Krzywe stożkowe. 1 Powinowactwo prostokątne. 2 Elipsa. Niech l będzie ustaloną prostą i k ustaloną liczbą dodatnią.

Transkrypt

1 Krzywe stożkowe 1 Powinowatwo prostokątne Nieh l będzie ustaloną prostą i k ustaloną lizbą dodatnią. Definija 1.1. Powinowatwem prostokątnym o osi l i stosunku k nazywamy przekształenie płaszzyzny, które punktowi P przyporządkowuje taki punkt P, że MP = k MP, gdzie M jest rzutem prostokątnym punktu P na prostą l. Jeżeli wybierzemy na płaszzyźnie układ współrzędnyh w ten sposób, aby oś Ox pokryła się z prostą l, to wzory opisująe powinowatwo o stosunku k będą miał wyjątkowo prostą postać. Mianowiie, jeżeli przez (x, y) oznazymy współrzędne punktu P, a przez (x, y ) współrzędne punktu P, to ponieważ rzutem prostokątnym punktu P na oś Ox jest punkt M (x, 0), wię mamy związki { x = x y. (1) = k y Elipsa Rozważmy na płaszzyźnie kartezjańskiej okrąg o równaniu + y = a, gdzie a > 0. Sprawdzimy jakie równanie ma obraz tego okręgu w powinowatwie prostokątnym o osi Ox i stosunku k. Wystarzy w tym elu z równań (1) wylizyć x, y i podstawić do równania kręgu. Otrzymujemy: ( ) x y + = a. k Likwidują primy przy x, y i dzielą stronami przez a, dostajemy a + y k a = 1. 1

2 Na konie wprowadzają oznazenie b = ka, mamy równanie a + y = 1. () b Krzywą o równaniu () nazywamy elipsą. Lizba a jest długośią osi poziomej tej elipsy, zaś b długośią osi pionowej (Rys..1). y b -a 0 a x -b Rys..1 3 Hiperbola Nieh m będzie ustaloną lizbą dodatnią. Definija 3.1. Krzywą o równaniu xy = m (3) nazywamy hiperbolą równoosiową (Rys. 3.1). xy=m y=-x y y=x 0 x Rys. 3.1

3 Przebieg tej krzywej znamy jako wykres funkji potęgowej y = m x. Asymptotami tej krzywej są osie układu współrzędnyh, a jej osiami symetrii proste o równaniah y = x i y = x. Środkiem symetrii jest pozątek układu współrzędnyh. Obraają powyższą hiperbolę o 45 otrzymujemy hiperbolę o równaniu y = m, zyli wprowadzają oznazenie a = m, otrzymujemy równanie hiprboli w postai y = a. (4) Asymptotami tej hiperboli są proste o równaniah y = x i y = x, zaś osiami symetrii osie układu współrzędnyh (Rys. 3.). x - y =a y=-x y y=x -a 0 a x Rys. 3. Przekształają hiperbolę równoosiową (4) przez powinowatwo prostokątne o osi Ox i skali k otrzymujemy krzywą o równaniu y k = a, zyli dzielą stronami przez a i wprowadzają oznazenie b = ka, otrzymujemy równanie hiperboli (nierównoosiowej) w postai: a y = 1. (5) b Asymptotami hiperboli (5) są proste o równaniah y = kx i y = kx, zyli inazej y = b a x i y = b ax (Rys. 3.3). Lizby a i b nazywamy odpowiednio osią rzezywistą i osią urojoną hiperboli o równaniu (5). 3

4 y=-(b/a)x x /a - y /b = 1 y b y=(b/a)x -a 0 a x Rys Własnośi ogniskowe elipsy Zadanie 4.1. Wyznazyć równanie zbioru wszystkih punktów P, dla któryh suma odległośi P F 1, P F od dwóh danyh punktów F 1, F równa się danej lizbie a > F 1 F. Wprowadźmy oznazenia: F 1 F = (0 < < a), P F 1 = r 1 i P F = r. Obierzmy układ współrzędnyh w ten sposób, aby F 1 (, 0) i F (, 0). Wówzas z warunków zadania dla P (x, y) mamy r 1 = (x ) + y, r = (x + ) + y i r 1 + r = a. Mamy wię równanie (x ) + y + (x + ) + y = a, (x + ) + y = a (x ) + y. (6) Zauważmy, że gdybyśmy zmienili po prawej stronie ostatniego równania znak na przeiwny, to otrzymalibyśmy równanie sprzezne. Istotnie, równanie to można by wtedy zapisać w postai r 1 r = a, o jest niemożliwe dla żadnego P, gdyż r 1 r = P F 1 P F F 1 F = < a. 4

5 Zatem można równanie (6) podnieść stronami do kwadratu. Otrzymujemy wtedy równanie równoważne równaniu (6) (x + ) + y = 4a 4a (x ) + y + (x ) + y. Po uporządkowaniu i redukji dostajemy (x ) + y = a x. (7) a Podnosimy teraz do kwadratu stronami to równanie Stąd (x ) + y = a x + a x. (8) a a + y = a. Po podzieleniu stronami przez a mamy a + y a = 1. Pozostaje sprawdzić, zy podnoszenie do kwadratu równania (7) nie wprowadziło nowyh rozwiązań. Zauważmy, że z rozwiązania równania otrzymanego przez podniesienie do kwadratu wynika, że dla każdego P, będąego rozwiązaniem, zahodzi nierówność x a 1, a zatem x a, skąd a x < a i a x a < 0. Równanie (7) ze zmienionym znakiem po prawej stronie jest sprzezne dla każdego P będąego rozwiązaniem równania (8). Zatem równania (7) i (8) są równoważne. Wprowadzają oznazenie b = a widzimy, że otrzymaliśmy elipsę o długośiah osi a i a. Punkty F 1 i F nazywamy ogniskami elipsy. Długość F 1 F = = a b nazywa się odległośią ogniskową, a lizba e = a nazywa się mimośrodem elipsy. Ponieważ < a, wię e < 1. 5 Własnośi ogniskowe hiperboli Zadanie 5.1. Znaleźć zbiór punktów P, dla któryh różnia odległośi P F 1, P F od dwóh danyh punktów F 1, F jest równa danej długośi a (mniejszej od = F 1 F ). Wprowadzamy oznazenia, jak poprzednio, przy zym > a. Punkt P (x, y) należy do szukanego zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy r 1 r = a r r 1 = a, 5

6 (x + ) + y (x ) + y = a (x ) + y (x + ) + y = a, (x + ) + y = (x ) + y + a (9) (x + ) + y = (x ) + y a. (10) Podnoszą stronami do kwadratu, podobnie, jak poprzednio, otrzymujemy (x ) + y = a x a (x ) + y = a x + a. Alternatywa ta jest równoważna równaniu (x ) + y = a x x + a, a a y = a, a y b = 1, gdzie b = a. Poszukiwany zbiór jest wię hiperbolą o osiah a i b = a. Pozostaje tylko pytanie zy podnoszą równania stronami do kwadratu nie otrzymaliśmy zbyt wielu rozwiązań. Zauważmy, że zmienienie znaku po prawej stronie równania (9) na przeiwny prowadzi do ewidentnie fałszywej równośi (x + ) + y = (x ) + y a, w której lewa strona jest nieujemna, zaś prawa ujemna. Stąd równanie (9) jest równoważne otrzymanemu z niego przez podniesienie stronami do kwadratu. Zauważmy także, że równanie (x + ) + y = (x ) + y + a (11) otrzymane przez zmianę znaku po prawej stronie z równania (10) także jest sprzezne, bo dla dowolnego (x, y) mamy (x + ) + y + (x ) + y = P F 1 + P F F 1 F = > a, podzas, gdy z (11) wynika, że (x + ) + y + (x ) + y = a. Dla otrzymanej hiperboli punkty F 1, F nazywamy ogniskami hiperboli, lizbę F 1 F = = a + b nazywamy odległośią ogniskową, zaś lizbę e = a mimośrodem hiperboli. Ponieważ > a, wię e > 1. 6

7 6 Kierownie elipsy i hiperboli Zadanie 6.1. Dowiedź, że stosunek odległośi dowolnego punktu P (x, y) elipsy a + y b = 1 (lub hiperboli x a y b = 1) od jej ogniska (, 0) (odp. (, 0)) i od prostej x = a (odp. x = a ) jest stały i równa się mimośrodowi elipsy (hiperboli). Przeprowadzimy dowód dla elipsy oraz jej ogniska (, 0) i prostej x = a Zauważmy, że odległość punktu P od prostej o równaniu x = a a wynosi x. Korzystają wię z równania (7), które musi być spełnione przez każdy punkt P należąy do elipsy, otrzymujemy następująą wartość szukanego stosunku: (x ) + y a x = a a x a x = a = e. W pełni analogizne rozumowanie prowadzi do rozwiązania dla drugiego ogniska elipsy i prostej x = a oraz dla hiperboli. Definija 6.. Proste, o któryh mowa w Zadaniu 6.1 nazywamy kierowniami elipsy (odp. hiperboli). 7 Kierownia i ognisko paraboli Zadanie 7.1. Znajdź zbiór wszystkih punktów równo odległyh od danej prostej l i od danego punktu F nie leżąego na l. Wprowadźmy układ współrzędnyh tak, aby oś odiętyh przehodziła przez F, była prostopadła do l i aby była skierowana od jej punktu przeięia H z l do punktu F, zaś oś rzędnyh dobierzmy tak, aby była symetralną odinka HF. Oznazmy współrzędne punktu F przez ( p, 0). Wtedy równaniem prostej l( jest x = p. Rzut prostokątny Q punktu P (x, y) na prostą l ma współrzędne p, y). Punkt (x, y) należy do poszukiwanego zbioru punktów wtedy i tylko wtedy, gdy P F = P Q, tj. gdy ( x p ) + y = x + p. Obie strony tego równania są nieujemne możemy wię podnieść stronami do kwadratu ( x p ( + y ) = x + p. ). Po redukji otrzymujemy y = px. (1) 7

8 Łatwo widać, że równanie (1) przedstawia parabolę o wierzhołku w pozątku układu współrzędnyh, której osią symetrii jest oś Ox. Punkt F nazywa się ogniskiem, prosta l kierownią, a równanie (1) równaniem wierzhołkowym paraboli. Stwierdzenie 7.. Parabola jest zbiorem wszystkih punktów równo odległyh od jej ogniska i od jej kierowniy. 8