ZASTOSOWANIE LOSOWEJ METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH DO ANALIZY LOSOWEJ ZMIENNOŚCI NOŚNOŚCI GRANICZNEJ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO

Transkrypt

1 Górnitwo i Geoinżynieria Rok 33 Zeszyt Joanna Piezyńska*, Wojieh Puła* ZASTOSOWANIE LOSOWEJ METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH DO ANALIZY LOSOWEJ ZMIENNOŚCI NOŚNOŚCI GRANICZNEJ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO 1. Wprowadzenie Projektowanie posadowienia bezpośredniego opiera się na badaniu nośnośi graniznej podłoża. Losowy harakter poszzególnyh parametrów stał się podstawą do rozważań nad losową zmiennośią nośnośi. Jedną z metod pozwalająą odnieść się do powyższego problemu jest Losowa Metoda Elementów Skońzonyh (ang. The Random Finite Element Method) (Griffiths i Fenton [6], Fenton i Griffiths [3]) znana, jako RFEM. RFEM jest metodą łąząą teorię pól losowyh (por. np. [2]) z deterministyzną metodą elementów skońzonyh. Uwzględnia ona wartośi średnie, odhylenia standardowe a także skale fluktuaji parametrów geotehniznyh występująyh w analizowanym problemie. Ponadto parametry losowe są lokalnie uśredniane na obszarze poszzególnyh elementów losowyh. Zwykle stosuje się ją w połązeniu z metodą Monte Carlo, o w rezultaie prowadzi do oszaowań statystyznyh parametrów. Publikaje ytowane powyżej dały pozątek wielu praom skupiająym się wokół problemów geotehniki. W 2001 roku pojawiła się praa Griffithsa i Fentona [7], stosująa RFEM do oblizeń nośnośi graniznej podłoża idealnie spoistego o ehah losowyh. Natomiast w 2003 roku i sami autorzy opublikowali praę [5], dotyząą gruntów, któryh wytrzymałość sharakteryzowano się przez spójność i kąt taria wewnętrznego. Do wyznazenia nośnośi graniznej podłoża autorzy posłużyli się powszehnie stosowanym wzorem Terzaghiego [9]: 1 qf = N + qnq + γ BN γ (1) 2 * Wydział Budownitwa Lądowego i Wodnego, Politehnika Wroławska, Wroław 485

2 gdzie: q f naprężenie granizne, kohezja, q naprężenie wywołane obiążeniem gruntu w sąsiedztwie fundamentu (względnie jego zagłębieniem), γ iężar objętośiowy gruntu, B szerokość fundamentu, N, N q, N γ są współzynnikami nośnośi. Dla uproszzenia oblizeń i konentraji wysiłków na kwestii wpływu losowośi parametrów podłoża na nośność, uproszzono wzór (1) do postai: q f N. = (2) Równanie to pomija wpływ zagłębienia fundamentu oraz traktuje grunt jako nieważki. Współzynnik nośnośi N ma postać N e = πtan φ 2 π φ tan tan φ (3) W opariu o praę [5] autorzy postawili sobie trzy ele: 1) rozszerzenie konepji i oblizeń na przypadek anizotropowyh pól losowyh parametrów wytrzymałośiowyh podłoża, o realizowano, poprzez przyjęie różnyh wartośi skali fluktuaji, w kierunkah poziomym i pionowym (w pray [5] przedstawiono przypadek izotropowy jednakowa skala fluktuaji we wszystkih kierunkah); 2) weryfikaję konepji tzw. najgorszego przypadku, zyli stwierdzenia, że w każdej sytuaji daje się wyznazyć pewną harakterystyzną wartość skali fluktuaji, przy której otrzymuje się najbardziej konserwatywne oszaowanie nośnośi graniznej; 3) wykonanie oblizeń przy różnyh wartośiah współzynnika zmiennośi kąta taria wewnętrznego. 2. Losowy model podłoża Losowy model podłoża przyjęto według propozyji Griffithsa i Fentona [5]. Zakłada on opis parametrów wytrzymałośiowyh podłoża, pod fundamentem, za pomoą dwuwymiarowyh pól losowyh, z zastosowaniem lokalnyh uśrednień [2]. I tak, pole spójnośi przyjęto jako lognormalne z wartośią średnią μ, odhyleniem standardowym σ oraz skal fluktuaji (patrz np. [8]) θ (ln)y i θ (ln)x w kierunkah, odpowiednio, pionowym i poziomym. 486

3 W stosunku do propozyji Fentona i Griffithsa ([5]) stanowi to odejśie od założenia pełnej izotropii pola, poprzez zróżniowanie wartośi skal fluktuaji w kierunku poziomym i pionowym. Lognormalne pole losowe można otrzymać z normalnego pola losowego G ln (x), o zerowej średniej i jednostkowej warianji oraz skali fluktuaji θ ln, poprzez zastosowanie następująej transformaji: { ln ln Gln ( )} ( x) = exp μ +σ x. (4) Parametry μ ln oraz σ ln otrzymuje się jako funkje wartośi średniej i odhylenia standardowego spójnośi, a mianowiie: σ σ = ln 1 +, 2 2 ln 2 μ (5) 1 2 μ ln = ln μ σ ln. (6) 2 Takie podejśie jest bardzo wygodne, ze względu na stosowaną dalej metodę Monte Carlo, gdyż istnieje wiele skuteznyh metod generowania pól gaussowskih. Po wygenerowaniu realizaji pola gaussowskiego, przehodzi się do realizaji pola spójnośi poprzez zastosowaniu transformaji (4). Strukturę korelayjną w polu G ln (x) określa funkja korelaji, której parametrem są skale fluktuaji θ (ln)y i θ (ln)x. W ramah tej pray przyjęto funkję korelaji postai: 2 τ 2 τ ρ ln = θ θ 1 2 exp exp, (ln ) y (ln ) x (7) gdzie τ 1 = y 2 y 1 oraz τ 2 = x 2 x 1, przy zym x 2 x 1 = (x 2 x 1, y 2 y 1 ), która pozwala na uwzględnienie anizotropowyh własnośi pola (tej możliwośi nie dawała funkja stosowana w pray [5]). Należy też zauważyć, że wskazana funkja korelaji działa w gaussowskim polu losowym ln. Wartośi θ (ln)y i θ (ln)x wyznaza się na podstawie θ y i θ x. Te ostatnie należy określić w wyniku badań podłoża, zaś sposób przelizenia podany został w pray Fentona [4]. Drugim polem losowym rozpatrywanym w zadaniu jest pole kąta taria wewnętrznego. Ponieważ wartośi kąta zmieniają się w ogranizonym przedziale, przeto ani rozkład normalny, ani rozkład lognormalny nie są tu odpowiednie. Za praą [5] przyjęto pole o ogranizonyh rozkładah, otrzymane ze standardowego pola gaussowskiego G φ (x), za pomoą następująej transformaji: ( x) 1 sg ( ) min ( max min ) φ φ x =φ + φ φ 1+ tanh 2 2π (8) gdzie φ min oraz φ max są odpowiednio minimalną i maksymalną wartośią kąta taria wewnętrznego, zaś s jest parametrem skali zależnym od odhylenia standardowego. 487

4 Na rysunku 1 pokazano kształt funkji gęstośi takiego rozkładu (znormalizowanego do przedziału [0,1]) w zależnośi od zmiany parametru s. Dla wartośi s większyh niż 5 gęstość rozkładu upodabnia się do litery U i ten przypadek jest nierealistyzny z fizyznego punktu widzenia. Łatwo zauważyć, że rozkłady tego typu są zbliżone do rozkładów beta, jednak są one o wiele łatwiejsze do numeryznego generowania, ze względu na zastosowanie rozkładu gaussowskiego. Wartość średnia tego rozkładu znajduje się w środku przedziału [φ min, φ max ]. Rys. 1. Ogranizony rozkład kąta taria wewnętrznego φ (rysunek sporządzony na podstawie pray [5]) Zależność pomiędzy odhyleniem standardowym a parametrem s nie ma postai analityznej. Można ją uzyskać na drodze ałkowania numeryznego lub poprzez przybliżenie pierwszego rzędu, o prowadzi do zależnośi: 1 2s σφ ( φmax φmin ) 2 πexp 2φ + exp 2φ + 2 ( ( 0) ( 0) ) (9) gdzie φ 0 jest wartośią średnią kąta taria wewnętrznego. Funkje korelaji oraz wartośi skal fluktuaji przyjęto takie jak w przypadku spójnośi. 3. Oblizenia numeryzne Na wstępie badań wykonano serię analiz, na podstawie któryh określono wymaganą dokładność oblizeń. W tym elu wykorzystano shemat pokazany na rysunku 2 oraz wartośi średnie losowyh parametrów gruntu. Otrzymane wyniki porównano ze wzorem na noś- 488

5 ność granizną, wyznazonym korzystają ze wzorów (2) i (3). Następnie przeprowadzono symulaję oblizeniową zmieniają ilość realizaji. W pierwszej kolejnośi wykonano symulaję Monte Carlo opartą na 1000 realizaji, która stała się punktem porównawzym. Następnie zmniejszano tę ilość starają się uzyskać najbardziej zbliżony wynik. W rezultaie, jako optymalną przyjęto ilość 300 realizaji. Jest to lizba wystarzająa do określenia pierwszyh dwóh momentów. Wykorzystują powyższe założenie przeprowadzono analizy nośnośi graniznej opisane w artykule. Jednoześnie należy zaznazyć, że aby określić rozkład należy przyjmować wyniki otrzymane z minimum 1000 realizaji lub więej. Przyjęto siatkę o wymiarah 50 kolumn, 20 rzędów. Wymiar pojedynzego element przyjęto 0,1 0,1 m. Natomiast szerokość fundamentu 1 m równą 10 elementom siatki. Model podłoża przyjęto zgodnie z opisem podanym w poprzednim punkie. Wartość średnia spójnośi wynosiła μ = 45 kn/ m 2, odhylenie standardowe σ = 9 kn/m 2 (pole lognormalne). W przypadku kąta taria wewnętrznego przyjęto rozkład ogranizony zdefiniowany wzorem (8) o graniy dolnej równej φ min = 5, graniy górnej φ max = 41, o dało wartość średnią kąta taria wewnętrznego μ φ = 23. Parametr s wylizano na podstawie zmieniająego się odhylenia standardowego σ φ, stosują przybliżony wzór (9). Rys. 2. Model siatki użyty w stohastyznyh oblizeniah nośnośi graniznej (rysunek sporządzony na podstawie pray za [6]) Jako wielkośi stałe (deterministyzne) przyjęto Moduł Younga równy E = kn/m 2, współzynnik Poissona równy ν = 0,3 oraz kąt dylataji równy ψ = 0. Parametry sprężyste podłoża, służyły do analizy wstępnyh sprężystyh odkształeń, nie miały natomiast wpływu na wartośi nośnośi graniznej. Wyniki umieszzone w powyższej tabeli 1 przedstawiają oblizenia nośnośi graniznej podłoża gruntowego przy zmieniająej się skali fluktuaji. W kierunku pionowym θ y, 489

6 wartośi skali przyjmowano 0,5; 1; 2; 3 m, skalę poziomą θ x przyjmowano 1; 3; 5; 10; 30; 50 m. Zgodnie z założeniem przyjętym w punkie 2 skale fluktuaji dla spójnośi i kąta są jednakowe. TABELA 1`` Wyniki oblizeń w programie RFEM Załązone powyżej wykresy przedstawiają zmiany wartośi średniej (rys. 3), odhylenia standardowego (rys. 4) oraz współzynnika zmiennośi (rys. 5) nośnośi graniznej podłoża, w zależnośi od pionowej skali fluktuaji dla różnyh skal poziomyh. Przedstawione wyniki pokazują, że uwzględnienie anizotropii poprzez zróżniowanie wartośi pionowej i poziomej skali fluktuaji, ma istotny wpływ na oszaowanie losowyh zmian nośnośi graniznej. Przy niewielkiej wartośi współzynnika zmiennośi kąta taria wewnętrznego (10%), zmiany wartośi średniej nośnośi q f są także niewielkie (maksymalnie ok. 7,5%), a wzrost współzynnika zmiennośi kata φ do 20% implikuje wzrost wahania q f do 15%. Należy zwróić uwagę na fakt, że odhylenia standardowe i współzynniki zmiennośi nośnośi q f (rys. 4 i 5) zmieniają się istotnie wraz ze wzrostem poziomej skali fluktuaji θ x. Punktem odniesienia może być wartość θ y /B = 3, przy której wzrost stosunku, θ x /B powyżej wartośi 3 (θ y /B = θ x /B to przypadek izotropowy), skutkuje znaznym wzrostem odhylenia standardowego i współzynnika zamiennośi nośnośi. Ponieważ w warunkah naturalnyh obserwuje się dużo większe wartośi skali fluktuaji w kierunku poziomym w stosunku do kierunku pionowego [1], zatem przyjmowanie przypadku izotropowego, powoduje zaniżenie wartośi współzynnika zmiennośi nośnośi podłoża. Dla wartośi θ x /B > 10 przyrost warianji oraz współzynnika zmiennośi jest już oraz mniejszy. 490

7 a) b) Rys. 3. Wykres wartośi średnih nośnośi graniznej dla różnyh poziomyh skal fluktuaji: a) dla współzynnika zmiennośi kąta φ równego 0,1; b) dla współzynnika zmiennośi kąta φ równego 0,2 a) b) Rys. 4. Wykres odhylenia standardowego nośnośi graniznej dla różnyh poziomyh skal fluktuaji: a) dla współzynnika zmiennośi kąta φ równego 0,1; b) dla współzynnika zmiennośi kąta φ równego 0,2 a) b) Rys. 5.Wykres współzynnika zmiennośi nośnośi graniznej dla różnyh poziomyh skal fluktuaji: a) dla współzynnika zmiennośi kąta φ równego 0,1; b) dla współzynnika zmiennośi kąta φ równego 0,2 Analizują przypadki izotropowe, θ y /B = θ x /B, autorzy pra [5] i [6] wskazali na efekt tzw. najgorszego przypadku wartośi skali fluktuaji. Efekt ten pokazano na rysunku

8 a) b) Rys. 6. Ilustraja efektu najgorszego przypadku : a) zależnośi wartośi średniej współzynnika N od wartośi skali fluktuaji θ (rysunek sporządzony na podstawie pray [7]), b) średniej wartośi nośnośi od θ /B (rysunek sporządzony na podstawie pray [5]) Na rysunku 6b pokazano wykres średniej wartośi zmiennej losowej ln M, przy zym M jest wartośią średnią nośnośi odniesioną do średniej wartośi spójnośi, zyli: M q f = = N μ μ (10) W obu przypadkah (rys. 6) zaobserwowano wartość skali fluktuaji, przy której średnie mają minima. Minima te są zlokalizowane w zbliżonyh do siebie punktah pomimo różnyh wartośi współzynnika zmiennośi zmiennej losowej. Obeność tyh minimów autorzy uznali za ważną informaję, która pozwoliłaby przyjmować określone wartośi skali fluktuaji. Miało by to miejse w przypadkah, gdy brak jest odpowiednih wyników badań polowyh do określenia skal. Takie podejśie ma jednak tę wadę, że o wiele istotniejsze z punktu widzenia oszaowania bezpiezeństwa są wartośi odhyleń standardowyh i współzynników zmiennośi nośnośi graniznej podłoża, a takih analiz w praah [5] i [6] nie przedstawiono. Analiza rysunków 3, 4 i 5 nie daje podstaw do konkluzji, że efekt najgorszej wartośi występuje. Zdaniem autorów obenej pray efektu tego nie zaobserwowano (nawet dla średnih rys. 3), gdyż zmianie podlegały niezależnie obie skale fluktuaji (efekt anizotropii). Jest też możliwe, że efekt taki może się uwidazniać tylko w określonyh warunkah gruntowyh (grunty o bardzo dużej spójnośi), a w innyh warunkah nie. Należy też zwróić uwagę (rys. 6), że efekt ten jest silny dla dużyh wartośi współzynnika zmiennośi. Dla współzynników zmiennośi parametrów podłoża realnyh w warunkah naturalnyh (takie stosowano w prezentowanyh tu oblizeniah) był on już znaznie mniejszy (por. wartośi C.O.V. < 0,5 oraz σ /μ > 0,5 na rys. 6). 492

9 Rysunki 7, 8 i 9 pokazują wpływ zmian, wartośi współzynnika zmiennośi kata taria wewnętrznego podłoża, na losowe wahania nośnośi. a) b) Rys. 7. Wykres wartośi średniej nośnośi graniznej dla różnyh współzynników zmiennośi kąta φ: a) dla poziomej skali fluktuaji równej dziesięiokrotnośi szerokośi fundamentu; b) dla poziomej skali fluktuaji równej trzydziestokrotnośi szerokośi fundamentu a) b) Rys. 8. Wykres odhylenia standardowego nośnośi graniznej dla różnyh współzynników zmiennośi kąta φ: a) dla poziomej skali fluktuaji równej dziesięiokrotnośi szerokośi fundamentu; b) dla poziomej skali fluktuaji równej trzydziestokrotnośi szerokośi fundamentu a) b) Rys. 9. Wykres współzynnika zmiennośi nośnośi graniznej dla różnyh współzynników zmiennośi kąta φ: a) dla poziomej skali fluktuaji równej dziesięiokrotnośi szerokośi fundamentu; b) dla poziomej skali fluktuaji równej trzydziestokrotnośi szerokośi fundamentu 493

10 Ponieważ w warunkah naturalnyh obserwuje się dużo większe wartośi skali fluktuaji w kierunku poziomym niż w stosunku do kierunku pionowego [1], zatem efekt zmian, współzynnika zmiennośi kąta taria wewnętrznego, przedstawiono przyjmują poziomą skalę θ x = 10 m oraz i dla skali poziomej θ x = 30 m. Jak łatwo zauważyć współzynnik zmiennośi kąta tarie wewnętrznego ma bardzo duży wpływ na wartośi odhyleń standardowyh i współzynników zmiennośi nośnośi podłoża. Odhylenia standardowe rosną wraz ze wzrostem pionowej skali fluktuaji. Jest to konsekwenja faktu, że jeśli wartość skali fluktuaji rośnie w stosunku do wielkośi obszaru uśrednienia, to redukja warianji w uśrednionym polu jest oraz słabsza (por. np. [8]). Warto też odnotować, że przy wartośi θ y /B ok. 3 wielkość współzynnika zmiennośi kąta taria wewnętrznego nie ma już wpływu na wartość średnią nośnośi. 4. Uwagi końowe Podsumowują przeprowadzone analizy numeryzne należy stwierdzić, że podstawową zaletą metody RFEM jest możliwość efektywnej implementaji stohastyznyh pól losowyh parametrów wytrzymałośiowyh podłoża, z uwzględnieniem efektu lokalnyh uśrednień. Pozwala to na analizę zmiennośi losowej nośnośi graniznej, bez przyjmowania dużyh uproszzeń modelowyh, a wię analizę w warunkah zbliżonyh do naturalnyh. Wydaje się jednak, że uproszzenie polegająe na przyjęiu izotropowego modelu zmian losowyh pola nie powinno być stosowane. Podobnie efekt najgorszego przypadku wydaje się być efektem występująym tylko w warunkah izotropowyh lub w bardzo szzególnyh przypadkah. Tak, wię rzetelna informaja na temat współzynników zmiennośi parametrów wytrzymałośiowyh oraz skal fluktuaji jest koniezna, jeśli przeprowadzane analizy maja służyć do elów oeny bezpiezeństwa fundamentów. Ponieważ badanie skali fluktuaji, w kierunku poziomym jest najzęśiej kłopotliwe, przeto pewnym uproszzeniem, wynikająym z podanyh tu rezultatów, może być przyjęie poziomej skali fluktuaji θ x /B na poziomie 10 lub nieo większym. Prowadzi to do razej konserwatywnyh oszaowań. LITERATURA [1] Cherubini C.: Data and onsiderations on the variability of geotehnial properties of soils. Proeedings of the Int. Conf. on Safety and Reliability (ESREL), t. 97, nr 2, 1997, s [2] Fenton G.A., Vanmarke E.H.: Simulation of Random Fields via Loal Average Subdivision, ASCE Journal of Engineering Mehanis, 116(8), 1990, s [3] Fenton G.A., Griffiths D.V.: Statistis of Blok ondutivity through a Simple bounded stohasti medium. Water Resour Res, t. 29, nr 6, 1993, s [4] Fenton G.A.: Estimation for stohasti soil models. ASCE Journal of Geotehnial and Geoenvironmental Engineering, t. 125, nr 6, 1999, s [5] Fenton G.A, Griffiths D.V.: Bearing apaity predition of spatially random φ soils. Canadian Geotehnial Journal, t. 40, nr 1, 2003, s [6] Griffiths D.V., Fenton G.A.: Seepage beneath water retaining strutures founded on spatially random soil. Géotehnique, t. 43, nr 4, 1993, s

11 [7] Griffiths D.V., Fenton G.A.: Bearing apaity of spatially random soil: The undrained lay Prandtl problem revisited. Géotehnique, t. 54, nr 4, 2001, s [8] Puła W.: Zastosowania teorii niezawodnośi konstrukji do oeny bezpiezeństwa fundamentów. Ofiyna Wydawniza Politehniki Wroławskiej, 2004 [9] Terzaghi K.: Theoretial Soil Mehanis. New York, John Wiley & Sons