Zadanie domowe z drgań harmonicznych - rozwiązanie trzech wybranych zadań

Transkrypt

1 - rozwiązanie trzech wybranych zadań Ireneusz Mańkowski I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego kwietnia 2016

2 Wybrane zadania domowe 1 Zadanie Rozwiązanie zadania Zadanie Rozwiązanie zadania Zadanie Rozwiązanie zadania 5.4.6

3 Zadanie domowe Zadanie Na lekcji fizyki uczniowie przywiązali cienki nierozciągliwy sznurek do ogonka jabłka. Otrzymali model wahadła matematycznego. Po wychyleniu z położenia równowagi o niewielki kąt jabłko wykonywało drgania harmoniczne o stałej amplitudzie. Oblicz stosunek energii potencjalnej grawitacji E P i energii kinetycznej E K drgającego na sznurku jabłka, gdy jest ono wychylone z położenia równowagi o x = 1 4 A

4 Rozwiązanie zadania W rozwiązaniu zadania skorzystamy ze wzoru na energię całkowitą i energię kinetyczną ruchu harmonicznego naszego modelu wahadła. x(t) = Asin(ωt) x(t) wychylenie (1) E C = E K + E P = 1 2 mω2 A 2 (2) E P = 1 2 mω2 x 2 (3) Mając wyrażenie (3) opisujące energię potencjalną możemy wyznaczyć energię kinetyczną wahadła jako różnicę energii całkowitej i energii potencjalnej czyli: E K = 1 2 mω2 A mω2 x 2 = 1 2 mω2 (A 2 x 2 ) (4) x = 1 4 A (5)

5 Rozwiązanie zadania Korzystając z warunków zadania dla x = 1 4A uzyskujemy podstawiając do (4) wyrażenie na energię kinetyczną E K w postaci: E K = 1 2 mω2 (A 2 x 2 ) = 1 2 mω2 (A 2 A2 16 ) = mω2 A 2 (6) A ponadto po podstawieniu x = 1 4A do (3) dostajemy: E P = 1 2 mω2 x 2 = 1 A2 mω = 1 32 mω2 A 2 (7) Ostatecznie z dwóch ostatnich wyrażeń wyznaczymy szukany stosunek energii E P do E K. E P E K = 1 32 mω2 A mω2 A = (8)

6 Zadanie domowe Zadanie Metalowa nakrętka o masie m = 0, 05 kg zawieszona na nierozciągliwym cienkim sznurku stanowi wahadło matematyczne, które wykonuje drgania o amplitudzie A = 5 cm i częstotliwości f = 2 Hz. Oblicz energię potencjalną grawitacji i energię kinetyczną metalowej nakrętki, gdy wychyla się ona z położenia równowagi o x = 3 cm.

7 Rozwiązanie zadania Podobnie jak przy rozwiązaniu pierwszego zadania korzystamy z wyrażeń opisujących energię dla ruchu harmonicznego prostego. Dla drgań harmonicznych wahadła matematycznego energia potencjalna grawitacji jest wprost proporcjonalna do kwadratu wychylenia masy z położenia równowagi co wyraża wzór: E P (x) = 1 2 mω2 x 2 (9) Przekształcając wzór (9) otrzymamy wyrażenie w postaci: E P (x) = 1 2 m(2πf )2 x 2 = 2mπ 2 f 2 x 2 (10) Podobnie dla energii kinetycznej otrzymamy wyrażenie w postaci: E K (x) = 1 2 mω2 (A 2 x 2 ) = 2mπ 2 f 2 (A 2 x 2 ) (11)

8 Rozwiązanie zadania Korzystając z danych zadania wyznaczamy szukane energie podstawiając do wzorów (10) i (11): Ostateczne wyniki rozwiązania zadania E P 2 3, , 05 kg s 2 ( ) 2 m 2 3, J E K 2 3, , 05 kg s 2 ( ) 10 4 m 2 6, J

9 Zadanie domowe Zadanie Huśtawkę wykonaną ze zużytej opony zawieszonej na linie żeglarskiej przywiązanej do poziomego konara drzewa wychylono z położenia równowagi. Wyznacz stosunek energii kinetycznej i energii całkowitej drgań huśtawki po upływie czasu t = T 8 od momentu jej przejścia przez położenie równowagi.

10 Rozwiązanie zadania W rozwiązaniu zadania skorzystamy z zasady zachowania energii dla ruchu harmonicznego. Wiemy, że całkowita energia ruchu harmonicznego jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy tzn. E C = E K + E P = 1 2 mω2 A 2 (12) E P = 1 2 mω2 A 2 sin 2 (ωt) = 1 2 mω2 A 2 sin 2 ( 2π t) (13) T Po wstawieniu za t = T 8 do (2) dostajemy: E P = 1 2 mω2 A 2 sin 2 ( 2π T T 8 ) = 1 2 mω2 A 2 sin 2 ( π 4 ) E P = mω2 A 2 ( 2 )2 = 1 4 mω2 A 2 Mając E P wyznaczymy E K czyli ostatecznie szukany stosunek wynosi: E K E C = E C E P E C = 1 2 (14)