FUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy

Transkrypt

1 FUNKCJA KWADRATOWA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Wykres funkji y = ax + bx+ przehodzi przez punkty: A = (, ), B= (, ), C = (,) a) Wyznaz współzynniki a, b, (6 pkt) b) Zapisz wzór funkji w postai kanoniznej ( pkt) ) Naszkiuj jej wykres ( pkt) Zadanie (7 pkt) f + a) Przedstaw tę funkję w postai ogólnej i ilozynowej ( pkt) b) Narysuj wykres tej funkji ( pkt) ) Podaj: zbiór wartośi funkji; zbiór w którym funkja jest rosnąa; zbiór tyh argumentów, dla któryh funkja przyjmuje wartośi niedodatnie ( pkt) Dana jest funkja kwadratowa w postai kanoniznej ( x) = ( x ) Zadanie (5 pkt) Funkja kwadratowa y = x + bx+ ma dwa miejsa zerowe: x = oraz x = a) Wyznaz b oraz ( pkt) b) Podaj postać kanonizną tej funkji ( pkt) ) Narysuj wykres tej funkji ( pkt) Zadanie (5 pkt) Rozwiąż grafiznie nierówność: x > x 6 Zadanie 5 ( pkt) x x Rozwiąż równanie: = Zadanie 6 (5 pkt) Wyznaz długośi boków trójkąta prostokątnego, wiedzą, że są one kolejnymi naturalnymi lizbami parzystymi Zadanie 7 (5 pkt) W roku 85 na urozystośi urodzin spytał ktoś jubilata, ile on ma lat Na o jubilat odpowiedział: Gdy swój wiek sprzed 5 lat pomnożę przez swój wiek za 5 lat, to otrzymam rok swego urodzenia Ile lat miał wówzas jubilat? Zadanie 8 (6 pkt) Lizbę osób, które odwiedziły kiermasz obuwia n - tego dnia od momentu jego otwaria w przybliżeniu opisuje wzór d ( n) = n + n 8, gdzie n N+ i n 5 a) W którym dniu kiermasz odwiedziło najwięej osób i ile ih było? b) Ile osób odwiedziło kiermasz podzas jego trwania?

2 Zadanie 9 (7 pkt) W pewnym zakładzie pray zależność przyhodów ze sprzedaży od wielkośi produkji wyraża w przybliżeniu wzór p( n) = 5n, gdzie n oznaza lizbę sztuk wyprodukowanego towaru, a koszty produkji, w złotyh, określa zależność k ( n) = n + 5n+ 6 a) Napisz wzór funkji z(n) - zależnośi zysku zakładu od wielkośi produkji, jeśli wiadomo, że zysk jest różnią między przyhodem zakładu a kosztami produkji b) Przy jakiej wielkośi produkji zysk ten wynosi? ) Jaka wielkość produkji zapewnia największy zysk? Jaki jest koszt produkji, gdy zysk jest największy? Zadanie (8 pkt) Okno na poddaszu ma kształt trójkąta, w którym suma długośi jego podstawy i wysokośi opuszzonej na podstawę tego okna wynosi m Jaka powinna być długość podstawy okna, aby jego powierzhnia była największa? Obliz maksymalną powierzhnię tego okna Zadanie (5 pkt) Wyznaz najmniejszą oraz największą wartość funkji f ( x) = x 5x+ 7 w przedziale domkniętym, Zadanie (9 pkt) Dana jest funkja f ( x) = x x+ dla x R, a) obliz jej wartość największą w przedziale ;, b) zapisz jej wzór w postai kanoniznej, ) narysuj jej wykres, d) omów jaj własnośi: dziedzina, zbiór wartośi, monotonizność, znak funkji Zadanie (6 pkt) Szerokość dywanu jest o 5 m mniejsza od długośi tego dywanu Jakie są wymiary dywanu, jeżeli jego powierzhnia wynosi m? Zadanie (8 pkt) Dane są zbiory A i B Zaznaz na osi lizbowej zbiory A i B oraz wykonaj działania: A B, A B, A / B, gdy: 7 A = x R : x + x >, B = x R : x x+ Zadanie 5 (9 pkt) Dana jest funkja f ( x) = x + x dla x R, a) wyznaz jej wartość najmniejszą, największą, b) obliz, dla jakih argumentów przyjmuje wartośi nieujemne, ) rozwiąż grafiznie równanie f(x) = - Zadanie 6 ( pkt) Przezytaj rozwiązanie poniższego Następnie przeprowadzają analogizne f (8) rozumowanie obliz, jeżeli miejsami zerowymi funkji kwadratowej są lizby i f (6)

3 Zadanie f (7) Miejsami zerowymi funkji kwadratowej są lizby i Obliz f (5) Rozwiązanie Funkję kwadratową f ( x) = ax + bx+ ( a ) można przedstawić w postai: f ( x) = a( x x )( x x), gdy > Z treśi mamy: x =, x = Po podstawieniu otrzymujemy: f ( x) = a( x )( x ) = a( x x x+ 8) = a( x 6x+ 8) Czyli f ( x) = a( x 6x+ 8) f (7) a( ) Stąd wyrażenie: = = = = 5 f (5) a ( ) Odpowiedź f (7) Wartośią wyrażenia jest lizba 5 f (5) Zadanie 7 ( pkt) Równanie 9x 6x = można rozwiązać w następująy sposób: 9x 6x+ = 9x 6x+ = ( ) ( x ) = ( x )( x + ) = ( x )( x+ ) = x= x= Wykorzystują wskazany sposób, rozwiąż równanie: 5x x 8= Zadanie 8 ( pkt) Nierówność ( x ) 8 można rozwiązać w następująy sposób: ( x ) 8 ( x ) 9 x x x, 7 Analogiznie postępują rozwiąż nierówność ( ) x Zadanie 9 (5 pkt) Lizba x = jest miejsem zerowym funkji kwadratowej, a wierzhołkiem paraboli jest W =, Zapisz wzór tej funkji w postai ilozynowej punkt ( ) Zadanie (7 pkt) Funkja kwadratowa f ( x) = x + bx+ ma dwa miejsa zerowe: x =, x = a) Wyznaz współzynniki b i b) Podaj postać kanonizną tej funkji

4 Zadanie (8 pkt) Największa wartość funkji kwadratowej f(x) wynosi Lizby i 5 są jej miejsami zerowymi a) Napisz wzór funkji w postai ogólnej b) Dla jakih argumentów wykres funkji f(x) leży powyżej wykresu funkji y = x 5? Poziom rozszerzony Zadanie ( pkt) Dane jest równanie ( m + ) x ( m ) x+ ( m) = Dla jakih wartośi parametru m Rrównanie to ma dokładnie jeden pierwiastek? Dla wyznazonyh m obliz ten pierwiastek Zadanie (6 pkt) Dla jakih wartośi parametru rozwiązania? m R równanie ( m 5) x mx+ m = ma dwa różne Zadanie ( pkt) Dla jakih wartośi m Rróżne pierwiastki rzezywiste równania x + mx+ m = spełniają warunek + x x Zadanie ( pkt) Funkja kwadratowa y = ax + bx+ ma jedno miejse zerowe i do jej wykresu należą punkty A = (, ) i B = (, 9) Wyznaz wartośi a, b, i podaj ilustraję grafizną rozwiązania Zadanie 5 (7 pkt) Dla jakiej wartośi parametru m nierówność: ( 5 m) x ( m) x+ ( m) < jest spełniona dla każdego x R? Zadanie 6 ( pkt) Funkja g przyporządkowuje lizbie rzezywistej a lizbę pierwiastków równania x + x = a Naszkiuj wykres tej funkji Zadanie 7 (8 pkt) Dane są zbiory A i B Wyznaz A B grafiznie i algebraiznie, jeśli: {( x, y) : x, y R i x + y = 5} i B= {( x, y) : x, y R i = } A= xy Zadanie 8 ( pkt) Napisz wzór funkji kwadratowej f ( x) = ax + bx+ wiedzą, że jej miejsa zerowe spełniają warunki: x + x =, x x =, f () =

5 Zadanie 9 ( pkt) Dla jakih wartośi parametru m dziedziną funkji f ( x) = x mx+ m+ jest zbiór lizb rzezywistyh? Zadanie (7 pkt) Dla jakih wartośi parametru m równanie x + ( m+ ) x+ m m= ma dwa różne pierwiastki rzezywiste jednakowyh znaków?

6 a SCHEMAT PUNKTOWANIA FUNKCJA KWADRATOWA Poziom podstawowy Etapy rozwiązania L pkt = a+ b+ Ułożenie układu trzeh równań: = a+ b+ = a b+ Rozwiązanie ułożonego układu a =, b=, = 5 b Sprowadzenie wzoru funkji do postai kanoniznej: y = x 5, = 6 Naszkiowanie wykresu otrzymanej funkji Punkty przeięia wykresu z osiami układu współrzędnyh: (,),,, (, 5) Sprowadzenie wzoru funkji do postai ogólnej f ( x) = x + x+ a Sprowadzenie funkji do postai ilozynowej f ( x) = ( x )( x+ ), gdzie = b Naszkiowanie wykresu funkji Odzytanie zbioru wartośi funkji Y = ( ; Odzytanie przedziału, w którym funkja jest rosnąa Odp:( ;) Odzytanie zbioru tyh argumentów, dla któryh funkja przyjmuje wartośi niedodatnie Odp: ( ; ; + ) a = b+ Ułożenie układu dwóh równań = + b+ Rozwiązanie ułożonego układu b = 9, = 6 b Sprowadzenie wzoru funkji do postai kanoniznej y = x, = 9 Naszkiowanie wykresu otrzymanej funkji Narysowanie wykresu funkji f ( x) = x 5 Narysowanie wykresu funkji g ( x) = x 6 Odzytanie z wykresu odiętyh punktów wspólnyh obu wykresów: -, Odzytanie z wykresu, dla jakih argumentów wartośi funkji f(x) są x ; większe od wartośi funkji g(x) Odp: ( ) Zapisanie równania w postai równania równoważnego x x 9= Oblizenie pierwiastków: x =, x =

7 6 Etapy rozwiązania Analiza : wprowadzenie oznazeń np a = n, b = n +, = n +, oraz określenie warunku n lizba parzysta Zapisanie równania korzystają z twierdzenia Pitagorasa n + n+ = n+ ( ) ( ) L pkt Przekształenie równania do postai równoważnej n n = Rozwiązanie ułożonego równania n =, n = 6 Zapisanie odpowiedzi a = 6, b = 8, = 7 Shemat punktowania analogizny jak w zadaniu 6 5 Spostrzeżenie faktu, że skoro a < to dana funkja posiada wartość 8a b największą równą dla argumentu a a b Oblizenie i sprawdzenie, że ; 5 a Oblizenie d(8) = i sformułowanie odpowiedzi 8b Oblizenie wartośi funkji dla argumentów naturalnyh od x = do x = 7 Oblizenie sumy d ( ) + d() + + d(5) i sformułowanie odpowiedzi 9a Napisanie wzoru funkji z ( n) = p( n) k( n) = n + n 6 9b Zapisanie równania: n + n 6= i warunku n N Oblizenie pierwiastków równania: n =, n = 6 9 b Oblizenie: 5 a = oraz = 9 a Zapisanie odpowiedzi Analiza treśi : sporządzenie rysunku i przyjęie oznazeń a długość podstawy okna, b długość wysokośi okna Zapisanie wzoru a + b= i wyznazenie z niego b= a Zapisanie wzoru funkji na pole okna f ( a) = a ( a) i określenie dziedziny a > i b>, zyli a ( ;) Spostrzeżenie faktu, że skoro a < to dana funkja posiada wartość największą Podanie tej wartośi argumentu, dla której funkja f(a) przyjmuje b największą wartość x = 5 = a Oblizenie maksymalnego pola tego okna: P max ( 5) = 5m Sprawdzenie, że x ; w Oblizenie f ( ) =, f ( ) = Sformułowanie odpowiedzi

8 Etapy rozwiązania L pkt Określenie wartośi największej w przedziale: y max =, dla x = Podanie postai kanoniznej: ( + ) y = x + Narysowanie wykresu Opisanie własnośi funkji Za każdą z wymienionyh własnośi po pkt Analiza, rysunek Podanie wzoru funkji pola i jej dziedziny: P(x) = x(x+), x > Rozwiązanie równania P(x) = i uwzględnienie dziedziny Sformułowanie odpowiedzi Odp 8 m na m Rozwiązanie nierównośi A Rozwiązanie nierównośi B Zaznazenie na osi lizbowej zbiorów A i B Wykonanie działań: A B, A B, A / B Stwierdzenie, że wartość minimalna istnieje, a maksymalna nie Oblizenie y min = -, dla x = - Wyznazenie dla jakih x, y Odp: x (,, + ) Sporządzenie wykresu funkji liniowej y = Sporządzenie wykresu funkji kwadratowej y = x + x Odzytanie z wykresu rozwiązań: x =, x = - Zapisanie funkji kwadratowej w postai ilozynowej i miejs zerowyh Doprowadzenie funkji kwadratowej do postai: f ( x) = a( x x+ ) f (8) Oblizenie wartośi wyrażenia po odpowiednim podstawieniu f (6) f (8) 7 Sformułowanie odpowiedzi: = f (6) Doprowadzenie równania do postai: ( 5 ) 9= x Doprowadzenie równania do postai: ( 5 x )( 5x+ ) = Rozwiązanie równania: x = x= 5 5 Sprowadzenie do postai ( x ) Sprowadzenie do postai x Zapisanie nierównośi w postai x Rozwiązanie nierównośi i podanie odpowiedzi: x, Zapisanie funkji w postai kanoniznej: ( ) = ( x ) a Oblizenie współzynnika a: f x a, gdzie a = f ( x) = x+ x Zapisanie funkji w postai ilozynowej: ( )( )

9 Etapy rozwiązania L pkt b+ = Ułożenie układu równań + b+ = Rozwiązanie układu równań: b =, = 6 Zapisanie funkji w postai kanoniznej (oblizenie p i q i podanie postai 7 kanoniznej) Odp y = x+ Zapisanie funkji w postai ilozynowej f ( x) = a( x )( x 5) Oblizenie odiętej wierzhołka x w = Oblizenie współzynnika a, korzystają z faktu f ( ) = Odp a = - Napisanie wzoru funkji w postai ogólnej: f ( x) = x + 7x Zapisanie nierównośi f ( x) > x 5 Rozwiązanie nierównośi: x ( ;5) Poziom rozszerzony Numer Etapy rozwiązania L pkt Zapisanie układów warunków, dla którego równanie ma jedno rozwiązanie: a= a I lub II b = Rozwiązanie I przypadku: a = m= ; b =, zyli b Rozwiązanie warunku: a m Wyprowadzenie wyrażenia: = 5m m Rozwiązanie równania: = m = m= 5 Uwzględnienie rozwiązań I i II: Równanie ma jeden pierwiastek dla m ;; i oblizenie tyh rozwiązań 5 a Zapisanie układów warunków: > Rozwiązanie warunku: a m Wyprowadzenie wyrażenia: = 5m m

10 5 6 Etapy rozwiązania L pkt > m ; ; + 5 m ; ; ; + 5 Rozwiązanie nierównośi: ( ) Wyznazenie rozwiązania układu: ( ) ( ) > Zapisanie układów warunków: + x x Wyprowadzenie wyrażenia: = m + m 8 Rozwiązanie nierównośi: > ( ; ) ( ; + ) Przekształenie wyrażenia: x m ( x + x) ( x x ) x x + = x Zastosowanie wzorów Viete a: x + x = m oraz x x = m Sprowadzenie nierównośi : x + x m + m ( m) Rozwiązanie nierównośi: m 6; Wyznazenie rozwiązania układu warunków: m 6; ) a b a= Ułożenie układu równań = a + b + 9= a + b + Rozwiązanie układu równań Wykonanie ilustraji grafiznej rozwiązania Udzielenie odpowiedzi Odp a =, b = -, = lub a =, b =, = Zauważenie, że dla żadnego m funkja ta nie jest funkją liniową stałą 5 m = Układ ( m) = jest sprzezny ( m) < a< Określenie warunku dla trójmianu kwadratowego < Wyprowadzenie wyrażenia: = ( m )( m 9) Rozwiązanie układu nierównośi m 9, + Sformułowanie odpowiedzi Odp ( ) Wykres funkji y = x + x Wykres funkji y = x + x wraz z prostą y = a Analiza ilośi rozwiązań Sporządzenie wykresu funkji g(a)

11 7 8 Etapy rozwiązania Zaznazenie na układzie współrzędnyh zbiorów A, B oraz L pkt A B x + y = 5 Zapisanie układu równań xy= Rozwiązanie układu równań Odp A B= {(,) ;(, ) ;(, ) ;(, ) } Oblizenie współzynnika : Oblizenie współzynnika a: Oblizenie współzynnika b: Zapisanie warunków: a = > Oblizenie = m m Rozwiązanie nierównośi m m i sformułowanie odpowiedzi: m ;6 a Zapisanie układu warunków: > x x > Oblizenie = m + 6 i rozwiązanie odpowiedniej nierównośi Oblizenie x x = m m Rozwiązanie nierównośi m> m,, + Wyznazenie zęśi wspólnej rozwiązań warunków układu: m, (, + ) 5 m Odp ( ) ( )