Model materiału zastępczego w analizie zginanego przekroju żelbetowego

Transkrypt

1 Bi u l e t y n WAT Vo l. LXIV, Nr 4, 015 odel materiału zastępzego w analizie zginanego przekroju żelbetowego Jarosław Siwiński, Adam Stolarski Wojskowa Akademia Tehnizna, Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji, Katedra Budownitwa, Warszawa, ul. gen. S. Kaliskiego, jaroslaw.siwinski@wat.edu.pl, astolarski@wat.edu.pl Streszzenie. W pray przedstawiono metodykę wyznazania parametrów wytrzymałośiowyh i odksałeniowyh dla hipotetyznego modelu jednorodnego materiału zastępzego w żelbetowym przekroju poprzeznym poddanym zystemu zginaniu. Parametry te określono na podstawie proponowanej unkji homogenizayjnej z wykorzystaniem eektywnego stopnia zbrojenia przekroju żelbetowego. Przeprowadzono analizę porównawzą zależnośi moment krzywizna zastępzego przekroju poprzeznego i przekroju żelbetowego zginanego. Słowa kluzowe: budownitwo, konstrukje budowlane, zginany przekrój żelbetowy, jednorodny materiał zastępzy, homogenizaja DOI: / Wstęp Sposób zahowania modelu numeryznego układu konstrukyjnego zależy śiśle od zastosowanego modelu materiałowego, który stanowi integralną zęść proedury modelowania mehanizmu zniszzenia budynków obiążonyh wybuhowo. Przeprowadzenie analizy przestrzennej zahowania elementu konstrukyjnego lub ałej konstrukji budynku wymaga wykonania skomplikowanego modelu numeryznego. Trudność modelowania przestrzennego elementów żelbetowyh polega na osobnym modelowaniu materiałów konstrukyjnyh (betonu i stali zbrojeniowej) oraz ih wzajemnej współpray. Przy dużej lizbie prętów zbrojeniowyh każdy z nih należy zdeiniować i określić jego współpraę z betonem, o powoduje zwiększenie lizby węzłów wykorzystywanyh w analizie oblizeniowej oraz zasu wykonywania analizy.

2 146 J. Siwiński, A. Stolarski W związku z trudnośiami modelowania właśiwośi skomplikowanyh układów konstrukyjnyh o niejednorodnej konstrukji żelbetowej, stosowane jest podejśie polegająe na homogenizaji żelbetu, patrz np. prae Combesure a, Dumonteta i Voldoire a [1], Kellihera i Suttona-Swabiego [] oraz Luioni, Ambrosiniego i Danesiego [4]. Żadne opraowanie dotyząe postępowania z wykorzystaniem modelu jednorodnego materiału zastępzego nie przedstawia uniwersalnej proedury wyznazania parametrów statyzno-wytrzymałośiowyh dla tego materiału. Celem pray jest opraowanie hipotetyznego, jednorodnego modelu materiału zastępzego na podstawie założeń teorii homogenizaji, której teoretyzne podstawy zawiera m.in. opraowanie Strzelekiego i in. [5], oraz przeprowadzenie analizy porównawzej zależnośi moment krzywizna z tradyyjnym przekrojem żelbetowym. Zgodnie z założeniami teorii homogenizaji, żelbet jako niejednorodna kompozyja betonu i stali zbrojeniowej zostały zastąpione jednorodnym materiałem zastępzym, którego wszystkie parametry wytrzymałośiowe i odksałeniowe wyznazono jako elową modyikaję parametrów statyzno-wytrzymałośiowyh podstawowego modelu betonu. Jedynym zynnikiem modyikująym właśiwośi wytrzymałośiowe i odksałeniowe betonu jest współzynnik homogenizayjny, który przyjęto jako eektywny stopień zbrojenia. W pray przedstawiono weryikaję analityzną modelu jednorodnego materiału zastępzego na przykładzie zależnośi moment krzywizna dla przekroju żelbetowego i przekroju z materiału zastępzego z uwzględnieniem azowośi pray przekrojów poprzeznyh.. odel materiału zastępzego.1. Konepja materiału zastępzego W opraowaniu zawarto rozważania dotyząe hipotetyznego modelu zastępzego materiału jednorodnego o parametrah statyzno-wytrzymałośiowyh wyznazonyh zgodnie z teorią homogenizaji, Strzeleki i in. [5]. Zastosowanie hipotetyznego modelu materiału zastępzego umożliwia uzyskanie parametrów materiału jednorodnego, dla któryh wyniki doświadzeń analityznyh i w dalszyh praah numeryznyh będą porównywalne z wynikami badań doświadzalnyh i innyh rozwiązań teoretyznyh uzyskanyh dla materiału niejednorodnego żelbetu, ale bez potrzeby osobnego modelowania prętów stalowyh, przekroju betonowego i ih współpray. Takie podejśie homogenizayjne umożliwi wykorzystanie zasobów oprogramowania spejalistyznego do

3 odel materiału zastępzego w analizie zginanego przekroju żelbetowego 147 modelowania zahowania jednorodnyh materiałów, elementów konstrukyjnyh i ałyh konstrukji. Wszystkie parametry tego modelu zostaną wyspeyikowane i szzegółowo opisane. Następnie zostanie przedstawiona metodyka modyikaji i wyznazania tyh parametrów dla materiału zastępzego... etoda homogenizaji wyznazania parametrów materiału zastępzego Przedstawiono metodykę zastąpienia żelbetu jako niejednorodnej kompozyji materiałowej pewnym modelem hipotetyznego materiału zastępzego jako materiałem jednorodnym. Zgodnie z zasadami teorii homogenizaji, Strzeleki i in. [5], przyjęto, że zróżniowane modele materiałów bazowyh żelbetu (beton i stal zbrojeniowa) zostaną zastąpione modelem materiału jednorodnego za pomoą założonego parametru homogenizayjnego zależnego od wzajemnej ilośiowej proporji tyh materiałów, zyli stopnia zbrojenia. Na rysunku 1 przedstawiono ideowy shemat takiego postępowania prowadząego do wyznazenia parametrów materiału zastępzego w zginanym przekroju żelbetowym. Rys. 1. Ideowy shemat homogenizaji żelbetu

4 148 J. Siwiński, A. Stolarski Podstawą wyznazenia parametrów materiału zastępzego opisująego żelbet jest unkja homogenizayjna: gdzie: P P + F P, (1) z H s P z parametr materiału zastępzego po homogenizaji; P parametr podstawowy betonu; P s parametr podstawowy stali zbrojeniowej; F H współzynnik homogenizayjny. Jako parametry podstawowe dla betonu przyjęto wytrzymałość na śiskanie, wytrzymałość betonu na roziąganie t, moduł odksałenia E : P t. E Jako parametry podstawowe dla stali zbrojeniowej przyjęto największą harakterystyzną granię plastyznośi y ma{, }, ma y spośród harakterystyznyh 1 y grani plastyznośi yi { y1, y} występująyh w zbrojeniu dla wyróżnionyh kierunków i 1, oraz moduł odksałenia E s : () y, ma Ps. Es (3) Współzynnik homogenizayjny przyjęto w postai eektywnego stopnia zbrojenia, który przyjmuje różne wartośi w zależnośi od zróżniowania parametru P s dla wyróżnionyh kierunków i 1, zbrojenia F H e, y (4). e Eektywny stopień zbrojenia e,y wg (4) 1 wyraża jednoześnie wypadkowy stopień zbrojenia jako unkję zróżniowanyh stopni zbrojenia i { 1, } dla wyróżnionyh kierunków zbrojenia oraz zróżniowanyh, bezwymiarowyh współzynników yi yi harakterystyznyh grani plastyznośi yi w tym zbrojeniu, y, ma znormalizowanyh względem największej graniy plastyznośi y, ma : ( ) ( ) + (5) e, y 1 y1 y.

5 odel materiału zastępzego w analizie zginanego przekroju żelbetowego 149 Natomiast eektywny stopień zbrojenia e wg (4) wyraża wypadkowy stopień zbrojenia wyłąznie w unkji zróżniowanyh stopni zbrojenia e ( ) ( ) + (6) 1. Eektywny stopień zbrojenia określony zależnośią (4) 1 ma zastosowanie w odniesieniu do działania na parametry o zróżniowanyh wartośiah dla wyróżnionyh kierunków i (grania plastyznośi stali zbrojeniowej). Natomiast wyrażenie (4) ma zastosowanie w odniesieniu do działania na parametry o takih samyh wartośiah dla wyróżnionyh kierunków i..3. odele podstawowe materiałów w przekroju żelbetowym.3.1. Sprężysto-plastyzny model betonu Jako podstawowy model materiału przyjęto model sprężysto-idealnie plastyznokruhego odksałenia betonu, który jest przeznazony do analizy i projektowania elementów betonowyh, Knau [3], Eurokod [6] (rys. ). Rys.. Uproszzona zależność naprężenie odksałenie dla betonu w jednoosiowym stanie naprężenia odel ten opisują następująe zależnośi: gdzie: 0 dla tu t dla < E dla dla < u 0 dla u tu t t granizne odksałenia sprężyste przy śiskaniu; E (7)

6 150 J. Siwiński, A. Stolarski t t granizne odksałenia sprężyste przy roziąganiu; E u odksałenia granizne przy śiskaniu; tu odksałenia granizne przy roziąganiu; harakterystyzna wytrzymałość betonu na śiskanie; t harakterystyzna wytrzymałość betonu na roziąganie; E moduł odksałenia..3.. Sprężysto-plastyzny model stali zbrojeniowej Przyjęto sprężysto-idealnie plastyzny model stali (rys. 3). Ze względu na harakter pray prętów zbrojeniowyh w elementah żelbetowyh rozważano jednoosiowy stan naprężenia roziąganie/śiskanie, Knau [3], Eurokod [6]. Rys. 3. Zależność naprężenie odksałenie dla stali zbrojeniowej Parametry wytrzymałośiowe (grania plastyznośi, wytrzymałość na roziąganie), uzupełnione o parametry odksałeniowe (moduł odksałenia i wartośi odksałeń graniznyh), określają zależność między naprężeniami i odksałeniami: gdzie: s dla s Es s dla y s y y dla y s su y y s tu y y odksałenia granizne w zakresie sprężystym; E (8)

7 odel materiału zastępzego w analizie zginanego przekroju żelbetowego 151 su odksałenia granizne stali na śiskanie towarzysząe wybozeniu prętów zbrojeniowyh w konstrukji żelbetowej; tu odksałenia granizne stali na roziąganie ze względu na zerwanie; y harakterystyzna grania plastyznośi stali; E s moduł sprężystośi stali zbrojeniowej..4. odel materiału zastępzego Jako model materiału zastępzego przyjęto model odksałenia, w którym wszystkie parametry odksałeniowo-wytrzymałośiowe zostały zastąpione parametrami wyznazonymi zgodnie z założeniami metody homogenizaji wg ormuły (1). Rys. 4. Ideowy shemat modelu materiału zastępzego

8 15 J. Siwiński, A. Stolarski Na rysunku 4 przedstawiono ideowy shemat modelu jednorodnego materiału zastępzego na płaszzyźnie naprężenie odksałenie na podstawie przyjętyh, uproszzonyh modeli betonu i stali zbrojeniowej. odel materiału zastępzego opisują następująe zależnośi: gdzie: 0 dla z u zs dla < dla < E dla z dla z < z z zs dla z < z zu 0 dla z zu u z z z z z z z z z granizne odksałenia sprężyste przy śiskaniu materiału Ez zastępzego; granizne odksałenia sprężyste przy roziąganiu materiału Ez zastępzego; z odksałenia granizne w zakresie maksymalnej wytrzymałośi materiału zastępzego na śiskanie; odksałenia granizne w zakresie maksymalnej wytrzymałośi materiału zastępzego na roziąganie; zu su odksałenia granizne w zakresie minimalnej wytrzymałośi materiału zastępzego na śiskanie; u tu odksałenia granizne w zakresie minimalnej wytrzymałośi materiału zastępzego na roziąganie; z harakterystyzna wytrzymałość materiału zastępzego na śiskanie; harakterystyzna wytrzymałość materiału zastępzego na roziąganie; zs minimalna wytrzymałość materiału zastępzego na śiskanie/ roziąganie; E z moduł odksałenia materiału zastępzego. 3. Weryikaja modelu materiału zastępzego Weryikaję modelu materiału zastępzego przeprowadzono na podstawie oblizeń analityznyh. Zawierają one analizę zależnośi moment krzywizna dla przekroju żelbetowego i przekroju z materiału zastępzego. (9)

9 odel materiału zastępzego w analizie zginanego przekroju żelbetowego Zależność moment krzywizna dla żelbetowego przekroju poprzeznego Zależność moment krzywizna dla przekroju żelbetowego wyznazono na podstawie analizy az pray zginanego przekroju przy założeniu sprężysto-idealnie plastyznego rozkładu naprężenia w betonie, z uwzględnieniem ogranizonej odksałalnośi betonu roziąganego (rys. 5). Rys. 5. Wykresy naprężęń w azah pray przekroju żelbetowego W azie Ia wpływ na nośność przekroju mają naprężenia sprężyste w streie śiskanej i streie roziąganej betonu oraz naprężenia sprężyste w stali roziąganej. W azie Ib nośność przekroju określają naprężenia sprężyste w streie śiskanej betonu oraz osiągnięie wytrzymałośi betonu na roziąganie w streie roziąganej betonu i naprężenia sprężyste w stali roziąganej. W azie IIa następuje zarysowanie i wyłązenie z pray zęśi strey roziąganej, a nośność tej strey zapewnia unkjonowanie zbrojenia roziąganego w zakresie sprężystym, podzas gdy w streie śiskanej betonu naprężenia pozostają sprężyste. Natomiast w azie IIb w streie

10 154 J. Siwiński, A. Stolarski śiskanej betonu następuje osiągnięie wytrzymałośi betonu na śiskanie, a naprężenia w zbrojeniu roziąganym pozątkowo sprężyste (zakres 1) mogą osiągnąć granię plastyznośi (zakres ). W azie IIIa zostaje wyzerpana nośność betonu na śiskanie, następuje zmniejszenie wysokośi przekroju praująego na śiskanie i roziąganie, a naprężenia w zbrojeniu roziąganym mogą być sprężyste (zakres 1) lub osiągają granię plastyznośi (zakres ). W tabeli 1 zamieszzono zależnośi statyzno-wytrzymałośiowe oraz ormuły określająe moment zginająy i krzywiznę wraz z określeniem parametru sterująego kinematyką płaskiego przekroju i warunków ogranizająyh w poszzególnyh azah pray zginanego przekroju żelbetowego. Tabela 1 Zależnośi statyzno-wytrzymałośiowe i ormuły określająe moment zginająy i krzywiznę w azah pray przekroju żelbetowego FAZA Ia warunek 0 t t I 1 bh + easd E, e bh + A E e s 1 1 I b + b ( h ) + A ( d ) Ia e s t s s e t h d h 1 1 Ia b + tb( h ) + s As ( d ) 3 3 Ia t Ia EI E( h ) FAZA Ib Ia s warunek t t t B ±, 0 ba ( 1) t t Ia, ma t 1 A, B Abh eas, C Abh easd + + t B ( A 1) Cb t ( ) t t h t

11 odel materiału zastępzego w analizie zginanego przekroju żelbetowego 155 t s s e t h d h Ib b + tbt + tb( h t )( h + t ) + sas ( d ) 3 3 t Ib E ( h ) FAZA IIa warunek,, Ib, ma, Ib, ma t Ib, ma h Ib, ma t B ±, 0 A 1 (3 t 1), 4AC Ib, ma A b B A, C Ad B t t e s e s d s s e y zakres IIa, z1 b + tbt + tbt + s As ( d ) 3 3 d s > zakres, t s e y s y A s y, 0 1 (1 3 ) b t t t IIa, z1, ma b + b + b + A ( d ) IIa, z t t t t y s IIa E

12 156 J. Siwiński, A. Stolarski FAZA IIb warunek <, t 0 IIa ma t t 1 3 t bt + tbt + eas d t t b + eas s t d s e t y t t zakres b( )( + ) + b + b + b + A ( d ) IIb, z1 t t t t s s d zakres, s s e t y s y t 1 3 bt + tbt + As y t b b( )( + ) + b + b + b + A ( d ) IIb, z t t t t y s IIb E FAZA IIIa warunek 0 < 0,5, t t t IIb, ma IIb ma > d zakres 1 s s e t y t

13 odel materiału zastępzego w analizie zginanego przekroju żelbetowego b + b + A ( d ) II, z1 t t s s d zakres, s s e t y s y t b + b + A ( d ) II, z1 t t y s IIIa E 3.. Zależność moment krzywizna dla przekroju z materiału zastępzego Zależność moment krzywizna dla przekroju z materiału zastępzego wyznazono na podstawie analizy az pray jednorodnego przekroju zginanego przy założeniu sprężysto-idealnie plastyznego rozkładu naprężenia o zróżniowanyh wytrzymałośiah materiału na śiskanie i roziąganie oraz z uwzględnieniem nieogranizonej odksałalnośi materiału na roziąganie (rys. 6). W azie Ia nośność przekroju określają naprężenia sprężyste w streie śiskanej i streie roziąganej przekroju. W azie Ib naprężenia w streie śiskanej pozostają sprężyste, a naprężenia w streie roziąganej osiągają wartość wytrzymałośi materiału zastępzego na roziąganie. W azie IIa naprężenia w streie śiskanej pozostają sprężyste, a odksałenia w streie roziąganej przekrazają wartość odksałeń graniznyh materiału zastępzego na roziąganie, wówzas w dolnej streie przekroju pojawiają się naprężenia równe minimalnej wytrzymałośi materiału zastępzego. W azie IIb naprężenia śiskająe osiągają wytrzymałość materiału zastępzego na śiskanie. W azie IIIa odksałenia w streie śiskanej przekrazają odksałenia granizne materiału zastępzego na śiskanie, powstaje strea z minimalną wytrzymałośią materiału zastępzego. W azie IIIb zostaje osiągnięty teoretyzny stan nośnośi graniznej przekroju, którą określają sywno-plastyzne rozkłady naprężeń równyh minimalnej wytrzymałośi materiału zastępzego. W tabeli przedstawiono zależnośi statyzno-wytrzymałośiowe oraz ormuły określająe moment zginająy i krzywiznę wraz z określeniem parametru sterująego kinematyką płaskiego przekroju i warunków ogranizająyh w poszzególnyh azah pray zginanego przekroju z materiału zastępzego.

14 158 J. Siwiński, A. Stolarski Rys. 6. Wykresy naprężeń w azah pray przekroju z materiału zastępzego Tabela Zależnośi statyzno-wytrzymałośiowe i ormuły określająe moment zginająy i krzywiznę w azah pray przekroju z materiału zastępzego FAZA Ia warunek 0 I I Ia h b b( h ) bh Ia I Ia h Ia Ia EI E( h ) z Ia z

15 odel materiału zastępzego w analizie zginanego przekroju żelbetowego 159 FAZA Ib warunek A± A h, 0 A 1 A t t ( h ) z z h Ia, ma Ib zb + bt + b( h t )( h + t ) 3 3 Ib E ( h ) FAZA IIa warunek,, t z z ma Ib z z t z zs h 1 3 z + zs 1+ z IIa zb + bt + zsb( h t )( h + t ) 3 6 z IIa E FAZA IIb z z warunek h t ( )( ) z z z z zs z zs 1 z z z t IIb zb + zb + + bt + zsb( h t )( h + t ) 3 6

16 160 J. Siwiński, A. Stolarski k z IIb E z FAZA IIIa warunek 0 < 0,5, t t z IIb ma h 3 z 3 ( 1) + ( 1) t 4 4 > z zs z z z ( )( ) IIIa zb + zsb + + bt zsb( h t )( h t ) z z IIIa E z E z FAZA IIIb warunek IIIa, ma 0 0,5h b + b( h ) bh 4 IIIb zs zs zs lim IIIa IIIb IIIa 0 zs 3.3. Analiza porównawza zależnośi moment krzywizna w przekroju poprzeznym Analizie porównawzej poddano przekroje żelbetowe i z materiału zastępzego o wymiarah b h 0 40 m. W przekrojah żelbetowyh zastosowano klasę betonu C0/5 o wytrzymałośiah na śiskanie 0 Pa i roziąganie t, Pa, module odksałenia E 30 GPa oraz graniy plastyznośi stali y 40 Pa i module odksałenia E s 00 GPa, przy wykorzystaniu trzeh wartośi stopnia zbrojenia 0,005; 0,01; 0,015. W rozważaniah pominięto udział zbrojenia poprzeznego. W oblizeniah uwzględniono minimalną wytrzymałość materiału zastępzego na roziąganie przy zginaniu, wyprowadzoną przy założeniu równowagi nośnośi przekroju żelbetowego pojedynzo zbrojonego i przekroju zastępzego wg zależnośi:

17 odel materiału zastępzego w analizie zginanego przekroju żelbetowego 161 gdzie: zs ( 1 ) ( ) h jest stosunkiem wytrzymałośi betonu do graniy y y, (10) plastyznośi stali zbrojeniowej; h h jest stosunkiem wysokośi rozważanego przekroju d do wysokośi użyteznej rozważanego przekroju, przy założeniu odległośi środka iężkośi zbrojenia od dolnego brzegu przekroju a,5 m. Do analizy przyjęto następująe rodzaje przekrojów żelbetowyh: przekrój oznazony jako C0.5 dla stopnia zbrojenia 0,5%, przekrój oznazony jako C1.0 dla stopnia zbrojenia 1,0%, przekrój oznazony jako C1.5 dla stopnia zbrojenia 1,5%. Przekrojom żelbetowym C0.5, C1.0 i C1.5 odpowiadają przekroje z materiału zastępzego oznazone jako Z0.5, Z1.0 i Z1.5, dla któryh wytrzymałośi na śiskanie i roziąganie oraz moduł odksałenia są określone zgodnie z założeniami metody homogenizaji przekroju żelbetowego: z + e y t + e y dla e. Ez E e E + s (11) Rys. 7. Zależność moment krzywizna dla przekroju żelbetowego i z materiału zastępzego

18 16 J. Siwiński, A. Stolarski Na rysunku 7 przedstawiono porównanie zależnośi moment krzywizna określone dla przekrojów żelbetowego i zastępzego. Na podstawie przeprowadzonej analizy porównawzej uzyskujemy potwierdzenie, że przebieg zależnośi moment krzywizna w przypadku zastosowania modelu przekroju jednorodnego z materiału zastępzego pozwala na uzyskanie dobrej i zadowalająej zgodnośi wyników z wynikami dla przekroju żelbetowego. 4. Zakońzenie Określenie parametrów hipotetyznego, jednorodnego materiału zastępzego przeprowadzono zgodnie z zasadami teorii homogenizaji. Przedstawiono metodykę wyznazenia parametrów materiału zastępzego: wytrzymałośi na śiskanie i roziąganie, modułu odksałenia oraz odksałeń graniznyh, odpowiadająyh wartośi energii zniszzenia betonu odpowiednio dla śiskania i roziągania. Przeprowadzono weryikaję modelu jednorodnego materiału zastępzego metodą analityzną. Weryikaja dotyzyła zależnośi moment krzywizna przekroju żelbetowego oraz przekroju jednorodnego z materiału zastępzego. Określono zależnośi statyzno-wytrzymałośiowe oraz ormuły określająe moment zginająy i krzywiznę w azah pray przekroju żelbetowego. Na konkretnym przykładzie oblizeniowym stwierdzono, że zależność moment krzywizna dla przekroju jednorodnego z materiału zastępzego z zadowalająą zgodnośią aproksymuje zależność moment krzywizna dla przekroju żelbetowego. Fakt ten upoważnia do wnioskowania o poprawnośi stosowania modelu materiału zastępzego z odpowiednio określonymi parametrami wytrzymałośiowymi i odksałeniowymi w analizah elementów żelbetowyh. Praa powstała w wyniku realizaji zadań badawzyh w ramah pray badawzej statutowej nr 855, prowadzonej w Wydziale Inżynierii Lądowej i Geodezji Wojskowej Akademii Tehniznej im. Jarosława Dąbrowskiego. Artykuł wpłynął do redakji r. Zweryikowaną wersję po reenzjah otrzymano r. Literatura [1] Combesure Ch., Dumontet H., Voldoire F., Homogenised onstitutive model oupling damage and debonding or reinored onrete strutures under yli soliitations, International Journal o Solids and Strutures, 50, 013, [] Kelliher D., Sutton-Swaby K., Stohasti representation o blast load damage in a reinored onrete building, Strutural Saety, 34, 011, [3] Knau i in., Podstawy projektowania konstrukji żelbetowyh i sprężonyh według Eurokodu, Sekja Konstrukji Betonowyh KILiW PAN, Dolnośląskie Wydawnitwo Edukayjne, Wroław, 006.

19 odel materiału zastępzego w analizie zginanego przekroju żelbetowego 163 [4] Luioni B.., Ambrosini R.D., Danesi R.F., Analysis o building ollapse under blast loads, Engineering Strutures, 6, 004, [5] Strzeleki T., Auriault J.L., Bauer J., Kosteki St., Puła W., ehanika ośrodków niejednorodnyh. Teoria homogenizaji, pod redakją T. Strzelekiego, Dolnośląskie Wydawnitwo Edukayjne, Wroław, [6] Eurood, Projektowanie konstrukji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków, Polski Komitet Normalizayjny, Warszawa, 008. J. Siwiński, A. Stolarski odel o substitute material in the analysis o the bent reinored onrete ross-setion Abstrat. The paper presents the methodology or determination o strength and deormation parameters or a hypothetial model o homogeneous substitute material in the reinored onrete ross setion subjeted to pure bending. These parameters were determined on the basis o the proposed homogenizing untion using the eetive reinorement ratio o a reinored onrete ross-setion. A omparative analysis o the moment urvature relation or the substitute ross-setion and reinored onrete bent ross-setion was arried out. Keywords: ivil engineering, building strutures, bent reinored onrete ross-setion, homogeneous substitute material, homogenization DOI: /

20