Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra"

Transkrypt

1 Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra

2 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele razy różniczkowalna i niech x R n. Definicja: Mówimy, że zagadnienie obliczenia ϕ(x) jest numerycznie dobrze uwarunkowane, jeżeli niewielkie względne zmiany danych daja niewielkie względne zmiany rozwiazania. Zagadnienia, które nie sa numerycznie dobrze uwarunkowane, nazywamy źle uwarunkowanymi. Copyright c 2012 P. F. Góra 2 2

3 Przykład Rozważmy problem znalezienia rozwiazań równania x 2 + bx + c = 0, (1) przy czym zakładamy, że b 2 4c > 0. Wiadomo, że rozwiazania maja w tym wypadku postać x 1,2 = 1 2 ( b ± ) b 2 4c. (2) Jak dobrze uwarunkowane jest zagadnienie obliczania (2)? Danymi sa tu współczynniki trójmianu, b, c. Zaburzmy te współczynniki: b b + ε 2, c c + ε 3. Copyright c 2012 P. F. Góra 2 3

4 Rozwiazaniami sa teraz x 1,2 = ( b + ε 2 ± b ± (b + ε 2 ) 2 4(c + ε 3 ) b 2 4c + ε 2 ± 2bε 2 4ε 3 2 b 2, (3) 4c gdzie dokonaliśmy rozwinięcia Taylora do pierwszego rzędu w ε 1,2. Widzimy, że bład względny x 1,2 x 1,2 x 1,2 rośnie nieograniczenie, gdy b 2 4c 0 +. Problem wyznaczania pierwiastków trójmianu (1) jest wówczas numerycznie źle uwarunkowany. Problem ten jest dobrze uwarunkowany, gdy b 2 4c 0. ) (4) Copyright c 2012 P. F. Góra 2 4

5 Współczynnik uwarunkowania Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja, x R n dokładna wartościa argumentu, a x R n znanym numerycznym przybliżeniem x. Definicja: Jeżeli istnieje κ R taka, że x, x: ϕ(x) ϕ( x) R m ϕ(x) R m κ x x R n x R n (5) nazywamy ja współczynnikiem uwarunkowania zagadnienia wyliczenia wartości ϕ( ) (względem zadanych norm). Copyright c 2012 P. F. Góra 2 5

6 Współczynnik uwarunkowania mówi jak bardzo bład względny wyniku obliczeń przekracza bład względny samej rónicy przybliżenia i wartości dokładnej. Spodziewamy się, że jeżeli przybliżenie znacznie różni się od wartości dokładnej, także wyniki obliczeń będa się znacznie różnić. W zagadnieniach numerycznie źle uwarunkowanych może się zdarzyć, że nawet niewielkie odchylenie przybliżenia od wartości dokładnej doprowadzi do znacznej różnicy wyników. Copyright c 2012 P. F. Góra 2 6

7 Układy równań liniowych Niech A R n n będzie macierza, x, b R n. Rozpatrujemy równanie Ax = b, (6) Zakładamy, że macierz A oraz wektor wyrazów wolnych b sa znane. Poszukujemy wektora x. Równanie (6) jest równoważne następujacemu układowi równań liniowych: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n = b 3. a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x a nn = b n gdzie a ij sa elementami macierzy A, natomiast x j, b j sa elementami wektorów, odpowiednio, x, b. Copyright c 2012 P. F. Góra 2 7 (7)

8 Rozwiazywanie układów równan liniowych rzadko stanowi samoistny problem numeryczny. Zagadnienie to występuje jednak bardzo często jako pośredni etap wielu problemów obliczeniowych. Dlatego też dogłębna znajomość algorytmów numerycznego rozwiazywania układów równań liniowych jest niezwykle ważna. Copyright c 2012 P. F. Góra 2 8

9 Rozwiazywalność układów równań liniowych Układ równań (6) ma jednoznaczne rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy det A 0. (8) Z elementarnej algebry wiadomo, że rozwiazania można wówczas skonstruować posługujac się wzorami Cramera. Uwaga: Numeryczne korzystanie ze wzorów Cramera jest koszmarnie drogie i dlatego w praktyce korzystamy z innych algorytmów. Jak dobrze uwarunkowane jest zagadnienie rozwiazania równania (6)? Copyright c 2012 P. F. Góra 2 9

10 Przykład Rozważmy następujace układy równań: 2x + 6y = 8 2x y = x + 6y = 8 2x y = Współczynniki tych układów równan różnia się co najwyżej o = Rozwiazaniem pierwszego sa liczby (1, 1), drugiego liczby (10, 2). Widzimy, że mała zmiana współczynników powoduje, że różnica rozwiazań jest 10 6 razy większa, niż zaburzenie współczynników. Powyższe układy równań sa źle uwarunkowane. Copyright c 2012 P. F. Góra 2 10

11 Normy wektorów Niech x R n oraz x oznacza normę w przestrzeni R n. Najczęściej używa się jednej z trzech norm: Norma taksówkowa: Norma Euklidesowa: x 1 = x 1 + x x n x 2 = x T x = Norma maximum (worst offender): x = x x x2 n max x i i=1,...,n (9a) (9b) (9c) Jeżeli nie zazanaczymy inaczej, przez normę wektorowa będziemy rozumieć normę Euklidesowa. Copyright c 2012 P. F. Góra 2 11

12 Norma macierzy Niech A R N N. Norma macierzy (indukowana) nazywam A = max { } Ax x : x RN, x 0 = max { Ax } (10) x =1 Promieniem spektralnym macierzy A R N N nazywam ρ = AA T (11) Copyright c 2012 P. F. Góra 2 12

13 Współczynnik uwarunkowania układu równań liniowych Rozwiazujemy układ rownań (det A 0) Ay = b (12a) Przypuśćmy, że wyraz wolny b jest obarczony jakimś błędem b, czyli rozwiazujemy Aỹ = b + b (12b) Zauważmy, że ỹ y = A 1 (b + b) A 1 y = A 1 b. Copyright c 2012 P. F. Góra 2 13

14 Jak bład wyrazu wolnego wpływa na rozwiazanie? Obliczamy ỹ y A 1 b A 1 b = y y y Z drugiej strony (13a) b = Ay A y skad wynika, że 1 y A b (13b) Ostatecznie ỹ y y A A 1 b }{{} b κ (13c) Copyright c 2012 P. F. Góra 2 14

15 Współczynnik uwarunkowania macierzy symetrycznej, rzeczywistej Niech A R N będzie odwracalna macierza symetryczna, rzeczywista. W takim wypadku jej wartości własne sa rzeczywiste a jej unormowane wektory własne {e i } n i=1 stanowia bazę w Rn. Oznaczmy wartości własne tej macierzy przez {λ i } n i=1. Weźmy dowolny x Rn taki, że x = 1. Wówczas Ax = n A i=1 n i=1 x = α i e i n i=1 α i e i, = n i=1 α i Ae i α 2 i max(λ2 i ) = max i n i=1 α 2 i = 1. (14) = n i=1 n λ i i=1 α i λ i e i = n α 2 i λ2 i i=1 α 2 i = max i λ i (15) Copyright c 2012 P. F. Góra 2 15

16 Uwzględniajac (10), widzimy, że A = max i λ i : norma odwracalnej macierzy symetrycznej, rzeczywistej jest równa największemu modułowi spośród jej wartości własnych. Rozważmy teraz macierz A 1. Ma ona te same wektory własne, co A, natomiast jej wartości własne sa odwrotnościami wartości własnej macierzy nieodwróconej, A 1 e i = λ 1 e i i. Postępujac jak powyżej, łatwo możemy pokazać, że A 1 = max i 1 λ i = 1 min λ i. (16) i Copyright c 2012 P. F. Góra 2 16

17 Uwzględniajac (13c), (15) i (16), widzimy, że zachodzi następujace Twierdzenie: Współczynnik uwarunkowania odwracalnej macierzy symetrycznej, rzeczywistej jest równy ilorazowi największego i najmniejszego modułu spośród jej wartości własnych. κ = max λ i i min λ i. (17) i Copyright c 2012 P. F. Góra 2 17

18 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam układ równań (przykład 3 3 dla oszczędności miejsca): a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (18) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 1. Równania można zapisać w innej kolejności: a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 (19) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Odpowiada to permutacji wierszy macierzy układu równań, z jednoczesna permutacja kolumny wyrazów wolnych. Copyright c 2012 P. F. Góra 2 18

19 2. Równania można dodać stronami, po pomnożeniu przez dowolna stała różna od zera: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (z a 11 + a 31 )x 1 + (z a 12 + a 32 )x 2 + (z a 13 + a 33 )x 3 = z b 1 + b 3 (20) Odpowiada to zastapieniu jednego wiersza macierzy układu równań przez dowolna kombinację liniowa tego wiersza z innymi, z jednoczesna analigiczna operacja na kolumnie wyrazów wolnych. Copyright c 2012 P. F. Góra 2 19

20 3. We wszystkich równaniach można przestawić kolejność, w jakiej pojawiaja się zmienne: a 11 x 1 + a 13 x 3 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 23 x 3 + a 22 x 2 = b 2 (21) a 31 x 1 + a 33 x 3 + a 32 x 2 = b 3 Odpowiada to permutacji kolumn macierzy układu równań, z jednoczesna permutacja kolumny niewiadomych. Copyright c 2012 P. F. Góra 2 20

21 Eliminacja Gaussa Tej części na razie? nie ma. Była na wykładzie. Copyright c 2012 P. F. Góra 2 21

22 Dygresja: Złożoność obliczeniowa Niech N oznacza liczbę danych wejściowych pewnego algorytmu. Niech M(N) oznacza liczbę operacji, jaka algorytm ten wykonuje dla N danych. Mówimy, że algorytm ma złożoność obliczeniowa O (P(N)) jeżeli N 0 N, A 1, A 2 > 0 N > N 0 : A 1 P(N) M(N) A 2 P(N) (22) Copyright c 2012 P. F. Góra 2 22

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 5. Numeryczne zagadnienie własne. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 5. Numeryczne zagadnienie własne. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 5. Numeryczne zagadnienie własne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Zagadnienie własne Definicja: Niech A C N N. Liczbę λ C nazywam wartościa własna macierzy

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja macierzy. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja macierzy. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja macierzy P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Uwagi o eliminacji Gaussa Przypuśćmy, że mamy rozwiazać kilka układów równań z ta sama lewa strona,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Macierze. Układy równań.

Macierze. Układy równań. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.

W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. Nie wolno dzielić przez zero i należy sprawdzić, czy dzielna nie jest równa zeru. W dziedzinie liczb

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1 www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Problem Cauchy ego dy dx = f(x, y) (1) y(x

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu

Bardziej szczegółowo

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Funkcje i tabele. Paweł Bednarz 29 marca Funkcje Funckja liniowa Własności funkcji liniowej Funkcja kwadratowa...

Funkcje i tabele. Paweł Bednarz 29 marca Funkcje Funckja liniowa Własności funkcji liniowej Funkcja kwadratowa... Funkcje i tabele Paweł Bednarz 29 marca 2015 Spis treści 1 Funkcje 2 1.1 Funckja liniowa............................ 2 1.1.1 Własności funkcji liniowej.................. 2 1.2 Funkcja kwadratowa.........................

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 11/11/ :45 p.

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 11/11/ :45 p. Metody numeryczne Układy równań liniowych, część I Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p./83 Układy równań liniowych, część I. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH. PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ

NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH. PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ PODZIAŁ DOKŁADNE ELIMINACYJNE DEKOMPOZYCYJNE ELIMINACJI GAUSSA JORDANA GAUSSA-DOOLITTLE a GAUSSA-CROUTA CHOLESKY EGO

Bardziej szczegółowo

9 Układy równań liniowych

9 Układy równań liniowych 122 II PRZESTRZENIE WEKTOROWE 9 Układy równań liniowych 1 Istnienie rozwiązań układu równań liniowych W tym paragrafie przerwiemy chwilowo ogólną analizę struktur pojawiających się w przestrzeniach wektorowych,

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne II. Układy równań liniowych

Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Układ równań liniowych Układem równań

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo