Analiza numeryczna niesprężystych belek żelbetowych z betonu wysokiej wytrzymałości o niskim stopniu zbrojenia
|
|
- Henryk Sobczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Budownitwo i Arhitektura 4 (29) 5-3 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi o niskim stopniu zbrojenia Politehnika Lubelska, Wydział Inżynierii Budowlanej i Sanitarnej, Katedra Konstrukji Budowlanyh, ul. Nadbystrzyka 4, Lublin, p.smarzewski@pollub.pl Streszzenie: W artykule przedstawiono analizę wytężenia zginanyh belek żelbetowyh wykonanyh z betonu wysokiej wytrzymałośi o niskim stopniu zbrojenia. Modelowanie deformaji elementów pod obiążeniem statyznym do zniszzenia włąznie z uwzględnieniem nieliniowośi fizyznyh betonu i stali zbrojeniowej przeprowadzono z wykorzystaniem zasad metody elementów skońzonyh. W elu zweryfikowania przyjętyh modeli materiałów konstrukyjnyh wyniki analiz numeryznyh przedstawiono na tle wyników eksperymentalnyh dostępnyh w literaturze. Słowa kluzowe: metoda elementów skońzonyh, elementy żelbetowe, belki. 1. Wprowadzenie W ostatnih latah wraz z większą wydajnośią systemów oblizeniowyh oraz możliwośią ih zastosowania w proesie analizy i projektowania konstrukji inżynierskih nastąpił intensywny rozwój metod numeryznyh używanyh w zakresie oblizeń statyznyh, wymiarowania i analizy zahowania konstrukji aż do osiągnięia przez nią stanów graniznyh. Metody numeryzne są jedyną drogą do uzyskania praktyznie przydatnyh rozwiązań w analizie złożonyh ustrojów przestrzennyh wykonanyh z materiałów nie podlegająyh prawom liniowej sprężystośi. Ze wszystkih metod numeryznyh najzęśiej stosowana jest Metoda Elementów Skońzonyh, która stała się podstawowym narzędziem analizy w bardzo wielu dziedzinah naukowyh i praktye inżynierskiej. Polega ona na podziale kontinuum o nieskońzonej lizbie punktów na skońzoną lizbę elementów połązonyh ze sobą w węzłah. Wszystkie zmienne w równaniu zagadnienia wyraża się przez przemieszzenia punktów węzłowyh wyznazane z układu równań algebraiznyh. Wymaga to sformułowania zależnośi geometryznyh oraz przyjęia związków konstytutywnyh uzależniająyh składowe stanu naprężenia i odkształenia. We współzesnym piśmiennitwie jest wiele monografii i artykułów poświęonyh tej metodzie. Do podstawowyh pra w tym zakresie należą monografie Zienkiewiza i Taylora [17], Crisfielda [6], Bathe [2], Kleibera [9], Boneta i Wooda [3]. Analiza wytężenia elementów konstrukyjnyh jest ważnym zagadnieniem mehaniki konstrukji, szzególnie w odniesieniu do materiałów kruhyh, gdyż
2 6 umożliwia oenę jej bezpiezeństwa i optymalne projektowanie. Zwiększenie nośnośi elementów konstrukyjnyh wykonanyh z materiałów kruhyh uzyskuje się przez zastosowanie zbrojenia w postai wiotkih prętów stalowyh rozłożonyh w materiale matryy elementu w tyh strefah, w któryh występują naprężenia roziągająe wywołująe zarysowanie materiału. Dynamizny rozwój tehniki komputerowej stworzył również możliwośi wykonania analiz nieliniowyh dotyząyh żelbetowyh układów konstrukyjnyh ze szzególnym uwzględnieniem zróżniowanyh sprężysto-plastyznyh harakterystyk materiałowyh: betonu i stali, rzezywistego układu zbrojenia, wzajemnej współpray obu materiałów oraz symulaji mehanizmu zniszzenia elementów konstrukyjnyh. Jak dowiodła praktyka inżynierska, zrealizowane dotyhzas konstrukje z betonu, zaprojektowane bez wspomagania komputerowego, spełniają najzęśiej swoje zadanie i nie uległy awariom, niemniej jednak różne wpływy fizyzne, takie jak skurz, oddziaływania termizne, naprężenia przyzepnośi i pełzanie lub geometryzne, takie jak złożony układ konstrukyjny były oeniane w dużym stopniu jedynie na podstawie intuiji inżynierskiej. Prowadziło to zęsto do znaznego przewymiarowania konstrukji w elu zapewnienia im wymaganego bezpiezeństwa oraz odpowiednih walorów użytkowyh. Analiza zahowania belek żelbetowyh wykonanyh z betonu o wysokiej wytrzymałośi była przedmiotem wielu pra doświadzalnyh m.in. Taerwe [15], Pee i Fabbroino [11], Rashida i Mansura [12]. W kraju podstawową praą w tym zakresie jest praa Kamińskiej [8], będąa źródłem wzorowyh wyników, do któryh odnoszone są własne rozwiązania teoretyzne. Beton wysokowartośiowy, zyli beton o wysokiej wytrzymałośi i jednoześnie wysokiej szzelnośi, zawiera wszystkie składniki już wześniej stosowane do betonów, ale dozowane w innyh proporjah. Szzegółowe informaje dotyząe klasyfikaji i właśiwośi tyh kompozytów materiałowyh na bazie ementu zostały przedstawione w monografii Aïtina [1]. Niewątpliwie zastosowanie betonów wysokowartośiowyh w budownitwie będzie stale wzrastało zarówno ze względu na jego wysoką wytrzymałość, jak i na wysoki moduł sprężystośi. Ponadto w bardzo wielu praktyznyh zastosowaniah olbrzymie znazenie ma wysoka odporność betonu wysokowartośiowego na wpływy klimatyzne i oddziaływanie agresywnego środowiska związana z jego bardzo wysoką szzelnośią. Speyfizne ehy betonów wysokowartośiowyh skłaniają ku konieznośi podjęia nie tylko badań doświadzalnyh, ale również teoretyznyh badań z zakresu konstytutywnego modelowania właśiwośi materiałowyh, w szzególnośi modelowania zahowania zbrojonyh elementów konstrukyjnyh oraz analizy mehanizmów wytężenia i zniszzenia konstrukji wykonanyh z takiego materiału. Przedmiotem pray są belki żelbetowe z betonu wysokiej wytrzymałośi traktowane jako kompozyja materiałowa składająa się z matryy betonowej wzmonionej wiotkimi prętami stalowymi rozłożonymi dyskretnie w materiale matryy. Głównym elem pray jest modelowanie mehanizmów zniszzenia belek żelbetowyh obiążonyh statyznie, proesów statyznego odkształania belek żelbetowyh wykonanyh z betonu wysokiej wytrzymałośi z uwzględnieniem nieliniowośi fizyznyh materiałów konstrukyjnyh betonu i stali zbrojeniowej.
3 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 7 Osiągnięie tego elu wymagało zrealizowania elów szzegółowyh, do któryh należą: opraowanie własnego modelu teoretyznego betonu dla materiału sprężysto-plastyznego z uwzględnieniem osłabienia materiałowego przy śiskaniu i roziąganiu, opraowanie oryginalnyh analiz zahowania przestrzennyh belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi pod obiążeniem statyznym, opraowanie efektywnej metody oblizeniowej długośi łuku Crisfielda w analizah niezwykle gwałtowanyh proesów zniszzenia: zarysowania i miażdżenia w elu dokładniejszego oszaowania pokrytyznego zahowania elementów konstrukyjnyh. Zakres pray obejmuje rozważania dotyząe modelowania niesprężystyh właśiwośi materiałów, modelowania proesów odkształania przestrzennyh ustrojów konstrukyjnyh oraz opraowanie rozwiązań numeryznyh. 2. Modelowanie właśiwośi materiałów konstrukyjnyh 2.1. Modelowanie właśiwośi betonu Pięioparametrowa powierzhnia granizna betonu Powierzhnię granizną betonu przedstawiono za pomoą modelu pięioparametrowego Willama i Warnke [16]. W elu opisania paraboliznego kształtu południków powierzhni graniznej model trójparametrowy uzupełniono o dodatkowe dwa parametry. Kryterium zniszzenia betonu w złożonym stanie naprężenia opisano wyrażeniem: F - S ³ f w którym: F funkja stanu naprężeń s, s, s xp yp zp działająyh w kierunkah prostokątnego układu współrzędnyh xyz,,, S - powierzhnia granizna zależna od naprężeń głównyh s, s, s, gdzie: s = max s s s (,, xp yp zp ), s min s, s, s (1) = 3 ( xp yp zp ) i s ³ s ³ s oraz pięiu parametrów: f wytrzymałośi na śiskanie w jednoosiowym stanie naprężenia (wywołująej miażdżenie), f t wytrzymałośi na roziąganie w jednoosiowym stanie naprężenia (wywołująej zarysowanie), f b wytrzymałośi w stanie dwuosiowego śiskania (wywołująej miażdżenie), f 1 wytrzymałośi w stanie dwuosiowego śiskania nałożonej w stanie naprężenia hydrostatyznego s h a oraz f 2 wytrzymałośi w stanie jednoosiowego śiskania nałożonej w stanie naprężenia hydrostatyznego s a h. Powierzhnia granizna betonu jest wykorzystywana jako kryterium zniszzenia zgodnie z następująą interpretają. Materiał znajduje się w stanie zniszzenia, gdy nierówność (1) jest spełniona. Jako stany zniszzenia rozróżnia się stan zarysowania, jeżeli dowolne naprężenie główne jest roziągająe, oraz stan zmiażdżenia, gdy wszystkie naprężenia główne są śiskająe. Powierzhnia granizna S jest definiowana przez pięć parametrów wytrzymałośiowyh f, f, f, f, f i stan hydrostatyznego naprężenia s a h t b 1 2.
4 8 Opis zniszzenia betonu określa się w ztereh zakresah stanu naprężenia: 1. ³ s ³ s ³ s (śiskanie-śiskanie-śiskanie), s ³ ³ s ³ s (roziąganie-śiskanie-śiskanie), s ³ s ³ ³ s (roziąganie-roziąganie-śiskanie), s ³ s ³ s ³ (roziąganie-roziąganie-roziąganie) W każdym zakresie stanu naprężenia, niezależne funkje F, F, F, F i S, S, S, S opisują odpowiednio funkję stanu naprężeń F i powierzhnię granizną S. Funkje te szzegółowo opisano w praah [13, 14] w każdym zakresie stanu naprężenia. Powierzhnię granizną i interpretaję grafizną promieni przekroju dewiatorowego r, r t w zależnośi od parametrów wytrzymałośiowyh x i kąta Lodego q przedstawiono na Rys. 1. zp /f (a) (b) a f 2 xp yp zp r f r t r r t r r r t yp /f f 1 r t b f b t f t xp /f Rys. 1. Konstrukja powierzhni graniznej: (a) w obszarze naprężeń głównyh i (b) w przekroju hydrostatyznym. Fig. 1. Spatial failure surfae: (a) in prinipal stress spae and (b) in hydrostati setion. Promień przekroju dewiatorowego r t jest określony przez parametry a, a, a 1 2 dobrane w taki sposób, aby f, f, f t b 1 leżały na powierzhni graniznej. Promień przekroju dewiatorowego r jest wyrażony przez parametry b, b, b określone na podstawie zależnośi zahodząyh wzdłuż południka śiskania przy q = 6. Wartośi 1 2 f, f 1 2 dobrano na poziomie stanu hydrostatyznego naprężenia dla konstrukji rzezywistej s a h. Powierzhnia granizna jest wypukła, jeśli wartośi parametrów spełniają silnie ogranizająe nierównośi: a >, a, a 1 2 b >, b, b 1 2 5, < r t < 125, r Model powierzhni graniznej opisany powyżej łatwo redukuje się do prostszyh modeli powierzhni graniznyh: ylindra Misesa, gdy: a = b, a = b = a = b =, stożka Drukera-Pragera, gdy: a = b, a = b, a = b =, (2)
5 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 9 stożka z nieobrotową podstawą, gdy: a a 1 =, a = b = lub stożka z krzywoliniowymi tworząymi i nieobrotową podstawą, gdy: a a a 2 2 b b = =. Wartośi b b b 1 2 parametrów harakteryzująyh ten model są łatwe do wyznazenia na podstawie standardowyh prób wytrzymałośiowyh. Zawiera on wszystkie trzy niezmienniki naprężeń w równoważnej formie naprężeń średnih s h, F i kąt Lodego q. Na Rys. 2 przedstawiono powierzhnię granizną w dwuosiowym stanie naprężenia po zrzutowaniu na płaszzyznę s xp s yp w obszarze największyh niezerowyh naprężeń normalnyh s xp, s yp. Stany bezpieznej pray materiału znajdują się wewnątrz tej powierzhni, której ewoluja będzie reprezentować wzmonienie lub osłabienie materiałowe. Osiągnięie przez śieżkę naprężenia powierzhni graniznej skutkuje wzrostem odkształeń bez zmiany naprężenia lub osłabieniem materiałowym opisująym spadek naprężeń. Na powierzhni graniznej natomiast są położone punkty odpowiadająe zniszzeniu w funkji znaku naprężenia normalnego s zp w kierunku z. Fizyznie niemożliwy jest stan, któremu odpowiada punkt położony na zewnątrz ogranizonego obszaru. Jeżeli w kierunkah x, y występuje śiskanie ( s xp <, s yp < ), a w kierunku z roziąganie ( s zp > ), to rysa powstanie w płaszzyźnie prostopadłej do naprężenia roziągająego s zp. Materiał zostanie zmiażdżony, gdy wartość naprężenia normalnego jest nieznaznie mniejsza lub równa zero ( s zp ). Moduł sprężystośi zmiażdżonego elementu materiału matryy betonowej we wszystkih kierunkah jest równy zero. yp f zarysowanie f t zarysowanie f t xp zp > (zarysowanie lub mia d enie) zp = (mia d enie) zp < (mia d enie) f zarysowanie Rys. 2. Powierzhnia granizna w obszarze naprężeń normalnyh w dwuosiowym stanie naprężenia. Fig. 2. Failure surfae in prinipal stress spae with biaxial stress.
6 Propozyja własna prawa ewoluji powierzhni graniznej w przestrzeni naprężeń Równania opisująe krzywą zależnośi pomiędzy odkształeniami i naprężeniami są bardzo użytezne w zastosowaniah do analizy konstrukji. Interpretują wyniki analiz numeryznyh belek żelbetowyh z betonu o wysokiej wytrzymałośi zauważono, że zastosowanie proponowanyh literaturowyh równań opisująyh zależnośi pomiędzy odkształeniami i naprężeniami prowadzi do znaznego zmniejszenia graniznyh ugięć konstrukji. Mniejsze krzywizny granizne oznazają zmniejszenie możliwośi redystrybuji sił wewnętrznyh w konstrukji, niekorzystne z punktu widzenia jej bezpiezeństwa. Na Rys. 3 na podstawie przeprowadzonyh doświadzeń numeryznyh belek żelbetowyh w konfrontaji z wynikami doświadzalnymi belek żelbetowyh przedstawionymi w pray Kamińskiej [8] zaproponowano własną konepję zahowania betonu o wysokiej wytrzymałośi w stanie jednoosiowego śiskania i roziągania w konstrukji żelbetowej. Istotą własnej zależnośi naprężenie-odkształenie dla betonu jest uwzględnienie w stanie jednoosiowego śiskania fazy sprężysto-plastyznego wzmonienia i fazy osłabienia materiałowego oraz potwierdzonej doświadzalnie m.in. przez Pee, Fabbroino [11] i Kamińską [8] obserwaji o znaznie większyh wartośiah graniznyh odkształeń uzyskanyh w konstrukjah niż na próbkah, związanyh ze zbrojeniem konstrukji i efektem skali. (a) t (b) f f t,8f E f t f /3 dla < dla R t E t =E 1 u k k t Rys. 3. Propozyja zależnośi naprężenie-odkształenie dla betonu: (a) w stanie jednoosiowego śiskania, (b) w stanie jednoosiowego roziągania. Fig. 3. Proposal stress-strain relationship for onrete: (a) in uniaxial ompression, (b) in uniaxial tension. Zakres fazy sprężystej w betonie przy śiskaniu jest uzależniony od stopnia zbrojenia konstrukji i wytrzymałośi betonu. Dla betonu o wysokiej wytrzymałośi przy wysokim stopniu zbrojenia większym od 1,5 % założono liniowy przebieg funkji naprężenie-odkształenie przy śiskaniu do ok. 7 % wartośi graniznej wytrzymałośi na śiskanie f. Związany jest on również z bardziej sztywnym zahowaniem betonu wysokowartośiowego niż betonu zwykłego z powodu większej wytrzymałośi warstwy kontaktowej kruszywo-matrya i mniejszą ilośią mikrospękań. Powyżej występuje faza sprężysto-plastyznego wzmonienia matryy betonowej z liniowym przyrostem naprężenia do graniznej wytrzymałośi na śiskanie f. Po jej osiągnięiu beton ulega osłabieniu do 8 % wartośi graniznej
7 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh wytrzymałośi na śiskanie przy graniznym odkształeniu e u, a gałąź krzywej opada łagodnie w obszarze osłabienia materiałowego. W wielu modelah powstałyh w opariu o badania próbek opadająa zęść krzywej jest tym moniej nahylona im wyższa jest wytrzymałość betonu, o świadzy o większej kruhośi betonu wysokiej wytrzymałośi. Ta prawidłowość nie zawsze jednak znajduje odzwieriedlenie w zahowaniu betonu w żelbetowyh elementah konstrukyjnyh. Ponadto wyniki badań doświadzalnyh wykazały, że obawy o niską odkształalność betonu wysokiej wytrzymałośi w elementah konstrukyjnyh są nieuzasadnione. W badaniah Kamińskiej [8] stwierdzono, że w tyh elementah, które uległy zniszzeniu przez zmiażdżenie betonu strefy śiskanej, odkształenia betonu osiągały aż 6 i były dwukrotnie wyższe niż odkształenia niszząe rejestrowane na próbkah, o jest korzystne z punktu widzenia bezpiezeństwa konstrukji. Przyjęie zbyt małyh możliwośi odkształania się betonu wysokiej wytrzymałośi przy śiskaniu, jak np. w zaleeniah Model Code 9 [4], powoduje znazne zmniejszenie graniznyh krzywizn elementów konstrukyjnyh. Z tyh powodów w modelu do analiz konstrukji żelbetowyh zaproponowano większą możliwość odkształania się betonu przy śiskaniu. Założono odkształenia e 1 odpowiadająe graniznej wytrzymałośi na śiskanie f równe 6, a odkształenia granizne przy śiskaniu e u równe 12. Krzywa naprężenie-odkształenie dla betonu przy roziąganiu ma przebieg liniowy do graniznej wytrzymałośi na roziąganie f t. Założono na podstawie pray Lyndona i Balendrana [1], że moduł sprężystośi przy roziąganiu jest równy modułowi przy śiskaniu. Po osiągnięiu tej wartośi powstają rysy w betonie i następuje kruhy spadek wytrzymałośi związany z pękaniem do wartośi większej lub równej 6 % graniznej wytrzymałośi na roziąganie. Wartość parametru T powinna być dobrana z przedziału zamkniętego T Î 61, ;. W wyniku przyzepnośi na odinku między rysami beton przejmuje znaząe wielkośi naprężeń roziągająyh stal zbrojeniową i w konsekwenji konstrukja żelbetowa zwiększa swoją sztywność. Taki efekt usztywnienia uwzględniono przez założenie stopniowego, łagodnego spadku wytrzymałośi na roziąganie do zera przy zniszzeniu betonu przy średnih odkształeniah równyh:,8, gdy T = 6, oraz 1,4, gdy T = Charakterystyka elementów skońzonyh materiału matryy betonowej W analizie konstrukji betonowyh zastosowanie elementów sześiośiennyh jest korzystne ze względu na zazwyzaj ortogonalny przebieg zbrojenia. Element skońzony materiału matryy betonowej jest definiowany przez izotropowe właśiwośi materiału i osiem punktów węzłowyh o trzeh stopniah swobody w każdym z nih, to jest przemieszzenia w punktah węzłowyh w kierunkah x, yz,. W każdym elemenie skońzonym we wszystkih punktah numeryznego ałkowania w trzeh płaszzyznah lokalnego układu współrzędnyh prostopadłyh oblizane są odkształenia i naprężenia. Shemat elementu skońzonego i oblizeniowe punkty numeryznego ałkowania przedstawiono na Rys. 4.
8 12 5 P 6 4 O C 8 x z M I y 2 L N J 3 1 K z y C 1 C 2 Rys. 4. Element skońzony materiału matryy betonowej i punkty numeryznego ałkowania w tym elemenie. Fig. 4. Finite element of the onrete matrix material and integration points in onrete solid element. Założony model rysy rozmytej umożliwia opis zarysowania w każdym punkie numeryznego ałkowania na trzeh kierunkah prostopadłyh w przestrzeni naprężeń głównyh. Rysa powstaje wtedy, gdy roziągająe naprężenie główne jest większe od wytrzymałośi betonu na roziąganie. W grafiznej reprezentaji wyników zarysowanie jest przedstawione w postai okręgu widoznego w kierunku prostopadłym do głównego naprężenia, jak zilustrowano na Rys. 5. y C 5 x C 4 C6 C 7 C 3 oznazenie rysy punkt numeryznego a kowania x kierunek napr e g ównyh Rys. 5. Oznazenie zarysowania. Fig. 5. Craking sign. z W następnej kolejnośi naprężenia styzne do płaszzyzny pierwszej rysy mogą wywołać drugą i trzeią rysę, która powstanie w punkie numeryznego ałkowania w kierunku prostopadłym do wywołująej ją odpowiedniej składowej naprężenia głównego. W stanie zarysowania lub zmiażdżenia betonu w elemenie skońzonym jest dodawana mała wartość sztywnośi dla zahowania równowagi numeryznej.
9 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh Związki konstytutywne betonu Maierz sprężystośi [ D ] dla materiału izotropowego jest przedstawiona w postai: é E D ù ëê ûú = 1+ n 1 2n ( )( - ) é 1 - n n n n 1 - n n n n 1 - n 1-2n 2 1-2n 2 1-2n ëê 2 gdzie: E moduł sprężystośi betonu, n współzynnik Poissona. W stanie zarysowania i miażdżenia maierz sztywnośi jest odpowiednio dostosowana do harakteru uszkodzenia. W modelowaniu numeryznym, w którym posługujemy się rozmytym obrazem rys, koniezne jest zastosowanie opisu uwzględniająego ehy betonu po powstaniu rys. Powstanie rysy w punkie numeryznego ałkowania opisuje zmodyfikowana maierz sztywnośi z wprowadzoną płaszzyzną osłabienia usytuowaną w kierunku prostopadłym do powierzhni rysy. Parametr b t jest mnożnikiem redukująym nośność na śinanie przy obiążeniu wywołująym poślizg w płaszzyźnie prostopadłej do powierzhni rysy. Zależność między naprężeniem a odkształeniem dla materiału zarysowanego w jednej płaszzyźnie jest zapisana w postai maierzowej: éd ëê k ù E ûú = 1 + n é R ëê t ( 1 + n ) ù E 1 n 1-n 1-n n 1 1 -n 1 -n b t b t 2 ûú w której indeks k opisuje maierz sztywnośi w układzie współrzędnyh z osią x k, analogiznym z kierunkiem naprężeń głównyh. Interpretaję grafizną modułu osłabienia R t i mnożnika sztywnośi strefy roziąganej w fazie zarysowania T przy uwzględnieniu naprężeń relaksayjnyh po zarysowaniu przedstawiono na Rys. 3b. Podzas zamykania się rysy w maierzy é k D ù ëê jest wprowadzony parametr ûú śinania b : ù úû (3) (4)
10 14 éd ëê k ù E ûú = 1+ n 1 2n ( )( - ) é 1 - n n n n 1 - n n n n 1- n b 1 2n ( - ) 2 1-2n 2 b 1-2n ëê 2 ( ) ù (5) ûú Maierz sztywnośi dla betonu zarysowanego w dwóh i trzeh płaszzyznah jest postai: éd ëê k é t R E t R E 1 ù E t ûú = b 21 ( + n ) bt 2( 1 + n ) bt 21+ ë ê n ( ) a w przypadku, gdy rysy zamykane są w dwóh i trzeh płaszzyznah to zależność jest wyrażona w postai maierzowej (5). Rozwarie lub zamknięie rysy w punkie numeryznego ałkowania zależy od znaku odkształenia przy zarysowaniu e k k. Miażdżenie betonu w punkie numeryznego ałkowania powstaje, gdy ulega on zniszzeniu przy jednoosiowym, dwuosiowym lub trójosiowym śiskaniu. Miażdżenie w elemenie skońzonym jest opisane zgodnie z założeniami teorii plastyznego płynięia jako końowy stan proesu osłabienia materiałowego przy śiskaniu Modelowanie właśiwośi stali zbrojeniowej W konstrukjah betonowyh stal jest używana w postai prętów zbrojeniowyh. Upraszza to znaznie problem modelu materiałowego stali do jednoosiowego stanu naprężenia. W oblizeniah numeryznyh założono model materiałowy stali zbrojeniowej sprężysto-plastyzny o identyznyh harakterystykah przy roziąganiu i śiskaniu. Na Rys. 6 przedstawiono modele materiałowe stali zastosowane w analizie konstrukyjnej ustrojów żelbetowyh. Dla płyt stalowyh usytuowanyh w miejsah podparia i przyłożenia siły skupionej założono model materiałowy liniowo-sprężysty. ù û ú (6)
11 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh s 2 f s f y E s 1 iskanie E T su y s y su s rozi ganie E s 1 E T f y 2 s f st Rys. 6. Wykresy naprężenie-odkształenie dla stali zbrojeniowej zastosowane w analizah modelowyh belek żelbetowyh: linia 1 materiał sprężysto idealnie plastyzny, linia 2 materiał sprężysto plastyzny ze wzmonieniem. Fig. 6. Stress-strain urve for steel reinforement used for the analyses reinfored onrete beam models: line 1 elasti perfetly plasti material, line 2 elasti plasti material with hardening. W modelowaniu stali zbrojeniowej zastosowano przestrzenny element prętowy zilustrowany na Rys. 7, posiadająy dwa punkty węzłowe o trzeh stopniah swobody. w v s J u I y x z Rys. 7. Element skońzony stali zbrojeniowej. Fig. 7. Finite element of the steel reinforement. Sześiośienny element skońzony stali zastosowany do modelowania płyt na podporze belki i w strefie przyłożenia siły skupionej odpowiada elementowi przedstawionemu na Rys. 4.
12 16 3. Metoda analizy 3.1. Modele elementu żelbetowego W modelowaniu belek zastosowano model zbrojenia dyskretnego w elemenie betonowym. Siatkę przestrzennyh elementów skońzonyh prętów zbrojeniowyh powiązano z siatką elementów skońzonyh matryy betonowej poprzez modelowanie zgodnośi przemieszzeń węzłów wspólnyh obydwu siatek, Rys. 8. Dla tak dyskretyzowanego ustroju maierz sztywnośi jest sumą sztywnośi elementów skońzonyh matryy betonowej i sztywnośi elementów skońzonyh zbrojenia. C 8 element sko zony materia u matryy betonowej C 5 C 7 C 4 C6 C 3 S 1 C 1 C 2 element sko zony stali zbrojeniowej Rys. 8. Połązenie elementu skońzonego z betonu z elementem stalowym. Fig. 8. Connetivity onrete solid and steel link finite elements. S Warunki brzegowe i obiążenie zastępze Warunki brzegowe wprowadzono w dwóh płaszzyznah symetrii belki. Na Rys. 9 przedstawiono warunki brzegowe w analizowanyh modelah numeryznyh. y B y h A ogranizenie w kierunku x x b z x z L Rys. 9. Warunki brzegowe w płaszzyznah symetrii dla ½ belki BP-1a. Fig. 9. Boundary onditions for planes of symmetry use of a ½ beam BP-1a. Warunki brzegowe na podporah modelowano jako poziome płyty stalowe przekazująe siły węzłowe elementów materiału matryy betonowej na poprzezny
13 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh wałek stalowy umożliwiająy obrót belki w płaszzyźnie zginania. Obiążenie siłą skupioną F jest przyłożone za pośrednitwem poziomej płyty stalowej. Przyjęto równomierny rozkład siły w węzłah w kierunku poprzeznej osi symetrii płyty stalowej. Przykładowe warunki na podporze i w strefie obiążenia zilustrowano na Rys. 1. obi enie przy o one w w z ah p yty F B A wale na podporze z mo liwo i obrotu w p aszzy nie (x,y) Rys. 1. Warunki brzegowe na podporze i w strefie przyłożenia obiążenia dla ½ belki BP-1a. Fig. 1. Boundary onditions for support and at the loading plate use of a ½ beam BP-1a Metody numeryzne rozwiązania układu równań równowagi Metoda Newtona-Raphsona Metoda Newtona-Raphsona przedstawiona grafiznie na Rys. 11 jest proesem iterayjnego rozwiązywania równań nieliniowyh postai: é T K ù a Du F F ëê i i i nr ûú { }= { }- { } { u u u i+ }= { i}+ { D 1 i } (8) é T Ki ù ëê ûú maierz sztywnośi styznej, i indeks odpowiadająy numerowi kroku nr przyrostowego, { F i } wektor wewnętrznyh sił węzłowyh odpowiadająyh stanowi naprężenia panująemu w dyskretyzowanym układzie. Maierz é T K ù ëê i ûú i wektor F nr { i } oblizono na podstawie wartośi wektora przemieszzenia { u i }. (7)
14 18 F a F i+2 nr K T i+2 [K ]= T obi enie, F F i+1 nr F i nr K T i u i iteraja 1 u i+1 u i+2 K T i+1 iteraja 2 iteraja 3 u i u i+1 Rys. 11. Metoda Newtona-Raphsona. Fig. 11. Newton-Raphson solution. u i+2 u i+3 przemieszzenie, u Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym Metoda spadku adaptayjnego przedstawiona w pray Eggerta i in. [7] polega na zmianie śieżki rozwiązania w pobliżu punktu graniznego i poruszaniu się wstez wzdłuż sieznej aż do szybkiego uzyskania zbieżnośi rozwiązania numeryznego. Maierz sztywnośi w równaniu Newtona-Raphsona (7) jest opisana jako suma dwóh maierzy: ( ) é ëê ék ù K K ëê i ûú = x é ù ëê ûú x T S T ù ûú é K ëê S ù maierz sztywnośi sieznej, é ù KT maierz sztywnośi styznej, ûú ëê ûú x parametr spadku adaptayjnego. Metoda polega na uzgodnieniu parametru spadku adaptayjnego x podzas iteraji równowagi. Maierz sztywnośi sieznej jest generowana w metodzie numeryznej w wyniku rozwiązywania nieliniowyh zagadnień dotyząyh uplastyznienia materiału, sztywnośi konstrukji z dużymi odkształeniami, zmiażdżenia betonu z uwzględnieniem naprężeń relaksayjnyh po zarysowaniu Metoda Crisfielda W przedstawionej na Rys. 12 metodzie numeryznej długośi łuku Crisfielda równanie (7) uzależniono od parametru obiążenia l : (9)
15 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh é T K ù a Du l F F ëê i i i nr ûú { }= { }- { } (1) u 1 II u 1 I iteraja 1 (u 1, 1F a ) iteraja 2 (u 2, 2F a ) iteraja 3 (u, F a ) 3 3 ie ka równowagi nowy punkt zbie no i F a F a F a K T i l ukowa powierzhnia ogranizaj a obi enie, F F a F 1 nr poprzedni punkt zbie no i (u, F a ) F 3 nr u u 1 u 2 u 3 przemieszzenie, u Rys. 12. Metoda długośi łuku Crisfielda [5]. Fig. 12. Crisfield ar-length method [5]. W metodzie tej zmienny parametr obiążenia l poszukiwany w równaniah równowagi w proedurze elementów skońzonyh jest wprowadzony z przedziału -11,. Równanie w pośrednim kroku obiążenia jest postai: ( ) { }- { } é T K ù a a u F F F ëê nr i ûú { D i }- Dl{ }= l + Dl i i (11) Dl parametr przyrostu obiążenia. Na podstawie równania (11) poszukiwany wektor przyrostu przemieszzenia Du i { } złożony z dwóh składowyh opisano jako: Du D Du I II { Du i}= l { i }+ { i } I { Du i } wektor przyrostu przemieszzenia wywołany jednostkowym parametrem { } wektor przyrostu przemieszzenia w metodzie Newtona-Ra- II obiążenia, Du i phsona. (12) Parametr przyrostu obiążenia Dl określono wg równania długośi łuku:
16 3 3 2 T = + i i { n } { n } l Dl b Du Du b parametr skalowania, Du n suma przyrostów przemieszzenia Du i w bieżąym kroku iterayjnym. Oblizenia parametru Dl przeprowadzono w opariu o zasadę prostopadłośi: (13) T - { } { } I + i { n} { i } II r Du Du i n i Dl = T 2 b Dl Du Du r i niezrównoważony parametr otrzymywany w wyniku skalarnego mnożenia wektora normalnego i styznego. 4. Doświadzenia numeryzne belek żelbetowyh z betonu o wysokiej wytrzymałośi W numeryznyh modelah przestrzennyh belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi zastosowano wymiary elementów oraz właśiwośi materiałów jak dla wolnopodpartyh belek prostokątnyh BP-1a, BP-1b badanyh przez Kamińską. Wszystkie elementy wykonano z betonu o wytrzymałośi f = 7-8 MPa. Wymiary i przekrój poprzezny belek wraz z układem zbrojenia i shematem obiążenia przedstawiono na Rys. 13. (14) F blaha stalowa 8 x 15 x 2 BP-1a F blaha stalowa 8 x 15 x 2 strzemiona x 1 7 x x BP-1b F blaha stalowa 8 x 15 x 2 F 1 15 blaha stalowa 8 x 15 x 2 1 strzemiona 9 x 1 9 x Rys. 13. Wymiary i przekrój poprzezny belek BP-1 wraz z układem zbrojenia i shematem obiążenia. Fig. 13. Dimensions and ross-setion of BP-1 beams with reinforement and loading arrangements.
17 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh Właśiwośi materiałów konstrukyjnyh ustalone doświadzalnie przez Kamińską określają następująe parametry modeli konstytutywnyh podane w kolejnośi dla belek BP-1a, BP-1b: BETON WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI wytrzymałość na śiskanie w jednoosiowym stanie naprężenia f = 81,2 MPa, 72,8 MPa, moduł sprężystośi E = 353 MPa, 34 MPa, wytrzymałość na roziąganie w jednoosiowym stanie naprężenia f t = 5,23 MPa, 4,73 MPa, współzynnik Poissona n =,15, gęstość betonu r = 26 kg/m 3, granizne odkształenia w fazie wzmonienia sprężysto-plastyznego e 1 = 6, granizne odkształenia w fazie osłabienia e u = 12, parametr nośnośi na śinanie dla rozwaria rys b t =,5, parametr nośnośi na śinanie dla zamknięia się rys b =,99. STAL ZBROJENIOWA moduł sprężystośi dla f 1 ze stali A-III E s = 194 GPa, dla f 6 ze stali A-II E s = 21 GPa, grania plastyznośi dla f 1 ze stali A-III f y = 42 MPa, dla f 6 ze stali A-II f y = 353 MPa, wytrzymałość stali na roziąganie i śiskanie dla f 1 ze stali A-III f st = 624 MPa, dla f 6 ze stali A-II f st = 466 MPa, granizne odkształenia w zakresie plastyznośi dla f 1 ze stali A-III e su = 116, dla f 6 ze stali A-II e su = 75, moduł odkształenia plastyznego dla f 1 ze stali A-III E T = 1792,1 MPa, dla f 6 ze stali A-II E T = 1542,8 MPa, współzynnik Poissona n s =,3, gęstość stali r s = 78 kg/m 3. STAL PŁYT PODPOROWYCH I PŁYT PRZEKAZUJĄCYCH OBCIĄŻENIE moduł sprężystośi E s = 21 GPa, współzynnik Poissona n s =,3, gęstość stali r s = 78 kg/m 3. Uwzględniają podłużną symetrię elementu, modelowano ½ belki o długośi 17 mm, szerokośi 15 mm i wysokośi 3 mm. Na Rys. 14 przedstawiono podział belek BP-1a i BP-1b na elementy skońzone z zaznazonymi punktami obserwaji zmian przemieszzenia i odkształenia.
18 22 element betonowy 2 x 25 x 25 BP-1a element p yty stalowej w miejsu przy o enia obi enia: 2 x 25 x 2 s u d BP-1b s u d s u d element p yty stalowej na podporze: 2 x 25 x 2 Rys. 14. Podział belek BP-1 na elementy skońzone z oznazonymi punktami obserwaji zmian przemieszzenia i odkształenia. Fig. 14. FEM disretization for BP-1 beams with appointed items of observation of variations defletion and strain Wyniki doświadzeń numeryznyh Analiza stanu zarysowania Na Rys. 15 przedstawiono zestawienie obrazu rzezywistego zarysowania dla ałej belki z numeryznym obrazem rys rozmytyh dla lewej połowy belki przy tym samym poziomie obiążenia. F = 23 kn
19 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym [N-R ad] Metoda długośi łuku Crisfielda [A-L] Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym [N-R ad] Metoda długośi łuku Crisfielda [A-L] Rys. 15. Eksperymentalny i numeryzny obraz zarysowania belek BP-1. Fig. 15. Experimental and numerial of rak patterns for BP-1 beams. Otrzymane wyniki numeryzne obszarów zarysowanyh są jakośiowo zgodne, o do usytuowania, kierunku i konentraji z wynikami doświadzalnymi, przy zym zaobserwowano nieznaznie większe obszary rys w kierunku podpory w przypadku wyników numeryznyh. Zarówno w belkah modelowyh, jak i doświadzalnyh o niskim stopniu zbrojenia BP-1a na odinku zystego zginania układ głównyh rys dokładnie pokrywa się z układem strzemion. Ponadto uzyskane numeryznie obrazy rys rozmytyh potwierdzają tendenję o kształtowaniu się rys zbiorzyh w elementah z betonu o wysokiej wytrzymałośi, zaobserwowaną również w badaniah doświadzalnyh, które praktyznie uniemożliwiają ustalenie średniego rozstawu pomiędzy rysami. W wyniku braku strzemion w modelowyh, jak i doświadzalnyh belkah BP-1b o niskim stopniu zbrojenia na odinku zystego zginania układ rys jest przypadkowy.
20 24 Numeryznie obrazy rys rozmytyh uzyskane przy wykorzystaniu metody długośi łuku Crisfielda najlepiej odzwieriedlają rzezywisty obraz zarysowania. Niedokładnośi w obszarah rys, związane z ih znaznym zagęszzeniem, można prawdopodobnie wyeliminować poprzez redukję minimalnego kroku przyrostu obiążenia, o równoześnie spowoduje znazne wydłużenie zasu trwania oblizeń numeryznyh. Niewątpliwie tak uzyskane wyniki będzie harakteryzować większa dokładność, gdyż zostaną uwzględnione wszystkie fazy pray zginanyh belek żelbetowyh, poprawiona będzie lokalizaja rys pierwotnyh z równozesnym uzyskaniem wąskih obszarów rys rozmytyh we wszystkih etapah obiążenia Analiza stanu odkształenia i naprężenia Do obserwaji zmian odkształenia betonu w zależnośi od obiążenia przyjęto punkt na górnej krawędzi w przekroju środkowym belek BP, natomiast do rejestraji zmian odkształenia stali w zależnośi od obiążenia przyjęto punkt w poziomie pręta podłużnego w strefie roziąganej w przekroju środkowym belek, Rys. 14. Na Rys. 16 przedstawiony jest rozwój odkształeń skrajnyh włókien strefy śiskanej betonu w środku doświadzalnyh belek BP i w ih modelah numeryznyh. Metoda N-R ad Metoda A-L BP-1a F [kn] F [kn] Kami ska MES Kami ska ] ] MES F [kn] BP-1b F [kn] Kami ska MES ] Kami ska ] Rys. 16. Porównanie rozwoju odkształeń skrajnyh włókien strefy śiskanej betonu w środku belek BP-1. Fig. 16. Comparison of development of strain in extreme fibres of the onrete ompression zone for BP-1 beams at midspan. MES
21 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh Z kolei na Rys. 17 prezentowane są wykresy zależnośi odkształenia pręta podłużnego strefy roziąganej w funkji obiążenia F w środku eksperymentalnyh belek BP i w ih modelah numeryznyh. W przypadku krzywyh doświadzalnyh belek BP-1 przedstawiono również gałęzie odiążenia elementu zarejestrowane w hwili wyzerpania możliwośi stanowiska badawzego do dalszego odkształania się elementów o niskim stopniu zbrojenia. Metoda N-R ad Metoda A-L BP-1a MES 24 MES F [kn] Kami ska F [kn] Kami ska s ] s ] BP-1b F [kn] Kami ska MES F [kn] Kami ska MES s ] s ] Rys. 17. Porównanie rozwoju odkształeń pręta podłużnego strefy roziąganej w środku belek BP-1. Fig. 17. Comparison of development of strain in longitudinal bar of the tension zone for BP-1 beams at midspan. Wykresy obiążenie-odkształenie stali zbrojeniowej w środku belki harakteryzują się zgodnym przebiegiem z krzywymi eksperymentalnymi. W obszarze zahowania liniowo-sprężystego odkształenia pręta podłużnego określone numeryznie są prawie identyzne z pomierzonymi doświadzalnie. Niezgodnośi pomiędzy wynikami numeryznymi i doświadzalnymi dla betonu śiskanego i zbrojenia roziąganego obserwuje się w fazie sprężysto-plastyznej pray belki po zarysowaniu betonu, a następnie po uplastyznieniu zbrojenia. Na wykresah otrzymanyh w wyniku oblizeń numeryznyh metodą długośi łuku [A-L] widozny jest harakterystyzny nieznazny spadek obiążenia w hwili powstania pierwszyh rys. Wyraźnie widozne jest załamanie wykresów związane z uplastyznieniem zbrojenia roziąganego.
22 Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia Na Rys. 18 zilustrowano porównania nieliniowyh zależnośi obiążenieprzemieszzenie pionowe w środku belek otrzymane w analizah numeryznyh i doświadzeniah. W obszarze naprężeń sprężystyh i po zarysowaniu modelowa belka harakteryzuje się prawie taką samą sztywnośią jak belka eksperymentalna, gdyż w betonie o wysokiej wytrzymałośi tworzy się mniej mikrorys, o przejawia się bardziej gwałtownym pękaniem. Metoda N-R ad Metoda A-L BP-1a F [kn] F [kn] Kami ska MES u d [mm] Kami ska u d [mm] MES F [kn] BP-1b F [kn] MES u d [mm] Kami ska Kami ska u d [mm] Rys. 18. Porównanie zależnośi przemieszzenia pionowego w środku belki od obiążenia. Fig. 18. Comparison of relationship load-defletion at midspan for beam. Drobne różnie dotyzą wartośi obiążenia rysująego i fazy powstania uplastyznienia stali zbrojeniowej. Na wykresie obiążenie-przemieszzenie faza uplastyznienia zbrojenia opisana jest standardowo, przez nagłe zmniejszenie sztywnośi belki. Zastosowane metody przyrostowo-iterayjne: zarówno tehnika ustalania spadku adaptayjnego (N-R ad adaptive desent), jak i długośi łuku Crisfielda (A-L ar-length) dają zadowalająe wyniki numeryzne, jakośiowo zgodne z wynikami eksperymentów. Ostatnio przeprowadzane badania belek żelbetowyh przy wykorzystaniu preyzyjnej aparatury pomiarowej [12] dowodzą, że skutki pęknięć belki w strefie MES
23 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh roziąganej nie są kompensowane przez sprężyste właśiwośi stali i plastyzność betonu w strefie śiskanej. W związku z tym na krzywej zależnośi obiążenie-ugięie obserwowane są efekty osłabienia w postai gwałtownyh spadków obiążenia. Takie efekty w oblizeniah numeryznyh uzyskano przy zastosowaniu algorytmu oblizeniowego Crisfielda umożliwiająego wygenerowanie kompletnej śieżki rozwiązania z lokalnymi spadkami sztywnośi i globalnym osłabieniem konstrukji. Ponadto algorytm ten harakteryzuje duża efektywność, a zmienny krok przyrostu obiążenia i prawidłowo dobrane parametry długośi łuku gwarantują znazne skróenie zasu oblizeń i uzyskanie bardzo dokładnego rozwiązania numeryznego. 5. Wnioski z doświadzeń numeryznyh 5.1. Wnioski dotyząe analizy zahowania belek żelbetowyh 1. Oblizenia numeryzne wykonano dla sprężysto-idealnie plastyznego modelu stali zbrojeniowej oraz sprężysto-kruhego modelu betonu z osłabieniem przy roziąganiu. Natomiast przy śiskaniu wykorzystano autorską propozyję sprężysto-plastyznego modelu betonu z wytrzymałośią resztkową. 2. Zahowanie numeryznyh modeli belek żelbetowyh opisywane zależnośią obiążenie-ugięie w środku rozpiętośi wskazuje na bardzo dobrą zgodność z wynikami doświadzalnymi w ałym zakresie obiążenia. Z eksperymentów numeryznyh przeprowadzonyh dla belek żelbetowyh wynika zależność wytężenia konstrukji od stopnia zbrojenia i sposobu jego rozkładu w materiale matryy betonowej w ałym zakresie pray konstrukji. 3. We wszystkih przypadkah różnie pomiędzy obiążeniami graniznymi uzyskanymi w oblizeniah numeryznyh a wynikami doświadzalnymi nie przekrazają 5%. Najmniejszy rozrzut wyników jest harakterystyzny dla belek rozwiązywanyh metodą długośi łuku Crisfielda. 4. W przedstawionyh zestawieniah rzezywistyh obrazów zarysowania belek żelbetowyh z numeryznymi obrazami rys rozmytyh przy tyh samyh poziomah obiążenia obserwowana jest bardzo dobra zgodność wyników. Shematy zarysowania uzyskane w rozwiązaniu numeryznym jakośiowo dobrze odpowiadają opisom mehanizmu zniszzenia w belkah doświadzalnyh. Model rysy rozmytej jest odpowiednim modelem numeryznym dla obrazowania mehanizmu zniszzenia zginanyh belek żelbetowyh w strefah zarysowania i miażdżenia. Ponadto jest szzególnie atrakyjny dla projektantów w sytuaji, gdy wymagane jest dokładne ustalenie ugięia elementu konstrukyjnego dla zadanego obiążenia. 5. Numeryzne modele belek harakteryzują się nieznaznie większą sztywnośią od belek doświadzalnyh. Większa sztywność numeryznego modelu belki jest najprawdopodobniej wywołana przez kilka zynników, m.in.: (1) homogenizność modelu konstytutywnego betonu nie uwzględniająego wszystkih efektów fizyznyh związanyh z proesami mikrozarysowania i rozwoju dyslokaji w płaszzyznah styku ziaren kruszywa i stwardniałego zazynu ementowego, (2) założenie idealnej przyzepnośi pomiędzy betonem i stalą zbrojeniową w modelu numeryznym belki w węzłah wspólnyh siatki podziału elementów
24 28 materiału matryy betonowej i stali zbrojeniowej, nie uwzględnienie efektu klokująego w prętah stalowyh, przyzepnośi w styku, poślizgu zbrojenia Wnioski dotyząe modelowania belek żelbetowyh 1. W modelowaniu belek żelbetowyh powinny być stosowane uproszzenia zapewniająe efektywność uzyskania rozwiązania: (1) wykorzystanie symetrii elementów konstrukyjnyh, (2) lokalizowanie elementów skońzonyh stali zbrojeniowej zgodnie z siatką podziału elementów skońzonyh materiału matryy betonowej. 2. Modelowanie płyt stalowyh w miejsah podparia i przyłożenia obiążeń skupionyh odzwieriedla warunki rzezywiste i jest podstawowym zynnikiem zapewniająym zgodnośi wyników numeryznyh z wynikami doświadzalnymi. 3. Modele numeryzne elementów żelbetowyh uwzględniająe fizyzne nieliniowośi materiałów są podatne na numeryzne niestabilnośi rozwiązania. W każdym elemenie skońzonym może powstać stan zarysowania lub zmiażdżenia w ośmiu punktah numeryznego ałkowania na trzeh kierunkah prostopadłyh. W tyh przypadkah w elemenie zmiażdżonym lub zarysowanym w kierunku prostopadłym do płaszzyzny powstania rysy jest wprowadzony parametr sztywnośi o małej wartośi w elu zahowania równowagi numeryznej w elemenie skońzonym. 4. Rząd rozwiązania odpowiada analizie dużyh odkształeń. W wyniku uwzględnienia nieliniowyh efektów geometryznyh w belkah żelbetowyh otrzymano lepszą zgodność wyników numeryznyh z doświadzalnymi, wyraźnie dostrzegalną w fazie po uplastyznieniu stali zbrojeniowej. 5. W pozątkowym etapie modelowania należy ustalić sposób podziału na elementy skońzone i zbadać zbieżność rozwiązania. W analizah nieliniowego zahowania numeryznyh modeli konstrukji żelbetowyh zbyt drobna siatka może powodować numeryzne niestabilnośi. Z drugiej jednak strony przyjęie zbyt dużej siatki może skutkować uzyskaniem niedokładnyh wyników. W betonie, w hwili powstania rysy lub grupy rys ih długość w wielu przypadkah jest większa od maksymalnego wymiaru kruszywa. W związku z powyższym, wymiary elementu skońzonego materiału matryy betonowej powinny być o najmniej dwa, trzy razy większe od maksymalnego wymiaru ziarna kruszywa w elu uzyskania poprawnego i realnego modelu zarysowania rozmytego. 6. W analizie nieliniowego zahowania belek żelbetowyh należy przyjąć parametr wzmaniająy zarysowany element betonowy po zarysowaniu. Dla rys zamkniętyh wartość przyjętego parametru powinna być nieznaznie mniejsza lub równa 1, a dla rys otwartyh powinna być dobrana z przedziału od,5 do,5. 7. W oblizeniah do rozwiązywania zagadnień niesprężystyh wykorzystano różne metody numeryzne. Trudnośi w otrzymaniu rozwiązania zbieżnego obserwowano przy sterowaniu obiążeniem i założeniu zbyt dużyh przyrostów obiążenia. Pozytywnie zweryfikowano przydatność zastosowania metody długośi łuku w analizah przestrzennyh modeli belek żelbetowyh przy uwzględnieniu osłabienia odkształeniowego konstrukji przy śiskaniu i zesztywnienia przy roziąganiu. Uzyskano kompletne śieżki obiążenie-przemieszzenie wykazująe
25 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh potwierdzone doświadzalnie lokalne osłabienie konstrukji żelbetowej. Otrzymany iągliwy opis zniszzenia belek żelbetowyh jest harakterystyzny przy niskim stopniu zbrojenia. 8. W analizie nieliniowego zahowania belki żelbetowej, ałkowite obiążenie przyłożone w modelu powinno być podzielone na określoną lizbę małyh przyrostów obiążenia w harakterystyznyh fazah pray belki żelbetowej: powstawaniu rys, uplastyznieniu stali zbrojeniowej, przy osiąganiu graniznej nośnośi. Zastosowanie zmiennej wartośi przyrostu obiążenia w poszzególnyh fazah pray belki zapewnia poprawę zbieżnośi rozwiązania i skraa zas wykonania oblizeń numeryznyh. Literatura [1] Aïtin P.C., High-Performane Conrete, E & FN SPON, [2] Bathe K.J., Finite Element Proedures, Prentie-Hall In., Upper Saddle River, New Jersey, [3] Bonet J., Wood R.D., Nonlinear Continuum Mehanis for Finite Element Analysis, Cambridge University Press, [4] Comité Euro-Internaional du Beton, High Performane Conrete. Reommended to the Model Code 9. Researh Need, Bulletin d Information, Nr 228, [5] Crisfield M.A., An ar-length method inluding line searhes and aelerations, International Journal for Numerial Methods in Engineering, 19, s , [6] Crisfield M.A., Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Strutures, John Wiley & Sons, In., 2. [7] Eggert, G.M., Dawson, P.R., Mathur K.K., An Adaptive Desent Method for Nonlinear Visoplastiity, International Journal for Numerial Methods in Engineering, Vol. 31, s , [8] Kamińska M.E., Doświadzalne badania żelbetowyh elementów prętowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi, KILiW, PAN, Łódź, [9] Kleiber M., Metoda elementów skońzonyh w nieliniowej mehanie kontinuum, Wyd. PAN, Warszawa-Poznań, [1] Lyndon F.D., Balendran R.V., Some observations on elasti properties of plain onrete, Cement and Conrete Researh, 16, Nr 3, s , [11] Pee M., Fabbroino G., Plasti Rotation Capaity of Beams in Normal and High-Performane Conrete, ACI Strutural Journal, s , Marh-April [12] Rashid M.A., Mansur M.A., Reinfored High-Strength Conrete Beams in Flexure, ACI Strutural Journal, Vol. 12, Nr 3, s , May-June 25. [13] Smarzewski P., Modelowanie mehanizmu zniszzenia belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi, Praa doktorska. Politehnika Lubelska, 28. [14] Smarzewski P., Stolarski A., Modelowanie zahowania niesprężystej belki żelbetowej, Biuletyn WAT, Vol. LVI, Nr 2, str , 27. [15] Taerwe L.R., Brittleness versus Dutility of High Strength Conrete, Strutural Engineering Journal, 4, s. 4-45, [16] Willam K.J., Warnke E.P., Constitutive Model for the Triaxial Behavior of Conrete, Proeedings, International Assoiation for Bridge and Strutural Engineering, Vol. 19, ISMES, Bergamo, Italy, [17] Zienkiewiz O.C., Taylor R.L., The Finite Element Method, Fifth Edition, Butterworth Heinemann, 2.
26 3 Numerial analysis of inelasti reinfored high-strength onrete beams with low reinforement ratio Lublin University of Tehnology, Faulty of Civil and Sanitary Engineering, Department of Civil Engineering, Nadbystrzyka 4, Lublin, Abstrat: Numerial modelling of flexural behavior of the reinfored highstrength onrete beams with low reinforement ratio is disussed in this paper. Modelling mehanism of failure reinfored onrete beams under stati load, stati deformation proesses of the reinfored high-strength onrete beams with regard to the physial nonlinearities of the strutural materials (i.e. onrete and reinforement steel) were developed using finite element analysis. The omparison of the numerial and experimental results as well as theoretial solutions, were presented. The ompared results indiate orretness of the onstitutive models of the strutural materials: onrete and reinforing steel and effetiveness of the solution method. Key words: finite element method, reinfored onrete members, beams.
Pragnę wyrazić serdeczne podziękowania Panu Profesorowi Adamowi Stolarskiemu za opiekę naukową, cenne uwagi i żarliwe dyskusje, które przyczyniły się
Pragnę wyrazić serdezne podziękowania Panu Profesorowi Adamowi Stolarskiemu za opiekę naukową, enne uwagi i żarliwe dyskusje, które przyzyniły się do powstania niniejszej pray. Chę wyrazić swoją wdzięzność
Bardziej szczegółowoTemat III Założenia analizy i obliczeń zginanych konstrukcji żelbetowych.
Temat III Założenia analizy i oblizeń zginanyh konstrukji żelbetowyh. 1. Eektywna rozpiętość belek i płyt. omenty podporowe l e l n a 1 a Jeżeli belka lub płyta jest monolityznie połązona z podporami,
Bardziej szczegółowoNośność przekroju pala żelbetowego 400x400mm wg PN-EN 1992 (EC2) Beton C40/50, stal zbrojeniowa f yk =500MPa, 12#12mm
Nośność przekroju pala żelbetowego 400400mm wg PN-EN 199 (EC) Beton C40/50, stal zbrojeniowa =500MPa, 1#1mm 5000 Czyste śiskanie bez wybozenia (4476kN, 0kNm) Śiskanie mimośrodowe =d 1 (3007kN, 08kNm) Siła
Bardziej szczegółowoRys. 1. Przekrój konstrukcji wzmacnianej. Pole przekroju zbrojenia głównego: A s = A s1 = 2476 mm 2 Odległość zbrojenia głównego: od włókien dolnych
Spis treśi 1. DANE OGÓNE 3 1.1. OPIS KONSTUKCJI WZACNIANEJ 3 1.. DANE WYJŚCIOWE 3 1.3. CECHY ATEIAŁOWE 3. NOŚNOŚĆ KONSTUKCJI PZED WZOCNIENIE 4 3. ZAKES WZOCNIENIA 5 4. WZOCNIENIE KONSTUKCJI 5 4.1. PZYJĘCIE
Bardziej szczegółowoANALIZY WYTĘŻENIA BELEK ŻELBETOWYCH Z BETONU O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 5, t. 1, rok ISSN 196-771X ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK ŻELBETOWYCH Z BETONU O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI Piotr Smarzewski 1a 1 Katedra Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Lubelska e-mail:
Bardziej szczegółowoModel materiału zastępczego w analizie zginanego przekroju żelbetowego
Bi u l e t y n WAT Vo l. LXIV, Nr 4, 015 odel materiału zastępzego w analizie zginanego przekroju żelbetowego Jarosław Siwiński, Adam Stolarski Wojskowa Akademia Tehnizna, Wydział Inżynierii Lądowej i
Bardziej szczegółowoDOŚWIADCZALNE BADANIA CIĄGLIWEGO PĘKANIA PRÓBEK Z KARBAMI WYKONANYCH ZE STOPÓW ALUMINIUM EN-AW 2024 ORAZ EN-AW 2007
Łukasz Derpeński, Andrzej Seweryn Doświadzalne badania iągliwego pękania próbek z karbami wykonanyh ze stopów aluminium EN-AW 2007 oraz EN-AW 2024 DOŚWIADCZALNE BADANIA CIĄGLIWEGO PĘKANIA PRÓBEK Z KARBAMI
Bardziej szczegółowo1. Wprowadzenie. Jan Walaszczyk*, Stanisław Hachaj*, Andrzej Barnat* Górnictwo i Geoinżynieria Rok 29 Zeszyt 3/1 2005
Górnitwo i Geoinżynieria Rok 29 Zeszyt 3/1 2005 Jan Walaszzyk*, Stanisław Hahaj*, Andrzej Barnat* KOMPUTEROWA SYMULACJA ZMIAN ENERGII WŁAŚCIWEJ W POLU FILAROWO-KOMOROWYM SPOWODOWANEJ POSTĘPUJĄCĄ EKSPLOATACJĄ
Bardziej szczegółowoPrzykład projektowania geotechnicznego pala prefabrykowanego wg PN-EN na podstawie wyników sondowania CPT metodą LCPC (francuską)
Przykład projektowania geotehniznego pala prefabrykowanego wg PN-EN 1997-1 na podstawie wyników sondowania CPT metodą LCPC (franuską) Data: 2013-04-19 Opraował: Dariusz Sobala, dr inż. Lizba stron: 8 Zadanie
Bardziej szczegółowoPolitechnika Lubelska Wydział Inżynierii Budowlanej i Sanitarnej
Politechnika Lubelska Wydział Inżynierii Budowlanej i Sanitarnej Vol. 4 () 2009 Wydawnictwa Uczelniane Lublin, 2009 Rada Redakcyjna PRZEWODNICZĄCA Anna Halicka CZŁONKOWIE M. Bevz, T. Ciężak, S. Fic, A.
Bardziej szczegółowoNOŚNOŚĆ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO WEDŁUG EUROKODU 7
Geotehnizne zagadnienia realizaji budowli drogowyh projekt, dr inż. Ireneusz Dyka Kierunek studiów: Budownitwo, studia I stopnia Rok IV, sem.vii 19 NOŚNOŚĆ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO WEDŁUG EUROKODU 7 Według
Bardziej szczegółowoO WYMIAROWANIU ŻELBETOWYCH PRZEKROJÓW MIMOŚRODOWO ŚCISKANYCH ZBROJONYCH STALĄ O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI
Maria WŁODARCZYK, Joanna DOBOSZ O WYMIAROWANIU ŻELBETOWYCH PRZEKROJÓW MIMOŚRODOWO ŚCISKANYCH ZBROJONYCH STALĄ O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI Streszzenie W artykule omówiono wybrane aspekty nośnośi żelbetowyh
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy
FUNKCJA KWADRATOWA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Wykres funkji y = ax + bx+ przehodzi przez punkty: A = (, ), B= (, ), C = (,) a) Wyznaz współzynniki a, b, (6 pkt) b) Zapisz wzór funkji w postai kanoniznej
Bardziej szczegółowoBADANIA WPŁYWU SZTYWNOŚCI SPRĘŻYNY POWROTNEJ SUWADŁA W ASPEKCIE DYNAMICZNEJ ODPOWIEDZI UKŁADU AUTOMATYKI KARABINKA STANDARDOWEGO
Dr inż. Ryszard WOŹNIAK Mgr inż. Paweł PŁATEK Instytut Tehniki Uzbrojenia Wydział Mehatroniki, Wojskowa Akademia Tehnizna Dr inż. Jerzy MAŁACHOWSKI Mgr inż. Krzysztof DAMAZIAK Katedra Mehaniki i Informatyki
Bardziej szczegółowoSymulacja plastycznego zakresu pracy stali konstrukcyjnych w złożonym stanie naprężeń w oparciu o model Gursona-Tvergaarda-Needlemana
Symulaja astyznego zakresu pray stali konstrukyjnyh w złożonym stanie naprężeń w opariu o model Gursona-Tvergaarda-Needlana Dr inż. Paweł Kossakowski, Katedra Wytrzymałośi Materiałów i Konstrukji Betonowyh,
Bardziej szczegółowoNIELOKALNE NAPRĘŻENIOWE KRYTERIUM PĘKANIA MATERIAŁÓW ORTOTROPOWYCH NA PRZYKŁADZIE DREWNA
MODELOWANIE INŻYNIESKIE ISSN 1896-771X 33, s. 139-144, Gliwie 007 NIELOKALNE NAPĘŻENIOWE KYTEIUM PĘKANIA MATEIAŁÓW OTOTOPOWYCH NA PZYKŁADZIE DEWNA MAEK OMANOWICZ, ANDZEJ SEWEYN Katedra Mehaniki i Informatyki
Bardziej szczegółowoOCENA STOPNIA USZKODZENIA ZMĘCZENIOWEGO STALI DLA ENERGETYKI Z ZASTOSOWANIEM METODY PRĄDÓW WIROWYCH
OCENA STOPNIA USZKODZENIA ZMĘCZENIOWEGO STALI DLA ENERGETYKI Z ZASTOSOWANIEM METODY PRĄDÓW WIROWYCH Dominik KUKLA, Instytut Podstawowyh Problemów Tehniki PAN, dkukla@ippt.gov.pl Marin CIESIELSKI, Wydział
Bardziej szczegółowoDotyczy PN-EN :2006 Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
POPRAWKA do POLSKIEJ NORMY P o l s k i K o m i t e t N o r m a l i z a y j n y ICS 91.010.30; 91.080.10 PN-EN 1993-1-1:2006/AC zerwie 2009 Wprowadza EN 1993-1-1:2005/AC:2009, IDT Dotyzy PN-EN 1993-1-1:2006
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe. 1 Powinowactwo prostokątne. 2 Elipsa. Niech l będzie ustaloną prostą i k ustaloną liczbą dodatnią.
Krzywe stożkowe 1 Powinowatwo prostokątne Nieh l będzie ustaloną prostą i k ustaloną lizbą dodatnią. Definija 1.1. Powinowatwem prostokątnym o osi l i stosunku k nazywamy przekształenie płaszzyzny, które
Bardziej szczegółowoANDRZEJ SERUGA, MARCIN MIDRO *
ANDRZEJ SERUGA MARCIN MIDRO * analiza zarysowania otuliny betonowej w wyniku korozji zbrojenia analysis of onrete over raking DUe to reinforement orrosion Streszzenie Abstrat Artykuł jest poświeony zagadnieniom
Bardziej szczegółowoBETON SKRĘPOWANY W UJĘCIU POLSKICH NORM. 1. Wstęp. Piotr SOKAL * Politechnika Krakowska
Piotr SOKL * Politehnika Krakowska BETON SKRĘPOWNY W UJĘCIU POLSKICH NORM 1. Wstęp Jedną z podstawowyh właśiwośi mehaniznyh beton jest jego wytrzymałość na śiskanie. Badania wytrzymałośiowe beton obenie
Bardziej szczegółowoPROPOZYCJA PROSTEJ METODY OCENY STATECZNOŚCI ŚCIANEK SZCZELNYCH NIEKOTWIONYCH PROPOSITION OF A SIMPLE METHOD FOR A CANTILEVER WALL STABILITY ANALYSIS
ALEKSANDER URBAŃSKI, MICHAŁ GRODECKI, KAZIMIERZ PISZCZEK PROPOZYCJA PROSTEJ METODY OCENY STATECZNOŚCI ŚCIANEK SZCZELNYCH NIEKOTWIONYCH PROPOSITION OF A SIMPLE METHOD FOR A CANTILEVER WALL STABILITY ANALYSIS
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE NAPRĘŻENIA UPLASTYCZNIAJĄCEGO STALI W STANIE PÓŁCIEKŁYM
156 Prae IMŻ 1 (2010) Mirosław GŁOWACKI, Marin HOJNY Akademia Górnizo-Hutniza, Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Roman KUZIAK, Władysław ZALECKI Instytut Metalurgii Żelaza im. St. Staszia
Bardziej szczegółowoObliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojów poprzecznych pręta
5 Oblizanie harakterystyk geometryznyh przekrojów poprzeznyh pręta Zadanie 5.. Wyznazyć główne entralne momenty bezwładnośi przekroju poprzeznego dwuteownika o wymiarah 9 6 m (rys. 5.. Rozpatrywany przekrój
Bardziej szczegółowoSymulacja plastycznego zakresu pracy stali konstrukcyjnych w złożonym stanie naprężeń w oparciu o model Gursona-Tvergaarda-Needlemana
Symulaja plastyznego zakresu pray stali konstrukyjnyh w złożonym stanie naprężeń w opariu o model Gursona-Tvergaarda-Needlemana Dr inż. Paweł Kossakowski, Katedra Wytrzymałośi Materiałów i Konstrukji Betonowyh,
Bardziej szczegółowoOCENA STOPNIA USZKODZENIA EKSPLOATACYJNEGO MATERIAŁU RUROCIĄGU PAROWEGO NA PODSTAWIE ANALIZY ZMIAN WŁAŚCIWOŚCI ZMĘCZENIOWYCH I MIKROSTRUKTURY
ata mehania et automatia, vol.5 no.3 (2011) OCENA STOPNIA USZKODZENIA EKSPLOATACYJNEGO MATERIAŁU RUROCIĄGU PAROWEGO NA PODSTAWIE ANALIZY ZMIAN WŁAŚCIWOŚCI ZMĘCZENIOWYCH I MIKROSTRUKTURY Dominik KUKLA *,
Bardziej szczegółowoInformacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności
Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,
Bardziej szczegółowoCieplne Maszyny Przepływowe. Temat 6 Przepływ przez sprężarki osiowe. Część I Podstawy teorii Cieplnych Maszyn Przepływowych. 6.1.
73 6.. Wstęp W sprężarkah pole przepływu jednowymiarowego rośnie tj. (α > α ) o prowadzi do: - oderwania warstwy przyśiennej - wzrostu strat i redukji odhylenia strugi - redukją przyrostu iśnienia statyznego.
Bardziej szczegółowo9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE LOSOWEJ METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH DO ANALIZY LOSOWEJ ZMIENNOŚCI NOŚNOŚCI GRANICZNEJ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO
Górnitwo i Geoinżynieria Rok 33 Zeszyt 1 2009 Joanna Piezyńska*, Wojieh Puła* ZASTOSOWANIE LOSOWEJ METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH DO ANALIZY LOSOWEJ ZMIENNOŚCI NOŚNOŚCI GRANICZNEJ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO
Bardziej szczegółowoSpis treści. 2. Zasady i algorytmy umieszczone w książce a normy PN-EN i PN-B 5
Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z przykładami obliczeń / Michał Knauff, Agnieszka Golubińska, Piotr Knyziak. wyd. 2-1 dodr. Warszawa, 2016 Spis treści Podstawowe oznaczenia Spis
Bardziej szczegółowoPROPOZYCJA OKREŚLANIA EFEKTYWNEJ WYTRZYMAŁOŚCI BETONU WĘZŁÓW WEWNĘTRZNYCH POŁĄCZEŃ PŁYTOWO SŁUPOWYCH
CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXIII, z. 63 (1/I/16), styzeń-marze 2016, s. 255-262 Mihał GOŁDYN 1 PROPOZYCJA
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ
Jarosław MAŃKOWSKI * Andrzej ŻABICKI * Piotr ŻACH * MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ 1. WSTĘP W analizach MES dużych konstrukcji wykonywanych na skalę
Bardziej szczegółowoOBLICZENIE ZARYSOWANIA
SPRAWDZENIE SG UŻYTKOWALNOŚCI (ZARYSOWANIA I UGIĘCIA) METODAMI DOKŁADNYMI, OMÓWIENIE PROCEDURY OBLICZANIA SZEROKOŚCI RYS ORAZ STRZAŁKI UGIĘCIA PRZYKŁAD OBLICZENIOWY. ZAJĘCIA 9 PODSTAWY PROJEKTOWANIA KONSTRUKCJI
Bardziej szczegółowoWykład 30 Szczególne przekształcenie Lorentza
Wykład Szzególne przekształenie Lorentza Szzególnym przekształeniem Lorentza (właśiwym, zahowująym kierunek zasu) nazywa się przekształenie między dwoma inerjalnymi układami odniesienia K i K w przypadku
Bardziej szczegółowo8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Rozciąganie/ ściskanie prętów prostych Naprężenia i odkształcenia, statyczna próba rozciągania i ściskania, właściwości mechaniczne, projektowanie elementów obciążonych osiowo.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Kluz punktowania zadań zamkniętyh Numer zadania
Bardziej szczegółowoAnaliza wytężenia tarczy żelbetowej z materiałów konstrukcyjnych bardzo wysokich wytrzymałości
Biuletyn WAT Vol. LXV, Nr 4, 2016 Analiza wytężenia tarczy żelbetowej z materiałów konstrukcyjnych bardzo wysokich wytrzymałości WALDEMAR CICHORSKI, ADAM STOLARSKI Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoPrzykład: Nośność podstawy słupa ściskanego osiowo. Dane. Sprawdzenie wytrzymałości betonu na ściskanie. α cc = 1,0.
Dokument Ref: Str. 1 z 4 Example: Column base onnetion under axial ompression śiskanego osiowo Dot. Euroodu EN 1993-1-8 Wykonał Ivor RYAN Data Jan 006 Sprawdził Alain BUREAU Data Jan 006 Przykład: Nośność
Bardziej szczegółowoAnaliza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali
Poradnik Inżyniera Nr 18 Aktualizacja: 09/2016 Analiza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali Program: Plik powiązany: Grupa pali Demo_manual_18.gsp Celem niniejszego przewodnika jest przedstawienie
Bardziej szczegółowoBadanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej. Opracowanie: Centrum Promocji Jakości Stali
Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej Opracowanie: Spis treści Strona 1. Cel badania 3 2. Opis stanowiska oraz modeli do badań 3 2.1. Modele do badań 3
Bardziej szczegółowo4. WYZNACZANIE PARAMETRÓW HYDRAULICZNYCH STUDNI
4. WYZNACZANIE PARAMETRÓW HYDRAULICZNYCH STUDNI Na wielkość depresji zwieriadła wody w pompowanej studni wpływ mają zjawiska hydraulizne wywołane przepływem laminarnym, występująym w ujętej warstwie wodonośnej
Bardziej szczegółowoPRAKTYCZNE OKREŚLANIE PARAMETRÓW BALISTYCZNYCH SILNIKA RAKIETOWEGO NA PALIWO STAŁE
mgr inż. Jerzy NOWICKI Wojskowy Instytut Tehnizny Uzbrojenia PRAKTYCZNE OKREŚLANIE PARAMETRÓW BALISTYCZNYCH SILNIKA RAKIETOWEGO NA PALIWO STAŁE Streszzenie: W artykule przedstawiono metodę praktyznego
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechnika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH BADANIE ZACHOWANIA SIĘ MATERIAŁÓW PODCZAS ŚCISKANIA Instrukcja przeznaczona jest dla studentów
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Zginanie Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach i ramach, analiza stanu naprężeń i odkształceń, warunek bezpieczeństwa Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości,
Bardziej szczegółowoAnaliza stateczności zbocza
Przewodnik Inżyniera Nr 25 Aktualizacja: 06/2017 Analiza stateczności zbocza Program: MES Plik powiązany: Demo_manual_25.gmk Celem niniejszego przewodnika jest analiza stateczności zbocza (wyznaczenie
Bardziej szczegółowoWYTRZYMAŁOŚĆ RÓWNOWAŻNA FIBROBETONU NA ZGINANIE
Artykul zamieszczony w "Inżynierze budownictwa", styczeń 2008 r. Michał A. Glinicki dr hab. inż., Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN Warszawa WYTRZYMAŁOŚĆ RÓWNOWAŻNA FIBROBETONU NA ZGINANIE 1.
Bardziej szczegółowoŚcinanie betonu wg PN-EN (EC2)
Ścinanie betonu wg PN-EN 992-2 (EC2) (Opracowanie: dr inż. Dariusz Sobala, v. 200428) Maksymalna siła ścinająca: V Ed 4000 kn Przekrój nie wymagający zbrojenia na ścianie: W elementach, które z obliczeniowego
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 3(89)/2012
ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 3(89)/2012 Jarosław Zalewski 1 PORÓWNANIE NIEKTÓRYCH WSKAŹNIKÓW WYPADKÓW DROGOWYCH W POLSCE I WYBRANYCH KRAJACH EUROPEJSKICH 1. Wstęp W artykule poruszono wybrane problemy
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoWzór Żurawskiego. Belka o przekroju kołowym. Składowe naprężenia stycznego można wyrazić następująco (np. [1,2]): T r 2 y ν ) (1) (2)
Przykłady rozkładu naprężenia stycznego w przekrojach belki zginanej nierównomiernie (materiał uzupełniający do wykładu z wytrzymałości materiałów I, opr. Z. Więckowski, 11.2018) Wzór Żurawskiego τ xy
Bardziej szczegółowoPaleZbrojenie 5.0. Instrukcja użytkowania
Instrukcja użytkowania ZAWARTOŚĆ INSTRUKCJI UŻYTKOWANIA: 1. WPROWADZENIE 3 2. TERMINOLOGIA 3 3. PRZEZNACZENIE PROGRAMU 3 4. WPROWADZENIE DANYCH ZAKŁADKA DANE 4 5. ZASADY WYMIAROWANIA PRZEKROJU PALA 8 5.1.
Bardziej szczegółowo1. Projekt techniczny żebra
1. Projekt techniczny żebra Żebro stropowe jako belka teowa stanowi bezpośrednie podparcie dla płyty. Jest to element słabo bądź średnio obciążony siłą równomiernie obciążoną składającą się z obciążenia
Bardziej szczegółowoZgodnie z pakietem energetyczno-klimatycznym, nałożonym przez
Projektowanie posadowienia elektrowni wiatrowyh 70 Adam Zaremba Projektant, Kierownik Działu Projektowego, Menard Polska Sp. z o.o. PARTNER TEMATU Zgodnie z pakietem energetyzno-klimatyznym, nałożonym
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoMetoda Elementów Skończonych - Laboratorium
Metoda Elementów Skończonych - Laboratorium Laboratorium 5 Podstawy ABAQUS/CAE Analiza koncentracji naprężenia na przykładzie rozciąganej płaskiej płyty z otworem. Główne cele ćwiczenia: 1. wykorzystanie
Bardziej szczegółowoOsiadanie kołowego fundamentu zbiornika
Przewodnik Inżyniera Nr 22 Aktualizacja: 01/2017 Osiadanie kołowego fundamentu zbiornika Program: MES Plik powiązany: Demo_manual_22.gmk Celem przedmiotowego przewodnika jest przedstawienie analizy osiadania
Bardziej szczegółowo5. Indeksy materiałowe
5. Indeksy materiałowe 5.1. Obciążenia i odkształcenia Na poprzednich zajęciach poznaliśmy różne możliwe typy obciążenia materiału. Na bieżących, skupimy się na zagadnieniu projektowania materiałów tak,
Bardziej szczegółowoSYMULACJA TŁOCZENIA ZAKRYWEK KORONKOWYCH SIMULATION OF CROWN CLOSURES FORMING
MARIUSZ DOMAGAŁA, STANISŁAW OKOŃSKI ** SYMULACJA TŁOCZENIA ZAKRYWEK KORONKOWYCH SIMULATION OF CROWN CLOSURES FORMING S t r e s z c z e n i e A b s t r a c t W artykule podjęto próbę modelowania procesu
Bardziej szczegółowoZakład Konstrukcji Żelbetowych SŁAWOMIR GUT. Nr albumu: 79983 Kierunek studiów: Budownictwo Studia I stopnia stacjonarne
Zakład Konstrukcji Żelbetowych SŁAWOMIR GUT Nr albumu: 79983 Kierunek studiów: Budownictwo Studia I stopnia stacjonarne PROJEKT WYBRANYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI ŻELBETOWEJ BUDYNKU BIUROWEGO DESIGN FOR SELECTED
Bardziej szczegółowoZAJĘCIA 4 WYMIAROWANIE RYGLA MIĘDZYKONDYGNACYJNEGO I STROPODACHU W SGN I SGU
ZAJĘCIA 4 WYMIAROWANIE RYGLA MIĘDZYKONDYGNACYJNEGO I STROPODACHU W SGN I SGU KONSTRUKCJE BETONOWE II MGR. INŻ. JULITA KRASSOWSKA RYGIEL PRZEKROJE PROSTOKĄTNE - PRZEKROJE TEOWE + Wybieramy po jednym przekroju
Bardziej szczegółowo17. 17. Modele materiałów
7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoANALIZA NOŚNOŚCI I SZTYWNOŚCI BELEK ZESPOLONYCH W ZALEŻNOŚCI OD STOPNIA ZESPOLENIA
CZASOPISO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXX, z. 60 (2/13), kwieień -zerwie 2013, s. 175-188 Witold KUCHARCZUK 1 Sławomir
Bardziej szczegółowo700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%:
Producent: Ryterna modul Typ: Moduł kontenerowy PB1 (długość: 6058 mm, szerokość: 2438 mm, wysokość: 2800 mm) Autor opracowania: inż. Radosław Noga (na podstawie opracowań producenta) 1. Stan graniczny
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 3(89)/2012
ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 3(89)/2012 Jarosław Mańkowski 1, Paweł Ciężkowski 2 MODELOWANIE OSŁABIENIA MATERIAŁU NA PRZYKŁADZIE SYMULACJI PRÓBY BRAZYLIJSKIEJ 1. Wstęp Wytrzymałość na jednoosiowe
Bardziej szczegółowoKATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE W KLASIE 6
KTLOG WYMGŃ PROGRMOWYH N POSZZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE W KLSIE 6 Przedstawiamy, jakie umiejętnośi z danego działu powinien zdobyć uzeń, aby uzyskać poszzególne stopnie. Na oenę dopuszzająy uzeń powinien
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki
Bardziej szczegółowoPraktyczne aspekty wymiarowania belek żelbetowych podwójnie zbrojonych w świetle PN-EN
Budownictwo i Architektura 12(4) (2013) 219-224 Praktyczne aspekty wymiarowania belek żelbetowych podwójnie zbrojonych w świetle PN-EN 1992-1-1 Politechnika Lubelska, Wydział Budownictwa i Architektury,
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA
STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA Próba statyczna rozciągania jest jedną z podstawowych prób stosowanych do określenia jakości materiałów konstrukcyjnych wg kryterium naprężeniowego w warunkach obciążeń statycznych.
Bardziej szczegółowoROLA BADAŃ MODELOWYCH W OPRACOWANIU TECHNOLOGII WYTWARZANIA BLACH CIENKICH DO CIĘCIA LASEROWEGO
2 Prae Instytutu Metalurgii Żelaza nr 1/2016, tom 68 Roman KUZIAK, Valeriy PIDVYSOTS KYY, Artur MAZUR, Władysław ZALECKI, Andrij MILENIN, Maiej PIETRZYK ROLA BADAŃ MODELOWYCH W OPRACOWANIU TECHNOLOGII
Bardziej szczegółowoDyskretna transformata falkowa z wykorzystaniem falek Haara. Alfréd Haar
Dyskretna transformata falkowa z wykorzystaniem falek Haara Alfréd Haar 88-9 Przypomnijmy, że istotą DWT jest podział pierwotnego sygnału za pomoą pary filtrów (górnoprzepustowego i dolnoprzepustowego)
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowoNieniszczące badania wytrzymałości betonu w konstrukcjach mostowych metoda sklerometryczna. Podsumowanie
stwy nasypu wykonane są z gruntów spoistyh, a w szzególnośi gruntów o małej spoistośi, może to prowadzić do utraty stateznośi nasypu. Podsumowanie Fot. 3. Odinek drogi krajowej nr 63 po wykonaniu pra zabezpiezająyh
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoBadania zespolonych słupów stalowo-betonowych poddanych długotrwałym obciążeniom
Badania zespolonych słupów stalowo-betonowych poddanych długotrwałym obciążeniom Dr inż. Elżbieta Szmigiera, Politechnika Warszawska 1. Wprowadzenie W referacie przedstawiono wyniki badań laboratoryjnych,
Bardziej szczegółowoLaboratorium Inżynierii bioreaktorów Ćwiczenie 2: Rozkład czasu przybywania w reaktorach przepływowych
EL Laboratorium Inżynierii bioreaktorów Ćwizenie 2: Rozkład zasu przybywania w reaktorah przepływowyh Wyznazenie rzezywistego rozkładu zasu przebywania w reaktorze mieszalnikowym metodą skokową oraz w
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki relatywistycznej
Podstawy Proesów i Konstrukji Inżynierskih Elementy mehaniki relatywistyznej 1 Czym zajmuje się teoria względnośi? Teoria względnośi to pomiary zdarzeń ustalenia, gdzie i kiedy one zahodzą, a także jaka
Bardziej szczegółowoDWUTEOWA BELKA STALOWA W POŻARZE - ANALIZA PRZESTRZENNA PROGRAMAMI FDS ORAZ ANSYS
Proceedings of the 5 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 19-20, 2006 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia
Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości
Bardziej szczegółowoELEMENTY SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI. I. Zasada względności: Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich
ELEMENTY SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI Postulaty Einsteina (95 r) I Zasada względnośi: Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkih inerjalnyh układah odniesienia lub : Równania wyrażająe prawa
Bardziej szczegółowoSPRAWOZDANIE Z BADAŃ
POLITECHNIKA ŁÓDZKA ul. Żeromskiego 116 90-924 Łódź KATEDRA BUDOWNICTWA BETONOWEGO NIP: 727 002 18 95 REGON: 000001583 LABORATORIUM BADAWCZE MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Al. Politechniki 6 90-924
Bardziej szczegółowoOpracowanie: Emilia Inczewska 1
Dla żelbetowej belki wykonanej z betonu klasy C20/25 ( αcc=1,0), o schemacie statycznym i obciążeniu jak na rysunku poniżej: należy wykonać: 1. Wykres momentów- z pominięciem ciężaru własnego belki- dla
Bardziej szczegółowoANALIZA BELKI DREWNIANEJ W POŻARZE
Proceedings of the 5 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 19-20, 2006 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNA I DOŚWIADCZALNA ANALIZA ZGINANYCH, SKRĘCANYCH I ŚCINANYCH BELEK ŻELBETOWYCH
CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXIV, z. 64 (3/I/17), lipiec-wrzesień 2017, s. 223-234, DOI: 10.7862/rb.2017.117
Bardziej szczegółowoObliczanie konstrukcji żelbetowych według Eurokodu 2 : zasady ogólne i zasady dotyczące budynków / Michał Knauff. wyd. 2. zm., 1 dodr.
Obliczanie konstrukcji żelbetowych według Eurokodu 2 : zasady ogólne i zasady dotyczące budynków / Michał Knauff. wyd. 2. zm., 1 dodr. Warszawa, 2016 Spis treści Podstawowe oznaczenia Spis tablic XIV XXIII
Bardziej szczegółowo1. Projekt techniczny Podciągu
1. Projekt techniczny Podciągu Podciąg jako belka teowa stanowi bezpośrednie podparcie dla żeber. Jest to główny element stropu najczęściej ślinie bądź średnio obciążony ciężarem własnym oraz reakcjami
Bardziej szczegółowoDla powstania pola magnetycznego konieczny jest ruch ładunków elektrycznych, a więc przepływ prądu elektrycznego, natomiast pole elektryczne powstaje
Pole elektryzne Dla powstania pola magnetyznego koniezny jest ruh ładunków elektryznyh, a wię przepływ prądu elektryznego, natomiast pole elektryzne powstaje zawsze w przestrzeni otazająej ładunki elektryzne,
Bardziej szczegółowoInformacje uzupełniające: Długości wyboczeniowe słupów: podejście ścisłe. Spis treści
nformaje uzupełniająe: Długośi wybozeniowe słupów: podejśie śisłe Podano informaje dotyząe oblizania długośi wybozeniowej słupów, uŝywanej do sprawdzenia słupa na wybozenie (z zastosowaniem smukłośi).
Bardziej szczegółowoWPŁYW WŁÓKIEN ARAMIDOWYCH FORTA-FI NA WŁAŚCIWOŚCI MIESZANEK MINERALNO-ASFALTOWYCH
WPŁYW WŁÓKIEN ARAMIDOWYCH FORTA-FI NA WŁAŚCIWOŚCI MIESZANEK MINERALNO-ASFALTOWYCH WYDZIAŁ INŻYNIERII LĄDOWEJ I ŚRODOWISKA PROGRAM BADAWCZY ZOSTAŁ WYKONANY PRZEZ POLITECHNIKĘ GDAŃSKĄ W KATEDRZE INŻYNIERII
Bardziej szczegółowoBadania naprężeń własnych w powłokach natryskiwanych metodą HVOF
Dariusz Golański Tomasz Chmielewski Grzegorz Gontarz Jolanta Zimmerman Władysław Włosiński Badania naprężeń własnyh w powłokah natryskiwanyh metodą HVOF residual stress investigations in oatings deposited
Bardziej szczegółowoOddziaływanie membranowe w projektowaniu na warunki pożarowe płyt zespolonych z pełnymi i ażurowymi belkami stalowymi Waloryzacja
Oddziaływanie membranowe w projektowaniu na warunki pożarowe płyt zespolonych z pełnymi i ażurowymi belkami stalowymi Waloryzacja Praca naukowa finansowana ze środków finansowych na naukę w roku 2012 przyznanych
Bardziej szczegółowoZestawić siły wewnętrzne kombinacji SGN dla wszystkich kombinacji w tabeli:
4. Wymiarowanie ramy w osiach A-B 4.1. Wstępne wymiarowanie rygla i słupa. Wstępne przyjęcie wymiarów. 4.2. Wymiarowanie zbrojenia w ryglu w osiach A-B. - wyznaczenie otuliny zbrojenia - wysokość użyteczna
Bardziej szczegółowoZbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania
Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 362. Wyznaczanie ogniskowej soczewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny za pomocą sferometru. Odległość przedmiotu od ekranu, [m] l
Nazwisko Data Nr na liśie Imię Wydział Ćwizenie 36 Dzień tyg Godzina Wyznazanie ogniskowej sozewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny za pomoą serometr I Wyznazanie ogniskowej sozewki skpiająej
Bardziej szczegółowoWyboczenie ściskanego pręta
Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia
Bardziej szczegółowoAnaliza niesprężystego zachowania mimośrodowo ściskanych słupów żelbetowych
Biuletyn WAT Vol. LXV, Nr 2, 2016 Analiza niesprężystego zachowania mimośrodowo ściskanych słupów żelbetowych ANNA SZCZEŚNIAK, ADAM STOLARSKI Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Inżynierii Lądowej i
Bardziej szczegółowoInżynieria bioreaktorów - Rozkład czasu przybywania w reaktorach (2018/2019)
Inżynieria bioreaktorów - Rozkład zasu przybywania w reaktorah (218/219) CEL Wyznazenie rzezywistego rozkładu zasu przebywania w reaktorze mieszalnikowym metodą skokową i w dwóh reaktorah rurowyh metodą
Bardziej szczegółowoThe use of the sound level measurement during tests of the resistance of motion in the assembly seat insert-valve-guide for the camless valve drive
Krzysztof SICZEK PTNSS SC 65 The use of the sound level measurement during tests of the resistane of motion in the assembly seat insert-valve-guide for the amless valve drive Abstrat: Experimental researhes
Bardziej szczegółowo