1.3 Przestrzenie ilorazowe
|
|
- Renata Włodarczyk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1.3 Przestrzenie ilorazowe Niech X 0 będzie odrzestrzenią liniową X 0, +, rzestrzeni liniowej X, +,. Oreślmyzbiór x + X 0 := {x + y : y X 0 }. Zbiór ten nazywamy warstwą elementu x X względem odrzestrzeni X 0. Zbiór taich warstw nazywamy rzestrzenią ilorazową rzestrzeni X rzez odrzestrzeń X 0 i oznaczamy symbolem X / X 0. Jeśli teraz w X mamy oreśloną relację równoważności R: xry y x X 0, to warstwy x + X 0 są lasami równoważności względem tej relacji. Taą lasę równoważności oznaczamy symbolem [x]. Dwie lasy [x 1 ]i[x 2 ] są zawsze identyczne albo rozłączne. Ponadto, jeśli [x 1 ]=[x 2 ]i[y 1 ]=[y 2 ], to [x 1 +y 1 ]= [x 2 + y 2 ]oraz,jeśli[x 1 ]=[x 2 ]iα K, to[αx 1 ]=[αx 2 ] Stąd wynia, że możemy w sosób jednoznaczny oreślić działania + :X / X 0 ) X / X 0 ) X / X 0 ) jao [x 1 ] +[x 2 ]=[x 1 + x 2 ] : K X / X 0 ) X / X 0 ) jao α[x 1 ]=[αx 1 ]. Przy tych działaniach X / X 0, +, jest rzestrzenią wetorową. Elementem zerowym tej rzestrzeni jest warstwa [θ] =X 0. Oreślmy teraz odwzorowanie T : X x [x] X / X 0. Jest ono liniowe i rzeształca X na X / X 0. Ponadto ert )={x X : Tx = θ} = {x X : [x] =[θ]} = {x X : x θ X 0 } = {x X : x X 0 } = X Kila rzydatnych nierówności Lemat 1.1. Niech dane będą dwie liczby u, v 0oraz, q > 1 taie, że q = 1 wyładni q nazywamy wtedy srzężeniem do wyładnia ). Wtedy uv u + vq q. 4) Lemat 1.2. Nierówność Höldera dla sum). Niech >1i =1.Wtedy q n n t s s n t q q. 5) 12
2 Lemat 1.3. Nierówność Minowsiego dla sum). Niech >1i =1.Wtedy q n t + s n s + n t q q. 6) 2 Przestrzenie unormowane i rzestrzenie Banacha 2.1 Przestrzenie unormowane Niech X będzie rzestrzenią liniową nad ciałem K liczb rzeczywistych lub zesolonych. Definicja 2.1. Nieujemną funcję x x : X K nazywamy normą, gdy sełnia ona dla dowolnych x, y X i dowolnego a K waruni tzw. asjomaty normy): 1. x =0wtedy i tylo wtedy, gdy x = θ, 2. x + y x + y warune trójąta, inaczej: warune subaddytywności), 3. ax = a x warune jednorodności) Jeżeli funcja ta sełnia tylo waruni 2 i 3 nieoniecznie 1), to nazywamy ją seudonormą seminormą lub quasi-normą). Definicja 2.2. Przestrzeń liniową X wraz z oreśloną w niej normą, czyliarę X, nazywamy rzestrzenią unormowaną. Również tutaj będziemy w srócie isać tylo X, jeśli nie będzie to rowadziło do nieorozumień. W tej samej rzestrzeni liniowej można worwadzić różne definicje normy, uzysując w ten sosób różne rzestrzenie unormowane. Na rzyład, jeśli weźmiemy rzestrzeń funcji ciągłych na rzedziale [0, 1] o wartościach rzeczywistych, to normę można oreślić wzorem x C =max 0 t 1 xt), ale można ją też oreślić wzorem x L = 1 0 xt) dt, uzysując dwie różne rzestrzenie unormowane w ierwszym rzyadu mamy rzestrzeń zuełną, a w drugim nie). Każdą rzestrzeń unormowaną tratuje się jao rzestrzeń metryczną. Wystarczy rzyjąć nastęującą definicję odległości dwóch untów x, y X: dx, y) = x y. 7) 13
3 Łatwo srawdzić, że ta zdefiniowana odległość sełnia wszystie asjomaty metryi. Ponadto, ze względu na tę definicję odległości, wszystie ojęcia toologiczne oreślone dla rzestrzeni metrycznych, taie ja n. zuełność, ośrodowść, zwartość, odnoszą się również do rzestrzeni unormowanych. W szczególności zbieżność ciągu untów x n ) n=1 X do untu x X oznacza, że lim x n x =0. n Ta oreśloną zbieżność nazywamy zbieżnością według normy. Wymieńmy teraz ila własności normy, wyniających wrost z definicji. Lemat 2.1. Dla dowolnych untów x 1,x 2,...,x n X zachodzi nierówność: Jest to uogólnienie nierówności z ajomatu 2 normy. Dowód. Wystarczy zastosować inducję względem n. x 1 + x x n x 1 + x x n. Lemat 2.2. Dla dowolnych untów x, y X zachodzi nierówność: Dowód. Na mocy asjomatu 2 mamy x y x y. 8) x = y +x y) y + x y, czyli x y x y. Ze względu na symetrię i asjomat 3 mamy również: y x x y. Razem dostajemy tezę. Lemat 2.3. Norma jest funcjonałem ciągłym, tzn. jeżeli x n x rzy n,to x n x dla x n,x X). Dowód. Jest to natychmiastowy wniose z nierówności 8). Lemat 2.4. Działania algebraiczne w rzestrzeni unormowanej są ciągłe, tzn. dla x n,y n,x,y X oraz a n,a K dla n =1, 2... mamy a) jeżeli x n x i y x y, tox n + y n x + y, b) jeżeli a n a i x n x, toa n x n ax. 14
4 Dowód. Mamy x n + y n ) x + y) = x n x)+y n y) x n x + y n y dla n =1, 2,..., czyli a). Dla dowodu b) wystarczy zauważyć, że a n x n ax = a n x n x)+a n a)x a n x n x) + a n a)x = a n x n x + a n a x dla n =1, 2,... Definicja 2.3. Dwie normy x 1 i x 2 wrzestrzenix nazywamy równoważnymi, jeżeli oreślają to samo ojęcie zbieżności, tzn. jeśli x n x 1 0 wtedy i tylo wtedy, gdy x n x 2 0. Na rzyład, jeśli weźmiemy wsomnianą wcześniej, rzestrzeń funcji ciągłych na rzedziale [0, 1] o wartościach rzeczywistych, i normy oreślone wzorami x C =max 0 t 1 xt), x L = 1 0 xt) dt, toniesą one równoważne. 2.2 Przyłady rzestrzeni unormowanych Klasyczny rzyład rzestrzeni unormowanej sończenie wymiarowej: Przyład 7. Przestrzeń ln,gdzie 1. Elementami tej rzestrzeni są omawiane już wcześniej ułady n liczb rzeczywistych lub zesolonych z K n : x =t 1,t 2,...,t n )znormą n x := t Należy srawdzić, że sełnione są asjomaty normy. Asjomat 1 i 3 otrzymujemy natychmiast, bo n t =0 t =0,2,... x = θ oraz n ax = at = a n t n = a t = a x. Warune trójąta dla = 1 jest oczywisty również z nierówności trójąta dla wartości bezwzględnej). Dla >1 zastosujemy nierówność Minowsiego 6) z x =s 1,s 2,...,s n )iy =t 1,t 2,...,t n ). Wtedy Zatem jest normą. n x + y = t + s n. s + n t q q = x + y. 15
5 Zauważmy, że w rzyadu = 2 otrzymujemy zwyłą rzestrzeń eulidesową n-wymiarową z odległością między untami wyrażoną metryą eulidesową, a dodatowo w rzyadu n = 2 otrzymujemy R 2 lub Z 2 czyli unty na łaszczyźnie) ze szolną definicją odległości. Klasycznymi rzyładami rzestrzeni unormowanych ciągowych niesończenie wymiarowych są: Przyład 8. Przestrzeń m ciągów ograniczonych z normą x =su t,dlax =t ) m. Przestrzeń tę oznacza się też symbolem l. Oczywiście jest normą, co wynia z własności suremum. Istotnie. Dla dowolnych x =t ),y =s ) m, α K mamy x =0 su t =0 t =0,2,... t =0,2,... x = θ. x + y =su t + s su αx =su αt =su t + s ) su Przyład 9. Przestrzeń c ciągów zbieżnych z normą x =su t. α t )= α su Przyład 10. Przestrzeń c 0 ciągów zbieżnych do zera z normą x =su t. t +su s = x + y. t = α x. Przyład 11. Przestrzeń l szeregów zbieżnych z -tą otęgą, gdzie 1. Elementami tej rzestrzeni są ciągi niesończone liczb rzeczywsitych lub zesolonych x =t ), dla tórych t < znormą x = t. Istotnie. Asjomaty 1 i 3 normy są selnione w sosób oczywisty. Aby zaś udowwodnić nierówność trójąta i liniowość rzestrzeni, należy sorzystać z nierówności Minowsiego dla sum 6). Przechodząc w niej stronami do granicy rzy n, otrzymujemy: t + s wyonując odstawienia ja w rzyadu rzestrzeni ln. s + Klasycznymi rzyładami rzestrzeni funcyjnych niesończenie wymiarowych są: t q q, 1, 9) Przyład 12. Przestrzeń C, K) funcji ciągłych x : K, gdzie jest zbiorem zwartym w rostym rzyadu może to być n. rzedział domnnięty [a, b] znormą x =su t xt). Oczywiście norma jest dobrze oreślona, tzn. jest to na ewno liczba i jest nieujemna, bo ażda funcją ciągła na zbiorze zwarytm jest też ograniczona i osiąga swoje resy). Sełnienie asjomatów normy jest oczywiste. 16
6 Przyład 13. Przestrzeń L, Σ,µ) funcji całowalnych z -tą otęgą, 1. Wyjaśnienie: Σjestσ-algebrą odzbiorów zbioru, µ jest miarą w L, Σ,µ) jest rzestrzenią las równoważności funcji x, tóre są Σ-mierzalne i taie, że xt) dµ <, ze względu na relację równości µ-rawie wszędzie, tzn. utożsamiamy ze sobą ażde dwie funcje, tóre są równe sobie µ-rawie wszędzie na bo wtedy różnią się tylo na zbiore miary zero, a tai zbiór nie ma wływu na wartość całi). Dla indywidualnej funcji x będziemy isali róto x L,gdy odowiadająca tej funcji lasa równoważności [x] L. Zauważmy najierw, że L jest rzestrzenia liniową. Istotnie, weźmy x, y L oraz α K.Wtedy xt) dµ < i yt) dµ <. Zauważmy onadto, że xt)+yt) 2 xt) + yt) ), zatem xt)+yt) dµ 2 xt) + yt) ) dµ =2 xt) dµ + ) yt) dµ <, więc x + y L. Analogicznie oazujemy, że αx L. Oreślamy w tej rzestrzeni normę: x = xt) dµ. Asjomaty 1 i 3 normy są sełnione w sosób oczywisty z wlasności całe). Pozostaje oazać nierówność trójąta. Niech więc x L, y L q,gdzie =1,,q>1. Biorąc w nierówności 4): q u = xt), v = xs) dµ yt) ys) q dµ q i całując ją stronami względem t, otrzymujemy nierówność Höldera dla całe: gdzie x L, y L q,, q > 1, q nierówność Minowsiego dla całe: xt)yt) dµ xt)+yt) dµ xt) dµ yt) q q dµ, 10) = 1. Stosująć tę nierówność, otrzymujemy odobnie, ja wcześniej, xt) dµ + yt) dµ, 11) gdzie x, y L, 1. Zaisując nierówność Minowsiego za omocą normy w L, otrzymujemy nierówność trójąta dla. 17
7 2.3 Przestrzenie Banacha Powiemy, że rzestrzeń unormowana X, jest zuełna, jeśli rzestrzeń metryczna X, d jest zuełna soro ażda rzestrzeń unormowana jest metryczna z metryą dx, y) = x y ). Przyomnijmy zatem, że rzestrzeń metrycza X jest zuełna, jeśli ażdy ciąg x n ) n=1 jej elementów, sełniający warune Cauchy ego, jest zbieżny do ewnego elementu x 0 tej rzestrzeni X. Przyomnijmy również, że ciąg x n ) n=1 elementów rzetrzeni metrycznej X, d sełnia warune Cauchy ego jest ciągiem Cauchy ego) w X, d, gdy dla ażdej liczby ε > 0 istnieje taa liczba N, że dla ażdych m, n > N zachodzi nierówność dx n,x m ) <ε. Zaiszmy to za omocą normy w rzestrzeni unormowanej. Ciąg x n ) n=1 elementów rzetrzeni unormowanej X, sełnia warune Cauchy ego jest ciągiem Cauchy ego) w X,, jeśli ε>0 N m,n>n x n x m <ε. Definicja 2.4. Przestrzeń unormowaną X,, tóra jest zuełna, nazywamy rzestrzenią Banacha. Wszystie rzestrzenie unormowane z orzedniego aragrafu są rzestrzeniami Banacha. Wystarczy tylo oazać ich zuełność. Zrobimy to na ońcu niniejszego wyłdu. Przyład 14. Przestrzenie c, c 0 i l. Ćwiczenie. Uwaga 3. Jeżeli 1 1 < 2,tol 1 l 2, Uwaga 4. Jeżeli 1 1 < 2 i µ) < to L 1, Σ,µ) L 2, Σ,µ). 2.4 Ośrodowość wybranych rzestrzeni. Przyomnijmy najierw ojęcie ośrodowości rzestrzeni. Definicja 2.5. Przestrzeń metryczna X jest ośrodowa, jeśli istnieje zbiór co najwyżej rzeliczalny Z X gęsty w X, tzn. domnięcie zbioru Z równe jest całej rzestrzeni X. Wynia stąd natychmiast, że również rzestrzeń unormowana X jest ośrodowa, jeśli istnieje zbiór co najwyżej rzeliczalny Z X gęsty w X. 18
8 Wiadomo, że rzestrzeń X = K = R jest ośrodowa, zbiorem Z jest wtedy zbiór liczb wymiernych, bo jest rzeliczalny i jego domnięcie jest całym R. Analogicznie można stwierdzić, że jeśli X = C, tozbioremz ośrodiem) jest wtedy zbiór liczb ostaci a + bi, gdziea, b są wymierne. Postęując ta dalej, dostaniemy, że rzestrzeń l 2 m rzestrzeń eulidesowa m-wymiarowa jest ośrodowa, ośrode stanowić będą unty o wsółrzęnych wymiernych. Zajmijmy się teraz rzestrzeniami niesończenie wymiarowymi. Przyład 15. X = m - rzestrzeń ciągów liczbowych z normą suremum Przestrzeń ta nie jest ośrodowa. Istotnie, gdyby istniał zbiór Z m rzeliczalny i gęsty w m, to wtedy oznaczając elementy zbioru Z rzez x) zbiór wszystich ul Kx, 1)dlax Z orywałby całą rzestzreń m. Niech teraz zbiór Z 2 0 oznacza zbiór wszystich ciągów zero-jedynowych. Oczywiście ciągi te są ograniczone, ale jest ich nierzeliczalna ilość. Ponieważ ul jest co najwyżej rzeliczalna ilość, więc w rzynajmniej jednej uli muszą leżeć dwa różne unty x 1,x 2 Z 0.Niechx 0 będzie środiem taiej uli. Wtedy x 1 x 2 x 1 x 0 + x 0 x 2 < =1, co jest niemożliwe, bo z definicji normy w rzestrzeni m wynia, że x 1 x 2 =su t s =1. Przyład 16. X = l - rzestrzeń ciągów sumowalnych Przestrzeń ta jest ośrodowa. Należy wsazać zbiór Z będący jej ośrodiem. Niech więc Z będzie zbiorem wszystich untów ostaci y =t 1,t 2,...,t m, 0, 0,...), gdzie m =1, 2,..., a t 1,t 2,,...t m są liczbami wymiernymi. Wtedy y l bo, t = m t <. Ja łatwo widać, zbiór Z jest rzeliczalny, wystarczy więc oazać jego gęstość w l. Weźmy w tym celu dowolny x =t s ) l. Musimy oazać, że w dowolnym jego otoczeniu istnieją unty ze zbioru Z. Weźmy zatem ε>0iniechm będzie taie ustalone, że s 1 =m+1 2 ε. Wybierzmy dalej taie liczby wymierne t 1,t 2,...,t m ta, aby m t s 1 2 ε. Przyjmijmy y =t 1,t 2,...,t m, 0, 0,...). Wtedy m y x = t s + s ε. =m+1 Zatem w ażdym esilonowym otoczeniu untu x l istnieją unty y Z. Zdowolnościx mamy tezę. Zanim odamy olejny rzyład rzestrzeni ośrodowej, sformułujemy rzydatne twierdzenie o arosymacji funcji ciągłych wielomianami. Zainteresowanych szczegółami dowodu, odsyłamy do [5] lub [6]. 19
9 Twierdzenie 2.1. Twierdzenie Weierstrassa o arosymacji funcji ciągłych wielomianami. Jeżeli u jest funcją ciągłą oreśloną na odzbiorze zwartym rzestrzeni eulidesowej m-wymiarowej, to istnieje ciąg wielomianów zbieżny jednostajnie na do funcji u. Twierdzenie 2.2. Twierdzenie Weierstrassa o arosymacji funcji ciągłych wielomianami trygonometrycznymi. Jeżeli u jest funcją ciągłą zmiennej rzeczywsitej oresową o oresie 2π, to istnieje ciąg wielomianów trygonometrycznych zbieżny jednostajnie na na zbiorze R do funcji u. Wyjaśnijmy, że wielomianem trygonometrycznym nazywamy funcję ostaci n wt) =a 0 + a cost + b sint), rzy czym z oreślenia tego widać, że jeśli wt) jest wielomianem trygonometrycznym, to wt + t 0 ) też oraz, że suma i iloczyn dwóch wielomianów trygonomterycznych też są wielomianami trygonometrycznymi. Przyład 17. Przestrzeń C, K) Przestrzeń ta jest ośrodowa. Przyładem zbioru rzeliczalnego gęstego Z jest zbiór wszystich wielomianów o wsółczynnniach wymiernych. Istotnie, weźmy dowolną funcję u : K. Zbiór jest zwarty, więc na odstawie twierdzenia Weierstrassa o arosymacji funcji ciągłych wielomianami dla ażdej liczby ε>0 istnieje tai wielomian w 0,że ut) w 0 t) 1 ε dla wszystich t. 2 Oczywiście można znaleźć wielomian w o wsółczynniach wymiernych, sełniający nierówność: w 0 t) wt) 1 ε dla wszystich t 2 wystarczy, aby wsółczynnii wielomianu w dostatecznie mało różniły się od odowiednich wsółczynnniów wielomianu w 0 ). Z obu owyższych nierówności wynia, że ut) wt) ut) w 0 t) + w 0 t) wt) dla wszystich t. Zatem u w =su ut) wt) ε. t Z dowolności funcji u C, K) iε > 0 wynia, że zbiór wielomianów o wsółczynniach wymiernych jest gęsty w tej rzestrzeni. Wystraczy jeszcze tylo zauważyć, że zbiór ten jest rzeliczalny. Przyład 18. Przestrzeń L, K) Przestrzeń ta jest ośrodowa. A jeśli zbiór jest ograniczony, to zbiór rzeliczalny złożony ze wszystich wielomianów o wsółczynniach wymiernych jest gęsty w tej rzestrzeni. 20
10 2.5 Izomorfizm rzestrzeni unormowanych Rozważmy dwie rzestrzenie unormowane X, w srócie będziemy isali tylo X i Y ). Definicja 2.6. Przestrzenie unormowane X i Y nazywamy izomorficznymi, jesli istnieje odwzorowanie różnowartościowe liniowe U rzestrzeni X na rzestrzeń Y taie, że x n 0 wtedy i tylo wrtedy, gdy Ux n ) 0. Odwzorowanie U nazywamy izomorfizmem X na Y. Jeśli dodatowo sełniony jest warune Ux) = x dla ażdego x X, torzestrzeniex i Y nazywamy izometrycznie izomorficznymi. Przyład 19. Przestrzenie c i c 0 są izomorficzne. Jao odwzorowanie U rzestrzeni c na c 0 będące izomofizmem można wybrać Ux) =y, dlay =s ) dla x =t ), rzy czym s 1 = g, s +1 = g t dla =1, 2,..., g = lim t. 2.6 Szeregi elementów rzestrzeni unormowanej Rozważmy ciąg niesończony elementów rzestrzeni unormowanej X, czyli ciąg ostaci a n ) n=1, gdziea n X dla ażdego n =1, 2,... W szczególnym rzyadu, gdy X = R jest to znany z wcześniejszych wyładów ciąg liczbowy. Definicja 2.7. Powiemy, że szereg n=1 a n jest zbieżny, jeżeli zbieżny jest jego ciąg sum częściowych, tzn. ciąg elementów: m S m = a n = a 1 + a a m P dla m =1, 2,... n=1 jest zbieżny do ewnego elementu a X. Elementa nazywamy wówczas sumą szeregu i iszemy a n = a. n=1 Z ciągłości działań w rzestrzeni unormowanej wyniaja natychmiast twierdzenia. Twierdzenie 2.3. Jeżeli szeregi n=1 a n i n=1 b n elementów rzestrzeni unormowanej X są zbieżne, to zbieży jest również szereg n=1 a n + b n ) i zachodzi równość: a n + b n )= a n + a n. n=1 n=1 n=1 Twierdzenie 2.4. Jeżeli szereg n=1 a n elementów rzestrzeni unormowanej X jest zbieżny, to dla ażdej liczby α zbieży jest również szereg n=1 αa n i zachodzi równość: αa n = α a n. n=1 n=1 21
11 Twierdzenie 2.5. Załóżmy, że X jest rzestrzenią Banacha. Szereg n=1 a n elementów tej rzestrzeni jest zbieżny wtedy i tylo wtedy, gdy ε>0 N N a m+1 + a m a) m ε dla m>n N, 12) Dowód. Zauważmy że a m+1 + a m a m = S m S n, zatem warune 12) jest równoważny temu, że ciąg S m ) m=1 sum częściowych tego szeregu jest ciągiem Cauchy ego. Ale X jest rzestrzenią Banacha, więc jest to równoważne zbieżności tego ciągu, co z definicji, daje zbieżność szeregu n=1 a n. Definicja 2.8. Powiemy, że szereg n=1 a n jest zbieżny bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg liczbowy n=1 a n. Twierdzenie 2.6. Każdy bezwzględnie zbiezny szereg n=1 a n elementów rzestrzeni Banacha jest zbieżny, a jego suma sełnia nierówność: a n a n. 13) n=1 n=1 Dowód. Zauważmy że, jeżeli ε jest daną liczbą dodatnią, to wobec zbieżności szeregu liczbowego n=1 a n istnieje taie N, że a n+1 + a n a m ε dla m>n N. Z nierówności trójąta dla normy mamy natychmiast: a m+1 + a m a m a n+1 + a n a m ε dla m>n N. Zatem zbieżność szeregu n=1 a n jest onsewencja orzedniego twierdzenia bo ciąg sum częściowych sełnia warune Cauchy ego). Aby uzysać nierówność 13) wystarczy rzejść do granicy rzy m w nierówności m m a n a n m =1, 2,...), n=1 n=1 uwzględniając ciągłość normy i fat, że szeregi są zbieżne). Można odowodnić również twierdzenie odwrotne: Twierdzenie 2.7. Jeżeli ażdy bezwzględnie zbieżny sezreg n=1 a n elementów rzestrzeni unormowanej X jest zbieżny, to X jest rzestrzenią Banacha. 22
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni
Bardziej szczegółowoUwaga 1.1 Jeśli R jest relacją w zbiorze X X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X. Rozważmy relację R X X. Relację R nazywamy zwrotną, gdy:
Matematya dysretna - wyład 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produtu artezjańsiego X Y, tórego elementami są pary uporządowane (x, y), taie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoDOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA)
DOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO I DO SPRAWDZENIA) R R Tematem niniejszych notatek jest zbadanie warunków istnienia normy na ewnej rzestrzeni funkcji rzeczywistych określonych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowoKody Huffmana oraz entropia przestrzeni produktowej. Zuzanna Kalicińska. 1 maja 2004
Kody uffmana oraz entroia rzestrzeni rodutowej Zuzanna Kalicińsa maja 4 Otymalny od bezrefisowy Definicja. Kod nad alfabetem { 0, }, w tórym rerezentacja żadnego znau nie jest refisem rerezentacji innego
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoAnaliza B. Paweł Głowacki
Analiza B Paweł Głowaci Pojęcie liczby rzeczywistej uważać będziemy za intuicyjnie oczywiste. Tym niemniej celowe wydaje się przypomnienie i ugruntowanie nietórych fundamentalnych własności liczb rzeczywistych.
Bardziej szczegółowogranicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoA i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy
3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja
Bardziej szczegółowoi = n = n 1 + n 2 1 i 2 n 1. n(n + 1)(2n + 1) n (n + 1) =
Druga zasada inducji matematycznej Niech m będzie liczbą całowitą, niech p(n) będzie ciągiem zdań zdefiniowanych na zbiorze {n Z: n m} oraz niech l będzie nieujemną liczbą całowitą. Jeśli (P) wszystie
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne Rozwiązania zadań
Metody robabilistyczne Rozwiązania zadań 6. Momenty zmiennych losowych 8.11.2018 Zadanie 1. Poaż, że jeśli X Bn, to EX n. Odowiedź: X rzyjmuje wartości w zbiorze {0, 1,..., n} z rawdoodobieństwami zadanymi
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią analityczną
WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Inducja matematyczna Inducja jest taą metodą rozumowania, za pomocą tórej od tezy szczegółowej dochodzimy do tezy ogólnej. Przyład 1 (o zanurzaniu ciał w wodzie) 1. Kawałe żelaza, tóry zanurzyłem w wodzie,
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowo3. Kinematyka podstawowe pojęcia i wielkości
3. Kinematya odstawowe ojęcia i wielości Kinematya zajmuje się oisem ruchu ciał. Ruch ciała oisujemy w ten sosób, że odajemy ołożenie tego ciała w ażdej chwili względem wybranego uładu wsółrzędnych. Porawny
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoAnaliza B II zadania. cos kx = sin(n x) 2 sin x 2. cos n sin 1 n., tan x, cot x, log sin x, log tan x, 1 + x
Analiza B II zadania Oblicz granicę n cos n n Udowodnij wzór dla mπ 3 Udowodnij że szereg + n = cos = sin(n + sin cos n sin n jest zbieżny warunowo 4 Wyprowadź wzory (sin = cos (cos = sin 5 Wyaż że funcje
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowo3 k a 2k + 3 k b 2k = φ((a k ) k=1 ) + φ((b k) k=1 ). a 2k p 3 q (1 3 q ) 1 (a k ) k=1 p,
Zadanie 1. Sprawdzić, czy formuła φa ) ) = 3 a 2 zadaje funcjonał liniowy na l p dla p [1, ] i na c, jeśli ta, to czy zadaje funcjonał ciągły, i jeśli ta, policzyć normę. Dowód. Sprawdzam liniowość: φλa
Bardziej szczegółowoWstęp do topologii Ćwiczenia
Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc
Analiza funkcjonalna I Ryszard Szwarc Wrocław 2010 2 Spis treści 1 Przestrzenie unormowane 3 1.1 Dodatek.............................. 13 2 Operatory liniowe 15 3 Przestrzenie Hilberta 26 3.1 Podstawowe
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk
Bardziej szczegółowoTwierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 01/01 Seria VII styczeń 01 rozwiązania zadań 1. Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n liczba n! jest odzielna rzez n!
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoKOLOKWIUM Z ALGEBRY I R
Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowo1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera
1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowo1 Ciągłe operatory liniowe
1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoWykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k
Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. Definicja 1. Niech (a n ) - ustalony ciąg liczbowy. Określamy nowy ciąg: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. S n =. Ciąg sum częściowych (S n ) nazywamy
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoA. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna
A. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wsaźniami esploatacyjnymi eletronicznych systemów bezpieczeństwa oraz wyorzystaniem ich do alizacji procesu esplatacji z uwzględnieniem przeglądów
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Szeregi
Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a
Bardziej szczegółowoFunkcje arytmetyczne
Funkcje arytmetyczne wersja robocza Jacek Cichoń Politechnika Wrocławska Wydział Podstawowych Problemów Techniki Liczbami naturalnymi nazywany tutaj zbiór N = {1, 2, 3...}. Zbiór liczb ierwszych oznaczamy
Bardziej szczegółowoTemat: Ciągi i szeregi funkcyjne
Emilia Domińczyk Aleksandra Chrzuszcz Temat: Ciągi i szeregi unkcyjne 1.Co to jest ciąg unkcyjny? Co to jest szereg unkcyjny? Podać przykłady. Deinicja ciągu unkcyjnego Niech X c R, X Ø. Funkcję określoną
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoE-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowo