Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana

Transkrypt

1 Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana

2 Sposoby komunikacji Chcesz się skontaktować z przyjacielem Wysyłasz list? Wykorzystujesz cząstki Telefonujesz? Wykorzystujesz fale Cząstka malutkie skupienie materii zdolne do przeniesienia energii Fala energia wypełniająca rozległy obszar w przestrzeni PRZECIWSTAWNE???

3 Co to jest fala? Przekazywanie energii bez przenoszenia materii Może się wydawać, że sama materia też jest przenoszona, ale Fala poprzeczna Cząstki poruszają się w górę i w dół

4 Fale wokół nas Fale sprężyste - zaburzenie pewnego ośrodka Fale elektromagnetyczne - do rozchodzenia się nie jest potrzebny ośrodek Fale de Broglie a (mechanika kwantowa)

5 Różnice pomiędzy falami Potrzebują ośrodka (sprężyste) Dźwięk (powietrze) Fale na wodzie (woda) Fala meksykańska (ludzie) Fala na sznurku (sznurek) Nie potrzebują ośrodka (elektromagnetyczne) Światło Mikrofale Fale radiowe Promieniowanie Rentgenowskie

6 Fale poprzeczne i podłużne Fala poprzeczna Fala podłużna Jakie znasz fale poprzeczne? Jakie znasz fale podłużne?

7 Fale poprzeczne i podłużne Fale poprzeczne elektromagnetyczne wiele sprężystych (jakie?) Fale podłużne dźwięk inne sprężyste (jakie?)

8 Drgania i fale Fala skorelowany zbiór drgań (oscylacji) Fala poprzeczna wzdłuż sznurka: każdy punkt oscyluje w kierunku poprzecznym do sznurka Fala dźwiękowa (podłużna): każda cząsteczka powietrza drga w kierunku rozchodzenia się fali Musimy najpierw zrozumieć drgania Jeden stopień swobody: przykłady? Dwa stopnie swobody: przykłady? Trzy stopnie swobody

9 Drgania układów o jednym stopniu swobody - ćwiczenia x - wychylenie ciężarka z położenia równowagi θ kąt (wychylenie ciężarka z położenia równowagi) natężenie prądu w zwojnicy

10 Uwaga na kierunek siły to łatwe! x = 0: położenie równowagi 0 x x < 0 F x = kx > 0 0 F x = kx < 0 x 0 x > 0 x x < 0: wychylenie z położenia równowagi x > 0: wychylenie z położenia równowagi

11 Ruch harmoniczny małe wychylenia Z II zasady Newtona: F x = ma x = m dv x dt = m d2 x dt 2 Prawo Hooke a: F x = kx F = F x, F y, F z = ( kx, 0,0) Potencjał m d2 x dt 2 = kx W = P 2 P 1 F dl d 2 x dt 2 + k m x = 0

12 Potencjał skąd to się bierze, że małe Potencjał rozwijamy w szereg Taylora wokół poł. rów. x = 0: U x = U 0 + U 0 x U 0 x 2 + Jeśli x małe to 3 człony powinny być wystarczające U 0 - człon stały (punkt odniesienia), niech U 0 = 0 Skoro x = 0 to położenie równowagi tzn. U x ma minimum w x = 0 U 0 = 0 Zostaje człon U 0 x 2 ; jeśli minimum w x = 0 to U 0 > 0 U 0 = k U x = 1 2 kx2

13 Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego (od tyłu) faza ruchu przemieszczenie w chwili t x t = Acos (ωt + φ) amplituda częstość kołowa czas faza początkowa Na marginesie Dlaczego faza początkowa? x 0 = Acos (φ) dla φ = 0 mamy: x t = Acos ωt UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

14 Różne fazy

15 Dlaczego ω to jakaś częstość (kołowa)? x t = Acos (ωt) x t = x t + T, T to okres cos ωt = cos ω t + T z własności cosinusa: cos ωt = cos (ωt + 2π) cos ωt + 2π = cos( ωt + ωt) 2π = ωt ω = 2π T = 2πf Częstość (liczba okresów w 1s) oznaczana: f lub ν

16 Ruch harmoniczny i ruch po okręgu W 1610, skonstruowanym przez siebie teleskopem odkrył 4 główne księżyce Jowisza Sonda Juno (NASA ) film poklatkowy, rozpoczyna się w dniu 12 czerwca (Juno 10 milionów mil od Jowisza), a kończy się w dniu 29 czerwca (3 miliony mil). Galileo Galilei ( ) Portrait by Giusto Sustermans Źródło: Wikipedia

17 Ruch harmoniczny i ruch po okręgu Ruch ze stałą prędkością kątową ω Jakim wzorem zadane położenie Q na OX? x = Acosθ = Acos(ωt + φ) Restnik Halliday Walker

18 Jaka siła odpowiada takiemu ruchowi? x t = Acos (ωt + φ) Policzmy prędkość i przyśpieszenie: v t = dx = Aω sin ωt + φ dt a t = dv dt = Aω2 cos ωt + φ Z II zasady dynamiki Newtona: = ω 2 x(t) F = ma = ω 2 mx = kx k = ω 2 m ω = k m

19 Energia mechaniczna oscylatora łatwo obliczyć wstawiając x oraz v, że: E = K + U Restnik Halliday Walker

20 Wahadła Wahadło matematyczne Model matematyczny Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici Wahadło fizyczne Rzeczywiste wahadło Dowolny (skomplikowany) rozkład masy

21 Wahadło matematyczne Siła powodująca wahania: F = mgsinθ II zasada dynamiki Newtona: F = ma = m d2 x dt 2 = mx Jak powiązać długość łuku x z kątem θ? x = Lθ x = Lθ Czyli: mlθ = mgsinθ UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

22 Wahadło matematyczne mlθ = mgsinθ θ + g L sinθ = 0 Dla małych wychyleń θ możemy przybliżyć sinθ θ Dlaczego możemy tak przybliżyć? Co to znaczy małe wychylenie? θ + g L θ = 0 Równanie oscylatora harmonicznego podobne: x + k m x = 0

23 Wahadło matematyczne i pomiar przyśpieszenia ziemskiego Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny: θ + g L θ = 0 x + k m x = 0 Częstość kątowa: k = ω 2 m ω = k m = g L Okres nie zależy od masy ani wychylenia?! ω = 2π T = 2πν T = 2π ω = 2π L g

24 Wahadło matematyczne i klocek na sprężynie Restnik Halliday Walker

25 Łączenie sprężyn jaka zastępcze k? równoległe szeregowe

26 Łączenie sprężyn równoległe rozciągnięcie obu sprężyn takie samo: x sumaryczna siła F = mg, mg kx = 0, F = F 1 + F 2 = mg = kx Sprężyna nr 1 rozciągana o x pod wpływem F 1 F 1 = k 1 x Sprężyna nr 2 rozciągana o x pod wpływem F 2 F 2 = k 2 x Sumaryczna siła kx = k 1 x + k 2 x k = k 1 + k 2

27 Łączenie sprężyn szeregowe x całkowite rozciągnięcie sprężyny k 1 F = mg, mg kx = 0, F = mg = kx, x = F k Sprężyna nr 1 rozciągana o x 1 pod wpływem F k 2 F = mg = k 1 x 1, x 1 = F k 1 Sprężyna nr 2 rozciągana o x 2 pod wpływem F m F = mg = k 2 x 2, x 2 = F k 2 Całkowite: x = x 1 + x 2 x = F k = F k 1 + F k 2 1 k = 1 k k 2

28 Drgania tłumione Opór powietrza, wody itd. tłumi oscylacje Załóżmy, że siła oporu: F x = bv x = b dx dt II zasada dynamiki: ma x = bv x kx m d2 x dx = b dt2 dt kx mx + bx + kx = 0 x + b m x + k m x = 0 x + 2βx + ω 0 2 x = 0

29 Ćwiczenie: Drgania tłumione Rozwiąż równanie: mx + 2βx + ω 0 2 x = 0 Rozwiązania szukaj w postaci: x t = e αt Otrzymasz rozwiązanie: x t = C 1 e α 1t + C 2 e α 2t, gdzie α 1,2 = β ± β 2 ω 0 2 x t = e βt C 1 e β2 ω 0 2 t + C2 e β2 ω 0 2 t

30 Ćwiczenie: Drgania tłumione x t = e βt C 1 e β2 ω 0 2 t + C2 e β2 ω 0 2 t Drgania nietłumione: β = 0 x t = C 1 e ω 0 2 t + C2 e ω 0 2 t = C 1 e i ω 0 2 t + C2 e i ω 0 2 t = C1 e iω 0t + C 2 e iω 0t

31 Ćwiczenie: Drgania tłumione x t = e βt C 1 e β2 ω 2 0 t + C2 e β2 ω 2 0 t Drgania słabo tłumione β < ω 0 β 2 ω 2 0 < 0 x t = e βt C 1 e i ω 0 2 β 2 t + C2 e i ω 0 2 β 2 t x t = e βt C 1 e iω1t + C 2 e iω1t, ω 1 = ω 2 0 β 2 Drgania krytyczne β = ω 0 x t = C 1 e βt + C 2 te βt

32 W zależności od tłumienia β/ω 0 x t = e βt C 1 e β2 ω 0 2 t + C2 e β2 ω 0 2 t Małe tłumienie (a) Krytyczne tłumienie (b) Silne tłumienie (c)

33 Drgania wymuszone mx + bx + kx = F t x + 2βx + ω 0 x = f t Siła okresowa wymuszająca: f t = f 0 cos ωt Rachunek bardziej skomplikowany patrz Taylor Częstość drgań własnych ω 0 = k m Częstość z tłumieniem ω 1 = ω 0 2 β 2 Częstość rezonansowa ω = ω 2 = ω 0 2 2β 2 ω 0

34 Amplituda drgań Drgania wymuszone i rezonans Drgania swobodne przykłady? Drgania wymuszone małe tłumienie Częstość siły wymuszającej/częstość własna

35 Drgania układów o dwóch stopniach swobody k m κ m k Równania Newtona: m Dodaj równania: m x 1 x 2 m(x 1 + x 2 ) = k(x 1 +x 2 ) mx 1 = kx 1 κ x 1 x 2 mx 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Jak to rozwiązać? Dwie metody! x 1 t + x 2 t = 2A s cos ω s t + φ s, ω s = k m,

36 Drgania układów o dwóch stopniach swobody k m κ m k Równania Newtona: m m mx 1 = kx 1 κ x 1 x 2 mx 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Jak to rozwiązać? Dwie metody! x 1 x 2 Odejmij równania: m(x 1 x 2 ) = (k + 2κ)(x 1 x 2 ) x 1 t x 2 t = 2A f cos ω f t + φ f, ω f = k + 2κ m,

37 Drgania układów o dwóch stopniach swobody k m κ m k Równania Newtona: m m mx 1 = kx 1 κ x 1 x 2 mx 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Jak to rozwiązać? Dwie metody! x 1 x 2 x 1 t = A s cos ω s t + φ s + A f cos ω f t + φ f x 2 t = A s cos ω s t + φ s A f cos ω f t + φ f ω s = k m, ω f = k + 2κ m

38 Drgania układów o dwóch stopniach swobody metoda ogólna mx 1 = kx 1 κ x 1 x 2 mx 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Postulujemy rozwiązanie w postaci: x 1 = A 1 exp iωt, x 2 = A 2 exp iωt Co możemy zapisać (to umiecie): x 1 x = A 1 2 A 2 exp iωt Możemy też szukać rozwiązania w postaci (to umiecie): x 1 x 2 = A 1 A 2 exp αt

39 Mody normalne x 1 t = A s cos ω s t + φ s + A f cos ω f t + φ f x 2 t = A s cos ω s t + φ s A f cos ω f t + φ f ω s = k m, ω f = k + 2κ m Dla A f = 0 otrzymujemy: x 1 t = x 2 t = A s cos ω s t + φ s Dla A s = 0 otrzymujemy: x 1 t = x 2 t = A f cos ω f t + φ s Kulki poruszają się z tą samą częstością mody normalne

40 Polecana literatura oscillations.pdf normalmodes.pdf