OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARU

Transkrypt

1 OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARU 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwizenia jest poznanie podstawowyh zagadnień związanyh z opraowaniem wyników pomiaru.. WPROWADZENIE.1. Wstęp Umiejętność właśiwego opraowania wyników pomiaru jest niezbędna w wielu dziedzinah nauki, tehniki oraz gospodarki. O wysokiej randze tej problematyki świadzą prae międzynarodowyh komisji, któryh elem jest znalezienie i ujednolienie metod opraowania wyników pomiaru. Wyniki tyh pra są publikowane i z zasem zyskują harakter normatywny, jak np. [1]. W wielu przypadkah surowy wynik pomiaru, bez jego właśiwego opraowania, jest uwaŝany za bezuŝytezny. Pomiary moŝna ogólnie podzielić na bezpośrednie lub pośrednie. Pomiarem bezpośrednim jest na przykład pomiar napięia stałego za pomoą woltomierza. Przykładem pomiaru pośredniego jest pomiar rezystanji metodą tehnizną: prąd płynąy przez mierzony rezystor jest mierzony za pomoą amperomierza, a spadek napięia na rezystorze za pomoą woltomierza. Rezystanja oblizana jest z prawa Ohma... Błąd i poprawka Najzęśiej surowy wynik pomiaru x jest jedynie przybliŝeniem wartośi rzezywistej (prawdziwej) x rz wielkośi mierzonej X. RóŜnia pomiędzy wynikiem pomiaru x a wartośią rzezywistą nazywana jest rzezywistym błędem bezwzględnym x rz x = x x (1) rz Wartość rzezywista wielkośi mierzonej jest znana tylko w wyjątkowyh przypadkah. Dlatego pojęie rzezywistego błędu bezwzględnego x rz ma niewielkie znazenie praktyzne. W praktye, w zaleŝnośi od wymaganej dokładnośi pomiaru, doświadzenie pomiarowe modyfikuje się tak, aby otrzymać wartość najbliŝszą x rz. Wartość tę nazywa się wartośią poprawną x popr. Wtedy wyraŝenie na błąd bezwzględny przyjmuje postać. rz x = x x popr () Bezwzględny błąd ze zmienionym znakiem nazywany jest poprawką p( x )

2 p( x) = x (3) Poprawka dodana do wyniku pomiaru daje tzw. wynik skorygowany - zyli wartość poprawną. Błąd względny δx jest to stosunek błędu bezwzględnego do wartośi poprawnej x δ x = (4) x popr Błąd względny jest zęsto wyraŝany w proentah (1 % = 10 - ) lub promilah (1 = 10-3 ). Spotykane są takŝe mnoŝniki: ppm (ang. part per million; 1 ppm = 10-6 ) oraz ppb (ang. part per billion; 1 ppb = 10-9 ), jednak ih stosowanie do wyraŝania błędu wielkośi elektryznyh nie jest zaleane. Na przykład względny błąd pomiaru napięia naleŝy zapisać w postai = 1 µv/v zamiast δ U = 1 ppm. Błąd moŝe być spowodowany róŝnymi zynnikami. Z tego powodu do słowa błąd dodaje się określenie wskazująe na jego przyzynę lub harakter. Na przykład błąd rozdzielzośi jest błędem spowodowanym ogranizoną rozdzielzośią, błąd przypadkowy - błędem wynikająym z losowej zmiennośi wyników powtarzanego doświadzenia pomiarowego itp..3. Klasyfikaja błędów Ogólnie błędy dzieli się na: 1) systematyzne, ) przypadkowe, 3) nadmierne (grube). PowyŜszy podział powstał na podstawie obserwaji zahowania się wyników pomiaru przy powtarzaniu doświadzenia pomiarowego. Ad.1. Błędy systematyzne moŝna podzielić na: a) błędy systematyzne stałe, b) błędy systematyzne zmienne. Błąd systematyzny stały moŝna wykryć po powtórzeniu doświadzenia pomiarowego w elowo zmienionym (zmodyfikowanym) układzie warunków fizyznyh. Wykryie stałego błędu systematyznego przez powtarzanie doświadzenia pomiarowego w niezmiennym układzie warunków fizyznyh jest niemoŝliwe. Jeśli wyniki powtarzanego doświadzenia pomiarowego w pozornie niezmiennym układzie warunków fizyznyh harakteryzują się systematyzną zmianą (dryfem), to wyniki pomiaru δ U

3 3 obarzone są błędem systematyznym zmiennym. Ten rodzaj błędów powstaje np. w wyniku zmian jakiejś dominująej wielkośi zakłóająej (wpływająej) np. temperatury otozenia. Występowanie błędu systematyznego zmiennego świadzy o tym, Ŝe podstawowy układ warunków fizyznyh doświadzenia pomiarowego nie jest niezmienny. Cehą harakterystyzną tego błędu jest moŝliwość wyznazenia (zdeterminowania) zaleŝnośi między tym błędem i wywołująym go zynnikiem. Błąd systematyzny zmienny moŝe być monotonizny (rosnąy albo malejąy) lub okresowy. Inny podział błędów systematyznyh bierze pod uwagę ogniwo doświadzenia pomiarowego, w którym powstaje błąd. Na rys.1 przedstawiono strukturalny shemat doświadzenia pomiarowego, przydatny do sklasyfikowania błędów systematyznyh. Rys.1. Strukturalny shemat doświadzenia pomiarowego Pierwsza składowa błędu systematyznego jest związana z obiektem pomiaru. Dołązenie przyrządu pomiarowego powoduje zmianę równowagi energetyznej w obiekie badanym. Dohodzi zatem do naruszenia podstawowego układu warunków fizyznyh, w jakih odbywa się doświadzenie pomiarowe i - w konsekwenji - do zmiany miary wielkośi mierzonej. Błąd spowodowany zmianą równowagi energetyznej jest nazywany zasem błędem metody. Nazwa ta jest zbyt ogólna. Bardziej właśiwe jest stosowane określenia błąd spowodowany zmianą równowagi energetyznej. Błąd ten zazwyzaj wyznaza się teoretyznie (obliza). Druga składowa błędu systematyznego jest związana z właśiwośiami narzędzia pomiarowego. Nazywana jest błędem instrumentalnym. Jeśli błąd systematyzny narzędzia pomiarowego występuje w znamionowyh warunkah uŝytkowania, to nazywany jest błędem podstawowym narzędzia pomiarowego. Przez znamionowe warunki uŝytkowania rozumie się podstawowy układ warunków fizyznyh, podany w normah lub przez produenta przyrządu, a takŝe układ warunków, w któryh dokonano wzorowania przyrządu lub w któryh przyrząd harakteryzuje się największą dokładnośią. Błąd dodatkowy narzędzia pomiarowego powstaje, gdy warunki fizyzne odbiegają od określonyh przez znamionowe warunki uŝytkowania. Błąd instrumentalny ma dwie składowe: błąd modelowy oraz błąd wykonania narzędzia pomiarowego. Pierwszy powstaje na skutek rozbieŝnośi między fizyzną zasadą pomiaru (modelem) a rzezywistymi zjawiskami zahodząymi w narzędziu pomiarowym. Drugi jest spowodowany ogranizoną dokładnośią z jaką wykonano lub wzorowano narzędzie pomiarowe. Błąd instrumentalny moŝna wyznazyć przez wzrorowanie przyrządów przyrządów pomiarowyh uŝytyh w doświadzeniu.

4 4 Trzeia składowa błędu systematyznego jest związana z subiektywizmem (tendenyjnośią) pomiarowa. Jest szzególnie istotna w przypadku przyrządów analogowyh. Przykład 1 Do pomiaru siły elektromotoryznej E ogniwa o rezystanji wewnętrznej woltomierza o rezystanji wewnętrznej Oblizyć: a) wartość poprawną siły elektromotoryznej E, b) bezwzględny błąd systematyzny E pomiaru E, ) poprawkę p ( E) pomiaru E, d) względny błąd systematyzny δe pomiaru E. Rozwiązanie: R = 0, 8 Ω uŝyto R = 1500 Ω. Woltomierz wskazał napięie U =,875 V. V a) na podstawie shematu zastępzego, przedstawionego na rys., wartość poprawną E obliza się ze wzoru E U R 0,8 1 + w =, ,8765 V R 1500 = V V w V Rys. Shemat zastępzy układu do pomiaru siły elektromotoryznej ogniwa b) bezwzględny błąd systematyzny = U E,875,8765 1,5 mv ) poprawka p ( E) = E = 1,5 mv E V 3 E 1,5 10 d) względny błąd systematyzny δ E = = 0,06% E,8765 Ad. ) Błędy przypadkowe występują, gdy powtarzanie doświadzenia pomiarowego w pozornie niezmiennym układzie warunków fizyznyh ujawnia losową zmienność wyników. Słowo pozornie ma w tym przypadku szzególne znazenie, gdyŝ błędy przypadkowe są spowodowane oddziaływaniem wielu zmiennyh i z reguły niezaleŝnyh od siebie zynników. Deterministyzny opis takiego oddziaływania jest z reguły niemoŝliwy gdyŝ przekraza ludzkie moŝliwośi poznawze. Przykładem pomiaru zdominowanego zynnikiem losowym jest np. pomiar wartośi hwilowej napięia szumów rezystora. Do opisu błędów przypadkowyh stosuje się modele probabilistyzne.

5 5 Ad. 3) Błędy nadmierne mogą być spowodowane błędem odzytu, hwilowym silnym zaburzeniem lub innymi zynnikami. Najprostszy sposób postępowania polega na odrzueniu wyników raŝąo róŝniąyh się od spodziewanyh. Bardziej właśiwe jest zastosowanie odpowiedniego testu statystyznego. Końowy wynik pomiaru powinien być wynikiem skorygowanym, tj. nie powinien zawierać znanyh błędów systematyznyh oraz nadmiernyh..4. Niepewność Grafizną interpretaję relaji występująyh między parametrami wyniku przedstawiono na rys.3. x popr - u( x) x popr x rz x popr + u( x) x x rz u( x) u( x) Rys.3. Interpretaja relaji występująyh między parametrami wyniku pomiaru Na rys.3. punkty x popr u( x) i x popr + u( x) wyznazają granie przedziału, w którym z określonym prawdopodobieństwem znajduje się wartość rzezywista x rz. Parametr u ( x) jest nazywany niepewnośią bezwzględną. Niepewność ma zawsze znak dodatni, gdyŝ wyraŝa długość jednostronnego przedziału. Często niepewność wyniku pomiaru zapisuje się jako x popr ± u( x) pomiaru, z określonym prawdobodobieństwem, znajduje się w przedziale o szerokośi u( x) symetryznym względem wartośi poprawnej., o oznaza iŝ wynik, Niepewność względną u r ( x) definiuje się jako stosunek niepewnośi bezwzględnej do wartośi poprawnej:.5. Klasyfikaja niepewnośi ( x) u u r ( x) = (5) x Zgodnie z ustaleniami międzynarodowymi [1] wyróŝnia się dwa typy niepewnośi: 1) niepewność typu A, ) niepewność typu B. popr

6 6 Ad.1) do niepewnośi typu A zaliza się niepewnośi, któryh rozkłady są znane lub mogą być oszaowane na podstawie powtarzalnyh pomiarów, wykonanyh w nominalnie takih samyh warunkah. Oena niepewnośi typu A wykorzystuje ustalony algorytm: wyznaza się wartość średnią, niepewność pojedynzego wyniku oraz niepewność wartośi średniej. Wyznazenie niepewnośi typu A wymaga wykonania serii pomiarów, w elu ujawnienia losowego harakteru ih zmian. Ad.) jeśli niepewność szaowana jest nie na podstawie powtarzalnyh pomiarów, ale innyh danyh, to nazywa się ją niepewnośią typu B. Do niepewnośi typu B zalizyć moŝna niepewnośi przyrządów podane w ih dokumentaji, świadetwah kalibraji, wartośi współzynników podane w normah i tabliah. Jeśli niepewność wyniku nie jest określona i nie ma moŝliwośi jej oeny, to przedział niepewnośi określa się na podstawie lizby yfr znaząyh wyniku..6. Szaowanie standardowej niepewnośi typu A Oszaowanie niepewnośi typu A jest moŝliwe jedynie wtedy, gdy wykonano serię pomiarów x 1, x,... x N, gdzie N>1. Przede wszystkim naleŝy w serii wykryć i usunąć wyniki obarzone błędem nadmiernym. Gdy lizba zynników zakłóająyh pomiar jest duŝa i Ŝaden z nih nie dominuje, to moŝna załoŝyć, iŝ rozkład losowy błędu pomiaru jest rozkładem zbliŝonym do rozkładu normalnego (Gaussa). WyróŜnia się dwa przypadki: 1) seria pomiarów jest długa (N 10), ) seria pomiarów jest krótka (N < 10). Ad.1) dla długiej serii pomiarów, korzystają z metody estymaji punktowej obliza się: - wartość poprawną wyniku, którą jest średnia arytmetyzna: x = 1 N N x n n= 1, (6) - odhylenie standardowe średniej arytmetyznej: gdzie s s = x x N, (7) N 1 s x = n (8) N 1 n= 1 ( ) x x jest odhyleniem standardowym pojedynzego wyniku. Standardowa niepewność typu A u A ( x) jest równa:

7 7 A ( x) sx u = (9) Ad.) dla krótkiej serii wyników pomiaru o błędah przypadkowyh będąyh zmienną losową o rozkładzie normalnym oblizone wartośi x i s x mogą się znaznie róŝnić od parametrów tego rozkładu. W tym przypadku, w elu zwiększenia wiarygodnośi wyników, korzysta się z rozkładu t-studenta [1]. Gdy lizba wyników pomiaru N wzrasta, to rozkład Studenta staje się bliski rozkładowi normalnemu. Dla N 10 moŝna w większośi przypadków korzystać z rozkładu normalnego. W rozkładzie Studenta występuje pojęie lizby stopni swobody k : gdzie N jest lizbą wyników pomiaru w serii. Standardową niepewność typu A wyznaza się następująo: k = N 1 (10) 1. Dla standardowej niepewnośi typu A przyjmuje się poziom ufnośi (prawdopodobieństwo) α =0,687. Jest to poziom ufnośi, któremu w rozkładzie normalnym odpowiada kwantyl równy odhyleniu standardowemu pojedynzego wyniku pomiaru.. Obliza się lizbę stopni swobody k ze wzoru (10). 3. Korzystają z tabliy rozkładu Studenta dla oblizonego k i przyjętego α wyznaza się kwantyl t k, α. 4. Obliza się standardową niepewność typu A ze wzoru Wartośi kwantyli k, α zamieszzono w tabliy 1. Wartośi kwantyli stopni swobody k t u A ( x) tk, sx = (11) α dla rozkładu Studenta w zaleŝnośi od lizby stopni swobody ν Tablia 1 t k, α dla rozkładu Studenta dla poziomu ufnośi α =0,687 w zaleŝnośi od lizby k t 1,84 1,3 1,0 1,14 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 1,05 1,04 1,01 1,005 k,α.7. Oena niepewnośi typu B w pomiarah bezpośrednih W niektóryh przypadkah rozrzut wyników jest bardzo mały i dominująą niepewnośią jest niepewność związana z niedoskonałośią aparatury lub przyjętej metody pomiarowej, zwana niepewnośią typu B. Nie moŝna jej sharakteryzować metodami statystyznymi, jak w przypadku niepewnośi typu A, poniewaŝ nie dysponuje się serią wyników. Z tego powodu

8 8 do oeny niepewnośi typu B wykorzystuje się wszelkie dostępne informaje, którymi mogą być: - znajomość zjawisk występująyh w pomiarah; - właśiwośi przyrządów i metod pomiarowyh; - informaje zawarte w dokumentaji przyrządów; - dokumenty i ertyfikaty kalibrayjne przyrządów; - dane z wześniej przeprowadzonyh pomiarów; - doświadzenie lub intuija eksperymentatora. Najzęśiej przyjmuje się, Ŝe niepewność typu B harakteryzuje się rozkładem jednostajnym i z poziomem ufnośi α =1 zawiera się w przedziale ±a wokół wartośi poprawnej. Wówzas standardowa niepewność typu B jest równa [1] a u B ( x) =. (1) 3 Przykład Oblizyć niepewność typu B woltomierza wskazówkowego klasy 0,5 o zakresie 100 V. Rozwiązanie: MoŜna przyjąć, Ŝe wewnątrz symetryznego przedziału wokół wartośi poprawnej zmierzonego napięia, o szerokośi połówkowej równej U klasa zakres = 100 0,5 100 = = 0,5 V 100 prawdopodobieństwo wystąpienia wartośi prawdziwej mierzonego napięia, którą reprezentuje wartość poprawna, jest w kaŝdym punkie jednakowe (opisuje je rozkład jednostajny). Standardowa niepewność typu B jest równa u B = U 3 0,5 3 ( U ) = = 0, 87 Jedną ze składowyh niepewnośi typu B jest składowa spowodowana ogranizoną rozdzielzośią pomiaru. Jeśli produent nie podał sposobu jej oblizania, to dla przyrządów z odzytem yfrowym, wykorzystująyh wbudowany mikroproesor do przelizania wyniku przyjmuje się, iŝ maksymalny błąd rozdzielzośi jest równy wartośi odpowiadająej ± 0, 5 najmniej znaząej yfry wyświetlaza. Wynika to z załoŝenia, Ŝe wynik pomiaru jest przed wyświetleniem prawidłowo zaokrąglony. W przypadku tanih multimetrów wyposaŝonyh w przetwornik analogowo-yfowy o podwójnym ałkowaniu przyjmuje się, iŝ maksymalny błąd rozdzielzośi jest równy wartośi odpowiadająej ± 1 najmniej znaząej yfry wyświetlaza. We wszystkih przypadkah przyjmuje się, iŝ rozkład tego błędu w V

9 9 określonym przedziale jest jednostajny Związaną z tą składową niepewność typu B obliza się ze wzoru (1). Przykład 3 Oblizyć niepewność typu B woltomierza yfrowego, który na zakresie U zakr =0 V harakteryzuje się rozdzielzośią 4½ yfr znaząyh. W dokumentaji przyrządu zawarta jest informaja, iŝ maksymalny błąd pomiaru jest równy 0,05% U odzyt + 0,005% U zakr, gdzie U odzyt =4,34 V jest wartośią napięia wyświetloną na wyświetlazu przyrządu. Ponadto z dokumentaji wynika, Ŝe przyrząd zawiera mikroproesor przelizająy wynik pomiaru przed jego wyświetleniem. Rozwiązanie: Rozdzielzość pomiaru jest równa przedziału wokół napięia U odzyt U rozdz =1 mv. MoŜna przyjąć, iŝ wewnątrz symetryznego, o szerokośi połówkowej równej 0,05 0,005 1 U = Uodzyt + U zakr + U rozdz = ,05 0,005 1 = 4, ,001 = 3,66 mv prawdopodobieństwo wystąpienia wartośi prawdziwej mierzonego napięia, którą reprezentuje wartość poprawna, jest w kaŝdym punkie jednakowe (opisuje je rozkład jednostajny). Standardowa niepewność typu B jest równa u B = U 3 3,66 3 ( U ) = =, 11 mv.8. Oblizanie standardowej niepewnośi złoŝonej w pomiarah bezpośrednih Oblizanie standardowej niepewnośi złoŝonej zęsto występuje w praktye: występują błędy losowe reprezentowane przez niepewność u A typu A, której przypisać moŝna rozkład normalny, oraz błędy przyrządów pomiarowyh, którym moŝna z reguły przypisać rozkład jednostajny, a które są sharakteryzowane przez niepewność nieskorelowane (niezaleŝne od siebie). ub typu B. Błędy te są z reguły Standardową niepewność złoŝoną u pomiaru, z uwzględnieniem niepewnośi przyrządu pomiarowego (zyli niepewnośi typu B), obliza się wg następująego algorytmu: 1. Obliza się standardową niepewność u A typu A;. Obliza się standardową niepewność u B typu B; 3. Obliza się standardową niepewność złoŝoną u ze wzoru

10 10 4. Podaje się końowy wynik w następująej postai: u = u + u ; (13) A x = x ±, z dodanym następująym komentarzem: gdzie lizba zapisana za symbolem ± jest wartośią złoŝonej niepewnośi standardowej u, a nie jest przedziałem ufnośi. Podany wyŝej sposób zapisu wyniku pomiaru jest zaleany przez [1]. u B Przykład 4 Woltomierzem yfrowym o rozdzielzośi 4½ yfry dokonano, na zakresie U zakr =750 V, pomiaru napięia siei elektroenergetyznej. Średnia z N = 0 pomiarów wynosiła U = 30, 4 V z odhyleniem standardowym su = 1,8 V. W dokumentaji przyrządu zawarta jest informaja, iŝ maksymalny błąd pomiaru jest równy 0,5% U odzyt + 0,05% U zakr. Prawidłowo zapisać wynik pomiaru. Rozwiązanie: Niepewność typu A pomiaru jest równa Rozdzielzość pomiaru jest równau przedziału wokół U odzyt u A s = N 1,8 U ( U ) = 0, 40 rozdz 0, o szerokośi połówkowej równej V =0,1 V. MoŜna przyjąć, Ŝe wewnątrz symetryznego 0,5 0,05 1 U = Uodzyt + U zakr + U rozdz = ,5 0,05 1 = 30, ,1 = 1,395 V prawdopodobieństwo wystąpienia wartośi prawdziwej mierzonego napięia, którą reprezentuje wartość poprawna, jest w kaŝdym punkie jednakowe (opisuje je rozkład jednostajny). Standardowa niepewność typu B jest równa 1,395 u ( ) = U B U = = 0, 716 V. 3 3 Standardowa niepewność złoŝona pomiaru jest równa ( 0,40) + ( 0,716) 0, 81 u = V. = u A + ub Ostateznie wynik zapisuje się jako U = ( 30,4 ± 0,8)V, gdzie lizba zapisana za symbolem ± jest wartośią złoŝonej niepewnośi standardowej, a nie jest przedziałem ufnośi.

11 11.9. Oblizanie rozszerzonej niepewnośi złoŝonej w pomiarah bezpośrednih Opjonalnie moŝna rozszerzyć (ang. expand) złoŝoną niepewność standardową u zyli oblizyć połówkową szerokość przedziału, w którym znajdzie się błąd pomiaru ze zwiększonym prawdopodobieństwem w stosunku do prawdopodobieństwa przyjętego dla niepewnośi standardowej. W tym elu: 1. Rozszerza się złoŝoną niepewność standardową u do Ŝądanego poziomu ufnośi α, mnoŝą u przez odpowiedni współzynnik (kwantyl) k α. Dokładne wyznazenie współzynnika k α, zaleŝnego od Ŝądanego poziomu ufnośi, jest zagadnieniem trudnym []. W elu uproszzenia rozwaŝa się dwa przypadki: u u, zyli dominuje niepewność typu A o rozkładzie normalnym lub - A B niepewność typu A jest bliska niepewnośi typu B; u < u, zyli dominuje niepewność typu B o rozkładzie jednostajnym. - A B Wartośi kα wyznaza się z tabliy. dla jednej z trzeh wybranyh wartośi poziomu ufnośi α: 0,68; 0,95 i 0,99, które są zaleane przez [1]. Tablia Wartośi k α w zaleŝnośi od poziomu ufnośi α [] Poziom ufnośi α 0,68 0,95 0,99 u A u B 0,994 1,960,576 u A < u B 1,179 1,645 1,715. Zapisuje się końowy wynik pomiaru w postai x = x ± kαu dodają komentarz o przyjętym poziomie ufnośi oraz informaję, Ŝe jest to niepewność złoŝona. Sposób ten jest przybliŝony. Dla duŝej serii wyników pomiaru, któryh rozrzut moŝna sharakteryzować za pomoą rozkładu normalnego, kwantyl k α wyznazyć moŝna z tabli funkji Laplae a []. Publikaja [1] zalea stosowanie tylko kilku wartośi poziomów ufnośi. Odpowiadająe im kwantyle kα zestawiono w tabliy 3. Wartość współzynnika k α określająego dla rozkładu normalnego przedział o poziomie ufnośi α. Poziom ufnośi α % 68, , ,73 Współzynnik rozszerzenia k - 1 1,645 1,960,576 3 α Tablia 3

12 1.10. Oblizanie niepewnośi pomiarów pośrednih W przypadku pomiaru pośredniego mierzona wielkość Y jest funkją M wielkośi X m mierzonyh bezpośrednio: gdzie m = 1,,... M. y = f Dla kaŝdej wielkośi X m dokonuje się serii pomiarów, a następnie obliza się średnią arytmetyzną x m, standardową niepewność złoŝoną u, m oraz koryguje się x m przez uwzględnienie odpowiedniej poprawki. Następnie obliza się: ( ) x m - wartość średnią wielkośi Y, która jest wartośią poprawną: ( ) - złoŝoną niepewność standardową dla średniej y : gdzie są tzw. współzynnikami wraŝliwośi. y = f (14) u m x m M m m= 1 ( y) = m u, m, (15) y = (16) x Niepewność u ( y) jest dobrze oszaowana jedynie przy spełnieniu następująyh warunków: - liniowość funkji y = f ( ) x m wyŝszyh rzędów w rozwinięiu w szereg Taylora; jest wystarzająa na tyle, aby nie uwzględniać wyrazów - zmienne losowe X m oraz ih wartośi średnie x m są wzajemnie niezaleŝne. Przyjęie załoŝenia liniowośi w przypadku silnie nieliniowyh funkji prowadzi do zaniŝenia oeny niepewnośi. Gdy zmienne losowe się tzw. kowarianję [3]. X m lub X m są wzajemnie zaleŝne obliza Przy oblizaniu niepewnośi wielkośi mierzonyh pośrednio sporządza się tak zwany budŝet niepewnośi. Ma on postać tabliy, zawierająej w podstawowej postai wartośi poprawne poszzególnyh wielkośi mierzonyh bezpośrednio, ih złoŝone niepewnośi standardowe, współzynniki wraŝliwośi oraz udział standardowej niepewnośi kaŝdej wielkośi mierzonej bezpośrednio w niepewnośi wielkośi mierzonej pośrednio. W tabelah bardziej zaawansowanyh budŝetów niepewnośi podaje się dodatkowe informaje o rozkładzie prawdopodobieństwa błędów losowyh, lizbie stopni swobody oraz kowarianji poszzególnyh zmiennyh [1].

13 13 Przykład 5 Mo wydzielaną na pewnym obwodzie prądu stałego zmierzono za pomoą woltomierza i amperomierza. Zmierzona wartość napięia wyniosła (4,000 ±0,00) V, a zmierzona wartość prądu (1,000 ±0,004) A. W obu wynikah lizba za symbolem ± jest wartośią złoŝonej niepewnośi standardowej. Oblizyć standardową niepewność pomiaru rezystanji i sporządzić jej budŝet przy załoŝeniu, iŝ moŝna zaniedbać wpływ błędu systematyznego, spowodowanego wpływem rezystanji przyrządów. Rozwiązanie: Poprawną wartość moy obliza się ze znanego wzoru: P = U I = 4,000 1,000 = 4,000 W PoniewaŜ pomiar napięia i prądu był realizowany róŝnymi przyrządami, moŝna przyjąć, iŝ wyniki pomiaru obu wielkośi są od siebie niezaleŝne. Wówzas standardową niepewność pomiaru moy obliza się z zaleŝnośi u ( P) u ( U ) + u ( I ) gdzie współzynniki wraŝliwośi oraz U I są równe P U = = I =1,000 A, U P I = = U = 4,000 V. I Po podstawieniu do (18) otrzymuje się =, (18) U ( P) = ( 1,000) ( 0,00) + ( 4,000) ( 0,004) = 0, ,00056 = 0,0161 0, 0 u W. I Zatem zmierzona mo jest równa (4,00±0,0) W, gdzie lizba za symbolem ± jest wartośią złoŝonej niepewnośi standardowej, a nie jest przedziałem ufnośi. BudŜet niepewnośi pomiaru moy przedstawiono w tabliy 4. Symbol wielkośi X i Tablia 4 Przykład budŝetu niepewnośi dla pomiaru moy prądu stałego Oszaowanie Niepewność Współzynnik Niepewność Udział w wielkośi standardowa wraŝliwośi składowa niepewnośi moy złoŝonej y y u y x ( ) i u x i i u i ( ) u i ( )/ ( ) U 4,000 V mv 1,000 A mw 11% I 1,000 A 4 ma 4,000 V 16 mw 89% P 4,00 W 0,0 W

14 Reguły zaokrąglania wyniku pomiaru i niepewnośi Ogólnie zapis końowego wyniku pomiaru powinien mieć postać następująą: ( x) x = x ± popr u (informaja o poziomie ufnośi) Końowy wynik pomiaru powinien składać się z dwóh lizb przybliŝonyh, z któryh pierwsza wyraŝa poprawną wartość wielkośi mierzonej, a druga określa jej niepewność. Istotny jest sposób zaokrąglania tyh lizb. Obowiązują następująe zasady: 1. Lizbę wyraŝająą niepewność zaokrągla się najzęśiej w górę, do lizby o jednej yfrze znaząej. Wynika to z faktu, Ŝe wartość niepewnośi nie jest dokładnie określona. W szzególnyh przypadkah pozostawia się dwie yfry znaząe. Czyni się tak gdy: - lizba będzie uŝywana do dalszyh oblizeń; - w przypadku podawania niepewnośi stałyh fizyznyh; - w przypadku pomiarów dokładnyh; - jeśli po zaokrągleniu do 1 yfry znaząej błąd zaokrąglenia byłby większy od 0%. Na przyklad 0,1111 moŝna zaokrąglić do 0,11 a nie do 0,. W tym przypadku nie zaokrągla się tej lizby w górę, lez zgodnie z ogólnymi regułami zaokrąglania.. Lizbę wyraŝająą wynik pomiaru zaokrągla się pozostawiają najmniej znaząą yfrę na tym miejsu, na którym występuje najmniej znaząa yfra niepewnośi. Obowiązują następująe reguły postępowania przy zaokrąglaniu wyników pomiaru: a) Zastępuje się przez 0 zbędne yfry lizb ałkowityh, a zbędne yfry po przeinku dziesiętnym odrzua się. b) JeŜeli pierwsza zbędna yfra (lizą od lewej strony) ma wartość <5, to pozostająyh yfr się nie zmienia. JeŜeli ta yfra jest >5, to najmniej znaząą pozostająą yfrę powiększa się o 1. ) JeŜeli pierwszą zbędną yfrą (lizą od lewej strony) jest 5, a yfry z prawej strony od 5 nie są zerami, to najmniej znaząą pozostająą yfrę powiększa się o 1. d) JeŜeli pierwszą zbędną yfrą (lizą od lewej strony) jest 5, a yfry z prawej strony od 5 są zerami, to najmniej znaząej pozostająej yfry nie zmienia się, jeŝeli jej wartość jest lizbą parzystą. JeŜeli jej wartość jest lizbą nieparzystą, to powiększa się ją o Opraowanie wyników pomiaru prezentowanyh w postai wykresów Często wyniki pomiaru prezentowane są postai wykresów. TakŜe w tym przypadku wykres powinien zawierać informaję o niepewnośi przedstawionyh na nim wyników pomiaru. Na rysunku 4 przedstawiono przykładowy wykres harakterystyki prądowo-napięiowej. Na uwagę zasługują harakterystyzne słupki ( wąsy ), które reprezentują złoŝone niepewnośi

15 15 pomiaru obu wielkośi. Podpis pod rysunkiem powinien informować o sposobie interpretaji słupków niepewnośi. Rys.4. Przykładowy wykres harakterystyki prądowo-napięiowej. Słupki błędów reprezentują złoŝone niepewnośi standardowe pomiaru. Podobnie naleŝy sporządzać wykresy błędów lub poprawek. Na rysunku 5 przedstawiono przykładowy wykres błędu. W tym przypadku zazwyzaj na wykresie zamieszza się jedynie słupki błędów reprezentująe niepewność wyznazenia błędu lub poprawki. Rys.5. Przykładowy wykres błędu. Słupki błędu reprezentują złoŝone niepewnośi standardowe wyznazenia błędu. Na uwagę zasługuje takŝe sposób opisania osi wykresów przedstawionyh na rys.4 oraz rys.5.

16 16 3. PROGRAM ĆWICZENIA 1. Za pomoą yfrowego woltomierza napięia przemiennego o rozdzielzośi minimum 5 yfr znaząyh wykonać serię a) N=, b) N=4, ) N=10, d) N=30 pomiarów napięia na wyjśiu autotransformatora regulowanego. Prawidłowo zapisać końowe wyniki pomiaru.. Wykonać pomiar jak w p.1, ale przy wykorzystaniu yfrowego woltomierza napięia przemiennego o mniejszej rozdzielzośi (np. 3,5 yfry). Prawidłowo zapisać końowe wyniki pomiaru. 3. Wykonać pomiar jak w p.1, zastępują autotransformator programowanym generatorem funkyjnym, wytwarzająym napięie sinusoidalne o wartośi skuteznej zbliŝonej do napięia na wyjśiu autotransformatora i o zęstotliwośi 50 Hz. Prawidłowo zapisać końowe wyniki pomiaru. 4. Wykonać pomiar jak w p., zastępują autotransformator programowanym generatorem funkyjnym, wytwarzająym napięie sinusoidalne o wartośi skuteznej zbliŝonej do napięia na wyjśiu autotransformatora i o zęstotliwośi 50 Hz. Prawidłowo zapisać końowe wyniki pomiaru. 5. Porównać wyniki uzyskane w p.1,, 3 i 4. Wyiągnąć wnioski. 6. Dokonać pomiaru moy prądu a) stałego b) przemiennego, wydzielanej na odbiorniku wskazanym przez prowadząego ćwizenie. Pomiar wykonać w układzie a) poprawnie mierzonego napięia, b) poprawnie mierzonego prądu. Oblizyć wartość poprawną moy, bezwzględny błąd systematyzny, poprawkę oraz względny błąd systematyzny. Sporządzić budŝet niepewnośi i prawidłowo zapisać końowy wynik pomiaru. 7. Dokonać pomiaru rezystanji metodą tehnizną obiektu wskazanego przez prowadząego ćwizenie. Pomiar wykonać w układzie a) poprawnie mierzonego napięia, b) poprawnie mierzonego prądu. Oblizyć wartość poprawną rezystanji, bezwzględny błąd systematyzny, poprawkę oraz względny błąd systematyzny. Sporządzić budŝet niepewnośi i prawidłowo zapisać końowy wynik pomiaru. 8. Wyznazyć harakterystykę napięiowo-prądową Ŝarówki zasilanej napięiem przemiennym uzyskiwanym z autotransformatora. Wynik pomiaru przedstawić w postai wykresu. 9. Za pomoą yfrowego woltomierza napięia przemiennego o rozdzielzośi minimum 5 yfr znaząyh wyznazyć błąd nastawy napięia przemiennego i stałego programowanego generatora funkyjnego. Pomiar błędu nastawy napięia

17 17 przemiennego wykonać dla kilku wartośi zęstotliwośi z przedziału od 40 Hz do 100 khz. Wynik pomiaru błędu nastawy przedstawić w postai wykresu. Uwaga: oblizenia błędów i niepewnośi powinny być wykonywane w trakie przeprowadzania ćwizenia. Zaleane jest przyniesienie na zajęia kalkulatorów inŝynierskih realizująyh proste oblizenia statystyzne. 4. PYTANIA KONTROLNE 1. Podać definiję błędu bezwzględnego, poprawki oraz błędu względnego.. Opisać rodzaje błędów i ogólne sposoby ih wyznazania. 3. Wymienić typy niepewnośi i sharakteryzować je. 4. Opisać metody wyznazania standardowej niepewnośi typu A. 5. Opisać metody wyznazania standardowej niepewnośi typu B. 6. Opisać metodę wyznazania niepewnośi złoŝonej. 7. Opisać sposób sporządzania budŝetu niepewnośi. 5. LITERATURA [1] WyraŜanie niepewnośi pomiaru. Przewodnik. Główny Urząd Miar, Warszawa 1999 [] Turzenieka D., Oena niepewnośi wyniku pomiaru, Wydawnitwo Politehniki Poznańskiej, Poznań 1997 [3] Skubis T., Podstawy metrologiznej interpretaji wyników pomiaru, Wydawnitwo Politehniki Śląskiej, Gliwie 004 Opraował: dr inŝ. Marian Kampik v.1 / 14 XI 008