SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji

Transkrypt

1 SIMR 03/4, Analiza, wykład 5, 0--6 Pocodna funkcji Definicja: Niec będzie dana funkcja f : D R oraz punkt intd. Wtedy pocodną funkcji f w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): f f( + ) f() f( + ) f() Uwaga : Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym; iloraz ten oznacza się rózwnież f - stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu. Pocodna jest to granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost argumentu dąży do zera. Pocodną funkcji oznaczamy też: f df d Uwaga : Jeżeli funkcja f ma pocodną w punkcie to mówimy, że jest różniczkowalna w punkcie. Jeżeli ma pocodną w każdym punkcie D to mówimy, że funkcja jest różniczkowalna. Obliczanie pocodnej nazywamy też różniczkowaniem funkcji. Interpretacja geometryczna pocodnej Iloraz różnicowy jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej siecznej wykresu funkcji: prostej przecodzącej przez punkty P (, f()) i Q( +, f( + )). Pocodna jest współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie P Interpretacja fizyczna pocodnej Niec (t) będzie położenia ciała w cwili t. Prędkością średnią nazywamy iloraz różnicowy: (t + t) (t) v s (t, t) t Prędkość średnia jest funkcją dwóc zmiennyc: t i t. Prędkością cwilową nazywamy granicę prędkości średniej: v(t) v s(t, t) t 0 Prędkość cwilowa jest funkcją jednej zmiennej t. Widać, że: v(t) (t) Podobnie: a(t) v (t) Przykład: Obliczyć pocodną funkcji f() a (funkcja stała) Dziedzina f D R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt R jest punktem wewnętrznym dziedziny. f f( + ) f() a a 0 Granica ta istnieje dla każdego R a więc funkcja f() a jest różniczkowalna i jej pocodna jest równa: (a) 0 Przykład: Obliczyć pocodną funkcji f() 3 Dziedzina f D R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt R jest punktem wewnętrznym dziedziny.

2 f f( + ) f() lim 0 0 ( + ) ( ) Granica ta istnieje dla każdego R a więc funkcja f() 3 jest różniczkowalna i jej pocodna jest równa: ( 3 ) 3 Uwaga: Wzór ten jest prawdziwy dla > 0. Dla < 0 wzór ten jest prawdziwy, jeśli α p (liczba wymierna, ułamek nieskracalny), q p, q Z, q jest liczbą nieparzystą. Jeżeli ponadto α > to zwór oboiązuja dla 0. Przykład: Obliczyć pocodną funkcji f() sin Dziedzina f D R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt R jest punktem wewnętrznym dziedziny. f 0 f( + ) f() sin lim cos + cos 0 sin( + ) sin + sin cos Granica ta istnieje dla każdego R a więc funkcja f() sin jest różniczkowalna i jej pocodna jest równa: (sin ) cos Analogicznie pokazujemy, że: (cos ) sin Przykład: Obliczyć pocodną funkcji f() ln Dziedzina f D (0, ) jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt (0, ) jest punktem wewnętrznym dziedziny. f f( + ) f() ln( + ) ln ln( + ln( + Granica ta istnieje dla każdego (0, ) a więc funkcja f() ln jest różniczkowalna i jej pocodna jest równa: (ln ) Własności pocodnej: Jeżeli istnieją pocodna funkcji f () i g () to istnieją też poniższe pocodne i są równe:. (af()) af (), a R. (f() + g()) f () + g () 3. (f() g()) f () g () 4. (f() g()) f () g() + f() g () ( ) f() 5. f () g() f() g (), jeśli g() 0 g() g () ) )

3 6. Jeżeli y g() i istnieje f (y) to (f(g())) f (y) g () Uwaga : Własności pocodnej,,3 są takie same jak własości granic funkcji, natomiast własności 4,5,6 są inne! Uwaga : Własność 6 jest to pocodna złożenia (superpozycji) funkcji. Funkcję f nazywamy funkcją zewnętrzną, a funkcję g funkcją wewnętrzną. Pocodna złożenia jest więc równa iloczynowi pocodnej funkcji zewnętrzej i pocodnej funkcji wewnętrznej (w odpowiednic punktac). Przykłady Obliczyć pocodne funkcji: ( ) 6( 4 ) 4( ) + (7) ( 3 ) 6 + ( ) ( 3 ln ) ( 3 ) ln + 3 (ln ) 3 ln ln + (3 ln + ) ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) 4 ( ) ( ) ( ) (tg ) ( ) sin (sin ) cos sin (cos ) cos cos cos cos sin ( sin ) cos cos (ctg ) sin (analogicznie) (ln(cos )) Wykorzystujemy wzór na pocodną złożenia funkcji: y g() cos, f(y) ln y. Wtedy: f (y) y, g () sin, a więc: (ln(cos )) y ( + ) ( sin ) sin cos tg Mamy: y +, f(y) y ( + ) y + (sin(ln )) Mamy: y ln, f(y) sin y (sin(ln )) cos y cos(ln ) (ln(sin )) Jest to złożenie trzec funkcji. Mamy: y ln, z sin y, f(z) ln z (ln(sin ) z cos y cos( ) sin( ) ( ln( 3 + sin )) ) 3 + sin + sin cos 3 + sin ( α ) (e ln α ) (e α ln ) e α ln α αα, α R, > 0 3

4 Pocodna funkcji odwrotnej Twierdzenie: Dana jest funkcja f : D D ciągła, odwracalna oraz punkt D taki, że f () 0. Wtedy funkcja odwrotna do f ma pocodną w punkcie y f() i jej pocodna jest równa: (f (y)) f () Przykład: Obliczyć pocodną funkcji e Funkcja f() ln spełnia założenia twierdzenia w każdym punkcie (0, ). Funkcją odwrotną jest e : y ln e y Stąd (e y ) e (ln ) y Lub zmieniając oznaczenie argumentu: (e ) e Przykład zastosowania pocodnej Dane jest położenie ciała w czasie t : (t) t cos t. Obliczyć prędkość cwilową v(t) i przyśpieszenie cwilowe a(t) w czasie t v(t) ((t)) 3t 4 sin t a(t) (v(t)) 6t 4 cos t Funkcje iperboliczne Sinus iperboliczny sin e e Dziedzina: D R Zbiór wartości: sin(d) R Funkcja nieparzysta, rosnąca Cosinus iperboliczny cos e + e Dziedzina: D R Zbiór wartości: cos(d) <, ) Funkcja parzysta, rosnąca w przedziale < 0, ) Tangens iperboliczny tg sin cos Dziedzina: D R Zbiór wartości: tg(d) (, ) Funkcja nieparzysta, rosnąca Cotangens iperboliczny ctg cos sin Dziedzina: D (, 0) (0, ) Zbiór wartości: ctg(d) (, ) (, ) Funkcja nieparzysta, malejąca w przedziale (, ) oraz w przedziale (, ) Pewne własności funkcji iperbolicznyc: cos sin 4

5 cos + sin cos (sin ) cos (cos ) sin (tg ) cos (ctg ) sin Funkcje cyklometryczne Ccemy zdefiniować funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznyc. Aby funkcja odwrotna istniała musimy ograniczyć dzidzinę i przeciwdziedzinę funkcji trygonometrycznyc, aby uzyskać funkcją różnowartościową i na. Funkcja f :< π, π > <, >, f() sin ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy arcus sinus: arc sin :<, > < π, π > sin y y arc sin y < π, π > Funkcja f :< 0, π > <, >, f() cos ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy arcus cosinus: arc cos :<, > < { 0, π > cos y y arc cos y < 0, π > Funkcja f : ( π, π ) (, ), f() tg ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy arcus tangens: arc tg : (, ) ( π, π ) tg y y arc tg y ( π, π ) Funkcja f : (0, π) (, ), f() ctg ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy arcus cotangens: arc ctg : (, ) { (0, π) ctg y y arc ctg y (0, π) Uwaga Powyższe funkcje są funkjami odwrotnymi tylko do jednej gałęzi danej funkcji trygonometrycznej. Przykład : Obliczyć y sin(arc sin ) Oznaczmy z arc sin Wtedy sin z, z < π, π > Oraz: y sin z Stąd: y <, > Przykład : Obliczyć y arc sin(sin ) Oznaczmy z sin Wtedy y arc sin z, czyli z sin y, y < π, π > 5

6 Mamy: sin y sin więc y + kπ lub y π + kπ, k Z i k jest takie aby otrzymać wartość y z przedziału < π, π > Pocodne funkcji cyklometrycznyc Obliczmy (arc sin y) dla y (, ) z twierdzenia o pocodnej funkcji odwrotnej. Niec arc sin y, wtedy (arc sin y) (sin ) cos sin y Zmieniając oznaczenie argumentu: (arc sin ) Analogicznie: (arc cos ) Obliczmy (arc tg y) dla y (, ) z twierdzenia o pocodnej funkcji odwrotnej. NIec arc tg y, wtedy (arc tg y) cos (tg ) cos cos + sin + tg + y cos Zmieniając oznaczenie argumentu: (arc tg ) + Analogicznie: (arc ctg ) + Przykłady: Obliczyć pocodne: (arc tg( )) ( cos ) cos + sin (arc sin ) 6

7 Tabela pocodnyc funkcji elementarnyc: f() f () Założenia f() f () Założenia cos > 0 ctg sin α α α > 0, α R tg ln e e sin cos arc sin 0 (, ) cos sin arc cos (, ) tg cos ctg sin sin cos k+ π, k Z arc tg + kπ, k Z arc ctg + cos sin 7