Lista 2 + Rozwiązania BLiW - niestacjonarne

Transkrypt

1 Dynaika 1. Oblicz wartość siły, z jaką siłacz usiałby działać na cięŝar o asie 100 kg, jeŝeli chciałby podnieść go na wysokość 0,5 w czasie 1 sekundy ruche jednostajnie przyspieszony. ( g Q + b g + a a + at h 0.5 h a 1 a t 1 s s 10 s ( + g 100kg( N. Z równi pochyłej o wysokości h 1.8 i kącie α 30º zsuwa się skrzynia uzyskując na końcu równi prędkość /s. Ile wynosi współczynnik tarcia f skrzyni o równię? Korzystając z toŝsaości trójkąta prostokątnego, otrzyujey: h l sinα h l sinα Ciało porusza się ruche jednostajnie przyspieszony stąd: at l l a at t a Ciało porusza się ruche jednostajnie przyspieszony stąd wypadkowa siła jest róŝna od zera. ozpatrując dynaikę na równi, gdzie siłą powodującą ruch jest Q II a utrudniającą ten ruch T otrzyujey: 1

2 a QII T g sinα fg cosα g a g Zbierając wszystko raze otrzyujey: h sin g ( sinα f cosα α g( sinα f cosα ( sinα f cosα h sinα f cosα sinα gh sinα sinα f cosα gh cosα ( sinα f cosα sinα f tg 1 gh Oblicz wartość siły, z jaką siłacz usiałby działać na cięŝar o asie 100 kg, jeŝeli chciałby podnieść go na wysokość 0,5 w czasie 1 sekundy ruche jednostajnie przyspieszony. 4 Ciało o asie M przesuwane jest po pionowej ścianie pod działanie stałej siły skierowanej pod kąte α do pionu. Wyznaczyć przyspieszenie ciała, jeŝeli współczynnik tarcia ciała o ścianę wynosi f. Ciało porusza się do góry ruche jednostajnie przyspieszony. Siła skierowaną zgodnie z kierunkie ruchu i powodującą ruch jest składowa równoległa do ściany. Siły które przeciwdziałają teu ruchowi to siła cięŝkości oraz tarcie. Zapisując to równanie dynaiczny otrzyujey:

3 Tarcie w ty przypadku wynosi Stąd Ostatecznie przyspieszenie wynosi: wyp II T Q a cos α T g T fn f sinα a cos α f sinα g a cosα f sinα g 5. Masywne ciało w kształcie prostopadłościanu porusza się w górę równi pochyłej o kącie 45 o ze stałą prędkością pod działanie siły 15 N równoległej do równi. Współczynnik tarcia wynosi f 0.1. Wyznaczyć cięŝar ciała. Ciało porusza się ruche jednostajny co oznacza, Ŝe siła wypadkowa jest równa zero, stąd siły powodujące ruch powinny być zrównowaŝone przez te przeciwstawne ruchowi: Stąd cięŝar ciała wynosi: Q w w Q 0 Q II + T II Q sinα + f + T ( sinα + cosα fq cosα Q ( sinα + f cosα 15N (sin cos o o N 3

4 6. Współczynnik tarcia iędzy tore a oponai saochodu wynosi 0,8. Z jaką aksyalną prędkością oŝe ten saochód pokonać bez poślizgu zakręt o proieniu 40? uch pojazdu odbywa się w jednej płaszczyźnie, stąd rozpatrujey wypadkowe siły działające tylko w płaszczyźnie równoległej do jezdni. Na pojazd jadący z prędkością po okręgu o proieniu działa siła odśrodkowa odś spychająca pojazd na zewnątrz łuku oraz wypadkowa (od czterech kół siła tarcia T przeciwdziałająca odś. Prędkość graniczna z jaką porusza się pojazd jest wtedy gdy siła odśrodkowa jest równa sile tarcia tzn: Stąd otrzyujey: T odś fg fg s 7. Wiadro z wodą wprawiono w ruch po okręgu o proieniu leŝący w płaszczyźnie pionowej. Jaka jest inialna wartość prędkości wiadra w najwyŝszy punkcie toru ruchu, dla której woda nie będzie wylewała się z niego? k h 4

5 Na wodę w wiadrze działa siła cięŝkości Q skierowana pionowo w dół oraz siła odśrodkowa odś skierowana pionowo do góry. Aby woda nie wylewała się z wiadra usi być spełniony warunek: Q odś czyli g gdzie jest suą as wody i wiadra. Minialna szukana prędkość wynosi: g 8. Saochód porusza się po łuku drogi o proieniu. Powierzchnia drogi jest nachylona pod kąte α względe poziou w kierunku do wnętrza zakrętu. Współczynnik tarcia wynosi f. Pokazać, Ŝe aksyalna prędkość, przy której saochód nie wypadnie z zakrętu na skutek poślizgu spełnia równość ( ax g(f+tgα/(1-ftgα. Korzystając z toŝsaości trygonoetrycznych widać,ŝe: Q ' ' o Q cosα sinα o Q " " o Qsinα cosα Warunek aksyalnej prędkości poruszania się po zakręcie oznacza równowaŝenie się siły tarcia T i składowej cięŝaru auta stycznej do równi Q ze składową styczną siły odśrodkowej o. Siła odśrodkowa wyraŝa się wzore: " T + Q " o Q g ax ax o o 5

6 Siła tarcia: ( Q ' o' T f N f + Podstawiając powyŝsze zaleŝności do warunku równowagi otrzyujey: MnoŜąc równanie obustronnie przez zawierające Ostatecznie: ax otrzyujey: Q ax Q f Q cosα + sinα + Qsinα g g g Q cos ax cosα i grupując po lewej stronie wyraz α ( 1 f tgα g( f tgα ax + ax f + tgα g 1 f tgα 9. Drewniany klocek o asie 0,7 ześlizguje się z równi pochyłej o długości 6 i kącie nachylenia 30 o, a następnie zaczyna poruszać się po pozioej płaszczyźnie. Współczynnik tarcia na równi i pozioej powierzchni wynosi f 0,. Jaka jest prędkość klocka na końcu równi oraz po przebyciu drogi 1 po pozioej powierzchni? Jaką odległość przebędzie klocek do oentu zatrzyania się? Zgodnie z zasadą zachowania energii i równowaŝności pracy i energii początkowa energia potencjalna klocka zostanie zuŝyta na wykonanie pracy przeciwko sile tarcia a reszta zaieniona na energię kinetyczną klocka u podstawy równi. Ta reszta z kolei zostaje rozproszona przez siłę tarcia na pozioy torze. ozwaŝy najpierw ruch po równi, gdzie ay: k gh + przy czy wysokość równi h wiąŝe się z długością równi d zaleŝnością: h d sinα W T 6

7 k oznacza prędkość klocka u podstawy równi, a praca siły tarcia wynosi: Podstawiając otrzyujey: skąd W T fq d fgd cosα gd sinα k + fgd cosα k ( sinα cosα gd f Prędkość ta staje się prędkością początkową w ruchu pozioy i znowu bilansujey pracę i energię, zakładając, Ŝe s oznacza drogę w ty ruchu: Praca na drodze s przeciwko sile tarcia wyniesie: Podstawiay i otrzyujey: skąd k ' W T fgs + W k + fgs ' T ( sinα f cos fgs k fgs gd α Podstawiając 0 obliczyy drogę do oentu zatrzyania: k d s fg ( sinα f cosα Podstawiając wartości z zadania otrzyujey prędkość klocka u podstawy równi: prędkość klocka po przebyciu drogi s 1 k s f ( sin 30 0.cos s droga przebyta przez klocek do oentu zatrzyania: ( sin 30 0.cos ( sin 30 0.cos30 6 s [ ] 7

8 Praca. Moc. Energia. Zasada zachowania energii. 10. Auto o asie 1500 kg rusza i przyspiesza jednostajnie do prędkości 10 /s w czasie 3 sekund. Obliczyć: a pracę wykonaną nad aute; b średnią oc silnika w pierwszych 3 sekundach ruchu; c oc chwilową dla t sekundy. a. Zgodnie z zasadą równowaŝności pracy i energii, praca wykonana nad aute równa jest przyrostowi jego energii kinetycznej: 1 kg W Ek N J s b. Dzieląc pracę przez czas rozpędzania do prędkości otrzyay średnią oc silnika: W J P śr 5000 W t 3 s c. Moc chwilowa jest pochodną pracy po czasie i oŝe być przedstawiona jako: r r r dw ds r ds r r P dt dt dt W przypadku stałej siły działającej w kierunku ruchu równanie jest skalarne: 10 P a a at a t t t 3 [ kw ] 11. Paciorek nadziany na drut ślizga się bez tarcia po nachylony drucie zakończony pętlą (patrz rysunek obok o proieniu. Jeśli H 3,5, to jaką prędkość a paciorek w najwyŝszy punkcie pętli? Ile wynosi nacisk paciorka na drut w najniŝszy i najwyŝszy punkcie pętli? W najwyŝszy punkcie pętli paciorek a prędkość spełniająca bilans energii: 1 gh g + ( " skąd " g( H Po uwzględnieniu warunków zadania " g( 3.5 3g Nacisk N paciorka na drut w ty iejscu będzie róŝnicą poiędzy siłą cięŝkości a siła odśrodkową: ( " N" g 8

9 Wstawiając znalezioną prędkość w najwyŝszy punkcie otrzyay: 3g N" g g 3g g Znak inus oznacza, Ŝe siła nacisku jest skierowana w górę. Postępując podobnie znajdziey prędkość w najniŝszy punkcie toru: 1 gh ( ' skąd ' gh Po uwzględnieniu warunków zadania ' g3.5 7g Nacisk N paciorka na drut w najniŝszy iejscu będzie suą siłą cięŝkości i siły odśrodkowej: ( ' N' g + Wstawiając znalezioną prędkość w najniŝszy punkcie otrzyay: 7g N' g + 8g 1. Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości H, nadając u prędkość 0 5 /s. Ciało uderzyło w zieie z prędkością 35 /s. Ile wynosi H? Jaką prędkość iało to ciało po przebyciu drogi H/6? Zgodnie z zasadą zachowania energii energia potencjalna i kinetyczna w chwili startu równa będzie energii kinetycznej w oencie uderzenia w zieię. Oznaczy przez k prędkość z jaką ciało uderzyło w zieię, ay wówczas: 0 k gh + stąd k 0 k H 60[ ] g g g 10 W drugiej części zadania zastosujey ten sa sposób, trzeba tylko zauwaŝyć, Ŝe po przebyciu H/6 drogi ciało będzie na wysokości 5H/6. Oznaczy prędkość w ty oencie przez i układay bilans energii: 0 5H gh + g + 6 skąd 6gH 5gh gh + 3 gh s 9

10 13. Jaką pracę wykonał silnik pociągu elektrycznego o asie 100ton, który poruszając się ruche jednostajnie przyspieszony w czasie t 15s uzyskał prędkość 108k/h. Efektywny współczynnik tarcia wynosi f 0.05 a przyspieszenie zieskie przyjąć równe g 10/s. uch jednostajnie przyspieszony odbywa się pod wpływe stałej siły (siła wypadkowa. Siła wypadkowa to, z jednej strony, róŝnica poiędzy siłą napędową n pochodzącą od silnika a siłą tarcia T : n T a z drugiej zasady dynaiki Newtona iloczyn asy i przyspieszenia: a Zate siła napędowa: n + T a + fg Praca tej siły oŝe być przedstawiona jako iloczyn siły i przesunięcia: W n s gdzie s jest drogą w ruchu jednostajnie przyspieszony: at s i przyspieszenie: a t t Ostatecznie siła napędowa wyraŝa się wzore: n + fg t i praca tej siły wyniesie: at t W fg s fg fg t t t t Ostatecznie: 3 gt W 1 + f [ MJ ]