Zastosowanie matematyki w ekonomii

Transkrypt

1 Jrosł Kokoszk Zstosoni mtmtki konomii Copright b Colorul Mdi Kopioni, ksroni, umiszczni ormi lktronicznj Intrnci bz konsultcji z łścicilm pr zbronion!

2 Spis trści kliknij n intrsując Cię tmt. Podsto idomości..... Rónni i niróności ilomino /... Rónni kdrto /... Niróności kdrto / 9... Rónni ilomino /... Niróności ilomino /... Piristkoni rónń i niróności / 9.. Rónni i niróności mirn /... Rónni mirn /... Niróności mirn / 8.. Wrtość bzzględn dinicj, rónni i niróności /.. Potęgoni /.. Rónni i niróności kłdnicz /.. Rónni i niróności logrtmiczn /.. Trgonomtri / 8. Przgląd żnijszch unkcji Funkcj i ln / 9.. Funkcj trgonomtrczn i cklomtrczn /. Funkcj jdnj zminnj..... Okrślni dzidzin /.. Pochodn unkcji / 8.. Grnic unkcji i rguł d l Hospitl /.. Asmptot unkcji /.. Monotoniczność i kstrmum unkcji /.. Wklęsłość, pukłość i punkt przgięci unkcji / 88. Rchunk cłko Cłk nioznczon / 9... Cłki obliczn przz sprodzni do zoró podstoch / 9... Cłkoni przz podstini / 9... Cłkoni przz części / 8.. Cłk oznczon /... Cłk oznczon łści /... Cłki niłści /. Rchunk prdopodobińst..... Zminn loso skoko /.. Zminn loso ciągł / 8

3 . Algbr mcirz..... Widomości podsto /.. Wzncznik mcirz /.. Rząd mcirz /.. Mcirz odrotn /. Form kdrto Funkcj ilu zminnch Pochodn cząstko unkcji ilu zminnch / 8.. Ekstrmum unkcji ilu zminnch / 9. Elmnt mtmtki innsoj 9.. Procnt prost i skłdn / 9.. Roczn ktn stop procnto / Strumini piniędz / Kpitlizcj ciągł / 89 Odpoidzi do zdń...9

4 Drodz Studnci i Wkłdoc! Z przjmnością obiszczm konic z skomplikonm obliczm przdmiotu, jkim jst zstosoni mtmtki konomii, boim ort rnko zostł uzupłnion jątkom skrptm o chrktrz tpoo ćiczniom. W skrpci skupiono się n smm procsi roziązni zdń, ogrniczjąc kłd tortczn do nizbędngo minimum. Zmiszczon n początku mtrił potórznio pooduj, ż cztlnik z łtością przjdzi do dlszch rozdziłó, płni rozumijąc omin zgdnini. Autor jst bitnm bsolntm Akdmii Ekonomicznj Poznniu, uhonoronm różninim Ministr Gospodrki. Posid kilkultni dośidczni prc dukcjnj z studntmi uczlni konomicznch i tchnicznch. Dzięki tmu zn ntuln ptni i ątpliości i od rzu j rozjśni. Jst to idln pozcj dl studntó, którz obiją się kłopotó z opnonim trudngo mtriłu z mtmtki i jdnoczśni prgną smodzilni roziązć pojijąc się problm. Róniż korzstni tgo skrptu n ćicznich będzi z pnością strzłm dzisiątkę. Wdc

5 . Podsto idomości Rozpocznjąc kurs mtmtki n Ŝszj uczlni, nlŝ mić dobrz ugruntoną idzę z zkrsu szkoł śrdnij. W tm rozdzil przpomnim podsto idomości, którch niznjomość zsz będzi prodzić do kłopotó z zlicznim mtmtki... Rónni i niróności ilomino Znim przstąpim do roziązni rónń i niróności, koniczn jst przpomnini zoró skrócongo mnoŝni i unkcji kdrtoj. Wzor skrócongo mnoŝni: b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Funkcj kdrto: b c Wkrsm unkcji kdrtoj jst prbol, którj połoŝni zlŝ od znku spółcznnik. MoŜli są d przpdki: > < prbol zrócon rmionmi do gór prbol zrócon rmionmi dół

6 Ni rozptrujm przpdku, poniŝ ni mm td do cznini z unkcją kdrtoą. Koljną istotną kstią są mijsc zro prboli. Ich istnini zlŝ od znku róŝnik prboli. I tk: > mijsc zro mijsc zro < brk mijsc zroch N kŝdm rsunku znjdują się odpoidnio di prbol zlŝności od znku spółcznnik kirunkogo. Przpomnim trz podsto zor dotcząc unkcji kdrtoj. WróŜnik trójminu kdrtogo: b Piristki: c gd >, istniją d piristki: b ; b gd, istnij jdn piristk podójn: b Funkcję kdrtoą b c moŝn zpisć tŝ innch postcich: Postć iloczno: b c, gdzi, są piristkmi trójminu kdrtogo. Postć t gląd inczj, gd istnij tlko piristk podójn: Postć knoniczn: b c b c p q, gdzi p; q to spółrzędn irzchołk prboli.

7 Wnoszą on: p b ; q Stąd po podstiniu otrzmujm: b c b Po tm krótkim przpomniniu moŝm przstąpić do roziązni rónń i niróności.... Rónni kdrto Roziązni rónni kdrtogo sprodz się do liczni piristkó tgo rónni. MoŜn to zrobić korzstjąc z gotoch zoró podnch poŝj lub sprodzjąc rónni do postci ilocznoj. Przkłd. RoziąŜ rónni: Roziązni:, b, c ;, stąd piristki: b b Odp.: {; } Przkłd. RoziąŜ rónni: Roziązni:, b, c ;, czli rónni m jdn piristk, któr obliczm zgodni z zorm: b Odp.:

8 Przkłd. RoziąŜ rónni: Roziązni: Odp.: Ø, b, c ; <, czli rónni ni posid roziązń. Piristki niktórch rónń kdrtoch łto znlźć, stosując zor skrócongo mnoŝni, któr przksztłcją rónni do postci ilocznoj. Przkłd. RoziąŜ rónni: 9 Roziązni: Korzstjąc z zoru skrócongo mnoŝni b b b, otrzmujm: czli:,, ztm istniją d roziązni. Odp.: {; } Przkłd. RoziąŜ rónni: Roziązni: Odp.: { ; } Brdzo dobrm zczjm jst ciągni przd nis rŝni szstkich lmntó, któr moŝn ciągnąć. W tn sposób moŝn szbko roziązć rónni, sprodzjąc j do postci ilocznoj. NlŜ tŝ pmiętć o zsdzi: ni dzilim przz zro! Zgodni z nią ni olno ięc dzilić ni rónń, ni niróności przz lub inn rŝni, jśli mogą on bć rón zro. Przkłd. RoziąŜ rónni: 8

9 Roziązni: Ni olno przniść 8 n drugą stronę i podzilić przz. NlŜ ciągnąć przd nis to, co się d: Odp.: {; } Roziązując rónni bądź niróności njłtij przniść szstko n jdną stronę tn sposób, b po drugij zostło zro. Znim ięc przstąpim do roziązni niróności, jszcz jdn cik przkłd. Przkłd. RoziąŜ rónni: Roziązni: Po prznisiniu szstkigo n lą stronę otrzmujm: Po podzilniu obu stron przz otrzmujm: Ni moŝn tu zstosoć zoru skrócongo mnoŝni. Wliczm :, b, c ;, Rónni ni posid roziązni. Odp.: Ø... niróności kdrto Do roziązni niróności kdrtoch potrzbn jst umijętność schmtczngo rsoni krsu unkcji kdrtoj. NlŜ idzić, kid prbol zrócon jst rmionmi do gór, kid dół, kid m jdno lub d mijsc zro, kid ogól ni przcin się z osią OX. Zgdnini t zostł jśnion n początku rozdziłu. Roziązując niróność kdrtoą i kŝdą ilominoą njpir znjdujm piristki rónni, nstępni n podsti szkicu krsu odcztujm przdził, którch niróność jst spłnion. Przkłd 8. RoziąŜ niróność: < Roziązni: Zcznm od znlzini mijsc zroch prboli:, b, c, ięc 9

10 9 ; 9 Zpisując niróność postci ilocznoj, otrzmujm: <, czli < Wim, Ŝ istniją d mijsc zro i prbol jst zrócon rmionmi do gór, bo >. Wkrs gląd nstępująco: Trz moŝm odcztć roziązni. PoniŜ l stron niróności m bć mnijsz od zr, niróność jst spłnion dl tkich, prz którch lini krsu lŝ pod osią OX. Odp.: ; Przdził jst otrt, poniŝ niróność jst ostr. Przkłd 9. RoziąŜ niróność: Roziązni: Njpir znjdujm mijsc zro:, b, c ; ; Postć iloczno gląd nstępująco: N krsi rmion prboli będą zrócon dół:

11 Odcztujm roziązni: poniŝ l stron niróności m bć mnijsz lub rón zro, niróność jst spłnion dl tkich, prz którch lini krsu lŝ pod osią OX lub ją przcin. Ztm przdził będą domknięt dl i. Odp.: ; ; Przkłd. RoziąŜ niróność: Roziązni: <, czli istnij jdno mijsc zro: W postci ilocznoj < prbol zrócon jst rmionmi dół: Prbol lŝ pod osią OX cłm zbiorz R, z jątkim punktu, którm stk się z osią. Odp.: ; ; lub inczj R \ {} Gdb tm przkłdzi niróność bł niostr, to zncz, roziąznim błb zbiór R. Przkłd. RoziąŜ niróność: Roziązni: Jdnm piristkim jst i rmion prboli zrócon są do gór:

12 Do zbioru roziązń nlŝą tki, prz którch prbol lŝ pod osią OX lub ją przcin. Pirsz runk ni moŝ bć spłnion, l dl prbol stk się z osią i jst to jdn punkt, dl którgo niróność jst spłnion. Odp.: {} Gdb niróność bł ostr, czli <, to zbiorm roziązń błb zbiór pust, gdŝ ni m tkigo, dl którgo prbol lŝ pod osią. Przkłd. RoziąŜ niróność: Roziązni:, b, c ; < Prbol ni posid mijsc zroch i jst zrócon rmionmi dół: Niróność jst spłnion dl tkich, prz którch prbol lŝ nd osią lub przcin oś OX. Z krsu nik, Ŝ tki ni istniją. Odp.: Ø ZuŜm, Ŝ gdb niróność bł ostr, czli postci >, to odpoidź błb tk sm. Przkłd. RoziąŜ niróność: Roziązni: >, b, c ; < Prbol ni posid mijsc zroch i jst zrócon rmionmi do gór: Widzim z krsu, Ŝ dl kŝdgo prbol lŝ nd osią OX, czli: Odp.: R Odpoidź błb tk sm, gdb niróność bł niostr, czli postci.

13 Podobni jk przpdku rónń, róniŝ dl niróności moŝn szbko uzskć roziązni, stosując niktórch przkłdch zor skrócongo mnoŝni lub ciągjąc przd nis. Tki dziłni ilustrują poniŝsz przkłd. Przkłd. RoziąŜ niróność: Roziązni: Mijsc zro znjdujm, przrónując lmnt ilocznu do zr: Szkicujm prbolę zróconą rmionmi do gór: i odcztujm odpoidź. Odp.: ; ; Przkłd. RoziąŜ niróność: > Roziązni: > Odp.: ; Koljn przkłd zilustruj zsdę, Ŝ njlpij prznosić szstko n jdną stronę. Przkłd. RoziąŜ niróność: Roziązni: Po prznisiniu szstkigo n lą stronę otrzmujm:

14 Wliczm i piristki: ; Postć iloczno: Wkrs: Odp.: ; Trz przjdzim do roziązni rónń i niróności z ilominmi Ŝszgo stopni niŝ unkcj kdrto. W nszm kłdzi zjmim się tlko tkimi ilominmi, któr będą postci ilocznoj, lmnt ilocznu będą unkcjmi liniomi lub kdrtomi lbo ddzą się przksztłcić do tkij postci z pomocą zoró skrócongo mnoŝni.... Rónni ilomino Roziązni rónń ilominoch sprodz się do liczni piristkó poprzz przrónni lmntó ilocznu do zr. Oto przkłd: Przkłd. RoziąŜ rónni: Roziązni: Odp.: {; ; } MoŜn skorzstć z zoró skrócongo mnoŝni, jk koljnm przkłdzi. Przkłd 8. RoziąŜ rónni:

15 Roziązni: 9 Dl unkcji kdrtoj 9 <, czli brk piristkó. Jst to prbol zrócon rmionmi do gór ni przcinjąc osi OX, co ozncz, Ŝ przjmuj tlko rtości dodtni. Jśli tk, to moŝn obi stron podzilić przz 9, bo to rŝni jst zsz róŝn od zr. 9 : 9 Odp.: {} Przkłd 9. RoziąŜ rónni: Roziązni: Njpir przksztłcim obi unkcj kdrto do postci ilocznoj. Pirszą z pomocą zoru skrócongo mnoŝni:, drugą, liczjąc piristki nstępując sposób: ; Postć iloczno: Trz rónni z zdni moŝm przdstić nstępującj postci:, czli dlj roziązujm: Odp.: {,, ; }

16 ... niróności ilomino Podobni jk przpdku niróności kdrtoch, nirónościch ilominoch pirszm krokim będzi znlzini mijsc zroch. Potm sporządzm krs, l będzi on zzczj nico inn. Przkłd. RoziąŜ niróność: Roziązni: Njpir przksztłcm ją nstępując sposób: Szukjąc mijsc zroch, mm odpoidnio: Trz sporządzm krs. Ug!!! Sporządzjąc krs ilominu, zsz zcznm odpoidnio: od prj stron z gór, jśli spółcznnik prz njŝszj potędz jst iększ od zr, od prj stron z dołu, jśli spółcznnik prz njŝszj potędz jst mnijsz od zr. W nszm ilomini spółcznnik prz njŝszj potędz nosi, poniŝ jśli mnoŝm ilomin postci ilocznoj, będzi on glądć nstępująco: MoŜn to tŝ zuŝć, mnoŝąc spółcznniki prz njŝszch potęgch nisch. Wkrs zcznm ięc szkicoć od prj stron z dołu jk skzuj strzłk. Trz moŝn odcztć roziązni. Odp.: ; ; Przkłd. RoziąŜ niróność:

17 Roziązni: Dl prboli mm:, b, c ; ; Niróność m ztm postć: Mijsc zro:,, Wkrs ilominu sporządzm od prj stron z gór, poniŝ prz są dodtni spółcznniki: Trz moŝn odcztć roziązni. Odp.: ; ; Przkłd. RoziąŜ niróność: 8 < Roziązni: Po zstosoniu zoró skrócongo mnoŝni otrzmujm: < Dl prboli <, ztm ni m tu mijsc zroch. Prbol jst zrócon rmionmi do gór i ni m mijsc zroch, czli rŝni jst zsz iększ od zr. MoŜn ięc podzilić niróność przz to rŝni i znk się ni zmini: < < Cł ilomin m sumi cztr mijsc zro:,,,. Sporządzm krs, zcznjąc od dołu, poniŝ gdb mnoŝć ilomin, to prz njŝszj potędz będzi zcznłb się.

18 Trz moŝn odcztć roziązni. Odp.: ; ; ; Czsmi stępują tk zn piristki ilokrotn, n przkłd podójn lub potrójn, co pooduj, Ŝ krs ilominu gląd nico inczj. Znim przjdzim do przkłdó, sormułujm zsd sporządzni krsó tkim przpdku. ogóln zsd sporządzni krsó ilominó posidjącch piristki ilokrotn: gd piristk jst potrójn, pięciokrotn, sidmiokrotn itd., krs przcin oś OX jk prz piristku pojdnczm, gd piristk jst podójn, cztrokrotn, szściokrotn itd., krs odbij się mijscu zrom. Przkłd. RoziąŜ niróność: Roziązni: Obliczm zncznik prboli: Istnij tlko jdno mijsc zro:, czli niróność m postć Mm d piristki: i, l jst podójn. Sporządzni krsu zcznm od prj stron z gór, z zględu n dodtni spółcznniki prz njŝszj potędz. ZuŜm, Ŝ do roziązni musim dołączć liczbę, poniŝ lini krsu stk się dl tgo mijsc zrogo z osią OX, czli niróność niostr jst spłnion z znkim. Odp.: ; { }

19 Przkłd. RoziąŜ niróność: < Roziązni: Mm trz mijsc zro: pięciokrotn, podójn orz cztrokrotn. Wkrs sporządzm od prj stron z gór, bo jśli mnoŝm, otrzmm, czli i tu jst dodtni spółcznnik prz. Odp.: ; ; ;... Piristkoni rónń i niróności N konic zjmim się piristkonim rónń i niróności. Jst to inn sposób n roziązni niktórch z nich bz stosoni zoró skrócongo mnoŝni. Piristkoni rónń i niróności: Rónni moŝn zsz piristkoć obustronni, l gd piristkujm piristkmi przstgo stopni, jk,,, to postją d przpdki. Niróności moŝn piristkoć obustronni tlko piristkmi niprzstgo stopni, jk,,. Fkt, Ŝ piristkując piristkmi przstgo stopni, otrzmujm d przpdki, nik z poniŝszj łsności: Jśli n jst liczbą nturlną przstą, to n n, np.: lub, lub itd. Prdzi jst tŝ, Ŝ jśli n jst liczbą nturlną niprzstą, to n n, np.:, itd. Więcj n tmt rtości bzzględnj punkci trzcim tgo rozdziłu, trz przkłd rónń i niróności. Przkłd. RoziąŜ rónni:

20 Roziązni: MoŜm zstosoć zór skrócongo mnoŝni. Mm td: i d piristki: i. Odp.: { ; } A oto inn sposób:, czli tŝ d piristki i. Ocziści moŝn roziązć zdni, od rzu zpisując nik bz tk szczgółogo przksztłcni. Odp.: { ; } Przkłd. RoziąŜ rónni: 8 Roziązni: Sposób I: Z prboli ni m piristkó, ięc Odp.: { ; } Sposób II: 8 Odp.: { ; } Prz piristkch niprzstgo stopni zsz jst jdno roziązni, jk poniŝszch przkłdch. Przkłd. RoziąŜ rónni:

21 Roziązni: Sposób I: N podsti zoru skrócongo mnoŝni mm: 9 Dl prboli 9 < i ni m piristkó. Odp.: { } Sposób II: Odp.: { } W tm przkłdzi ni m dóch roziązń, bo piristkujm piristkim trzcigo niprzstgo stopni. Przkłd 8. RoziąŜ rónni: Roziązni: Sposób I: N podsti zoru skrócongo mnoŝni mm: Dl prboli < i ni m piristkó. Odp.: { } Sposób II: Odp.: { } Trz przjrzjm się nirónościom. Przkłd 9. RoziąŜ niróność: 8 <

22 Roziązni: Sposób I: N podsti zoru skrócongo mnoŝni mm: < dl prboli < i ni m piristkó, czli dl cłj niróności istnij jdno mijsc zro. Stąd krs: Odp.: ; Sposób II: < 8 < Odp.: ; Przkłd. RoziąŜ niróność: Roziązni: Tn przkłd roziąŝm tlko piristkując, gdŝ ni przdstiliśm odpoidnigo zoru skrócongo mnoŝni: Odp.: ; Przkłd. RoziąŜ niróność: Roziązni: W tm przkłdzi ni olno piristkoć, gdŝ musilibśm uŝć piristk drugigo przstgo stopni. Zstosoni zoru skrócongo mnoŝni jst jdnm sposobm postęponi. Mm d mijsc zro i, prbol zrócon jst rmionmi do gór:

23 Odp.: ; ; Przkłd. RoziąŜ niróność: < Roziązni: Tu róniŝ trzb zstosoć, i to dukrotni, zór skrócongo mnoŝni: < < Dl prboli ni istniją piristki, mm ięc tlko d mijsc zro i, prbol jst zrócon rmionmi do gór: Odp.: ; Zdni do smodzilngo roziązni: Zdni. RoziąŜ rónni: b c d g h 8 Zdni. RoziąŜ niróności: > b c d

24 < > g h i j Zdni. RoziąŜ rónni: b c d Zdni. RoziąŜ niróności: b > c < d < > g h

25 .. Rónni i niróności mirn Gd umim juŝ roziązć rónni i niróności ilomino, łto nuczć się roziązć rónni bądź niróności, którch stępują unkcj mirn. Funkcj t mją ogólną postć:, Q gdzi W orz Q są ilominmi, Q musi bć ocziści róŝn od zr. KŜd rónni bądź niróność będzim roziązć, zcznjąc od okrślni dzidzin ptrz rozdził..... Rónni mirn Roziązni rónni przbig nstępującch tpch: okrślni dzidzin, przksztłcni do tkij postci, Ŝ po prj stroni jst zro, po lj unkcj mirn, czli W, Q przrónni licznik do zr, zgodni z zsdą, Ŝ ułmk rón jst zro td i tlko td, gd licznik tgo ułmk rón jst zro nik to z ktu, Ŝ zsz moŝn pomnoŝć obi stron rónni przz minonik ułmk, roziązni rónni ilominogo, uzględnini dzidzin i zpisni odpoidzi. Przkłd. RoziąŜ rónni: Dzidzin:, czli, ięc D: R \ { } Roziązni:

26 8 8 8 Roziązni miści się dzidzini rónni. Odp.: 8 Przkłd. RoziąŜ rónni: 9 Dzidzin: Roziązni: 9 ², czli R \ ; D: { } Gd roziązujm rónni, to iloczn dóch lub ięcj rŝń rón jst zro, jśli którkolik z nich rón jst zru. Ntomist gd roziązujm róŝność, to iloczn dóch lub ięcj rŝń jst róŝn od zr, jśli kŝd z nich jst róŝn od zr. Wnik to z pr d morgn. N przkłd: Dl róŝności:, czli ~[ ] ~[ ] ~[ ] ~ ~

27 9 Roziązni miści się dzidzini rónni. Odp.: { } Przkłd. RoziąŜ rónni: Dzidzin: Roziązni:, czli 8 ², ięc D: R \ { }, Roziązni miszczą się dzidzini rónni. Odp.: {; } Przkłd. RoziąŜ rónni:

28 Dzidzin: Roziązni:, czli, ięc D: R \ { } Liczb ni miści się dzidzini rónni. Odp.: {}... niróności mirn Roziązni niróności róŝni się nico od roziązni rónń i przbig nstępującch tpch: okrślni dzidzin, przksztłcni do tkij postci, którj po prj stroni jst zro, po lj unkcj mirn, czli W < lub inn znk niróności, jk >, lub, Q przksztłcni do postci ilocznoj, czli W Q <, roziązni niróności poŝszj postci, uzględnini dzidzin i zpisni odpoidzi. Przkłd. RoziąŜ niróność:

29 Dzidzin:, czli T róŝność jst zsz prdzi, ięc: D: R Roziązni: Z pirszj prboli mm: ²,, drug prbol ni m piristkó, co zuŝliśm, znczjąc dzidzinę. Sporządzm ztm krs ilominu: Z krsu otrzmujm: ; ; Dzidziną jst zbiór liczb rzczistch, ięc po uzględniniu dzidzin odpoidź ni zmini się. Odp.: ; ; Przkłd 8. RoziąŜ niróność: Dzidzin: 9, czli, ięc D: R \ { }

30 Roziązni: Mm ztm trz mijsc zro ilominu:, i. Sporządzm krs ilominu: Z krsu otrzmujm: ; ; Do dzidzin ni nlŝ jdnk liczb, co dj osttczni: Odp.: ; ; Przkłd 9. RoziąŜ niróność: < Dzidzin: R \ ; D: { } Roziązni: <

31 9 < 9 < < < Istniją cztr mijsc zro ilominu:,, i. Sporządzm krs ilominu: Z krsu otrzmujm: ; ; ; Do dzidzin ni nlŝą co prd liczb i, l to ni zmini roziązni, któr z zględu n otrt przdził cłości miści się dzidzini. Odp.: ; ; ; Zdni do smodzilngo roziązni: Zdni. RoziąŜ rónni: b 8 c d Zdni. RoziąŜ niróności: 9

32 8 b > c d >

33 .. rtość bzzględn dinicj, rónni i niróności Pojęci rtości bzzględnj dj się niskomplikon, gd móim o liczbch. I tk n przkłd: ; ; ; Npotkm problm, gd rozŝm rtość bzzględną dl pnch rŝń cz unkcji. Wtd pirszm krokim poinno bć zsz rozpisni rŝni pod rtością bzzględną n d przpdki. NlŜ to zrobić zgodni z dinicją rtości bzzględnj. gd gd < Koniczn jst umijętność cztni dinicji rtości bzzględnj. Zmist moŝm podstić dooln rŝni. Oto przkłd: Przkłd. Opuść rtość bzzględną: gd gd < czli gd gd < Przkłd. Opuść rtość bzzględną: 9 ² 9 ² gd 9 ² 9 ² gd 9 ² < czli 9 ² 9 ² gd ; ² 9 gd ; ; Niróności roziązliśm n podsti szkicu krsu prboli:

34 Drugim istotnm tm punkci zgdninim jst roziązni, choćb njprostszch, rónń i niróności z rtością bzzględną. Zcznijm od rónń. Algortm ich roziązni nik z dinicji rtości bzzględnj. Oto on: zminn, niujmn stł: Przkłd. RoziąŜ rónni: Roziązni: Odp.: { ; } Przkłd. RoziąŜ rónni: Roziązni: Odp.: { ;} Przkłd. RoziąŜ rónni: Roziązni: Njpir doprodzim j do tkij postci, b po lj stroni bł tlko rtość bzzględn: : Odp.: ;

35 Nizbt skomplikon jst tŝ lgortm roziązni niróności. NlŜ tutj jdnk uŝć, którą stronę zrócon jst znk niróności zminn, niujmn stł: > > < < < > Dl niróności niostrch lgortm jst nlogiczn: Przkłd. RoziąŜ niróność: Roziązni: Odp.: ; Przkłd. RoziąŜ niróność: > Roziązni: > < > < 8 Odp.: ; 8 ; Przkłd. RoziąŜ niróność: < Roziązni: < : < < > < > > < Odp.: ;

36 Przkłd 8. RoziąŜ niróność: Roziązni: Nszkicujm krs obu prbol: czli: ; ; ;, co dj nm osttczni: Odp.: ; ; ; Zdni do smodzilngo roziązni: Zdni. Opuść rtość bzzględną: b ² c Zdni 8. RoziąŜ rónni: b ² c Zdni 9. RoziąŜ niróności: < b ² c d >

37 .. Potęgoni W tm podrozdzil znjdują się idomości, któr bzzględni nlŝ ni tlko znć, l i bz Ŝdnch trudności umić zstosoć. Niznjomość przksztłcń n potęgch unimoŝlii studioni mtmtki n Ŝszm poziomi. PoniŜj szstki istotn zor rz z prostmi przkłdmi, któr j objśniją. czli n przkłd: dl dl R, lbo lbo Potęgoni prz tkich smch podstch: Jśli m, n R i R lbo m, n C i R \ { }, to m n m n m n m n m n, mn czli n przkłd: lbo lbo lbo Potęgoni prz tkich smch kłdnikch: Jśli m, n R i, b R lbo m, n C i, b R \ { }, to m b m b m b m m b m, czli n przkłd: lbo lbo

38 Potęgoni prz kłdnikch ujmnch i nicłkoitch: Jśli n C i, to n, n czli n przkłd: Jśli n N i R, to n n, czli n przkłd: Z dóch poŝszch łsności nik trzci: Jśli n N i, to n n, czli n przkłd: PoniŜj koljn łsność: Jśli m N, n N i, to m n n m MoŜn do tgo dojść nstępując sposób: m n m n czli n przkłd: m n n m,, lbo krótko:

39 , lbo krótko: ; Trz moŝm prodzić jszcz potęgi nicłkoit ujmn: Jśli N n N, m i, to n m n m Dochodzim do tgo nstępując sposób:, n m n m n m n m n m czli n przkłd: lbo krótko: N konic spójrzm jszcz n inn cik przksztłcni, któr koniczni nlŝ umić stosoć. 9 9

40 Zdni do smodzilngo roziązni: Zdni. Przksztłć rŝni do postci, którj będą stępoć piristki i ułmki jśli jst to moŝli: b 9 c d 9 g 9 h Zdni. Przksztłć rŝni do postci bz piristkó i ułmkó jśli jst to moŝli: b c d g h _ 8

41 .. Rónni i niróności kłdnicz Do roziązni rónń i niróności kłdniczch nizbędn są przksztłcni n potęgch. Ab roziązć rónni, strcz sprodzić obi stron do postci, którj stępują tki sm podst i porónć kłdniki. Dzidziną unkcji kłdniczj jj podstoj postci jst zbiór R. Przkłd 9. RoziąŜ rónni: 9 Roziązni: Odp.: { } W kŝdm przpdku moŝn brć doolną stronę rónni, którą będzim przksztłcć. PoniŜj dl przkłdu przntujm ob sposob. Przkłd. RoziąŜ rónni: Roziązni: 8 Sposób I: 8 Sposób II: Odp.: { } Przkłd. RoziąŜ rónni:

42 Roziązni: Odp.: Roziązni niróności jst brdzo podobn, jdnk czsmi trzb zminić znk por. przkłd. Znk zminim, gd podst potęgi miści się przdzil ;! Przkłd. RoziąŜ rónni: > Roziązni: > Odp.: ; > > Przkłd. RoziąŜ rónni: Roziązni: 9 Odp.: ; Przkłd. RoziąŜ rónni: >

43 Roziązni: Odp.: ; Zdni do smodzilngo roziązni: Zdni. RoziąŜ rónni: b c d 9 Zdni. RoziąŜ niróności: b < 9 c > d 9

44 .. Rónni i niróności logrtmiczn Znim zcznim roziązć rónni i niróności logrtmiczn, przjrzjm się dinicji logrtmu orz prom dziłń n logrtmch. Dinicj logrtmu: Logrtmm dodtnij liczb b prz podsti, gdzi R \ {}, jst kłdnik potęgi c, do którj nlŝ podniść, b otrzmć b. Czli: JŜli R \{} i b R, to log b c b c N przkłd: log 8, bo log, bo 8 log, bo NlŜ tŝ pmiętć, Ŝ zsz: log, log Czli n przkłd: log, log, log log, NlŜ tŝ idzić, Ŝ logrtm dzisiętn log m podsti liczbę, ntomist logrtm nturln ln liczbę. Więcj n tmt liczb i logrtmu nturlngo koljnm rozdzil. Pr dziłń n logrtmch: Jśli, b, c R \ orz, R, to log log log log b b log log log log log cb log b log c

45 Przkłd. Uprość: log log Roziązni: log log log log log log log log Przkłd. Uprość: log log log Roziązni: log log log log log log log log log log log log log Po tm krótkim stępi moŝm przjść do roziązni rónń i niróności logrtmicznch. W przpdku rónń i niróności tgo tpu musim zsz pmiętć o brdzo Ŝnj kstii, minoici o dzidzini. Logrtmoć moŝn tlko liczb dodtni! A ztm roziązni rónni bądź niróności zsz będzim poprzdzć ustlnim dzidzin. Późnij nlŝ po prostu skorzstć z dinicji logrtmu, prz nirónościch nlŝ czsmi zminić znk. Zcznijm od rónń: log b b Przkłd. RoziąŜ rónni: log Dzidzin: > < D: ; Roziązni: log 8 Liczb miści się dzidzini. Odp.: { }

46 Przkłd 8. RoziąŜ rónni: log Dzidzin: > > D: ; Roziązni: log Liczb miści się dzidzini. Odp.: { } Niróności roziązujm nstępując sposób: ; ; log > b log > b > b < b NlŜ pmiętć o zmini znku, gd podst jst liczbą mnijszą od jdn i iększą od zr. Gd niróności są niostr, postępujm nlogiczn sposób. Oto przkłd. Przkłd 9. RoziąŜ niróność: log Dzidzin: > D: ; Roziązni: Odp.: ; log Przkłd. RoziąŜ niróność: log 9 > Dzidzin: 9 > < 9 D: ; 9 i D

47 Roziązni: Odp.: ; 9 log 9 > 9 < 9 < 8 > i D Zdni do smodzilngo roziązni: Zdni. Oblicz: b log log c log d log Zdni. Uprość: log log9 log b log log c log log d log 8 log Zdni. RoziąŜ rónni: log b log c log d log Zdni. RoziąŜ niróności: log < b log c d log, log

48 .. trgonomtri PoniŜj przdstim tlko njŝnijsz zor z trgonomtrii, którch znjomość jst nizbędn. Roziązni rónń i niróności trgonomtrcznch jst ściśl ziązn z krsmi i rtościmi unkcji, któr z koli przdstim nstępnm rozdzil. sin cos tg sin, ctg cos cos sin tg ctg sin sincos cos cos sin cos cos cos sin Wzor t będzim korzstć dlszj części skrptu, międz innmi prz rchunku róŝniczkom i cłkom.

49 . Przgląd Ŝnijszch unkcji Widomości zrt tm rozdzil to idz nizbędn dl studntó uczlni konomicznch. Funkcj odrotn zględm sibi przdstim poniŝj prmi, z ugi n kt, Ŝ ich rtości i ksztłt krsó są z sobą ściśl poiązn. Zrt tu mtrił nlŝ trktoć jk tblic mtmtczn... Funkcj i ln Njczęścij korzstną unkcją kłdniczą jst, logrtmiczną ln. Obi t unkcj łącz liczb inczj liczb Npr. Jst to liczb nimirn rón grnic ciągu: lim n n n,88... Oto krs i rtości unkcji i ln: ln lim lim lim ln ln ln ln ln ln lim ln

50 Dl przpomnini róćm jszcz n chilę do rónń i niróności logrtmicznch. Skoro logrtm nturln m podsti liczbę, to roziązujm go nstępująco: ln, czli n przkłd: ln D: > Tk smo jst z nirónościmi. Tu ni zminim znku, poniŝ > ln > >, czli n przkłd: ln D: > Odp.: ;.. Funkcj trgonomtrczn i cklomtrczn Funkcj cklomtrczn są odrotn zględm trgonomtrcznch. PoniŜj przntujm rtości tch unkcji. Funkcj trgonomtrczn są okrso. M przdstim tlko t ich rtości, któr miszczą się dzidzini odpoidnich unkcji cklomtrcznch.

51 sin sin sin sin sin - rcsin sin rcsin rcsin rcsin rcsin rcsin sin sin sin sin rcsin rcsin rcsin rcsin

52 cos cos cos cos cos rccos - rccos rccos cos cos cos cos rccos rccos rccos cos rccos rccos rccos rccos

53 tg rctg tg tg tg tg tg tg tg lim tg lim tg rctg rctg rctg rctg rctg rctg rctg lim rctg lim rctg

54 ctg rcctg lim ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg lim ctg lim rcctg rcctg rcctg rcctg rcctg rcctg rcctg rcctg lim ctg

55 . Funkcj jdnj zminnj Bdni unkcji jdnj zminnj przbig kilku tpch, którm odpoidją przbli- Ŝniu punkt tgo rozdziłu. Przdstim nich nizbędn dinicj, iększość mijsc przznczjąc n zprzntoni roziąznch przkłdó... okrślni dzidzin Anliz kŝdj unkcji, roziązni rónni cz niróności musi bć poprzdzon zncznim dzidzin. Kid dzidzin jst ogrniczon: td td td > ln[ ] td > nlogiczni do innch logrtmó [ ] rcsin td ; rccos td ; [ ] [ ] tg td k, k C [ ] ctg td k, k C W pozostłch przpdkch D R. Funkcj tngns i cotngns są rzdzij spotkn, l nlŝ pmiętć, Ŝ mją ogrniczoną dzidzinę. Przjmujm złoŝni dl piristkó, gd mm do cznini z piristkmi przstgo stopni, czli n przkłd dl piristk trzcigo stopni D R. PoniŜj przdstim kilk przkłdó ilustrującch, jk zncz się dzidzinę. Przkłd. Wzncz dzidzinę unkcji: ln Dzidzin: Mm minonik i logrtm, czli zkłdm, Ŝ ln > >

56 > > D: ; ; Przkłd. Wzncz dzidzinę unkcji: rccos Dzidzin: Mm piristk i rccos, czli zkłdm, Ŝ ; R D : ; Przkłd. Wzncz dzidzinę unkcji: tg Dzidzin: Mm minonik i tngns, czli zkłdm, Ŝ k, k C JuŜ tką postć dzidzin moŝn uznć z strczjącą odpoidź. Przkłd. Wzncz dzidzinę unkcji: sin cos Dzidziną jst zbiór liczb rzczistch. Ni trzb przjmoć Ŝdnch złoŝń. Przkłd. Wzncz dzidzinę unkcji: Musim przjąć złoŝni dl piristk czrtgo stopni. Dl piristk trzcigo stopni ni przjmujm złoŝń. D: ;

57 Zdni do smodzilngo roziązni: Zdni 8. Wzncz dzidzinę unkcji: rcsin b ln c sin d ln

58 .. Pochodn unkcji Pochodn unkcji okrśln jst jko grnic ilorzu róŝnicogo prz przrości zbiŝnm do zr. M zjmim się tlko oblicznim pochodnj n podsti zoró, ni z dinicji, co będzi nizbędn bdniu unkcji. Wzor podsto pomijm zkrs zminności : c', c stł n ' n ' ln ' log' ln ln' sin' n cos cos' sin tg' cos ctg' sin rcsin' rccos' rctg' rcctg' Pirsz przdstion zór ozncz, Ŝ pochodn z kŝdj stłj liczb jst rón zro, czli: ; ; ; Drugi zór m brdzo szroki zstosoni. Spójrzm:

59 Przkłd. Oblicz pochodn: PoniŜj przntujm szczgóln przpdki. Przkłd. Oblicz pochodn: ięc ięc ięc Trz spójrzm, jk liczm pochodną z unkcji kłdniczj i logrtmicznj. Wtłuszczon rónni moŝm trktoć jk zor, gdŝ stępują on brdzo często zdnich. Przkłd 8. Oblicz pochodn: ln; ln; ln ; ln ; stąd zór log ; ln log ; ln log ln ; stąd zór ln ln ln Ni olno mlić zoró n pochodną unkcji kłdniczj i potęgoj, czli jśli mm unkcję ², to stosujm zór n pochodną n, jśli, to birzm pod ugę zór n pochodną.

60 Pozostł zor stosuj się gotoj postci. Zcznim ich uŝć, gd poznm tirdzni o pochodnch. Oto on, g unkcj, k stł: g' ' g' g' ' g' k ' k ' g' ' g g' ' g g' g g Pirsz trz ni są zbt skomplikon. Oto przkłd: Przkłd 9. Oblicz pochodną: sin ² sin ² cos Prz dodniu liczm po prostu oddzilni pochodną z kŝdj unkcji i dodjm. Tk smo jst prz odjmoniu: cos cos sin sin Trzci zór ozncz, Ŝ jśli liczb jst pomnoŝon przz unkcję, to tę liczbę przpisujm i zostj pochodn z unkcji. Przkłd. Oblicz pochodną: ³ ³ ² ² Spójrzm n tki oto przkłd: Przkłd. Oblicz pochodną: ln W tm przkłdzi liczb prz logrtmi orz prz piristku są pomnoŝon przz unkcj, ięc zostł przpisn, ntomist liczb stojąc smodzilni jst stłą dodną, ięc pochodn z stłj jst rón zro. Tk smo postępujm, jśli stłą odjmujm. Jśli stoi smodzilni, to pochodn nosi zro. Trz zobczm, jk postępujm, gd mm do cznini z mnoŝnim lub dzilnim dóch unkcji. Przkłd. Oblicz pochodną: tg tg tg tg cos W tm przkłdzi mm di unkcj pomnoŝon przz sibi. Jst to iloczn, ięc musim koniczni rozpisć go z zoru n pochodną ilocznu, potm liczć korzstując zor lmntrn.

61 Przkłd. Oblicz pochodną: ln rcsin ln rcsin lnrcsin rcsin rcsin ln rcsin W tm przpdku mm do cznini z dzilnim dóch unkcji, czli njpir rozpisujm j z zoru n pochodną ilorzu, potm liczm pochodną unkcji lmntrnch. PoniŜj kilk innch cikch przkłdó obliczni pochodnj z zstosonim poznnch zoró. Przkłd. Oblicz pochodną: ctg ctg ctg ctg ctg ctg lnctg sin ctg Przkłd tn jst brdzij skomplikon, poniŝ stępuj tu zróno iloczn, jk i ilorz. Cł unkcj to jdnk ilorz i njpir stosujm zór n pochodną ilorzu. Dopiro potm trzb zstosoć zór n pochodną ilocznu. Ni olno stosoć innj koljności. Przkłd. Oblicz pochodną: logrcctg sin Njpir dzilim cłość n di pochodn, poniŝ jst to róŝnic: logrcctgsin Drugi nis liczm z dzilni, l co z pirszm? Mm tu iloczn trzch unkcji, ięc di potrktujm jko jdną, Ŝb zstosoć zór n mnoŝni: logrcctgsin logrcctg sin logrcctgsin trz dl logrcctg zstosujm jszcz rz zór n mnoŝni

62 log rcctg logrcctg sin logrcctgsin rcctg log sin logrcctgcos ln rcctg log sin logrcctgcos ln Uprszczni ni jst koniczn, jśli ni zznczono tgo polcniu. Pochodn jst liczon, gd ni zostj ni jdn znk prim. NlŜ pmiętć o szstkich minusch i konicznch nisch. Pozostł do zprzntoni jszcz njŝnijsz i zrzm njtrudnijsz zór n pochodną unkcji złoŝonj. Jk do tj por rgumntm kŝdj unkcji bł. Funkcj złoŝon to tk, którj rgumntm jst unkcj inn niŝ. [ g ] g g Wźm di unkcj: ³ orz g. ZłoŜnim tch unkcji jst unkcj g ³. Funkcj jst tu unkcją znętrzną, unkcj g nętrzną. Zsz njpir liczm pochodną z unkcji znętrznj. Czli: ³ ², ięc ³ ² ² ² NlŜ zsz rozpoznć znętrzną unkcję przkłd poniŝj. Przkłd. Oblicz pochodną: cos lnsin sin cos ctg sin sin sin Jst to logrtm z sinus, ni sinus z logrtmu, ięc njpir stosujm zór n pochodną logrtmu, potm z sinus, któr jst rgumntm logrtmu, czli unkcją nętrzną. Przkłd. Oblicz pochodną: sin sin sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin cos cos cos cos sincos To brdzo dobr przkłd do porónń: sin to iloczn stłj i unkcji lmntrnj, czli przpisujm stłą i liczm pochodną z sin, sin to unkcj złoŝon, jst to sinus z, czli sinus jst unkcją znętrzną,

63 sin² nlogiczni, sinus jst unkcją znętrzną, ięc njpir stosujm zór n pochodną sinus, sin² to tk nprdę kdrt sinus, czli sin², ięc njpir korzstm z zoru n pochodną kdrtu, potm sinus. To unkcj kdrto jst znętrzną. Przkłd 8. Oblicz pochodną: rcsin tg tg rcsin rcsin tg tg tg rcsin rcsin tg tg tg rcsin tg rcsin tg tg tg ln tg ln tg cos W poŝszm przkłdzi mm do cznini z ilorzm, potm zstosono zór n róŝnicę i n konic unkcj złoŝon. Obok złoŝni dóch unkcji moŝ stąpić tŝ złoŝni iększj ich liczb. Wtd po koli liczm pochodn koljnch unkcji znętrznch. Przkłd 9. Oblicz pochodną: cosln sinln cosln ln cosln cosln Jst to sinus z logrtmu, ięc njpir liczm pochodną sinus, potm logrtmu, bo logrtm stępuj jko rgumnt sinus. Z koli rgumntm logrtmu jst piristk, ięc jszcz rz pochodn unkcji nętrznj. Oto inn przkłd. Przkłd 8. Oblicz pochodną:

64 ZuŜm, Ŝ pochodną unkcji nętrznj mnoŝm przz pochodną unkcji znętrznj, ni przz szstko, co jst juŝ konn dltgo drugij linijc poŝszgo przkłdu pochodn unkcji nętrznj jst pomnoŝon tlko przz ułmk z piristkim środku, ni przz cł nis. Przkłd 8. Oblicz pochodną: ln lnln ln ln lnln lnln lnln lnlnln Jst to trzkrotn złoŝni logrtmu nturlngo z sobą. Przkłd 8. Oblicz pochodną: tgctg rcsin ctgln tgctg rcsin ctgln tgctg rcsin tgctg rcsin tgctg rcsin ctgln

65 tgctg rcsin tgctg rcsintgctg tgctg rcsin ln sin tgctg rcsin tgctg rcsin tgctg rcsin ln ln sin tgctg rcsin tgctg sin ctg cos rcsin tgctg ln sin tgctg rcsin tgctg ctg ctg cos rcsin tgctg ln sin Jst to przkłd brdzo skomplikon, jdnk i tki nlŝ umić roziązć, b dobrz rozumić liczni pochodnch.

66 Zdni do smodzilngo roziązni: Zdni 9. Oblicz pochodną unkcji: b sin rccos ln c sin ctg d cos cos cos³ cos² cos³³ rcsin tg rccos

67 .. Grnic unkcji i rguł d l Hospitl Liczni grnic jst nizbędn dl znczni smptot unkcji. Czsmi potrzbn jst do tgo rguł d l Hospitl, któr bzuj n pochodnj unkcji. PoniŜj przdstim sposob obliczni njczęścij spotknch grnic. Smbol oznczon: dooln liczb dodtni ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Smbol nioznczon:?;?;??;?;?;? Tirdzni d l Hospitl pozl obliczć grnicę, jśli mm jdn z przpdkó:? lub? Jśli i g są unkcjmi zminnj : lim g lim g / ± / ± W pozostłch przpdkch musim ięc sprodzić grnicę unkcji do tkij postci, Ŝb moŝn bło zstosoć rgułę d l Hospitl. Ni będzim zjmoć się przpdkim?, poniŝ zzczj dj się on sprodzić do jdnj z pozostłch postci przz ciągnięci przd nis spólngo cznnik. Przkłd 8. Oblicz grnic unkcji: lim, lim ln, lim lim lim H tpo przpdk rguł d l Hospitl. ZuŜm, Ŝ pochodn licznik i minonik liczm oddzilni, ni z zoru n pochodną dzilni. lim ln tu ni trzb stosoć rguł d l Hospitl

68 lim lim lim H H tu trzb dukrotni stosoć rgułę d l Hospitl W przpdku? dokonujm przksztłcni g lub g g g i postj nm przpdk podlgjąc rgul d l Hospitl. Przkłd 8. Oblicz grnic unkcji: lim ln, lim, lim tg lim ln lim [ ] lim ln lim lim H [ ] lim lim lim tg H ctg [ ] lim lim lim sin H sin Mm zsz di moŝliości zmin postci ilocznu n ilorz, ięc jśli zdcdujm się n pirsz sposób i ni prznisi on oczkinch rzulttó, moŝn spróboć drugigo. Kid mm przpdk nioznczon z potęgmi, nlŝ przksztłcić unkcję nstępując sposób: g ln g gln Przkłd 8. Oblicz grnic unkcji: lim, limln, lim cos ctg

69 lim lim lim ln ln ln [ ] [ ] lim lim [ ] lim ln H lim limln lim ln [ ] lim ln l n lim lnln lim lnln lim H ln lim cos cos lim ctg sin cos ctg lncos ctglncos [ ] lim lim [ ] lim sincos [ ] lim lncos tg N konic jszcz jdn tp grnic ziązn z liczbą. Przpomnijm, il on nosi: H lim Tę łsność moŝn korzstć prz obliczniu grnic. Spójrzm n przkłd. Przkłd 8. Oblicz grnic unkcji: lim, lim lim lim lim lim lim lim

70 lim lim lim lim [ ] lim Licząc tgo tpu grnic, nlŝ ięc doprodzić do postci jdn plus jdn przz minonik. Pondto minonik ułmk nisi musi bć tki sm jk kłdnik. Grnic nosi td, pozostłą część obliczm. Zdni do smodzilngo roziązni: Zdni. Oblicz grnic: lim ln b lim c lim ctgln d lim ctg g lim lim lim

71 .. smptot unkcji WróŜnim trz tp smptot unkcji: piono, poziom orz pochł ukośn. W tm podrozdzil pokŝm, jk znjdoć smptot unkcji jdnj zminnj. Asmptot piono: Jśli istniją, to zsz mijscch niciągłości dzidzin unkcji ni rozptrujm nszm kłdzi unkcji nimirnch. N przkłd, jśli dzidziną unkcji jst przdził ;, to moŝ istnić tlko smptot piono lostronn. Jśli dzidzin jst tpu R \ {;}, to mogą istnić smptot piono z obu stron dl i. Jśli dzidziną jst zbiór R unkcj jst mirn, to n pno unkcj ni posid smptot pionoj. Funkcj posid ztm smptotę pionoą, jśli: lim ± lim ± smptot prostronn smptot lostronn Ztm, b istnił smptot piono, grnic unkcji punkci musi bć niłści. Jśli obi poŝsz łsności są spłnion, to prost jst smptotą obustronną. Przkłd 8. Znjdź smptot piono unkcji: 9 Dzidziną jst zbiór R \ {;, czli szukm smptot tch dóch punktch: lim lim lim lim Istniją ięc di smptot piono obustronn: orz. Cz obliczni grnic jst zrozumił? to nico ięcj niŝ,, to nico mnij niŝ. Al, choć ndl to mnij niŝ, to po podnisiniu do kdrtu stj się ięcj niŝ 9, czli 9. Do smptot pionoch porócim pononi, l njpir pokŝm, jk szukm smptot poziomch i pochłch. Asmptot pochł m rónni b. Jśli, to

72 mm do cznini z smptotą poziomą. Ztm obu tpó smptot szukm jdnoczśni. Mogą to bć zróno smptot pro-, jk i lostronn. Oto jk j znlźć: Funkcj posid smptotę pochłą/poziomą b, jśli istniją i są łści grnic: lim, lim, b lim b lim [ ] [ ] smptot lostronn smptot prostronn Tk ięc smptot pochłch i poziomch szukm niskończoności, jśli unkcj jst tm okrślon. JŜli okŝ się, Ŝ którś z grnic ni jst łści lub ni istnij, to td ni m smptot. Przkłd 88. Znjdź smptot pochł i poziom unkcji: Dzidzin: D R \ {} Prostronn: lim b lim lim lim ; H [ ] lim lim lim Ztm to smptot pochł prostronn. Lostronn: lim b lim lim lim H [ ] lim lim lim Prost jst tŝ smptotą lostronną, ztm jst to smptot obustronn pochł. Funkcj t ni posid smptot poziomch. Przkłd 89. Znjdź smptot unkcji: ln Dzidzin: >, czli D: ;

73 Asmptot piono unkcj moŝ mić tlko smptotę pionoą prostronną. Sprdźm jj istnini: ln lim jst ięc smptotą pionoą prostronną. Asmptot pochł/poziom niskończoności moŝ istnić tlko jdn smptot. lim ln ln lim lim H lim ln ln b lim lim lim H lim Czli unkcj posid smptotę poziomą prostronną. Przkłd 9. Znjdź smptot unkcji: rcctg Dzidziną jst zbiór liczb rzczistch, ziązku z czm unkcj ni posid smptot pionoch. Sprdzm istnini smptot pochłch lub ukośnch. lim rcctg rcctg lim b lim rcctg lim rcctg rcctg lim Ztm prost jst smptotą pochłą prostronną. lim rcctg rcctg lim b lim rcctg lim rcctg rcctg lim Prost jst smptotą pochłą lostronną unkcji.

74 Przkłd 9. Znjdź smptot unkcji: Dzidzin: D R \ {} Sprdzm istnini smptot pionoj : lim ; lim Ztm jst smptotą pionoą lostronną. Szukm smptot pochłch i ukośnch: b lim lim, bo lim lim lim lim Czli ² jst smptotą poziomą prostronną. b lim lim, bo lim lim lim lim Prost ² jst tŝ smptotą poziomą lostronną, ięc jst smptotą obustronną unkcji.

75 Zdni do smodzilngo roziązni: Zdni. Znjdź smptot unkcji: b c d ln rctg

76 .. monotoniczność i kstrmum unkcji Monotoniczność i kstrmum unkcji to pojęci ziązn z bdnim znku pirszj pochodnj unkcji. Dl znlzini przdziłó monotoniczności strcz nstępując tirdzni: Tirdzni: JŜli >, to unkcj jst rosnąc n X. X JŜli <, to unkcj jst mljąc n X. X Czli unkcj jst rosnąc tch przdziłch, gdzi znk pochodnj jst dodtni, mljąc gdzi znk pochodnj jst ujmn. W nszj prc zjmim się szuknim kstrmum loklnch łścich, róniŝ dl unkcji niróŝniczkolnch. W tm clu musim zpoznć się z runkmi konicznm i strczjącm do istnini tkigo kstrmum. Tirdzni o runku konicznm: Jśli unkcj jst ciągł punkci, róŝniczkoln n jgo sąsidzti i m tm punkci kstrmum lokln, to istnij tm punkci pochodn unkcji i nosi on zro lub unkcj pochodnj tm punkci ni posid. Wrunk koniczn tk nprdę ni ozncz, Ŝ po jgo roziązniu znjdzim szstki punkt, którch unkcj moŝ posidć kstrmum, bo pozostją jszcz t, którch ni istnij pochodn, moŝ istnić kstrmum. Tirdzni o runku strczjącm: JŜli unkcj jst ciągł punkci, róŝniczkoln n sąsidzti tgo punktu i pochodn unkcji zmini znk sąsidzti tgo punktu, to m on kstrmum lokln łści i jst to: mksimum lokln, gd zmini się znk n minimum lokln, gd zmini się znk n Jśli pochodn unkcji m stł znk sąsidzti punktu, to unkcj tm punkci kstrmum ni posid. Ztm dl istnini kstrmum loklngo łścigo unkcj musi bć punkci ciągł nikoniczni róŝniczkoln punkci orz róŝniczkoln n sąsidzti tgo punktu i znk pochodnj n tm sąsidzti musi się zminić. Przkłd 9. Znjdź kstrmum i przdził monotoniczności unkcji: ³ ² D R ² D R

77 Wrunk koniczn: ² ² 8 ² 8 ; Są to tk zn punkt stcjonrn. Wrunk strczjąc: > ² > Mm juŝ liczon mijsc zro tj prboli, moŝm ięc sporządzić krs: ; ; Z rsunku moŝn odcztć tŝ, Ŝ <, gd ;. Oto jk gląd znk pochodnj: m min KŜd punkt n płszczźni m di spółrzędn, poinniśm ięc liczć rtość unkcji punktch kstrmum. NlŜ pmiętć, Ŝ podstim td do zoru unkcji, ni jj pochodnj. m ³ ² 9 min ³ ² Odp.: Funkcj rośni przdziłch ; orz ; i mlj przdzil ;. Funkcj posid mksimum punkci ; 9 i minimum punkci ;. Przkłd 9. Znjdź kstrmum i przdził monotoniczności unkcji: ³ D R ² ³ ² ³ D R

78 Dl nliz znku pochodnj rto liminoć t części pochodnj, któr są zsz dodtni, czli ni zminiją znku. Ztm stirdzm, Ŝ > i bdm znk pochodnj tlko dl ² D ' ³. Wrunk koniczn: ² ³ ² ² Są to d punkt stcjonrn. Wrunk strczjąc: > ² ³ > Mm juŝ liczon mijsc zro ilominu, moŝm ięc sporządzić krs. Pmiętjm, Ŝ jst piristkim podójnm. ; ; Z rsunku moŝn odcztć tŝ, Ŝ <, gd ;. Oto jk gląd znk pochodnj: min brk kstrmum Dl zr ni m kstrmum, poniŝ ni zmini się znk pochodnj. min Odp.: Funkcj rośni przdziłch ; orz ; i mlj przdzil ;. Funkcj posid minimum punkci ;. Przkłd 9. Znjdź kstrmum i przdził monotoniczności unkcji: ln Dzidzin: >

79 D: ; ln D : ; ln ln ln ln ln ZuŜm, Ŝ > i bdm znk pochodnj tlko dl ln. D ' Wrunk koniczn: ln ln ² i D' ² Jst to punkt stcjonrn. Wrunk strczjąc: > ln > ln < < ² i ; D' Anlogiczni roziązujm: < ln < ln > > ² i D' ; Oto jk gląd znk pochodnj: ln m² ² m Odp.: Funkcj rośni przdzil ; minimum punkci ;. i mlj przdzil ;. Funkcj posid

80 Przkłd 9. Znjdź kstrmum i przdził monotoniczności unkcji: ln ln D: ; ln ln D : ; ln ZuŜm, Ŝ > i bdm znk pochodnj tlko dl ln². D' Wrunk koniczn: ln² ln ln ln ln [ ] D' ; } Mm d punkt stcjonrn. Wrunk strczjąc: > ln² > ln ln > Tę niróność njłtij roziązć, podstijąc zminną pomocniczą t ln: t t > Mm d mijsc zro: i. Oto krs prboli: t t ; ; Ztm: t < t > ln < ln > [ < > ] D ' ; ;

81 Anlogiczni roziązujm < i otrzmujm: ; Oto jk gląd znk pochodnj: m min min ln³ ln ³ ; m ln³ ln ³ Odp.: Funkcj rośni przdziłch ; orz ; i mlj przdzil posid minimum punkci ; i mksimum punkci ;. Przkłd 9. Znjdź kstrmum i przdził monotoniczności unkcji: Dzidzin:, czli, ięc, ięc D R \ {} D R \ {} ;. Funkcj ZuŜm, Ŝ > >, czli do nliz znku zostj tlko. W ziązku D' z czm pochodn jst mnijsz od zr cłj sojj dzidzini. Odp.: Funkcj jst mljąc cłj dzidzini i ni posid kstrmum. Przkłd 9. Znjdź kstrmum i przdził monotoniczności unkcji: Dzidzin: Tutj dzidziną unkcji jst zbiór liczb rzczistch, gdŝ unkcj m postć, dl piristkó trzcigo stopni ni przjmujm złoŝń.

82 D R ZuŜm, Ŝ po liczniu pochodnj pojił się minonik i trzb przjąć złoŝni, z którgo otrzmujm. NlŜ zsz unikć ujmnch potęg, b ni zpomnić o tm złoŝniu. D R \ {} Podczs bdni znku pochodnj zuŝm tŝ, Ŝ >, poniŝ, D ' poz tm mm ² pod piristkim z koli piristk stopni trzcigo ni zmini znku. Czli bdm tlko rŝni. Wrunk koniczn: i D' Jst to punkt stcjonrn. Wrunk strczjąc: > > > i D' ; ; Anlogiczni roziązujm < i otrzmujm ;. Oto jk gląd znk pochodnj: min brk kstrmum min W punkci mm minimum lokln. W punkci ni stępuj kstrmum, bo ni nstępuj zmin znku. Gdb znk się zminił, to kstrmum istniłob, poniŝ nl- Ŝ do dzidzin unkcji, choć ni jst dzidzini pochodnj.

83 Odp.: Funkcj rośni przdziłch ; orz ; i mlj przdzil ;. Funkcj posid minimum punkci ;. Przkłd 98. Znjdź kstrmum i przdził monotoniczności unkcji: Dzidzin: R D R Dzidzin pochodnj: > > > > R \{} D R \ {} ZuŜm tŝ, Ŝ >, czli bdm tlko znk. D' Wrunk koniczn: i D' Ni ozncz to jdnk, Ŝ ni moŝ istnić kstrmum. Sprdźm runk strczjąc. Wrunk strczjąc: > > i D' ; Anlogiczni roziązujm < i otrzmujm ;. Oto jk gląd znk pochodnj: min min W punkci mm minimum lokln, mimo Ŝ zro ni nlŝ do dzidzin pochodnj strcz jdnk, jśli nlŝ do dzidzin unkcji. Odp.: Funkcj rośni przdzil ; i mlj przdzil ;. Funkcj posid minimum punkci ;.

84 Przkłd 99. Znjdź kstrmum i przdził monotoniczności unkcji: Dzidzin: Piristk trzcigo stopni ni ogrnicz dzidzin. D R Dzidzin pochodnj: pojił się minonik, ięc i D R \ {; } Dl bdni znku pochodnj moŝn pominąć i zjąć się rŝnim nisi. Wrunk koniczn: Ni ozncz to jdnk, Ŝ ni moŝ istnić kstrmum. Sprdzm runk strczjąc. Wrunk strczjąc: > > > > > >

85 > > Sporządzm krs prboli: ; i D ' ; W tm przdzil pochodn m znk dodtni. Anlogiczni roziązujm < i otrzmujm ; ;. Oto jk gląd znk pochodnj: min m min m Tutj róniŝ dl orz istniją kstrm unkcji, choć punkt t ni nlŝą do dzidzin pochodnj strcz, Ŝ nlŝą do dzidzin unkcji. Odp.: Funkcj rośni przdzil ; i mlj przdziłch ; orz ;. Funkcj posid minimum punkci ; orz mksimum punkci ;. Przkłd. Znjdź kstrmum i przdził monotoniczności unkcji: D R W clu policzni pochodnj opuśćm rtość bzzględną: dl dl < dl ; dl ; ; dl dl ; ; ;

86 ZuŜm, Ŝ przdził są otrt prz pochodnj. Z rguł ni istnij pochodn n krńcch przdziłó dzidzin. D R \ ; Bdni runku koniczngo i strczjącgo nlŝ przprodzć oddzilni przdziłch pochodnj. Wrunk koniczn: ; ; {} ; ; ; ; Wrunk strczjąc: ; > > < ; ; ; ; > > > ; ; ; < < > ; ; < < < ; ; ; Znk pochodnj odcztujm z obu przpdkó: min m min min ; min ; m Dl i istnij kstrmum, gdŝ obi t liczb są dzidzini unkcji. Formlni rzcz ujmując, nlŝłob zbdć róŝniczkolność pochodnj unkcji punktch i.

87 Odp.: Funkcj rośni przdziłch ; orz ; i mlj przdziłch ; orz ;. Funkcj posid minimum punktch ; orz ; i mksimum punkci ;. Zdni do smodzilngo roziązni: Zdni. Znjdź kstrmum i przdził monotoniczności unkcji: b c d ln ln 9 g ln

88 .. klęsłość, pukłość i punkt przgięci unkcji Szukni przdziłó klęsłości i pukłości krsu unkcji orz jj punktó przgięci jst brdzo podobn do bdni monotoniczności i szukni kstrmum unkcji. W tm przpdku przdmiotm bdni jst jdnk ni pirsz, l drug pochodn unkcji, oznczn. Drug pochodn to pochodn z pirszj pochodnj unkcji, czli prdzi jst: [ ] N przkłd dl unkcji ³; ²;. Pojęci klęsłości i pukłości unkcji moŝ bć litrturz okrśln dojki sposób. W clu poznni nizbędnch dinicji i tirdzń odsłm do podręcznikó kdmickich. M posłuŝm się tlko kilkom tirdznimi. Tirdzni: X JŜli >, to unkcj jst klęsł n X X JŜli <, to unkcj jst pukł n X Czli unkcj jst klęsł tch przdziłch, gdzi znk drugij pochodnj jst dodtni, pukł, gdzi znk drugij pochodnj jst ujmn. Obok zznczliśm dl pności ksztłt unkcji klęsłj i pukłj, gdŝ moŝ to pojęci bć przz innch utoró pojmon odrotni tk nprdę licz się ksztłt unkcji, ni nznicto. Punkt przgięci unkcji to tki, którch sąsidzti krs unkcji zmini ksztłt z pukłgo n klęsł lub odrotni. Tirdzni o runku konicznm: Jśli unkcj jst ciągł punkci, dukrotni róŝniczkoln n jgo sąsidzti i m tm punkci punkt przgięci, to istnij tm punkci drug pochodn unkcji i nosi on zro lub unkcj drugij pochodnj tm punkci ni posid. Wrunk koniczn ni ozncz, Ŝ po jgo roziązniu znjdzim szstki punkt, dl którch zkłdm moŝliość istnini punktu przgięci, bo pozostją jszcz punkt, którch ni m pochodnj, moŝ istnić punkt przgięci. Tirdzni o runku strczjącm: JŜli unkcj jst ciągł punkci, dukrotni róŝniczkoln n sąsidzti tgo punktu i drug pochodn unkcji zmini znk sąsidzti tgo punktu, to m on punkt przgięci. Jśli pochodn unkcji m stł znk sąsidzti punktu, to unkcj tm punkci punktu przgięci ni posid. Istnini punktu przgięci mg spłnini tkich runkó dl drugij pochodnj, jki muszą bć spłnion dl pirszj pochodnj, b istniło kstrmum. W tm przpdku punkt przgięci istnij punkci, któr nlŝ do dzidzin unkcji, jgo sąsidzti zmini się znk drugij pochodnj.

89 Z zględu n kt, Ŝ bdni drugij pochodnj jst brdzo podobn do bdni pirszj pochodnj, roziąŝm tu tlko kilk przkłdó. Przkłd. Znjdź przdził klęsłości i pukłości orz punkt przgięci: D R \ {; } D R \ {; } D R \ {; } [ ] ZuŜm, Ŝ >, ięc bdm znk tlko dl ². D '' Wrunk koniczn: ² [ ] D Wrunk strczjąc: > ² > > Piristki to: orz, ięc sporządzm krs: ; ; ; ; D Anlogiczni obliczm < i otrzmujm ;.

90 Spójrzm, jk gląd znk drugij pochodnj: brk p. p. brk p. p. Dl i ni m punktó przgięci, bo liczb t ni nlŝą do dzidzin unkcji. Odp. Funkcj jst klęsł przdziłch ; orz ; i pukł przdzil ;. Funkcj ni posid punktó przgięci. Przkłd. Znjdź przdził klęsłości i pukłości orz punkt przgięci: D R, bo > D R D R ZuŜm, Ŝ >, ięc bdm znk tlko dl. D '' Wrunk koniczn: D Wrunk strczjąc: > > > D ; Anlogiczni obliczm < i otrzmujm ;.

91 Spójrzm, jk gląd znk drugij pochodnj: p. p. Odp. Funkcj jst klęsł przdzil ; i pukł przdzil ;. Funkcj posid punkt przgięci ;. Przkłd. Znjdź przdził klęsłości i pukłości orz punkt przgięci: ln D R ln ln D R D R ZuŜm, Ŝ >, ztm drug pochodn jst cłj sj dzidzini iększ od zr. D '' Odp. Funkcj jst klęsł cłj dzidzini, brk punktó przgięci. Zdni do smodzilngo roziązni: Zdni. Znjdź przdził klęsłości i pukłości orz punkt przgięci unkcji: ln b c d

92 . Rchunk cłko Cłkoni jst procsm o il trudnijszm niŝ liczni pochodnj unkcji. W torii istnij mnósto mtod cłkoni. M zjmim się tlko tmi, któr pozolą liczć njczęścij spotkn cłki. Zcznim jdnk od krótkigo zrsu dinicji i zoró lmntrnch... Cłk nioznczon Cłką nioznczoną unkcji d okrślonj n pnm przdzil X nzm zbiór szstkich unkcji pirotnch unkcji n tm przdzil. Funkcją pirotną unkcji n przdzil X jst z koli kŝd unkcj F, tk Ŝ F dl kŝdgo z tgo przdziłu. Funkcji pirotnch jst niskończni il. Oto prost przkłd objśnijąc dinicję.,,, ztm d C, C R Widzim, Ŝ pochodn z ilu unkcji nosi, stąd cłk jst rodziną unkcji. C ozncz doolną liczbę rzczistą. Zsz po liczniu cłki nlŝ dopisć C n końcu. Pirszm krokim nuc liczni cłk jst poznni zoró podstoch rchunku cłkogo, któr nikją bzpośrdnio z zoró rchunku róŝniczkogo. Oto on: n n d C, n d ln C n d C, > i ln d C sind cos C cosd sin C d ctg C sin d tg C cos d rcsin C d rctg C

93 Przpomnijm jszcz jdno Ŝn tirdzni: Tirdzni: Jśli unkcj i g są cłkoln n pnm przdzil, to cłkoln są tŝ unkcj g, g orz k, gdzi k jst doolną stłą, z tm Ŝ zchodzą poniŝsz zor: [ g ] d d kd k ± ± gd d Trz moŝm przjść do roziązni cłk.... Cłki obliczn przz sprodzni do zoró podstoch Pną część cłk moŝn obliczć, uŝjąc tlko poŝj przdstionch zoró. NlŜ jdnk róniŝ posidć umijętność przksztłcń, n przkłd n potęgch lub unkcjch trgonomtrcznch. Spójrzm n zdni: Przkłd. Oblicz cłki nioznczon: d, d,, d d, d, d Wszstki poŝsz cłki, poz osttnią, moŝn roziązć z pomocą zoru podstogo: n n d C, n n Spójrzm: d C C C d d C C d d C C d d C C C d d C C C

94 W przpdku osttnij cłki ni moŝn stosoć tgo smgo zoru, gdŝ jst on prdzi dl n, osttnim przpdku n. Roziązni tj cłki nik bzpośrdnio z koljngo zoru podstogo: d ln C NlŜ tu koniczni pmiętć o rtości bzzględnj. Przkłd. Oblicz cłki nioznczon: d, d, d Cłki t roziązujm z pomocą zoru podstogo d C. Dl trzcij z nich ln istnij oddziln zór: d C ln d d ln C C NlŜ zrócić ugę, kid stosujm zór n cłkę unkcji potęgoj, kid kłdniczj. W poprzdnim przkłdzi pojił się podsti, tm przkłdzi kłdniku potęgi. Przkłd. Oblicz cłkę nioznczoną: sind sind cos C Jśli pod cłką jst stł pomnoŝon przz unkcję, to ciągm ją przd nis zgodni z przdstionm czśnij tirdznim: kd k d. Przkłd. Oblicz cłkę nioznczoną: d d d ctg rcsin C sin sin Tutj róniŝ skorzstliśm z tirdzni. W tkim przpdku dzilim cłkę jścioą n kilk cłk, dodjąc j do sibi podobni jst z odjmonim, l nigd z mnoŝnim cz dzilnim.

95 Przkłd 8. Oblicz cłkę nioznczoną: d d d d d d d d d ln d ln ln C d ln ln C Często zdrz się, Ŝ liczniku mm sumę lub róŝnicę unkcji, minoniku jst unkcj ni będąc sumą lub róŝnicą innch. Wtd dzilim cłkę początkoą n kilk cłk, jk przkłdzi poŝj. Stłą C dopisujm momnci, gd obliczm osttnią cłkę. Przkłd 9. Oblicz cłkę nioznczoną: 89 d d 8 d 8 9 d ln d 8 ln d 8 9 d Obliczni cłk jst cznnością dosć trudną i brdzo czsochłonną. Ab nbć pr, trzb liczć brdzo duŝo cłk i zpmiętć il sposobó roziązń. Ni m prz ich obliczniu jsngo lgortmu, tlko zrs zsd, jk postępoć prz pngo tpu cłkch. Wil cłk roziązuj się sposób, któr szbko prodzi do clu, l odkrci go moŝ zjąć trochę czsu. Wrto zpmiętć, jk roziązujm poniŝsz cłki, gdŝ pojią się on jszcz prz nstępnch mtodch cłkoni. Jdną, ni zsz pomocną podpoidzią podczs ich roziązni, nich będzi to, Ŝ cłki tgo tpu często roziązuj się, skrcjąc z minonikim. Przkłd. Oblicz cłkę nioznczoną: C d d d d d rctg rctg C

96 Przkłd. Oblicz cłkę nioznczoną: 8 d d d d d d d C Tutj przdtn okzł się zór skrócongo mnoŝni. Przkłd. Oblicz cłkę nioznczoną: d d d C d d d d rctg rctg C rctg C N konic przdstim kilk przkłdó z korzstnim zoró trgonomtrcznch ptrz rozdził.. Przkłd. Oblicz cłkę nioznczoną: cos d cos sin cos sin d cos sin d cos sin cosd Przkłd. Oblicz cłkę nioznczoną: d sin cos d d tg ctg C cos sin sin cos d sin cos Przkłd. Oblicz cłkę nioznczoną: cos sincos sin d cos sin sind sin cos C sin cos C sin d sin cos cos d sin cos ctg d cos d sin d d sin d ctg d ctg C sin sin sin sin Przkłd. Oblicz cłkę nioznczoną: ctg dctg C cos sin sin sin sin sin sin d d d d