Pragnę wyrazić serdeczne podziękowania Panu Profesorowi Adamowi Stolarskiemu za opiekę naukową, cenne uwagi i żarliwe dyskusje, które przyczyniły się
|
|
- Ewa Stefańska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Pragnę wyrazić serdezne podziękowania Panu Profesorowi Adamowi Stolarskiemu za opiekę naukową, enne uwagi i żarliwe dyskusje, które przyzyniły się do powstania niniejszej pray. Chę wyrazić swoją wdzięzność i podziękowanie dla opiniodawów książki Pana Profesora Grzegorza Bąka oraz Ś.P. Pana Profesora Miezysława Króla za ih enne wskazówki i sugestie, które przyzyniły się do podniesienia jej wartośi
2 Monografie Politehnika Lubelska Politehnika Lubelska Wydział Budownitwa i Arhitektury ul. Nadbystrzyka Lublin
3 Piotr Smarzewski Modelowanie statyznego zahowania niesprężystyh belek żelbetowyh wykonanyh z betonu wysokiej wytrzymałośi Politehnika Lubelska Lublin 2011
4 Reenzeni: prof. dr hab. inż. Grzegorz Bąk prof. dr hab. Miezysław Król Publikaja wydana za zgodą Rektora Politehniki Lubelskiej Copyright by Politehnika Lubelska 2011 ISBN: Wydawa: Politehnika Lubelska ul. Nadbystrzyka 38D, Lublin Realizaja: Biblioteka Politehniki Lubelskiej Ośrodek ds. Wydawnitw i Biblioteki Cyfrowej ul. Nadbystrzyka 36A, Lublin tel. (81) , wydawa@pollub.pl Druk: ESUS Agenja Reklamowo-Wydawniza Tomasz Przybylak Elektronizna wersja książki dostępna w Bibliotee Cyfrowej PL Nakład: 100 egz.
5 SPIS TREŚCI PODSTAWOWE SYMBOLE I OZNACZENIA 8 1. WSTĘP Problematyka analizy wytężenia belek żelbetowyh Cel, przedmiot i zakres pray MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI MATERIAŁÓW KONSTRUKCYJNYCH Przedmiot modelowania konstytutywnego Modelowanie właśiwośi betonu Trójosiowa powierzhnia granizna betonu Pięioparametrowa powierzhnia granizna betonu Prawo ewoluji powierzhni graniznej w przestrzeni naprężeń Charakterystyka elementów skońzonyh materiału matryy betonowej Związki konstytutywne betonu Modelowanie właśiwośi stali zbrojeniowej Model statyznego zahowania stali zbrojeniowej Charakterystyka elementów skońzonyh stali zbrojeniowej Związki konstytutywne stali zbrojeniowej METODA ANALIZY Przedmiot modelowania konstrukyjnego Modele elementu żelbetowego Współpraa betonu ze stalą zbrojeniową Warunki brzegowe i obiążenie zastępze Metody numeryzne rozwiązania układu równań równowagi Przyzyny wykorzystania różnyh metod numeryznyh Metoda Newtona-Raphsona Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym Metoda Crisfielda Przyrost obiążenia i interpretaja zniszzenia DOŚWIADCZENIA NUMERYCZNE BELEK ŻELBETOWYCH Cel i zakres doświadzeń numeryznyh Przedmiot doświadzeń numeryznyh Wyniki doświadzeń numeryznyh belek żelbetowyh z betonu o wysokiej wytrzymałośi Cel doświadzeń numeryznyh
6 Rozwiązanie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia metodą Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym Analiza stanu zarysowania Analiza stanu odkształenia i naprężenia Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia Rozwiązanie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia metodą długośi łuku Crisfielda Analiza stanu zarysowania Analiza stanu odkształenia i naprężenia Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia Rozwiązanie belki o niskim stopniu zbrojenia metodą Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym Analiza stanu zarysowania Analiza stanu odkształenia i naprężenia Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia Rozwiązanie belki o niskim stopniu zbrojenia metodą długośi łuku Crisfielda Analiza stanu zarysowania Analiza stanu odkształenia i naprężenia Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia Rozwiązanie belki wzmonionej o wysokim stopniu zbrojenia metodą Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym Analiza stanu zarysowania Analiza stanu odkształenia i naprężenia Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia Rozwiązanie belki wzmonionej o wysokim stopniu zbrojenia metodą długośi łuku Crisfielda Analiza stanu zarysowania Analiza stanu odkształenia i naprężenia Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia Rozwiązanie belki o wysokim stopniu zbrojenia metodą Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym Analiza stanu zarysowania Analiza stanu odkształenia i naprężenia Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia Rozwiązanie belki o wysokim stopniu zbrojenia metodą długośi łuku Crisfielda Analiza stanu zarysowania Analiza stanu odkształenia i naprężenia Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia
7 5. DYSKUSJA PROBLEMÓW NUMERYCZNEGO MODELOWANIA ZACHOWANIA BELEK ŻELBETOWYCH Z UWZGLĘDNIENIEM OSŁABIENIA MATERIAŁOWEGO Analiza efektywnośi zastosowanyh metod rozwiązania problemu Wpływ modułu sprężystośi betonu na zależność siła-przemieszzenie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia Wpływ modeli materiałowyh na zależność siła-przemieszzenie belek o niskim stopniu zbrojenia Wpływ sztywnośi resztkowej zarysowanyh i zmiażdżonyh skońzonyh elementów materiału matryy betonowej na zależność siła-przemieszzenie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia Wpływ wytrzymałośi resztkowej przy śiskaniu betonu na zależność siła-przemieszzenie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia Wpływ zmiażdżenia betonu na zależność siła-przemieszzenie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia Wpływ parametru śinania przy roziąganiu t na zależność siła-przemieszzenie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia ROZWIĄZANIE BELKI WZMOCNIONEJ O NISKIM STOPNIU ZBROJENIA WEDŁUG PROPONOWANEJ METODYKI USTALANIA PARAMETRÓW MODELU KONSTYTUTYWNEGO BETONU Metodyka doboru parametrów modelu betonu Analiza stanu zarysowania Analiza stanu odkształenia i naprężenia Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia WNIOSKI Z DOŚWIADCZEŃ NUMERYCZNYCH Wnioski dotyząe analizy zahowania belek żelbetowyh Wnioski dotyząe modelowania belek żelbetowyh ZAKOŃCZENIE 152 BIBLIOGRAFIA 154 SUMMARY 163 7
8 Duże litery łaińskie PODSTAWOWE SYMBOLE I OZNACZENIA [ D ] maierz sprężystośi dla materiału izotropowego é k D ù êë úû maierz sztywnośi w układzie współrzędnyh zgodnym z kierunkiem naprężeń głównyh, z osią k x leżąą w linii prostopadłej do płaszzyzny rysy ékù êë úû maierz współzynników układu é T K ù êë úû maierz sztywnośi styznej é S K ù êë úû maierz sztywnośi sieznej ék ù êë l úû maierz sztywnośi elementu prętowego é ù maierz sztywnośi naprężeń w elemenie prętowym êë S l úû { F a } wektor uogólnionego obiążenia nr { i } F wektor wewnętrznyh sił węzłowyh w stanie naprężeń panująym w dyskretyzowanym układzie { F l } niezrównoważony wektor obiążenia zewnętrznego dla elementu prętowego { F a l } uogólniony wektor obiążenia zewnętrznego dla elementu prętowego nr F wektor przyrostu obiążenia zewnętrznego dla elementu prętowego { l } A s E pole przekroju zbrojenia styzny moduł sprężystośi betonu przy śiskaniu E siezny moduł sprężystośi betonu przy śiskaniu m E s E t E T F r F i wartość oblizeniowa modułu sprężystośi stali zbrojeniowej styzny moduł sprężystośi betonu przy roziąganiu moduł odkształenia plastyznego stali zbrojeniowej siła rysująa funkja stanu naprężeń w prostokątnym układzie współrzędnyh 8
9 F s F u L s t R S i T siła podłużna w elemenie prętowym siła niszząa długość elementu prętowego moduł osłabienia betonu po zarysowaniu powierzhnia granizna betonu mnożnik sztywnośi betonu w strefie roziąganej w fazie zarysowania Małe litery łaińskie { u } wektor uogólnionego przemieszzenia { D u i } wektor przyrostu przemieszzenia { D u I i } wektor przyrostu przemieszzenia wywołany jednostkowym { u II } i { u n } parametrem obiążenia D wektor przyrostu przemieszzenia w metodzie Newtona-Raphsona D suma wektorów przyrostów przemieszzenia D u w bieżąym i kroku iterayjnym a, a, a parametry określająe promień przekroju dewiatorowego r powierzhni graniznej betonu t b szerokość przekroju belki b, b, b parametry określająe promień przekroju dewiatorowego r powierzhni graniznej betonu stif parametr sztywnośi betonu w stanie zarysowania lub zmiażdżenia d wysokość użytezna przekroju i, n numer kroku przyrostowego f 1 f 2 f wytrzymałość w stanie dwuosiowego śiskania nałożona w stanie a naprężenia hydrostatyznego s h wytrzymałość w stanie jednoosiowego śiskania nałożona w stanie a naprężenia hydrostatyznego s h wytrzymałość betonu na śiskanie w jednoosiowym stanie naprężenia 9
10 f b wytrzymałość betonu w stanie dwuosiowego śiskania f wytrzymałość gwarantowana betonu ube, f k harakterystyzna wytrzymałość betonu na śiskanie f m średnia wartość wytrzymałośi betonu na śiskanie f wytrzymałość betonu na roziąganie przy rozłupywaniu t, sp f st f t f y wytrzymałość stali na roziąganie i śiskanie wytrzymałość betonu na roziąganie w jednoosiowym stanie naprężenia grania plastyznośi stali p, t parametry definiująe powierzhnię granizną betonu r wektor promień lokalizująy położenie powierzhni graniznej r promień południka śiskania przekroju dewiatorowego powierzhni graniznej betonu r i niezrównoważony parametr otrzymywany w wyniku skalarnego mnożenia wektora normalnego i styznego r t promień południka roziągania przekroju dewiatorowego powierzhni graniznej betonu t parametr harakteryzująy beton wysokiej wytrzymałośi, zależny od f k u różnia między przemieszzeniami w węźle przemieszzenie pionowe na dolnej krawędzi elementu u d u g przemieszzenie pionowe na górnej krawędzi elementu D u różnia między przyrostami przemieszzenia w węźle D u n suma przyrostów przemieszzenia D u w bieżąym kroku i iterayjnym z wierzhołek powierzhni graniznej betonu Małe litery grekie { e ' } wektor zmodyfikowanego odkształenia ałkowitego betonu k { e } wektor odkształenia betonu przy zarysowaniu el { n 1 } e - wektor odkształenia sprężystego betonu w kroku poprzednim 10
11 { D e n } ałkowity przyrost wektora odkształenia betonu w danym kroku pl { D e } przyrost wektora odkształenia plastyznego betonu b b b t in e parametr skalowania parametr nośnośi na śinanie przy zamykaniu rysy parametr nośnośi na śinanie przy otwieraniu rysy odkształenie w elemenie prętowym w pierwszym kroku obiążenia e odkształenie betonu e 1 granizne odkształenie betonu w fazie wzmonienia sprężystoplastyznego k e k odkształenie betonu w hwili powstania rysy e u granizne odkształenie betonu przy śiskaniu w fazie osłabienia e n odkształenie ałkowite elementu prętowego el e n odkształenie sprężyste pręta stalowego th e n odkształenie termizne elementu prętowego T e n odkształenie w elemenie prętowym w analizie liniowo-sprężystej lub w pierwszej iteraji analizy nieliniowej e granizne odkształenie stali w zakresie plastyznośi su e k, e k, e k składowe odkształenia normalnego w rysie x y z D e przyrost odkształenia elementu prętowego pl D e przyrost odkształenia plastyznego f średnia pręta zbrojenia f, f 1 2 kąty nahylenia prostyh tworząyh stożek hydrostatyzny l zmienny parametr obiążenia D l parametr przyrostu obiążenia n, n współzynnik Poissona dla betonu n s q rr, s r współzynnik Poissona dla stali kąt Lodego odpowiadająy trzeiemu niezmiennikowi dewiatora gęstość zbrojenia gęstość betonu s, s, s naprężenia główne
12 s naprężenie śiskająe w betonie s naprężenie śiskająe w betonie odpowiadająe graniznemu u odkształeniu przy śiskaniu e u s h s s stan naprężenia hydrostatyznego opisująy średnie naprężenia normalne odpowiadająe pierwszemu niezmiennikowi dewiatora naprężenia naprężenie w stali s, s, s naprężenia normalne x y z s, s, s naprężenia normalne w prostokątnym układzie współrzędnyh xp yp zp xyz,, s, s, s naprężenia styzne xy yz xz t a x średnia wartość naprężenia styznego parametr spadku adaptayjnego x, x, x parametry wytrzymałośiowe powierzhni graniznej betonu x, x, x t b parametry wytrzymałośiowe powierzhni graniznej betonu 12
13 1. WSTĘP 1.1. Problematyka analizy wytężenia belek żelbetowyh W ostatnih latah wraz z większą wydajnośią systemów oblizeniowyh oraz możliwośią ih zastosowania w proesie analizy i projektowania konstrukji inżynierskih nastąpił intensywny rozwój metod numeryznyh używanyh w zakresie oblizeń statyznyh, wymiarowania i analizy zahowania konstrukji aż do osiągnięia przez nią stanów graniznyh. Metody numeryzne są jedyną drogą do uzyskania praktyznie przydatnyh rozwiązań w analizie złożonyh ustrojów przestrzennyh wykonanyh z materiałów nie podlegająyh prawom liniowej sprężystośi. Metody numeryzne prowadzą zawsze do rozwiązań przybliżonyh, gdyż układ równań różnizkowyh jest zastąpiony układem równań algebraiznyh, a dokładne rozwiązanie w postai zamkniętego wzoru analityznego jest zastępowane zbiorem lizb opisująym rozpatrywane zjawisko. Symulaje komputerowe stworzyły możliwość analizowania zagadnień trudnyh i złożonyh, o w znaznym stopniu przyzynia się do redukji kosztów związanyh z przeprowadzeniem badań doświadzalnyh. Ze wszystkih metod numeryznyh najzęśiej stosowana jest Metoda Elementów Skońzonyh, która stała się podstawowym narzędziem analizy w bardzo wielu dziedzinah naukowyh i praktye inżynierskiej. Polega ona na podziale kontinuum o nieskońzonej lizbie punktów na skońzoną lizbę elementów połązonyh ze sobą w węzłah. Wszystkie zmienne w równaniu zagadnienia wyraża się przez przemieszzenia punktów węzłowyh wyznazane z układu równań algebraiznyh. Wymaga to sformułowania zależnośi geometryznyh oraz przyjęia związków konstytutywnyh uzależniająyh składowe stanu naprężenia i odkształenia. We współzesnym piśmiennitwie jest wiele monografii i artykułów poświęonyh tej metodzie. Do podstawowyh pra w tym zakresie należą monografie Zienkiewiza [119], Zienkiewiza i Taylora [120], Crisfielda [30], Bathe [12], Kleibera [58], Borkowskiego i in. [17], Cooka [27], Boneta i Wooda [16], Moaveni [76]. Analiza wytężenia elementów konstrukyjnyh jest ważnym zagadnieniem mehaniki konstrukji, szzególnie w odniesieniu do materiałów kruhyh, gdyż umożliwia oenę jej bezpiezeństwa i optymalne projektowanie. Zwiększenie nośnośi elementów konstrukyjnyh wykonanyh z materiałów kruhyh uzyskuje się przez zastosowanie zbrojenia w postai wiotkih prętów stalowyh rozłożonyh w materiale matryy elementu w tyh strefah, w któryh występują naprężenia roziągająe wywołująe zarysowanie materiału. Zasady takiego sposobu wzmaniania konstrukji whodzą w zakres metod wymiarowania żelbetowyh elementów konstrukyjnyh. W odniesieniu do konstrukji 13
14 żelbetowyh, które są kompozyją materiałową złożoną z dwóh materiałów: betonu i stali zbrojeniowej, teoretyzne zasady wymiarowania są przedstawione w praah Suwalskiego [104], Kuzyńskiego [61], Kobiaka i Stahurskiego [60], Raya [89], Spiegela i Limbrunnera [98], Łapko [68], Starosolskiego [99]. Równie istotnym zagadnieniem jest sposób rozmieszzenia zbrojenia w objętośi elementu, gdyż deyduje on o rzezywistym wytężeniu i nośnośi konstrukji. Teoretyzne i doświadzalne problemy analizy wytężenia elementów żelbetowyh są przedmiotem rozważań zawartyh w monografii Godykiego-Ćwirko [46]. Dynamizny rozwój tehniki komputerowej stworzył również możliwośi wykonania analiz nieliniowyh dotyząyh żelbetowyh układów konstrukyjnyh ze szzególnym uwzględnieniem zróżniowanyh sprężysto-plastyznyh harakterystyk materiałowyh: betonu i stali, rzezywistego układu zbrojenia, wzajemnej współpray obu materiałów oraz symulaji mehanizmu zniszzenia elementów konstrukyjnyh. Oprogramowanie systemowe zastosowane do modelowania zahowania konstrukji szzególnie w zakresie niesprężystym jest bardzo efektywne zwłaszza w odniesieniu do tak zwanyh otwartyh systemów, w któryh można zastosować własne modele konstytutywne. Jak dowiodła praktyka inżynierska, zrealizowane dotyhzas konstrukje z betonu, zaprojektowane bez wspomagania komputerowego, spełniają najzęśiej swoje zadania, niemniej jednak różne wpływy fizyzne, takie jak skurz, oddziaływania termizne, naprężenia przyzepnośi i pełzanie lub geometryzne, takie jak złożony układ konstrukyjny były oeniane w dużym stopniu jedynie na podstawie intuiji inżynierskiej. Prowadziło to zęsto do znaznego przewymiarowania konstrukji, w elu zapewnienia im wymaganego bezpiezeństwa oraz odpowiednih walorów użytkowyh. Analiza pray elementów żelbetowyh była przedmiotem rozważań wielu publikaji. W literaturze można spotkać wiele opraowań dotyząyh analizy statyznej. Przykłady zastosowania metody elementów skońzonyh w analizie niesprężystyh elementów żelbetowyh prezentowane są w praah m.in. MNeie [73], Faherty [37], Lina i Sordelisa [66], Suidana i Shnobriha [103], Argyrisa i in. [5], Buyukozturka [19], Waszzyszyna i in. [111, 112], Hemmaty i in. [48, 49], Barzegara i Maddipudi [10], Barbosa i Ribeiro [9], Fostera [40], Cihorskiego [24], Pamina i Winnikiego [82, 83], Fanninga [38], Tavareza [108], Kahlakeva [54], Wolanskiego [118], Smarzewskiego i Stolarskiego [96, 97] oraz monografiah Hofstettera i Manga [50], Wojewódzkiego i in. [117], Stolarskiego i Cihorskiego [100], Willama i Tanabe [115], Szarlińskiego i in. [105], Majewskiego [69]. Do znanyh rozwiązań numeryznyh statyki belek żelbetowyh z betonu zwykłego należy zalizyć rozwiązania Ngo i Sordelisa [78], Nilsona [79], Isenberga [52], Barzegara, Maddipudi i Srinivasa [11], Gomesa i Awruha [47]. 14
15 Z kolei analiza zahowania belek żelbetowyh wykonanyh z betonu o wysokiej wytrzymałośi była przedmiotem kilkunastu pra doświadzalnyh m.in. Tognona i in. [108], Uzumeri i Basseta [110], Olsena i in [80], Lambotte i Taerwe [63], Taerwe [107], Larrarda i in. [64], Lina i in. [65], Pendyala i in. [85], Mansura i in. [71], Sarkera i in. [91], Pee i Fabbroino [36, 84], Weissa i in. [113], Rashida i Mansura [88]. W kraju podstawową praą w tym zakresie jest praa Kamińskiej [55], będąa źródłem wzorowyh wyników, do któryh odnoszone są własne rozwiązania teoretyzne. Beton wysokowartośiowy, zyli beton o wysokiej wytrzymałośi i jednoześnie wysokiej szzelnośi nie jest bynajmniej materiałem nieznanym. Zawiera on wszystkie składniki już wześniej stosowane do betonów, lez dozowane w innyh proporjah. Szzegółowe informaje dotyząe klasyfikaji i właśiwośi tyh kompozytów materiałowyh na bazie ementów zostały przedstawione w praah Aïtina [2, 3], Ajdukiewiza [4] i Kaszyńskiej [57]. Niewątpliwie zastosowanie betonów wysokowartośiowyh w budownitwie będzie stale wzrastało zarówno ze względu na jego wysoką wytrzymałość, jak i na wysoki moduł sprężystośi. Ponadto w bardzo wielu praktyznyh zastosowaniah olbrzymie znazenie ma wysoka odporność betonu wysokowartośiowego na wpływy klimatyzne i oddziaływanie agresywnego środowiska związana z jego bardzo wysoką szzelnośią. Ozywiśie najstarsze zastosowania betonu wysokowartośiowego datują się na późne lata osiemdziesiąte, a to oznaza, że zas eksploataji tyh konstrukji jest jeszze zbyt krótki, aby właśiwie oenić rzezywistą trwałość użytkową budowli wykonanyh z tego materiału. Speyfizne ehy betonów wysokowartośiowyh skłaniają ku konieznośi podjęia nie tylko badań doświadzalnyh, ale również rozważań teoretyznyh z zakresu konstytutywnego modelowania właśiwośi materiałowyh, a w szzególnośi modelowania zahowania zbrojonyh elementów konstrukyjnyh oraz analizy mehanizmów wytężenia i zniszzenia konstrukji wykonanyh z takiego materiału. Przykładowa praa z tego obszaru badawzego autorstwa Majoramy i in. [70] dotyzy modelowania konstytutywnego betonu wysokiej wytrzymałośi. W ostatnih ztereh dekadah w analizah numeryznyh stosowano różne modele betonu i stali zbrojeniowej. W elu dokładniejszego opisu pokrytyznego zahowania elementów żelbetowyh nadal doskonalone są konstytutywne modele materiałowe oraz wykorzystywane oraz bardziej efektywne algorytmy numeryznego rozwiązywania nieliniowyh równań równowagi. 15
16 1.2. Cel, przedmiot i zakres pray Przedmiotem pray są belki żelbetowe z betonu wysokiej wytrzymałośi traktowane jako kompozyja materiałowa składająa się z matryy betonowej wzmonionej wiotkimi prętami stalowymi rozłożonymi dyskretnie w materiale matryy. Głównym elem pray jest modelowanie mehanizmów zniszzenia belek żelbetowyh obiążonyh statyznie, proesów statyznego odkształania belek żelbetowyh wykonanyh z betonu wysokiej wytrzymałośi z uwzględnieniem nieliniowośi fizyznyh materiałów konstrukyjnyh betonu i stali zbrojeniowej. Osiągnięie tego elu wymaga zrealizowania elów szzegółowyh, do któryh należą: opraowanie własnego modelu teoretyznego betonu dla materiału sprężysto-plastyznego z uwzględnieniem osłabienia materiałowego przy śiskaniu i roziąganiu, opraowanie oryginalnyh analiz zahowania przestrzennyh belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi pod obiążeniem statyznym, opraowanie efektywnej metody oblizeniowej długośi łuku Crisfielda w analizah niezwykle gwałtowanyh proesów zniszzenia: zarysowania i miażdżenia w elu dokładniejszego oszaowania pokrytyznego zahowania elementów konstrukyjnyh. Zakres pray obejmuje rozważania dotyząe modelowania niesprężystyh właśiwośi materiałów, modelowania proesów odkształania przestrzennyh ustrojów konstrukyjnyh oraz opraowanie rozwiązań numeryznyh. Podstawowe założenia przyjęte w pray dotyzą: rozważań w zakresie dużyh odkształeń, gdyż zgodnie z postanowieniami Euroode 2 [35] i PN-B [86] metody analizy nieliniowej związane z nieliniowośią w sensie fizyznym powinny być stosowane w połązeniu w ramah teorii II rzędu z nieliniowośią w sensie geometryznym, idealnego współdziałania prętów zbrojeniowyh i betonu w węzłah wspólnyh oblizeniowego modelu konstrukji, zyli zgodnośi deformaji pomiędzy wszystkimi elementami konstrukji. Praa składa się ze wstępu, pięiu rozdziałów wypełniająyh zakres pray, zakońzenia zawierająego wnioski i zestawienia bibliografiznego. W rozdziale drugim przedstawiono opis modeli materiałowyh wykorzystywanyh w analizah numeryznyh. W analizie wytężenia konstrukji żelbetowyh modelowanie właśiwośi betonu jest odniesione do poziomu makroskopowego. Beton jest traktowany w pozątkowej fazie odkształenia jako materiał jednorodny i izotropowy. Przyjęie powyższego 16
17 założenia umożliwia zastosowanie fenomenologiznego opisu zahowania betonu jako ośrodka iągłego. Model betonu opisuje trójparametrowa lub pięioparametrowa powierzhnia granizna przy śiskaniu i roziąganiu zgodna z teorią Willama-Warnke [116] oraz własna propozyja prawa ewoluji tej powierzhni w funkji odkształenia. Opraowano własną propozyję modelu sprężysto-plastyznego z osłabieniem w odniesieniu do betonu śiskanego. Z kolei dla betonu roziąganego założono sprężysto-kruhy model z osłabieniem uwzględniająym efekty zesztywnienia konstrukji żelbetowej. Model betonu opisuje efekty zarysowania i miażdżenia. Założono model rysy rozmytej. Powstanie zarysowania w punkie numeryznego ałkowania modelu oblizeniowego jest uwzględnione w zależnośi naprężenie-odkształenie poprzez wprowadzenie płaszzyzny osłabienia zlokalizowanej w kierunku prostopadłym do powierzhni rysy. Przyjęty parametr śinania przy rozwariu rysy b redukuje nośność na śinanie w hwili powstania poślizgu t w płaszzyźnie prostopadłej do powierzhni zarysowanej. Miażdżenie betonu jest opisane zgodnie z założeniami teorii plastyznego płynięia jako wyraźne pogorszenie strukturalnej niepodzielnośi w wyniku zniszzenia materiału przy jednoosiowym, dwuosiowym lub trójosiowym śiskaniu. Kolejny poziom modyfikaji modelu zaproponowany w tym rozdziale dotyzy modelowania zahowania betonów o wysokiej wytrzymałośi. Istotą tej propozyji jest modyfikaja modelu Desayi-Krishnana [32] i uproszzonego modelu Stolarskiego [100] poprzez łązne uwzględnienie fazy sprężystoplastyznego wzmonienia i fazy osłabienia materiałowego oraz wprowadzenie znaznie większyh wartośi graniznyh odkształeń przy śiskaniu w belkah żelbetowyh związanyh ze zbrojeniem i efektem skali belek potwierdzonyh doświadzalnie w praah Pee i Fabbroino [36, 84], Kamińskiej [55, 56], Larrarda i in. [64], Mansura i in. [71], Olsena i in. [80], Pendyala i in. [85], Weissa i in. [113]. W odniesieniu do stali zbrojeniowej założono model materiałowy sprężysto-idealnie plastyzny o identyznyh harakterystykah przy roziąganiu i śiskaniu lub model materiałowy z uwzględnieniem wzmonienia po uplastyznieniu. W rozdziale trzeim przedstawiono opis analiz wytężenia układu konstrukyjnego przeprowadzonyh w niniejszej pray. Zaprezentowano podstawowe sposoby modelowania zbrojenia oraz zaproponowano hipotezę współpray prętów zbrojenia i materiału matryy wyrażająą w jawny sposób zasadę równoważnośi przemieszzeń w węzłah wspólnyh elementów skońzonyh modelu oblizeniowego. Opisano również sposób modelowania warunków brzegowyh w płaszzyznah symetrii elementu i na podporah oraz przedstawiono sposób modelowania rozkładu sił w strefie przyłożenia obiążenia. Przedstawiono ponadto opis algorytmów rozwiązania układów przyrostowyh równań statyznej równowagi metody elementów skońzonyh: Newtona-Raphsona, Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym i długośi 17
18 łuku Crisfielda umożliwiająe określenie stanów zarysowania, przemieszzenia, odkształenia i naprężenia z uwzględnieniem efektów nieliniowośi fizyznej materiałów i geometryznej elementów konstrukyjnyh w zagadnieniah statyznyh w zakresie wymaganym do osiągnięia elu niniejszej pray. W analizah przestrzegane są zasady wynikająe z kompromisu pomiędzy dążeniem do maksymalnej dokładnośi oblizeń poprzez wprowadzenie gęstego podziału i dużej lizby węzłów, a minimalizają zasu oblizeń poprzez odpowiedni dobór wielkośi kroku obiążenia i zastosowanie szybko-zbieżnej metody oblizeniowej. W rozdziale zwartym, na przykładah belek żelbetowyh obiążonyh statyznie, przedstawiono porównania własnyh wyników doświadzeń numeryznyh otrzymanyh dla różnyh modeli betonu i stali zbrojeniowej z wynikami badań doświadzalnyh Kamińskiej [55] dotyząymi zahowania belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi. Porównania otrzymanyh wyników na poziomie zależnośi obiążenie-przemieszzenie, obiążenieodkształenie skrajnyh włókien śiskanego betonu oraz obiążenieodkształenie prętów roziąganyh stanowią podstawę do weryfikaji przyjętyh założeń i modeli konstytutywnyh betonu i stali. Podstawową zęśią pray są analizy stanu zarysowania, naprężenia oraz odkształenia belek żelbetowyh ze zwykłego betonu konstrukyjnego i z betonu wysokiej wytrzymałośi o różnym stopniu zbrojenia podłużnego i poprzeznego przy wykorzystaniu systemu programów metody elementów skońzonyh z implementają własnego modelu betonu wysokiej wytrzymałośi i odpowiedni dobór parametrów metody długośi łuku Crisfielda w elu otrzymania efektywnego rozwiązania w zakresie lokalnego i globalnego osłabienia konstrukji. Dopełnieniem rezultatów jest analiza nośnośi i stanu przemieszzenia belek żelbetowyh. Stan naprężenia zilustrowano w postai rozkładów naprężeń normalnyh i styznyh w obszarze konstrukji. Porównanie uzyskanyh wyników numeryznyh z wynikami badań doświadzalnyh wykazuje dobrą zgodność rozwiązań oraz poprawność przyjętyh założeń i modeli konstytutywnyh betonu i stali. W rozdziale piątym przedstawiono rozważania na temat wybranyh problemów numeryznego modelowania zahowania belek żelbetowyh z uwzględnieniem osłabienia betonu przy śiskaniu i roziąganiu. Dokonano porównania uzyskanyh wyników pod kątem ustalenia efektywnośi zastosowanyh proedur oblizeniowyh. Przeprowadzono analizy wpływu zmiennośi: modułu sprężystośi betonu, modeli materiałowyh, parametru resztkowej sztywnośi elementów skońzonyh materiału matryy betonowej w proesie zarysowania i zmiażdżenia, efektów zmiażdżenia betonu oraz parametru śinania przy roziąganiu wzmaniająego beton po zarysowaniu na zahowanie modelowej belki żelbetowej z betonu wysokiej wytrzymałośi w proesie statyznego odkształenia. Uzyskane wyniki numeryzne są 18
19 zestawione z wynikami doświadzalnymi Kamińskiej [55] w postai krzywyh obiążenie-przemieszzenie pionowe w środku belki. W rozdziale szóstym przedstawiono metodę rozwiązania numeryznego belki żelbetowej polegająą na doborze parametrów modelu betonu wysokiej wytrzymałośi na podstawie tylko jednej wielkośi fizyznej tj. określonej doświadzalnie wytrzymałośi na śiskanie w jednoosiowym stanie naprężenia. Wszystkie parametry modelu stali zbrojeniowej przyjęto na podstawie wartośi normowyh dostosowanyh do wymogów bezpiezeństwa konstrukji. W zakońzeniu przedstawiono podsumowanie rezultatów pray i wnioski wynikająe z przeprowadzonyh doświadzeń numeryznyh. Otrzymane rozwiązania stanowią podstawę do dalszego rozwijania metody numeryznej symulaji zahowania żelbetowyh elementów konstrukyjnyh, przede wszystkim w zakresie opisu mehanizmów zniszzenia betonu. 19
20 2. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI MATERIAŁÓW KONSTRUKCYJNYCH 2.1. Przedmiot modelowania konstytutywnego Modelowanie statyznyh właśiwośi materiałów konstrukyjnyh przeprowadzono z wykorzystaniem założeń teorii plastyznego płynięia. Opis stanu graniznego betonu obiążonego statyznie jest przedmiotem wielu pra. Równania powierzhni graniznyh betonu zawierają m.in. prae Ottosena [81], Klisińskiego [59], Willama i Warnke [116], Stolarskiego [100, 101]. Zaproponowane w tyh praah równania powierzhni graniznyh są zależne od pierwszego niezmiennika tensora naprężenia oraz drugiego i trzeiego niezmiennika dewiatora naprężenia. Taki opis umożliwia najwierniejszą aproksymaję wyników doświadzalnyh betonu w złożonyh stanah naprężenia. W niniejszej pray zastosowano trójparametrową oraz pięioparametrową powierzhnię granizną betonu przy śiskaniu i roziąganiu zgodną z teorią Willama-Warnke [116] oraz własną propozyję prawa ewoluji tej powierzhni w funkji odkształenia. W odniesieniu do betonu przy śiskaniu przyjęto własną propozyję modelu sprężysto-plastyznego z wytrzymałośią resztkową równą 80 % wytrzymałośi betonu, natomiast dla betonu przy roziąganiu założono sprężysto-kruhy model z osłabieniem uwzględniająym efekty zesztywnienia konstrukji żelbetowej. Model powyższy opisuje proesy zarysowania i miażdżenia. Powstanie rysy rozmytej w punkie numeryznego ałkowania opisuje zmodyfikowana relaja między naprężeniem a odkształeniem z wprowadzoną płaszzyzną osłabienia usytuowaną w kierunku prostopadłym do jej powierzhni. Założony parametr śinania b jest mnożnikiem redukująym nośność na śinanie w tyh proesah t odkształenia, w któryh powstaje poślizg w płaszzyźnie prostopadłej do zarysowanej powierzhni. Miażdżenie betonu w punkie numeryznego ałkowania jest uwzględnione jako proes zniszzenia przy jednoosiowym, dwuosiowym lub trójosiowym śiskaniu. Taki proes zniszzenia jest opisany zgodnie z założeniami teorii plastyznego płynięia jako wynik osłabienia materiałowego w strefah śiskanyh. W obszarze zmiażdżonym przyrost obiążenia wywołuje przyrost odkształeń przy stałyh naprężeniah. Kolejny poziom modyfikaji modelu betonu proponowany w niniejszej zęśi pray dotyzy modelowania zahowania betonu o wysokiej wytrzymałośi. Istotą tej propozyji jest modyfikaja modelu Desayi- Krishnana [32] i uproszzonego modelu Stolarskiego [101, 102] polegająa na: łąznym uwzględnieniu fazy sprężysto-plastyznego wzmonienia i fazy osłabienia materiałowego, 20
21 przyjęiu potwierdzonego doświadzalnie założenia o znaznie większyh wartośiah graniznyh odkształeń uzyskanyh w konstrukjah zbrojonyh w porównaniu do odkształeń uzyskanyh na próbkah, związanyh ze zbrojeniem i efektem skali. W odniesieniu do stali zbrojeniowej założono model materiałowy sprężysto-idealnie plastyzny o identyznyh harakterystykah przy roziąganiu i śiskaniu. Jedynie w analizah numeryznyh belek żelbetowyh z betonu o wysokiej wytrzymałośi bez zbrojenia strefy śiskanej na odinku zystego zginania przy wykorzystaniu oblizeniowej metody Newtona- Raphsona ze spadkiem adaptayjnym zastosowany jest model materiałowy stali z uwzględnieniem wzmonienia prętów zbrojeniowyh. Taki model lepiej opisuje zahowanie ustrojów żelbetowyh, w któryh na odinku zystego zginania nie występuje zbrojenie strefy śiskanej przekroju szzególnie w obszarze naprężeń niesprężystyh po uplastyznieniu stali zbrojeniowej Modelowanie właśiwośi betonu Trójosiowa powierzhnia granizna betonu W pray Argyrisa, Fausta, Szimmata, Warnkego i Willama [5] rozwinięto opis powierzhni graniznej betonu w postai trójsymetryznego stożka przedstawiony przez Genijewa i Kissiuka w pray [44] i zaproponowano podobny model trójparametrowej powierzhni graniznej betonu. Zniszzenie pozątkowe według propozyji [5] opisane jest przez skalarną funkję naprężeń: f ( s ) = 0. (2.1) Geometryzną interpretają tego warunku jest powierzhnia granizna w przestrzeni naprężeń, oddzielająa liniowo-sprężyste zahowanie się materiału od nieliniowo-niesprężystego. Przy założeniu izotropii materiału opis powierzhni graniznej betonu może być sprowadzony do sformułowania równania w przestrzeni naprężeń głównyh: f ( s) = f ( s, s, s ) = 0. (2.2) Na Rys. 2.1 przedstawiono pozątkową powierzhnię granizną betonu jako nieobrotowego stożka z krzywoliniowymi tworząymi. Jeżeli składowe naprężeń głównyh uszeregowane są w kolejnośi s ³ s ³ s, to wystarzy rozpatrzyć 1/6 przestrzeni naprężeń głównyh, ponieważ względem osi naprężeń głównyh występuje potrójna symetria powierzhni graniznej. 21
22 3 f( )=0 Rys Pozątkowa powierzhnia granizna dla betonu w trójosiowej przestrzeni naprężeń. Na Rys. 2.2 zilustrowano powierzhnię granizną rozłożoną na zęść hydrostatyzną (opis zmiany objętośi) i zęść dewiatorową (opis zmiany kształtu). Przekrój hydrostatyzny tworzy powierzhnia południkowa, która zawiera oś obrotu s 1 = s 2 = s 3 (Rys. 2.1). Przekrój dewiatorowy leży na powierzhni normalnej do osi obrotu. a /f - /f h = - 0,5f f b o Przekrój hydrostatyzny ( = 0 ) f r r h /f f t t z - /f r f f t f b - /f Przekrój dewiatorowy ( = - 0,5f ) h Rys Model trójosiowej powierzhni betonu. Dewiator naprężenia jest opisany przez współrzędne biegunowe r i q, gdzie r jest wektorem promieniem lokalizująym położenie powierzhni graniznej dla dowolnego kąta q z przedziału 0 q 60. Kąt q, zwany kątem Lodego, jest kątem pomiędzy rzutem osi naprężenia głównego s na płaszzyznę 1 dewiatorową i kierunkiem fikyjnego wektora naprężenia dewiatorowego s leżąego w tej płaszzyźnie. Powierzhnia granizna jest definiowana w postai równania (2.3). 1 sh 1 ta + = 1, (2.3) z f r q f ( ) 22
23 gdzie: s, t - średnie wartośi naprężeń normalnyh i styznyh, h a z - wierzhołek powierzhni graniznej, f - wytrzymałość na śiskanie w jednoosiowym stanie naprężenia. Kąty nahylenia prostoliniowyh tworząyh stożka hydrostatyznego opisano przez f i f 1 2. Parametry powierzhni zniszzenia z i r uzależniono od wytrzymałośi na śiskanie f i roziąganie f w jednoosiowym stanie t naprężenia i wytrzymałośi w stanie dwuosiowego śiskania f. Matematyzny b model graniznej powierzhni betonu harakteryzuje proste wyznazenie wartośi parametrów modelu na podstawie standardowej próby wytrzymałośiowej oraz wypukłość (brak punktów przegięia) i iągłość powierzhni graniznej betonu. W pobliżu południka śiskania trójparametrowe kryterium wykazuje odstępstwa od wyników badań wytrzymałośiowyh betonu w trójosiowym stanie naprężenia w obszarze dużyh iśnień hydrostatyznyh dla s <- 4 f, także w strefie roziągania dla s > f /3. Przyzyną tyh h h t odstępstw jest założenie prostoliniowego przebiegu południków powierzhni graniznej Pięioparametrowa powierzhnia granizna betonu Willam i Warnke w pray [116] przedstawili dokładniejszą aproksymaję powierzhni graniznej betonu za pomoą modelu pięioparametrowego. W elu opisania paraboliznego kształtu południków powierzhni graniznej model trójparametrowy uzupełniono o dodatkowe dwa parametry. Kryterium zniszzenia betonu w złożonym stanie naprężenia opisano wyrażeniem: F - S ³ 0, f (2.4) w którym: F - funkja stanu naprężeń s, s, s xp yp zp działająyh w kierunkah prostokątnego układu współrzędnyh xyz,,, S - powierzhnia granizna zależna od naprężeń głównyh s, s, s, gdzie: = ( ), s ( s s s ) s max s, s, s 1 xp yp zp = min,, i s ³ s ³ s oraz pięiu 3 xp yp zp parametrów: f - wytrzymałośi na śiskanie w jednoosiowym stanie naprężenia (wywołująej miażdżenie), f - wytrzymałośi na roziąganie w jednoosiowym t stanie naprężenia (wywołująej zarysowanie), f b - wytrzymałośi w stanie 23
24 dwuosiowego śiskania (wywołująej miażdżenie), f - wytrzymałośi w stanie 1 dwuosiowego śiskania nałożonej w stanie naprężenia hydrostatyznego a s oraz f h 2 - wytrzymałośi w stanie jednoosiowego śiskania nałożonej a w stanie naprężenia hydrostatyznego s. h Powierzhnia granizna betonu jest wykorzystywana jako kryterium zniszzenia zgodnie z następująą interpretają. Materiał znajduje się w stanie zniszzenia, gdy nierówność (2.4) jest spełniona. Jako stany zniszzenia rozróżnia się stan zarysowania, jeżeli dowolne naprężenie główne jest roziągająe, oraz stan zmiażdżenia, gdy wszystkie naprężenia główne są śiskająe. Powierzhnia granizna jest definiowana przez pięć parametrów wytrzymałośiowyh f, f, f, f, f i stan hydrostatyznego naprężenia 1 2 t b Wytrzymałośi na śiskanie f i na roziąganie f w jednoosiowym stanie t naprężenia są koniezne do definiowania powierzhni graniznej betonu, natomiast pozostałe trzy parametry można wyznazyć na podstawie równań opisanyh w pray [115] zależnyh od f : f b = 1, 2f, Powyższe zależnośi są prawdziwe pod warunkiem, że: s. f = 1, 45f 1, (2.5) f = 1, 725f 2. s 3 f, (2.6) h 1 s = h ( s + s + s xp yp zp), (2.6a) 3 gdzie: s - stan naprężenia hydrostatyznego opisująy średnie naprężenia normalne h odpowiadająe pierwszemu niezmiennikowi dewiatora naprężenia. Warunek (2.6) ma zastosowanie, gdy rozważamy stan naprężeń dla niskih wartośi naprężenia hydrostatyznego. W przypadkah, w któryh nie uwzględniano stanu miażdżenia betonu (wówzas jako parametr modelu przyjmuje się fikyjną wartość f =- 1 ), rysa powstanie wtedy, gdy dowolna składowa naprężenia głównego jest większa od f t. Opis zniszzenia betonu określa się w ztereh zakresah stanu naprężenia: 0 ³ s ³ s ³ s (śiskanie - śiskanie - śiskanie), s 0 s s ³ ³ ³ (roziąganie - śiskanie - śiskanie), a h 24
25 s s 0 s ³ ³ ³ (roziąganie - roziąganie - śiskanie), s ³ s ³ s ³ 0 (roziąganie - roziąganie - roziąganie) W każdym zakresie stanu naprężenia, niezależne funkje F, F, F, F i S, S, S, S opisują odpowiednio funkję stanu naprężeń F i powierzhnię granizną S. Funkje te szzegółowo opisano w każdym zakresie stanu naprężenia. Złożony stan naprężenia śiskanie - śiskanie - śiskanie, 0 ³ s ³ s ³ s W stanie śiskanie - śiskanie - śiskanie funkja F odpowiadająa średnim naprężeniom styznym, która jest wprost proporjonalna do drugiego niezmiennika dewiatora ma postać: 1 1 é 2 2 2ù2 1 ê( 1 2) ( 2 3) ( 3 1) ú F = F = s - s + s - s + s -s, (2.7) 15 êë úû a eliptyzną powierzhnię zniszzenia S opisano na podstawie rozważań geometryznyh we współrzędnyh biegunowyh r, q wyrażeniem: q + - ù t t t t t ( ) q é ( ) êë ( ) ( r - r ) os q + ( r -2r t t) 2r r r os r 2r r 4 r r os 5r 4rr ú S = S = û 1 2, (2.8) przy zym wartość kąta Lodego q odpowiada trzeiemu niezmiennikowi dewiatora i zależy od względnyh wartośi naprężeń głównyh: 2s -s -s os q =. (2.9) 1 é 2 2 2ù2 2 ( s - s 1 2) + ( s - s 2 3) + ( s -s 3 1) êë úû r s q na dwie parabole drugiego stopnia, wzdłuż Rozkładają funkję ( ) h, południka roziągania dla q = 0 i śiskania dla q = 60 otrzymujemy: 2 r = a + a x + a x, t r = b + b x + b x, (2.10) s x =, gdzie: s - oblizono na podstawie równania (2.6a), a nieznane wartośi parametrów h a, a, a, b, b, b określono rozwiązują liniowe układy równań h f 25
26 Złożony stan jednoosiowego śiskania z dwuosiowym roziąganiem, w którym s = s > s, jest opisany równaniem (2.9), gdy wartość kąta Lodego q = 0. Złożony stan jednoosiowego roziągania z dwuosiowym śiskaniem, w którym s > s = s, jest opisany równaniem (2.9), gdy wartość kąta Lodego q = 60. Wszystkie inne złożone stany naprężenia powstają dla wartośi kątów z przedziału 0 q 60. Powierzhnia granizna S oblizona z równania (2.8) odpowiada promieniowi r 1 t i przebiega wzdłuż południka roziągania r dla kąta Lodego q = 0, natomiast dla kąta Lodego t q = 60, S odpowiada r 1 i przebiega wzdłuż południka śiskania r. Powierzhnię granizną i interpretaję grafizną promieni przekroju dewiatorowego r, r w zależnośi od parametrów wytrzymałośiowyh x i kąta t Lodego q przedstawiono na Rys zp /f (a) (b) a f 2 xp yp zp r f r t r r t r r r t yp /f f 1 r t b f b t f t 0 xp /f Rys Konstrukja pięioparametrowej powierzhni graniznej: (a) w obszarze naprężeń głównyh i (b) w przekroju hydrostatyznym. Promień przekroju dewiatorowego r t jest określony przez parametry a 0, a 1, a 2 dobrane w taki sposób, aby f, f, f leżały na powierzhni graniznej. t b 1 Parametry znajdujemy na podstawie związków obowiązująyh wzdłuż południka roziągania dla q = 0 : ì F ü 1 ( s f, s s ) = = = t f 2 é1 x x ùì t t a ü 0 F ú ï 1 2 ( s 0, s s f ) 1 x x úï ï a ï í = = =- ï b ý= b b í 1ý, (2.11) f 2 1 x x a ê 1 1 ú 2 F 1 a a ë ûïî ïþ ( s s, s s s f =- = =- - 1 h 2 3 h 1) f ïî ïþ 26
27 2 3 a =-x a -x a - x, 0 b 1 b 2 b 10 a a ( x x ) =- + a + 1 t b 2 2 = x x t t + x - x ( + 2 )- ( - ) + 3 ( x - x )( x + x )( x + x ) x x x x x x xx t b t b t b b b t b t 1 b 1, (2.11a) przy zym parametry wytrzymałośiowe mają wartośi: a f 2f 2f s 2f t b 1 h 1 x =, x =-, x =-x- =- -. (2.11b) t b 1 3f 3f 3f f 3f Promień przekroju dewiatorowego r jest wyrażony przez parametry b 0, b 1, b 2 określone na podstawie zależnośi zahodząyh wzdłuż południka śiskania przy q = 60 : ì F ü 1 ( s s 0, s f ) = = =- f é 1 1ù 2 é1 x x ùì 1 b ü - ì 0 F ú 3 9 b ü ï 0 ï 1 a a 2 2 ( s s s, s s f ï ) 1 x x úï b ï = =- =- - = = 1 x x h h ï í ý í ý b ï í 1ý, (2.12) f x x b ê 0 0ú 2 1 x x F ë ûïî ï b þ ( s = s = s = 0) ï î ïþ ê ë û f ú ïî ïþ 2 b =-xb - x b, ( x x ) 3x b = b +, (2.12a) x x( 3x ) + x2( 3x ) + 3x0 b =-, 2 5 ( 3x )( x + x0)( 3x-1) przy zym parametry wytrzymałośiowe są równe: a f 1 s f, h 2 x =- =- x =- -. (2.12b) 2 3f 3 f 3f Z warunku wspólnego wierzhołka r ( x ) r ( x ) t = =, znajdujemy parametr x, który jest równy dodatniemu pierwiastkowi równania: a + a -4a a r ( x0) = a + a x + a x = 0 x =, (2.13) a 2, 27
28 w którym a 0, a 1, a 2 są oblizone według zależnośi (2.11a, 2.11b). Wartośi f, f dobrano na poziomie stanu hydrostatyznego naprężenia dla konstrukji 1 2 a rzezywistej s. Powierzhnia granizna jest wypukła, jeśli wartośi h parametrów spełniają następująe silnie ogranizająe nierównośi: a > 0, a 0, a 0, b > 0, b 0, b 0, (2.14) rt 0, 5 < < 1, 25. r Model powierzhni graniznej opisany powyżej łatwo redukuje się do prostszyh modeli powierzhni graniznyh. W szzególnyh przypadkah otrzymujemy: ylinder Misesa, a = b, a = b = a = b = 0, stożek Drukera-Pragera, a = b, a = b, a = b = 0, stożek z nieobrotową podstawą, a a 0 1 =, a = b = 0, 2 2 b b 0 1 stożek z krzywoliniowymi tworząymi i nieobrotową podstawą, a a a = =. b b b Przedstawiony model obrazuje główne ehy zniszzenia betonu i wyznaza stożkową powierzhnię granizną o krzywoliniowyh tworząyh i podstawie złożonej z trzeh eliptyznyh odinków. Wartośi parametrów harakteryzująyh ten model są łatwe do wyznazenia na podstawie standardowyh prób wytrzymałośiowyh. Zawiera on wszystkie trzy niezmienniki naprężeń w równoważnej formie naprężeń średnih s, F i kąt q. h Ponadto zapewnia on gładkość powierzhni graniznej w szerokim zakresie wartośi parametrów i opisuje ztery inne modele powierzhni graniznej mająe zastosowanie w zagadnieniah dotyząyh zniszzenia betonu po odpowiednim ustaleniu stałyh parametrów. Złożony stan naprężenia roziąganie - śiskanie - śiskanie, s ³ 0 ³ s ³ s W stanie roziąganie - śiskanie - śiskanie funkję F zapisujemy w postai: 28
29 1 1 é 2 2 2ù 2 2 ê( 2 3) 2 3ú F = F = s - s + s + s 15 êë úû a S jest definiowane równaniem: ( ) q é ( ) ( ) ( ) os q ( 2 t t), (2.15) æ s ö2p p - p os + p 2p -p 4 p - p os q + 5p -4p p ù t t ê t t t ú 1 1 ë û 2 ç 2 t S = S = - çè f ø p - p + p - p w którym kąt q określamy z równania (2.9), a p, p oblizamy ze wzorów: p a a a, (2.16) t 2 = + +, (2.17) t = p b b b Nieznane wartośi parametrów a, a, a, b, b, b określono zgodnie z równaniami (2.11a-2.12b), dla: 1 = ( s + s 2 3). (2.18) 3 Zarysowanie powstanie w jednej płaszzyźnie prostopadłej do kierunku naprężenia głównego s, gdy spełnione jest kryterium zniszzenia (2.4). 1 Zniszzenie w pozostałym obszarze skutkuje powstaniem rysy poślizgowej, gdyż wszystkie naprężenia główne są tu śiskająe. Ten obraz zniszzenia ma harakter plastyzny i jest określany jako miażdżenie przy śiskaniu. Złożony stan naprężenia roziąganie - roziąganie - śiskanie, s ³ s ³ 0 ³ s W stanie roziąganie-roziąganie-śiskanie funkja F przyjmuje postać: F = F = s, i = 1, 2, (2.19) 3 i a S jest definiowane jako: f æ s ö t 3 S = S = 1 3 f ç + f çè ø. (2.20) Zarysowanie powstanie w dwóh płaszzyznah prostopadłyh do kierunków naprężeń głównyh s, s, gdy spełnione jest kryterium zniszzenia 1 2 (2.4) dla i = 1, 2. Zarysowanie powstanie tylko w jednej płaszzyźnie prostopadłej do kierunku naprężenia głównego s, gdy spełnione jest kryterium 1 zniszzenia dla i = 1. W rzezywistośi w różnyh miejsah obiążonego ośrodka powstaną zarysowania we wzajemnie prostopadłyh kierunkah. Ten obraz zniszzenia bywa określany jako miażdżenie przy śiskaniu, gdy występuje wzdłuż południka śiskania oraz w jego bezpośrednim sąsiedztwie. 29
30 Złożony stan naprężenia roziąganie - roziąganie - roziąganie, s ³ s ³ s ³ W stanie roziąganie - roziąganie - roziąganie funkja F ma postać: F = F = s, i = 1, 2, 3, (2.21) 4 i a S jest definiowane jako: ft S = S =. (2.22) 4 f Zarysowanie powstanie w płaszzyznah prostopadłyh do kierunków naprężeń głównyh s, s, s, gdy kryterium zniszzenia (2.4) jest spełnione dla i = 1, 2, 3. Zarysowanie powstanie w płaszzyznah prostopadłyh do kierunków naprężeń głównyh s, s, gdy kryterium zniszzenia (2.4) jest 1 2 spełnione dla i = 1, 2. Zarysowanie powstanie tylko w płaszzyźnie prostopadłej do kierunku naprężenia głównego s, gdy kryterium zniszzenia 1 (2.4) jest spełnione dla i = 1. Na Rys. 2.4 przedstawiono powierzhnię granizną w dwuosiowym stanie naprężenia po zrzutowaniu na płaszzyznę s - s w obszarze największyh xp yp niezerowyh naprężeń normalnyh s xp, s. Stany bezpieznej pray materiału yp znajdują się wewnątrz tej powierzhni, której ewoluja będzie reprezentować wzmonienie lub osłabienie materiałowe. Osiągnięie przez śieżkę naprężenia powierzhni graniznej skutkuje wzrostem odkształeń bez zmiany naprężenia lub osłabieniem materiałowym opisująym spadek naprężeń. Na powierzhni graniznej natomiast są położone punkty odpowiadająe zniszzeniu w funkji znaku naprężenia normalnego s zp w kierunku z. Fizyznie niemożliwy jest stan, któremu odpowiada punkt położony na zewnątrz ogranizonego obszaru. Jeżeli w kierunkah xy, występuje śiskanie ( s < 0, s < 0 ), a w kierunku z roziąganie ( s > 0 ), to rysa powstanie w płaszzyźnie prostopadłej do zp naprężenia roziągająego s. Materiał zostanie zmiażdżony, gdy wartość zp naprężenia normalnego jest nieznaznie mniejsza lub równa zero ( s 0 ). zp Moduł sprężystośi zmiażdżonego elementu materiału matryy betonowej we wszystkih kierunkah jest równy zero. xp yp 30
31 yp f zarysowanie f t zarysowanie f t xp zp > 0 (zarysowanie lub miażdżenie) zp = 0 (miażdżenie) zp < 0 (miażdżenie) f zarysowanie Rys Powierzhnia granizna w obszarze naprężeń normalnyh w dwuosiowym stanie naprężenia Prawo ewoluji powierzhni graniznej w przestrzeni naprężeń Beton jest materiałem kruhym i harakteryzuje się różnym zahowaniem przy śiskaniu i roziąganiu. Wytrzymałość betonu na roziąganie wynosi od 8 do 15% wytrzymałośi na śiskanie [93]. Prawo ewoluji powierzhni graniznej opisuje zależność pomiędzy naprężeniami a odkształeniami dla betonu w jednoosiowym stanie naprężenia, Rys. 2.5 [8]. Opis zahowania betonu w jednoosiowym stanie naprężenia był od dawna tematem liznyh pra. Spośród nowszyh należy wymienić prae Buyukozturka [19], Chena A.T.C. i Chena W.F. [22] oraz monografię Godykiego-Ćwirko [46]. Funkja naprężenie - odkształenie przy śiskaniu jest liniowa do ok. 30 % wartośi graniznej wytrzymałośi na śiskanie f. Powyżej tego punktu naprężenia rosną stopniowo do osiągnięia wytrzymałośi na śiskanie. Po jej osiągnięiu beton ulega osłabieniu, a gałąź krzywej opada aż do zmiażdżenia przy graniznym odkształeniu e. Obserwowana opadająa zęść krzywej nie u jest obiektywną ehą materiałową [23], lez uzależniona jest warunkami eksperymentu. Przede wszystkim zależy od sztywnośi maszyny wytrzymałośiowej w odniesieniu do sztywnośi badanego elementu i prędkośi odkształeń [21]. Jeżeli krzywa naprężenie - odkształenie końzy się raptownie w wierzhołku wykresu, to materiał jest klasyfikowany jako kruhy lub też proes badania był prowadzony ze zbyt dużą prędkośią. Im mniej stroma jest opadająa zęść krzywej, tym bardziej materiał jest plastyzny, a gdy nahylenie wykresu poza wartośią szzytową jest zerowe to materiał jest oeniany jako idealnie - plastyzny. Krzywa naprężenie - odkształenie dla betonu przy roziąganiu ma kształt podobny jak przy śiskaniu i jest w przybliżeniu liniowa do graniznej 31
32 wytrzymałośi na roziąganie f. Po osiągnięiu tej wartośi rozwijają się t główne rysy w betonie, a wytrzymałość spada do zera. f granizne naprężenie śiskająe E osłabienie betonu śiskanie odkształenie przy graniznym naprężeniu t t1 roziąganie f t - granizna wytrzymałość betonu na roziąganie 1 u t Rys Zależność naprężenie - odkształenie dla betonu w stanie jednoosiowego śiskania i roziągania [8]. Przy projektowaniu konstrukji żelbetowyh trzeba brać pod uwagę ały wykres naprężenie - odkształenie, zęsto w formie wyidealizowanej. Z tego względu szzególnie interesująe jest zahowanie betonu o wysokiej wytrzymałośi, gdyż na wszystkih etapah obiążenia następuje w nim znaznie mniejszy rozwój zarysowania niż w betonie o normalnej wytrzymałośi [93]. W efekie większa zęść krzywej naprężenie - odkształenie ma przebieg liniowy i jest bardziej stroma do znaznej zęśi wytrzymałośi graniznej. Również opadająa zęść krzywej jest mono nahylona, o świadzy o tym, że beton o wysokiej wytrzymałośi jest bardziej kruhy niż beton zwykły. Jednak pozorna kruhość betonu wysokiej wytrzymałośi nie zawsze znajduje odzwieriedlenie w zahowaniu elementów żelbetowyh z niego wykonanyh. Wielu badazy, np. Pee i Fabbroino [36, 84], Kamińska [55, 56], Lambotte i Taerwe [63], Larrard i in. [64], Lin i in. [65], Mansur i in. [71, 88], Olsen i in [80], Pendyala i in. [85], Sarker i in. [91], Tognon i in. [108], Uzumeri I Basset [110], Weiss i in. [113] stwierdziło, że wraz ze wzrostem wytrzymałośi betonu następuje wzrost iągliwośi konstrukji żelbetowej. Zahowanie betonu o wysokiej wytrzymałośi zasługuje na uwagę również z powodu zmian wielkośi odkształeń na różnyh poziomah naprężenia. Jednakże przy tym samym naprężeniu, niezależnie od wytrzymałośi, moniejszy beton wykazuje mniejsze odkształenie. Równania opisująe krzywą zależnośi pomiędzy odkształeniami i naprężeniami są bardzo użytezne w zastosowaniah do analizy konstrukji. Podejmowane były lizne próby wyprowadzania takih równań, ale według Neville [77] prawdopodobnie najbardziej udaną propozyję krzywej naprężenie - odkształenie dla betonu zwykłego w stanie jednoosiowego 32
Analiza numeryczna niesprężystych belek żelbetowych z betonu wysokiej wytrzymałości o niskim stopniu zbrojenia
Budownitwo i Arhitektura 4 (29) 5-3 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi o niskim stopniu zbrojenia Politehnika Lubelska, Wydział Inżynierii Budowlanej i Sanitarnej,
Bardziej szczegółowoNośność przekroju pala żelbetowego 400x400mm wg PN-EN 1992 (EC2) Beton C40/50, stal zbrojeniowa f yk =500MPa, 12#12mm
Nośność przekroju pala żelbetowego 400400mm wg PN-EN 199 (EC) Beton C40/50, stal zbrojeniowa =500MPa, 1#1mm 5000 Czyste śiskanie bez wybozenia (4476kN, 0kNm) Śiskanie mimośrodowe =d 1 (3007kN, 08kNm) Siła
Bardziej szczegółowoRys. 1. Przekrój konstrukcji wzmacnianej. Pole przekroju zbrojenia głównego: A s = A s1 = 2476 mm 2 Odległość zbrojenia głównego: od włókien dolnych
Spis treśi 1. DANE OGÓNE 3 1.1. OPIS KONSTUKCJI WZACNIANEJ 3 1.. DANE WYJŚCIOWE 3 1.3. CECHY ATEIAŁOWE 3. NOŚNOŚĆ KONSTUKCJI PZED WZOCNIENIE 4 3. ZAKES WZOCNIENIA 5 4. WZOCNIENIE KONSTUKCJI 5 4.1. PZYJĘCIE
Bardziej szczegółowoTemat III Założenia analizy i obliczeń zginanych konstrukcji żelbetowych.
Temat III Założenia analizy i oblizeń zginanyh konstrukji żelbetowyh. 1. Eektywna rozpiętość belek i płyt. omenty podporowe l e l n a 1 a Jeżeli belka lub płyta jest monolityznie połązona z podporami,
Bardziej szczegółowoDOŚWIADCZALNE BADANIA CIĄGLIWEGO PĘKANIA PRÓBEK Z KARBAMI WYKONANYCH ZE STOPÓW ALUMINIUM EN-AW 2024 ORAZ EN-AW 2007
Łukasz Derpeński, Andrzej Seweryn Doświadzalne badania iągliwego pękania próbek z karbami wykonanyh ze stopów aluminium EN-AW 2007 oraz EN-AW 2024 DOŚWIADCZALNE BADANIA CIĄGLIWEGO PĘKANIA PRÓBEK Z KARBAMI
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy
FUNKCJA KWADRATOWA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Wykres funkji y = ax + bx+ przehodzi przez punkty: A = (, ), B= (, ), C = (,) a) Wyznaz współzynniki a, b, (6 pkt) b) Zapisz wzór funkji w postai kanoniznej
Bardziej szczegółowoPrzykład projektowania geotechnicznego pala prefabrykowanego wg PN-EN na podstawie wyników sondowania CPT metodą LCPC (francuską)
Przykład projektowania geotehniznego pala prefabrykowanego wg PN-EN 1997-1 na podstawie wyników sondowania CPT metodą LCPC (franuską) Data: 2013-04-19 Opraował: Dariusz Sobala, dr inż. Lizba stron: 8 Zadanie
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe. 1 Powinowactwo prostokątne. 2 Elipsa. Niech l będzie ustaloną prostą i k ustaloną liczbą dodatnią.
Krzywe stożkowe 1 Powinowatwo prostokątne Nieh l będzie ustaloną prostą i k ustaloną lizbą dodatnią. Definija 1.1. Powinowatwem prostokątnym o osi l i stosunku k nazywamy przekształenie płaszzyzny, które
Bardziej szczegółowoNOŚNOŚĆ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO WEDŁUG EUROKODU 7
Geotehnizne zagadnienia realizaji budowli drogowyh projekt, dr inż. Ireneusz Dyka Kierunek studiów: Budownitwo, studia I stopnia Rok IV, sem.vii 19 NOŚNOŚĆ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO WEDŁUG EUROKODU 7 Według
Bardziej szczegółowoO WYMIAROWANIU ŻELBETOWYCH PRZEKROJÓW MIMOŚRODOWO ŚCISKANYCH ZBROJONYCH STALĄ O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI
Maria WŁODARCZYK, Joanna DOBOSZ O WYMIAROWANIU ŻELBETOWYCH PRZEKROJÓW MIMOŚRODOWO ŚCISKANYCH ZBROJONYCH STALĄ O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI Streszzenie W artykule omówiono wybrane aspekty nośnośi żelbetowyh
Bardziej szczegółowoModel materiału zastępczego w analizie zginanego przekroju żelbetowego
Bi u l e t y n WAT Vo l. LXIV, Nr 4, 015 odel materiału zastępzego w analizie zginanego przekroju żelbetowego Jarosław Siwiński, Adam Stolarski Wojskowa Akademia Tehnizna, Wydział Inżynierii Lądowej i
Bardziej szczegółowo1. Wprowadzenie. Jan Walaszczyk*, Stanisław Hachaj*, Andrzej Barnat* Górnictwo i Geoinżynieria Rok 29 Zeszyt 3/1 2005
Górnitwo i Geoinżynieria Rok 29 Zeszyt 3/1 2005 Jan Walaszzyk*, Stanisław Hahaj*, Andrzej Barnat* KOMPUTEROWA SYMULACJA ZMIAN ENERGII WŁAŚCIWEJ W POLU FILAROWO-KOMOROWYM SPOWODOWANEJ POSTĘPUJĄCĄ EKSPLOATACJĄ
Bardziej szczegółowo9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co
Bardziej szczegółowoObliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojów poprzecznych pręta
5 Oblizanie harakterystyk geometryznyh przekrojów poprzeznyh pręta Zadanie 5.. Wyznazyć główne entralne momenty bezwładnośi przekroju poprzeznego dwuteownika o wymiarah 9 6 m (rys. 5.. Rozpatrywany przekrój
Bardziej szczegółowoWykład 30 Szczególne przekształcenie Lorentza
Wykład Szzególne przekształenie Lorentza Szzególnym przekształeniem Lorentza (właśiwym, zahowująym kierunek zasu) nazywa się przekształenie między dwoma inerjalnymi układami odniesienia K i K w przypadku
Bardziej szczegółowoOCENA STOPNIA USZKODZENIA ZMĘCZENIOWEGO STALI DLA ENERGETYKI Z ZASTOSOWANIEM METODY PRĄDÓW WIROWYCH
OCENA STOPNIA USZKODZENIA ZMĘCZENIOWEGO STALI DLA ENERGETYKI Z ZASTOSOWANIEM METODY PRĄDÓW WIROWYCH Dominik KUKLA, Instytut Podstawowyh Problemów Tehniki PAN, dkukla@ippt.gov.pl Marin CIESIELSKI, Wydział
Bardziej szczegółowoPROPOZYCJA PROSTEJ METODY OCENY STATECZNOŚCI ŚCIANEK SZCZELNYCH NIEKOTWIONYCH PROPOSITION OF A SIMPLE METHOD FOR A CANTILEVER WALL STABILITY ANALYSIS
ALEKSANDER URBAŃSKI, MICHAŁ GRODECKI, KAZIMIERZ PISZCZEK PROPOZYCJA PROSTEJ METODY OCENY STATECZNOŚCI ŚCIANEK SZCZELNYCH NIEKOTWIONYCH PROPOSITION OF A SIMPLE METHOD FOR A CANTILEVER WALL STABILITY ANALYSIS
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Kluz punktowania zadań zamkniętyh Numer zadania
Bardziej szczegółowoCieplne Maszyny Przepływowe. Temat 6 Przepływ przez sprężarki osiowe. Część I Podstawy teorii Cieplnych Maszyn Przepływowych. 6.1.
73 6.. Wstęp W sprężarkah pole przepływu jednowymiarowego rośnie tj. (α > α ) o prowadzi do: - oderwania warstwy przyśiennej - wzrostu strat i redukji odhylenia strugi - redukją przyrostu iśnienia statyznego.
Bardziej szczegółowoNIELOKALNE NAPRĘŻENIOWE KRYTERIUM PĘKANIA MATERIAŁÓW ORTOTROPOWYCH NA PRZYKŁADZIE DREWNA
MODELOWANIE INŻYNIESKIE ISSN 1896-771X 33, s. 139-144, Gliwie 007 NIELOKALNE NAPĘŻENIOWE KYTEIUM PĘKANIA MATEIAŁÓW OTOTOPOWYCH NA PZYKŁADZIE DEWNA MAEK OMANOWICZ, ANDZEJ SEWEYN Katedra Mehaniki i Informatyki
Bardziej szczegółowoSymulacja plastycznego zakresu pracy stali konstrukcyjnych w złożonym stanie naprężeń w oparciu o model Gursona-Tvergaarda-Needlemana
Symulaja astyznego zakresu pray stali konstrukyjnyh w złożonym stanie naprężeń w opariu o model Gursona-Tvergaarda-Needlana Dr inż. Paweł Kossakowski, Katedra Wytrzymałośi Materiałów i Konstrukji Betonowyh,
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoDefinicja szybkości reakcji
Definija szybkośi reakji Szybkość reakji definiuje się jako stosunek zmiany stężenia substratów lub produktów reakji do zasu potrzebnego do zajśia tej zmiany. v zas zmiana stężenia potrzebny do zajśia
Bardziej szczegółowoBADANIA WPŁYWU SZTYWNOŚCI SPRĘŻYNY POWROTNEJ SUWADŁA W ASPEKCIE DYNAMICZNEJ ODPOWIEDZI UKŁADU AUTOMATYKI KARABINKA STANDARDOWEGO
Dr inż. Ryszard WOŹNIAK Mgr inż. Paweł PŁATEK Instytut Tehniki Uzbrojenia Wydział Mehatroniki, Wojskowa Akademia Tehnizna Dr inż. Jerzy MAŁACHOWSKI Mgr inż. Krzysztof DAMAZIAK Katedra Mehaniki i Informatyki
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki relatywistycznej
Podstawy Proesów i Konstrukji Inżynierskih Elementy mehaniki relatywistyznej 1 Czym zajmuje się teoria względnośi? Teoria względnośi to pomiary zdarzeń ustalenia, gdzie i kiedy one zahodzą, a także jaka
Bardziej szczegółowoSymulacja plastycznego zakresu pracy stali konstrukcyjnych w złożonym stanie naprężeń w oparciu o model Gursona-Tvergaarda-Needlemana
Symulaja plastyznego zakresu pray stali konstrukyjnyh w złożonym stanie naprężeń w opariu o model Gursona-Tvergaarda-Needlemana Dr inż. Paweł Kossakowski, Katedra Wytrzymałośi Materiałów i Konstrukji Betonowyh,
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE NAPRĘŻENIA UPLASTYCZNIAJĄCEGO STALI W STANIE PÓŁCIEKŁYM
156 Prae IMŻ 1 (2010) Mirosław GŁOWACKI, Marin HOJNY Akademia Górnizo-Hutniza, Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Roman KUZIAK, Władysław ZALECKI Instytut Metalurgii Żelaza im. St. Staszia
Bardziej szczegółowoDotyczy PN-EN :2006 Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
POPRAWKA do POLSKIEJ NORMY P o l s k i K o m i t e t N o r m a l i z a y j n y ICS 91.010.30; 91.080.10 PN-EN 1993-1-1:2006/AC zerwie 2009 Wprowadza EN 1993-1-1:2005/AC:2009, IDT Dotyzy PN-EN 1993-1-1:2006
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 362. Wyznaczanie ogniskowej soczewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny za pomocą sferometru. Odległość przedmiotu od ekranu, [m] l
Nazwisko Data Nr na liśie Imię Wydział Ćwizenie 36 Dzień tyg Godzina Wyznazanie ogniskowej sozewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny za pomoą serometr I Wyznazanie ogniskowej sozewki skpiająej
Bardziej szczegółowoANDRZEJ SERUGA, MARCIN MIDRO *
ANDRZEJ SERUGA MARCIN MIDRO * analiza zarysowania otuliny betonowej w wyniku korozji zbrojenia analysis of onrete over raking DUe to reinforement orrosion Streszzenie Abstrat Artykuł jest poświeony zagadnieniom
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają
Bardziej szczegółowoPRAKTYCZNE OKREŚLANIE PARAMETRÓW BALISTYCZNYCH SILNIKA RAKIETOWEGO NA PALIWO STAŁE
mgr inż. Jerzy NOWICKI Wojskowy Instytut Tehnizny Uzbrojenia PRAKTYCZNE OKREŚLANIE PARAMETRÓW BALISTYCZNYCH SILNIKA RAKIETOWEGO NA PALIWO STAŁE Streszzenie: W artykule przedstawiono metodę praktyznego
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE LOSOWEJ METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH DO ANALIZY LOSOWEJ ZMIENNOŚCI NOŚNOŚCI GRANICZNEJ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO
Górnitwo i Geoinżynieria Rok 33 Zeszyt 1 2009 Joanna Piezyńska*, Wojieh Puła* ZASTOSOWANIE LOSOWEJ METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH DO ANALIZY LOSOWEJ ZMIENNOŚCI NOŚNOŚCI GRANICZNEJ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)
Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich
Bardziej szczegółowoLaboratorium Inżynierii bioreaktorów Ćwiczenie 2: Rozkład czasu przybywania w reaktorach przepływowych
EL Laboratorium Inżynierii bioreaktorów Ćwizenie 2: Rozkład zasu przybywania w reaktorah przepływowyh Wyznazenie rzezywistego rozkładu zasu przebywania w reaktorze mieszalnikowym metodą skokową oraz w
Bardziej szczegółowo4. WYZNACZANIE PARAMETRÓW HYDRAULICZNYCH STUDNI
4. WYZNACZANIE PARAMETRÓW HYDRAULICZNYCH STUDNI Na wielkość depresji zwieriadła wody w pompowanej studni wpływ mają zjawiska hydraulizne wywołane przepływem laminarnym, występująym w ujętej warstwie wodonośnej
Bardziej szczegółowo17. 17. Modele materiałów
7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoInformacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności
Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,
Bardziej szczegółowoSpis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia
Bardziej szczegółowoZgodnie z pakietem energetyczno-klimatycznym, nałożonym przez
Projektowanie posadowienia elektrowni wiatrowyh 70 Adam Zaremba Projektant, Kierownik Działu Projektowego, Menard Polska Sp. z o.o. PARTNER TEMATU Zgodnie z pakietem energetyzno-klimatyznym, nałożonym
Bardziej szczegółowoLXIV Olimpiada Matematyczna
LXIV Olimpiada Matematyzna Rozwiązania zadań konkursowyh zawodów stopnia drugiego 22 lutego 203 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie. Dane są lizby ałkowite b i oraz trójmian f(x) = x 2 +bx+. Udowodnić,
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia
Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości
Bardziej szczegółowov! są zupełnie niezależne.
Zasada ekwiartyji energii 7-7. Zasada ekwiartyji energii ównowaga termizna układów Zerowa zasada termodynamiki Jeżeli układy A i B oraz A i są arami w równowadze termiznej, to również układy B i są w równowadze
Bardziej szczegółowoDr inŝ. Janusz Eichler Dr inŝ. Jacek Kasperski. ODSTĘPSTWA RZECZYWISTEGO OBIEGU ABSORPCYJNO-DYFUZYJNEGO OD OBIEGU TEORETYCZNEGO (część II).
Dr inŝ. Janusz Eihler Dr inŝ. Jaek Kasperski Zakład Chłodnitwa i Kriogeniki Instytut ehniki Cieplnej i Mehaniki Płynów I-20 Politehnika Wroławska ODSĘPSWA RZECZYWISEGO OBIEGU ABSORPCYJNO-DYFUZYJNEGO OD
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne
Instrukja do ćwizeń laboratoryjnyh z przedmiotu: adania operayjne Temat ćwizenia: Komputerowe wspomaganie rozwiązywania zadań programowania liniowego, dobór struktury asortymentowej Zahodniopomorski Uniwersytet
Bardziej szczegółowoOCENA STOPNIA USZKODZENIA EKSPLOATACYJNEGO MATERIAŁU RUROCIĄGU PAROWEGO NA PODSTAWIE ANALIZY ZMIAN WŁAŚCIWOŚCI ZMĘCZENIOWYCH I MIKROSTRUKTURY
ata mehania et automatia, vol.5 no.3 (2011) OCENA STOPNIA USZKODZENIA EKSPLOATACYJNEGO MATERIAŁU RUROCIĄGU PAROWEGO NA PODSTAWIE ANALIZY ZMIAN WŁAŚCIWOŚCI ZMĘCZENIOWYCH I MIKROSTRUKTURY Dominik KUKLA *,
Bardziej szczegółowoPaleZbrojenie 5.0. Instrukcja użytkowania
Instrukcja użytkowania ZAWARTOŚĆ INSTRUKCJI UŻYTKOWANIA: 1. WPROWADZENIE 3 2. TERMINOLOGIA 3 3. PRZEZNACZENIE PROGRAMU 3 4. WPROWADZENIE DANYCH ZAKŁADKA DANE 4 5. ZASADY WYMIAROWANIA PRZEKROJU PALA 8 5.1.
Bardziej szczegółowoWektory, układ współrzędnych
Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
Bardziej szczegółowoInżynieria bioreaktorów - Rozkład czasu przybywania w reaktorach (2018/2019)
Inżynieria bioreaktorów - Rozkład zasu przybywania w reaktorah (218/219) CEL Wyznazenie rzezywistego rozkładu zasu przebywania w reaktorze mieszalnikowym metodą skokową i w dwóh reaktorah rurowyh metodą
Bardziej szczegółowoOPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARU
OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARU 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwizenia jest poznanie podstawowyh zagadnień związanyh z opraowaniem wyników pomiaru.. WPROWADZENIE.1. Wstęp Umiejętność właśiwego opraowania wyników
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoSkrypt 18. Trygonometria
Projekt Innowayjny program nauzania matematyki dla lieów ogólnokształąyh współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego Skrypt 18 Trygonometria 1. Definije i wartośi
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA
Bardziej szczegółowoAnaliza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali
Poradnik Inżyniera Nr 18 Aktualizacja: 09/2016 Analiza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali Program: Plik powiązany: Grupa pali Demo_manual_18.gsp Celem niniejszego przewodnika jest przedstawienie
Bardziej szczegółowoKATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE W KLASIE 6
KTLOG WYMGŃ PROGRMOWYH N POSZZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE W KLSIE 6 Przedstawiamy, jakie umiejętnośi z danego działu powinien zdobyć uzeń, aby uzyskać poszzególne stopnie. Na oenę dopuszzająy uzeń powinien
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Rozciąganie/ ściskanie prętów prostych Naprężenia i odkształcenia, statyczna próba rozciągania i ściskania, właściwości mechaniczne, projektowanie elementów obciążonych osiowo.
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne ma tę własność, że jego dywergencja jest wszędzie równa zeru.
Dywergenja i rotaja pola magnetyznego Linie wektora B nie mają pozątku, ani końa. tąd wynika twierdzenie Gaussa dla wektora B : Φ = B d = B trumień wektora indukji magnetyznej przez dowolną powierzhnię
Bardziej szczegółowoPrzykład: Nośność podstawy słupa ściskanego osiowo. Dane. Sprawdzenie wytrzymałości betonu na ściskanie. α cc = 1,0.
Dokument Ref: Str. 1 z 4 Example: Column base onnetion under axial ompression śiskanego osiowo Dot. Euroodu EN 1993-1-8 Wykonał Ivor RYAN Data Jan 006 Sprawdził Alain BUREAU Data Jan 006 Przykład: Nośność
Bardziej szczegółowoDla powstania pola magnetycznego konieczny jest ruch ładunków elektrycznych, a więc przepływ prądu elektrycznego, natomiast pole elektryczne powstaje
Pole elektryzne Dla powstania pola magnetyznego koniezny jest ruh ładunków elektryznyh, a wię przepływ prądu elektryznego, natomiast pole elektryzne powstaje zawsze w przestrzeni otazająej ładunki elektryzne,
Bardziej szczegółowo8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny
Bardziej szczegółowoKonstrukcje typowe. Rusztowania ramowe typ PIONART model BAL
Konstrukje typowe Rusztowania ramowe typ Konstrukje typowe Rusztowania ramowe typ Opraowanie to stanowi wyiąg z DTR PIONART jest złonkiem Polskiej Izy Gospodarzej Rusztowań Copyright y PIONART, Zarze
Bardziej szczegółowoWpływ energii mieszania na współczynnik wnikania masy w układzie ciało stałe - ciecz
Wpływ energii mieszania na współzynnik wnikania masy w układzie iało stałe - iez 1.Wprowadzenie Rozpuszzanie iała stałego w mieszalnikah stanowi jedną z prostszyh metod realizaji proesu wymiany masy od
Bardziej szczegółowoNieniszczące badania wytrzymałości betonu w konstrukcjach mostowych metoda sklerometryczna. Podsumowanie
stwy nasypu wykonane są z gruntów spoistyh, a w szzególnośi gruntów o małej spoistośi, może to prowadzić do utraty stateznośi nasypu. Podsumowanie Fot. 3. Odinek drogi krajowej nr 63 po wykonaniu pra zabezpiezająyh
Bardziej szczegółowoPROPOZYCJA OKREŚLANIA EFEKTYWNEJ WYTRZYMAŁOŚCI BETONU WĘZŁÓW WEWNĘTRZNYCH POŁĄCZEŃ PŁYTOWO SŁUPOWYCH
CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXIII, z. 63 (1/I/16), styzeń-marze 2016, s. 255-262 Mihał GOŁDYN 1 PROPOZYCJA
Bardziej szczegółowoProjekt belki zespolonej
Pomoce dydaktyczne: - norma PN-EN 1994-1-1 Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych. Reguły ogólne i reguły dla budynków. - norma PN-EN 199-1-1 Projektowanie konstrukcji z betonu. Reguły
Bardziej szczegółowoDefinicja szybkości reakcji. Szybkości reakcji. Równanie kinetyczne reakcji ...
Definija szybkośi reakji Szybkość reakji definiuje się jako stosunek zmiany stężenia substratów lub produktów reakji do zasu potrzebnego do zajśia tej zmiany v zmiana stężenia zas potrzebny do zajśia dx
Bardziej szczegółowoInŜynieria Maszyn, R. 15, z. 4, Małgorzata SIKORA 1. SZTYWNOŚĆ ZESPOŁU WRZECIONOWEGO ŁOśYSKOWANEGO HYDROSTATYCZNIE 1. WSTĘP
InŜynieria Maszyn, R. 5, z. 4, 2 szlifierka, łoŝysko hydrostatyzne, zespół wrzeionowy, sztywność Małgorzata SIKORA SZTYWNOŚĆ ZESPOŁU WRZECIONOWEGO ŁOśYSKOWANEGO HYDROSTATYCZNIE Przedstawiono wyniki analizy
Bardziej szczegółowoAutor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE
METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody
Bardziej szczegółowo2... Pˆ - teoretyczna wielkość produkcji (wynikająca z modelu). X X,..., b b,...,
Główne zynniki produkji w teorii ekonoii: praa żywa (oznazenia: L, ), praa uprzediotowiona (kapitał) (oznazenia: K, ), zieia (zwłaszza w rolnitwie). Funkja produkji Cobba-Douglasa: b b b P ˆ b... k 0 k
Bardziej szczegółowoInformacje uzupełniające: Długości wyboczeniowe słupów: podejście ścisłe. Spis treści
nformaje uzupełniająe: Długośi wybozeniowe słupów: podejśie śisłe Podano informaje dotyząe oblizania długośi wybozeniowej słupów, uŝywanej do sprawdzenia słupa na wybozenie (z zastosowaniem smukłośi).
Bardziej szczegółowoKonstrukcje typowe. Rusztowania ramowe typ PIONART model PUM
Konstrukje typowe Rusztowania ramowe Konstrukje typowe Rusztowania ramowe Opraowanie to stanowi wyiąg z DTR PIONART jest złonkiem Polskiej Izy Gospodarzej Rusztowań Copyright y PIONART, Zarze 2013. Wszelkie
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA WARSZAWSKA. Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych ROZPRAWA DOKTORSKA. mgr inż. Paweł Chudzian
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Elektroniki i Tehnik Informayjnyh ROZPRAWA DOKTORSKA mgr inż. Paweł Chudzian Optymalizaja parametrów przekształenia jadrowego w zadaniah klasyfikaji Promotor prof. nzw.
Bardziej szczegółowoDefinicja szybkości reakcji
Definija szybkośi reakji Szybkość reakji definiuje się jako stosunek zmiany stężenia substratów lub produktów reakji do zasu potrzebnego do zajśia tej zmiany. v zas zmiana stężenia potrzebny do zajśia
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Bardziej szczegółowo3. Oddziaływania na konstrukcje hal i wiat
3. Oddziaływania na konstrukje hal i wiat 3.1. Wprowadzenie W projektowaniu hal należy uwzględnić poniżej podane obiążenia i oddziaływania: stałe (od iężaru własnego elementów konstrukji nośnej, iężaru
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej
Bardziej szczegółowoOlga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, ichał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 00/003 ECHANIKA UDOWLI WSTĘP. echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej, zajmujący się statyką, statecznością
Bardziej szczegółowoZarysowanie ścian zbiorników żelbetowych : teoria i projektowanie / Mariusz Zych. Kraków, Spis treści
Zarysowanie ścian zbiorników żelbetowych : teoria i projektowanie / Mariusz Zych. Kraków, 2017 Spis treści Ważniejsze oznaczenia 9 Przedmowa 17 1. Przyczyny i mechanizm zarysowania 18 1.1. Wstęp 18 1.2.
Bardziej szczegółowoBETON SKRĘPOWANY W UJĘCIU POLSKICH NORM. 1. Wstęp. Piotr SOKAL * Politechnika Krakowska
Piotr SOKL * Politehnika Krakowska BETON SKRĘPOWNY W UJĘCIU POLSKICH NORM 1. Wstęp Jedną z podstawowyh właśiwośi mehaniznyh beton jest jego wytrzymałość na śiskanie. Badania wytrzymałośiowe beton obenie
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoDr inż. Grzegorz DZIDO
Gliwie, 16.12.2015 WYKAZ TEMATÓW PROJEKTÓW INŻYNIERSKICH na rok akademiki 2016/2017 kierunki: Chemizna i Proesowa, Makro Dr inż. Grzegorz DZIDO Projekt instalaji laboratoryjnej do badań nad wnikaniem iepła
Bardziej szczegółowo5. Indeksy materiałowe
5. Indeksy materiałowe 5.1. Obciążenia i odkształcenia Na poprzednich zajęciach poznaliśmy różne możliwe typy obciążenia materiału. Na bieżących, skupimy się na zagadnieniu projektowania materiałów tak,
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoROLA BADAŃ MODELOWYCH W OPRACOWANIU TECHNOLOGII WYTWARZANIA BLACH CIENKICH DO CIĘCIA LASEROWEGO
2 Prae Instytutu Metalurgii Żelaza nr 1/2016, tom 68 Roman KUZIAK, Valeriy PIDVYSOTS KYY, Artur MAZUR, Władysław ZALECKI, Andrij MILENIN, Maiej PIETRZYK ROLA BADAŃ MODELOWYCH W OPRACOWANIU TECHNOLOGII
Bardziej szczegółowoSystemy transportu bliskiego
ystemy transportu bliskieo Dźwinie Oólne zasady projektowania (wybrane zaadnienia) 1) złąza spawane oblizanie w. PN-88/M-6516 ) złąza nitowane i śrubowe oblizanie w. PN-91/M-6517 Motto prezentaji epetitio
Bardziej szczegółowoANALIZY WYTĘŻENIA BELEK ŻELBETOWYCH Z BETONU O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 5, t. 1, rok ISSN 196-771X ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK ŻELBETOWYCH Z BETONU O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI Piotr Smarzewski 1a 1 Katedra Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Lubelska e-mail:
Bardziej szczegółowoPRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU
PROGRAM ZESP1 (12.91) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do analizy wytrzymałościowej belek stalowych współpracujących z płytą żelbetową. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do
Bardziej szczegółowoKatedra Chemii Fizycznej Uniwersytetu Łódzkiego. Izoterma rozpuszczalności w układzie trójskładnikowym. opracowała dr B. Nowicka
Katedra Cheii Fizyznej Uniwersytetu Łódzkiego Izotera rozpuszzalnośi w układzie trójskładnikowy opraowała dr B. Nowika ćwizenie nr 28 Zakres zagadnień obowiązująyh do ćwizenia 1. Stan równowagi układu
Bardziej szczegółowoOddziaływanie membranowe w projektowaniu na warunki pożarowe płyt zespolonych z pełnymi i ażurowymi belkami stalowymi Waloryzacja
Oddziaływanie membranowe w projektowaniu na warunki pożarowe płyt z pełnymi i ażurowymi belkami stalowymi Waloryzacja Praca naukowa finansowana ze środków finansowych na naukę w roku 2012 przyznanych na
Bardziej szczegółowoElementy optyki. Odbicie i załamanie fal Zasada Huygensa Zasada Fermata Interferencja Dyfrakcja Siatka dyfrakcyjna
Elementy optyki Odbiie i załamanie fal Zasada Huygensa Zasada Fermata Interferenja Dyfrakja Siatka dyfrakyjna 1 Odbiie i załamanie fal elektromagnetyznyh na graniah dwóh ośrodków Normalna do powierzhni
Bardziej szczegółowo1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych. Anna Stankiewicz
1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych Anna Stankiewicz e-mail: astankiewicz@l5.pk.edu.pl Tematyka zajęć Przykłady konstrukcji inżynierskich Klasyfikacja ustrojów powierzchniowych Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoELEMENTY SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI. I. Zasada względności: Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich
ELEMENTY SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI Postulaty Einsteina (95 r) I Zasada względnośi: Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkih inerjalnyh układah odniesienia lub : Równania wyrażająe prawa
Bardziej szczegółowo4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości
4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 4.2. Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5.
Bardziej szczegółowoSiły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowo