PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH"

Transkrypt

1 INSTYTUT HODOWLI I AKLIMATYZACJI ROLIN PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH MATERIAY SZKOLENIOWE Dr hab. Zbgew Laudask, prof. adzw. Katedra Bometr Wydza Rolctwa Bolog SGGW Warszawa Mgr &. Darusz R. Makowsk Pracowa Ekoomk Nasectwa Hodowl Rol Zakad Nasectwa Nasoozawstwa IHAR Radzków IHAR RADZIKÓW, 007

2 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH

3 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 3 SPIS TRECI Szczegóowy program semarum...5 I. Wprowadzee do statystyk matematyczej...9. Zdarzea losowe prawdopodobe!stwo Klasycza defcja prawdopodobe!stwa (Laplace a) Aksjomatycza defcja prawdopodobe!stwa (Komogorowa) zasadcze twerdzea Prawdopodobe!stwo cakowte, wzór Bayesa.... Zmee losowe ch rozkady teoretycze Zmee losowe typu skokowego Zmee losowe typu c/gego Estymacja puktowa przedzaowa parametrów populacj jedowymarowych, hpotezy statystycze Statystycza próba losowa Poj3ce estymatora (estymacja puktowa) Estymacja przedzaowa Hpotezy statystycze ch weryfkacja, testy statystycze W3cej 5 dwe 6rede test aalzy waracj II. Aalza statystycza daych do6wadczalych...5. Wprowadzee Zasady statystycze plaowaa eksperymetów Metodyka techka do6wadcze! rolczych Poj3ce kotrastu Trasformacje daych empryczych Aalza wspózale5o6c Fukcja regresj Reresja lowa dwu zmeych Korelacja regresja welu zmeych Modele learyzowae, regresja krzywolowa Regresja w aalze waracj Aalza kowaracj Testy Testy zgpdmo6c Testy ezale5o6c Zgodo6= rozkadów empryczych... 93

4 4 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 0. Klasyfkacja daych statystyczych Aalza skupe! (Cluster aalyss) Mary odlego6c (Dssmlarty measure) Mary blsko6c / podobe!stwa (Smlarty measure) Aalza skupe! (cd.) Aalza czykowa Rotacje czyków, metoda varmax...03 III. Awczea pokazowe Prawdowe przygotowae daych do aalzy Wczytywae daych do Systemu SAS SAS Eterprse Gude Drodowsko programstycze SAS Podstawowe aalzy statystycze Statystyk opsowe Testy t Aalza waracj Plaowae eksperymetu Drodowsko programstycze SAS Drodowsko JMP 6 / Statystycze metody opracowywaa wyków Aalza waracj Aalza korelacj regresj prostych Aalza regresj welokrotej Aalza kowaracj Tablce kotygecj testy ch-kwadrat Aalza skupe! Welowymarowa aalza czykowa...39 Lteratura...4

5 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 5 SZCZEGÓOWY PROGRAM SEMINARIUM PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH (S. Sz. 3/007) Kerowk merytoryczy: Dr hab. Zbgew Lauda,sk, prof. adzw. Katedra Bometr SGGW Warszawa Data mejsce: 0 lstopad 007 r. IHAR Radzków (sala koferecyja) Szkolee skerowae jest w g4ówej merze do pracowków aukowych Istytutów Badawczych, Uczel Wy7szych Frm Hodowlaych, wykorzystuj9cych w swej pracy metody aalzy statystycze. Obejmuje zagadea zw9zae z podstawam statystyk matematyczej, bostatystyk, do:wadczalctwa rolczego aalzy daych. W trakce szkolea zaprezetowae b;dze wykorzystae komputerowego oprogramowaa aaltyczego (System SAS, SAS Isttute Ic.) do aalzy przyk4adów obrazuj9cych omawae zagadea. W szczególo:c szkolee to kerowae jest do m4odych pracowków auk, którym prezetowae zagadea z zakresu do:wadczalctwa rolczego statystyk matematyczej s9 potrzebe do prowadzea bada,. LICZBA GODZINY DATA TEMAT PROWADZNCY GODZIN OD DO lstopad 007 r. (wtorek) Przyjazd uczestków; pocz;stuek (kawa, herbata, castka) godz Otwarce semarum; przedstawee celu; sprawy orgazacyje BLOK I Wprowadzee do statystyk matematyczej. Prawdopodobe,stwo, zmee losowe, rozk4ady zmeych losowych skokowych c9g4ych, parametry zmeych losowych. Poj;ca populacj geeralej próby reprezetatywej dae statystycze ch pozyskwae. Szereg rozdzelczy hstogram.. Estymacja puktowa przedza4owa parametrów populacj jedowymarowych. Poj;ce modelu lowego obserwacj: y = m+. Hpotezy merytorycze statystycze. B4;dy woskowaa statystyczego. 0, Kerowk Sekcj Kerowk merytoryczy Promocj Szkole, prof. SGGW Zbgew Lauda,sk 30 5 prof. SGGW Zbgew Lauda,sk

6 6 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Praktycze stosowae statystyczych testów stoto:c: t Studeta oraz F Fshera przy weryfkacj hpotez statystyczych: 0 H 0 :m = m0, H 0 :m = m, H : =. 0, mgr 7. Darusz R. Ma,kowsk IHAR Radzków Pracowa Ekoomk Nasectwa Hodowl Ro:l 3. Klasyfkacja daych statystyczych wed4ug welu pozomów jedego kryterum (czyka). Model lowy obserwacj: yj = m+ + j. Hpoteza zerowa postac H :m = m = = m, jako rozszerzee 0 k hpotezy postac H 0 :m = m. Metoda aalzy waracj prof. SGGW Zbgew Lauda,sk BLOK I (cg dalszy) Przerwa obadowa godz Porówaa welokrote, zastosowae testów: Tukeya, Ducaa, Dueta. Poj;ce grupy jedorodej oraz warto:c NIR Najmejszej Istotej Ró7cy. 0, mgr 7. Darusz R. Ma,kowsk 4. Fwczea pokazowe mgr 7. Darusz R. Ma,kowsk Kolacja godz lstopad 007 r. (%roda) BLOK II Plaowae eksperymetu. Laboratoryje polowe do:wadczea porówawcze. Do:wadczea w uk4adach: ca4kowce losowych losowaych bloków (klasyczy, kwadrat 4ac,sk, splt-plot, spltblock). Modele lowe daych z wybraych do:wadcze, jedo, dwu oraz trójczykowych. Poj;ce wspó4dza4aa (terakcj) czyków. Do:wadczea welokrote., prof. SGGW Zbgew Lauda,sk. Do:wadczea czykowe w uk4adach kompletych ekompletych, zrówowa7oych ezrówowa7oych. 0, prof. SGGW Zbgew Lauda,sk 3. Fwczea pokazowe mgr 7. Darusz R. Ma,kowsk BLOK III Statystycze metody opracowywaa wyków do4wadcze5 wg model aalzy waracj, kowaracj regresj. Przerwa a kaw; herbat; godz Aalza waracj daych z weloczykowych do:wadcze, porówawczych. Trasformacje daych. Poj;ce kotrastu prof. SGGW Zbgew Lauda,sk

7 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Weryfkacja hpotez ogólych szczegó4owych porówaa welokrote :redch mgr 7. Darusz R. Ma,kowsk Przerwa obadowa godz BLOK III (cg dalszy). Populacje dwuwymarowe welowymarowe. Aalza korelacja aalza regresj lowej dwóch zmeych. Korelacja regresja lowa welu zmeych. 3. Zastosowae wybraych fukcj jedej zmeej ezale7ej w aalzach statystyczych. Regresja w aalze waracj. Aalza kowaracj., prof. SGGW Zbgew Lauda,sk prof. SGGW Zbgew Lauda,sk Kolacja godz Wyjazd do teatru godz lstopad 007 r. (czwartek) BLOK III (cg dalszy) Ie metody opracowywaa daych statystyczych.. Zastosowaa testu Pearsoa. Hpotezy eparametrycze dotycz9ce zgodo:c rozk4adu populacj geeralej z rozk4adem teoretyczym a podstawe weloelemetowej próby (szereg rozdzelcze) oraz zgodo:c rozk4adów klku populacj geeralych. Badae ezale7o:c cech jako:cowych a podstawe tablc kotygecj.. Aalza skupe, w badaach zró7cowaa obektów welocechowych. Welowymarowa aalza czykowa w zastosowaach do grupowaa zmeych (cech) prof. SGGW Zbgew Lauda,sk prof. SGGW Zbgew Lauda,sk BLOK III (cg dalszy) Przerwa a kaw; herbat; godz Fwczea pokazowe., mgr 7. Darusz R. Ma,kowsk Kerowk merytoryczy Podsumowae semarum po49czoe z dyskusj9 0, Kerowk Sekcj uczestków; rozdae za:wadcze,. Promocj Szkole, Obad godz Odwezee autokarem do Warszawy godz. 4 5

8 8 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH

9 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 9 I. WPROWADZENIE DO STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ. ZDARZENIE LOSOWE I PRAWDOPODOBIESTWO Do%wadczeem (eksperymetem) losowym azywamy take do:wadczee dla którego, pommo sprecyzowaa waruków jego realzacj, e jeste:my w stae przewdzek jego wyku (wyk losowy, przypadkowy). Rzucaj9c moet9 (do%wadczee) e jeste:my w stae okre:lk wyku mo7emy przece7 uzyskak or*a lub reszk+. Rzucaj9c kostk9 sze:ce9, w wyku mo7a uzyskak jed9 z sze:cu mo7lwo:c. S9 to wszystke mo7lwe zdarzea wyst;puj9ce w tym do:wadczeu. W ka7dym do:wadczeu losowym mo7a w;c wyró7k ajprostsze, erozk4adale zdarzea (wyk), które azywamy elemetarym, o w4aso:cach: ) dae zdarzee mo,e zaj%- lub e, ) jedo ze zdarze elemetarych a pewo zajdze, 3) zaj%ce jedego w tym samym do%wadczeu wyklucza zaj%ce ego. Zbór wszystkch zdarze, elemetarych zw9zaych z do:wadczeem azywamy przestrze zdarze elemetarych b;dzemy ozaczak symbolem E. Natomast jej elemety, poszczególe zdarzea symbolem e. Przestrze, zdarze, elemetarych mo7e zawerak sko,czo9 lczb; elemetów, p. przy rzuce kostk9 E = {,,3,4,5,6}. Mo7e byk rówe7 zborem esko,czoym przelczalym, p. rzut moet9 do perwszego pojawea s; or4a E = { O,RO, RRO, RRRO, } jak eprzelczalym p. trafee strza4em do tarczy traktowaej jako powerzcha o eprzelczalej lczbe puktów. Ka7dy podzbór przestrze zdarze, elemetarych azywamy zdarzeem (losowym). Przy czym zdarzeem pewym azywamy ca49 przestrze, E, atomast zdarzeem emo,lwym podzbór pusty zboru E, tz. podzbór który ezawera 7adego zdarzea. Na przyk4ad przy rzuce kostk9 oprócz zdarze, E, mamy 6 podzborów jedoelemetowych, 5 dwuelemetowych, 0 trzyelemetowych, 5 czteroelemetowych 6 p;coelemetowych. Z matematyczego puktu wdzea zdarzea s9 zboram (podzboram), dlatego te7 mo7a wykoywak wszystke dza4aa mogo:cowe, które prowadz9 do tworzea owych zdarze,. St9d te7 mamy, dla co ajmej dwu zdarze, A oraz B (p. A= { e, e4, e6} parzysta lczba oczek, B= { e4, e5, e6} lczba oczek w;ksza 7 3), odpowede operacje:. Suma (alteratyw+) zdarze A B= { e, e4, e5, e6},. Iloczy (koukcj+) zdarze A B = { e4, e6}. Je7el loczy jest zborem pustym, wtedy mówmy o zdarzeach wykluczajcych s+ (wy49czaj9cych s;), 3. Ró8ca zdarze A B= { e }, 4. Negacja zdarze A = { e, e3, e5} ozacza zdarzee przecwe do zdarzea A, czyl A = E A. 5. Implkacja zdarze je7el jedo zdarzee poc9ga za sob9 zaj:ce ego zdarzea; p. zdarzee: C = wypad*a jedyka poc9ga za sob9 p. zdarzee: D = wypad*a eparzysta lczba oczek, czyl C D.

10 0 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH.. Klasycza defcja prawdopodobestwa (Laplace'a) Je7el wszystke zdarzea elemetare s9 jedakowo mo,lwe, to prawdopodobe,stwo zaj:ca zdarzea A jest lorazem lczby zdarze elemetarych sprzyjaj9cych zaj:cu A do k lczby mo,lwych zdarze, tz. P( A) =. Przyk*ad: Zdarzee A { e, e, e, e } = w rzuce kostk9, wtedy k 4, = =, czyl ( ) 3 P A =. Przyk*ad: Nech zdarzee A ozacza trafee szóstk w du7ego lotka. Lczba elemetów przestrze E jest rówa: k k! 49 C = = = =, k! k! 6! 496! ( ) ( ) czyl P( A ) = 0, Mo7emy wyzaczyk prawdopodobe,stwa wylosowaa: trójk : = 0,076504, 49 6 czwórk : = 0, , 49 6 ptk : = 0, Prawdopodobe,stwo jakejkolwek wygraej w totolotka jest rówe sume prawdopodobe,stw poszczególych wygraych (suma zdarze roz*czych), tz. jest oo rówe: 0, ,09. Ozacza to, 7e a 000 zak4adów (ger) mamy szas; wygraa w 9 zak4adach, atomast przegraa (zdarzee przecwe) w 98 grach. 0, Dalej, 7e trafk trójk+ mamy szas; 8, = razy w;ksz9 7 wytypowak 0, , czwórk+, atomast trafee czwórk jest 5,50 = razy w;ksze 7 ptk. 0, Jaka bywa praktyka p. w zak4adach z r. mel:my: ( 6), ( 5) 8, ( 4) 366, ( 3) 44684,

11 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Mamy tutaj, 7e szasa trafea trójk jest 7,9 = razy w;ksza 7 wytypowae czwórk, atomast trafee czwórk jest 59,9 = razy w;ksze 7 ptk. 8 Wdocza jest zacz9ca zgodo:k teor z praktyk9... Aksjomatycza defcja prawdopodobestwa (Komogorowa) Prawdopodobestwo zdarzea A jest to fukcja okre:loa a zborze zdarze elemetarych E o okre:loych mo7lwo:cach tworzea sum zdarze,, loczyów, ró7c, zdarze, przecwych, pewych emo7lwych, spe4aj9ca uk4ad trzech aksjomatów:. Dla ka7dego A mamy ( ) 0 P A,. P( E ) =, 3. P( A A ) P( A ) P( A ) = + + dla zdarze, param roz49czych A A = dla j. j Z powy7szych aksjomatów wykaj9 wosk:. Dla ka7dego A prawdzwe jest rówo:k ( ) = P( A) P A,. Prawdopodobe,stwo zdarzea emo7lwego jest rówe zero, tz. P( ) = 0, czyl P( E ) =, 3. Dla ka7dego zdarzea A E prawdzwa jest relacja: ( ) 0 P A..3. Zasadcze twerdzea Je7el zdarzea A B s9 zale,e (losowae bez zwracaa), wtedy mamy prawdopodobestwo warukowe: P( A B) ( ) =, je:l ( ) 0 P( B) P A B Je:l atomast spe4oa jest rówo:k: P A B P A P B >. ( ) = ( ) lub P( B A) P( B) to zdarzea A B s9 ezale,e (losowae ze zwracaem). Prawdopodobestwo loczyu dwóch zdarze: =, P( A B) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B), co mo7a uogólk a dowol9 lczb; zdarze,, p. dla trzech: PA ( B C) = PA ( ) PBA ( ) PCA ( B). Je7el zdarzea A B s9 ezale,e, wtedy: P( A B) = P( A) P( B).

12 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Przyk*ad: W ure zajduje s; 5 ba4ych, 4 czare 3 zeloe kule. Losujemy bez zwracaa trzy kule. Jake jest prawdopodobe,stwo wylosowaa kul: A ba4ej, B czarej oraz C kul zeloej? Prawdopodobestwo sumy zdarze: ( ) ( ) ( ) ( ) P AB C = P A P B A P C A B = = + + =. 0 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B). Je7el dwa zdarzea A B s9 roz49cze (wykluczajce s+), wtedy: P( A B) = P( A) + P( B)..4. Prawdopodobestwo ca:kowte, wzór Bayesa Za4ó7my, 7e teresuj9ce as zdarzee A mo7e zaj:k, je:l zajdze jedo z wykluczaj9cych s; zdarze,: B, B,, B, tworz9cych uk4ad zdarze, wy*czajcych s+, a ch suma prawdopodobe,stw wyos czyl jest zdarzeem pewym (jakekolwek B zawsze zajdze), wtedy prawdopodobestwo ca*kowte zaj:ca zdarzea A :. = ( ) = ( ) ( ) P A P B P A B Za4ó7my dalej, 7e przeprowadzoo do:wadczee, w wyku którego zasz4o zdarzee A, które mo7e zaj:k tylko wówczas, gdy zajdze jedo ze zdarze, B dla =,,,. Poewa7 e wemy, które z tych zdarze, B zajdze, w;c zdarzea te azywamy hpotezam, prawdopodobe,stwam a pror, atomast ch prawdopodobe,stwa realzacj P( B ) P( B A ) prawdopodobe,stwam hpotezy a posteror, które to prawdopodobe,stwa wyzaczymy korzystaj9c z formu4y Bayesa: ( A) P B ( ) P( A B) P( A) P B =,. = gdze oczyw:ce P( A) = P( B ) P( A B ) Przyk*ad: Nasoa w sklepe pochodz9 od trzech producetów odpowedo: 0%, 50% 40%. Na podstawe obserwacj stwerdzoo, 7e eke4kuj9ce asoa od perwszego staow9 %, od drugego 0%, za: od trzecego 4%. Wysae asoko e wyke4kowa4o od którego produceta ajprawdopodobej oo pochodz? PrzeprowadSmy cykl oblcze, dla uzyskaa odpowedz. Prawdopodobe,stwo (ca*kowte) tego, 7e wysae asoko e wyke4kuje jest rówe: P( A ) = 0, 0,0 + 0,5 0,+ 0,4 0,04 = 0,068,

13 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 3 atomast szase realzacj poszczególych trzech hpotez a posteror wyosz9 odpowedo: 0, 0,0 ( H) : P( B A) = = 0,094, 0,068 0,50, : = = 0,7353, 0,068 ( H ) P( B A) 0, 4 0,04 : = = 0,353. 0,068 ( H ) P( B A) 3 3 Netrudo zauwa7yk, 7e szase te s9 zró7cowae. Ró7ce te wykaj9 oczyw:ce ze zró7cowaa poszczególych udza4ów oraz zdolo:c ke4kowaa aso pochodz9cych od poszczególych producetów.

14 4 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH. ZMIENNE LOSOWE I ICH ROZKADY TEORETYCZNE Przez zme losow mo7a tucyje rozumek zme9, która w wyku do%wadczea losowego mo7e przyj9k warto:k z pewego zboru lczb rzeczywstych z okre:loym prawdopodobe,stwem. Na przyk4ad: ) lczba przedmotów wyprodukowaych a daym staowsku w c9gu jedej zmay, ) wyk pomarów, 3) lo:k eerg zu7ywaej dzee w meszkau, 4) warto:k cech jedostek statystyczych wylosowaych z populacj geeralej (próba). Przestrze, zdarze, elemetarych E mo7e byk zatem zborem o ró7ych elemetach (p. orze4 reszka, :cak kostk sze:ceej, ploy kokretej ro:ly uprawej, tp.) ka7dy tak zbór E mo7a odwzorowak a podzbór lczb rzeczywstych R (p. odpowedo: {0, }, {,, 3, 4, 5, 6}, {ploy od 0 do 50 dt/ha}). Przyk*ad: Rzucamy trzema moetam (orze4, reszka 0). Ka7demu zdarzeu elemetaremu {(OOO), (OOR), (ORO), (ROO), (RRO), (ROR), (ORR), (RRR)} przyporz9dkowujemy sum; lczb, wskazuj9c9 a lczb; wyrzucoych or4ów. Maowce odpowedo: {3,,,,,,, 0}. W przypadku rzutu kostk9 do gry, mamy zborow sze:cu :caek kostk przyporz9dkoway zbór warto:c: {,, 3, 4, 5, 6} lczba oczek. Mo7a powedzek, 7e zme losow X azywamy ka7d9 fukcj; merzal9 okre:lo9 a przestrze zdarze, elemetarych E przyberaj9c9 warto:k ze zboru lczb rzeczywstych (odwzorowae X : E R). Zmee losowe ozaczamy zazwyczaj du7ym lteram: XYZ,,,, atomast warto:c przyberae przez te zmee (tzw. realzacje zmeych), ma4ym: xyz,,, Wzajeme przyporz9dkowae warto:c zmeych losowych zdarze, jest jedozacze. Ozacza to, 7e ka7de zdarzee mo7e byk scharakteryzowae tylko jed9 z mo7lwych warto:c zmeej losowej. Lczby rzeczywste x! R b;d9ce realzacjam zmeej losowej X, mog9 tworzyk skoczoy lub eskoczoy podzbór zboru lczb rzeczywstych. a) Zme losow, której zbór ró7ych warto:c jest przelczaly albo sko,czoy, azywamy zme9 losow skokow lub dyskret. Takm zmeym losowym s9 p. lczba dzec w rodze, lczba aso w k4ose czy lczba jaj zesoych przez kur; w okrese roku. b) Zme losow, której zbór mo7lwych realzacj jest esko,czoy eprzelczaly azywamy zmea losow cg*. Takm zmeym typu c9g4ego jest p. wzrost, waga, wek poszczególych osób czy plo z hektara kokretej odmay zbo7a... Zmee losowe typu skokowego Z defcj zmeej losowej wyka, 7e dowole zbory jej warto:c s9 zdarzeam losowym, którym odpowadaj9 okre:loe prawdopodobe,stwa. Fukcj; przyporz9dkowuj9c9 realzacjom zmeej losowej X odpowadaj9ce m prawdopodobe,stwa azywamy fukcj rozk*adu prawdopodobestwa tej zmeej lub krócej: rozkadem prawdopodobe5stwa. Zapsujemy to ast;puj9co: P( x= x) = p, gdze p = oraz p 0, =,,3, =

15 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 5 Lczby x azywamy puktam skokowym zmeej losowej X, a prawdopodobe,stwa p skokam tej zmeej. Rozk4ad takej zmeej mo7a defowak za pomoc9 wzoru, tabel lub wykresu. Na przyk4ad zmea losowa ozaczaj9ca lczb; or4ów uzyskaych w trzech rzutach moet9: warto:c ( x ) zmeej X 0 3 prawdopodobe,stwa ( p ) Rozk4ad te mo7a przedstawk grafcze: p x Rozk4ad prawdopodobe,stwa wyra7oy aaltycze (za pomoc9 wzoru), podaj9cy prawdopodobe,stwa tego, 7e orze4 pojaw s; po raz perwszy w k-tym rzuce moet9 (,, E = O,RO, RRO, RRRO, jest ast;puj9cy: k = ), tz. { } P X = =, ( k) gdze oczyw:ce = =, jako suma wyrazów post;pu geometryczego k k = esko,czoego o loraze rówym perwszym wyraze rówym. Wa7ym poj;cem zw9zaym ze zme losow jej rozk*adem jest poj;ce fukcj dystrybuaty. Dystrybuat zmeej losowej X azywamy fukcj; F( x) zmeej rzeczywstej x, okre:lo9 wzorem: k F( x) = P( X x) dla ka7dego x! R. Dla zmeej losowej skokowej dystrybuata okre:loa jest wzorem: ( ) ( ) x F x = P X x = p dla = 0,,, x

16 6 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Dystrybuata zmeej losowej ozaczaj9cej lczb; or4ów w trzech rzutach moet9 jest postac: F( x) x F( x) = # 0 dla x < 0 % % dla 0 x < 8 % 4 $ dla x < % 8 % 7 dla x < 3 % 8 &% dla x 3 Zaj9c rozk4ad, zawsze mo7a zalesk dystrybuat;, odwrote. Dystrybuata zmeej losowej ma ast;puj9ce w4aso:c:. Jest emalej9ca, tz. dla x < x zawsze F( x) F( x) oraz prawostroe c9g4a.. Jest ograczoa: 0 F( x), przy czym F ( ' ) = 0 F ( +' ) =. 3. Jest przedza4am sta4a oraz mo7e mek sko,czo9 lub przelczal9 lczb; puktów P a< X b = F b F a. ec9g4o:c (skoków), przy czym mamy: ( ) ( ) ( ) Najw;ksze praktycze zaczee maj9 parametry zmeej losowej charakteryzuj9ce jej po4o7ee rozrzut warto:c. S9 to odpowedo: warto%- %reda (oczekwaa, przec+ta) oraz waracja odchylee stadardowe. Warto%c oczekwa zmeej losowej X typu skokowego azywamy lczb; okre:lo9 wzorem: ( ) =. E X = x p W4aso:c warto:c oczekwaej: ) warto:k oczekwaa sta4ej jest rówa tej sta4ej, tz. E( C) = C, ) warto:k oczekwaa sumy zmeych losowych jest rówa: E( X + Y) = E( X) + E( Y) sume warto:c oczekwaych, co mo7a uogólk a wele zmeych. 3) warto:k oczekwaa loczyu dwóch zmeych jest rówa: E( X Y) = E( X) E( Y) loczyow warto:c oczekwaych. Oczyw:ce, sta4y E C X = C E X. mo7k mo7a wyosk przed warto:k :red9, tz. ( ) ( )

17 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 7 Waracj zmeej losowej X typu skokowego azywamy lczb;: = * + * + ( ) ( ) ( ) D X = ( x E X ) p = E( X E X ) = ( ) E( X) = E X ( * + ) Waracja jest w;c warto%c oczekwa kwadratu odchyle, warto:c zmeej od jej warto:c oczekwaej. Ma oa ast;puj9ce w4aso:c: ) waracja sta4ej jest rówa zeru, tz. D ( C ) = 0, ) waracja loczyu sta4ej zmeej losowej jest rówa: D ( C X) = C D ( X), 3) waracja sumy (ró7cy) dwóch zmeych ezale7ych jest rówa sume ch waracj, tz. D X ± Y = D X + D Y. ( ) ( ) ( ) Perwastek kwadratowy z waracj os azw; odchylea stadardowego, czyl: ( ) ( ) D X = D X..... Przyk:adowe rozk:ady zm. losowych typu skokowego Warto:com zmeych losowych mo7a a esko,czee wele sposobów ' przyporz9dkowywak prawdopodobe,stwa spe4aj9ce waruk: p = = (lub p = = ) oraz p 0. Ozacza to, 7e steje wele rozk4adów zmeych losowych skokowych, jedak7e ektóre z ch pojawaj9 s; cz;sto w praktyczych zastosowaach. Do ch ale79 rozk4ady:. Dwupuktowy powsta4y w wyku podza4u zboru zdarze, elemetarych a dwe cz;:c: zdarzee A (sukces) zdarzee przecwe A (epowodzee), a ast;pe przyporz9dkowae tym zdarzeom lczb rzeczywstych: A x, A x. Najcz;:cej rozwa7amy zme9 losow9 gdy: x = 0, x = (rozk4ad zerojedykowy). Przyjmuj9c ozaczea: p = q p = q= p. Zatem fukcja x x rozk4adu jest postac: P( X = x) = p q dla x = 0 lub x = warto:k oczekwaa p D X = pq. wyos E( X) =, a waracja ( ). Dwumaowy (Beroullego) wyra7a lczb; sukcesów w ser ezale7ych do:wadcze,. Jest w;c w gruce rzeczy sum9 ezale7ych zmeych losowych zerojedykowych. Fukcja rozk4adu prawdopodobe,stwa jest tutaj postac: k k P( X = k; ; p) = p q k, dla k! { 0,,,, }, = p, D ( X) = pq D( X) = pq. Na przyk4ad wyrzucee dwu or4ów w rzuce trzema moetam jest rówe: 3 3 P( X = ;3;0,5) = 0,5 0,5 = 30,5 0,5 = 0,375. czyl: E( X) Parametry rozk4adu zmeej obrazuj9cej rzut trzema moetam: E( X ) =,5 ; D ( X ) = 0,75 ; D( X ) = 0,75.

18 8 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 3. Possoa (rozk*ad rzadkch zdarze) jest graczym rozk4adem ezale7ych ser do:wadcze,, w których wraz ze wzrostem maleje do zera prawdopodobe,stwo p pojedyczego sukcesu, w te sposób, 7e p -, gdze - ustaloa lczba dodata. Fukcja rozk4adu jest postac: k - - P- ( k) = e, k! st9d te7 mamy, 7e: E( X) = -, D ( X) = -, ( ) D X = -. Przyk*ad: W jedej z uczel wylosowao 90 studetów oraz dokoao rejestracj ch eobeco:c a obow9zkowych zaj;cach w wybraym semestrze. Otrzymao wyk: lczba d eobeco:c lczba studetów Zak4adaj9c, 7e rozk4ad lczby eobeco:c a zaj;cach jest rozk4adem Possoa, wyzaczyk prawdopodobe,stwo, 7e studet b;dze eobecy mej 7 dwa razy oraz trzykrote. Mamy tutaj: = E( X) = =, Mo7a w;c wyzaczyk poszczególe prawdopodobe,stwa:,, P( X = 3) = e = 0,89, 3! P X < = P X = + P X = = ( ) ( ) ( ) 0,, 3,, = e + e = 0,5 + 0,575 = 0,38. 0!!.. Zmee losowe typu Dla zmeej losowej cg*ej emo7lwe jest przypsae jej warto:com dodatch prawdopodobe,stw sumuj9cych s; do jedo:c. Mo7lwe jest jedak przyporz9dkowae takch prawdopodobe,stw przedza4om, p. P( x< X < x+. x), gdze. x jest d4ugo:c9 pewego krótkego przedza4u o pocz9tku w pukce x. Je7el przy. x 0 steje graca f x postac: ( ) lm. x 0 ( ) P x< X < x+. x = f. x to grac; t; azywamy fukcj g+sto%c prawdopodobestwa zmeej losowej X, lub krótko: g+sto%c prawdopodobestwa. Prawdopodobe,stwo tego, 7e zmea losowa c9g4a przyjmuje warto:k z przedza4u lczbowego [a, b] jest ca4k9 z fukcj g;sto:c prawdopodobe,stwa, tz. ( x) b P( a X b) = P( a< X < b) =/ f ( x) dx, a gdy7 P( a X a) = P( b X b) =.,

19 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 9 Tak w;c ka7da fukcja spe4aj9ca waruk a przedzale [ ab, ] :. f ( x) 0, b. / f ( x) dx= lub f ( x) dx= a +' /, mo7e byk fukcj g+sto%c prawdopodobestwa. ' Dystrybuata zmeej losowej c9g4ej X azywamy fukcj; postac: x df ( x) F( x) = P( X x) = / f ( u) du, st9d fukcja g;sto:c jest rówa: f ( x) = F( x) = o le dx F( x) ' jest fukcj9 ró7czkowal9.... Przyk:adowe rozk:ady zmeych losowych typu Rozk*ad rówomery zmea losowa X ma rozk*ad rówomery, je:l jej fukcja g;sto:c jest daa wzorem: f ( x) b a a a+ b b x # % dla x! ( ) [ a, b], f x = $ b a %& 0 dla x3[ a, b] Powy7szy wykres przedstawa fukcj; rozk4adu rówomerego (prostok9tego). PostaK fukcj dystrybuaty powy7szej zmeej losowej jest ast;puj9ca: x x u ) x a a F( x) = f ( u) du = du = = = x ba ba4 + ba ba ba / /. ' a Jest to w;c fukcja lowa a przedzale [ ab, ] dla pozosta4ych x jest fukcj9 sta49: dla x< a mamy ( ) 0 f ( x ) =. Tak w;c dystrybuata tej zmeej losowej jest postac: # 0 dla x a % x a F x $ dla x a b % b a %& dla x b ( ) =![, ] x a o rówau jak wy7ej, atomast f x =, za: dla x b mamy

20 0 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Wykres fukcj dystrybuaty dla a = b = 4 przedstawa po7szy rysuek Zmea ta przyjmuje w;c warto:c z przedza4u [a, b] z jedakowym szasam. Jej parametry s9 rówe: b b b x x ) b a a+ b E ( X ) = x f ( x) dx = dx = 4 = = ba ( ba) 4+ ( ba) / /, a a a b b ( a+ b) ( ) ( ) ( ) ( b a) / /, D X = (* x E X ) + f x dx= 5 x dx= 4 * + b a a a ( ) b a b a D( X) = D ( X) = =. 3. Rozk*ad ormaly (Gaussa Laplace'a) jest podstawowym rozk4adem zmeej ( xm) losowej c9g4ej o fukcj g;sto:c daej wzorem: f ( x) = e, gdze: 6 m E X = D X. = ( ), ( ) Fakt te ajcz;:cej zapsujemy: ~ (, ) X N m. Krzywa ormala jest krzyw9 symetrycz9 wzgl;dem prostej x= m, posada maksmum w pukce x= m, które jest rówe. Pukt te jest e tylko warto:c9 oczekwa9, ale tak7e 6 meda9 modal9 (domat9) rozk4adu. Krzywa ta ma dwa pukty przeg;ca w puktach: x= m oraz x= m+. Dystrybuata rozk4adu jest okre:loa x ( tm) wzorem: F( x) = exp dt 6 ' / dla x! R.

21 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Lewe prawe ram; krzywej zbl7aj9 s; asymptotycze do os odc;tych (x), przy czym poza przedza4em trzysgmowym rz;de ewele ró79 s; od zera. Mamy odpowedo: ( ) 0,687 P m X m+ =, ( ) P m X m+ = 0,9545, ( ) P m3 X m+ 3 = 0,9973 Ostata relacja okre:la tzw. prawo trzech sgm prawe wszystke elemety populacj meszcz9 s; w przedzale trzysgmowym.... Stadaryzacja rozk:adu ormalego Dla uk;ca 7mudych rachuków przy wylczau warto:c g;sto:c dystrybuaty X m zmeej losowej X ~ N( m, ) stosuje s; przekszta4cee zwae stadaryzacj: Z =. W te sposób fukcja g;sto:c rozk4adu ormalego stadaryzowaego Z ~ N ( 0;), jest postac: g( z) z = e. 6 Wykres g;sto:c rozk4adu ormalego stadaryzowaego

22 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Warto:c fukcj g;sto:c dystrybuaty rozk4adu Z ~ N ( 0;) s9 tablcowae. Natomast dla oblczaa dowolego prawdopodobe,stwa mo7a wykorzystywak rówo:k: am X m bm am bm P( a X b) = P = P Z. Przyk*ad: OblczyK prawdopodobestwo, 7e wzrost przypadkowego m;7czyzy b;dze zawarty X ~ N 7;36. m;dzy 90 a 00 cm, skoro wadomo, 7e populacja m;7czyz ma rozk4ad ( ) P( 90 X 00) = P Z = 6 6 = P 3 4,67 = 0,003 ( Z ) Rozk4ad ~ ( ; ) X N m, f. g. p.: ( ) stadaryzoway Z ~ N ( 0;), f. g. p.: g( z) ( xm) f x e = 6 z = e. 6 X m Z = rozk*ad 0,60 Fukcja gstoc prawdopodobestwa y=ormal(x;0;) 0,45 0,30 0,5 0,00-3,50 -,75 0,00,75 3,50 Fukcja dystrybuaty ( ) P{ X,75} = 0,95994 z t F z = e dt 6 / ',0 Dystrybuata p=ormal(x;0;) 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-3,50 -,75 0,00,75 3,50 ( ) P( X ) F,75 =,75 = 0,95994

23 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 3 Dystrybuata rozk4adu N(0; ) ( ) z t F z = e dt 6 / ' z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , ,597 0,5595 0,5994 0,539 0,5790 0,5388 0, , 0, , , ,557 0, ,5596 0, , ,574 0, , 0,5796 0,5837 0, , , ,5987 0,6057 0,6064 0,606 0,6409 0,3 0,679 0,67 0,655 0,6930 0, , , ,6443 0, ,6573 0,4 0,6554 0,6590 0,6676 0, , , ,6774 0,6808 0, , ,5 0,6946 0, , ,7094 0, , ,76 0,7566 0,7904 0,740 0,6 0,7575 0,7907 0,7337 0, ,7389 0,745 0, , ,7575 0, ,7 0, ,765 0,7644 0, , , , , ,7830 0,7854 0,8 0,7884 0,7903 0, , , ,8034 0,805 0, ,8057 0,837 0,9 0,8594 0,8859 0,8 0,838 0,8639 0,8894 0,8347 0, , ,8389,0 0,8434 0, ,8464 0, , ,8534 0, , , ,864, 0, , , , ,8786 0, , , ,8800 0,8898,9 0,978 0,9793 0,9757 0,9730 0,9738 0,9744 0, , ,9765 0,97670,0 0,9775 0, ,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0, , ,984 0,9869, 0,984 0,9857 0, ,9834 0,9838 0,984 0,9846 0, , ,98574, 0,9860 0, , ,9873 0, , , , , ,98899,9 0,9983 0,9989 0,9985 0,9983 0, ,9984 0, ,9985 0, ,9986 3,0 0, , , , ,9988 0, , , , , , 0, , ,9990 0,9993 0,9996 0,9998 0,999 0,9994 0,9996 0,9999 3, 0,9993 0, , , , ,9994 0, , , , ,3 0,9995 0, , , , , ,9996 0,9996 0, , ,4 0, , , , ,9997 0,9997 0, , , , ,5 0, , , , , ,9998 0,9998 0,9998 0, , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , ,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,99997 Je7el z jest lczb9 ujem9, to F( z) = F( z) F( z) = P( Z z)

24 4 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Dystrybuata rozk4adu N(0; ) ( ) z 7 t z = e dt 6 / z z 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0, 0,0 0, ,0596 0,0393 0,039 0, , ,0558 0, ,077 0, , 0, ,0955 0,0343 0,34 0,94 0,7 0,3499 0,485 0,5069 0,585 0, 0,6633 0,743 0,89 0,8967 0,974 0,054 0,84 0,05 0,88 0,358 0,3 0,4344 0,503 0,5860 0,664 0,7366 0,85 0,886 0,9605 0, ,3084 0,4 0,389 0,355 0,3380 0, ,3479 0, ,3664 0, , ,389 0,5 0, , , ,4080 0,4768 0,445 0,433 0, ,4448 0,4549 0,6 0,4584 0, ,473 0, ,4843 0, ,4974 0, ,5098 0,5607 0,7 0,530 0,5848 0,5346 0, , ,5575 0, ,5646 0, ,5769 0,8 0,5806 0, , , , ,60 0,6570 0,64 0,6653 0,6388 0,9 0,6378 0,6443 0, ,6578 0, ,6694 0, ,679 0, ,6869,0 0, ,697 0, ,7066 0,7068 0,7086 0,7538 0,7986 0,749 0,7867, 0, ,7379 0,745 0,7457 0, , , ,7600 0, ,76986,9 0, ,9454 0, ,9476 0,9488 0, ,956 0,9530 0,9534 0,95450,0 0, ,9566 0, , , , ,9655 0,9647 0, ,9647, 0,9654 0, , , , ,9693 0, , ,9748 0,979, 0,9789 0, ,9745 0,9749 0, ,9768 0, , , ,97855,9 0, , ,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0, ,0 0, , , , ,9977 0, , , , , , 0,9983 0,9989 0,9985 0,9983 0, ,9984 0, , , , , 0, ,9987 0, , , , ,9989 0, , , ,3 0, ,9990 0,9993 0,9996 0,9999 0,999 0,9995 0,9998 0, , ,4 0, , , ,9994 0, , , , ,9995 0, ,5 0, , , , ,9996 0, , , , , ,6 0, ,9997 0,9997 0, , , , , , , ,7 0, , ,9998 0,9998 0,9998 0, , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0, , , , , ( z) = P( zz z) ( z) F( z) ( F( z) ) F( z) 7 = =

25 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Rozk:ad empryczy a rozkad ormaly Wele zjawsk w aszym otoczeu zachowuje s; ormale. 80 Plo pszecy ozmej ,5 7,5 7,5 37,5 47,5 57,5 67,5 77,5 87,5,5,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 Std. Dev =,78 Mea = 38,7 N = 574,00 Plo_z_pola_dt/ha 30 Rozk7ad empryczy ploów buraka cukrowego a rozk7ad ormaly ,0 75,0 5,0 75,0 35,0 375,0 45,0 475,0 55,0 575,0 65,0 Std. Dev = 03,90 Mea = 393,7 N = 9,00 Ploy buraka cukrowego z ha Wykresy s4upkowe (hstogram) przedstawaj9 rozk*ad empryczy (warto:c obserwowae) badaej cechy (plo) a tle rozk4adu teoretyczego ( tutaj ormalego).

26 6 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 3. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAOWA PARAMETRÓW POPULACJI JEDNOWYMIAROWYCH, HIPOTEZY STATYSTYCZNE Statystyka matematycza zajmuje s; zasadam metodam uogólaa wyków otrzymaych z próby losowej a ca49 populacj+ (zborowo:k z której zosta4a pobraa). To post;powae os azw; woskowaa statystyczego (dukcyjego) dla którego wyró7a s; dwa dza4y:. estymacj+, czyl szacowae warto:c parametrów lub postac rozk4adu zmeej losowej w populacj a podstawe rozk4adu empryczego dla próby,. weryfkacj+ (testowae) hpotez statystyczych, czyl sprawdzae okre:loych przypuszcze, (za4o7e,) wysu;tych w stosuku do parametrów lub rozk4adu populacj geeralej a podstawe próby. 3.. Statystycza próba losowa Woskowae o populacj geeralej jest zasade, gdy próba jest reprezetatywa, tz. gdy jej struktura ze wzgl;du a teresuj9ce as cechy statystycze jest zbl7oa do struktury populacj. A jest reprezetacyja, gdy:. elemety populacj s9 poberae do próby w sposób losowy,. próba jest dostatecze lcza. Wyró7amy ró7e schematy losowaa elemetów populacj:. losowae zale,e (bez zwracaa elemetów populacj) ezale,e (ze zwracaem tych7e elemetów),. losowae dywduale (losuje s; pojedycze elemety) zespo*owe (losowae grupy elemetów), 3. losowae jedostopowe (losuje s; od razu elemet populacj) welostopowe (podza4 populacj a grupy które dzelmy a podgrupy kolejego stopa losujemy kolejo grupy podgrupy, by w ostatej losowak pojedycze elemety), 4. losowae ograczoe (warstwowe z cz;:c populacj) eograczoe (z ca4ej populacj). Losowae dywduale, eograczoe ezale,e azywamy losowaem prostym, a otrzyma9 prób; okre:lamy maem próby losowej prostej. We wszystkch dalszych rozwa7aach u7ywaj9c s4owa: próba lub próba losowa b;dzemy mek a my:l prób+ losow prost Parametry próby Prób; -elemetow9 mo7a scharakteryzowak pewym jej parametram, zwaym statystykam. Statystyk z próby azywamy zme9 losow9 b;d9c9 fukcj9 obserwowaych w próbe zmeych losowych. Je:l ozaczymy statystyk; przez 8, a obserwowae zmee losowe przez X, X,, X, to mo7emy zapsak jako fukcj; postac: 8 = f ( X, X,, X ). Nech x, x,, x wed4ug wzoru: ozacza c9g pomarów, to warto%- %red tych pomarów lczymy x = x =.

27 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 7 Zauwa7amy dla tak oblczaych warto:c x w4aso:k pewej regularo:c statystyczej, tz. o le poszczególe pomary x mog9 wykazywak brak jakejkolwek regularo:c wzgl;dem sebe, to ch warto%c %rede dla du7ych wykazuj9 uderzaj9c9 regularo:k. Dok4ado:K tej ocey wyra7amy przez odchylee stadardowe, które okre:lae jest jako: ( x ) x =. sx = Dla du7ych warto:c sx wykazuj9 regularo:k. Mo7a stwerdzk, 7e gdy lczba do:wadcze, ro:e, to zarówo warto%- x jak s x d979 asymptotycze do sta4ych welko:c, które s9 ezale7e od. (MNK) Ka7dy pomar x, mo7emy zapsak x = m+, dla =,,,, co mo7a traktowak jako uk4ad rówa, z (+) ewadomym. Gauss a prze4ome XVIII XIX weku zapropoowa4 procedur; estymacj zaej jako metoda ajmejszych kwadratów (MNK), polegaj9c9 a poszukwau takego rozw9zaa ejszego uk4adu rówa, aby suma kwadratów odchyle, by4a jak ajmejsza. ZapsaK te waruek mo7emy ast;puj9co: = ( x m) = m!, = = co ozacza, 7e steje warto:k ˆm spe4aj9ca erówo:k postac: x m ˆ x m ( ) ( ), dla ka7dej ej warto:c m. = = Waruek te praktycze sprowadza s; do + rówaa postac ( x m) W te sposób uzyskujemy rozw9zaa aszego uk4adu rówa, x = m+ : a :red b49d pomarów w próbe: mˆ = x = x, ˆ = x mˆ, dla =,...,, = x x = Sx( p) =. Tak uzyskwae ˆ posadaj9 w4aso:k ( ) ˆ = ( x x ) = x x = 0. = = = = 0. Fakt te mo7a potraktowak jako gr+ z przyrod o sume zerowej, tz. wygrae (p. ˆ > 0 ) przegrae ( ˆ < 0 ) blasuj9 s;. Podstawowe statystyk z próby mo7emy w;c zapsak: %reda: x = x =, =

28 8 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH waracja: odchylee stadardowe: varx Sp = x x = =, ( ), gdze var x= ( x ) x = oraz wspó*czyk zmeo%c: p p = ( ), S = S = x x S p CV = 00%. x Dla kokretych prób okre:loe statystyk przyjmuj9 a ogó4 ró7e warto:c. Np. z pewej populacj pobrao prób; (35, 37, 40, 38, 40), wtedy x = = 38, :reda a 5 podstawe ej próby z tej samej populacj, p. (37, 38, 45, 4, 43), wyos x = 4. Jest to oczywste, gdy7 ka7da statystyka jako fukcja zmeych losowych jest zme9 losow9, tz. posada pewe rozk4ad. W zastosowaach praktyczych statystyk ajcz;:cej wykorzystywae s9 rozk4ady %redej arytmetyczej, waracj odchylea stadardowego. Np. dla cechy X populacj ormalej o warto:c :redej m oraz waracj N m;, mamy: ( ) E X E X E X m m = = ( ) = = ( ) = =, D X D tym samym mamy, 7e = = ( ) = = ( ) = =, ( ) D X =. 3.. PojAce estymatora (estymacja puktowa) Estymator jest to welko:k wyzaczoa a podstawe próby losowej (a w;c statystyka) s4u79ca do ocey warto:c ezaych parametrów populacj. Nale7y zauwa7yk, 7e e ka,da statystyka oblczoa z elemetów próby mo7e byk estymatorem okre:loego parametru populacj. Istej9 lepsze lub gorsze estymatory z uwag a pope4ae b4;du szacowaa parametru populacj. Dlatego w celu uzyskaa dobrego szacowaa parametrów populacj a podstawe próby wprowadza s; pewe w4aso:c jake mus spe4ak dobry estymator. S9 to m..: eobc,oo%-, zgodo%-, efektywo%- dostateczo%-. ˆ 8 estymator parametru 8 jest estymatorem eobc,oym je7el posada w4aso:k postac: E ( ˆ 8) = 8, ˆ 8 estymator parametru 8 jest estymatorem zgodym je7el posada w4aso:k postac: dla ka7dego, dowole ma4ego 0 lm P ˆ 8 8 =, >, zachodz { } '

29 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 9 ˆ 8 estymator parametru 8 jest estymatorem efektywym je7el zdefujemy efektywo:k ocey 8 wzgl;dem 8 parametru 8 wzorem postac: ( ˆ E 8 8 ) D ˆ 8 ef =, a dla estymatorów eobc97oych: ef =, E ( ˆ 8 8) D ˆ 8 to estymator 8 jest efektywejszy od estymatora 8 je:l ef <. W te sposób estymator o ajmejszej warto:c ef wzgl;dem pewego 8 0, w daej klase estymatorów jest ajefektywejszym. Praktycze jest ses mówk o estymatorach ajefektywejszych w klase estymatorów eobc97oych. Warto:c estymatora ajefektywejszego wykazuj9 s; ajmejszym rozrzutem wokó4 prawdzwej warto:c parametru. Zatem ocea parametru 8, uzyskaa za pomoc9 estymatora ajefektywejszego, ma ajmejszy b49d stadardowy (aczej, jest obarczoa ajmejszym b4;dem). ˆ 8 estymator parametru 8 jest estymatorem dostateczym je7el zawera wszystke formacje o parametrze 8 stej9ce w próbe. Na przyk4ad estymator :redej populacj m day wzorem postac: x = x =, jest eobc,oy zgody, ale e jest dostateczy, jak rówe7 jest eefektywy Natomast %reda arytmetycza = za: S = ( x x) p x = eobc97oym waracj populacj jest welko:k: x = spe4a wszystke te wymeoe waruk, jest estymatorem obc,oym prawdzwej waracj. Estymatorem var x s S x x ( ) = p = = = Do woskowaa statystyczego w populacjach ormalych cz;sto wykorzystujemy stadaryzacj; zmeej losowej X postac: X m X m Z = = Je7el odchylee stadardowe populacj e jest zae to e mo7a pos4ugwak s; w przypadku ma4ych prób rozk4adem ormalym. Dokoujemy wtedy przekszta4cea zwaego studetyzacj X m X m t = =, s s gdze s= s = ( x ) x. = Statystyka t tak okre:loa jest ezale7a od ma rozk4ad t Studeta o stopach swobody (lczba mo7lwych zw9zków z zmeym próby jede to zw9zek :redej arytmetyczej). Przy ' rozk4ad te jest zbe7y do rozk4adu ormalego N( m= 0; = ). Ie rozk4ady warto:c empryczych: rozk*ad Pearsoa oraz rozk*ad F Fshera s9 rozk4adam warto:c z których b;dzemy praktycze korzystak. Warto:c tych rozk4adów do celów praktyczych s9 dost;pe w postac odpowedch tablc.

30 30 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Podsumujmy w;c: %reda: x = x, waracja: odchylee stadardowe: varx = = = ( ), gdze var x= ( x ) x s x x =, = oraz wspó*czyk zmeo%c: ( ), s= s = x x = s CV = 00%. x 3.3. Estymacja przedza:owa Estymacja przedza4owa polega a kostruowau przedza4u lczbowego, który z okre:loym z góry (blskm jedo:c) prawdopodobe,stwem b;dze zawera4 eza9 warto:k szacowaego parametru. Przedza4 te os azw; przedza*u ufo%c, jest postac: { g } P g 8 =. Twórc9 metody estymacj przedza*owej by4 statystyk polskego pochodzea Jerzy Sp*awa- Neyma (894 98). W tym uj;cu parametr 8 jest welko:c9 sta49 (elosow9), za: ko,ce przedza4u: dola g góra g, s9 zmeym losowym zale7ym od prawdopodobe,stwa ( ), azywaego pozomem ufo%c, atomast pozomem przedza* ufo%c obejmuje szacoway parametr 8. Nale7y pam;tak, 7e to e szacoway parametr trafa do przedza*u ufo%c gdy7 parametr te jest welko:c9 sta49, w;c jego warto:k e mo7e trafk do przedza4u ufo:c! stoto%c. Poprawym jest w;c stwerdzee, 7e z prawdopodobestwem ( ) Przedza: ufobc dla wartobc Bredej Przedza4 ufo:c dla :redej populacj m mo7emy apsak w postac: { } P t t t =,,, x m x m gdze t = =, st9d te7 otrzymujemy, 7e: s s # s s 9 P$ x t m x + t : = & ;,, gdze welko:k s s x = azywamy b*+dem %redej, t, jest warto:c9 rozk4adu t Studeta dla pozomu stoto%c oraz lczby swobody rówej.,

31 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 3 Przyk*ad: Czas potrzeby a wykoae pewego urz9dzea ma rozk4ad ormaly. W celu oszacowaa :redego czasu pracy potrzebego a t; czyo:k, zmerzoo czasy wykoaa dla pracowków wylosowaych losowo otrzymao wyk w godzach: 4,00; 3,35; 3,8;,89; 3,60; 3,05; 3,7; 3,30; 3,4;,96; 3,56;,97;,78;,39; 3,6; 3,04;,54;,59; 3,6; 3,8;,76. ZbudowaK przedza4 ufo:c dla :redej czasu wykoaa, przyjmuj9c pozom ufo:c ( ) = 0,95. (odp.,96 m 3,34) x 66,5 = =, x,8639 = =, m =,39, max = 4,00, x = 3,5, M e = 3,6, 3,494 0,478 var x = 3,494, s = = 0,7457, s = 0,478, V = = 0,36 = 3,6%, 0 3,5 s 0,478 s x = = = 0, 097, t = 0,05;0 =,086, 4,5858 ( 3,5,086 0,097; 3,5 +,086 0,097) = (,96; 3,34). Na pozome ufo:c 0,95 mo7emy stwerdzk, 7e :red czas wykoaa tego urz9dzea przez wszystkch pracowków jest e mejszy 7,96 e w;kszy 7 3,34 godzy Przedza: ufobc dla róccy Bredch {( ) v r ( ) v r} P x x t s m m x x + t s =,,, gdze:, lczebo:k próby z perwszej drugej populacj, m, m warto:c :rede populacj o jedakowych waracjach, tz. =, gdze: s s r = se + b*d ró,cy %redch, przy czym mamy, 7e: ( ) + ( ) s s var x+ var x e = = ( ) + ( ) + waracja wspóla, (dlatego te7 powa zachodzk rówo:k waracj w rozpatrywaych populacjach), t,v warto:k statystyk t Studeta, za: v= + lczba stop swobody wspólej waracj. Przyk*ad: Badao próby sera dojrzewaj9cego w pewej wytwór latem (populacja A) zm9 (populacja B). Wytwóra deklaruje jedakow9 zawarto:k t4uszczu w daym gatuku sera tak w produkcj w lato jak w produkcj zm9. Z prób 0 elemetowych uzyskao odpowedo: x = 54,6, A s = 3,3, x = 56,8, A B s = 3,7. Czy deklaracj; produceta mo7a uzak za zasad9, przy prawdopodobe,stwe ( ) = 0,95? 9 3, ,7 3,3 + 3,7 = = = 8,0, s e B

32 3 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH s r = 8, + = 8, 0, =,35, 0 0 t = 0,05;38 s r =,03,35 =,73, ( 54,6 56,8,73; 54,6 56,8 +,73) = ( 4,65; 0,8). Ró7ca m;dzy :redm zawarto:cam t4uszczu latem zm9 jest e mejsza 7 ( 4,65%) ale e w;ksza 7 0,8%. Dopuszczamy w;c tak7e mo7lwo:k zera dla tej ró7cy, st9d te7 dopuszczamy rówo:k tych :redch zawarto:c t4uszczu z prawdopodobe,stwem ufo:c ( ) = 0,95 = 0,05. Zauwa7my, 7e je7el zachodz relacja postac: A B ; v r ( ) x x > t s = NIR, to dopuszczamy zró7cowae faktyczych :redch w populacjach Przedza: ufobc dla waracj Podobe mo7a skostruowak przedza4 ufo:c dla waracj populacj. Jest o postac: # 9 % var x var x % P $ : =. %,, % & ; Okre:la o grace losowego przedza4u obejmuj9cego eza9 warto:k waracj populacj. Odpowedo przedza4 ufo:c dla odchylea stadardowego: # 9 % var x var x % $ : =. % % & ; P,, Dla populacj maj9cej rozk*ad dwupuktowy (zerojedykowy), tz. zak4adamy, 7e elemety populacj podzeloe s9 a dwe klasy, przy czym frakcja elemetów wyró7oych wyos p e jest ma4ym u4amkem ( p > 0,05 ). Z populacj wylosowao du79 lczb; elemetów próby ( > 00 ), wtedy przedza4 ufo:c dla wskaska struktury p populacj geeralej jest okre:loy przybl7oym wzorem: # m m m m9 m m % P z p z % $ + : % % % & % ; gdze m jest elemetów wyró7oych zalezoych w próbe, z jest warto:c9 odczyta9 z tablc rozk4adu ormalego N ( 0;) w tak sposób, by P{ z Z z} = dla ustaloego.,

33 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 33 Przyk*ad: Spo:ród part 7arówek wyprodukowaych w fabryce wylosowao 00 szt. sprawdzoo ch jako:k. 6 7arówek okaza4o s; z4ych. Przyjmuj9c pozom ufo:c 0,99 oszacowak procet braków w wyprodukowaej part 7arówek. ( ) ( ) 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6,576 p 0,6 +,576, ,6,576 0,03666 p 0,6 +,576 0,03666, 0,6 0,095 p 0,6 + 0,095, 0,065 p 0, 55. Tak w;c pozom z4ych 7arówek w daej part zawera s; w przedzale: 6,5% a 5,5%. ZwróKmy uwag;, 7e gdyby by4o 60 wadlwych 7arówek a 000 sprawdzaych, wtedy zamast 0,095 by4oby 0,099, czyl melby:my przedza4 ufo:c: 0,3 p 0,9. Dlaczego? Przedza: ufobc dla róccy dwóch frakcj Nech badaa cecha X w dwóch populacjach A B ma rozk4ad dwupuktowy z parametram pa p B. W celu oszacowaa przedza4em ufo:c ró7cy tych prawdopodobe,stw, wylosowao dwe próby proste o lczebo:c A 00 B 00 m jedostek. Nech A m oraz B ozaczaj9 wskask struktury odpowedo z perwszej A B m drugej próby, atomast A + m p = B jest frakcj9 wyró7oych elemetów A + B jedocze:e w obu próbach ( ma m B s9 to lczby wyró7oych elemetów spo:ród populacj A oraz B ), za: b49d ró7cy tych parametrów jest rówy: A B p SPr = p ( p) + = A B ( p), A B gdze = + A B. W efekce wzór a przedza4 ufo:c dla ró7cy frakcj, gdze z ormalej dla pozomu stoto:c, jest postac: warto:k zmeej #% ma m B ma m 9 B % P $ z SPr pa pb + z SPr:. %& A B A B %; Przyk*ad: Spo:ród wylosowaych 500 m;7czyz 600 kobet by4o odpowedo 00 5 osoby pal9ce. ZbudowaK przedza4 dla ró7cy frakcj palaczy paperosów w:ród m;7czyz w:ród kobet przyjmuj9c pozom ufo:c = 0,95 ( z 0,05 =, 96 ). Oblczea: ma 00 0,4 = 500 = ; mb 5 0,4 = 600 = ; A B

34 34 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH ma + mb 45 p = = = 0,4, + 00 A B ( p) A B = = = 7,73 ; p 0, 40,589 SPr = = = 0,098, czyl 7,73 A B 0 7,84% p p + 3,84% A B 3.4. Hpotezy statystycze ch weryfkacja, testy statystycze Drugm obok estymacj (szacowaa warto%c parametrów lub postac rozk*adu zmeej losowej w populacj a podstawe rozk*adu empryczego dla próby) podstawowym rodzajem woskowaa statystyczego (dukcyjego) jest weryfkacja (testowae) hpotez statystyczych, czyl sprawdzae okre:loych przypuszcze, (za4o7e,) wysu;tych w stosuku do parametrów lub rozk4adu populacj geeralej a podstawe próby. Hpotezy statystycze s9 odpowedo sformu4owaym przypuszczeam dotycz9cym rozk*adu populacj. Mog9 oe mek ró79 postak w zale7o:c od hpotez badawczych, wysuwaych przez specjalstów ró7ych dzedz, którym statystyka s4u7y swym metodam. Hpotezy parametrycze, precyzuj9ce warto:c parametrów w rozk4adze populacj, ale79 do ajcz;:cej sprawdzaych hpotez statystyczych. Weryfkacja hpotezy statystyczej odbywa s; przez zastosowae specjalego arz;dza, zwaego testem statystyczym. Jest to regu4a post;powaa, która ka7dej mo7lwej próbe losowej przyporz9dkowuje decyzj+ przyj+ca lub odrzucea sprawdzaej hpotezy. Istota ka7dego testu polega a tym, aby uchrok s; przed pope4eem b*+du perwszego rodzaju () polegaj9cym a odrzuceu hpotezy prawdzwej, jak przed pope4eem b*+du drugego rodzaju (<), polegaj9cym a przyj;cu hpotezy fa*szywej. Hpoteza H 0 odrzucoa przyj;ta prawdzwa faszywa < < W teor weryfkacj hpotez statystyczych w;ksze zaczee przypsywae jest b*+dow I-go rodzaju. Z tego powodu od testu statystyczego wymaga s; by szasa (prawdopodobestwo) pope4ea tego b4;du by4a ma4a, a prawdopodobestwo () jego pope4ea azywamy pozomem stoto%c. Wybór pozomu stoto%c jest spraw9 arbtral9. Okre:la o stope, aszej pewo:c co do odrzucea hpotezy H 0, tz. je7el test odrzuc* weryfkowa hpotez+, to m a mejszym pozome to zrob4, tym bardzej mo7emy byk pewejs, 7e rzeczyw:ce asza hpoteza jest eprawdzwa. Przyj;ce lub odrzucee hpotezy przy pomocy testu e jest rówozacze z logczym udowodeem jej prawdzwo:c lub fa4szywo:c. Nale7y bowem pam;tak, 7e w te:ce statystyczym sprawdzaj9cym da9 hpotez; a podstawe daych z próby, mamy szas+ co ajwy7ej (pozom stoto%c) a prawdzwo:k tej hpotezy, dlatego j9 odrzucamy. Testy statystycze, które a podstawe wyków próby losowej pozwalaj9 podejmowak jedye decyzj; odrzucea hpotezy lub stwerdzea braku podstaw do jej odrzucea, azywamy testam stoto%c. S9 oe w w;kszo:c przypadków zupe4e wystarczaj9ce dla

35 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 35 potrzeb praktyk. Jest tak dlatego, 7e ajcz;:cej hpotez+ badawcz (merytorycz) któr9 chcemy sprawdzk, daje s; zamek a hpotez+ statystycz, jak gdyby odwrot9 do badawczej. W kosekwecj zale7y w;c am a odrzuceu hpotezy statystyczej a e a jej przyj+cu, gdy7 odrzucee hpotezy statystyczej praktycze prowadz do przyj+ca aszej hpotezy badawczej, jako odwrotej do statystyczej. Zlustrujmy to przyk*adem. Przypu:Kmy, 7e hodowca wykreowa4 ow9 odma; (A) o prawdopodobe wy7szym ploowau 7 dotychczas uprawae. Przeprowadzoo eksperymet z ow9 odma9 A oraz z ajlepsz9 z dotychczas uprawaych (B), by a podstawe wyków lczbowych (uzyskaych ploów) wykazak przec;te wy7sze ploowae odmay A od odmay B. Do udowodea tej hpotezy badawczej wystarczy zastosowak test stoto%c dla hpotezy statystyczej sformu4owaej ast;puj9co: %rede ploowae odmay A B jest take same. Formale zapsujemy to w postac hpotezy zerowej H0 : ma = mb, wobec hpotezy alteratywej H : ma > mb, gdze m A m B ozaczaj9 :rede ploy odpowedo odmay A B. Je7el zastosoway test stoto:c dla hpotezy H 0 doprowadz do jej odrzucea, to wy7szo:k owej odmay zosta4a udowodoa (a o to chodz*o) z odpowedo ma4ym ryzykem b4;du (pozomem stoto%c). Je7el atomast zastosoway test stoto%c da odpoweds, 7e e ma podstaw do odrzucea hpotezy H 0, to ozacza to, 7e wyk eksperymetu maj9ce :wadczyk o wy7szo:c owej odmay, s9 zbyt s4abym argumetem e udowadaj9 tej wy7szo:c. Taka odpoweds przysparza hodowcy w wystarczaj9cym stopu zmartwe,, by zale7a4o mu a przyj;cu hpotezy H 0, bo to ozacza4oby, 7e marowa4 czas a tworzeem odmay o e wy7szym pod wzgl;dem przec;tego ploowaa od dotychczasowych odma. Przyk*ad te %wadczy o wystarczalo%c dla praktyczego wykorzystywaa testów stoto%c, które polegaj a kostruowau pewej statystyk S z wyków próby wyzaczau jej rozk*adu przy za*o,eu s*uszo%c hpotezy zerowej H 0. W rozk4adze tym wybera s; tak obszar Q statystk S, by spe4oa by4a rówo:k: P{ S Q} =, gdze jest arbtrale ustaloym dowole ma4ym prawdopodobe,stwem. Obszar Q azywa s; obszarem krytyczym testu, gdy7 lekrok warto:k statystyk S z próby zajdze s; w m, to podejmuje s; decyzj; odrzucea hpotezy H 0 a korzy:k hpotezy alteratywej H. Natomast, gdy otrzymaa statystyka S e ale7y do obszaru krytyczego Q, to e ma podstaw do odrzucea H 0 e jest to rówozacze z jej przyj+cem. Obszar krytyczy Q zostaje tak wyzaczoy, 7e przy prawdzwo:c hpotezy H 0 prawdopodobe,stwo otrzymaa z próby warto:c statystyk S jest zae bardzo ma4e. Take zdarzee losowe e powo s; zrealzowak w jedym do:wadczeu. Je7el jedak aprawd; zrealzowa4o s;, to musa4o mek w;ksze prawdopodobe,stwo 7 to wyka z za4o7ea prawdzwo:c hpotezy H 0, w;c jeste:my sk4o uzak t; hpotez; za fa4szyw9 odrzucamy j9. Mo7emy pomylk s; odrzuck hpotez; w gruce rzeczy prawdzw (b*d I-szego rodzaju), jedak7e prawdopodobe,stwo takej pomy4k jest bardzo ma4e, rówe obraej dowole lczbe (pozom stoto%c). Je7el atomast warto:k statystyk S z próby zalaz4a s; poza obszarem krytyczym, tz. mo7a zapsak, 7e P{ S = Q} = (gdy7 P{ S Q} = ), czyl prawdopodobe,stwo tego7 zdarzea jest blske. Zasz4o zatem zdarzee, które powo przy prawdzwo:c hpotezy H 0 zaj:k, bo ma4o du7e prawdopodobe,stwo zaj:ca, w;c e ma podstaw do odrzucea hpotezy H 0. Jako pozom stoto%c wybera s+ ajcz+%cej lczby: 0,0; 0,05; 0,0; 0,00, co e ozacza,,e e mo,a przyj- p. 0,0 lub 0,07.

36 36 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Hpoteza porówaa wartobc Bredej z Hpoteza o redej populacj H0 : m= m0 Zak4adamy, 7e populacja geerala ma rozk*ad ormaly ( ; ) N m, przy czym m oraz populacj e s9 zae. W oparcu o wyk -elemetowej próby losowej ale7y zweryfkowak hpotez; zerow9: H0 : m= m0 > H0 : m m0 = 0, wobec hpotezy alteratywej H : m m0 > H : mm0 0. Dla weryfkacj tej hpotezy zerowej wylczmy warto:k statystyk t-studeta wed4ug wzoru: x m0 temp =, s gdze: x arytmetyczej. x = = =, s= s = ( x x ) x s, za: sx = b*d %redej Statystyka ta ma przy za4o7eu s4uszo:c hpotezy H 0 rozk4ad Studeta o ( ) stopach swobody. Z tablc tego rozk4adu, dla ustaloego pozomu stoto:c dla ( ) stop swobody, odczytuje s; tak9 warto:k t, 7e P{ t t } =. Nerówo:K t t okre:la obszar z warto:c9 ale7y odrzuck a korzy:k krytyczy (dwustroy) w tym te:ce. Wystarczy w;c porówak warto:k temp krytycz9 t. Je7el zajdze erówo:k temp t, to hpotez; H0 hpotezy H. Natomast gdy zajdze erówo:k przecwa, tz. t emp < t, to e ma podstaw do odrzucea hpotezy H 0. ( v ) P t t =, v lczba stop swobody v v t,v t,v Przyk*ad: Badao próby sera dojrzewaj9cego w pewej wytwór latem (populacja A) zm9 (populacja B). Wytwóra deklaruje 55% zawarto:c t4uszczu w daym gatuku sera. Z prób 0 elemetowej uzyskao odpowedo: x = 54,6, A s = 3,3, x = 56,8, A B s = 3,7. B

37 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 37 Tutaj mo7emy zweryfkowak dwe hpotezy: -sza czy deklarowaa zawarto:k t4uszczu w serze produkowaym w okrese letm jest zgoda z faktycz9, tz. H0 A : m A = 55%, -ga to samo, ale w stosuku do okresu zmowego, tz. H0 : m = 55%. 3,3 H0 A: m A = 55%, s x = =,565 =,0754, 0 54,6 55,00 temp = = 0,688 <,093 = t0,05;9 ;,0754 3,7 H0 B : m B = 55%, s x = = 0,6636 = 0,8456, 0 56,8 55,00 temp = =,449 <,093 = t0,05;9, 0,8456 W obu przypadkach hpoteza zerowa e zosta4a odrzucoa a pozome stoto:c 0,05. Ozacza to, 7e deklaracja wytwór ma pokryce w faktach. Cecha X populacj ma rozk4ad ( ; ) B B N m, postak hpotezy zerowej: H0 : m= m0 Hpoteza alteratywa H : m> m 0 H : m< m 0 H : m m 0 Warto:K fukcj testowej x m0 temp sx x m0 temp sx x m0 temp s = ( t ; ), +' H0 odrzucamy, Obszar krytyczy Q je7el: t > t * emp, = ( ' ; t, ) + temp < t, = ( ' ; t, ) + ( t ;, +' ) x t > t * emp, Hpoteza porówaa frakcj z Hpoteza zerowa dla frakcj H0 : p= p0 Dla populacj maj9cej rozk*ad dwupuktowy, tz. zak4adamy, 7e elemety populacj podzeloe s9 a dwe klasy, przy czym frakcja elemetów wyró7oych wyos p e jest ma4ym u4amkem ( p > 0,05 ). Z populacj wylosowao du79 lczb; elemetów próby ( > 00 ), m p wtedy zmea losowa: Z = ( ) p ( p) ma rozk*ad asymptotycze ormaly N p; p p, gdze m jest lczb9 elemetów wyró7oych zalezoych w próbe elemetowej, atomast p jest parametrem rozk*adu zero-jedykowego. Naszym zadaem jest weryfkacja hpotezy, 7e warto:k tego parametru p w populacj jest rówa p 0 ( H0 : p= p0). Je:l prawdzwa jest hpoteza zerowa, to wskask struktury z próby ma asymptotyczy rozk4ad ( ) N p0; p p 0 0,

38 38 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH ( p ) m p0 a statystyka Z = p0 0, rozk4ad asymptotycze ormaly N ( 0;). Przyk*ad: Spo:ród part 7arówek, wylosowao 00 sztuk sprawdzoo ch jako:k. 5 okaza4o s; z4ych. Przyjmuj9c pozom stoto:c = 0, 05, zweryfkowak hpotez; o brakach a pozome 0% ( H0 : p= 0, ). zemp 0,5 0,0 0,05 = = =,5 <,96 = z 0,( 0,) 0,04 00 Z powy7szej relacj wyka 7e aszej hpotezy zerowej postac H0 : p= 0, e mo7emy odrzuck (zachodz brak podstaw do jej odrzucea) przy pozome stoto:c = 0,05, atomast moglby:my t; hpotez; odrzuck przy pozome stoto:c = 0, 3 jako, 7e z0,3,. Tak du7y pozom ryzyka odrzucea prawdy jest e do przyj;ca. Dlatego te7 t; hpotez; by:my przyj;l. ZwróKmy uwag;, 7e gdyby w próbe 000 elemetowej, 50 7arówek okaza4o s; wadlwych, wtedy asz9 hpotez; H0 : p= 0, z racj uzyskaej warto:c odpowedej statystyk: zemp = 0,5 0, 0 0, 05 = = 3,953<,96 = z0,05, 0,( 0,) 0, ,05. ale7a4oby odrzuck, to e tylko a pozome stoto:c = 0,05, ale tak7e a pozome = 0,00 jako, 7e: z0,00 = 3,9< 3,953 = zemp. Cecha X populacj ma rozk4ad zero-jedykowy, tz. P( X = ) = p, P( X ) hpoteza zerowa jest tutaj postac: H0 : p= p0. Hpoteza (H ) alteratywa mo7e tutaj przyjmowak jed9 z trzech postac: = 0 = p, H alteratywa H : p> p 0 H : p< p 0 H : p p 0 warto:k f. testowej m p 0 p p z emp ( ) 0 0 m p p 0 ( p ) 0 0 m p p 0 ( p ) 0 0 Obszar krytyczy H0 Q [ z ; +' ), gdze ( ) gdze F z = ( ' ; z ], F( z ) = = F( z ) ( ' ; z ] [ ; ) gdze 7 ( ) = z z +', odrzucamy, je7el: zemp zemp zemp > < > z z z

39 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 39 Welko:K z jest warto:c9 odczyta9 z tablc rozk4adu ormalego N ( 0;) by dla ustaloego zachodz4a rówo:k: { } P z Z z =. w tak sposób, Hpoteza porówaa dwóch waracj Hpoteza zerowa o rówo:c waracj dwóch populacj ma postak H : > 0 : H =, za: Gdy badae statystycze ze wzgl;du a pew9 cech; merzal9 prowadzmy w dwóch populacjach, mo7e zaj:k potrzeba sprawdzea hpotezy o rówo:c waracj badaej cechy w obu populacjach. Rozk4adem, którym b;dzemy s; pos4ugwak w omawaym te:ce, jest rozk*ad F-Fshera. Dost;pe tablce warto:c tego rozk4adu s9 sporz9dzoe tak, 7 podaj9 tak9 warto:k F dla której zachodz P{ F F } =, tz. dla ejszego testu obszar krytyczy jest prawostroy. Przy stosowau tego testu ale7y ozaczea populacj umeram przyj9k tak, by w loraze dwu waracj wyzaczoych a podstawe prób lczk by4 zawsze w;kszy od maowka. Warto:K statystyk testowej wyzaczamy wed4ug wzoru: F emp s =, s która przy za4o7eu prawdzwo:c hpotezy 0 stopam swobody lczka ( ) stopam swobody maowka (gdze:, lczebo:k prób losowych). Przyk*ad: Badao próby sera dojrzewaj9cego w pewej wytwór latem (populacja A) zm9 (populacja B). Wytwóra deklaruje 55% zawarto:c t4uszczu w daym gatuku sera. Z prób 0 elemetowych uzyskao odpowedo: H ma rozk4ad F-Fshera z ( ) x = 54,6, Dla tego przyk4adu lczbowego mamy: A A s = 3,3, x = 56,8, B B s = 3,7. 3,3 Femp = =,743 <,7 = F0,05;9;9 3,7 zatem hpotez; o rówo:c waracj zawarto:c t4uszczu w produkcj zmowej letej, tz. H : = przyjmujemy a pozome stoto:c = 0,05. 0

40 40 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Hpoteza porówaa dwóch wartobc Bredch H 0 o wartoc oczekwaych dwóch populacj W praktyczych zastosowaach statystyk matematyczej ejedokrote zachodz potrzeba porówaa :redch ma mb dwóch populacj. Weryfkuj; s; wówczas hpotez; zerow9 postac: H0 : ma = mb wobec odpowedej hpotezy alteratywej: H : ma mb, H : ma > mb lub H : ma < mb. Nech aalzowae populacje geerale maj9 rozk4ady ormale N( ma; A) ( B; B) N m, przy czym parametry tych populacj s9 ezae, ale waracje s9 jedakowe, tz. A = B (mo7a sprawdzk s4uszo:k takego za4o7ea dla kokretej sytuacj, wykorzystuj9c test Fshera weryfkuj9cy hpotez; H = ). 0 : A B W celu weryfkacj tej hpotezy zerowej ( H0 : ma = mb) wykorzystujemy test postac: gdze: t x s x A B =, r s r = se + b*d ró,cy %redch, A B ( ) + ( ) A A B B var x A + var x s s B se = = waracja wspóla (wyka z za4o7ea ( A ) + ( B ) A + B rówo:c waracj w populacjach). Przy czym zak4adamy, wylosowae dwóch prób z rozpatrywaych populacj o lczebo:c odpowedo: A B, :redch: xa xb oraz waracjach sa s B. Otó7 tak okre:loa statystyka ( ) t = xa xb sr, przy za4o7eu s4uszo:c hpotezy zerowej H0 : ma = mb, ma rozk4ad Studeta o A + B stopach swobody. Dlatego te7 warto:k xa xb temp = wyzaczoa a podstawe prób z dwóch populacj jest porówywaa sr z warto:c9 krytycz9 t,v z tablc rozk4adu Studeta. Je:l m;dzy tym welko:cam uzyskamy relacj; temp > t ; v ( v= A + B ), wtedy hpotez+ zerow odrzucamy a rzecz hpotezy alteratywej postac: H : ma mb (tzw. test obustroy).

41 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 4 v lczba stop swobody ( v ) P t t =, v v t,v t,v Natomast relacja przecwa, tz. temp t ; v e daje am podstaw do odrzucea hpotezy zerowej, a w;c w tej sytuacj przyjmujemy j9. Zauwa7my przy tym, 7e H 0 odrzucamy, gdy xa xb temp = > t, v, czyl je:l zachodz erówo:k postac: xa xb > t, v sr = NIR. s r Welko:K t,v sr = NIR azywamy Najmejsz9 Istot9 Ró7c9 Przyk*ad: Badao próby sera dojrzewaj9cego w pewej wytwór latem (populacja A) zm9 (populacja B). Wytwóra deklaruje jedakow9 zawarto:k t4uszczu w daym gatuku sera w produkcj latem zm9, tz. H0 : ma = mb. Z dwóch prób 0 elemetowych uzyskao odpowedo: St9d: x = 54,6, A A s = 3,3, x = 56,8, B B s = 3,7. 9 3, ,7 3,3 + 3,7 = = = 8,0, s e czyl s r = 8, + = 8, 0, =,35, a w;c w tej sytuacj, z racj 7 warto:k: 0 0 temp 54,6 56,8,9 = = =,4 <,03 = t,35,35 0,05;38 aszej hpotezy H 0 : ma = mb e mo7emy odrzuck, czyl asz9 hpotez; zerow9 (o braku ró7c m;dzy :red9 zawarto:c9 t4uszczu w serach produkowaych latem zm9). Zauwa7my, 7e Najmejsza Istota Ró7ca jest tutaj rówa: ( ) 0,05;38,03,35,73 NIR = t = s r = =. Ró7ca m;dzy dwema aszym :redm z prób jest rówa,4 e przewy7sza welko:c NIR, a w;c wosek, 7e :rede tych populacj e ró79 s; m;dzy sob9 w stopu stotym.

42 4 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Zauwa7my tak7e, 7e podoby wosek uzyskal:my po aalze tych7e daych wg przedza4u ufo:c dla ró7cy :redch w uzyskaym przedzale zawera s; warto:k zerowa, tz. dopuszczamy ró7c; zerow9 m;dzy porówywaym :redm. 4, 65 m m 0,8 A B Populacj A ma rozk4ad ( A, N m ), za: populacj B ( B, ) Hpoteza zerowa: H0 : ma = mb 0 N m. Hpoteza alteratywa H : ma > mb H : ma < mb H : ma mb H0 Fukcja testowa Obszar krytyczy Q x x odrzucamy, je7el: A B emp = s ( t, ; ) A +' + B t * emp > t, A + B r t t x x A B emp = ( ;, A B s + emp, A B r xa x ( ' ; t B, A + B ) + emp = t sr lub ( t, ; ) A + +' emp > t, A + B B t ' t + ) * t < t + s r = se + b*d ró,cy %redch, A B ( ) + ( ) A A B B s s se = + A B waracja wspóla. W przypadku gdy aalzowae populacje geerale maj9 rozk4ady ormale N( ma; A) N( mb; B), przy czym parametry tych populacj s9 ezae, a waracje e s9 jedakowe, tz. A B (mo7a sprawdzk s4uszo:k takego za4o7ea dla kokretej sytuacj, wykorzystuj9c test Fshera weryfkuj9cy hpotez; 0 : A B H = ). W celu weryfkacj tej hpotezy zerowej ( H0 : ma = mb) wykorzystujemy tak zway test Behresa-Fshera w postac: t x A B ' = sa sb A x + B

43 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 43 Otó7 tak okre:loa statystyka t ', przy za4o7eu s4uszo:c hpotezy zerowej H0 : ma = mb, ma rozk4ad Studeta o sa s B + A B v s A s B A B + A B stopach swobody (tzw. metoda Satterthwate a). Dlatego te7 warto:k t ' emp wyzaczoa a podstawe prób z dwóch populacj jest porówywaa z warto:c9 krytycz9 t,v z tablc rozk4adu Studeta. Je:l m;dzy tym welko:cam uzyskamy relacj; temp > t ; v, wtedy hpotez+ zerow odrzucamy a rzecz hpotezy alteratywej. H 0 o wartoc oczekwaych dwóch populacj zale<ych Nekedy zachodz potrzeba porówaa :redego pozomu pewej cechy przed po pewym dodatkowym dza4au a elemetach tej samej populacj. Z populacj tej poberamy losowo elemetow9 prób; dla ka7dego elemetu dyspoujemy par9 wyków: x, y ( =,,, ). Takch par wyków e ale7y traktowak jako dwu ró7ych prób prostych, gdy7 mog9 oe byk ze sob9 skorelowae (pow9zae). Przyk4adem mo7e byk badae wag ca4a przed kuracj9 odchudzaj9ca po zako,czeu takej kuracj. Mamy tutaj do czyea z sytuacj9, gdy :rede s9 zale7e (poszczególe pary s9 zale7e). Sprawdza9 hpotez9 jest tutaj hpoteza zerowa postac H 0 : m z = 0 jej rówowa7a postak: H0 : mx my = 0, wobec hpotezy alteratywej H : mz 0, H : m z < 0 lub H : m z > 0. Warto:K mz jest :reda warto:c9 oblczo9 z przyrostów par wyków: z = x y. Hpotez9 zerow9 mo7a zweryfkowak testem Studeta, zast;puj9c tam statystyk odpowedm warto:cam wylczoym z przyrostów z, tz.: gdze: s s z z = b*d %redej, t emp z =, s z, s ( ) z = sz = z z za: z = z = ( x y ) = =. = Warto:K t emp wyzaczoa z kokretej próby, jest warto:c9 zmeej losowej przy za4o7eu prawdzwo:c H 0, ma rozk4ad Studeta z ( ) st. swobody. z t =, która s z

44 44 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Hpoteza porówaa dwóch frakcj Nech badaa cecha X w dwóch populacjach A B ma rozk4ad dwupuktowy z parametram pa p B. Wysuwamy hpotez;, 7e oba te parametry s9 detycze. Hpotez zerow jest w;c tutaj H0 : pa = pb, a hpotezam alteratywym mog9 byk hpotezy: H : pa pb, H : pa > pb lub H : pa < pb. W celu weryfkacj tej hpotezy zerowej wylosowao dwe próby proste o lczebo:c A m B 00 jedostek. Nech A mb oraz ozaczaj9 wskask struktury odpowedo A B ma + mb z perwszej drugej próby, atomast p = jest frakcj9 wyró7oych elemetów A + B jedocze:e w obu próbach (m A m B s9 to lczby wyró7oych elemetów spo:ród odpowedo A B z populacj A oraz B). Je:l prawdzwa jest hpoteza zerowa H0 : pa = pb, to statystyka: m m m m A B A B A B A B Z = = p p p p p p + m p = A A ( ) ( ) ( ) A + m + B B A B, B = A + B ma rozk4ad asymptotycze ormaly N ( 0;), gdze, atomast maowk jest rówy: ( p) p p( p) + = = SPr. A B Welko:c te wyst;puj9 w przedzale ufo:c dla ró7cy frakcj, gdze z zmeej ormalej dla prawdopodobe,stwa : warto:k #% ma mb ma mb 9% P$ z SPr pa pb + z SPr:. %& A B A B %; W praktyce ozacza to, 7e je7el warto:k zmeej Z wyzaczoa a podstawe wyków ma mb z prób losowych, tz. A z B emp = jest w;ksza od warto:c krytyczej zmeej p( p) ormalej z, dla ustaloego pozomu stoto:c ( z emp > z ), wtedy hpotez; zerow9 postac: H0 : pa = pb odrzucamy a rzecz hpotezy alteratywej. Je:l uzyskamy relacj; zemp z wtedy mówmy o braku podstaw do odrzucea hpotezy zerowej, a w;c hpotez; zerow9 przyjmujemy. Przyk*ad: Na pozome stoto:c = 0,05 zweryfkowak przypuszczee, 7e palacze paperosów staow9 jedakowy odsetek w:ród m;7czyz w:ród kobet a podstawe wyków: spo:ród wylosowaych 500 m;7czyz by4o 00 palaczy, a spo:ród wylosowaych 600 kobet by4o 5 pal9cych. Z uwag a to, 7e brak jest sugest która p4ek ma w;kszy (lub mejszy) odsetek palaczy, przyjmujemy obustroy obszar krytyczy.

45 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 45 Stawamy w;c hpotez; zerow9 postac: H0 : pa = pb (jedakowe odsetk palaczy) wobec hpotezy alteratywej: H : pa pb. Wykoujemy odpowede oblczea wg pozaych wzorów: ma 00 0,4 = 500 = ; mb 5 0,4 = 600 = ; ma + mb 45 p = = = 0,4, + 00 A B A B = = = 7, 73 ; A B ( p) p 0,4 0,589 SPr = = = 0, 098, 7, 73 A B czyl z emp 0,4 0, 4 = = 0,67. 0,098 Mamy w;c relacj; z0,05 =,96 > 0,67 = zemp, z której woskujemy o braku mo7lwo:c odrzucea hpotezy zerowej, a w;c asz9 hpotez; o jedakowym wyst;powau palaczy paperosów w:ród m;7czyz kobet przyjmujemy. Przypomjmy asz przedza4 ufo:c dla ró7cy prawdopodobe,stw wykaj9cy z ego wosek: 0 7,84% p p + 3,84% A B Cecha X populacj A B ma rozk4ad zerojedykowy, tz. ( = ) = p, P( X ) P X ma + mb Hpoteza zerowa: H 0 : pa = pb, gdze p = + A = 0 = p. B =, A B A + B. H alteratywa H : pa > pb H : pa < pb H : pa pb Warto:K fukcj testowej ma mb A B zemp = p p z z emp emp = = m A A p m ( ) m B B ( p) A A p m B B ( p) Obszar krytyczy H0 [ ) ; odrzucamy je7el z +' zemp > ( ] ; z z ' zemp < ( ' ; z ] lub [ ; ) z +' zemp > z z

46 46 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 3.5. WAcej C dwe Brede test aalzy waracj Aalza waracj dla klasyfkacj pojedyczej Testy aalzy waracj s9 podstawowym arz;dzem statystyk eksperymetalej, tj. szeroko rozbudowaej statystyczej metody plaowaa ocey wyków eksperymetów aukowych dla potrzeb do:wadczalctwa rolczego, medyczego, tp. Testy te pozwalaj9 a sprawdzee, czy pewe czyk, które mo7a dowole regulowak w toku do:wadczea, wyweraj9 wp4yw. Je:l tak, to w jakm stopu oddza4ywaj9 a kszta4towae s; :redch warto:c cech merzalych. Istot9 metody aalzy waracj jest rozbce a addytywe sk4adk sumy kwadratów waracj ca4ego zboru wyków, których lczba wyka z potrzeb eksperymetu. Test aalzy waracj zwykle przeprowadza s; wed4ug ustaloego schematu, uj;tego w postac tzw. tabel aalzy waracj. Nale7y tutaj zauwa7yk, 7e testy aalzy waracj maj9 bardzo lcze zastosowaa m;dzy ym w aalze regresj. dród4o zmeo:c Stope swobody Suma kwadratów ered kwadrat Test F Najprostszym przypadkem jest aalza waracj tzw. jedokerukowego uk4adu daych do:wadczalych, cz;sto okre:lay jako jedoczykowy uk*ad ca*kowce losowy. Daych jest k populacj, ka7da o rozk4adze ormalym ( ; ) N m ( =,,, k ) lub o rozk4adze zbl7oym do ormalego. Zak4ada s; przy tym, 7e waracje tych k populacj s9 jedakowe (metoda jest e jest odpora a erówe waracje mo7a sprawdzk to za4o7ee p. przy pomocy testu Bartletta). Z ka7dej z tych k populacj wylosowao ezale7e próby o elemetach. Ozaczaj9c wyk prób przez x j mo7emy apsak model obserwacj dla =,,, k oraz j =,,,, za: = : k = xj = m + ej = m+ a + ej, gdze: m jest eza9 :red9 w -tej populacj, jest warto:c9 zmeej losowej (sk*adkem losowym) o rozk4adze ormalym e j ( 0; ) N, m jest tutaj eza9 :red9 wszystkch populacj, a = m m jest efektem -tej populacj. Na podstawe wyków xj ale7y zweryfkowak hpotez; k 0 k 0 = H : m = m = = m > H : a = 0 wobec hpotezy alteratywej H e wszystke %rede badaych populacj s rówe (przyajmej dwe s9 ró7e).

47 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 47 dród4o zmeo:c Populacje k Wew9trz populacj k Ca4kowta Stope swobody Suma kwadratów ered kwadrat Test F var A var E var x var A sa = k var E se = k F emp s = s A e gdze: k ( )., var E k = ( ) x j x., var A= x x = = j= k ( ) j, var x = x x = var A + var E = j= = za: x. = x j j, x k x = j= j =. Oblczo9 w tablcy warto:k Femp porówujemy z warto:c9 krytycz9 F odczyta9 z tablc rozk4adu Fshera dla ustaloego z góry pozomu stoto:c dla odpowedej lczby k oraz k stop swobody. Je7el zachodz Femp F ; k ; k, to hpotez+ H0 odrzucamy, atomast gdy Femp < F ; k ; k, wtedy mówmy o braku podstaw do odrzucea hpotezy H 0. Przyk*ad: Do:wadczee wazoowe. Cecha badaa masa korze selera. Czyk pocz9tkowa lczba ce w zem. Lczba obektów k = 7, lczba powtórze, dla poszczególych obektów = r = 4, czyl ogóla lczba obserwacj = 7 4= 8. Lczba ce Nr powt. Masa korz. Nr powt. Masa korz. Nr powt. Masa korz. Nr powt. Masa korz. Nr powt. Masa korz. Nr powt. Masa korz. Nr powt. Masa korz. 6,8 6,4 6,0 5,8 5,5 5,8 4,7 8, 6,3 6, 4,8 4,9 4,8 5, 3 6,9 3 6,3 3 6, 3 6,0 3 4,7 3 4,6 3 3,8 4 7,0 4 5,6 4 6,3 4 5,4 4 5, 4 5, 4 4,0 dród4o Suma er. St. sw. Zmeo:c Kwd. Kwd. F emp Obekty 6 0,907 3,4846 4,99 B49d 4,885 0,35 Ca4k. 7 5,7896 L_ce ereda Grupa 0 7,5 a 50 6,50 ab 00 6,50 ab 00 5,500 bc 400 5,075 bc 800 5,075 bc 600 4,400 c Nr,09 0,05

48 48 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Dla aszej aalzy: F 0,05;6; =,573, F 0,0;6; = 3,8, F 0,00;6; = 5,88, Tak w;c asz9 hpotez; zerow9 o braku wp4ywu pocz9tkowej lczby ce a mas; korze selera odrzucamy a pozome stoto:c 0,00 =. Wyzaczoa warto:k P value = 0, okre:la am pozom stoto:c przy którym asza hpoteza mo7e byk odrzucoa. Test Bartletta rówo:c waracj w populacjach: = 6,34 P = 0,386. emp value Procedury porówa welokrotych W przypadku odrzucea hpotezy zerowej H 0 : m = m = = mk w te:ce aalzy waracj, stwerdza s;, 7 e wszystke %rede badaych populacj s rówe, czyl, 7e co ajmej jeda :reda obektowa ró7 s; od pozosta4ych w sposób stoty. Aalza waracj e daje jedak odpowedz, które :rede obektowe ró79 s; od pozosta4ych, e mów rówe7 o charakterze tych ró7c. W celu zbadaa ró7c pom;dzy :redm obektowym wykorzystuje s; tak zwae procedury porówa, welokrotych. Procedury te pozwalaj9 a wyodr;bee grup jedorodych. Grupa jedoroda obektów, w ramach zboru :redch obektowych, staow roz49czy z ym grupam jedorodym podzbór obektów, które e ró79 s; m;dzy sob9 ze wzgl;du a warto:c :rede. Cz;:K procedur porówa, welokrotych opera s; a warto:c zwaej NIR, czyl a Najmejszej Istotej Ró7cy. Je7el ró7ca pom;dzy dwoma :redm obektowym jest mejsza od NIR, to uzaje s;, 7e :rede te e ró79 s; m;dzy sob9 w sposób stoty. Opracowao szereg procedur porówa, welokrotych ych metod wyzaczaa grup jedorodych. Po7ej przedstawoo wyk aalzy waracj do:wadczea jedoczykowego porówuj9cego ploowae 0 odma kapusty oraz podza4 a grupy jedorode ró7ym metodam. dród4o zmeo:c Stope swobody Suma kwadratów odchyle, ered kwadrat odchyle, Femp p-value Odmaa , ,7967,50 0,0037 B49d ,500 0,904 Ca4kowta ,3875

49 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 49 Wyzaczoe grupy jedorode Odmaa ereda Procedura Studeta Procedura Tukeya Procedura Ducaa Procedura Studeta- Newmaa- Keulsa Procedura Gabrela Procedura Sdaka Procedura Bofferoego Procedura Sheffego Metoda kotrastów Agora 93,75 Atea 76,5 Edyta 73,75 Ovato 73,75 Rgoletto 70,00 Alka 6,50 Ambra 58,75 Marus 56,75 Boa 53,75 Juveta 5,5 Suy 5,5 Mchalka 50,00 Soata 4,5 Marolers 40,00 Ewela 35,00 Sade,50 Charlea,50 Fulmara 5,00 Chara 07,50 Malka 96,5 NIR 45,5 83,774 87,09 87,504 87,680 30,8 Lczba grup 6 5 W praktyczym do:wadczalctwe rolczym ajprzydatejszym metodam wyzacza grup jedorodych s9 procedury porówa, welokrotych Ducaa, Tukeya (Tukeya-Kramera), test Dueta porówaa z wzorcem oraz metod; opart9 a kotrastach. Procedura porówa welokrotych Ducaa Procedura Ducaa ma zastosowae tylko w przypadku gdy w ramach wszystkch pozomów badaego czyka lczba obserwacj jest jedakowa ( = = = k = ). Po uporz9dkowau :redch obektowych w kolejo:c ros9cej, porówuje s; ró7c; pom;dzy :red9 obektow9 a pozycj k :red9 obektow9 a pozycj k z warto:c9 NIR, wraz z kolejym krokam do porówa, berze s; koleje :rede obektowe. NIR Ducaa ma postak: Se NIRD = td(, k ', v) gdze: lczba obserwacj w ramach jedego pozomu czyka, v lczba stop swobody dla b4;du losowego (z aalzy waracj), k ' lczba aktuale porówywaych pozomów czyka, Se :red kwadrat odchyle, (waracja) dla b4;du losowego (z aalzy waracj),, k', v warto:k krytycza welokrotego testu Ducaa. td ( )

50 50 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Procedura porówa welokrotych Tukeya Przypadku uk4adu gdy w ramach wszystkch pozomów badaego czyka lczba obserwacj jest jedakowa ( = = = k = ) warto:k NIR Tukeya ma postak: Se NIRT = q( ; k, v) gdze: lczba obserwacj w ramach jedego pozomu czyka, k lczba pozomów czyka, v lczba stop swobody dla b4;du losowego (z aalzy waracj), Se :red kwadrat odchyle, (waracja) dla b4;du losowego (z aalzy waracj), q ; k, v warto:k krytycza studetyzowaego rozst;pu. ( ) Gdy lczba obserwacj w ramach pozomów badaego czyka e jest jedakowa ( k ) warto:k NIR Tukeya wyzacza s; oddzele dla ka7dej porówywaej pary :redch :rodowskowych wg wzoru (tzw. procedura Tukeya-Kramera): gdze:, NIRT ( µ ) (,, ) µ = q k v Se + lczba obserwacj w ramach porówywaych pozomów czyka, k lczba pozomów czyka, v lczba stop swobody dla b4;du losowego (z aalzy waracj), Se :red kwadrat odchyle, (waracja) dla b4;du losowego (z aalzy waracj), ( ;, ) q k v warto:k krytycza studetyzowaego rozst;pu. Test Dueta porówaa redch obektowych z wzorcem Test Dueta ma zastosowae, gdy w ramach pozomów badaego czyka wyst;puje jede pozom, który mo7a okre:lk jako wzorzec. Wówczas mo7a sprawdzk, za pomoc9 tego testu, które :rede obektowe ró79 s; stote od :redej dla wzorca. Test Dueta ma postak: gdze: x -ta :reda obektowa, x C Se h warto:k :reda dla wzorca, t d = x x Se :red kwadrat odchyle, (waracja) dla b4;du losowego (z aalzy waracj), :reda harmocza lczby obserwacj dla daego pozomu czyka dla wzorca. h C

51 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 5 II. ANALIZA STATYSTYCZNA DANYCH DOWIADCZALNYCH. WPROWADZENIE Dae emprycze, b;d9ce przedmotem bada, statystyczych powstaj9 zazwyczaj w wyku pomaru okre:loych cech merzalych pewych populacj zwerz9t, ro:l, próbek gleby, produktów przemys4u, tp. Cechy te podlegaj9 aturalej zmeo:c, któr9 bez trudu mo7emy zaobserwowak choca7by a populacj ludzkej, a która wyst;puje w ka7dej zborowo:c przyrodczej, oboj;te, czy wytworzoej przez cz4oweka czy te7 aturale stej9cej. Zmeo:K ta w populacjach 7ywych spowodowaa jest zarówo przyczyam geetyczym jak p4ywam zmeych waruków :rodowska w procese wzrostu dojrzewaa orgazmów. W populacjach sztuczych, wytworzoych przez cz4oweka, wyst;puje zmeo:k spowodowaa edok4ado:c9 przyrz9dów, maszy czy ejedorodo:c surowca, z którego wykoujemy elemety badaej zborowo:c. Dokouj9c odpowedo dok4adych pomarów, mo7emy wykryk awet drobe ró7ce stej9ce m;dzy badaym przedmotam. Oprócz wymeoych Sróde4 zmeo:c daych empryczych wyst;puje jeszcze czysto techcze Sród4o, zw9zae z dokoywaem pomaru. Celem bada, (aalz) statystyczych jest uchwycee prawd4owo:c wyst;puj9cych w zmeym materale lczbowym oraz wyodr;bee ró7c stotych w:ród losowych, przypadkowych, wyst;puj9cych w zborowo:c, która a pror uzajemy za jedorod9. Cel te os9ga s; w trzech etapach statystyczego opracowaa daych empryczych: ops, aalza woskowae. Do%wadczalctwo jest aktywym zberaem daych statystyczych, polegaj9cym a zastosowau do matera4u eksperymetalego okre:loych zabegów obserwacj ch efektów. Podstawowym postulatem wymagaym od schematu gromadzea daych empryczych jest mo7lwo:k sesowej ch terpretacj. Dla uzyskaa ejszego celu potrzebe jest w4a:cwe plaowae do:wadczea zastosowae w4a:cwych metod aalzy statystyczej. Plaujc jakekolwek do:wadczee, chcemy uzyskak dae ezb;de do charakterystyk opsu owego zjawska, b9ds te7 rozstrzyg;ca pewych owych hpotez, albo potwerdzea hpotez stawaych przez ych badaczy, w odmeych, specyfczych warukach. Na przyk4ad w do:wadczeach odmaowych z ro:lam uprawaym w Polsce, prowadzoych permaete przez wyspecjalzowae stacje do:wadczale ocey odma, zbera s; dae eksperymetale dotycz9ce zarówo ajwa7ejszych cech u7ytkowych ro:l, takch jak wysoko:k plou aso, korzea czy bulw, oraz okre:laj9cych warto:k techologcz9 b9ds kosumpcyj9 ploów, jak rówe7 cech poboczych charakteryzuj9cych ro:ly, ch odporo:k a choroby. Dae te pozwalaj9 a rozpozae kszta4towaa s; cech owych odma w ró7ych rejoach kraju, s4u79 rejozacj owych odma oraz kotrol ad wyradzaem s; odma b;d9cych w uprawe od welu lat. Dokouj9c opsu daych empryczych, który w gruce rzeczy jest ch redukcj9 od pewych wskasków (parametrów), musmy u:wadomk sobe czego te ops dotyczy, a w4a:cwe co b;dze podmotem wosków formu4owaych w oparcu o te ops. Na przyk4ad, dokoujemy obserwacj dyamk przyrostów masy oraz powerzch poszczególych elemetów ro:l zbo7owych w do:wadczeu wazoowym. Uzyskae pomary s9 reprezetacj9 populacj tych welko:c u ro:l zbo7a daego gatuku daej odmay oraz przy ustaloych warukach glebowych, pozomu awo7ea, tp. Mamy w;c tutaj zborowo:k daych uzyskaych bezpo:redo z pomarów oraz zborowo:k drug9, któr9 te dae reprezetuj9. Perwsza z ch azywamy prób, atomast drug9 populacj geeral. Tak w;c pod okre:leem: populacja rozumemy zborowo:k wszystkch mo7lwych warto:c rozpatrywaej cechy pewej populacj przedmotowej ro:l uprawych, drzew, zwerz9t czy ludz, oraz próba jako reprezetacja populacj geeralej.

52 5 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Ka7de do%wadczee jest c9gem ustaloych wcze:ej czyo:c prowadz9cych do uzyskaa mo7lwe ajbardzej warygodych formacj o teresuj9cym as zjawsku. W :cs4ych do:wadczeach aukowych zwykle bada s; wp4yw kokretych czyków kotrolowaych a wyst;powae lub at;7ee zjawsk b;d9cych przedmotem bada,, z mo7lwym wy49czeem ych, eteresuj9cych czyków, mog9cych zak4óck zberae formacje. W do%wadczeu jedoczykowym, ajprostszym mo7lwym typem eksperymetu aukowego porówawczego, tylko jede czyk podlega zmaom zgode z tecjam eksperymetatora, e za: s9 utrzymywae a sta4ym pozome lub s9 eobece. W zagadeach bologczych a ogó4 wyst;puj9 jedak e daj9ce s; kotrolowak wp4ywy zró7cowaego matera4u do:wadczalego, zew;trzych waruków przyrodczych (klmat, :rodowsko), czy awet samej techk obserwacj. Wszystke te dodatkowe elemety s9 przyczya tego, 7e wyk dwóch eksperymetów detycze zaplaowaych przeprowadzoych ró79 s; m;dzy sob9. To ekotrolowae zró7cowae towarzysz9ce w4a:cwemu do:wadczeu mus byk akceptowae przez eksperymetatora jako b*d do%wadczea. Wyka st9d wosek, 7e aby do:wadczee pozwala4o a oce; teresuj9cego as zjawska, koecze jest rozdzelee zmeo:c spowodowaej wp4ywem badaego czyka zmeo:c losowej. Rozdza4 tych dwu ró7ych zmeo:c w do:wadczeu jest wykoaly, je7el badaa b;d9 powtarzae w ezmeoych warukach, przy ustaloych pozomach kotrolowaych czyków. Uk4ad do:wadczea mus zatem spe4ak pewe waruk formale, aby mo7a by4o korzystak z metod aalzy statystyczej daych empryczych. Celem ka7dego do:wadczea jest potwerdzee lub zaprzeczee pewej hpoteze odo:e badaego zjawska. Hpotez; te azywamy hpotez merytorycz. Formu4uje s; ja przyst;puj9c do bada,, w momece plaowaa do:wadczea. Mo7e to byk p. hpoteza, 7e owa odmaa (lub odmay) pod wzgl;dem pewych cech przewy7szaj9 dotychczas uprawae, 7e jak: zabeg a przedmoce eksperymetu przyese owe efekty merzale lub jako:cowe, 7e wyk os9gae w ym mejscu lub czase potwerdz9 s; w zmeoych warukach. Jest zrozuma4e, 7e sformu4owae hpotezy merytoryczej powo ast9pk po zapozau s; z aktualym staem wedzy w daej dzedze. Jase kokrete sformu4owae hpotezy merytoryczej u4atwa zaplaowae do:wadczea w4a:cwy wybór modelu w pósejszym opracowau jego wyków. Powo s; ukak dla formu4owaa dla jedego do:wadczea zbyt z4o7oych hpotez dla uzyskwaa jedozaczo:c wyku jej weryfkacj oraz z faktu, 7e hpoteza statystycza mus byk jedozaczym odwzorowaem hpotezy merytoryczej by wosk statystycze mog4y byk bez zastrze7e, w9tplwo:c traspoowae a wosk merytorycze. Czasam, ze wzgl;du a wymóg testowaa hpotez prostych, hpoteza statystycza jest zaprzeczeem hpotezy merytoryczej. Na przyk4ad dla wykazaa wy7szego ploowaa owej odmay od wybraej odmay starej, sprawdzamy hpotez+ zerow, 7e :rede z populacj geeralej obu odma s9 jedakowe. Odrzucee lub przyj;ce hpotezy zerowej prowadz do jedozaczych wosków o relacj m;dzy ploowaem porówywaych odma. Du7e zaczee w do:wadczalctwe odgrywaj9 modele lowe, prowadz9ce do aalzy waracj lub aalzy regresj wyków eksperymetu. Mo7a stwerdzk, 7e matematycze modele lowe, zwae tak7e hpotezam lowym, s9 adekwatym modelam welkej klasy hpotez merytoryczych, sprawdzaych do:wadczale. Zachodz to w tych eksperymetach, w których badamy wp4yw czyka lub czyków kotrolowaych a cechy merzale jedostek do:wadczalych, przy czym ka7dy z tych czyków wyst;puje co ajmej w dwóch pozomach. Czyk mog9 byk jako%cowe, jak p. odmay ro:l, rasy zwerz9t, tp., b9ds lo%cowe, jak temperatura, termy sewu lub zboru, dawk awozu, td. Hpoteza merytorycza w do:wadczeach czykowych dotyczy zró7cowaego oddza4ywaa ch pozomów a okre:loe cechy jedostek zborowo:c b;d9cej przedmotem bada,. Zajduje oa odzwercedlee w hpoteze lowej w postac sk4adków warto:c oczekwaej ka7dej obserwacj.

53 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 53. ZASADY STATYSTYCZNE PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW Okre:lee jedostk do%wadczalej jako elemetarego Sród4a obserwacj sk4adaj9cych s; a dae emprycze z regu4y e budz w9tplwo:c w badaach prowadzoych a populacjach bologczych z4o7oych z osobków. W do:wadczeach rolczych z regu4y jedostkam do:wadczalym e s9 poszczególe ro:ly, ale ch gromady ros9ce a poletkach do:wadczalych czy wazoach. Przyj;ce poletka do:wadczalego jako podstawowej jedostk sprawa k4opoty z okre:leem jej welko:c kszta4tu, a tak7e e w9tplwo:c wykaj9ce z wyst;puj9cej tu pewej dowolo:c. Tych w9tplwo:c e b;dze, je7el wyrase okre:lmy, b9ds u:wadommy sobe, co staow populacj+ geeral, dla której s9 formu4owae wosk z daych empryczych, a w4a:cwe czego dotyczy hpoteza merytorycza. Natomast obserwacje lo:cowe uzyskwae z jedostk do:wadczalej mo7emy zapsak w postac ogólego modelu lowego o addytywych sk4adkach: y = m+ a+ e gdze jest umerem jedostk do:wadczalej, m jest :red9 ogól9 w populacj, pozomem odesea badaej welko:c. Sk4adk a reprezetuje w tym modelu efekty spowodowae zmeym czykam kotrolowaym w eksperymece (odmay, zabeg, tp.), za: e jest specyfczym efektem przyczy losowych, e poddaj9cych s; kotrol eksperymetatora, azywaym b*+dem losowym. Sk4adk a mo7e byk rozdzeloy a cz;:c, gdy w do:wadczeu bada s; rówocze:e zmay klku czyków, tz. kotrolowaych Sróde4 zmeo:c obserwacj. Rówe7 sk4adk e mo7e ulec dekompozycj a losowe wprawdze, ale daj9ce s; wyodr;bk Sród4a zmeo:c. Warto:K oczekwaa obserwacj y jest rówa m+ a, za: waracja obserwacj jest rówa waracj b4;du losowego, tz. D y = D e =. ( ) ( ) e Eksperymety porówawcze stosowao cz;sto w ró7ych dzedzach auk ju7 od XIX weku. Take badaa s9 obc97oe b4;dam, je7el poszczególe grupy jedostek do:wadczalych e b;d9 rówowa7e a pocz9tku do:wadczea. R. A. Fsher zauwa7y4, 7e je%l jedostk do%wadczale (poletka) b+d przyporzdkowae do grup losowo, to rówowa,o%- grup b+dze zapewoa przyajmej co do %redej. Jego schematy do:wadcze, przewduj9 w;c zarówo porówaa jak radomzacj;. Radomzacja oczyw:ce elmuje eu:wadomo9 stroczo:k eksperymetatora. Losowy dobór gwaratuje bezstroo:k wobec ka7dego czyka, awet takego, którego zaczee e jest zae eksperymetatorow. Radomzacja ma tak7e 9 zalet;, mo7a awet powedzek, 7e jeszcze wa7ejsz9 od elmacj obc97e,. Dz;k ej wyk do:wadcze, s9 bezpo:redo dost;pe dla matematyczych rozwa7a,. Losowe przyporz9dkowae obektów do:wadczalych prowadz do zjawsk podobych do tych, jake wyst;puj9 w grach losowych: choca, e mo,a przewdze- pojedyczego wyku, to w welu przypadkach wyst+puje charakterystycza stablo%- uk*adów wyków. Istee probablstyczego opsu procesu zberaa daych poprzez do:wadczee jest podstaw9 woskowaa statystyczego. Fsher e zapocz9tkowa4 zastosowa, prawdopodobe,stwa do woskowaa statystyczego, lecz tylko zastosowaa te rozw94, a postulowaa przez ego radomzacja dostarcza daych, do których teora prawdopodobe,stwa mo7e byk poprawe stosowaa. Podej%ce Fshera do woskowaa statystyczego przez prawdopodobestwo polega a ocee stoto%c zaobserwowaej zmeo%c obektowej przez porówae jej ze zmeo%c spowodowa ekotrolowaym czykam. Przypu:Kmy w;c, 7e ka7da z dwu odma 7yta A B zosta4a wysaa a pewej, jedakowej lczbe poletek przyporz9dkowaych losowo. Ploy a ró7ych poletkach s9 ró7e, ale przyjmjmy, 7e :red plo odmay A przewy7sza :red plo odmay B. Zró7cowae ploów a poletkach obsaych t9 sam9 odma9 pozwala oszacowak euko9 zmeo:k spowodowa9 wszystkm ym czykam maj9cym wp4yw a plo ro:l. Tak w;c

54 54 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH ró7c; o jak9 :redo odmaa A przewy7sza odma; B (zmeo%- odma) porówuj; s; z ró7cam wew9trz odma (zmeo%c wew+trz). Poewa7 poletka pod zasew odma przydzelao losowo, teora prawdopodobe,stwa pozwala oblczyk jaka jest szasa powstaa zaobserwowaej wy7szo:c odmay A jedye w wyku przyporz9dkowaa losowego ró7ym poletkom. Je7el w;c :red plo odmay A przewy7sza :red plo odmay B o welko:k tak du79 (w porówau ze zmeo:c9 wew9trz odma), 7e w wyku przypadku mog4oby to s; zdarzyk, powedzmy tylko raz a 00 do:wadcze, (przy welokrotym powtarzau eksperymetu), to jest to sly argumet za tym, 7e co: w;cej 7 przypadek faworyzuje odma; A. To co% w+cej, je:l do:wadczee zosta4o starae przeprowadzoe, mus byk w4a:e wykem wy7szej pleo:c odmay A. Techka takego porówaa tych dwóch zmeo:c zapropoowaa przez Fshera zaa jest pod azw9 aalzy waracj. Stosuek waracj uczestcz9cych w takm porówau zosta4 pósej azway statystyk F dla uczczea zas4ug R. A. Fshera. Dost;po:K formalej dyskusj matematyczej wosków z do:wadczea przeprowadzoego wed4ug schematu Fshera umo7lwa badae sytuacj zbyt skomplkowaych dla ewspomagaej tucj eksperymetatora. Dobrze dobray model matematyczy obserwacj do:wadczalych pozwala eksperymetatorow badak jedocze:e wp4yw welu czyków terakcj m;dzy m. Pozwala tak,e wybra- schematy do%wadczale (opsywae modelam matematyczym) zapewajce efektywe wykorzystae formacj o dza*au badaych czyków. W my:l kocepcj Fshera rozwa7my ajprostsze do:wadczee jakm jest do:wadczee jedoczykowe wed4ug uk4adu ca4kowce losowego, tz. ka7da obserwacja z takego do:wadczea opsywaa jest modelem postac (zob. rozdza4 aalza waracj dla klasyfkacj pojedyczej): yj = m+ a + ej dla =,,, k ; j =,,, ; j ( 0; e ) e N. k =, zak4adamy przy tym, 7e yj N( m+ a ; e ) =,.. Metodyka techka dobwadcze rolczych Do%wadczee (eksperymet) jest to metoda dza4a, a obektach materalych, pozwalaj9ca obserwowak okre:loe reakcje zjawska w warukach kotrolowaych. Eksperymety wykouje s; w celu potwerdzea lub egacj okre%loej teor, która z jedej stroy okre:la :c:le waruk eksperymetu, za: z drugej adaje ses uzyskaej w wyku eksperymetu obserwacj. W4a:e weryfkowaa przez do:wadczee teora decyduje, co w daym eksperymece jest w4a:cw9 obserwacj9, a co tylko estotym jego zak4óceem. Nauk przyrodcze, które ale79 do obszaru aszych zateresowa,, rozwjaj9 s; g4ówe poprzez :wadome eksperymety realzowae w zaych kotrolowaych warukach. Je7el za kryterum podza4u do:wadcze, przyjmemy waruk ch zak4adaa prowadzea, to mo7a je podzelk a eksperymety w warukach sztuczych (laboratoryjych) oraz eksperymety w aturalych warukach polowych. Spora cz;:k wedzy wszelkch auk pochodz te7 z bezpo:redch obserwacj zjawsk zachodz9cych w otaczaj9cym as :wece. Eksperymet bowem, jest swojego rodzaju pytaem jake teora zadaje aturze. Tak w;c p. aketyzacja w ograczeu do pewego obszaru bada, te7 jest eksperymetem.

55 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 55 Do%wadczea wazoowe, zak4adae prowadzoe przede wszystkm w hal wegetacyjej, jak rówe7 w szklarach, ftotroach komorach klmatyzacyjych, staow9 wst;py etap bada, rolczych p. w zakrese awo7ea czy ochroy ro:l. Mog9 cz;sto staowk uzupe4ee do:wadcze, polowych, w których trudo ujedolck czy kotrolowak waruk zew;trze. Do%wadczea szklarowe, mog9 byk prowadzoe w warukach ca4kowce kotrolowaych lub cz;:cowo zbl7oych do aturalych. W owoczesych szklarach temperatura, wlgoto:k temperatura powetrza s9 pod :cs49 kotrol9 przez ca4y rok. A w;c s9 tam waruk dla prowadzea ró7ego typu do:wadcze, o charakterze pozawczym aplkacyjym przez ca4y rok. Zak4adamy je ajcz;:cej w wazoach, specjalych skrzyach lub wr;cz a aturalym, odpowedo przygotowaym pod4o7u glebowym. Do%wadczea w amotach folowych, ajcz;:cej s9 to do:wadczea z wczes9 upraw9 ro:l o w;kszych wymagaach ceplych awozowych. Gleba pod amotem mo7e staowk w4a:cwe pod4o7e lub te7 byk ca4kowce wymeoa do okre:loej g4;boko:c lub tylko a powerzch, a której s9 rozstawoe wazoy czy specjale skrzye, podobe jak w szklar. W do:wadczeach hodowlaych fzjologczych amoty s9 cz;sto stosowae, gdy7 umo7lwaj9 a zolacj; ro:l czy stworzee waruków prowokacyjych (p. suszy) w okre:loych fazach wzrostu rozwoju ro:l. Do%wadczea polowe, maj9 a celu porówawcze badae lo:c jako:c plou ro:l uprawych. Staow9 podstawow9 metod; prowadzea bada, aukowych w zakrese uprawy, awo,ea, hodowl ochroy ro%l. Staow9 jed9 z metod upowszechaa wdra7aa os9g;k aukowych do praktyk rolczej. Aby do:wadczea te mog4y spe4ak te zadaa, musz9 byk zak4adae prowadzoe wg w4a:cwej metodyk techk. Podstawow9 jedostk w tych do:wadczeach jest poletko z którego obserwujemy teresuj9cy as wyk (ajcz;:cej lczbowy). Kolejym elemetem do:wadczea jest czyk do%wadczaly. Jede czyk w do:wadczeu prostym (p. odmay, awo7ee, termy, tp.) lub dwa, trzy, td. czyk w do%wadczeu weloczykowym. W obr;be badaego czyka porówywae s9 obekty czyka (pozomy, waraty, kombacje) w lczbe co ajmej dwóch. Natomast a ogó4 w praktyce e stosuje w;kszej lczby czyków 7 trzy (za wyj9tkem bardzo specyfczych, p. do:wadczea o welu czykach ka7dy rozpatryway tylko a dwóch pozomach). W celu zapewea odpowedej warygodo:c dok4ado:c wyków oraz w4a:cwej ocey b*+du do%wadczalego (merka wp4ywu czyków ekotrolowaych a zró7cowae wyków obektowych), ka7dy z obektów ale7y powtórzyk klkakrote (a ogó4 co ajmej trzykrote). Aalzowae obekty w do:wadczeu s9 rozmeszczae a poletkach wg okre:loej metody, zwaej uk*adem do%wadczalym. W do%wadczeach polowych du7e zaczee ma zjawsko erówomero:c glebowej, która mo7e wyst;powak a polu która jest przyczy9 erówomero:c w ploowau ro:l. Taka zmeo:k glebowa wyka z przyczy aturalych sztuczych. Mo7e oa wyst;powak losowo jak systematycze. Zmeo:K losowa (fluktuacyja), wyst;puj9ca a polu losowo, a ogó4 tylko ezacze wp4ywa a wypaczee wyków do:wadczea. Przed t9 zmeo:c9 zabezpeczamy s; losowym przydza*em obektów do poletek. Natomast wyst;powae zmeo:c systematyczej jest bardzej ebezpecze dla do:wadczea. Te rodzaj zmeo:c wyra7a s; systematycz9 zma9 (wzrost lub spadek) urodzajo:c gleby w jedym keruku pola. Dlatego te7 stosuje s; blokowae poletek, tz. fragmety pola rozlokowae wzd4u7 keruku zmeo:c systematyczej, zaweraj9ce poletka charakteryzuj9ce s; tylko zmeo:c9 losow9. Ogóle mo7a stwerdzk, 7e podza4 do:wadczea a blok ma a celu wyodr;bee Sróde4 ejedorodo:c w eksperymece.

56 56 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH... DoBwadczee jedoczykowe uk:ad ca:kowce losowy Model lowy: yj = m+ aj + ej Pozomy Czyka A w czterech powtórzeach p. wazoy Pla do:wadczea (r obektu, r powtórzea) 4, 3,,,3 3,4,, 4,3 5, 3, 5,,4,4 5,4 4,4 4, 5,3 3,3,3, Tabela z daym Czyk A lczba ce w 00 ml zem Cecha y masa korze selera (gramy z wazou) Czyk_A ,8 6,4 6,0 5,8 5,5 8, 6,3 6, 4,8 4,9 6,9 6,3 6, 6,0 4,7 7,0 5,6 6,3 5,4 5, Tabela daych do oblcze, komputerowych Obekt Czyk_A y cecha 0 6,8 0 8, 0 6,9 0 7,0 50 6,4 50 6,3 50 6,3 50 5, , , , , , , , , , , , ,

57 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH DoBwadczee jedoczykowe w losowaych blokach Model lowy: yj = m+ g j + a + ej Pla do:wadczea dla 5 odma cykor Blok Czyk_A ~~~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ Tabela z daym Odmay cykor jako pozomy czyka A Czyk A Blok , 86, 97,3 8, 90,9 9,4 78,0 99,9 8,0 86,3 3 97,3 89,3 9,7 84,4 84,0 4 9,3 79,6 90,3 78,7 88,9 Tabela daych do oblcze, komputerowych Blok Czyk_A y cecha 96, 86, 3 97,3 4 8, 5 90,9 9,4 78,0 3 99,9 4 8,0 5 86,3 3 97,3 3 89, , , ,0 4 9,3 4 79, , , ,9

58 58 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH..3. Dwuczykowe dobwadczee w uk:adze ezalecym Model lowy: yjk = m+ rk + a + bj + abj + ejk Blok _R 3 4 (,j) Kombacje czyków A&B (3,) (3,3) (,) (,5) (,4) (,4) (3,) (,3) (,) (3,5) (3,4) (,) (,5) (,) (,3) (,5) (,) (,) (,3) (3,4) (,) (,4) (,) (3,3) (,5) (,3) (,4) (3,5) (3,) (3,) (3,) (,) (,5) (3,4) (,3) (,3) (,) (,4) (3,5) (3,) (,4) (,) (,5) (,) (3,3) (,4) (,3) (,) (,) (,5) (,3) (3,4) (3,) (,) (,5) (3,5) (3,3) (3,) (,4) (,) Wyszczególamy blok (tutaj 4), ekoecze obok sebe, które ast;pe dzelmy a poletka w lczbe kombacj ka7dego z ka7dym (tzw. uk*ad krzy,owy) pozomów (3 5=5) dla rozlosowaa kombacj czyków A B. y jk obserwacja cechy z poletka, m efekt g4ówy do:wadczea, r k efekt k tego bloku, a efekt tego pozomu czyka A, b j efekt j tego pozomu czyka B, ab j e jk efekt wspó4dza4aa pozomu tego z j tym, efekt b4;du losowego...4. Dwuczykowe dobwadczee w uk:adze splt-plot Model lowy: () () jk = + k + + k + j + j + jk y m r a e b ab e Blok _R Czyk_A Czyk_B

59 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 59 Wyszczególamy blok (4), które dzelmy a podblok dla rozlosowaa pozomów czyka A (3), a ast;pe dzelmy je a poletka (5) dla rozlosowaa pozomów czyka B. y jk obserwacja cechy z poletka, m efekt g4ówy do:wadczea, r k efekt k tego bloku, a efekt tego pozomu czyka A, () e k efekt b4;du perwszego, b j efekt j tego pozomu czyka B, ab j () e jk efekt wspó4dza4aa pozomu tego z j tym, efekt b4;du drugego...5. Dwuczykowe dobwadczee w uk:adze splt-blocks Model lowy: () () (3) jk = + k + + k + j + jk + j + jk y m r a e b e ab e Blok Czyk B Czyk A Blok Czyk B Czyk A Blok 3 Czyk B Czyk A Ka7dy zdefoway blok (tutaj 3) jest dzeloy a pasy w keruku pozomym p. dla rozlosowaa obektów czyka A (tutaj 5), oraz w keruku poowym p. dla rozlosowaa pozomów czyka B (tutaj 4). Na przec;cu pasów otrzymujemy poletko dla kombacj odpowedch pozomów badaych czyków AB j. W lteraturze przedmotu uk4ad te cz;sto azyway jest uk*adem pasów prostoktych lub uk*adem rozszczepoych bloków.

60 60 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH..6. Kwadrat acsk Model lowy: ( m) ( m) y = w + k + a + e j j m j koluma wersz 3 4 (a) 4 (d) (b) 3 (c) (b) 3 (c) 4 (d) (a) 3 4 (d) (a) 3 (c) (b) 4 3 (c) (b) (a) 4 (d) Wersz Koluma Czyk_A y cecha a 8 d 88 3 b 38 4 c 74 b 06 c 8 3 d 65 4 a 86 3 d 74 3 a c b 07 4 c 5 4 b a d 05 Badaa cecha (y) plo w dkg/poletko (3,6 m ) 4 botypów 4ubu...7. DoBwadczee dwuczykowe wspó:dza:ae czyków Przyk*ad: Badao plo hadlowy w zale7o:c od p;cu preparatów chwastobójczych dwóch termów ch stosowaa. Tak w;c mamy: czyk A preparaty chwastobójcze o 5 pozomach (obektach), czyl badao p = 5 ró7ych preparatów; czyk B termy o q = pozomach (obektach), odpowedo () po posadzeu czosku, () po ukorzeeu s; ro:l. Do:wadczee przeprowadzoo w polu w sze:cu powtórzeach (blokach). Welko:K poletka wyos4a 7, m. Wyk do:wadczea zestawoe s9 w po7szej tabel: Czyk Powtórzea Blok A B ,67,86,34,47,5,8,9,0,7,08,8,74,0,36,9,5,68,63,75,5,0,6,7,34 3,48,6,0,8,68,70 3 3,36,00,8,6,93,54 4,45,47,34,05,65,9 4,6,68 3,5,77,74,06 5,,9 3,5,30,77,40 5,37,90,83,8,7,35

61 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 6 Jest to do:wadczee dwuczykowe za4o7oe w uk4adze ezale7ym, tz. kombacje pozomów czyków s9 przyporz9dkowywae do poszczególych poletek (jedostk do:wadczale) w bloku róworz;de ezale7e w ka7dym z bloków, tz. wtedy m.. stej9 techcze mo7lwo:c wykoaa wszelkch zabegów ezale7e a poszczególych poletkach. Dla przeaalzowaa przedstawoych daych do:wadczalych zastosowak metod; aalzy waracj. Model lowy obserwacj z tego do:wadczea jest postac: yjk = m+ rk + a + bj + abj + ejk. Na podstawe wyków yjk mamy do zweryfkowaa trzy hpotezy: H H H : = 0, 5 0 A a = : = 0, 0B b j= j. 5 0 AB ab = j= j : = 0 Hpotezy te mów9 o braku addytywego dza4aa wspó4dza4aa a wyk do:wadczea czyków poddaych badau (wszystke efekty s9 zeram), wobec hpotez alteratywych HA; HB; H AB e wszystke efekty s rówe zeru. Aalza waracj dród4o zmeo:c Stope Suma swobody kwadratów ered kwadrat Test F P_value Blok 5 4, , ,57 0,0004 Preparaty 4,93 0,383,03 0,065 Termy 0, , ,6 0,6878 Wspó4dza4ae 4,775 0,443804,79 0,0375 B49d 45 7,635 0,598 Ca4kowta 59 4,697 Z powy7szej tabel wyka, 7e stoty wp4yw a ko,cowe wyk eksperymetale ma tylko wspó4dza4ae wspóle oddza4ywae badaych czyków ( = 0,05 > 0,0375 ), atomast ch samodzelego oddza4ywaa e stwerdzamy (dla preparatów mamy relacj;: = 0,05 < 0,065, podobe dla termów: = 0, 05 < 0, 6878 ). Istoto:K dla bloków potwerdza am, 7e w4a:cwym wyborem by4 uk4ad losowaych bloków. Mo7emy tutaj zaechak szczegó4owego aalzowaa :redch dla poszczególych pozomów badaych czyków, a zaj9k s; tylko :redm terakcj czyków.

62 6 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Iterpretacj wspó7dza7aa (terakcj) Porówaa redch (B) Termy (A) Preparaty erede,507,035,60,858,7,37,37,0,485,93,760,79 erede,3,8,33,076,943,58 NIR T (0,05) (Termy) = 0,075 (lczba termów q = ); NIR T (0,05) (Preparaty) = 0,468 (lczba preparatów p = 5 ); NIR T (0,05) (Termy/Preparaty) = NIR T (0,05) (T) p = 0,464; NIR T (0,05) (Preparaty/Termy) = NIR T (0,05) (P) q = 0,655. WprowadSmy poj;ce precyzj do:wadczea, której ocea jest rówa aszego do:wadczea mamy: s e se y 00%. Dla 0,598 00% 00% 8,5% y =,587, co ozacza ew4a:cw9 precyzj; (>5%). Prawdopodobe ezbyt starae do:wadczee zosta4o wykoae. Mo7a oczyw:ce grafcze aczej przedstawk asze :rede terakcj. Na po7szym rysuku bardzej wdocza jest ró7a reakcja :redch ploów a zmay pozomów badaych czyków. Wdocza jest podoba reakcja preparatów r 5, oba powoduj9 gorsze ploy przy stosowau w drugm terme. Natomast pozosta4e preparaty dza4aj9 aczej. Stosowae ch w drugm terme powoduje zwy7k; ploów wzgl;dem perwszego termu, choca7 ka7dy z preparatów w ró7ym stopu.

63 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 63 Przyk*ad aalzy ego do:wadczea dwuczykowego Dae pochodz9 z do:wadczea z kukurydz9, w którym jedym czykem by4y odmay (8 odma), drugm za: sposób ch traktowaa, tz. wyst;powa4a ochroa fugcydam przed Kabatell zgorzel podstawy 4odyg oraz brak tej ochroy czyl aturala fekcja. dr. zmeo:c St. sw. Sum. kwd. er. kwd. Femp P-stwo Blok 40,786 0,393 0,588 Odmay (A) 7 3, ,908,857 <0, Traktowae (B) 5,7 5,7 43,888 <0, Wspó4. A*B 7 933,0 33,89 3,843 0,0046 B49d ,46 34, Uk:ady bloków ekompletych zrówowacoych W do:wadczeach przeprowadzaych w uk4adze losowaych bloków z ró7ych przyczy mo7e wykak brak kompletu obektów w bloku. Brak te mog9 byk ezamerzoe przez eksperymetatora, ale tak7e celowo przez ego plaowae. Plaowae do:wadcze, w uk4adze losowaych bloków ekompletych wyka z potrzeby przebadaa w;kszej lczby obektów, a zastosowae uk4adu losowaych bloków kompletych jest z ró7ych wzgl;dów ewskazae lub emo7lwe do wykoaa. Czym charakteryzuje s; tak uk4ad zrówowa7oy o ekompletych blokach? Otó7, je7el ka7dy blok zawera t; sam9 lczb; badaych obektów s9 oe ustawoe w te sposób, 7e ka7da para obektów wyst;puje razem w jedakowej lczbe bloków, to uk4ad tak azywamy zrówowa,oym. Wychodz9c z powy7szej charakterystyk ozaczaj9c przez p ogól9 lczb; obektów, q lczb; bloków, k lczb; obektów w bloku (k < p), r lczb; powtórze, (replkacj) ka7dego obektu, a przez - lczb; bloków w których wyst;puje jedocze:e ka7da para obektów, to mamy dwe rówo:c: p r q k = =, ( p ) r ( k ) - =, przy czym perwsza okre:la ogól9 lczb; obserwacj, druga ogól9 lczb; spotka, ka7dego obektu z pozosta4ym obektam. Lczby ( pqrk-,,,, ) oraz przedstawoe powy7ej relacje m;dzy m, charakteryzuj9 uk*ad zrówowa,oy o blokach ekompletych.

64 64 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Jedym ze sposobów takego grupowaa jest 7mude, bezpo:rede przyporz9dkowae obektów do poszczególych bloków. S9 oczyw:ce 4atwejsze sposoby, p. tak uk4ad mo7a otrzymak przez wybór okre:loej lczby werszy lub kolum kwadratu *acskego (tzw. uk*ad Youdea). Uk*ad Youdea: p= q= 7, r = k = 4, - = bl. bl. bl. 3 bl. 4 bl. 5 bl. 6 bl Jeszcze ym sposobem zapewea zrówowa7ea uk4adu bloków ekompletych dla testowaa p= k obektów mo7e byk uk4ad powsta4y z k + krat kwadratowych. Na przyk4ad dla lczby obektów p= k = 3 = 9 przyk4adowe ch rozmeszczee przy zastosowau uk4adu kratowego typu k jest postac: I krata II krata III krata IV krata bl. bl. bl.3 bl.4 bl.5 bl.6 bl.7 bl.8 bl.9 bl.0 bl. bl W te sposób otrzymal:my uk4ad q k ( k ) = + bloków o k obektach w ka7dym z bloków. Lczba powtórze, ka7dego obektu wyos r = k + jest rówa lczbe krat, a lczba spotka, pary obektów jest rówa jedo:c ( p= 9, q=, r = 4, k = 3, - =, = 36). Zauwa7my, 7e je7el potraktujemy kraty jako blok, wtedy mamy uk4ad czterech bloków kompletych. Przyk*ad: Badao wp4yw 9 kombacj awo7ea meralego a welko:k plou bulw pewej odmay zemaka. Wyk z do:wadczea, jak w po7szej tabel: bl. bl. bl.3 bl.4 bl.5 bl.6 bl.7 bl.8 bl.9 bl.0 bl. bl. ob ob ob ob ob ob ob ob ob Powy7sze dae mo7a aalzowak jako dae w uk4adze kompletym (blok = kraty) lub w uk4adze -stu bloków ekompletych. Jak lepej dla kokretego przypadku?

65 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 65 Efektywo:K w ocee ró7c m;dzy :redm obektowym uk4adu ekompletego wzgl;dem kompletego wyos: e( kompl) p s 00%. k k + s ( ) e( ekompl) Dla aszego przyk4adu mamy odpowadaj9c9 warto:k: 9 87,33 00% = 70%, 307,833 która wskazuje a ma49 skuteczo:k zastosowaa uk4adu bloków ekompletych. Wyka to zapewe z faktu ma4ej zmeo:c glebowej (dla: krat P value = 0,7, bloków P value = 0,456 ), atomast stracl:my do:k du7o stop swobody dla b4;du (4 do 6). Nale7y s9dzk, 7e przy w;kszej zmeo:c glebowej uk4ad bloków ekompletych by4by skuteczejszy w zastosowaach. WeSmy przyk*adowe wyk ego do:wadczea polowego z zemakem, zrealzowaego w detyczym uk4adze kratowym bloków ekompletych o aalzowaej cesze reprezetowaej tak7e przez plo bulw: bl. bl. bl.3 bl.4 bl.5 bl.6 bl.7 bl.8 bl.9 bl.0 bl. bl. ob ob ob ob ob ob ob ob ob WskaSk efektywo:c bloków ekompletych wzgl;dem kompletych wyos tutaj: 94,597 00% = 84,3%.,36 Zró7cowae bloków okaza4o s; tutaj wysoce stote dla krat P value = 0,88, atomast dla bloków P value < 0, Wybór uk4adu ekompletego tutaj okaza4 s; w4a:cwy.

66 66 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH..9. Uk:ady bloków ekompletych czabcowo zrówowacoych Uk4ad kratowy zrówowa7oy, realzoway tylko w pewym fragmece staje s; uk4adem cz;:cowo zrówowa7oym. To zaczy takm uk4adem, w którym cz;:k obektów badaych spotyka s; jedocze:e w tym samym bloku ekompletym, ale b;d9 take, które e spotykaj9 s; a razu w którymkolwek bloku. Na przyk4ad uk4ad opsay schematem: I krata II krata III krata bl. bl. bl.3 bl.4 bl.5 bl.6 bl.7 bl.8 bl.9 bl.0 bl. bl Uk4ad te staow9 trzy wybrae kraty z 5 krat uk4adu zrówowa7oego, przy pomocy którego mo7a przeprowadzk eksperymet porówawczy z 6 obektam. Efektywo:K tego uk4adu ekompletego w ocee ró7c m;dzy :redm obektowym wzgl;dem uk4adu kompletego dla obektów spotykajcych s; ze sob9 (te w;kszy, lepszy) wyra7a s; wzorem: p( k ) se( kompl) 00%. k p s ( ) e( ekompl) Kolejym przyk4adem uk4adów ekompletych cz;:cowo zrówowa7oych s9 tzw. kraty prostokte. Lczba porówywaych obektów jest loczyem dwóch kolejych lczb ca4kowtych, tz. jest okre:loa wzorem: ( ) p= k k +, gdze perwszy czyk ( k ) okre:la lczb; obektów w bloku, drug za: ( k + ) lczb; bloków w powtórzeu. W kratach prostok9tych e mo7a uzyskak pe4ego zbalasowaa (zrówowa7ea) obektów. Mo7lwe s9 tylko cz;:cowo zrówowa7oe, pojedycze lub welokrote kraty prostok9te. Przyk*ad kraty prostok9tej czterokrote powtórzoej z obektam: Krata Blok Obekty Blok Obekty Netrudo zauwa7yk, 7e w ka7dym bloku ekompletym mamy po trzy obekty a ka7da krata (powtórzee) zawera cztery blok. m9cze w;c mamy tutaj 6 bloków, a ka7dy obekt jest powtórzoy 4 razy. Przyk*ad aalzy do:wadczea z zastosowaem kraty prostok9tej. W do:wadczeu z 7ytem badao 7 rodów a tle 3 odma. Do:wadczee wykoao w uk4adze 0 bloków ekompletych (krata prostokta czterokrote powtórzoa, tz. cztery

67 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 67 obekty w bloku, p+- bloków w krace 49cze p k ( k ) = + = 4 5= 0 obektów w czterech powtórzeach, 80 wyków obserwacj). Bada9 cech9 jest plo z poletka (0m ). dród4o zmeo:c St. sw. Suma kwd. er. kwd. Femp P-stwo Blok 9,6468 0,630 0,8830 Obekty 9 7,545 0,934,3303 0,75 Reszta 4 8,463 0,694 Aalza waracj e wykazuje ró7c m;dzy warto:cam :redch ploów z poletka badaych obektów ( = 0,75 ). Precyzja (b49d) do:wadczea w ocee ró7k m;dzy warto:cam :redm aalzowaych obektów zawera4a s; w przedzale <8,6% 9,48%>, tz. :reda precyzja wyos4a 8,9%. Warto:c te wskazuj9, 7e do:wadczee by4o przeprowadzoe prawd4owo. Najprawdopodobej te obekty ze wzgl;du a warto:c :rede jedak e by4y zró7cowae...0. DoBwadczea welokrote Termem do%wadczea welokrote okre:lamy do:wadczea powtarzae w pe4ym uk4adze w ró7ych warukach przyrodczych. W przypadku do:wadcze, rolczych s9 to przewa7e do:wadczea z ró7ym odmaam ro:l uprawych, tzw. odmaowe, powtarzae w mejscowo:cach latach. Zmee waruk przyrodcze, reprezetowae przez mejscowo:c czy laboratora, czy te7 zespól waruków klmatyczych, okre:laych umowe lata, staow9 keruk klasyfkacj o charakterze losowym daych empryczych uzyskwaych z do:wadcze, welokrotych. Dlatego modele matematycze stosowae w ch opracowaach b;d9 z regu4y modelam meszaym. Ne mej jedak cz;sto czyk lat lub mejscowo%c przyjmuje s; jako maj9ce charakter sta4y (ustaloe lata, ustaloe mejscowo:c). Oblczea prowadz9ce do aalzy waracj wyków do:wadczea welokrotego poka7emy a przyk4adze eksperymetu w losowaych blokach z p;coma odmaam truskawek, przeprowadzoego w dwóch kolejych latach potraktowaego jako uk4ad splt-plot. dród4o zmeo:c St. sw. Suma kwd. er. kwd. Femp P-stwo Blok ,6 949, 4,95 0,06 Lata (A) 609,48 609,48 9,75 0,054 B49d I 3 855,84 68,65 Odmay(B) 4 96,36 99,089,4 0,070 Iterakcja: A B 4 683,75 40,938 3,0 0,038 B49d II ,59 39,86 Na podstawe powy7szej aalzy stwerdzamy stote ró79 reakcj; odma truskawk a waruk klmatycze uwzgl;doych lat. Dobrze jest tutaj zauwa7yk, 7e wz;ta tutaj do aalza lczba lat jest staowczo za ma4a. Na ogó4 mmala lczba aalzowaych lat powa wyosk trzy. Oczyw:ce, aalza jedoroczego czy dwuletego do:wadczea mo7e byk zawsze traktowaa jako aalza do:wadczea plota7owego. Tak traktuj9c asz9 aalz; mo7emy zauwa7yk, 7e zachodz9 du7e szase a to, by badae odmay podejrzewak o wzajeme zró7cowae w :redch ploach.

68 68 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 3. POJLCIE KONTRASTU W aalze waracj daych podlegaj9cych klasyfkacj weryfkuje s; tzw. globale hpotezy zerowe o braku wp4ywu daego kryterum klasyfkacj a aalzowa9 cech;. Odrzucee takej hpotezy globalej e ozacza wyst;powaa ró7c m;dzy wszystkm :redm podklas wykaj9cych z przyj;tej klasyfkacj. Przecwe, cz;sto pewe podgrupy :redch (czy efektów) e s9 stote zró7cowae, zw4aszcza gdy lczba podklas jest lcza. Badacza za: cz;sto teresuj9 kokrete szczegó*owe porówaa par :redch lub wybraych podgrup. Temu celow s4u79 testy porówa, welokrotych oparte a ajmejszych stotych ró,cach (NIR) m;dzy :redm lub testy stoto:c tzw. kotrastów. Testy te zajduj9 zastosowae zarówo w klasyfkacj pojedyczej jak welokrotej. Poj;ce kotrastu zdefujemy a przyk4adze klasyfkacj pojedyczej. Nech y = y + aˆ ( =,,, p) b;dze zborem porówywaych :redch. Kotrastem azywamy lowa fukcj; tych :redch: p p p p ( ˆ) ˆ, L= c y = c y + a = c a = = = tak9, 7e c 0 = =. Jest to porówae cz;:c :redch opatrzoych wspó4czykam dodatm z 9 cz;:c9 ze wspó4czykam ujemym. Wdzmy te7, 7e kotrast m;dzy :redm jest rówowa7y kotrastow m;dzy oceam efektów klasyfkacj. Szczegó4owym przypadkem kotrastu jest porówae wybraej pary :redch. Wtedy jede ze wspó4czyków c jest (przy jedej :redej) jest rówy, a y (przy drugej :redej) jest rówy, pozosta4e s9 zeram. Ocea b4;du dla takego kotrastu jest rówa: s L p e c = s =, r gdze jest lczb9 sk4adków z których oblcza s; :red9 y. St9d fukcj9 testow9 dla hpotezy, 7e ustaloy kotrast L ma warto:k oczekwa9 rów9 zero, tz. hpotezy H0 : E( L ) = 0, jest statystyka t emp p L L L p c y c aˆ L = = = = =, s s s o rozk4adze t Studeta. Porówuj9c jej warto:k z warto:c9 krytycz9 t ;v, weryfkujemy asz9 hpotez; zerow9 H 0 : E ( L ) = 0. Test t Studeta mo7e tu byk zast9poy testem F, bo statystyka ma rozk4ad F z v stopam swobody. r L emp = Femp = p se c = t,

69 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 69 Test te mo7emy stosowak do sprawdzea ser ezale7ych kotrastów. Tak uk4ad ezale7ych kotrastów staow9 kotrasty wzajeme ortogoale, tz. L L s9 p ortogoale, gdy c c = 0. Je:l porówujemy p :redch, to steje p kotrastów = ortogoalych, przy czym p r Lj p j= p = c = j ( ) = r y y = var A. WróKmy do wyków do:wadczea z lczb9 ce. erede pozomów przedstawa po7sza tabela: L_ce y 7,5 6,50 6,50 5,500 5,075 5,075 4,400 y dla poszczególych Jeste:my zateresowa kotrastem przypadków o lczbe ce do 00 oraz powy7ej tej p lczby. Wektor aszych wspó4czyków c spe4aj9cy waruek c = 0 mo7e byk postac St9d wylczoa warto:k atomast b49d kotrastu: 7,95 L = ,,,,,, = wyka z po7szych oblcze,: 4 ( 7,5 6,5 6,5 ) ( 5,5 5,075 5,075 4,4 ) p se c = 0,35 8 sl = = = 0,5458 = 0,73655, r 43 wobec tego odpoweda statystyka jest rówa: 7,95 t emp = = 8,4, 3 0,73655 która to welko:k porówujemy ze statystyk9 t ; v =, a to ozacza wysoce ( P value < 0,00005 ) stote zró7cowae :redej trzech perwszych pozomów wzgl;dem :redej pozosta4ych czterech pozomów badaego czyka. Isteje wele ró7ych testów dla porówa, welokrotych opartych o ajmejsz9 stot9 ró7c; m;dzy :redm (NIR). We wszystkch przypadkach warto:k NIR oblczaa jest wed4ug tej samej zasady: jest oa loczyem ocey b*+du ró,cy %redch sr przez wspó*czyk T ; pv ; zapewaj9cy okre:loy pozom stoto:c w porówaach welokrotych ( prawdopodobe,stwo udowodea we wszystkch porówaach choca7 raz ró7cy, której e ma). Wspó4czyk te zale7y e tylko od, v stop swobody dla b4;du, ale od lczby p porówywaych :redch. Jest zatem: NIR = T s. ; pv ; W zale7o:c od sposobu dokoywaych porówa, wyberamy T ; pv ; wersje NIR. Gdy p =, test NIR pokrywa s; ze zwyk4ym testem t Studeta. r otrzymuj9c ró7e

70 70 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Wyró7amy m.. NIR wed4ug Tukey a, Newmaa-Keulsa oparte a stosowau studetyzowaego rozst+pu, Ducaa oparte a stosowau rozk4adu zapropoowaego przez autora, Duetta do porówa, :redch z których jeda jest traktowaa jako kotrola, td.

71 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 7 4. TRANSFORMACJE DANYCH EMPIRYCZNYCH Test F stosoway w aalze waracj do sprawdzaa hpotez zerowych wymaga za4o7e, o sk4adkach losowych modelu lowego, które formu4ujemy jako: ormalo:k rozk4adu sk4adków losowych, ezale7o:k b4;dów losowych od efektów klasyfkacj stablo:k b4;dów. Poza tym w modelach z jed9 obserwacj9 w podklasach, gdy terakcja ajwy7szego rz;du jest uwk4aa (erozdzela) ze sk4adkem losowym, zak4ada s; brak tej terakcj, czyl addytywo:k pozosta4ych efektów (p. model do:wadczea jedoczykowego w uk4adze losowaych bloków). Oceam tych sk4adków losowych s9 ró7ce m;dzy daym empryczym a oceam parametrów wylczaych z tych daych. Na przyk4ad dla klasyfkacj pojedyczej s9 oe rówe: eˆ = y mˆ aˆ = y y. j j j Modele lowe (p. dla klasyfkacj pojedyczej: yj = m+ a + ej ) s9 wygodym arz;dzem modelowaa matematyczego prowadz9cego do aalzy statystyczej daych empryczych. Jedak7e w wypadkach welu cech aalza waracj wed4ug modelu wykaj9cego z uk4adu do:wadczalego e mo7e byk stosowaa ze wzgl;du a espe4ee za4o7e,. Trudo:K t; mo7a rozw9zak stosuj9c odpowedo dobrae trasformacje daych, przybl7aj9ce rozk4ad zmeych trasformowaych do ormalego, a przyajmej stablzuj9ce ch waracj;. Nale7y pam;tak, 7e je7el stosujemy trasformacj; daych, wtedy wszelke woskowae ogóle szczegó4owe dotyczy daych trasformowaych. Wszelke ocey :redch wed4ug daych pocz9tkowych (przed trasformacj9) mo7e mek tylko ses opsowy dla aalzowaego zjawska. Zamaa procetów a stope ktowe (trasformacja Blssa) jest wykoywaa zgode ze wzorem: z = arcs y, gdze y procet osobków maj9cych (lub e) bada9 cech;. Je7el dae emprycze dotycz9 takch procetów jak p. wlgoto:k gleby, procet cukru czy ba4ka, wtedy trasformacja jest zb;da. Natomast je7el w procetach wyrazmy e pew9 cech; lo:cowa, lecz lczb; osobków, które maj9 da9 cech; (lub e), p. owoc jest zdrowy lub pora7oy, asoa uszkodzoe lub euszkodzoe, to mamy do czyea z rozk4adem dwumaowym, a zatem ale7y zastosowak to przekszta4cee przed wykoaem aalzy waracj. Je7el lczb; osobków maj9cych (lub e) bada9 cech; oblczoo a podstawe du7ej lczby przypadków (powy7ej 00) a warto:c emprycze meszcz9 s; m;dzy 0 a 80%, to mo7a stosowak aalz; waracj bez trasformacj daych. Dla warto:c procetowych mejszych 7 0 oraz w;kszych 7 80 ale7y zawsze stosowak trasformacj; Blssa. Przekszta*cea perwastkowe Je7el dae emprycze chcemy opracowak metod9 aalzy waracj, maj9 rozk4ad Possoa, to przekszta4camy je wed4ug wzoru: z = y lub z = y+ 0,5. Zmee y ozaczak mo7e p. lczb; bakter w polu wdzea, lczb; rozga4;ze, a krzewe ró7y, tp. Przekszta4cae daych wed4ug wzoru z = y+ 0,5 stosujemy dla ma4ych warto:c y < 0, atomast z = y dla warto:c 0 y 50. Dla y > 50 mo7a przeprowadzak oblczea aalzy waracj bez przekszta4ce,.

72 7 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Przekszta*cea logarytmcze Zama; daych empryczych przeprowadzamy wed4ug wzoru: z = log y lub z = log( y+ ) gdy wyst;puj9 warto:c zerowe. Stosujemy to przekszta4cee ajcz;:cej w do:wadczeach z ochroy ro:l, p. gdy lczba szkodków wykazuje zacze wahaa m;dzy poletkam, lub gdy wyst;puj9 dae o szerokm rozrzuce, tz. jedo-, dwu- lub trzycyfrowe. Ne jest zatem spe4oe za4o7ee o jedakowych waracjach porówywaych obektów. Poadto, je7el stosuek odchylea stadardowego do :redej (czyl wspó4czyk zmeo:c) jest sta4y u porówywaych obektów, to rówe7 ale7y stosowak przekszta4cea logarytmcze.

73 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH ANALIZA WSPÓZALENNOCI Dotychczas rozpatrywae by4y zborowo%c statystycze (populacje) ze wzgl;du a jed cech+. W rzeczywsto:c zjawska e s9 zolowae wzajeme, lecz zachodz9 m;dzy m mej lub bardzej :cs4e zale7o:c. Celem *czego badaa zjawsk jest, czy m+dzy m zachodz jake% zale,o%c, jaka jest ch s*a, kszta*t keruek. Zjawska opsywae s9 w praktyce przez warto:c pewych zmeych. Wspó4zale7o:K m;dzy tym zmeym mo7e byk dwojakego rodzaju: fukcyja stochastycza (probablstycza). Zale7o:c fukcyja: y = f ( x), p. warto:k utargu u = z p, gdze z lczba sprzedaych wyrobów po cee p; pole kwadratu S = a, gdze mamy bezpo:red9 zale7o:k pola od welko:c boku kwadratu. Zajmemy s; szczególym przypadkem zale7o:c stochastyczej, maowce zale,o%c korelacyj. W ajprostszym przypadku populacj dwucechowej ( xy, ) mamy, 7e kokretej warto:c jedej zmeej odpowada pewa przec+ta (:reda) warto:k drugej zmeej. Wykryce zwzku korelacyjego okre:lee s4y tego zw9zku przy pomocy wspó*czyka korelacj r xy, pozwala a g4;bsz9 aalz; przyczyow-skutkow procesów gospodarczych czy zjawsk bologczych. Tylko take zjawska m;dzy którym steje w;s przyczyowoskutkowa jest ses rozpatrywak. Zw9zk take mog9 byk jedostroe (p. awo7ee a plo, czyl jedostroe oddza4ywae przyczyy a skutek) lub dwustroe przyczya skutek mog9 zameak s; mejscam, p. produkcja w sztukach (x) a cea jedostk (y) po7sza tabela, ale tak7e zw9zk o korelacj pozorej, p. lczba zarejestrowaych odborków telewzyjych a lczba chorych umys4owo, lczba gazd bocach a lczba urodz Suma x y 8, 6,8 6,5 5,5 3,8,7,0 0,8 6,3 Bxx Byy 33,4 8,4 7,5 40,5 90,44 6,9 44,00 6,64 738,35 Bxy , ,5 Zale,o%- korelacyja polega a tym, 7e okre:loym warto:com jedej zmeej odpowadaj9 :c:le okre:loe %rede warto%c drugej zmeej. Mo7emy zatem ustalk, jak zme s; warto%- %redej zmeej Y w zale7o:c od zmay warto:c zmeej ezale7ej X. W praktyce p. sformu4owae: zw+kszoe awo,ee powoduje wy,sze ploy ozacza to, 7e zw;kszaj9c awo7ee w uprawe pewej ro:ly e zawsze uzyskamy zw;kszoe ploy. B;d9 przypadk zw;kszoego, takego samego 7szego plou, ale uzyskwae %rede ploy przy wy,szym awo,eu b+d wy,sze od %redch ploów uzyskwaych przy,szym awo,eu. Nale7y stwerdzk,,e je%l m+dzy badaym zmeym e ma zwzku stochastyczego, to e ma rówe, m+dzy m zwzku korelacyjego. Natomast stwerdzee odwrote e jest prawdzwe. Wyka to z faktu, 7e okre:loej lczbe detyczych waratów zmeej odpowada zawsze ta sama %reda, ale da9 %red mo7a uzyskak z ró7ej kombacj waratów zmeej. Np. waratom (warto:com) cechy plo 6 68 odpowada %reda 65, ale %red 65 mo7a uzyskak tak7e z waratów, jak 60 70, 0 0, td. W praktyce w;c, badae zw9zków korelacyjych ma ses jedye wtedy, gdy m;dzy zmeym steje w+v przyczyowo-skutkowa, daj9ca s; logcze wyt4umaczyk. Badaa zale7o:c typu korelacj pozorej (awet stotej statystycze), raczej s9 pozbawoe sesu. Aalza zw9zków m;dzy zjawskam powa w;c byk jako%cowa lo%cowa. Najperw a podstawe aalzy merytoryczej ale7y uzasadk logcze wyst;powae zw9zku, a dopero potem mo7a przyst9pk do okre:laa stopa (s4y) keruku zale7o:c.

74 74 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH W zw9zkach przyczyowo-skutkowych mo7a wyró7k zw9zk dwustroe (wzajeme oddza4ywae przyczyy skutk mo7a zameak mejscam) jedostroe (proste) w których mamy wyrase okre:lo9 przyczy+ oraz skutek, a badae zwzku korelacyjego jest mo7lwe tylko wtedy, gdy przyajmej jeda cecha jest merzala. W celu okre:lea stopa zale7o:c m;dzy zmeym mo7a pos4u7yk s; wspó*czykem korelacj Wspó*czyk korelacj lowej (Pearsoa) m;dzy cecham merzalym jedostkowym przyrostom jedej zmeej (przyczyy) towarzyszy, :redo bor9c, sta4y przyrost welko:c drugej zmeej (skutku). Wspó4czyk korelacj: r xy = ( xy) cov,, var x var y gdze: cov xy = x x y y = = ( )( ) = xy x y = = =, gdze: ( ), var x= cov xx= x x = x x x Dla warto:c powtarzaj9cych s; mamy: k = = = = var y = cov yy mamy, 7e r xy +. ( )( ) k = k k xy x y = = = cov xy = x x y y = = N N =, za: var x= cov xx, var y = cov yy. W powy7szym przyk4adze, mamy: cov xy = 4375,5 ( 030 6,3 ) / 8 = = 4375, = 63,5 var x = ( ) / 8 = 8650, ( ) r xy, var y = 738,35 6,3 6,3 / 8 = 47, ,5 63,5 = = = , ,56 63,5 = =0,9854; D = 97,% 6405,0066 Mo7emy mówk o korelacj lowej ujemej m;dzy cecham jeda cecha (zmea) o warto:cach ros9cych (p. produkcja), druga atomast o warto:cach malej9cych (p. cey). Wyrazem ujemej zale,o%c jest ujema warto%- wspó*czyka korelacj. Z korelacj9 low9 dodat mamy do czyea gdy zmaom ros9cym jedej zmeej towarzysz9 ros9ce zmay drugej (jak w po7szym przyk4adze dae z urz;du stau cywlego).

75 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Suma y Oa x O Bxx Byy Bxy var y = 5665 ( ) /0 = 4,5 ; ( ) var x = /0 = 69,6 ; cov xy = 577 ( ) /0 = 34,0 ; 34, r xy = = = = 0,86. 4,569, ,4606 Mamy tutaj wysok wspó4czyk korelacj lowej. Stope zale,o%c korelacyjej: r xy = 0,0 brak (e wyst;puje), 0,0 < r xy < 0,3 s4aby stope,, 0,3 r xy < 0,5 :red stope,, 0,5 r xy < 0, 7 zaczy stope,, 0,7 r xy < 0,9 wysok stope,, 0,9 r xy <, 0 bardzo wysok stope,, r xy =, 0 zale7o:k fukcyja. Wspó4czyk korelacj z próby w przypadku hpotezy o braku korelacj m;dzy cecham (tz. wspó4czyk korelacj w populacj jest rówy zero H0 : C = 0 ) mo7e byk wykorzystay do kostrukcj testu stoto:c, tz. dla H0 : C = 0, gdy7 zmea postac t emp r = emp remp ma rozk4ad t Studeta o lczbe stop swobody., Je7el temp t ;, gdze t ; jest warto:c9 krytycz9 testu t, to H0 odrzucamy. Z postac zmeej t emp mo7a okre:lk warto:k krytycz9 wspó4czyka korelacj, której przekroczee przez warto:k r emp :wadczy o stoto:c korelacj. Warto:K krytycz9 r ; zajdujemy ze zw9zku (st9d odpowede tablce) r ; = t + t ; ; Kwadrat wspó4czyka korelacj, wyra7oy w procetach, os azw; wspó*czyka determacj. Np. determacja 50% odpowada korelacj r = 0,707, gdy7 r = 0,5..

76 76 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Wspó*czyk determacj z ostatego przyk4adu wyos D= r xy 00% = 74,3%, tz. w 74,3% zmay jedej cechy (y wek 7o) s9 uwarukowae zmaam cechy drugej (x wek m;7ów). Wspó*czyk korelacj kolejo%cowej (rag, rz+du welko%c) Spearmaa tak,e mo,e s*u,ydo opsu s*y korelacj dwóch cech, zw4aszcza wtedy, gdy maj9 charakter jako:cowy mo7a obserwacje uporz9dkowak, czyl adak odpowede rag, jak a przyk4ad: y Oa x O ( y) q rag ,5 8, ( x) q rag 3,5 5,5 3,5 5,5 8,5 7 8, d 0,5,5 0,5 3 0,5,5, d 0,5 6,5 0,5 9 0,5,5,5 0 0,5 gdze ( x) ( y) d = q q, za: wspó4czyk korelacj Spearmaa wyra7a s; wzorem: r S d =. 6 6,5 = = = 0, ( )

77 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH FUNKCJA REGRESJI Narz;dzem badaa mechazmu pow9za, m;dzy zmeym (cecham) jest fukcja regresj. Jest to aaltycza metoda przyporz9dkowaa :redch warto:c zmeej obja%aej (zale7ej) kokretym warto:com zmeych obja%ajcych (ezale7ych). W ajprostszym przypadku (dwe zmee), fukcj regresj I-go rodzaju zmeej losowej Y wzgl;dem zmeej losowej X azywamy: ( ) ( ) Aalogcze mamy dla odwrotej sytuacj EY X= x = m x dla=,,,. ( ) ( ) E X Y = y = m y dla =,,,. Aaltycze postace fukcj m (x ) oraz m (y ) s9 zwykle ezae. Mo7a atomast wyzaczyk emprycz9 l; regresj a podstawe daych, 49cz9c pukty o wspó4rz;dych ( x, y x ). Tak wykres pozwala a postawee hpotezy a temat typu fukcj matematyczej (lowa, wyk4adcza, tp.) opsuj9cej mechazm pow9za, m;dzy badaym cecham. Mówmy wtedy o fukcj regresj II-go rodzaju. Tak, w;c jest oa aproksymat9 (przybl7eem) fukcj regresj I-go rodzaju, opsuj9cej zale7o:k korelacyj9 zmeych a podstawe losowej próby. Wybór aaltyczej postac fukcj regresj II-go rodzaju e jest spraw9 4atw9. Decyzj; o klase fukcj ale7y podejmowak e tylko a podstawe wst;pej aalzy matera4u statystyczego, ale rówe7 a podstawe Sróde4 pozastatystyczych. 6.. Regresja lowa dwu zmeych Dae par obserwacj (x, y ) cech X Y (zmee losowe). Regresja I-go rodzaju opsuj9ca zale7o:k low9 zmeej losowej Y od zmeej X jest postac E(Y X = x ) = m(x ) = bx + a. Model regresj II-go rodzaju (rówae) opsuj9ce pow9zae (tutaj lowe) m;dzy param obserwacj (x, y ) y = m(x ) + e = bx + a + e, =,,,, gdze m(x ) s9 warto:cam :redm cechy Y dla warto:c x cechy X, za: e = y bx a s9 odchyleam (losowym, czyl statystycze estotym). Szukamy takej prostej by suma kwadratów warto:c e by4a jak ajmejsza (metoda ajmejszych kwadratów). y bx + a e y = bx + a x

78 78 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Zapszmy, 7e S = S ( a,b) = ( y bx a) = (x oraz y s9 dae, a w;c sta4e). S jest fukcj9 dwóch zmeych a b. Zalezee mmum tej fukcj sprowadza s; do polczea pochodych cz9stkowych: D S = a = D S = b = ( y bx a), x( y bx a) D, D przyrówuj9c je do zera, zajdujemy ch jedye mejsce zerowe rozw9zaa ze wzgl;du a a b, rówe: ˆ cov( x, y) b= wspó*czyk, â= y bx sta*a regresj, varx gdze ˆb okre:la oczekway przyrost warto:c :redej cechy Y, gdy cecha X wzro:e o jedostk;. Gdyby:my w podoby sposób zalesl rówae zale7o:c cechy X wzgl;dem Y (p. x= cˆ + dˆ y), wtedy okaza4oby s;, 7e wspó4czyk korelacj m;dzy tym cecham jest rówy %redej geometryczej wspó4czyków regresj, tz. rxy = bd ˆˆ Badae dok:adobc oszacowaej fukcj regresj Zauwa7amy w te sposób, 7e wspó*czyk korelacj jest merkem zalezoego zwzku regresyjego, tz. je7el stwerdzamy stee korelacj, to tym samym stwerdzamy tak7e zale,o%- regresyj. Zauwa7my dalej, 7e wg aszego modelu daych y = m(x ) + e = bx + a + e, zmeo:k obserwacj y jest sum9 zmeo:c wykaj9cej z warto:c bx + a oraz e, tz. dla wektora próby y mamy, 7e: var y = var ( bx ˆ + a ˆ ) + var ê = var R + var E, czyl jest sum9 zmeo%c wyja%oej przez rówae regresj oraz zmeo%c resztowej (e wyja%oej przy pomocy regresj). Mo7a wykazak, 7e var R = ˆb cov( x, y), tym samym var E = var y var R, co pozwala zastosowak loraz varr vare ( ) varr s F = : = = vare s R emp y.x jako fukcj; testow9 dla hpotezy H : 0 0 b= jako, 7e ma oa rozk4ad F z st. swobody lczka ( ) st. swobody maowka. Hpotez; zerow9 odrzucamy gdy wylczoa warto:k F emp przekracza odpowed9 warto:k krytycz9 F,,-. Odrzucee hpotezy zerowej ozacza stoto%- regresj cechy Y wzgl;dem cechy X.,

79 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 79 Fukcj9 testow9 dla hpotezy H : 0 0 b= mo7e byk zmea postac: ˆ t b emp =, s bˆ gdze s ˆb b*d wspó*czyka regresj z próby jest day wzorem vare sy.x s bˆ = =. varx varx ( ) Gdy zachodz relacja t emp > t,-, wtedy H 0 odrzucamy Krzywe (przedza:y) ufobc W przypadku stwerdzea stoto:c regresj, mo7emy pos4ugwak s; zalezoym rówaem w celu progozowaa warto:c Y a podstawe pojawaj9cych s; pomarów zmeej X. B49d takej progozy, b;d9cy b4;dem warto:c regresyjej, jest rówy s mˆ ( x) = syx. + ( x x) Podstawaj9c do powy7szego wzoru x = 0, otrzymujemy b49d sta4ej regresj. W te sposób zajomo:k b4;dów estymatorów pozwala kostruowak przedza4y ufo:c. Dla sta4ej regresj: aˆt sˆ a aˆ+ t sˆ,, a, a varx dla wspó4czyka regresj: b ˆ t s b b+t ˆ s ˆ ˆ, ˆ, b, dla warto:c regresyjej: m( x) t, sˆ( ) m( x mx ) m( x ) +t, smx ˆ( ) b. ˆ, gdze t, jest warto:c9 krytycz9 rozk4adu t Studeta przy stopach swobody ( ) pozome stoto:c. Prosta regresj z przedza4am ufo:c predykcj

80 80 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 6.. Korelacja regresja welu zmeych Dotychczasowe rozwa7aa dotycz9ce wspó4zale7o:c zjawsk masowych dotyczy4y badaa zw9zku m;dzy dwema cecham. Bardzo cz;sto jeste:my jedak zateresowa wspó4zale7o:c9 welu zmeych: Y zm. zale7a X, X, X 3,, X k zm. ezale7e. Problem korelacj regresj mo7a badak: welorako je:l uwzgl;damy oddza4ywae a zm. zale79 Y wszystkch zm. ezale7ych X, X,, X k. Tutaj oblcza s; wspó4czyk korelacj welorakej szacuje s; model regresj welorakej. cz9stkowo je:l badamy wspó4zale7o:c tylko ektórych zmeych, elmuj9c wp4yw pozosta4ych. Tutaj oblcza s; wspó4czyk korelacj cz9stkowej wspó4czyk regresj cz9stkowej Korelacja regresja weloraka (welu zmeych) Fukcj9 regresj I-go rodzaju zmeej losowej Y (zmea obja:aa, edogecza) wzgl;dem zmeych ezale7ych typu X (zmee obja:aj9ce, egzogecze) azywamy: E(Y X =x, X =x,, X k =x k,) = m(x, x,, x k,). Model regresj II-go rodzaju (rówae) opsuj9ce pow9zae (tutaj lowe) m;dzy obserwacj (x, x,, x k, y ) k ( ) ( ) j= y = m x = m x,x,x + e = b + b x + e, k 0 j j dla =,,,, gdze m(x, x,, x k,) s9 warto:cam :redm cechy Y dla warto:c x, x,, x k cech typu X, za: e s9 odchyleam (losowym, czyl statystycze estotym). Szukamy takch b 0, b, b,, b k by suma kwadratów warto:c e ( e = m! ) by4a jak ajmejsza (MNK). Sformu4owae problemu estymacj wspó4czyków regresj welokrotej jest podobe jak dla przypadku dwóch zmeych, ale z racj w;kszej lczby zmeych, zagadeem jest bardzej z4o7oym umerycze jak w terpretacj wyków. Z MNK uzyskujemy uk4ad rówa, ormalych: V b ˆ = c, b ˆT 0 = y b x, gdze x jest wektorem :redch zmeych obja:aj9cych. V jest macerz9 sum kwadratów cov x, x ], c wektor kolumowy sum loczyów odchyle, zmeych obja:aj9cych [ ( p q) loczyów odchyle, zmeych obja:aj9cych zmeej obja:aej [ cov ( xp, ) tej macerzy tego wektora wylczamy ze wzorów: = y ]. Elemety ( xp xq) = ( xp xp)( xq xq), (p, q =,,, k), cov ( x, y) = ( x x )( y y) p p p cov, Macerz V ma postak: x ( xx ) ( xx k ) ( xx ) x ( xx ) ( var cov cov ) 5 cov var cov 4 k V = cov xx cov xx var x 4 ( ) ( ) * k k k +.

81 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 8 Jak wadomo, macerz V jest macerz9 symetrycz9 o wyzaczku eujemym, je7el jest eosoblwa (wyzaczk dodat), to steje macerz do ej odwrota V. Wtedy estymatory cz9stkowych wspó4czyków regresj, czyl wektor ˆb, zajdujemy ze zw9zku: ˆ b= V c. Ka7dy cz9stkowy wspó4czyk regresj terpretujemy ast;puj9co: okre:la o oczekway przyrost warto:c :redej cechy Y, gdy cecha X p wzro:e o jedostk;, a pozosta4e b;d9 ustaloe. Nast;pe defujemy zmeo:k resztow9 b4;du: oraz zmeo:k regresj = ( ˆ ( )) x var E = y m Zachodz zw9zek: = ( ˆ ( ) ) var ˆT R= m x y = b c. var R+ var E = var y. Ta ostata rówo:k pozwala zastosowak loraz ( ) varr vare k varr sr F emp = : = = k k kvare sy x. Je7el hpoteza globala H 0 : b = 0 zostae odrzucoa a pozome stoto:c, co zachodz wtedy, gdy Femp > F ; k; k, to mo7emy przyst9pk do sprawdzaa hpotez szczegó4owych, 7e wybray wspó4czyk regresj bp jest zerem. Fukcja testowa ma postak: ( p) emp t bˆ p =, gdze s bˆ p s = s v bˆp pp yx, przy czym v pp gdy ( p) emp t t jest elemetem dagoalym macerzy > ; k, gdze ; k V. Hpotez; : 0 0 p t jest warto:c9 krytycz9 rozk4adu t Studeta. H b = odrzucamy, Zwykle zmee, dla których ( p t ) emp < t ; k, odrzucamy z modelu regresj jako estote powtarzamy aalz; wylczaj9c poowe wektor wspó4czyków regresj. Je:l rówocze:e klka ró7ych zmeych obja:aj9cych oka7e s; estotym, to odrzucamy tylko jed9 z ch o ajmejszej warto:c fukcj testowej t powtarzamy aalz;. Nale7y zauwa7yk, 7e test t pozwala a sprawdzee stoto:c wprowadzea daej zmeej do modelu, przy za4o7eu, 7e pozosta4e s9 tam uwzgl;doe. St9d te7 rola ych zmeych mo7e s; zacze zmek, gdy usuwamy któr9kolwek ze zmeych. B49d warto:c regresyjej oblczamy ze wzoru: T ( ) sˆ ( ) = s m yx 5 + ( x x) V ( x x x ) 4. * + Wspó4czyk determacj oblczamy ze wzoru: T bc R % = 00%, var y

82 8 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH atomast wzór R = ˆT bc var y okre:la wspó4czyk korelacj. Warto:c wspó4czyka korelacj ale79 do przedza4u [ 0, ]. Iterpretacja wspó4czyka korelacj determacj jest podoba jak dla przypadku dwuwymarowego. Wspó4czyk determacj okre:la cz;:k zmeo:c cechy Y zdetermowa9, obja:o9 zale7o:c9 od zespo4u cech obja:aj9cych. Natomast m wspó4czyk korelacj jest bl7szy jedo:c, tym zale7o:k Y od X,, Xk jest slejsza. Oblczea w regresj welokrotej s9 bardzo pracoch4oe, przy czym pracoch4oo:k ro:e bardzo szybko w mar; wzrostu lczby zmeych obja:aj9cych. Oczyw:ce w dobe komputerów oraz odpowedch programów, e jest to problem. Problemem jest atomast dopracowae s; ajlepszego modelu zale7o:c cechy Y wzgl;dem cech typu X. Dla uzyskaa takego celu propoowae s9 ró7e procedury, p. regresj; kolejych kroków (regresja krokowa, etapowa, ag. stepwse). Zastosowae stadaryzacj postac z p xp xp y = wzgl;dem cechy X p oraz v = s wzgl;dem cechy Y po opracowau poszukwaego rówaa zale7o:c regresyjej Y wzgl;dem zboru cech X, pozwala a wzajeme porówywae uzyskaych cz9stkowych wspó4czyków regresj. Powsta4y oe przece7 ze stadaryzowaych warto:c (o :redej zero waracj jede), s9 przy tym emaowae. Ta postak rówaa regresj jest wykorzystywaa w porówawczej ocee wp4ywu poszczególych cech obja:aj9cych a cech; obja:a9. xp s y y 6.3. Modele learyzowale, regresja krzywolowa W welu dzedzach, w których matematyka stosowaa zajmuje poczese mejsce, cz;sto w zastosowaach teor regresj pojawaj9 s; modele elowe. W tych modelach szczególe mejsce zajmuj9 modele learyzowale. S9 to modele daj9ce s; sprowadzk do modelu lowego przez odpowed9 trasformacj; zmeych. Takm modelam, cz;sto stosowaym w praktyce s9 p. model pot;gowy y b = a x dla x 0, y 0, a 0 > > >, learyzowaly po trasformacj logarytmczej zmeych: l y= l a+ b l x, ( z = l y, u = l x). Model wyk4adczy: po trasformacj postac: Model welomaowy: a bx y= e +, l y= a+ bx, y > 0. k y = b0 + bx + bx + + bk x, sprowadzaj9cy s; do modelu lowego regresj welokrotej po prostym podstaweu: 3 z = x, z = x, z = x, td. 3 Model te jest ajcz;:cej stosoway w praktyczych zastosowaach regresj krzywolowej ze wzgl;du a ogrom9 ró7orodo:k kszta4tu krzywych welomaowych oraz fakt pozostawaa zmeej y bez trasformacj w tym modelu.

83 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 83 Modele welomaowe zajduj9 lcze zastosowaa w zagadea bologczych, p. w modelowau zw9zków ploów ro:l uprawych z 7yzo:c9 gleby wyra7o9 zawarto:c9 ró7ych sk4adków pokarmowych czy woszoych do gleby dawek ró7ych awozów. Modele welomaowe sprawaj9 k4opoty umerycze, gdy7 koleje pot;g zmeych egzogeczych ch loczyy s9 sle skorelowae, a poadto ch warto:c ró79 s; czasam o klka rz;dów welko:c, a kowaracje m;dzy m ró79 s; awet o klkaa:ce rz;dów welko:c. Na przyk4ad dla modelu awozowego z X = N, X = P y = b + b N + b P+ b N + b NP+ b P + b N P+, 0,0,0 0,,0, 0,, gdy N P przyjmuj9 warto:c rz;du 0, to X6 = N P jest ju7 rz;du 0 6, a ch waracje oraz odpowede kowaracje mog9 os9gak warto:c rz;du 0. Mo7e to dak efekt wspó4lowo:c kolum macerzy kowaracj V, a tym samym macerz V b;dze emal osoblwa. Uzyskaa fukcja regresj elowej (p. jak wy7ej, tzw. powerzcha efektywo:c), mo7e byk wykorzystywaa do wyzaczaa cz9stkowych rówa, regresj opsuj9cych zale7o:k jedego z awozów przy ustaloym pozome awo7ea drugm, poszukwaa optymalych dawek awozów, optymalzacj efektywo:c awo7ea meralego, optymalzacj stosuku (tutaj N : P) czy ustalea meralego awo7ea, ezb;dego do uzyskaa okre:loej wysoko:c plou.

84 84 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 7. REGRESJA W ANALIZIE WARIANCJI Cz;sto w uk4adach sklasyfkowaych czyk klasyfkuj9cy jest typu lo:cowego, jak p. dawk awozu meralego, termy sewu, pozom pewego sk4adka w procesach techologczych, tp. Wykorzystuj9c wyk pomarów cechy badaej przy okre:loych pozomach czyka, mo7a dokoak ocey fukcj regresj opsuj9cej zale7o:k oczekwaej warto:c badaej cechy ( m+ a ) od warto:c x pozomu -tego czyka. Fukcja ta dla ka7dego -tego pozomu ma postak: ( ) m x = m+ a. Je7el zay jest a pror kszta4t fukcj m( x ), to zamast szacowak efekty a, tym samym warto:c fukcj regresj w wybraych puktach, mo7a bezpo:redo przyst9pk do estymacj parametrów fukcj regresj. W ych przypadkach, co ajcz;:cej wyst;puje, aproksymujemy (przybl7amy) t; fukcj; welomaam. Dla fukcj regresj m( x) w przypadku badaa p pozomów x ( =,,, p) mo7a u7yk, co ajwy7ej welomau stopa p postac: p ( ) = m x b b x b b x. 0 p W praktyczych zastosowaach poszukwaa welomau opsuj9cego zale7o:k regresyj9 :redch wzgl;dem warto:c pozomów czyka lo:cowego, e przekraczaj9 stopa 5-tego. Najcz;:cej poszukwaa ko,czymy a stopu 3-cm. Oczyw:ce, je7el lczba pozomów p a to pozwala. Dla zademostrowaa ejszego zagadea, wykorzystajmy wyk do:wadczea z lczb9 ce, które to lczby ( x ) staow9 koleje pozomy badaego czyka. Dla realzacj tego zadaa wystarczaj9ce s9 dae przedstawoe w po7szej tabel, tz. warto:c x, :rede y oraz lczby obserwacj dla poszczególych pozomów: Tabela daych x y 7,5 6,50 6,50 5,500 5,075 5,075 4, Jeste:my zateresowa sprawdzeem stoto:c regresj lowej :redch badaej cechy ( y ) wzgl;dem lczby ce ( x ). W tym celu mo7e byk wystarczaj9ce wykoae oblcze, wykaj9cych ze stosowaa metody aalzy regresj a :redch obektowych z wagam rówym lczbe obserwacj, z jakch powsta4a odpoweda warto:k :reda. W aszym wypadku suma kwadratów dla tak wyzaczoej regresj lowej wyos 4,467, dla regresj kwadratowej 7,047 oraz dla kubczej (stopa 3-go) 9,9846. St9d mo7emy wyzaczyk sumy kwadratów dla testowaa poszczególych hpotez zerowych dotycz9cych stoto:c regresj lowej, kwadratowej (suma kwadratów regresj kwadratowej mus suma kwadratów regresj lowej), kubczej (suma kwadratów regresj kubczej mus suma kwadratów regresj kwadratowej) oraz pozosta4ych regresj stop wy7szych. dród4o zmeo:c St. sw. Suma kwd. er. kwd. Femp P-stwo Obekty 6 0,907 3,4845 4,987 0, W tym efekty: Lowy 4,467 4,467 60,846 0, Kwadratowy,9003,9003,474 0, Kubczy,9376,9376,635 0, Reszta 3 0,95 0,3075,33 0, B49d losowy 4,885 0,35 Ca4kowta 7 5,7896

85 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH ANALIZA KOWARIANCJI Aalza waracj pozwala porówak obekty pod wzgl;dem pewej cechy, gdy podlega oa dla ka7dego obektu tylko zmeo:c przypadkowej (losowej) e jest rówocze:e uzale7oa od ych cech, których wp4yw mo7a okre:lk lczbowo. Cz;sto bywa tak, 7e badaa cecha y uwarukowaa jest wp4ywem ych cech x, x,, xk daj9cych s; zmerzyk. Mog9 oe przedstawak zmee losowe lub rzeczywste. S9 to zmee towarzyszce cesze y zak*ócajce jej prawd4ow9 oce;. Chodz o to, by wyelmowak wp4yw tych zmeych towarzysz9cych a ko,cow9 oce; obektów wed4ug badaej cechy. Tak9 metod9 ocey jest metoda aalzy kowaracj. Wykorzystuje oa m;dzy ym aalz; regresj zmeej y wzgl;dem zmeych towarzysz9cych x, x,, xk. Zajmemy s; takm przypadkem o jedej zmeej towarzysz9cej wzgl;dem której zak4adamy zale7o:k low9 aszej badaej cechy. Przyk*ad: Porówywao plo aso wybraych trzech botypów pewego gatuku ro:ly. Do:wadczee za4o7oo metod9 losowaych bloków w 4 powtórzeach. Rozstawa dla wszystkch botypów by4a jedakowa, jedak zaobserwowao wypad;ca ro:l, które wp4y;4y a warto:k plou. Blok I Blok II Blok III Blok IV y x y x y x y x Bo-,59 09,8 9,6 0,45 03 Bo-,46 05,6 93,3 0,9 04 Bo-3 0,89 3 0,9 34 0,7 4 0,68 Model lowy dla obserwacj z tego do:wadczea jest postac: ( ) y = m+ g + a + < x x + e, =,,3 ; j =,,3,4. j j j j Zauwa7my, 7e do modelu obserwacj z uk4adu losowaych bloków zosta4 do*czoy sk4adk regresj cechy y wzgl;dem odchyle, warto:c obserwowaych x j zmeej towarzysz9cej od warto:c :redej. Wykoajmy dla tego do:wadczea aalz; waracj oraz aalz; kowaracj a czym polega ró7ca w ko,cowych woskach? Aalza waracj dród4o zmeo:c St. sw. Suma kwd. er. kwd. Femp P-stwo Blok 3 0, ,09778,4 0,4056 Botypy 0, , ,7 0,003 B49d losowy 6 0,0867 0,00444 Ca4kowta,6767 Aalza kowaracj dród4o zmeo:c St. sw. Suma kwd. er. kwd. Femp P-stwo Regresja 0, , ,89 0,004 Blok 3 0, , ,4 0,758 Botypy 0, , ,93 0,036 B49d losowy 5 0,0096 0, Ca4kowta,6767

86 86 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Aalza szczegó4owa Aova NIR y Tuk0,05 Acova y NIR Tuk 0,05 y,46 0,96434 y,33 0,88643 y3 0,80,7393 y y 0,3 0,308 0, ,340 y y3 0,66 0,308 0, ,5960 y y 0,53 0,308 0, , Aalza waracj pozwala am stwerdzk, 7e badae botypy s9 ze sob9 zró7cowae stote ( P value = 0,003 ). Podoby wosek uzyskujemy a podstawe aalzy kowaracj ( P value = 0,036 ), uwzgl;daj9cej lczb; ro:l a poletku. Dopero aalza szczegó4owa :redch warto:c dla botypów pozwala ocek, 7e to e trzec botyp daje aj7szy :red plo (aova), ale wprost przecwe (acova). Warto:K :redego plou zosta4a tutaj poprawoa przez uwzgl;dee jedakowej lczby ro:l dla badaych botypów.

87 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH TESTY 9.. Test zgodobc Neparametrycze testy stoto%c, w których weryfkowaa hpoteza dotycz9ca rozk4adu badaej cechy w populacj geeralej e precyzuje warto:c parametrów tego rozk4adu a jedye zgodo%- z ym rozk4adam (teoretyczym lub rozk4adam ych populacj). Jedym z ajstarszych testów stoto:c, maj9cy tutaj zastosowae jest test zgodo%c. Nazwa ta pochodz st9d, 7e statystyka testowa u7ywaa przy weryfkacj hpotezy o zgodo%c wyków próby z rozk4adem populacj, ma asymptotyczy rozk4ad. Test zgodo%c pozwala a sprawdzee hpotezy, 7e populacja ma okre:loy typ rozk4adu (tj. okre:lo9 postak fukcyj9 dystrybuaty). Mo7e to byk typ rozk4adu skokowego lub c9g4ego. Jedyym ograczeem w te%ce zgodo%c jest to, 7e elemetowa próba mus byk du7a, bo wyk jej dzelmy a pewe klasy warto%c (p. w lczbe k klas). Dla ka7dej klasy z rozk4adu hpotetyczego oblcza s; lczebo:c teoretycze ( p ), które porówuje s; z empryczym ( ) za pomoc9 statystyk: k = ( p ) =, =, p k = k p =. Gdy rozbe7o:c m;dzy lczebo:cam teoretyczym a empryczym s9 zbyt du7e, to hpoteza, 7e populacja ma te w4a:e rozk4ad teoretyczy, mus byk odrzucoa. Na przyk4ad w rzuce moet9 uzyskao 40 razy or*a oraz 60 razy reszk+. Czy mo7a uzak, 7e moeta jest symetrycza? NIE z prawdopodobe,stwem ryzyka 0,05 odrzucea prawdzwej hpotezy zerowej, gdy7 ( ) ( ) = = + = + = Mamy tutaj relacj;, 7e emp 4 3,845 0,05; = > = ZgodoBO z rozk:adem ormalym Dla próby losowej o du7ej lczo:c kostruujemy szereg rozdzelcze zestawee wskazuj9ce a rozk4ad warto:c badaej cechy w próbe, który jest przybl7eem rozk*adu warto%c cechy w populacj. Budowa szeregu rozdzelczego z dywdualych obserwacj polega a utworzeu odpowedch klas (przedza4ów), a ast;pe zlczau lczby obserwacj w poszczególych klasach. Lczb; klas okre:lamy a ogó4 arbtrale, keruj9c s; jedak zdrowym rozs9dkem zajomo:c9 celu, któremu ma s4u7yk podza4 zborowo:c a klasy. Nale7y przy tym pam;tak aby grace przedza4ów klasowych by4y lczbam okr9g4ym. Spotyka s; rówe7 kokrete wzory, za pomoc9 których mo7a oretacyje okre:lk lczb; klas w zale7o:c od lczebo:c zborowo:c, p. k 5log. Rozpatrzmy ploy buraka cukrowego w dt/ha pochodz9ce bezpo:redo z pól gospodarstw produkcyjych.

88 88 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Klasy % ( emp) x50 0,54 0, <x00 0 5,36 0, <x50 5,68 0,068 50<x ,948 0, <x ,83 0, <x ,35 0, <x ,80 0, <x ,754 0, <x ,853 0, <x ,4 0, <x 5,68 0,068 Ogó4em 9 00,000,00000 p Dae te pos4u79 am do odpowedz a pytae: czy warto%c ploów buraka maj rozk*ad ormaly?. Po7szy hstogram welko:c ploów buraka sugeruje du7e podobe,stwo m;dzy rozk*adem empryczych warto:c ploów a rozk*adem ormalym. Lczba obserwacj Rozkad empryczy ploów buraka cukrowego Oczekwae Normale Dlaczego mamy tutaj klas welko:c ploów? Otó7 oretacyja lczba klas k spe4a waruek k 5log = 5log9 = 5,8033 =,4057 a lczba klas rówa daje am zakres klasy rówy 50 z jedoczesym umejscoweem warto:c :redej w :rodkowym (6) przedzale klasowym. x g g xm xmax R s 9 393,7 379,0 408, ,9

89 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 89 Odpowedo g g buraka cukrowego, tz. s9 gracam 95% przedza4u ufo:c dla warto:c :redej plou # S S 9 P{ g m g } P X t m X t & ; = $ 0,05;90 + 0,05;90 : = 0,95 Badae zgodo%c aalzowaej populacj z rozk*adem ormalym jest cz;sto stosowae w praktyce jako, 7e szczególe cz;sto zachodz potrzeba sprawdzaa tej7e hpotezy przed zastosowaem ych testów.. Klasy ( emp) p Tabela oblczaa statystyk testowej ( t) p ( t) p ( t) p emp () t ( ) p () t ( p ) () t p x50 0,0054 0,00950,85 0,85 0,6634 0, <x00 0 0,0536 0,064 4,33 5,867 34,489 8,373 00<x50 5 0,068 0,058 9,967 4,967 4,6706,475 50<x , ,005 9,48 0,48 0,09 0,00 300<x ,583 0,5345 9,309 0,309 0,0956 0, <x ,835 0,875 35,746 0,746 0,5560 0, <x ,780 0,887 34,737 0,737 0,544 0, <x ,6754 0,4083 6,898 5,0 6,0347 0, <x , , ,594,594,543 0,53 550<x ,034 0,047 8,57,57 4,658 0, <x 5 0,068 0,0354 4,496 0,504 0,537 0,0564 Ogó4em = 9,00000, ,000 0,000 emp =,956 Nale7y wyzaczyk elemety dla oblczea warto:c fukcj testowej k = ( p ) =, p gdze prawdopodobe,stwa p P{ x X x} = <, atomast zmea stadaryzowaa X m Z =. W;c: # , 7 9 p = P{ X 50} = P$ Z : = P{ Z,3455} = & 03,9 ; ( ) = F,3455 = 0,99050 = 0,00950, { } { } p = P 50 < X 00 = P,3455 < Z,8649 = ( ) F( ) = F,8649,3455 = 0, 034 0, = 0, 064, { } { } p3 = P 00 < X 50 = P,8649 < Z,38306 = ( ) F( ) = F,38306,8649 = 0, , 034 = 0, 058, td. dla pozosta4ych przedza4ów klasowych.

90 90 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Dla zweryfkowaa hpotezy (zerowej) postac populacja ploów buraka cukrowego ma rozk*ad ormaly, tak oblczo9 warto:k statystyk porówujemy z warto%c krytycz emp testu ; k u, gdze: pozom stoto:c (b*d I-go rodzaju), k u jest lczb9 stop swobody (k lczba klas, u lczba parametrów szacowaych z próby), je:l zachodz emp ; k u, to hpotez+ zerow ( H 0 : rozk*ady empryczy teoretyczy s zgode) ale7y odrzuck. W przecwym przypadku, tz. gdy emp < ; k u, to e ma podstaw do odrzucea hpotezy zerowej. Oczyw:ce e ozacza to, 7e mo7emy j9 przyj9k, lecz test jest tak zbudoway, 7e m warto:k jest bl7sza zeru, tym hpoteza jest bardzej warygoda. W aszym przyk4adze emp =,956 < 5,5073 = 0,05;8, gdze k u = = 8. Tak w;c woskujemy, 7e rozk*ad warto%c ploów buraka cukrowego jest rozk*adem ormalym. Potwerdzaj9 to tak7e e testy (Ko4mogorowa-Smrowa Llleforsa). Lczba obserwacj Rozkad empryczy ploów buraka cukrowego K-S d=,03539, p>.0;p Llleforsa>.0 Ch-kwadrat(emp) =,956 < 5,5073 = Ch-kwadrat(0,05;8) Oczekwae Normale Test ezalecobc Przy badau populacj geeralej jedocze:e ze wzgl;du a dwe cechy cz;sto teresuje as sprawdzee hpotezy, czy cechy te s ze sob zwzae (zale,e). Gdy obe cechy s9 merzale, pos4ugujemy s; wtedy ajcz;:cej poj;cem korelacj regresj. Gdy jedak przyajmej jeda z dwu badaych cech jest emerzala (tz. ma jedye kategore jako:cowe), to badaj9c zw9zek tych cech pos4ugujemy s; poj;cem ezale,o%c stochastyczej odpowedch dwóch zmeych losowych. Jak wadomo z rachuku prawdopodobe,stwa, dwa zdarzea losowe A B s9 ezale,e, je7el zachodz rówo:k P( A B) = P( A) P( B). Podoba jest defcja ezale,o%c dwu zmeych losowych X Y. F x, y = F x F y. Zmee te s9 ezale,e, gdy dla dystrybuat zachodz rówo:k ( ) ( ) ( ) Stosowaym w praktyce test ezale,o%c jest testem stoto%c pozwalaj9cym a sprawdzee, czy dwe badae cechy (ekoecze merzale) s9 ezale,e. Test te oparty jest a tej samej statystyce co test zgodo%c, z tym 7e hpotetyczym prawdopodobe,stwam s9 oszacowae z próby prawdopodobe,stwa otrzymaa rówocze:e okre:loej warto:c (czy kategor jako:cowej) cechy X oraz Y, przy za4o7eu ezale,o%c tych cech. Wymogem tego testu jest du7a lczebo:k próby, której wyk zosta4y rozdzeloe

91 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 9 a odpowede grupy warto:c (kategore) ze wzgl;du a obe cechy. Sporz9dza s; zatem odpowed9 tablc;, zwa9 tablc kotygecj (lub asocjacj), która po wype4eu daje macerz lczebo%c empryczych. Nak4ada s; a 9 macerz lczebo%c teoretyczych, oblczoych przy za4o7eu ezale7o:c badaych cech. Porówae elemetów obu macerzy, czego dokouje s; przez zastosowae statystyk, daje odpoweds, czy mo7a odrzuck hpotez+ o ezale,o%c cech a skutek wyst9pea zbyt du7ych ró7c lczebo:c empryczych teoretyczych. Kategore \ Macerz lczebo:c empryczych X Y Y Y Y. p X p X k k k kr k p k j p. j p p p r Lczebo:c brzegowe: r = j = j, k j = = j, przy czym zachodz r k = j j = = =, a prawdopodobe,stwa brzegowe s9 rówe: p = j, p j =. Z za4o7ea o ezale,o%c cech ( H 0 : cechy X Y s ezale,e jest prawdzwa) wyka, 7e j p p j = pj = j, czyl welko:k pj = jest lczebo%c teoretycz podklasy (, j ). Macerz lczebo:c teoretyczych X Y Y Y Y X p p p X p p p Kategore \ X k p k p k p k Z elemetów macerzy lczebo%c empryczych j teoretyczych p j, kostruujemy statystyk;: oraz elemetów macerzy lczebo%c r k emp j= = = ( ) j pj p j, gdze p j j =. Statystyka ta ma przy za4o7eu prawdzwo:c hpotezy H 0 asymptotyczy rozk4ad z (r )(k ) stopam swobody. o ezale,o%c cech,

92 9 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Praktycze w;c, oblczo9 warto:k je7el zajdze erówo:k emp porówujemy z warto:c9 krytycz9 ;r ( )( k ), emp ;r k ( )( ), to hpotez; H0 o ezale,o%c badaych cech ale,y odrzuc- co w praktyce ozacza ch zale,o%-. Gdy atomast emp ;r k < ( )( ), wtedy e ma podstaw do odrzucea hpotezy o ezale,o%c badaych cech. Przyk*ad: W celu stwerdzea, czy podae chorym a pew9 chorob; owego leku przyos popraw; w ch stae zdrowa, wylosowao dwe grupy pacjetów w jedakowym stopu chorym. Jedej grupe (0 osób) podawao owy lek, a drugej (80 osób) lek tradycyjy. Lecze X\Y bez poprawy wyrasa poprawa wyzdrowee Badaym lekem 0 (0,95) 40 (0,80) 60 (0,5) Tradycyje 45 (0,30) 0 (0,0) 5 (0,50) j p 0 0,6 80 0,4 p j 0,35 0,300 0,375 Mo7emy teraz oblczyk warto:k statystyk wed4ug zaego ju7 wzoru a emp. Przeprowadzmy ezb;de rachuk w tabel, a lczebo%c teoretycze, wykaj9ce z aszej hpotezy zerowej s9 rówe: p = = = 00 p = = = 00 p = = = 00, p 060 = = = 36, 00, p 3, p = = = 6, = = = (, j) j pj j j p ( p ) ( ) j j p p j j j (,) ,6 (,) ,44 (,3) ,00 (,) ,88 (,) ,67 (,3) , ,75

93 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 93 Oblczoa statystyka: r k emp j= = dla przyj;tego pozomu stoto%c 0,0 ( ) j pj = = 36,75 p j = oraz lczby stop swobody ( r )( k ) = wyrase przewy7sza warto:k krytycz9 (teoretycz9), rów9 9, = 0,0;. Zatem a pozome stoto:c = 0, 0 hpotez; H0 o ezale,o%c ale7y Ozacza to, 7e podawae pacjetom owego leku w sposób stoty poprawa ch sta zdrowa. Mar9 ocey :cs4o:c aalzowaego zw9zku mo7e byk m.. wspó*czyk asocjacj Cramera.. emp 36,75 E = = = 0,8375, m r k m (, ) 00 (,) przyjmuj9cy warto:c z przedza4u [ 0; ]. St9d te7 mamy, 7e E = 0,8375 = 0,487, a m warto:k E jest bl7sza jedo:c, tym zale7o:k jest slejsza ZgodoBO rozk:adów empryczych Cz;sto zachodz potrzeba sprawdzea hpotezy, 7e dwe próby (lub w;cej prób) pochodz9 z jedej populacj, czyl 7e te populacje maj9 te sam rozk4ad. Tutaj, podobe jak w poprzedch przypadkach, tak7e ma zastosowae test. Przyk*ad: Zosta4a sformu4owaa hpoteza, 7e cz;sto:c wyst;powaa pewej cechy (p. X) w trzech populacjach geeralych s9 jedakowe. Na podstawe trzech losowych prób zestawoo warto:c obserwowae w macerz lczebo%c empryczych. Lczba przypadków Pop. I Pop. II Pop. III. z cech9 X bez cechy X j Uogólaj9c asz przyk4ad, mo7emy zapsak: Macerz lczebo:c empryczych Kategore X \Populacje Y Y Y Y p X p X p X k k k kr k p k j

94 94 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Lczebo:c brzegowe: r = j = j, k j = = j, przy czym zachodz r k = j j = = =, a prawdopodobe,stwa brzegowe rówe p =, wyra7aj9 hpotetyczy rozk*ad warto%c cechy X w badaych populacjach. Z za4o7ea zgodo%c j rozk*adów wyka, 7e welko:k j p = jest lczebo%c teoretycz dla j-tej populacj Y oraz -tej dla kategor X. Wdzmy w;c detyczo:k oblcze, prowadz9cych do wyzaczea statystyk ( ) r k j j p emp = j=, a tak7e techk testowaa, z przypadkem zastosowaa testu = p j jako testu ezale,o%c. p ,5 = = = 33 p ,0 3 3 = = = 33 p ,53 = = = 00, p 4 45 = = = 86,47, 33, p 3, 3 p 6078 = = = 4,49, = = = 35, Macerz lczebo:c empryczych teoretyczych L. przypadków Pop. I Pop. II Pop. III z cech9 X 45 (45,5) 89 (86,47) (3,0) 45 bez cechy X 5 (4,49) 5 (7,53) 38 (35,98) j Oblczee warto:c statystyk mamy, 7e emp e astr;cza ju7 w;kszych k4opotów. Maowce ( ) ( ) ( ) 45 45, ,47 3,0 = ,5 86,47 3,0 emp ( 5 4,49) ( 5 7,53) ( 38 35,98) = 0,479. 4,49 7,53 35,98 Uzyskaa warto:k emp = 0,479 jest mejsza od warto:c krytyczej (z tablc) 0,05; ( emp = 0,479 < 5,99 = 0,05; ). Tym samym e mamy podstaw do odrzucea hpotezy zerowej mów9cej o tym, 7e cz;sto:k wyst;powaa cechy X w badaych populacjach jest jedakowa, czyl badae populacje ze wzgl;du a wyst+powae cechy X s9 jedakowe.

95 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH KLASYFIKACJA DANYCH STATYSTYCZNYCH Wa7ym elemetem bada, empryczych jest porówae m;dzy sob9 aalzowaych obektów (ro:l, zwerz9t, gospodarstw, przeds;borstw, tp.) Celem tych porówa, jest zwykle odpoweds a pytae, czy obekty bada, s9 do sebe podobe. Pozom ocey stopa podobe,stwa obektów (cech) pozwala zalczyk je do tej samej grupy (klasy) obektów (cech) lub woskowak o braku podobe,stwa m;dzy badaym obektam (cecham), a w;c ch zró7cowau. W matematyczych metodach tak rozumaej klasyfkacj daych, wykorzystuje s; zwykle pewe mary okre:laj9ce podobe,stwo par obektów (cech). Taka mara mo7e mek charakter: mary odleg4o:c (dstace) lub mary blsko:c (proxmty). Mary odleg4o:c cechuj9 s; tym, 7e je7el ast;puje ch wzrost wtedy ozacza to zw;kszee zró7cowaa m;dzy obektam (cecham). Mary blsko:c odwrote, tz. gdy ch warto:k ro:e, wtedy malej9 ró7ce m;dzy porówywalym obektam (cecham). W praktyczym stosowau poszczególych mar (p. korzystaj9c z paketów statystyczych) ale7y pam;tak o charakterze posadaych daych statystyczych oraz o przedmoce bada,. 0.. Aalza skupe (Cluster aalyss) Aalza skupe, (taksooma umerycza) jest dzedz9 wedzy o zasadach porz9dkowaa obektów, gdy c e wadomo o ch strukturze (klasyfkacj). Nale7y t; struktur; (podza4 a klasy) dopero odkryk, maj9c w dyspozycj welocechowe dae statystycze opsuj9ce ka7dy z obektów. Podza4 zboru obektów a klasy odbywa s; w oparcu pewej mary okre:laj9cej podobe,stwo par obektów. Mara ta mo7e mek charakter mary blsko:c (proxmty) lub mary odleg4o:c (dstace). W dalszej cz;:c przedstawoy jest do:k zaczy zbór tych mar maj9cych zastosowae w oblczeach zw9zaych z zastosowaem omawaej metody wyst;puj9cy w welu paketach statystyczych. 0.. Mary odleg:obc (Dssmlarty measure) Zmee locowe (terval), lczba obserwacj lub cech. Eukldesowa (Eucldea dstace): =, (, ) = ( ) d x y x y Kwadrat Eukldesowej (squared Eucldea dstace): Czebyszewa (Chebychev): Mejska (Block / Mahata): Mkowskego (Mkowsk): =, (, ) = ( ) d x y x y ( ) d x, y = max x y, (, ) =, d x y = x y p p p p = = d ( x, y ( ) x y ) = 5 = x * 4+ y,

96 96 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH U7ytkowka (Customzed): p r r p = = d ( x, y ( ) x y ) = 5 = x * 4+ y. Zmee omale (couts), x, y lczby obserwacj tych warto:c cechy X oraz Y, gdze: () ( x ) ( t ) x + y x y x + t y =, y =. N N Warto:K statystyk ch-kwadrat (Ch-squared): (, ) d x y () ( ) ( ) () t () t ( x x ) y y = + x () t y () t x ( ), y x x y y, N = + Zormalzowaa statystyka ch-kwadrat (Ph-squared): (, ) d x y = x () t () t ( x x ) y y + () t y () t x ( ) N y. Zmee zerojedykowe (bary), wg tablcy kotygecj: Y\X 0 0 a b c d Eukldesowa (Eucldea): d( x, y) = b+ c, Kwadrat Eukldesowej (squared Eucldea): Ró7ca welko:c (sze dfferece): ( ) Ró7ca wzorców (patter dfferece): d( x, y) = b+ c, ( b c) ( a+ b+ c+ d) [ ) d x, y =! 0; ' b c d x, y =! 0;, ( ) ( a+ b+ c+ d) [ ],

97 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 97 Zmeo:K (varace): Kszta4tu (shape): b+ c d( x, y) =! 0; ' (, ) d x y Lace'a Wllamsa (Lace ad Wllams): = ( a b c d) [ ) ( a+ b+ c+ d) ( b+ c) ( bc) ( a+ b+ c+ d) b+ c a+ b+ c (, ) =![ 0;] d x y.,, 0.3. Mary blskobc / podobestwa (Smlarty measure) Zmee locowe (terval), lczba obserwacj lub cech. Wspó4czyk korelacj Pearsoa (Pearso correlato): Odleg4o:K k9towa (cose): (, ) p x y = ( x x)( y y) ( x x) ( y y) xy (, ) = p x y x. y. Zmee zerojedykowe (bary), wg tablcy kotygecj: Y\X 0 0 a b c d Mara Russela Rao (Russel ad Rao): Mara zgodo:c (smple matchg): (, ) p x y (, ) p x y a =, a + b + c + d a+ d =, a + b + c + d Mara Jaccarda (Jaccard): a p( x, y) =, a + b + c

98 98 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Mara Czekaowskego (Dce): Mara Hamaa (Hama): ( ) Wspó4czyk Y Yule'a (Yule's Y): (, ) p x y a = a+ b+ c, ( a+ d) ( b+ c) [ ] p x, y =!;, a+ b+ c+ d ad bc (, ) =! [ ;] p x y Wspó4czyk Q Yule'a (Yule's Q): Mara Ocha (Ocha): ad + ad bc ad + bc bc (, ) =! [ ;] p x y a a a+ b a+ c (, ) =![ 0;] p x y Zerojedykowa wersja wspó4czyka korelacj Persoa (Ph 4-pot correlato): ad bc p x, y =! 0;, ( ) Mara rozproszea (Dsperso): ( a+ b)( a+ c)( b+ d)( c+ d) ad bc p x, y =!;. ( ) ( a+ b+ c+ d),,, [ ] [ ] 0.4. Aalza skupe (cd.) Celem stosowaa metody aalzy skupe, w badaach empryczych jest przede wszystkm uzyskae jedorodych podgrup obektów badaa. Uzyskay w te sposób podza4, oprócz odkryca ezaej struktury zjawska, pozwala tak7e a wyodr;bee ch zasadczych cech (w4a:cwo:c). Za4ó7my w;c, 7e day jest zbór obektów: { } Q= O, O,, O, z których ka7dy opsay jest za pomoc9 k cech: X, X,, Xk. Celem ejszej metody jest podza4 zboru obektów Q a klasy (skupea, kategore) Q ( =,,, m ) obektów spe4aj9cych waruk: ) m ) Q Q + Q + + Q = Q suma tych klas daje ca4o:k zboru obektów, Q Q, dla =,,, m, gdze zbór pusty.

99 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 99 Co do typu kategor (grup) obektów Q ( =,,, m ) mo7a rozró7k dwa przypadk: a) Q Q j tz. ektóre obekty z badaego zboru mog9 ale7ek do w;cej 7 jedego podzboru jedorodych obektów. Z tak9 sytuacj9 spotykamy s; a przyk4ad w szczegó4owej aalze porówawczej warto:c :redch obektowych w do:wadczeach czykowych z zastosowaem welokrotych testów stoto:c (Tukey'a, Ducaa, tp.), b) Q Qj = tz. otrzymujemy roz49cze podzbory badaych obektów. W ramach przypadku b) mo7a stosowak jed9 z dwóch techk grupowaa:. Herachcze w ramach których skupea tworz9 bare drzewa, tj. skupea wy7szego pozomu zaweraj9 w sobe skupea z pozomu 7szego.. Optymalzacyjo teracyje które dokouj9 podza4u zboru badaych obektów a m wzajeme roz49czych podzborów, przy czym lczba podgrup m jest ustalaa przez badacza (p. metoda zaa jako k %redch) Herarchcze metody grupowaa W:ród herarchczych metod aalzy skupe, mo7a wyró7k ast;puj9ce metody grupowaa: aglomeracyje polegaj9ce a sukcesywym 49czeu skupe, (zak4ada s;, 7e pocz9tkowo ka7dy obekt tworzy skupee), zob. rys. od pozomu I-go do pozomu IV-tego. Metody te w praktyczych zastosowaach s9 ajcz;:cej wykorzystywae. Typowym rezultatem dza4aa tych metod s9 dedrogramy drzewa bare, których w;z4y odpowadaj9 utworzoym skupeom. podza*owe polegaj9ce a sukcesywym podzale zboru obektów (jedo skupee) a koleje pozomy skupe, (a dwe cz;:c, trzy cz;:c, tp.), a7 do mometu, gdy ka7dy obekt b;dze staow4 osobe skupee, zob. rys. od pozomu IV-go do pozomu I-go. IV III II A B C E F D I Powy7szy rysuek przedstawa grup; sze:cu obektów: A, B, C, D, E, F jako pozom I o sze:cu skupeach, które tworz9 kolejo: pozom II o trzech skupeach (AB, CD, EF), pozom III o dwóch skupeach (ABCD, EF) oraz pozom IV o jedym skupeu (ABCDEF).

100 00 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH W ramach poszczególych metod grupowaa rozró7amy wele sposobów oblczaa odleg4o:c (podobe,stwa) pom;dzy skupeam. Cz;sto w paketach dost;pe s9 ast;puj9ce sposoby: :redej odleg4o:c m;dzy skupeam (Betwee-groups lkage) odleg4o:k m;dzy skupeam A B traktowaa jest jako :reda arytmetycza odleg4o:c m;dzy wszystkm param obektów ale79cych do skupe, A B, tz. (, ) d A B = A B = j= A ( A, O B j ) d O :redej odleg4o:c wew9trz skupe, (Wth-groups lkage) odleg4o:k m;dzy skupeam A B traktowaa jest jako :reda arytmetycza odleg4o:c m;dzy wszystkm mo7lwym param obektów ale79cych zarówo do skupea A jak skupea B, tz. (, ) d A B = B ( A, ) (, ) (, A + p Bj B + q A Bj ) A B j A B d O O d O O d O O = p= j= q= =, j= ( ) ( ) A A B B + + A ajbl7szego s9sedztwa, pojedyczego w9zaa (Nearest eghbor, sgle lkage) odleg4o:k m;dzy skupeam A B traktowaa jest jako odleg4o:k m;dzy ajbl7szym obektam (ajbl7szym s9sadam) ale79cym do tych skupe,, tz. (, ) m { ( A, Bj )} d A B = d O O, =,,, A, j =,,, B,, j ajdalszego s9sedztwa, pe4ego w9zaa (Furthest eghbor, complete lkage) odleg4o:k m;dzy skupeam A oraz B traktowaa jest jako odleg4o:k m;dzy ajbardzej odleg4ym obektam (ajdalszym s9sadam) ale79cym odpowedo do skupe, A oraz B, tz. (, ) max { ( A, Bj )} d A B = d O O, =,,, A, j =,,, B,, j :rodka c;7ko:c (Cetrod clusterg) odleg4o:k m;dzy skupeam A oraz B traktowaa jest jako odleg4o:k m;dzy :rodkam c;7ko:c (puktem :redch w przestrze welocechowej, zdefowaej przez aalzowae cechy) obektów skupea A oraz B, tz. (, ) (, ) d A B = d x x, gdze: x, x s9 :rodkam c;7ko:c skupe, A oraz B, A B A meday (Meda clusterg) odleg4o:k m;dzy skupeam A oraz B to medaa odleg4o:c (:rodkowa odleg4o:k) m;dzy obektam ale79cym odpowedo do skupea A oraz B, tz. (, ) medaa { ( A, Bj )} d A B = d O O,, j dla =,,, A, j =,,, B, B B,

101 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 0 Warda (Ward's method) odleg4o:k m;dzy skupeam A oraz B traktowaa jest jako kwadraty odleg4o:c m;dzy :rodkam c;7ko:c skupe, a obektam poszczególych skupe,, tz. metoda ta do oszacowaa odleg4o:c m;dzy skupeam wykorzystuje podej:ce aalzy waracj:, A ( ) B, = (, ) A (, A + = j= Bj B) d A B d O x d O x gdze: x, x s9 :rodkam c;7ko:c dla skupe, A B. A B Przy wszystkch wymeoych sposobach oblczaa odleg4o:c m;dzy skupeam, wykorzystywaa jest macerz odleg4o:c (podobe,stwa) m;dzy obektam (skupeam) oblczaa wed4ug mar oraz formu4 oblczeowych przedstawoych wcze:ej Grupowae k redch (k meas) Metody optymalzacyjo teracyje, polegaj9 a optymalzacj pewej fukcj jako:c podza4u zboru obektów a okre:lo9 (zada9) lczb; skupe, (podgrup). Poszukwae ko,cowych rozw9za, uzyskuje s; poprzez uzyskwae kolejych rozw9za, (teracj) prowadz9cych do tego w4a:cwego (ko,cowego) rozw9zaa. Te proces w praktyce ko,czy s;, gdy w dwóch kolejych teracjach e ast9p zmaa struktury skupe, (ewetuale uzyskaa pewej warto:c progowej zma jako:c podza4u) lub po wykoau pewej maksymalej (ustalaej) lczby teracj. W ca4ym tym procese ajcz;:cej chodz o to, by w uzyskaym podzale zboru obektów a podgrupy, zró7cowae obektów w podgrupach wg wybraej mary by4o jak ajmejsze, za: m;dzy grupam jak ajw;ksze, tz. by skupea w ustaloej lczbe by4y tak ró7e, jak to tylko mo7lwe. Rozw9zae tego typu problemu badawczego mo7a uzyskak przy pomocy algorytmu grupowaa metod9 k %redch. Jest to procedura ajcz;:cej wykorzystywaa w praktyce. Fukcj; kryterum podza4u zboru obektów a k podzborów mo7a zapsak w postac: k m ( ) = ( ) j f X X, = j= gdze: X :rodek c;7ko:c (welocechowy) tego skupea (podgrupy), X j j ty obekt (welocechowy) w tym skupeu, k lczba skupe,, m lczba obektów w tym skupeu. Celem metody k %redch jest w;c zalezee takego podza4u zboru obektów a k skupe,, który mmalzuje warto:k powy7szej fukcj. Zauwa7my tutaj pewe podobestwo do metody jedoczykowej aalzy waracj. Maowce w te:ce stoto:c jedoczykowej aalzy waracj dla pojedyczej cechy szacowae s9: zmeo%- m+dzy grupam oraz zmeo%- wewtrz grup dla weryfkacj hpotezy o rówo:c warto:c :redch w grupach m F warto:k fukcj testowej jest w;ksza, tym jeste:my bardzej pew, 7e warto:c :rede aalzowaych grup s9 zró7cowae. Natomast w grupowau metod9 k %redch chcemy uzyskak tak podza4, aby uzyskak ajbardzej stote wyk aalzy waracj. W sytuacj dealego podza4u a k skupe, otrzymalby:my stote ró7e :rede w grupach dla ka7dej lub prawe ka7dej z aalzowaych cech. Welko:K statystyk F pochodz9cej z aalzy waracj ka7dej cechy jest wskaskem tego, a le daa cecha berze udza4 w dyskrymacj skupea.

102 0 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH. ANALIZA CZYNNIKOWA U podstaw aalzy czykowej le7y za4o7ee, 7e w zespole p cech { X ;,,, p} = s9 ukryte czyk, a w ajprostszym przypadku jede, b;d9ce Sród4em wspólej formacj tkw9cej w ch. Celem aalzy czykowej jest wykryce tych wspólych czyków, odpowedzalych za zachowae s; poszczególych cech, czy te7 poszczególych grup cech. Tak w;c aalza czykowa s4u7y tak7e do okre:laa (poszukwaa) grup cech podobe zachowuj9cych s; wed4ug ustaloych oce zw9zków m;dzy cecham, a przyk4ad wspó4czyków korelacj. Mo7a w;c za4o7yk, 7e w poszukwau wspólych czyków ajcz;:cej wykorzystujemy macerz korelacj m;dzy poszczególym cecham aalzowaego zespo4u. Najbardzej upowszecho9 metod9 wyzaczaa czyków jest metoda sk*adowych g*ówych Hotellga, polegaj9ca a przypsau czyka Z j wektorow w*asemu dla j tej warto%c w*asej macerzy korelacj. Natomast kryterum Kasera polega a tym, by do zespo4u czyków brak te sk4adowe, dla których warto:k w4asa przekracza. M;dzy czykam Z ( j =,,, q p) =,,, p: a zapsae w otacj macerzowej jako: Wspó4czyk Zmee U j zmeym X q = q q + = j= j j + X a Z a Z a Z bu a Z bu, Xp = Ap qzq + Bp pu p, gdze = dag ( b, b,, bp ) zachodz9 zw9zk lowe dla B. aj osz9 azw; *aduków czykowych czyków Z j a cech; X. U s9 sk*adkam (czykam) specyfczym w ka7dej zmeej X. Czyk s9 wew;trze m;dzy sob9 eskorelowae. Natomast welko:k h Z j q = a j = j azywamy zasobem wspólej zmeo%c cechy X determowaej czykam Z j, za: welko:k b = h azywamy waracj specyfcz. q Suma zasobów h = aj daje 49cz9 determacj; zmeo:c wszystkch X czyk j= Z j. Poewa7 suma waracj zmeych X jest rówa p, w;c wspó4czyk: przez p p q XZ = = j, p = p = j= R h a jest zespo4owym wspó*czykem determacj. Suma kwadratów 4aduków mo7e byk rozdzeloa a cz;:c, przypsae poszczególym czykom Z, tz. j p aj ( j,,, q), - = = okre:laj9c9 jego wag; w determacj zmeo:c zboru { X }. = j

103 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 03.. Rotacje czyków, metoda varmax Nech Q ozacza macerz korelacj zmeych { X }. Ozaczaj9c przez A macerz o elemetach aj oraz p werszach q kolumach, mo7emy zapsak macerz korelacj B V, czyl ( T V ), za: ( ) T Q = AA + V, gdze = = dag b, b,, bp Q = E XX. Otó7 je7el macerz D jest macerz9 ortogoal9, to trasformacja czyków Z = ZD e zmea struktury macerzy korelacj Q, poewa7 ( )( ) T T T T AD AD = ADD A = AA. Trasformacj D geometrycze odpowada obrót keruków g4ówych okre:laj9cych sk4adowe g4ówe. Mo7a dokoak obrotu tak, aby 4aduk przy cechach maksymale s; ró7cowa4y, przez co otrzymuje s; ch prostsz9 terpretacj;. St9d waruek by waras *aduków by4 maksymaly ( var a = max! ), prowadz do metody varmax, daj9cej maksymale zró7cowae 4aduków w ramach czyka. Przyk*ad: Dae pocz9tkowe ocey warto:c czyków g4ówych L Dae pocz9tkowe Ocey P X X X3 X4 X5 F F,53 4,0 0,75,65,96,9966 0, ,8 79,53 0,67 3,30 5,8 0,675,40 3,90 05,63 0,85,6,7,5448 0, ,9 45,6 0, 3,4 6,4 0,873,708 5,7 79,48 0,50,95 3,6 0, , ,5 5,08 0,36,57 4,0 0,8745 0,6739 7,3 83,87 0,58,77,53 0, , ,04 33,94 0,9,85 0,04 0,533 0, ,70 7,94 0,59,6 4,94 0,045 0,4498 0,54 34, 0,30,99 3,66 0, ,447 0,75 50,39 0,46,68 6,45 0, ,9079, 35,04 0,,88,4 0,6866 0,0550 3,3 65,5 0,70,76 3,98 0, , ,64 0,00 0,6,77 3,96,5738 0, ,00 39,65 0,30,75 4,,505 0,566 6,93 74,7 0,7,65 0,00,00,930 7,70 96,93 0,77,87,3,7978 0, ,78 65,9 0,39,40,5 0,8555,5887 9,7 70,57 0,5,46,36 0,4596,87 0 0,44 75,09 0,6,9 4,63 0,0534,0898,49 4,00 0,78 3,4 3,7, ,9004,6 0,89 0,66,9 3,57,0740 0, ,75 5,6 0,5,46 0,3,0998, ,7 5,05 0,00,47,74,9644,0693 5,3 33,39 0,36,75 0,46 0,448 0,95 6,38 8,35 0,55 3,0 4,49 0,55698, ,44 34,97 0,3,80 4,5,0884 0, ,47 7,89 0,,7 3,53,4747 0, ,40 60,57 0,48,30 0,9 0,06964, ,7 56,68 0,68,89 3,79 0,0837 0,6688

104 04 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Dae pocz9tkowe macerz korelacj lowej X X X3 X4 X5 X,63(**),555(**),030,399(*) X,63(**),895(**),44,03 X3,555(**),895(**),63,045 X4,030,44,63,533(**) X5,399(*),03,045,533(**) Aalza czykowa zasoby zmeo:c wspólej, R p XZ h p = = = 0,8 Pocz9tkowe Po wyodr;beu Waracja specyfcza X,000,759 0,4 X,000,95 0,075 X3,000,855 0,45 X4,000,736 0,64 X5,000,83 0,77 Metoda wyodr+baa czyków g*ówych sk*adowych. Nr sk4adowej Pocz9tkowe warto:c w4ase Ogó4em % waracj % skumuloway Ca4kowta wyja:oa waracja Sumy kwadratów 4aduków po wyodr;beu Ogó4em % waracj % skumuloway Ogó4em Sumy kwadratów 4aduków po rotacj % waracj % skumuloway,449 48,98 48,98,449 48,98 48,98,449 48,98 48,98,650 3,993 8,974,650 3,993 8,974,650 3,994 8,974 3,54 0,80 9,54 4,303 6,056 98,30 5,085,690 00,000 Wykres osypska,5,0 WartoBO w:asa,5,0 0,5 0,0 3 Numer sk:adowej 4 5

105 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 05 Macerz sk4adowych Sk4adowa X,946,7 X3,99,00 X,805,334 X5,60,893 X4,88,837 Lczba wyodr+boych sk*adowych. Macerz rotowaych sk4adowych Sk4adowa X,946,74 X3,99,0 X,805,33 X5,6,893 X4,86,838 Metoda rotacj Varmax z ormalzacj Kasera. Rotacja osg+*a zbe,o%- w 3 teracjach. Wykres sk:adowych w rotowaym 0,9 X5 X4 0,6 Sk:adowa 0,3 0,0-0,3 X X X3-0,6-0,9-0,9-0,6-0,3 0,0 0,3 0,6 Sk:adowa Uk4ad wspó4rz;dych dwóch perwszych sk4adowych (bplot) 0,9 Macerz wspó4czyków oce g4ówych sk4adowych Sk4adowa X,39,0 X,386,05 X3,375,06 X4,076,508 X5,066,54

106 06 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Macerz kowaracj oce g4ówych sk4adowych Sk4adowa,000,000,000,000 Wspó4czyk korelacj m;dzy cecham a odkrytym czykam X X X3 X4 X5 F F X,63(**),555(**),030,399(*),805(**),33 X,63(**),895(**),44,03,946(**),74 X3,555(**),895(**),63,045,99(**),0 X4,030,44,63,533(**),86,838(**) X5,399(*),03,045,533(**),6,893(**) F,805(**),946(**),99(**),86,6,000 F,33,74,0,838(**),893(**),000

107 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 07 III. SWICZENIA POKAZOWE W ramach praktyczego wykorzystaa prezetowaej wedzy oraz prezetacj aaltyczego oprogramowaa statystyczego, przyk4ady w ramach Kwcze, pokazowych b;d9 realzowae z wykorzystaem Systemu SAS. Jest to paket oprogramowaa przezaczoego do aalz statystyczych. W jego sk4ad wchodz :rodowsko programstycze SAS, aplkacja grafcza SAS Eterprse Gude oraz opcjoale :rodowsko JMP. Szczegó4owe formacje odo:e prezetowaego oprogramowaa, oraz pe49 dokumetacj; mo7a zalesk a stroe: Dokumetacj; do modu4ów BASE SAS SAS/STAT w wersj elektroczej do49czoo do p4yty CD z matera4am z ejszego szkolea. W opse kodów procedur w j;zyku 4GL przyj;to ast;puj9c9 kowecj;: kolorem czarym podao w4a:cw9 procedur; 4GL; welkm lteram podao polecea sk4ad procedur; ma4ym lteram kursyw9 podao mejsca odwo4a, do bblotek/zborów lub zmeych ze zborów daych; kolorem ebeskm podao procedury uzupe4aj9ce, dz;k którym mo7lwa jest efektowejsza prezetacja uzyskaych wyków (procedury te mo7a pom9k); s4owo opcje ozacza mo7lwo:k modyfkacj polece, poprzez dodawae ró7ego rodzaju opcj; Sk4ade procedur podao w wersj uproszczoej, to zaczy wymeaj9c tylko omawae polecea. Pe4a sk4ada procedur zajduje s; w dokumetacj oprogramowaa oraz w plkach pomocy.. PRAWIDOWE PRZYGOTOWANIE DANYCH DO ANALIZ Zdecydowaa w;kszo:k programów aaltyczych wymaga specyfczego przygotowaa zborów daych do aalz statystyczych. Dae przygotowywae do oblcze, w Systeme SAS rówe7 powy byk w te sposób przygotowae. Dae zestawae s9 w forme tabel p4askej, gdze koleje kolumy traktuje s; jako koleje zmee (cechy), a wersze jako koleje przypadk (obserwacje). Perwszy wersz tabel zawera azwy kolum. Nazwy kolum powy byk zapsae alfabetem m;dzyarodowym (e zaweraj9cym azw arodowych, p. 9, ;, 7, ), a 7adych symbol specjalych (kropek, my:lków, tp.) oraz spacj, wyj9tek staow tzw. zak podkre:lea ( _ ). Tak w;c azwa plo j;czmea jest azw9 eprawd4ow9, forma poprawa powa mek postak plo_jeczmea. Obserwacje wpsujemy jeda pod drug9. Puste komórk tabel uwa7ae s9 za brak daych. Nedopuszczale s9 ast;puj9ce formy wprowadzaa daych: Odmaa Rok Plo ZK Graa , , ,7 88 Begra , , , 86

108 08 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Odmaa Ploy w dt/ha Graa 36,5 3, 8,7 Begra 40,3 38,, ZK w % graa begra Poprawe wprowadzoe dae powy mek postak: Odmaa Rok Plo ZK Graa ,5 90 Graa 005 3, 9 Graa 006 8,7 88 Begra ,3 94 Begra , 90 Begra 006, 86 Do przygotowaa zboru Sród4owego daych ajwygodej jest u7yk arkusza kalkulacyjego, p. Ms Excel. Je7el do przygotowaa tabel z daym wykorzystuje s; Excela, wersz z ag4ówkem powe zaczyak s; w komórce A. W arkuszu po za daym e powo s; zajdowak c w;cej. Przed przeeseem daych ze zboru Sród4owego do oprogramowaa aaltyczego, ale7y upewk s;, czy stosoway paket aaltyczy obs4uguje format w jakm dae zosta4y zapsae. System SAS w pe4 obs4uguje m;dzy ym ast;puj9ce formaty zapsu: Arkusz kalkulacyjy Ms Excel 97, 000, 00, XP, 003; Arkusz kalkulacyjy Ms Excel 5, 95; Arkusz kalkulacyjy Ms Excell 4; Plk bazy daych Ms Access 000, 00, XP, 003; Plk bazy daych Ms Access 97 Plk dbase Plk JMP Arkusz kalkulacyjy Lotus --3 Bazy daych ORACLE Bazy daych MySQL Plk SPSS Plk XML td. Przed wykoaem oblcze, ale7y ostatecze sprawdzk, czy w zborze z daym e ma b4;dów. Najdrobejszy b49d w daych (Sle postawoy przecek dzes;ty, z4a welko:k lter, tzw. lterówka, tp.) mo7e w zacz9cy sposób zmek wyk aalz uemo7lwk prawd4owe woskowae.

109 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 09. WCZYTYWANIE DANYCH DO SYSTEMU SAS.. SAS Eterprse Gude Program SAS Eterprse Gude (EG) jest grafczym arz;dzem Systemu SAS przezaczoym do wykoywae podstawowych operacj a daych, tworzeu wykresów oraz przeprowadzau prostych aalz statystyczych. W;kszo:K operacj wykouje s; w :rodowsku grafczym. EG wczytuje wszystke typy plków obs4ugwae przez System SAS. Aby rozpocz9k prac; w programe ale7y zdecydowak czy rozpoczyay b;dze owy projekt (zestaw aalz) czy te7 b;dze wykorzystyway stej9cy ju7 projektu (rys. I.4.). Rys. I.4.. Oko wyboru projektu programu SAS Eterprse Gude. Oko robocze EG (rys. I.4.) zbudowae jest z meu paska arz;dz (), eksploratora projektów (), oka statusu zada, (3), lsty zada, (4) oraz oka procesu (5) Rys. I.4.. Oko robocze programu SAS Eterprse Gude. Nast;pe mo7a przyst9pk doczytaa zboru z daym. W tym celu z meu Plk wybera s; opcj; Otwórz, a ast;pe Dae ( Plk Otwórz Dae ). W kolejym kroku ale7y wskazak mejsce, z którego dae b;d9 wczytywae (rys. I.4.3).

110 0 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Rys. I.4.3. Oko wyboru Sród4a daych EG. Po wybrau Sród4a (je7el dae zajduj9 s; a komputerze, a którym uruchomoo EG, ale7y wybrak opcj; Komputer lokaly ) ale7y wskazak plk z daym. Je7el wczytyway zbór jest w formace SAS (.sas7bdat ), to dae zosta9 atychmast wczytae, je7el atomast dae zapsae s9 w ym formace, musz9 zostak odpowedo zamportowae. W przypadku plków arkusz kalkulacyjego Ms Excel (.xls ) program zapyta, który arkusz ma zostak zamportoway (rys. I.4.4), a ast;pe zapyta w jak sposób dae maj9 zostak zamportowae (rys. I.4.5). Rys. I.4.4. Wybór arkusza przy mporce daych zapsaych w formace Ms Excel do EG. Rys. I.4.5. Oko wyboru sposobu mportu daych. Je7el zostae wybraa opcja otworzyk plk jako zbór SAS-owy, u7ytkowk w kolejych krokach b;dze musa4 ustawk wszystke w4a:cwo:c daych ch formaty, dlatego, je7el dae s9 ju7 prawd4owo przygotowae, ajlepej jest wybrak perwsz9 opcj;, czyl wy:wetlk plk jako tak. Wybór perwszej opcj spraw, 7e dae zosta9 zamportowae zgode, a formatowae w4a:cwo:c daych zosta9 ustawoe automatycze. Nast;pe dae zosta9 wy:wetloe w oke projektu, a a schemace przebegu procesów pojaw s; koa symbolzuj9ca dae (rys. I.4.6).

111 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Rys. I.4.6. Fragmet schematu przebegu procesu z ko9 symbolzuj9ca dae... rodowsko programstycze SAS erodowsko grafcze EG jakkolwek 4atwe w obs4udze, e pozwala a wykorzystae wszystkch mo7lwo:c jake posada System SAS. Wszystke awet ajbardzej skomplkowae aalzy mo7a atomast wykoak korzystaj9c z tak zwaego :rodowska programstyczego (rys. I.4.7). Wszystke aalzy procesy wykouje s; za pomoc9 tzw. procedur (proc-stepów) lub data-stepów zbudowaych w j;zyku 4GL. Rys. I.4.7. Wygl9d :rodowska programstyczego Systemu SAS. Dae s9 gromadzoe w bblotekach ( Lbrary ). Do podgl9du bblotek daych s4u7y oko eksploratora (rys. I.4.8). W systeme zajduj9 s; bblotek systemowe (stworzoe podczas stalacj oprogramowaa) jak bblotek za4o7oe przez u7ytkowka. Rys. I.4.8. Oko eksploratora z wdoczym bblotekam systemowym. Jeda bbloteka systemowa o azwe Work ma wyj9tkowe zadae. Jest to bbloteka tymczasowa. Ozacza to, 7e wszystke zbory daych, jake zosta9 w ej umeszczoe b;d9 dost;pe tylko przez okres pracy programu. Po zamk;cu aplkacj zawarto:k tej bblotek jest kasowaa. Dodatkowo w procedurach, podczas odwo4ywaa s; do zborów daych zajduj9cych s; w tej bblotece e trzeba podawak jej azwy.

112 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Zak7adae bblotek Isteje klka sposobów zak4adaa bblotek daych. Najwygodejsze jest wykorzystae grafczego kreatora. W tym celu a pasku arz;dz ale7y klk9k a przycsku (rys. I.4.9). Rys. I.4.9. Przycsk uruchamaj9cy kreatora zak4adaa bblotek. Wy:wetloe zostae oko kreatora (rys. I.4.0). Nale7y podak azw; owej bblotek (8 zaków bez cyfr zaków specjalych), wskazak lokalzacj; folderu a dysku twardym przypsaego do tworzoej bblotek (to tam b;d9 przechowywae zbory daych). Aby bbloteka zosta4a za4o7oe a trwa4e ale7y dodatkowo zazaczyk opcj; W49cz przy uruchomeu. Rys. I.4.0. Oko kreatora zak4adaa bblotek. W przypadku usu;ca bblotek, zostae usu;ty tylko wps formuj9cy o bblotece w programe, folder z daym pozostae jedak a dysku twardym komputera. Procedury psae w j;zyku 4GL ajcz;:cej odwo4uj9 s; do zborów daych. Lokalzacj; daych podaje s; w postac: azwa_bblotek.azwa_zboru p.: kurs.dae ozacza zbór dae z bblotek Kurs. Import daych z plku Ms Excell Najcz;stsz9 operacj9 mportu jest wczytae daych zapsaych w arkuszu kalkulacyjym Ms Excel. Aby uruchomk kreatora mportu (rys. I.4.) z meu Plk ale7y wybrak opcj; Importuj dae ( Plk Importuj dae ).

113 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 3 Rys. I.4.. Perwsze oko kreatora mportu daych. W oke tym wybera s; rodzaj mportowaego plku. Nale7y zwróck uwag;, 7e do wyboru s9 a7 trzy rodzaje plków Excela, zale7e od wersj arkusza kalkulacyjego. Po wyborze typu Sród4a daych ale7y wcs9k przycsk Dalej. W kolejym oke ale7y wskazak lokalzacj; plku z daym, a ast;pe wybrak, który arkusz ze skoroszytu Excela ma byk zamportoway. Kolejym krokem jest wybór bblotek do której mportowae dae maj9 zostak do49czoe adae azwy tabel daych (rys. I.4.). Rys. I.4.. Wybór bblotek adae azwy tabel daych. Po wykoau tych operacj ale7y wcs9k przycsk Koec. Je7el dae by4y przygotowae we w4a:cwy sposób (tak jak podao wcze:ej) to we wskazaej bblotece pojaw s; owa tabela z zamportowaym daym, a w oke logu pojaw s; komukat: UWAGA: bbloteka.dae utworzoo. Po dwukrotym klk;cu a koe reprezetuj9cej w oke eksploratora zbór daych, zostae o otwarty do podgl9du.

114 4 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Dae do Cwcze pokazowych Wszystke dae prezetowae w ejszym szkoleu zosta4y do49czoe do p4yty CD z matera4am szkoleowym. zajduj9 s; oe w folderze Kurs. Dae zapsae s9 w formace SAS a. Wystarczy przekopowak a dysk twardy komputera ca4y folder Kurs, a ast;pe za4o7yk w Systeme SAS bblotek; o azwe Kurs odosz9c9 s; do tego folderu. Na p4yce CD w folderze Kody SAS 4GL zapsao wszystke prezetowae kody w j;zyku 4GL opatrzoe ezb;dym kometarzem.

115 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 5 3. PODSTAWOWE ANALIZY STATYSTYCZNE 3.. Statystyk opsowe 3... SAS Eterprse Gude Aalza rozk7adu Aalza rozk4adu zajduje s; w meu Opsz ( Opsz Aalza rozkadu ). Jest odpowedkem procedury UNIVARIATE w :rodowsku programstyczym. Pozwala a wy:wetlee podstawowych statystyk oraz zbadae zgodo:c rozk4adu cechy losowej z rozk4adam teoretyczym (m;dzy ym z rozk4adem ormalym), a tak7e pozwala a wykoae hstogramów, wykresów probablstyczych, wykresów kwatyl oraz wykresów pude4kowych. Statystyk agregujdce Statystyk agreguj9ce zajduj9 s; w meu Opsz ( Opsz Statystyk agreguj/ce ). S9 odpowedkem procedury MEANS w :rodowsku programstyczym. S4u79 do wyzaczaa parametrów rozk4adów cech losowych (p.: warto:k :reda, waracja, odchylee stadardowe, wspó4czyk zmeo:c, przedza4y ufo:c dla warto:c :redej, tp.) oraz do przygotowywaa hstogramów wykresów pude4kowych rodowsko programstycze PROC UNIVARIATE Procedura UNIVARIATE jest elemetem modu4u BASE SAS. S4u7y oa do: wyzaczaa statystyk opsowych bazuj9cych a estymacj puktowej parametrów rozk4adów cech c9g4ych; wyzaczaa statystyk dopasowaa rozk4adu cechy c9g4ej do rozk4adów teoretyczych, w tym do rozk4adu ormalego; wyzaczaa frakcj cechy losowej; przygotowaa hstogramów z dopasowaem do rozk4adu teoretyczego; przygotowaa wykresów probablstyczych zgodo:c cechy losowej z rozk4adem teoretyczym. Sk4ada procedury ma postak: PROC UNIVARIATE <opcje>; BY zmee_grupujace; VAR lsta_zmeych; HISTOGRAM lsta_zmeych /<opcje>; PROBPLOT lsta_zmeych /<opcje>; RUN; QUIT;

116 6 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Przyk7ad: Wyzaczee podstawowych statystyk dla zmeej MTN (masa tys9ca aso) w zborze Lub_zaprawa (dae pochodz9ce z do:wadczea z 4ubem 7ó4tym) z bblotek Kurs. Testowae ormalo:c rozk4adu cechy, wyzaczee frakcj, przygotowae hstogramu wykresu probablstyczego. ODS HTML; PROC UNIVARIATE DATA=kurs.lub_zaprawa NORMAL FREQ; VAR mt; HISTOGRAM mt /NORMAL (COLOR=RED W=); PROBPLOT mt/normal (MU=EST SIGMA=EST COLOR=RED W=); RUN; QUIT; ODS HTML CLOSE; PROC MEANS Procedura MEANS jest elemetem modu4u BASE SAS. S4u7y do wyzaczaa podstawowych statystyk cech lo:cowych, p.: lczba obserwacj, lczb; braków daych; warto:k :reda; waracja odchylee stadardowe; stadardowy b49d ocey :redej; przedza4 ufo:c dla :redej; mmum, maksmum, rozst;p; wspó4czyk zmeo:c; tp. Sk4ada procedury ma postak: PROC MEANS <opcje>; BY zmee_grupujace; VAR lsta_zmeych; RUN; Domy:le procedura MEANS wyzacza dla aalzowaych daych lczbowych: lczb; obserwacj, warto:k :red9, odchylee stadardowe, mmum maksmum. Aby wyzaczyk e parametry, ale7y wymek w opcjach procedury, które parametry maj9 byk wyzaczoe. Do wskazywaa parametrów wykorzystuje s; ast;puj9ce s4owa kluczowe: CLM przedza4 ufo:c dla :redej SKEW sko:o:k CV wspó4czyk zmeo:c [%] STD odchylee stadardowe KURT kurtoza STDERR stadardowy b49d :redej MAX maksmum SUM suma MEAN warto:k :reda VAR waracja MIN mmum MEDIAN medaa N lczba obserwacj Q góry kwartyl NMISS lczba braków daych Q3 doly kwartyl RANGE rozst;p

117 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 7 Przyk7ady: Domy:le statystyk dla zmeej wschody_polowe ze zboru Lub_zaprawa w bblotece Kurs. ODS HTML; PROC MEANS DATA = kurs.lub_zaprawa; VAR wschody_polowe; RUN; ODS HTML CLOSE; Domy:le statystyk dla zmeej wschody_polowe MTN ze zboru Lub_zaprawa oddzele dla ka7dego roku bada, (zbór mus byk posortoway po zmeej rok ). ODS HTML; PROC MEANS DATA = kurs.lub_zaprawa; BY rok; VAR wschody_polowe mt; RUN; ODS HTML CLOSE; ereda, waracja, odchylee stadardowe, wspó4czyk zmeo:c, przedza4 ufo:c (przy q = 0.0) oraz rozst;p dla zmeych fug_, fug_, fug_3 fug_4 (od fug_ do fug_4 ) ze zboru Jeczme_grzyby. ODS HTML; PROC MEANS DATA = kurs.jeczme_grzyby ALPHA = 0.0 MEAN VAR STD CV CLM RANGE; VAR fug_ -- fug_4; RUN; ODS HTML CLOSE; 3.. Testy t 3... SAS Eterprse Gude Test t Testy t zajduj9 s; w meu Aalzuj w grupe ANOVA ( Aalzuj ANOVA Test t ). S9 odpowedkem procedury TTEST w :rodowsku programstyczym. S4u79 do wykoywaa testów t dla porówaa warto:c :redej z orm9, porówaa dwóch warto:c :redch oraz porówaa dwóch warto:c :redch dla daych skorelowaych (tzw. test sparoway ). Poad to umo7lwa wykoae wykresów pude4kowych wykresów warto:c :redch.

118 8 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 3... rodowsko programstycze PROC TTEST Procedura TTEST jest elemetem modu4u SAS/STAT. Pozwala oa a przeprowadzee test t-studeta dla: porówaa warto:c :redej z orm9: t x m s 0 emp = porówaa dwóch warto:c :redch (przy za4o7eu rówych erówych waracj): t emp ( ) x x m = dla = Sr 0 s s + ( x x ) m t' = przy df = dla emp 0 s s s s + + porówaa dwóch sparowaych (skorelowaych) warto:c :redch: t emp d m = s Jedocze:e podczas przeprowadzaa testu t dla ró7cy dwóch warto:c :redch procedura TTEST wykouje test F porówaa dwóch waracj: s Femp = s Sk4ada procedury ma postak: 0 d PROC TTEST <opcje>; BY zmee_grupujace; CLASS zmea_klasyfkujaca; VAR lsta_zmeych; PAIRED lsta_par; RUN;

119 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 9 Przyk7ady: Porówae :redej z wzorcem. Dla zboru Lub_zaprawa sprawdzk czy :reda MTN wyos 80 g. H : m= m 0 0 ODS HTML; PROC TTEST DATA = kurs.lub_zaprawa H0 = 80; VAR mt; RUN; ODS HTML CLOSE; Porówae dwóch warto:c :redch. Dla zboru Lub_zaprawa sprawdzk czy :rede warto:c MTN w latach by4y sobe rówe. H0 : m m = m0 dla m = 0 F H : m = m 0 0 ODS HTML; PROC TTEST DATA = kurs.lub_zaprawa H0 = 0; CLASS rok; VAR mt; RUN; ODS HTML CLOSE; 3.3. Aalza waracj SAS Eterprse Gude ANOVA jedoczykowa Jedoczykowa ANOVA zajduje s; w meu Aalzuj w grupe ANOVA ( Aalzuj ANOVA ANOVA jedoczykowa ). Jest odpowedkem procedury ANOVA w :rodowsku programstyczym. S4u7y do wykoywaa testu F aalzy waracj dla uk4adu jedoczykowego, ca4kowce losowego. Pozwala rówe7 a przeprowadzee porówa, welokrotych a wykoae testów homogeczo:c waracj (homoskedastyczo:c zmeych). Rówe7 mo7a wykoak wykresy pude4kowe wykresy warto:c :redch Lrodowsko programstycze PROC ANOVA / PROC GLM W Systeme SAS do przeprowadzea testu F aalzy waracj mo7a wykorzystak dwe procedury: ANOVA GLM. Procedura ANOVA pozwala a przeprowadzee prostej aalzy waracj dla uk4adów kompletych, ortogoalych (pozbawoych braków daych).

120 0 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Procedura GLM jest procedur9 bardzej zaawasowa9, pozwala a wykoae aalzy waracj dla dowolych uk4adów. W lteraturze zaleca s; stosowae procedury GLM. Sk4ada procedury ma postak: PROC GLM <opcje>; BY zmee_grupujace; CLASS zmee_klasyfkujace; MODEL zmea_zaleza = zmee_klasyfkujace; MEANS zmee_klasyfkujace /opcje; RUN; QUIT; Przyk7ad: Za pomoc9 aalzy waracj sprawdzk czy stej9 ró7ce pom;dzy lam j;czmea w stopu pora7ea grzybam ozaczoym jako fug_ w zborze Jeczme_grzyby. Dodatkowo wykoak testy Tukeya, Ducaa oraz Duetta (obustroy, wzorzec la ). ODS HTML; PROC GLM DATA = kurs.jeczme_grzyby; CLASS la; MODEL fug_ = la; MEANS la / TUKEY; MEANS la / DUNCAN; MEANS la / DUNNETT (''); RUN; QUIT; ODS HTML CLOSE;

121 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 4. PLANOWANIE EKSPERYMENTU 4.. rodowsko programstycze SAS PROC PLAN Procedur PLAN jest elemetem modu4u SAS/STAT. Pozwala oa a: przygotowae lsty kombacj permutacj lczb; rozlosowae przygotowae plaów do:wadcze,; rozlosowae m;dzy ym: o uk4adów ca4kowce losowych uk4adów blokowych, o uk4adów bloków ekompletych, o uk4adów kwadratu 4ac,skego greko-4ac,skego, przygotowae zborów do wprowadzaa daych. Sk4ada procedury ma postak: PROC PLAN <opcje>; FACTORS lsta_czyków </NOPRINT>; TREATMENTS lsta_czyków; OUTPUT OUT = zbór_sas <opcje czyków>; RUN; QUIT; Przyk7ady: Rozlosowae do:wadczea jedoczykowego w uk4adze losowaych bloków (4 blok, 5 pozomów czyka A). PROC PLAN; FACTORS Blok = 4 ORDERED Czyk_a = 5 RANDOM /NOPRINT; OUTPUT OUT = pla_; RUN; QUIT; ODS LISTING CLOSE; ODS HTM; PROC PRINT DATA = pla_ NOOBS; RUN; ODS HTML CLOSE; ODS LISTING;

122 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Rozlosowae do:wadczea jedoczykowego w uk4adze kwadratu 4ac,skego (4 wersze, 4 kolumy, 4 pozomy czyka A). PROC PLAN; FACTORS wersz = 4 ORDERED koluma = 4 ORDERED /NOPRINT; TREATMENTS Czyk_a = 4 CYCLIC; OUTPUT OUT = pla_ wersz ORDERED koluma ORDERED Czyk_a RANDOM; RUN; QUIT; ODS LISTING CLOSE; ODS HTML; PROC PRINT DATA = pla_ NOOBS; RUN; PROC TABULATE; CLASS wersz koluma; VAR Czyk_a; TABLE wersz, koluma * (Czyk_a =" * f = 6.) * sum=''; RUN; ODS HTML CLOSE; ODS LISTING; Do:wadczee jedoczykowe w uk4adze losowaych bloków ekomplete ( pozomów czyka po 0 w bloku, 5 bloków). PROC PLAN; FACTORS Blok = 5 ORDERED Czyk_a = 0 OF CYCLIC /NOPRINT; OUTPUT OUT = pla_3 Blok ORDERED Czyk_a RANDOM; RUN; QUIT; ODS LISTING CLOSE; ODS HTML; PROC PRINT DATA = pla_3 NOOBS; RUN; ODS HTML CLOSE; ODS LISTING; Rozlosowae do:wadczea dwuczykowego w uk4adze splt-plot (4 blok, 3 pozomy czyka A, 5 pozomów czyka B). ODS LISTING CLOSE; ODS HTML; PROC PLAN; FACTORS blok = 4 ORDERED czyk_a = 3 RANDOM czyk_b = 5 RANDOM; OUTPUT OUT = pla_4 blok ORDERED czyk_a RANDOM czyk_b RANDOM; RUN; QUIT; PROC PRINT DATA = pla_4 NOOBS; RUN; ODS HTML CLOSE; ODS LISTING;

123 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH 3 Do:wadczee dwuczykowe w uk4adze herarchczym splt-blok (4 pasy czyk A, 3 powtórzea, 7 pozomów czyka B). PROC PLAN; FACTORS pasy = 4 ORDERED powt = 3 ORDERED czyk_b = 7 RANDOM /NOPRINT; OUTPUT OUT = pla_5 pasy ORDERED powt ORDERED czyk_b RANDOM; RUN; QUIT; ODS LISTING CLOSE; ODS HTML; PROC PRINT DATA = pla_5 NOOBS; RUN; ODS HTML CLOSE; ODS LISTING; 4.. rodowsko JMP 6 / 7 erodowsko JMP zosta4o opracowae przez SAS Isttute Ic. z my:l9 o dyamczej prezetacj daych. Umo7lwa dyamcze po49czee opcj grafczych z aalzam statystyczym. Do poprawego dza4aa JMP wymaga zastalowaej prócz Polskej rówe7 Agelskej wersj j;zykowej Systemu SAS. W;cej formacj o :rodowsku JMP a stroe Aby uruchomk modu4 plaowaa eksperymetów ale7y wybrak z oka JMP Starter kategor; DOE (desg of expermet) (rys. II.4.). Rys. II.4.. Opcje kategor DOE w oke JMP Starter. Nast;pe ale7y wybrak rodzaj plaowaego eksperymetu. Dalsze prezetowae przyk4ady wykorzystuj9 opcj; Custom Desg. W owo otwartym oke (rys. II.4.) mo7a wprowadzak koleje czyk w plaowaym do:wadczeu.

124 4 PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH Rys. II.4.. Oko DOE Custom Desg. Po wybrau lczby rodzajów czyków w plaowaym do:wadczeu ale7y wcs9k przycsk Cotue, a ast;pe. Po rozszerzeu oka (rys. II.4.3) mo7a wskazak le razy losowae ma byk powtórzoe (lczba replkacj). Rys. II.4.3. Oko DOE Custom Desg opcje replkacj. Po wc:;cu przycsku Make Table do:wadczee zostae rozlosowae zostae wy:wetloa tabela przygotowaa wed4ug zaplaowaego uk4adu do:wadczalego.

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura: Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.

Bardziej szczegółowo

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA Załączk r do Regulamu I kokursu GIS PROGRAM PRIORYTETOWY: SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA. Cel opracowaa Celem opracowaa jest spója metodyka oblczaa efektu ograczaa emsj gazów ceplaraych,

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU Haa Dudek a, Moka Dybcak b a Katedra Ekoometr Iformatyk SGGW b studetka Mędzywydzałowego Studum Iformatyk Ekoometr e-mal: hdudek@mors.sggw.waw.pl ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

ESTYMATORY ODPORNE ZMIENNOŚCI W MODELU BLACKA - SCHOLESA WSTĘP

ESTYMATORY ODPORNE ZMIENNOŚCI W MODELU BLACKA - SCHOLESA WSTĘP Justya Majewska Katedra Statystyk, Akadema Ekoomcza w Katowcach e-mal: majewskaj@wp.pl ESTYMATORY ODPORNE ZMIENNOŚCI W MODELU BLACKA - SCHOLESA Streszczee: NajwaŜejszym etapem przy wycee opcj jest właścwe

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH Mara KLONOWSKA-MATYNIA Natala CENDROWSKA WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY Zarys treśc: Nejsze opracowae pośwęcoe zostało spółkom akcyjym, które

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej Materały omoccze do e-leargu Progozowae symulacje Jausz Górczyńsk Moduł. Podstawy rogozowaa. Model regresj lowej Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu Sochaczew Od Autora Treśc zawarte w tym materale były erwote

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia optymalizacji kosztów w projektowaniu gazowych sieci rozdzielczych

Zagadnienia optymalizacji kosztów w projektowaniu gazowych sieci rozdzielczych Zagadea optymalzacj kosztów w projektowau gazowych sec rozdzelczych Autorzy: dr Ŝ. ech Dobrowolsk, m Ŝ. Wtold Maryka ( Ryek Eerg 6/200) Słowa kluczowe: rozdzelcza seć gazowa, stacje gazowe redukcyje, gazocąg

Bardziej szczegółowo

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży Gawlk L., Kasztelewcz Z., 2005 Zależość kosztów produkcj węgla w kopal węgla bruatego Ko od pozomu jego sprzedaży. Prace aukowe Istytutu Górctwa Poltechk Wrocławskej r 2. Wyd. Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej,

Bardziej szczegółowo

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI GIEŁDOWYCH PRZY UŻYCIU ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH mgr ż. Marc Klmek Katedra Iformatyk Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa m. Papeża Jaa Pawła II w Bałej Podlaskej Streszczee:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II

aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) GRY KONFLIKTOWE GRY -OSOBOWE O SUMIE WYPŁT ZERO I. DEFINICJE TWIERDZENI Konflktowe gr dwuosobowe opsuje macerz wpłat ( a ) [ ] mxn j,b j gdze: aj

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 1 Statystyka opsowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 W statystyce opsowej mamy pełne nformacje

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęcia wyrównawcze AJD w Częstochowie; 2009/2010. Irena Fidytek

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęcia wyrównawcze AJD w Częstochowie; 2009/2010. Irena Fidytek RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęca wyrówawcze AJD w Częstochowe; 2009/200 Irea Fdyte PODSTAWOWE WIADOMOŚCI Z KOMBINATORYKI Nech X { x x x } =, 2, będze daym zborem -elemetowym Z elemetów tego zboru a róże

Bardziej szczegółowo

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA

Bardziej szczegółowo

Porz dkowanie krajów Unii Europejskiej wed ug poziomu zrównowa onego rozwoju

Porz dkowanie krajów Unii Europejskiej wed ug poziomu zrównowa onego rozwoju PRACE NAUKOWE Akadem m. Jaa Dugosza w Czstochowe Sera: Pragmata tes Okoomas 20, z. V Marek KULESZA Akadema m. Jaa Dugosza w Czstochowe Stasawa OSTASIEWICZ WSOWL m T. Kocuszk we Wrocawu Porzdkowae kraów

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI POMIARÓW

BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI POMIARÓW INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII RODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW OLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA RACOWNIA DETEKCJI ROMIENIOWANIA JĄDROWEGO Ć W I C Z E N I E N R J-6 BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI OMIARÓW

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POSZECHNE KRAJOE ZASADY YCENY (PKZ) KRAJOY STANDARD YCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSS 4 INESTYCJE LINIOE - SŁUŻEBNOŚĆ PRZESYŁU I BEZUMONE KORZYSTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa

Bardziej szczegółowo

Analiza wyniku finansowego - analiza wstępna

Analiza wyniku finansowego - analiza wstępna Aalza wyku fasowego - aalza wstępa dr Potr Ls Welkość wyku fasowego determuje: etowość przedsęborstwa Welkość podatku dochodowego Welkość kaptałów własych Welkość dywded 1 Aalza wyku fasowego ma szczególe

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-1)

LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-1) LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-) wwwmuepolslpl/~wwwzmape Opracował: Dr n Jan Około-Kułak Sprawdzł: Dr hab n Janusz Kotowcz Zatwerdzł: Dr hab n Janusz Kotowcz Cel wczena Celem wczena jest

Bardziej szczegółowo

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7)

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7) PROCES ZARZĄDZANIA PORTFELEM PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH WSPOMAGANY PRZEZ ŚRODOWISKO AUTOMATÓW KOMÓRKOWYCH Ageszka ULFIK Streszczee: W pracy przedstawoo sposób zarządzaa portfelem paperów wartoścowych wspomagay

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej Dr hab. ż. Ato Śwć, prof. adzw. Istytut Techologczych ystemów Iformacyych oltechka Lubelska ul. Nadbystrzycka 36, 2-68 Lubl e-mal: a.swc@pollub.pl Dr ż. Lech Mazurek aństwowa Wyższa zkoła Zawodowa w Chełme

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej

Bardziej szczegółowo

Układ sterowania górniczego wielosilnikowego przenośnika taśmowego

Układ sterowania górniczego wielosilnikowego przenośnika taśmowego dr ż. ARIAN HYLA Poltechka Śląska Katedra Eergoelektrok, Napędu Elektryczego Robotyk Układ sterowaa górczego weloslkowego przeośka taśmowego W artykule przedstawoo kocepcję realzację praktyczą układu sterowaa

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT

Bardziej szczegółowo

Nieklasyczne modele kolorowania grafów

Nieklasyczne modele kolorowania grafów 65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY Państwowa Wższa Szkoła Zawodowa w Koe Materał ddaktcze 17 ARTUR ZIMNY STATYSTYKA OPISOWA Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe Ko 010 Ttuł Statstka opsowa Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe

Bardziej szczegółowo

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych Pla rozdzału Relacyjy model daych Relacyjy model daych - pojęca podstawowe Ograczea w modelu relacyjym Algebra relacj - podstawowe operacje projekcja selekcja połączee operatory mogoścowe Algebra relacj

Bardziej szczegółowo

ZARYS METODY OCENY TRWAŁOSCI I NIEZAWODNOSCI OBIEKTU Z UWZGLEDNIENIEM CZYNNIKA LUDZKIEGO I PŁASZCZYZNY LICZB ZESPOLONYCH

ZARYS METODY OCENY TRWAŁOSCI I NIEZAWODNOSCI OBIEKTU Z UWZGLEDNIENIEM CZYNNIKA LUDZKIEGO I PŁASZCZYZNY LICZB ZESPOLONYCH Zdzsław IDZIASZEK 1 Mechatrocs ad Avato Faculty Mltary Uversty of Techology, 00-908 Warsaw 49, Kalskego street r zdzaszek@wat.edu.pl Norbert GRZESIK Avato Faculty Polsh Ar Force Academy, 08-51 Dębl, Dywzjou

Bardziej szczegółowo

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie. Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane

Bardziej szczegółowo

System M/M/1/L. λ = H 0 µ 1 λ 0 H 1 µ 2 λ 1 H 2 µ 3 λ 2 µ L+1 λ L H L+1. Jeli załoymy, e λ. i dla i = 1, 2,, L+1 oraz

System M/M/1/L. λ = H 0 µ 1 λ 0 H 1 µ 2 λ 1 H 2 µ 3 λ 2 µ L+1 λ L H L+1. Jeli załoymy, e λ. i dla i = 1, 2,, L+1 oraz System M/M// System ten w odrónenu do wczenej omawanych systemów osada kolejk. Jednak jest ona ogranczona, jej maksymalna ojemno jest wartoc skoczon

Bardziej szczegółowo

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest

Bardziej szczegółowo

KOMPUTEROWY SYSTEM DO SPRAWDZANIA CZĘSTOŚCIOMIERZY CYFROWYCH

KOMPUTEROWY SYSTEM DO SPRAWDZANIA CZĘSTOŚCIOMIERZY CYFROWYCH MWK'2003 KOMPUTEROWY SYSTEM DO SPRAWDZANIA CZĘSTOŚCIOMIERZY CYFROWYCH dr ż. Elgusz Pałosk STRESZCZENIE W pracy przedstaa sę schemat blokoy układu pomaroego oraz sposób przetarzaa daych umożlające spradzae

Bardziej szczegółowo

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0 7. Testowaie hipotez statystyczych 7. Populacja ma rozkład ciągły opisay fukcją gęstości f ( x) ( + ) x dla x [,]. Testowaa jest hipoteza, Ŝe wobec hipotezy alteratywej, Ŝe. Wioskujemy a podstawie jedoelemetowej

Bardziej szczegółowo