gdzie x jest wychyleniem z położenia równowagi. Współczynnik k jest tutaj współczynnikiem proporcjonalności.

Transkrypt

1 RUCH DRGJĄCY Ruche drgający (drganiai) nazywa się każdy ruch, który charakteryzuje powtarzalność w czasie wielkości fizycznych (np wychylenia) określających ten ruch Występujące w przyrodzie drgania ożna dzielić na swobodne i wyuszone (wywołane zewnętrzną, zienną w czasie, siłą) Natoiast ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywa się ruche okresowy (perdyczny) Ruch haroniczny Jeżeli działającą na ciało siłę jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i jest skierowana przeciwnie do tego wychylenia, to taki ruch okresowy nazyway ruche haroniczny prosty: F k, gdzie jest wychylenie z położenia równowagi Współczynnik k jest tutaj współczynnikie proporcjonalności To równanie opisuje np siłę wywieraną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości (prawo Hooke'a) Wówczas k jest współczynnikie sprężystości sprężyny Definicję ruchu haronicznego prostego ożna również zapisać w postaci różniczkowej: lub d dt k,

2 d dt k Rozwiązanie tego równania jest taka funkcja (t), która a następującą właściwość - jej druga pochodna jest równa funkcji, ale ze znakie " " Może to być np funkcja: sin( t + φ ), gdzie jest aplitudą (aksyalne wychylenie z położenia równowagi) drgań, φ jest fazą początkową drgań, a jest częstotliwością drgań własnych (haronicznych) układu: k Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak, aby asa (zaczepna do sprężyny) znalazła się w położeniu, a następnie w chwili t została zwolnna, to położenie asy w funkcji czasu będzie dane równanie cos t Należy zwrócić uwagę, że funkcja π sin( t + φ + ) cos( t + φ zależy tylko od fazy początkowej drgań w chwili t plituda swobodnych drgań układu nie zależy od czasu Okres drgań )

3 Okrese drgań nazyway czas potrzebny do wykonania jednego cyklu drgań Funkcja cost lub sint powtarza się po czasie T zdefinwany jako: T π Odwrotnością okresu jest częstotliwością drgań 1 f T Jednostką częstotliwości jest Hz [1/s] Dla ruchu haronicznego: T π k Z powyższych równań wynika, że częstotliwość i okres prostych drgań haronicznych są niezależne od aplitudy Wahadło proste Wahadło proste (ateatyczne) jest to wyidealizowane ciało o asie punktowej, zawieszone na cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici Ciało wytrącone z równowagi zaczyna się wahać w płaszczyźnie pozej pod wpływe siły ciężkości Jest to ruch okresowy Na asę działają: siła przyciągania grawitacyjnego g i naprężenia nici T Siłę ciężkości rozkłada się na składową radialną i styczną Składowa styczna jest siłą przywracającą równowagę układu i sprowadza asę do położenia równowagi: F gsin φ Siła jest proporcjonalna do sinφ, a nie do φ, więc nie jest to ruch prosty haroniczny 3

4 Jeżeli jednak kąt φ jest bardzo ały to sinφ jest bardzo bliski φ Przeieszczenie wzdłuż łuku wynosi lφ Przyjując, zate, że sinφ φ: F gφ g l to siła jest proporcjonalna do przeieszczenia oraz g k l Dla ałej aplitudy okres wahadła prostego wynosi: l T π π k g g l Wynika stąd, że okres wahadła nie zależy od aplitudy i od asy wahadła Wahadło fizyczne Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że oże się wahać wokół pewnej osi przechodzącej przez to ciało nazyway wahadłe fizyczny Okres drgań wahadła fizycznego (h 1 L) dla ałych drgań wynosi: I T π gl Wahadło fizyczne stosuje się do precyzyjnych poiarów przyspieszenia g Długością zredukowaną wahadła fizycznego nazyway długość takiego wahadła ateatycznego, które a taki sa okres jak wahadło fizyczne: I l π π, gl g stąd 4

5 I l L nergia ruchu haronicznego prostego nergia potencjalna (nagroadzona) ciała wychylonego z położenia równowagi np sprężyny: k k W Fd (k)d lub k 1 k sin ( t + φ ) p nergia kinetyczna: v 1 cos ( t + φ ) p nergia całkowita w ruchu haroniczny prosty jest proporcjonalna do kwadratu aplitudy: k + c k p W przypadku swobodnych niegasnących drgań haronicznych całkowita energia echaniczna nie zależy od czasu Dlatego aplituda drgań także nie zależy od czasu, const Zadanie Obliczyć, jaką część energii całkowitej stanowi energia potencjalna, a jaką energia kinetyczna ciała, kiedy znajduje się ono w połowie drogi iędzy położenie początkowy, a położenie równowagi? nergia potencjalna: Ponieważ energia całkowita k p k 8 to c k 5

6 i p c 1 4 k 3 4 c Oscylator haroniczny tłuny W ruchu haroniczny nie poija się fakt ewentualnego tłuienia oscylatora tzn strat energii układu oscylatora Jeśli aplituda aleje w czasie, drgania nazyway tłunyi (gasnącyi) W przypadku drgań echanicznych siłą haującą (tłuiącą) ruch cząstki jest siła oporu F op ośrodka Siła oporu a zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest wprost proporcjonalna do prędkości, czyli bv, gdzie b jest współczynnikie oporu Gdy działa tylko siła tłuienia to lub F op d d v d b bv Jeżeli wprowadzi się zienną τ b to dv 1 v dt τ Po rozdzieleniu ziennych ożna przepisać w postaci dv v Całkujey to równanie obustronnie v v d v v dt τ t 1, τ 6

7 otrzyuje się a po przekształceniu ln v v t, τ v (t) / τ v e t Prędkość aleje wykładniczo z czase, czyli prędkość jest tłuna ze stałą czasową τ Dla ruchu haronicznego tłunego to wówczas równanie ruchu przyjie postać d d k b, lub d 1 d + + τ Rozwiązanie tego równania różniczkowego a postać: gdzie współczynnik 1 τ b e β t cos( t + φ ), β określający wielkość tłuienia nazywa się współczynnikie tłuienia, częstość drgań tłunych oraz aplituda drgań gasnących: β β t (t) e Jeżeli oznaczy się przez τ odstęp czasu, w ciągu którego aplituda drgań zniejszy się e-krotnie to: stąd β τ 1 lub β β τ e τ e, 1 Zate współczynnik tłuienia β jest wielkością fizyczną τ równa odwrotności odstępu czasu τ, w ciągu którego aplituda zniejszy się e razy Czas τ nazywa się czase relaksacji Wykres ruchu haronicznego tłunego w zależności od czasu jest pokazany na rysunku 7

8 e -β t e -β t cos t -e -β t - t Powyższe rozważania dotyczą sytuacji "słabego tłuienia" tj β< Gdy tłuienie wzrośnie powyżej pewnej krytycznej wartości (β ) - ruch nie jest ruche drgający, ale obserwuje się, że ciało wychylone z położenia równowagi powraca do niego asyptotycznie Takich ruch nazyway ruche aperdyczny Zależności wychylenia od czasu dla ruchu tłunego krytycznie (β ) i ruchu aperdycznego (β> ) są pokazane na wykresie poniżej X β > β t Dobroć oscylatora słabo tłunego Współczynnik dobroci Q jest definwany jako 8

9 Q π zagazynowana straconaw1okresie π P strat T gdzie P strat jest średnią stratą ocy: d P strat dt τ Stąd dobroć: π Q τ τ β T b Jeśli współczynnik oporu ośrodka jest niewielki to współczynnik dobroci jest duży i układ wolno rozprasza swoją energię W szczególności dobroć oscylatora haronicznego prostego jest nieskończenie wielka, bo brak jest tłuienia ośrodka i nie a rozpraszanie jego energii Dekreent logaryticzny tłuienia Logaryt naturalny ilorazu aplitud dwóch kolejnych wychyleń następujących po sobie w odstępie czasu T nazywa się dekreente logaryticzny tłuienia: n Λ ln n+1 lub -β ( t+nt) e Λ ln β T - [ t+ ( n+1 ) T ] β e Dekreent logaryticzny jest liczbowo równe odwrotności liczby drgań, po upływie, których aplituda aleje e razy Λ Czas, po który aplituda aleje e razy nazyway czase relaksacji dla aplitudy drgań tłunych τ 1 N 1 NT β 9

10 Drgania wyuszone oscylatora haronicznego Jeżeli oprócz tarcia istnieje siła zewnętrzna F(t), której zadanie jest podtrzyywanie gasnących drgań, przyłożona do oscylatora to równanie ruchu a postać lub d + d b + k F(t) d 1 d F(t) + + τ Ponownie jest częstością własną układu, to jest częstością drgań haronicznych swobodnych, gdy nie działa siła zewnętrzna i nie a tarcia ani innych sił oporu, a τ stałą czasową związaną ze współczynnikie tłuienia relacją β Układ jest zasilany z częstością różną od częstości własnej Gdy układ jest zasilany częstością różną od wówczas drgania będą odbywały się z częstością siły zewnętrznej a nie z częstością własną Siłę taką nazyway siłą wyuszającą Załóży, że siła wyuszająca a postać: gdzie F F(t) F sin t α sin t α Rozwiązanie równania różniczkowego jest równanie: sin( t φ ) w Przesunięcie fazowe (faza początkowa) drgań wyuszonych φ inforuje, o jaki kąt aksiu przeieszczenia wyprzedza aksiu siły (o ile przesunięte są wykresy (t) i F(t)): β tgφ Natoiast aplitudę tych drgań α α w ( + 4β ) + ( ) ( ) τ 1

11 Rezonans Chociaż drgania odbywają się z częstością w siły wyuszającej to aplituda i faza zależą od relacji poiędzy częstością wyuszającą, a częstością własną W szczególności, gdy częstość siły wyuszającej osiągnie odpowiednią częstotliwość, to aplituda drgań oże wzrosnąć gwałtownie nawet przy niewielkiej wartości siły wyuszającej Zjawisko to nazyway rezonanse Wykres przedstawiający rezonansowy wzrost aplitudy drgań w funkcji częstości siły wyuszającej dla różnych wartości współczynnika tłuienia (β <β 1 <β <β 3 <β 4) pokazany jest na wykresie β β 1 β β 3 β 4 Można zaobserwować następujące przypadki: 1 Gdy zewnętrzna siła wyuszająca o ałej częstotliwości << Przy kątowej częstości siły wyuszającej α W ty przypadku drgania nie zachodzą, a wychylenie przy drganiach wyuszonych równa się statyczneu odkształceniu pod działanie stałej siły F : 11

12 α F F k Dlatego wychylenie to nazywa się nieraz aplitudą statyczną Brak tłuienia (β ) Jeżeli nie a tłuienia (β ), aplituda drgań rośnie ze wzroste częstości kątowej siły wyuszającej F i przy staje się nieskończenie wielka Przy dalszy wzroście częstotliwości kątowej aplituda drgań wyuszonych zniejsza się, przy czy li 3 Gdy zewnętrzna siła wyuszająca jest o częstotliwości (rezonans) Gdy występuje tłuienie (β ), to częstość rezonansową r i aplitudę rezonansową r ożna obliczyć z warunku na aksiu aplitudy drgań Funkcja () osiąga aksiu, gdy ianownik osiąga iniu dla częstości rezonansowej r α β β r β Widać, że i niejsze tłuienie β (dłuższy czas τ) ty większa aplituda Jeżeli tłuienie jest słabe (β<< ) to wówczas aksyalna aplituda odpowiada częstości drgań własnych r Jednocześnie, ten warunek odpowiada przesunięciu fazoweu φπ/ poiędzy siłą a wychylenie Siła nie jest zgodna w fazie z wychylenie Zjawisko zwiększania się aplitudy drgań wyuszonych w przypadku, gdy częstotliwość siły wyuszającej zbliża się do wartości r nazywa się zjawiskie rezonansu Dla układu zachowawczego (β) r, a dla układu rozpraszającego r jest nieco niejsze od własnej częstości kątowej β r 1

13 Ze wzroste współczynnika tłuienia β zjawisko rezonansu występuje coraz słabiej i w końcu znika przy β Skutki rezonansu ogą być zarówno pozytywne jak i negatywne Z jednej strony staray się wyeliinować przenoszenie drgań np z silnika na eleenty nadwozia w saochodzie, a z drugiej strony działanie odbrników radwych i telewizyjnych jest ożliwe dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego Dostrajając odbrnik do częstości nadajnika spełniay właśnie warunek rezonansu Zjawisko rezonansu jest bardzo rozpowszechnne w przyrodzie 4 Gdy zewnętrzna siła jest siłą o dużej częstotliwości >> W ty przypadku F i φπ plituda drgań zależy od aplitudy siły wyuszającej jej częstotliwości i asy oscylatora 13