(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)"

Transkrypt

1 Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s t r e m u m: () w p. : ( ) ( ) (p. przegięcia) ( ) > (min.) ( ) < (ma.) 1

2 ) Różniczka unkcji 1 zmiennej: d De. ponieważ: d () to d ()d d Twierdzenie Różnica międz przrostem unkcji a różniczką unkcji d dzielona przez różniczkę d dąż do zera wraz z tą różniczką: lim d d d Twierdzenie Lagrange a (uogólnienie tw. Rolla) Jeżeli unkcja () jest ciągła w przedziale < a, b > i różniczkowalna w tm przedziale oraz na końcach tego przedziału przjmuje wartości odpowiednio równe (a) i (b) to w przedziale tm istnieje co- najmniej jeden taki punkt c, że: (c) ( b) ( a) b a ( *) c b stczna sieczna a

3 Wzór Talora (uogólnienie tw. Lagrange a) Zał: h b a; c a υ(b a) a υh, gdzie υ - ułamek właściw; a Ze wzoru wnika (*): (c) stąd: ( b) ( a) b a ( υh) ( h) ( ) h ( h) () h ( υh) wzór Talora z 1-szą pochodną wzór Talora z -gą pochodną Uogólniając: ( h) () ( h) () ( h) () '( ) 1! '( ) 1! h h ''( )! ''( )! h '( ) 1! h h ''( ϑh) h! '''( ϑh) h 3 3! n h n-1 ( 1) ( ) ( n 1)! z 3-cią pochodną ( ) n ( ϑh) h n n! 3) Badanie przebiegu zmienności unkcji jednej zmiennej (Procedur etap postępowania) określoność () dla którch mianownik miejsca zerowe () dla którch () punkt nieciągłości () poszukiwanie asmptot 3

4 pionowa: c gdzie: lim ( ) ukośna: a b oraz: gdzie: lim c ( ) lim () a b Badanie ekstremów oraz monotoniczności () a () oraz () gd () > minimum gd () < maksimum badanie punktów przegięcia, wklęsłości oraz wpukłości () () jest wklęsła ( ) ; punkt przegięcia () jest wpukła () jest ciągła i wklęsła w p. ( ) > () jest ciągła i wpukła w p. ( ) < () posiada punkt przegięcia w p. ( ) i ( ) tabela wkres () 4

5 4) Pochodna unkcji -zmiennch (,) - pochodna cząstkowa (, ) Powierzchnia z (, ) Y X D stczna stczna tg α const 5

6 6 1 sza pochodna cząstkowa unkcji z (,) De: ), ( ), ( lim ), ( ), ( lim ga pochodna cząstkowa unkcji z (, ) ( pochodne unkcji: oraz ) De: oraz: i pochodne cząstkowe mieszane Twierdzenie Schwarca Jeżeli istnieją pochodne cząstkowe mieszane i są one ciągłe w obszarze D, to są one sobie równe: 5) Różniczka z u p e ł n a unkcji z(, ) De. dz d d

7 Pt: kied dz P(, )d Q(, )d jest różniczką z u p e ł n ą? Odp: gd P Q wniosek z tw. Schwarca UWAGA: Funkcja złożona z (u,v) gdzie u u[] i v v[] z (u[],v[]) 6) Różniczka zupełna unkcji złożonej dz ( u, v) u du ( u, v) v dv d d dz d ( u, v) u du d ( u, v) v dv d (*) Pochodna unkcji z ł o ż o n e j Szczególne przpadki (*) (a p l i k a c j e) a) v const. Wted (u[],v[]) (u[],const.) (u[]). złożona dv więc (*) : dz du d d u d v d du du d pochodna zewnętrzna raz wewnętrzna (znan wzór) c.n.d. 7

8 b) v () oraz u. Wted (u[], v[]) (, []) 1-sza pochodna (, []) więc (*) dz d d d d d szczególn przpadek: z unkcja uwikłana w tm przpadku jest to unkcja jednej zmiennej. 1-sza pochodna (, []) Wted : Stąd: - Jest to ogóln wzór na obliczanie pochodnej unkcji jednowmiarowej. - ga pochodna (,[]) d d ' ' ( ' ) ' ' Warunki istnienia ekstremum unkcji uwikłanej: (,[]) : 1) ) ' ; ( ' ) ' '. 8

9 7) Klasikacja unkcji zmiennch a) krzwe przestrzenne ( płaszczznę przecinają w skończonej liczbie punktów śladem są punkt) ; b) powierzchnie (płaszczznę przecinają w nieskończonej ilości punktów śladem jest krzwa ) I n t e r e s u j e m s i ę k l a s ą p o w i e r z c h n i b) Postać uwikłana: F(,, z) N r Pł. stczna α M(,,z ) F(,, z) Prosta l 1 Prosta m Linie leżące na pow. F(,,z) w postaci parametrcznej: oraz są postaci: (t); (t); z(t) 1 9

10 Ponieważ leżą na powierzchni, zatem je s p e ł n i a j ą: d F[(t),(t),z(t)] dt F d dt F d dt F z dz dt ; (*) Sugeruje postać i l o c z n u s k a l a r n e g o wektorów: N r r F r r F F ; z r d dt r d dt r dz dt ; oraz S r ; ; ( ' ; '; z) r r r Z (*) wnika, że N r S r N r - wektor normaln do pł. α stcznej do pow. F[(t),(t),z(t)] S r - wektor prostej stcznej ( leżącej na pł. stcznej α ) Jeżeli p. M( ; ;z ) leż na powierzchni F[(t),(t),z(t)], wted: F (- ) F (- ) F z (z-z ) pł. stczna w p. M ; ' ' z z z' prosta stczna l F M F M z z F z prosta normalna m M Patrz: ANEKS Ekstremum F[(t),(t),z(t)] w p. M( ; ;z ) Problem l o k a l n o ś c i ekstremum W szczególności unkcja uwikłana F[(t),(t),z(t)] może wstapić w postaci jawnej : F(,) z (,) 1

11 F (- ) (- ) F F z (z-z ) musi bć do pł. o stąd: F F w a r u n e k k o n i e c z n Ekstremum lokalne wstępuje w tzw. punktach stacionarnch (spełniającch w a r u n e k k o n i e c z n ) Oznacznia: ; ; ; ; Oraz H(,) hesjan Twierdzenie Jeżeli unkcja z (,) jest klas C (posiada 1 i pochodną ciągłą) w otoczeniu p. M, i jeżeli (M), (M) oraz H(M) >, to unkcja z (,) w p. M posiada ekstremum l o k a l n e: > min. l o k a l n e < ma. l o k a l n e Ekstremum a b s o l u t n e uzskuje się badając wartości (,) na brzegu tego obszaru, a następnie porównuje się je z wartościami ekstremum l o k a l n e g o. ANEKS 11

12 Równanie prostej na płaszczźnie: n AP stąd: dla a ( ) b( ) c a b mam: a b c 1

13 N[a,b, c] A( o, o, z o ) P(,, z) Równanie płaszczzn w przestrzeni: N AP stąd: dla mam: a ( d ) b( ) c( z z ) a b c a b cz d Równanie prostej w przestrzeni: 13

14 14 z Równanie prostej w przestrzeni: γ β α z z Z rs. wnika, że: u N N d z c b a d z c b a Rozwiązanie tego układu jest poszukiwanm miejscem geometrcznm. N 1 [a 1,b 1,c 1 ] N [a,b,c ] u[α,β,γ] A( o, o, z o )

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow

Bardziej szczegółowo

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ

Bardziej szczegółowo

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej 1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm

Bardziej szczegółowo

Elementy algebry i analizy matematycznej II

Elementy algebry i analizy matematycznej II Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34 Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji wykład 5

Pochodna funkcji wykład 5 Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

Ą ŚĆ Ś Ś Ę ć

Ą ŚĆ Ś Ś Ę ć Ą Ę Ą Ą ŚĆ Ś Ś Ę ć ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć ć Ą ć ć ć Ą Ś ć Ś ć ć Ą ć Ś Ś Ą Ś Ą ć ć Ą ź ź ć ć Ą ć ź ć Ą ć Ą ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ź ć ć Ś ć ć ć Ę Ą ć Ą ć ć ć ć ć ć Ł ź ź ź Ł Ł ć Ą ć ć ć ć ć Ą ć Ą ć Ą

Bardziej szczegółowo

ź Ź Ź ć ć ć ź ć ć ć ć ć Ź

ź Ź Ź ć ć ć ź ć ć ć ć ć Ź ź Ź Ź ć ć ć ź ć ć ć ć ć Ź ć ć ć ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ż Ż ć ć ć ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ź ć Ź ć ć ć ć ć ć ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ć Ż ć ć ć ć ć ć ć ć Ż ć Ł Ś Ś ć Ą Ę ć Ę ć Ż ć

Bardziej szczegółowo

ś ść ść ś ść ść ś ś ś ś ść ś ś ś ść ść

ś ść ść ś ść ść ś ś ś ś ść ś ś ś ść ść Ą Ł Ł Ł Ę Ł ś ś ś ś ść ść ść ść Ś ść ŚĆ ś ŚĆ ś ś ść ść ś ść ść ś ś ś ś ść ś ś ś ść ść ś ś ś Ż ś Ś ś Ś ść ś ś ś ś ś ś ś ś Ś ś ś ś ś Ł Ś ś ś ś Ś ś ś ź Ś ŚĆ ś ś ś ś ś ś Ś ś Ś ś ś ś ś ś ś ś Ś Ś ść ś ś ś ś

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

ż ć Ę ż ż ż Ń Ł ż ż ż ż ż ż ż ż

ż ć Ę ż ż ż Ń Ł ż ż ż ż ż ż ż ż ż ć Ę ż ż ż Ń Ł ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż Ń ż ż Ń Ń Ń ż ć ż ż ć ż ż ż ć Ą Ń ż ć ć ż ż ż ż ć ćż ż Ń Ń Ł ż Ń Ń Ń ć Ń ć ć Ń ż Ń Ń ż ż ż ć Ń ć ż ć ć ć ć Ń ż Ń Ń ć Ń Ę ż Ń ż ż ż Ł ż ć ż ć ż ż ż ż ć ć ż ż ć ź ż ż

Bardziej szczegółowo

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem

Bardziej szczegółowo

Ś Ę Ą Ł Ś Ł Ł Ł Ł Ł Ś Ś Ł Ł Ł Ą Ł Ł Ł Ł Ł Ą Ą Ł

Ś Ę Ą Ł Ś Ł Ł Ł Ł Ł Ś Ś Ł Ł Ł Ą Ł Ł Ł Ł Ł Ą Ą Ł ę Ą Ł Ł Ś Ę Ą Ł Ś Ł Ł Ł Ł Ł Ś Ś Ł Ł Ł Ą Ł Ł Ł Ł Ł Ą Ą Ł Ł ś ś ś ś ę ś ę ę ś ść ść ść ę ę ę ść ę ś Ą Ą ś Ż ść Ź Ś Ą ę ść ść ść Ą ś Ż ę Ż Ń Ą Ł ś ę ś ę ś ś ę ś ś ść Ę Ś ś Ś ś Ś ś Ś ź ę ź ę ść ś ę Ę ś Ł ść

Bardziej szczegółowo

ć ć Ł ć Ź ć Ł ź ć Ś ć ć Ż Ł Ż ć ż ć

ć ć Ł ć Ź ć Ł ź ć Ś ć ć Ż Ł Ż ć ż ć Ł Ź Ł Ł ź ź Ż Ż ż Ż ć Ś ż ć ć Ę ć ć Ł ć Ź ć Ł ź ć Ś ć ć Ż Ł Ż ć ż ć Ł ć ć ć ć Ł Ż ć Ł ź ć Ś Ż Ż Ż ż Ż Ż ż Ż Ś Ż Ą Ł Ż ź Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ś Ż Ż ż Ż Ż ż ż Ł Ż Ś Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ś Ż Ę Ł Ź Ó ż Ę Ł ź Ł Ź Ż ż Ł Ż Ż ż

Bardziej szczegółowo

ć Ą Ą Ł Ą

ć Ą Ą Ł Ą ź ź ź ć ć Ą Ą Ł Ą ź ź Ę Ą ź Ą ć Ł Ł Ą Ś Ę ź ź Ą Ą ź ć ć Ł Ę ć ź ć ć Ą Ć ź ź ź ć ć ć ć ć ź ź ć ć ź ć Ś Ę ć ć ć ć Ł ź ź ź ź ć Ę Ż ć ć ć ć Ę Ę ć Ę Ę ć ć Ę ć ć Ł ć Ć ć Ł Ł Ę Ę ć Ę ć ź ć Ń Ł Ł Ł Ś ć ć ć Ę Ś

Bardziej szczegółowo

Ę Ż Ż Ż ś ż Ż

Ę Ż Ż Ż ś ż Ż Ż ż ż ś ś ż ż ż ś ż Ż Ź ś Ź Ź ś ś ż ż ś ś ś ś Ż ś Ż Ę Ż Ż Ż ś ż Ż ś ś ś Ż Ą ż ś ś ź Ż ż ż ś ś ż Ł Ż ź ż ż ś ś Ę ż ż ż ż Ę ś ż ć ś Ę ż ś ż ś Ż ż ś ż ś ść ść Ę ż ż ż ś ż Ą Ż Ś ś Ą Ż ż ż ś Ę ś Ż ś Ń ś ż Ą

Bardziej szczegółowo

ć

ć Ł Ę Ę Ą ć Ś ć ć ź ź ć ć ź ź ź ć ć ź Ś ć ć ć ć ć Ś ć Ż ć ŚĆ Ć Ż Ś Ż Ś Ż ć Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś ć Ć ć Ć ć Ć ć Ś Ś Ś ć Ć Ż Ć ć ć Ś Ż Ż Ś Ć Ż ć ć ć ć ć Ś Ś Ś ć Ż Ż ć ć Ś Ś ć Ś Ż ć Ś ć ć ć Ż Ć ć ć Ż Ś Ż Ć

Bardziej szczegółowo

ż ć

ż ć Ł Ł ż ć ć ż ć Ą Ł ó ó ć ż ć ć ż ć Ę ć Ę ć ć Ę ć ć ć Ę ż ć ć ć Ś ć Ę Ę ż ż ć ż Ę ć ć Ę ż ż Ę Ł ć ć Ą Ę Ł ć ć ć ż ć Ę Ł Ść Ą Ę Ł ć ć ć ć Ę Ł Ść Ą Ę Ł ć ć ć Ł ć Ę Ę ć ć ć ć Ł Ść ć ć Ę Ę Ł Ś Ą Ś Ś Ł Ą Ą ż

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

ć ż ż ć Ą ż ż Ł ć Ż ż Ż Ż Ż Ż

ć ż ż ć Ą ż ż Ł ć Ż ż Ż Ż Ż Ż Ł Ę Ł ż Ż ć ż ż ć ż ż ć Ą ż ż Ł ć Ż ż Ż Ż Ż Ż ż ż Ł ż Ż Ł Ż Ż Ż Ż ż ż Ż Ż Ż ć ć ż ć ż ż ŻĄ ć ć ż Ż Ż ż Ż Ż ć Ż ź ć ż Ę Ż Ę Ż ć Ż Ż ć Ż ć ż Ż Ż ż Ż Ą Ż ć ż ć Ś Ą ż Ż Ż Ż ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż ż ż Ż ż ż Ż Ż

Bardziej szczegółowo

ż Ę Ł Ą ż ż ż ź Ł ć Ł ż ć ć Ść ć ź ż ż Ź ć ć ć ć ć ć ć ż ż Ś Ś ż Ś ć ż ć ć Ł Ść ż Ś ż Ś ż ć ż ć ć ć ż ć ż ć ż ż ż ż ć ż ż Ł ć ż ć Ł ż Ź Ę ż ż Ś ć ż ż ć Ź Ś ż Ą ż ć Ś ć ć ż ć ć Ś ż Ź Ł ć ć ć Ć ć ć Ś ć ż

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności

Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

ć Ś Ś Ść

ć Ś Ś Ść ć Ś Ś Ść Ś Ł Ź Ść ć ć ć Ść ć Ść Ś Ść ć ć Ś Ó Ś Ś ć ć Ś Ś Ó Ś Ś ć Ą ć Ś Ś Ł ć Ś Ś Ł ć Ą Ść ć Ś Ó Ź ć ć Ś Ś ć ć ć Ś Ść Ść Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś ć Ą Ś Ą Ś Ś Ź Ź ć ć Ś Ę Ź Ł ź Ę Ę Ś Ś Ś Ę Ą Ź ć Ł Ś Ś Ś Ś ć Ś

Bardziej szczegółowo

Ć ć ć Ś ć

Ć ć ć Ś ć ź Ę Ę Ę ź ć ć ć Ć ć ć Ś ć ź ć ć ć Ć Ś ź Ś Ć ć Ż ź ć Ż Ś Ł ŚĆ ć ć ć Ć ć Ść ć Ż ć ć ć ć ć ć ć ć Ą ć ć Ś ć Ś ć Ż Ś ć Ó ć Ś ć Ś ć ć ć ć Ś ć ć Ś ć Ć Ż ć Ć ć ć ć ć Ę ć ź ć ć ć ć ć ź ć ć ć Ć ź ć Ż ć ć ć Ś ć Ć

Bardziej szczegółowo

C e l e m c z ę ś c i d y s k u s y j n e j j e s t u ś w i a d o m i e n i e s o b i e, w o p a r c i u o r o z w a ż a n i a P i s m a Ś w.

C e l e m c z ę ś c i d y s k u s y j n e j j e s t u ś w i a d o m i e n i e s o b i e, w o p a r c i u o r o z w a ż a n i a P i s m a Ś w. 1. C e l s p o t k a n i a. C e l e m c z ę ś c i d y s k u s y j n e j j e s t u ś w i a d o m i e n i e s o b i e, w o p a r c i u o r o z w a ż a n i a P i s m a Ś w., ż e : B y d z b a w i o n y m

Bardziej szczegółowo

ć ć ż ć ź ż ż ź ź ŚĆ Ź ź ć Ź ź ź ź ź Ś Ą Ć Ć ć Ź ź

ć ć ż ć ź ż ż ź ź ŚĆ Ź ź ć Ź ź ź ź ź Ś Ą Ć Ć ć Ź ź Ł Ł ć ć Ś Ź Ć Ś ć ć ż ć ź ż ż ź ź ŚĆ Ź ź ć Ź ź ź ź ź Ś Ą Ć Ć ć Ź ź Ś Ć Ć Ś ź Ć ż ż ź ż Ć ć ż Ć Ć ż ż ź Ć Ś Ś ż ż ć ż ż Ć ż Ć Ś Ś Ź Ć Ę ż Ś Ć ć ć ź ź Ś Ć Ś Ć Ł Ś Ź Ś ć ż Ś Ć ć Ś ż ÓŹ Ś Ś Ź Ś Ś Ć ż ż Ś ż

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza

Bardziej szczegółowo

ć ć Ą ć Ęć Ó Ą ź ć ć ć ć ź ź Ą ć Ę ć ź ć ć ć ź ć ź ć ć ć Ś Ź ź

ć ć Ą ć Ęć Ó Ą ź ć ć ć ć ź ź Ą ć Ę ć ź ć ć ć ź ć ź ć ć ć Ś Ź ź ź Ó ć Ę ć Ó ć ć ć ć Ź ć ź ć ć Ź ć ć ć Ą ć Ęć Ó Ą ź ć ć ć ć ź ź Ą ć Ę ć ź ć ć ć ź ć ź ć ć ć Ś Ź ź ć Ą ć Ą ć ź ć ź ć Ę ć ć Ź ź Ę ć ć ć ć Ę Ę ź ć Ó ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ź Ź ć ć ć ź Ę ć ć ć ć Ę Ąć ź Ź ć Ą ć ć

Bardziej szczegółowo

Ę Ę ć ć Ę Ą Ę Ą Ę Ę Ę Ę Ę Ę ź Ę Ż Ę Ę Ę Ę ć Ę Ę ć Ę ć

Ę Ę ć ć Ę Ą Ę Ą Ę Ę Ę Ę Ę Ę ź Ę Ż Ę Ę Ę Ę ć Ę Ę ć Ę ć Ł ź Ą Ł Ę Ż Ę Ą ź ź Ę Ę Ę Ę ć ć Ę Ą Ę Ą Ę Ę Ę Ę Ę Ę ź Ę Ż Ę Ę Ę Ę ć Ę Ę ć Ę ć ź Ę Ę Ę ź Ę ć ź Ę ć Ę ź ć Ę ć Ę Ł ź Ę Ę Ę Ę Ę Ę Ę Ę Ę Ę ź Ę ć ź Ę ć Ę Ę Ę Ę ź Ę Ę ź ź ź ź ź Ę ź ź ź Ę ć ć Ń ź ź ź ź ź Ą ć ź

Bardziej szczegółowo

Ć Ź ć Ę ć Ę Ć Ź Ź Ć

Ć Ź ć Ę ć Ę Ć Ź Ź Ć Ź Ć Ć Ź ć Ę ć Ę Ć Ź Ź Ć Ł Ą Ę Ć ć ćź ć Ź Ź Ź Ź Ą Ć ć Ł Ł Ł Ę ć ć Ź Ą ć Ę ć Ź Ź Ź Ź ć Ź Ź ć Ź ć Ł ć Ą Ć Ć Ć ć Ź Ą Ź ć Ź Ł Ł Ć Ź Ą ć Ć ć ć ć ć Ć Ć ć Ć ć ć Ł Ę Ź ć Ć ć Ź Ź Ć Ź Ź ć ć Ź ć Ź Ź Ź Ą Ę Ń Ź Ć Ą

Bardziej szczegółowo

Ą Ź ć ć Ó Ó Ć Ć Ś

Ą Ź ć ć Ó Ó Ć Ć Ś Ł Ł ź Ę Ą Ą Ź ć ć Ó Ó Ć Ć Ś Ł Ą Ą Ó ć ć ć Ś Ś Ó Ś Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó ć Ść Ó Ć ć Ź Ó ć Ó Ó Ó Ś Ź Ó ć ć ć Ł Ć Ź Ó Ó Ś ć Ź ć ć Ć ć ć ć Ź Ó ć Ó Ó Ś Ź Ó Ó Ś Ó ć ć ć Ś Ś Ó Ó Ó ć Ź Ł Ó ć Ś Ś Ó Ó ć Ź ć Ź Ł Ó Ó ć Ź

Bardziej szczegółowo

ć ć ź ć ć ć Ść ć ź ź ź ć ź Ą ź

ć ć ź ć ć ć Ść ć ź ź ź ć ź Ą ź ć ć ć ź ć ć ć ć ź ć Ż ź ź ć ć ź ć ć ć Ść ć ź ź ź ć ź Ą ź ć ć ć ć ć ć ź ź Ż ć ć ć ć ć Ś ć ć Ź ć Ś ź ć ź ć ź ć ź ć ź Ź ć ć Ś ź ć ć ź Ć ć ź Ó Ż ć ć ź Ś ź ź ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć ź ź ć ć ć Ś Ć Ó ź ć ź ć ć

Bardziej szczegółowo

ż ń Ł ń ń ż ż ż ż ż

ż ń Ł ń ń ż ż ż ż ż Ą ń ż ż ż Ś ż ń Ł ń ń ż ż ż ż ż ż Ś ń Ł ń ż ć ż ż ż ż Ł Ł ż ż ć ż ń Ź ć ż Ę ż ń ć Ź ż Ł ż Ł ż ż ć Ś ż ć ż Ą ż ń ż Ź ż Ź Ą ż ń ż ż ń ć ż ć ć ż ż ż ż ć ż ć Ś ż ń ż ż Ź ż ć ż Ę ż ć ż Ę Ą ń ż Ę Ź ż ć ć ć ć

Bardziej szczegółowo

Ś Ż Ó Ś ż Ó ć ź ż ż Ą

Ś Ż Ó Ś ż Ó ć ź ż ż Ą Ś ż Ż Ż Ś Ż Ó ż ż ż Ą Ś Ż Ó Ś ż Ó ć ź ż ż Ą Ą Ó ż ż Ó Ś Ż Ó ż ż ż Ż Ź ź Ć Ó ż Ż ć Ż ż Ś ć Ś Ś Ż Ą Ż Ż Ó Ż Ż Ś Ż Ż Ź Ż Ż Ż Ę Ś Ż Ż Ś Ó Ż Ż ż Ą Ż Ą Ż Ś Ś ć Ź ć ć Ó ć Ś Ą Ó Ó ć Ż ż Ż Ó ż Ś Ś Ó Ś Ż Ż Ż Ż Ż

Bardziej szczegółowo