Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Transkrypt

1 Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych

2 Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A.

3 Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy, że macierz A jest nieosobliwa, gdy jej wyznacznik jest różny od zera, tzn. det A 0. W przeciwnym razie macierz nazywamy osobliwą.

4 Macierz odwrotna Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Macierz kwadratową A -1 nazywamy macierzą odwrotną do A, gdy A A 1 = A 1 A = I. Z własności wyznaczników wynika, że jeśli A posiada macierz odwrotną, to jest nieosobliwa. Dla macierzy osobliwych nie ma zdefiniowanej macierzy odwrotnej! Zatem, zanim wyznaczy się macierz odwrotną A -1 należy sprawdzić, czy wyznacznik macierzy A jest różny od zera.

5 Wyznaczanie macierzy odwrotnej Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Załóżmy, że macierz A jest nieosobliwa. Do wyznaczenia macierzy odwrotnej stosujemy następujący wzór: A 1 = 1 det A BT, gdzie B jest macierzą złożoną z dopełnień algebraicznych A ij elementów aij macierzy A, tzn. A ij = ( 1) i+j M ij, gdzie M ij jest minorem elementu a ij.

6 Wyznaczanie macierzy odwrotnej Wyznaczenie macierzy odwrotnej do A można podzielić na trzy etapy: 1. Obliczenie wyznacznika deta. 2. Obliczenie wszystkich dopełnień algebraicznych A ij i ustawienie ich w macierz B. 3. Wstawienie powyższych wartości do wzoru: A 1 = 1 det A BT,

7 Przykład A = [ ] 1. det A = = = A 11 = ( 1) = 3, A 12 = ( 1) = 2, A 13 = 6, A 21 = 0, A 22 = 5, A 23 = 0, A 31 = 6, A 32 = ( 1) = 1, A 33 = 3. B =

8 Przykład A = [ ] 3. B = , det A = 15, A 1 = 1 det A BT = =

9 Układy równań liniowych

10 Układ równań liniowych m-równań, n-niewiadomych a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. x j - niewiadome układu a ij - współczynniki układu b i - wyrazy wolne układu A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn B = b 1 b 2 b m X = x 1 x 2 x n

11 Układ równań liniowych m-równań, n-niewiadomych a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n B = a m1 a m2 a mn b 1 b 2 b m X = x 1 x 2 x n Dzięki powyższym oznaczeniom układ można zapisać krótko w postaci macierzowej AX = B.

12 Układ równań liniowych m-równań, n-niewiadomych a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. Rozwiązaniem układu jest każdy punkt x = (x 1, x 2,, x n ), dla którego spełnione są jednocześnie wszystkie równania układu.

13 Ze względu na liczbę rozwiązań dla układów równań liniowych mamy trzy możliwości: I. Brak rozwiązań, tzn. zbiór punktów x spełniających układ jest pusty. II. Dokładnie jedno rozwiązanie, tzn. zbiór rozwiązań skłąda się z jednego punktu. III. Nieskończenie wiele rozwiązań, tzn. zbiór rozwiązań nie składa się ze skończonej liczby punktów, lecz jest ich nieskończenie wiele.

14 Układ równań liniowych n-równań, n-niewiadomych a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n. A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn B = b 1 b 2 b n X = x 1 x 2 x n Jak widać, macierz układu jest teraz macierzą kwadratową, a układ ma postać AX = B.

15 Układ równań liniowych n-równań, n-niewiadomych Wynika stąd, że układ n równań z n niewiadomymi AX = B ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy macierz A układu jest nieosobliwa, tzn. det A 0. Rozwiązanie to można wówczas wyznaczyć za pomocą rachunku na macierzach: X = A 1 B.

16 Układ równań liniowych n-równań, n-niewiadomych A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn B = b 1 b 2 b n Wprowadźmy oznaczenia: W = det A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a n1 a n2 a nn W i = a 11 a 12 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n a n1 a n2 a ni 1 b n a ni+1 a nn.

17 Wzory Cramera Jeśli wyznacznik W jest różny od 0, tzn. W = det A 0, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie będące punktem x = (x 1, x 2,, x n ), którego współrzędne x i wyznaczamy na podstawie następujących wzorów Cramera x i = W i W dla i = 1,2,, n.

18 Pozostałe przypadki Jeśli wyznacznik W jest równy 0, tzn. W = det A = 0, natomiast, choć jeden wyznacznik W i jest różny od 0, tzn. W i 0 dla pewnego i = 1,2,, n, to układ nie ma rozwiązań. W przeciwnym przypadku, tzn. jeśli zerują się wszystkie wyznaczniki W = 0, W 1 = 0,, W n = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

19 Przykład A = 3 I + 2 II B = 4 I + 5 II Ile jednostek produktów I i II wytworzymy dysponując zasobami surowców A i B w ilościach 21 i 42 jednostek odpowiednio? 3x 1 + 2x 2 = 21 { 4x 1 + 5x 2 = 42 W = = 7 0, W 1 = = 21, W 2 = = 42. x 1 = W 1 W = 21 7 = 3, x 2 = W 2 W = 42 7 = 6.

20 Układy nierówności liniowych W wielu zastosowaniach ekonomicznych: planowania optymalnej produkcji, w zagadnieniach transportowych, wyborze optymalnego portfela inwestycyjnego, planowania przydziału godzin pracy, planowania strategii rozdziału środków finansowych, planowania wielkości zapasów magazynowych w firmie, problemach diety, mieszania, żywienia, problemach organizacji pracy, organizacji kampanii reklamowej za pomocą różnych mediów stwierdzono, że umiejętność rozwiązywania układów nierówności liniowych jest niezbędna. Czym są układy nierówności liniowych? Jaka jest interpretacja geometryczna ich rozwiązań?

21 Układy nierówności liniowych a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m, a m+11 x 1 + a m+12 x a m+1n x n b m+1, a p1 x 1 + a p2 x a pn x n b p, a p+11 x 1 + a p+12 x a p+1n x n = b p+1, a r1 x 1 + a r2 x a rn x n = b r. m nierówności p - m nierówności r - p równań

22 Zastosowanie praktyczne Dzienna produkcja x1 Wielkość dziennej produkcji wyrobu I Wyroby x2 Wielkość dziennej produkcji wyrobu II Zasoby surowców Surowce A B Zyski jednostkowe x 1 + 2x 2 12, 4x 1 + 5x 2 23, x 1 0, x 2 0.

23 Zastosowanie praktyczne 3x 1 + 2x 2 12, 4x 1 + 5x 2 23, x 1 0, x 2 0. Każdy punkt x = (x1, x2), którego współrzędne spełniają powyższy układ nazywamy rozwiązaniem dopuszczalnym. Zbiór wszystkich rozwiązań dopuszczalnych można przedstawić graficznie w układzie współrzędnych Ox1, Ox2. Zaczynamy od wykreślenia prostych 3x 1 + 2x 2 = 12, { 4x 1 + 5x 2 = 23, czyli prostych: x 2 = 3 2 x 1 + 6, x 2 = 4 5 x

24 Zastosowania praktyczne x2 6 x 2 = 3 2 x 1 + 6, 4 Obszar dopuszczalny x 2 = 4 5 x x1

25 Zastosowanie praktyczne Dzienna produkcja x1 Wielkość dziennej produkcji wyrobu I Wyroby x2 Wielkość dziennej produkcji wyrobu II Zasoby surowców Surowce A B Zyski jednostkowe Celem nadrzędnym jest maksymalizacja zysku przedsiębiorstwa. Przy powyższych założeniach należy znaleźć punkt z obszaru dopuszczalnego dla którego zysk, który wyraża się następującym wzorem będzie największy, maksymalny. f(x 1, x 2 ) = 11x x 2,

26 Zastosowanie praktyczne f(x 1, x 2 ) = 11x x 2, Oznaczając przez M zysk maksymalny należy znaleźć największe M, czyli prostą 11x x 2 = M, która przetnie się z obszarem dopuszczalnym w jednym punkcie. Prosta ta ma postać x 2 = x 1 + M 12, czyli jest nachylona pod jednakowym kątem do osi Ox1 dla wszystkich M. Na rysunku łatwo znaleźć taką prostą.

27 Zastosowania praktyczne 6 4 x2 Obszar dopuszczalny M musi być takie, by prosta x 2 = x 1 + M 12, przechodziła przez punkt będący rozwiązaniem układu równań liniowych { 3x 1 + 2x 2 = 12, 4x 1 + 5x 2 = x1

28 Zastosowanie praktyczne Rozwiązaniem układu jest punkt 3x 1 + 2x 2 = 12, { 4x 1 + 5x 2 = 23 (x 1, x 2 ) = (2,3). Zatem M musi spełniać równanie = M. Inaczej mówiąc, maksymalny zysk M = 58 firma uzyska produkując, przy podanych ograniczeniach zasobów, 2 jednostki wyrobu I oraz 3 jednostki wyrobu II.