Wykład 30 Szczególne przekształcenie Lorentza

Transkrypt

1 Wykład Szzególne przekształenie Lorentza Szzególnym przekształeniem Lorentza (właśiwym, zahowująym kierunek zasu) nazywa się przekształenie między dwoma inerjalnymi układami odniesienia K i K w przypadku gdy przestrzenne osie układów są równoległe odpowiednio i układ K porusza się względem układu K ze stałą prędkośią V o współrzędnyh V V, V, V. Z przyjętyh założeń wynika, że x x, oraz x x, a maierz przekształenia L µ ma postać L L L L L µ. (.) Korzystają ze wzorów (.) i (9.) otrzymujemy x +, (.a) L x L x x +, (.b) L x L x x x, (.) x x. (.d) Cztery nieznane elementy maierzy przekształenia (.) znajdziemy, korzystają ze wzorów (9.6) ( L ) ( L ), (.a) ( L ) ( L ), (.b) L L L L, (.) 95

2 oraz zakładają, że nieruhomy punkt x x x w układzie K, powinien mieć w układzie K współrzędne x Vt, x, x. Wtedy ze wzoru (.b) otrzymujemy Vt L t. (.4) Skąd, uwzględniają, że dla nieruhomego punktu własny zas wynosi: t t, mamy t t L. (.5a) Uwzględniają wzór (.5a) ze wzorów (.) otrzymujemy L L, (.5b) L L. (.5) Po podstawieniu wzorów (.5) do wzorów (.) i uwzględnieniu, że znajdujemy x t, x t t t V + x x + Vt x,, x x, x x,.. (.6) Łatwo sprawdzić, że ze wzoru (.6) wynika, iż t V t x,, x x, x x, x. x Vt. (.7) α Wzory (.6), (.7) określają przekształenia składowyh zterowektora wodząego x ( α,,, ) przy przejśiu od jednego układu inerjalnego układu do drugiego. 96

3 Ogólnie zterowektorem A w przestrzeni Minkowskiego będziemy nazywali zbiór ztereh wielkośi A, A, A, A, które przy przejśiu od jednego układu współrzędnyh do innego układu przekształają się, jak współrzędne zterowektora wodząego x α. W przypadku szzególnego przekształenia Lorentza możemy wię zapisać A V A + A V A + A, A A, A A A,., (.8) A V A A V. A A, A A, A A A,. (.9) Relatywistyzne dodawanie prędkośi Znajdziemy teraz wzory łąząe prędkośi ruhomej ząstki w dwóh inerjalnyh układah odniesienia. Nieh znów układ K porusza się względem układu K wzdłuż osi e z prędkośią V. Ze wzorów (.6) mamy + V V +,,,. (.) Prędkośi ząstki w układah K i K określają wzory: υ dr, υ dr. A zatem dzielą pierwsze trzy równośi wzory (.) przez zwartą otrzymujemy υ υ + V υ V +, υ υ υ V +, υ υ υ V +. (.) 97

4 Wzory (.) określają prawo składania prędkośi w relatywistyznej mehanie. W przypadku, gdy wzory te przehodzą we wzory mehaniki klasyznej: υ + V, υ υ, υ. υ υ Diagramy zasoprzestrzenne Wielu efektów relatywistyznyh takih jak równozesność, skróenie Lorentza, dylataja zasu znajdują przejrzystą interpretaję geometryzną przy korzystaniu z diagramów zasoprzestrzennyh Minkowskiego. Rozważmy znów dla uproszzenia dwa inerjalne układy odniesienia i nieh układ K porusza się względem układu K wzdłuż osi e z prędkośią V. Załóżmy również, że w hwili t t pozątki układów pokrywają się. Przyjęte założenia pozwalają rozpatrywać dwuwymiarową przestrzeń Minkowskiego. Osi współrzędnyh O τ i Ox układu K wybierzemy jako dwie wzajemnie prostopadłe osi. Pojedynzy punkt na tym diagramie zasoprzestrzennym o ustalonyh ( τ t, x ) nazywamy zdarzeniem. Tor ząstki określa krzywa x (τ ), która nazywa się linią świata ząstki. Narysujmy teraz linii współrzędnyh układu K na diagramie zasoprzestrzennym układu K. Oś O τ ( τ t ) jest to miejse geometryzne zdarzeń dla któryh x. Podstawiają x x do wzorów (.6) otrzymujemy równanie osi O τ na diagramie zasoprzestrzennym układu K : x Vt (t) τ. Jest to równanie prostej, która tworze kąt θ z osią O τ : tg θ V. τ τ A A x θ B θ B O x Oś Ox jest to miejse geometryzne zdarzeń dla któryh t. Podstawiają t do wzorów (XXX.6) otrzymujemy równanie osi Ox na diagramie zasoprzestrzennym układu 98

5 K : τ t Vx x. Jest to również równanie prostej, która tworzy ten sam kąt θ z osią Ox. Mamy wię położenie osi współrzędnyh układu K na diagramie zasoprzestrzennej układu K, jednak nie mamy wzdłuż nih skali. Żeby znaleźć tę skalę, skorzystamy z niezmiennizośi interwału s τ x (τ ) ( x ) onst. (.) Wybierzmy na osi O τ układu K zdarzenie A (patrz rysunek) dla którego τ, x. Zgodnie z (.) wszystkie zdarzenia dla któryh s leżą na krzywej τ x. Jest to hiperbola, asymptotami której są linii świata ( tg θ ± ). Punkt A przeięia tej hiperboli z osią O τ, zgodnie z (.), ma współrzędne τ i x τ x a możemy łatwo wykalibrować oś τ O.. A zatem używają hiperbol W podobny sposób kalibruje się oś Ox. Wybierzmy na osi Ox układu K zdarzenie B dla którego τ, x. Zgodnie z (.) wszystkie zdarzenia dla któryh s leżą na krzywej x τ. Jest to hiperbola, asymptotami której znów są linii świata światła ( tg θ ± ). Punkt B przeięia tej hiperboli z osią Ox, zgodnie z (.), ma współrzędne τ i x. Korzystają z diagramów zasoprzestrzennyh Minkowskiego łatwo rozważyć interpretaję geometryzną podstawowyh efektów relatywistyznyh: względność równozesnośi dwóh zdarzeń, dylataji zasu, skróenie Lorentza. Dynamika relatywistyzna. Czterowektory prędkośi i pędu Cehą harakterystyzną w mehanie Newtona jest absolutny harakter zasu, o oznaza, że zas nie zależy od wybranego inerjalnego układu odniesienia. W mehanie Newtona prędkość ząstki określa wektor styzny do trajektorii ząstki: υ dr. Oznazają wektor za pomoą strzałki, podkreślamy, że w mehanie klasyznej wektor możemy rozpatrywać jako obiekt geometryzny nie zależny od wyboru osi współrzędnyh. Mówią o wektorze wyobrażamy sobie zorientowaną w przestrzeni strzałkę o określonej długośi. Dowolny obrót układu osi współrzędnyh nie zmienia kierunku i długośi wektora. Od wybranego układu odniesienia zależą tylko składowe wektora. W mehanie relatywistyznej trajektorię ząstki będziemy określali 4 - wymiarowym wektorem (zterowektorem) wodząym ρ. Przez współrzędne wektor wodząy ρ w wybranej bazie możemy zapisać w postai 99

6 ρ x. (.) e + x e + x e + x e Podobnie jak w zwykłej przestrzeni Euklidesa, będziemy rozpatrywali dowolny wektor w przestrzeni Minkowskiego jako obiekt geometryzny. Kierunek i długość wektora wodząego ρ jest inwariantny względem przekształeń Lorentza. Jednak zas w mehanie relatywistyznej w różnyh inerjalnyh układah odniesienia jest różny. Z tego powodu powstaje pytanie jak określić wektor prędkośi punktu materialnego, żeby ten wektor był niezależny od wybranego inerjalnego układu odniesienia. Wiemy, że niezależnym od układu odniesienia jest własny zas ząstki τ. A wię, jeżeli zterowektor prędkośi u określimy jako dρ u, (.4) dτ to ten wektor będzie relatywistyzne inwariantnym. Współrzędne tego wektora zależą ozywiśie od wybranego układu odniesienia. Uwzględniają, że x t d τ ze i wzoru (.) otrzymujemy u, (.5a) dτ υ u, (.5b) d τ υ u, (.5) d τ υ u. (.5d) d τ Tu υ, υ, υ są to składowe trójwymiarowego wektora prędkośi υ ząstki w wybranym inerjalnym układzie K. Łatwo sprawdzić, że ilozyn skalarny ( u u) u g u u u u u α α (.6) 4

7 jest relatywistyznym inwariantem. W mehanie Newtona pęd punktu materialnego jest ilozynem trójwymiarowego wektora prędkośi i jego masy m : p m r. W mehanie relatywistyznej uogólnia się pojęie pędu i pęd jest ilozynem zterywektora prędkośi u i jego masy m p m u. (.7) Korzystają ze wzorów (.5) składowe zterowektora pędu możemy zapisać w następująy sposób Tu wielkość p m p, i i mυ ( i,, ). (.8) m m (.9) nazywa się masą relatywistyzną ząstki. Masa m nazywa się masą spozynkową ząstki. Korzystają ze wzoru (.8) natyhmiast otrzymujemy, że ( p p) p g p p p p p m α α (.) jest niezmiennikiem relatywistyznym. Relatywistyzne równania Newtona W mehanie Newtona zmiany pędu punktu materialnego określa drugie prawo Newtona: dp F. W mehanie relatywistyznej uogólnieniem tego równania jest relatywistyzne równanie Newtona dp K dτ. (.) Tu znów jako relatywistyznie niezmiennizy zas wybraliśmy zas własny ząstki. K jest zterowektorem siły, który nazywa się siłą Minkowskiego. Równanie (.) jest równaniem relatywistyznie inwariantnym, o znazy że postać tego równania jest taka sama we wszystkih inerjalnyh układah odniesienia. 4

8 Znajdziemy składowe siły Minkowskiego. Zauważmy najpierw, że ztery równania (.) nie są niezależne, ponieważ, zgodnie z (.) dp ( p ) dτ ( p p) τ d d d d ( m ). τ Tak wię równania (.) będą niesprzezne wzajemnie tylko wtedy, gdy składowe zterowektora siły Minkowskiego spełniają równanie p K) m( K υk υk υk ). (.) ( Ze wzoru (.) dla składowyh przestrzennyh ( α,, ) siły Minkowskiego mamy dpi dpi Fi K i dτ dτ. (.) Tu Fi dpi są to współrzędne trójwymiarowego ( zwykłego ) wektora siły. Składową K siły Minkowskiego znajdujemy ze wzorów (.) i (.) υ F + υ F K. (.4) + υ F Tak wię zerowa składowa siły Minkowskiego jest wprost związana z moą siły F. Związek między masą i energią Rozważmy teraz ruh relatywistyzny ząstki ( υ ) w pewnym układzie inerjalnym K. Zgodnie z (.), dla zmiennyh przestrzennyh pędu równanie Newtona ma postać dp F. ( i,, ) (.5) W mehanie relatywistyznej, zgodnie z (.8) i (.9) p mυ mυ, (.6) a zatem równanie (.5) możemy zapisać w postai dp d [ m υ ]. (.7) 4

9 Praa elementarna siły F dla małego przesunięia punktu materialnego o dr υ wynosi da F dr υ F υ dp. (.8) Korzystają ze wzoru (.6) zapiszmy wzór (.8) w postai da υ dp υ d[ m d( ) ( ) m υ m mυdυ ] ( ) d. (.9) Praa wykonana przez działająy na punkt materialny siły F jest równa przyrostowi energii kinetyznej punktu, a zatem de da m d. (.) Wynika stąd słynny wzór Einsteina określająy związek między masą i energią ząstki m E m. (.) względem W przypadku małyh prędkośi ( υ <<), rozwijają (.) w szereg potęgowy υ, otrzymujemy υ υ E m + ( ) m ( + + ) m mυ. (.) Ze wzoru (.) wnioskujemy, że nawet nieruhoma ząstka ( υ ) posiada energię E m. Energia ta nazywa się energią spozynkową ząstki. Biorą pod uwagę, że związek między energią a trójwymiarowym pędem p m i korzystają ze wzorów (.) i (.) znajdziemy E m p m p, (.) 4

10 gdzie p p + p + p. Ze wzoru (.) wynika, że jeżeli masa spozynkowa ząstki (na przykład fotonu) jest równa zeru ( m ), to energia i pęd ząstki określa związek Dla fotonu E p. (.4) p h λ, gdzie λ - długość fali świetlnej, h - stała Planka, a zatem ze wzoru (.4) otrzymujemy słynny wzór Planka - Einsteina określająy związek między zęstośią ν i energią E fotonu E h hν. (.5) λ 44