizycznego dla dowolnie dużych wychyleń (tzn. dla dowolnych ątów θ). Rozwiązanie tego równania jest ruch oresowy. Nie jest on jedna ruche haroniczny, gdyż równanie owyższe nie jest równanie ruchu oscylatora haronicznego (atrz Równ. 5). Równanie 6 ulega znaczneu uroszczeniu, jeśli założyy, że wahadło wyonuje drgania o ałych wychyleniach; inaczej ówiąc rozważay ałe ąty θ (n. nie więsze niż 0 o ). Wtedy sin θ ożey zastąić say ąte θ (wyrażony oczywiście w ierze łuowej). Ta uroszczone równanie: d θ gl (7) = θ I a identyczną ostać ateatyczną ja Równ. 5, będące równanie ruchu oscylatora haronicznego. Z orównania z Równ. 5 znajdujey od razu częstość ołową drgań wahadła fizycznego: gl (8) ω = I Ores drgań T = π wahadła fizycznego wynosi: ω T = π I gl Przez orównanie z rozwiązanie równania ruchu oscylatora haronicznego (Równ. ) znajdujey od razu rozwiązanie dla wahadła fizycznego: θ ( t) = θ0 cos( ωt + ϕ) (0) Ruch wahadła, będący ruche oresowy, osłużył jao liczni stałych orcji czasu w zegarach i zegarach echanicznych. Szczególnie w tych ierwszych, najczęściej rzeszlonych (obecnych jeszcze w doach nietórych z Państwa) zauważyć ożna łatwo ruch wahadła, odierzającego olejne seundy... Wahadło ateatyczne Szczególny rzyadie wahadła fizycznego jest tzw. wahadło ateatyczne. Jego dobry rzybliżenie jest ała ula stalowa zawieszona na leiej i długiej nitce. (Chodzi o rostu o to, aby wahadło to ożna było rzedstawić jao asę untową na nieważiej nici). (9) 4

5 0 l θ g W tai szczególny rzyadu od razu ożey wyliczyć oent bezwładności I: I=l ; odstawiając to wyrażenie do Równ. 9, otrzyujey ores wahań wahadła ateatycznego: l () T = π g Przyonijy raz jeszcze, że uzysane rozwiązania równania ruchu ja i wyrażenia na częstość ołową i ores wahań są słuszne rzy założeniu ałych wychyleń ątowych (najwyżej 0-0 stoni wtedy wynii są orawne w granicach błędu nie rzeraczającego - %). Przy więszych wychyleniach, trzeba rozwiązywać ogólniejsze równanie ruchu (Równ. 6); wtedy nie ay już jedna do czynienia z oscylatore haroniczny, lecz z ciałe wyonujący ruch oresowy. Odowiednie rozwiązania są już jedna bardziej soliowane. Energia w ruchu haroniczny Zastanówy się, jaą energię osiada drgający oscylator haroniczny. Dla uroszczenia, rozważy znów oscylator w ostaci asy na srężynie. 0' -x 0 x 0 x x=0 Energia otencjalna rozciągniętej srężyny (E ) jest racą, jaą ona wyona wracając do ołożenia równowagi. Z zasady zachowania energii wynia, że energię otencjalną srężyny ożey taże wyliczyć jao racę W jej rozciągnięcia o długość x. Obliczenie to zrobiliśy już orzednio, a zate: E = W = x Jeśli srężyna naciągnięta jest do wychylenia asyalnego x 0, to rędość ja i energia inetyczna drgającej asy są zerowe; w tai oencie cała energia echaniczna oscylatora jest jego energią otencjalną (tóra jest wtedy asyalna): 5

6 E = (ax) Z drugiej strony, gdy oscylator rzechodzi rzez unt równowagi (x=0), jego rędość jest asyalna (v ax ) i cała jego energia echaniczna a ostać energii inetycznej (E = ½ v ), tóra jest wtedy asyalna: E = (ax) W ażdy inny, dowolny oencie, energia echaniczna oscylatora rozłada się na energię otencjalna i inetyczną, rzy czy z zasady zachowania energii wynia, że energia całowita E: E = E x v 0 ax + E = v + x Energię całowita ożey też wyrazić jao: E = E = E () (ax) (ax) Oczywiście roorcja energii inetycznej do otencjalnej jest inna w ażdej chwili czasu. Ponieważ: E = E + E oraz energia całowita, E, a wartość stałą, usi być sełniony nastęująca zaleznosc dla wartości średnich: E =< E > + < E > ( a) Sybol <...> oznacza średniowanie o czasie. Wyliczy teraz średnią (względe czasu) energię inetyczną i otencjalną. Energia otencjalna: (3) < E >= < x >= x0 < (cosωt) > W równaniu ty odstawiliśy (Równ.) wyrażenie na wychylenie oscylatora (rzyjując ϕ=0): x(t)=x 0 cosωt. Podobnie wyliczyy średnią energię inetyczną: (3 a) < E >= < v >= x0 < (sin ωt) > Podstawiliśy tutaj wyrażenie na rędość oscylatora v(t)= - x 0 ωsinωt, tórą uzysujey ze zróżniczowania relacji na wychylenie x(t). Średnie o czasie, tóre wystęują w Równ. 3 i 3a: <(sinωt) > oraz <(cosωt) > są sobie oczywiście równe, gdyż funcje sinus i osinus ają tai sa ształt, tylo są rzesunięte w fazie o A zate: Ponao, na odstawie Równ. a ay: < E >=< E > (4) 6

7 < E >=< E >= E A zate średnie energie inetyczna i otencjalna są sobie równe i ażda z nich równa jest ołowie energii całowitej. (4 a) Ruch drgający tyu oscylatora haronicznego nie jest wyłącznie cechą uładu asa + srężyna. Również atoy w rysztale zachowują się w dobry rzybliżeniu ja oscylatory haroniczne. Porównajy wyres energii otencjalnej od wychylenia atou oddziaływującego z inny atoe (o rawej) z zależnością jaą iałby on będąc lasyczny oscylatore haroniczny (o lewej). Widziy, że w odległości r 0 ato jest w stanie równowagi, tóry odowiada iniu energii otencjalnej. W zaresie ałych wychyleń rzebieg energii otencjalnej (otencjału) dla atou jest odobny ja dla asy na srężynie. Używając odowiedniej zależności na rzebieg otencjału atou (znanej w fizyce atoowej) uzysuje się częstotliwość drgań atoów: ν 0 4 Hz. Atoy drgające z tą częstotliwością wytwarzają roieniowanie odczerwone (fragent wida eletroagnetycznego). Dodajy jeszcze, że jeśli wytworzyy w jaiś uncie ośroda aterialnego drgania jego cząste, to na ogół drgania te rzenoszą się w innych ierunach; w ten sosób owstaje fala. Zagadnienia ruchu falowego oówione będą w jedny z nastęnych rozdziałów. Ruch haroniczny tłuiony Do tej ory nie wzięliśy od uwagę siły tarcia, tóra rawie zawsze towarzyszy wszeli rucho (wyjątową sytuacją, w tórej nie a siły tarcia jest zjawiso nadciełości, wystęujące w cieły helu w obliżu teeratury 0 K). Siła tarcia: F t v, zaś dx v =, zate: 7

8 dx (5) F t = b (zna inus uzysławia, że zwrot siły tarcia jest rzeciwny do zwrotu rędości). Na odstawie drugiej zasady dynaii (F = a): dx d x = - x - b (6) Po uorządowaniu otrzyujey: d x dx + b + x = 0 (7) Jest to równanie różniczowe ruchu haronicznego tłuionego. Jeśli b jest ałe (b/ < ω), to rozwiązanie a ostać: lub: gdzie: x = Ae bt / cos( ω t + δ) (8) βt x = Ae cos( ω t + δ) (9) ω = πν = b - ( ) = ω -β oraz : ω jest częstotliwością w ruchu tłuiony, zaś β jest wsółczynniie tłuienia. Zauważy, że drgania tłuione są drganiai o częstotliwości ω (niejszej niż ω dla ruchu nietłuionego) oraz, że ich alituda szybo aleje. O szybości zniejszania się alitudy drgań decyduje wsółczynni tłuienia β. β = b (0) Na rysunu owyższy rzedstawiono wychylenie x(t) dla ruchu haronicznego tłuionego (dla δ=0) ; oazano też wyres esonencjalnej funcji, tóra tłui alitudę ruchu 8

9 haronicznego. Podane rozwiązanie na ruch haroniczny tłuiony jest orawne, jeśli tarcie nie jest zbyt wielie. Zauważy bowie, że z Równ. 0 ( ω ' = ω β ω =0 i rozwiązanie równania ruchu (Równ. 9) rzyjuje ostać: ) wynia iż jeśli β=ω, to wtedy: x = A'e Jest to rzyade tzw. tłuienia rytycznego; nie ay wtedy żadnych oscylacji, jedynie esonencjalne zaninięcie wychylenia oczątowego. βt () Widziy zate, że aby rozwiązanie iało charater oisany Rów. 9, wsółczynni tłuienia usi sełniać warune: β<ω. Drgania wyuszone i rezonans Dotychczas oawialiśy jedynie naturalne drgania ciała, tzn. drgania, tóre ojawiają się wtedy, gdy oscylator zostaje wychylony z ołożenia równowagi i uszczony swobodnie. Przyonijy, że dla drgań bez tarcia: ω = πν = Jeśli zaś wystęuje tarcie (i siły tarcia są niewielie), to: ω = πν = b - ( Załóży teraz, że wystęuje jeszcze wyuszenie zewnętrzne w ostaci siły oresowej: F = F cosω t. Jej wartość ulsuje z częstotliwością ν (lub z częstością ołową: ω =πν ). Równanie ruchu a ostać analogiczną ja w rzyadu owyższy (Równ. 6), jedynie dodajey jeszcze siłę wyuszającą: x dx d = - x - b + Fcosω t () lub: ) 9

10 x dx d + b + x = Fcosω t (3) Można wyazać, że rozwiązanie tego równania jest: F x = sin( ω t - δ) (4) G bω'' gdzie: G = ( ω ω' ' ) + b ω' ' oraz δ = arccos. G Widziy zate, że w obecności siły wyuszającej, częstotliwość drgań jaa ustala się w uładzie, równa jest częstotliwości siły wyuszającej. Bardzo interesujący wniose wynia z analizy alitudy drgań uładu (F /G). Osiąga ona asiu, gdy G osiąga iniu. Wartość G zależy od wzajenej relacji ω i ω. Szczególny rzyade a iejsce wtedy, gdy częstotliwość siły wyuszającej równa jest częstotliwości własnej uładu. Sytuacja taa to: REZONANS: ω = ω Jeśli w sytuacji rezonansu nie wystęowałoby tarcie (b=0), to G=0 i ja łatwo zauważyć alituda drgań dążyłaby do niesończoności!!!. W rzeczywistości zawsze wystęuje tarcie, a więc odczas rezonansu (ω = ω) alituda drgań osiąga sończone asiu. Sytuacje taie znay z własnych obserwacji: jeśli chcey rozhuśtać huśtawę czy ładę nad struienie, to odświadoie wytwarzay iulsy siły o częstotliwości własnej uładu (tórą szybo wyczuway). Nieożądany efete rezonansu oże być ęnięcie części aszyny, zerwanie ostu lub innej onstrucji; wywołać go ogą wibracje silnia lub nawet orywy wiatru. Rezonans jest zjawisie ogólny, nie dotyczy tylo zjawis echanicznych. Z rezonanse ay do czynienia n. w obwodach eletrycznych czy też w reacjach jądrowych. Rysune oniższy oazuje ja zależy alituda drgań uładu (A=F /G) od stosunu częstotliwości siły wyuszającej do częstotliwości własnej. 0

11