ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK ŻELBETOWYCH Z BETONU O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 5, t. 1, rok ISSN X ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK ŻELBETOWYCH Z BETONU O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI Piotr Smarzewski 1a 1 Katedra Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Lubelska a p.smarzewski@pollub.pl Streszczenie W artykule przedstawiono analizy wytężenia zginanych belek żelbetowych wykonanych z betonu o wysokiej wytrzymałości o niskim stopniu zbrojenia. Modelowanie deformacji elementów pod obciążeniem statycznym do zniszczenia włącznie z uwzględnieniem nieliniowości fizycznych betonu i stali zbrojeniowej przeprowadzono z wykorzystaniem zasad metody elementów skończonych. W celu zweryfikowania przyjętych modeli materiałów konstrukcyjnych wyniki analiz numerycznych porównano z wynikami eksperymentów. ANALYSIS O THE EORT O REINORCED HIGH-STRENGTH CONCRETE BEAMS Summary Numerical modelling of flexural behavior of the reinforced high-strength concrete beams with low reinforcement ratio is discussed in this paper. Modelling mechanism of failure reinforced concrete beams under static load, static deformation processes of the reinforced high-strength concrete beams with regard to the physical nonlinearities of the structural materials were developed using finite element analysis. The comparison of the numerical and experimental results as well as theoretical solutions, were presented. 1. WSTĘP Postęp w technice komputerowej i nowe generacje oprogramowania obliczeniowego umożliwiają wykonywanie symulacji nieliniowego zachowania żelbetowych układów konstrukcyjnych do chwili zniszczenia z uwzględnieniem zróżnicowanych właściwości materiałowych, rzeczywistego układu zbrojenia i wzajemnej współpracy betonu ze stalą zbrojeniową. Analiza zachowania belek żelbetowych wykonanych z betonu o wysokiej wytrzymałości była przedmiotem wielu prac doświadczalnych m.in. Kamińskiej [], Rashida i Mansura [5]. Niewątpliwie zastosowanie betonu wysokowartościowego w budownictwie będzie stale wzrastało ze względu na jego wysoką wytrzymałość, wysoki moduł sprężystości oraz dużą odporność na wpływy klimatyczne i oddziaływanie agresywnego środowiska. Specyficzne cechy betonów wysokowartościowych skłaniają również ku konieczności podjęcia badań teoretycznych z zakresu modelowania mechanizmów zniszczenia zbrojonych elementów konstrukcyjnych wykonanych z takiego materiału. Wytężenie belki jest to ogół zmian strukturalnych i fizycznych postępujących w elemencie podczas wymuszonej deformacji pod obciążeniem statycznym, termicznym, geometrycznym, czy też dynamicznym. Efektami tych zmian jest rozwój rys, mikrorys i dyslokacji obserwowanych odpowiednio na poziomie makroskopowym, mikroskopowym i struktury atomowej do utraty zdolności przenoszenia obciążeń przez element belkowy. Miarą wytężenia są naprężenia główne. Stan zarysowania matrycy betonowej utworzy się, gdy dowolne naprężenie główne jest rozciągające i przekracza wytrzymałość betonu na rozciąganie. 139

2 ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK ŻELBETOWYCH Z BETONU Natomiast stan zmiażdżenia powstanie, gdy wszystkie naprężenia główne są ściskające. Tematem i głównym celem pracy jest modelowanie mechanizmu zniszczenia belek żelbetowych obciążonych statycznie, wykonanych z betonu o wysokiej wytrzymałości, z uwzględnieniem fizycznych nieliniowości materiałów konstrukcyjnych. Zakres pracy obejmuje wykonanie analiz porównawczych własnych wyników teoretycznych z wynikami doświadczalnymi Kamińskiej []. Porównania otrzymanych wyników na poziomie zależności obciążenieprzemieszczenie stanowią podstawę do weryfikacji przyjętych założeń i modeli odkształcenia betonu i stali. Podstawowe założenie przyjęte w pracy dotyczy rozważań w zakresie dużych odkształceń. 2. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI MATERIAŁÓW KONSTRUKCYJNYCH 2.1. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI BETONU Powierzchnię graniczną betonu przedstawiono za pomocą modelu pięcioparametrowego Willama i Warnke [7]. Własna koncepcja zachowania betonu wysokiej wytrzymałości w stanie jednoosiowego ściskania i rozciągania w konstrukcji żelbetowej powstała na podstawie przeprowadzonych analiz numerycznych i wyników doświadczalnych belek żelbetowych (rys. 1. f c,f c αf c /3 σ c E c (a α = 1, dla ρ<,5% α = 2, dla ρ>1,5% Rys. 1. Propozycja zależności naprężenie-odkształcenie betonu: (a w stanie jednoosiowego ściskania, (b w stanie jednoosiowego rozciągania Istotą jej jest uwzględnienie w stanie jednoosiowego ściskania fazy sprężysto-plastycznego wzmocnienia i fazy osłabienia materiałowego oraz potwierdzonych doświadczalnie znacznie większych wartości odkształceń granicznych uzyskanych w konstrukcjach niż na próbkach. W wielu modelach powstałych na podstawie badań próbek opadająca część krzywej jest tym mocniej nachylona, im wyższa jest wytrzymałość betonu, co świadczy o większej kruchości betonu o wysokiej wytrzymałości. Ta prawidłowość nie zawsze jednak znajduje odzwierciedlenie w zachowaniu betonu w żelbetowych elementach konstrukcyjnych. Ponadto wyniki badań doświadczalnych wykazały, że obawy o niską odkształcalność betonu o wysokiej wytrzymałości w elementach konstrukcyjnych są nieuzasadnione. Obserwowane zjawisko jest korzystne z punktu widzenia bezpieczeństwa konstrukcji. Przyjęcie w modelu zbyt małych możliwości odkształcania się betonu o wysokiej wytrzymałości przy ściskaniu, zgodnych np. z zaleceniami Model Code 9 [1], skutkuje znacznym zmniejszeniem granicznych krzywizn elementów konstrukcyjnych MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI STALI ZBROJENIOWEJ W konstrukcjach betonowych stal jest używana w postaci prętów zbrojeniowych. Upraszcza to znacznie problem modelu materiałowego stali do jednoosiowego stanu naprężenia. W obliczeniach numerycznych założono model materiałowy stali zbrojeniowej sprężystoplastyczny o identycznych charakterystykach przy rozciąganiu i ściskaniu (rys. 2. εc ε c1 ε cu ε c σ t (b f t Τ c f t R t E t =E c ε ck 1Τ c ε ck ε t 1

3 obciążenie, λ obciążenie, Piotr Smarzewski Rys. 3. Metoda Newtona-Raphsona Stosowanie tej metody jest zalecane w przypadku materiałów o charakterystykach liniowych lub dwuliniowych, lecz okazuje się nieskuteczne w materiałach o wyższym stopniu nieliniowości. Wadą jej jest przede wszystkim brak możliwości opisu opadającej gałęzi krzywej obciążenie-przemieszczenie, gdyż w punkcie zerowania macierzy sztywności stycznej analiza nie będzie zbieżna METODA NEWTONA-RAPHSONA ZE SPADKIEM ADAPTACYJNYM Rys. 2. Wykres naprężenie-odkształcenie stali zbrojeniowej zastosowany w analizach numerycznych Płyty stalowe usytuowane w miejscach podparcia i przyłożenia siły skupionej modelowano jako materiał liniowo-sprężysty. 3. METODY NUMERYCZNE ROZWIĄZANIA ZADANIA 3.1. METODA NEWTONA-RAPHSONA W nieliniowych zagadnieniach zachowania konstrukcji żelbetowych, w celu ustalenia ścieżki równowagi, powszechnie wykorzystywana jest metoda Newtona- Raphsona (rys. 3. a i+2 K T i+2 Metoda spadku adaptacyjnego przedstawiona w pracy Eggerta i in. [3] polega na zmianie ścieżki rozwiązania w pobliżu punktu granicznego i poruszaniu się wstecz wzdłuż siecznej, aż do szybkiego uzyskania zbieżności rozwiązania numerycznego. Macierz sztywności jest opisana jako suma dwóch macierzy: T S T [ i ] [ ] ( [ ] S [ K ] - macierz sztywności siecznej, T [ K ] - macierz sztywności stycznej, [K ]= T K =ξ K + 1-ξ K, (1 ξ - parametr spadku adaptacyjnego. Metoda polega na uzgodnieniu parametru spadku adaptacyjnego ξ podczas iteracji równowagi METODA CRISIELDA W celu ustalenia krzywej obciążenie-przemieszczenie wykazującej globalne osłabienie konstrukcji zastosowano metodę długości łuku, rys.. W metodzie numerycznej równanie podstawowe uzależnione jest od zmiennego parametru obciążenia λ : T a [ i ] { i} { } { i } K Δu =λ -. (2 λ u 1 II λ u 1 I iteracja 1 (u 1, λ1 a iteracja 2 (u 2, λ2 a iteracja 3 (u, λ a 3 3 i+1 K T i+1 ścieżka równowagi nowy punkt zbieżności λ 1 a λ 2 a λ 3 a K T i i K T i u i iteracja 1 u i+1 u i+2 iteracja 2 iteracja 3 λ a l 1 poprzedni punkt zbieżności (u, λ a 3 łukowa powierzchnia ograniczająca u i u i+1 u i+2 u i+3 przemieszczenie, u u u 1 u 2 u 3 Rys.. Metoda długości łuku [2] przemieszczenie, u W pracy Smarzewskiego [6] przeprowadzono weryfikację metody długości łuku na przestrzennych modelach belek żelbetowych przy uwzględnieniu osłabienia odkształceniowego przy ściskaniu i rozciąganiu. Zastosowanie tej metody pozwala na uzyskanie kompletnej ścieżki obcią- 11

4 3 3 ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK ŻELBETOWYCH Z BETONU żenie-przemieszczenie i na opis mechanizmów zniszczenia belek żelbetowych.. DOŚWIADCZENIA NUMERYCZNE BELEK ŻELBETOWYCH W numerycznych modelach przestrzennych belek żelbetowych z betonu o wysokiej wytrzymałości przyję- to wymiary elementów oraz właściwośc materiałów jak belek prostokątnych BP-1a, BP-1b w pracy Kamińskiej [] (rys. 5. BP-1a x 15 x Metoda Newtona-Raphsona ze [N-R ad] Metoda długości łuku Crisfielda [A-L] spadkiem adaptacyjnym x 15 x 9 x 1 7 x 2φ1 1 9 x 1 3 x 15 x 9 x 1 strzemiona φ6 x 15 x BP-1b 2φ1 strzemiona φ x 1 Rys. 5. Wymiary i przekrój poprzeczny belek BP-1 wraz z układem zbrojenia i schematem obciążenia Uwzględniając podłużną symetrię elementów, modelo- wano ½ belki o długości 17 mm, szerokości 15 mm i wysokości 3 mm. 5. WYNIKI DOŚWIADCZEŃ NUMERYCZNYCH 5.1. ANALIZA STANU ZARYSOWANIA Zestawienie obrazu rzeczywistego zarysowania całej belki z numerycznym obrazem rys rozmytych jej lewej połowy przy tym samym obciążeniu = 23 kn pokazano na rys. 6. Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptacyjnym [N-R ad] Metoda długości łuku Crisfielda [A-L] 2φ1 φ 6 2φ Rys. 6. Eksperymentalny i numeryczny obraz zarysowania belek BP-1 przy = 23 kn Otrzymane wyniki numerycznee obszarów zarysowanych są jakościowo zgodne co do koncentracji z wynikami doświadczalnymi, przy czym zaobserwowano nieznacznie kierunku podpory w przypadku wyników numerycznych. Zarówno w belkach modelowych, jak i doświadczalnych o niskim stopniu zbrojenia BP-1a na odcinku czystego zginania układ głównych rys dokładnie pokrywa się z układem strzemion. Numerycznie obrazy rys rozmy- tych uzyskane przy wykorzystaniu metody długości łuku Crisfielda najlepiej odzwierciedlają rzeczywisty obraz zarysowania. Niedokładności w obszarach rys, go kroku przyrostu obciążenia ANALIZA NOŚNOŚCI I STANU PRZEMIESZCZENIA Porównania nieliniowych usytuowania, kierunku i większe obszary rys w zależności obciążenie- przemieszczenie otrzymane w analizach numerycznych i doświadczeniach zilustrowano na rys. 7. Drobne różnice dotyczą wartości obciążenia rysującego i fazy powstania uplastycznienia stali zbrojeniowej. Na wykresie obciąże- nie-przemieszczenie faza uplastycznienia związane z ich znacznym zagęszczeniem, można praw- dopodobnie wyeliminować poprzez redukcję minimalne- opisana jest standardowo, przez nagłe zmniejszenie sztywności belki. Zastosowane metody przyrostowo- iteracyjne: technika ustalania spadku adaptacyjnego (N- R ad adaptive descent, jak i długości łuku Crisfielda (A-L arc-length dają zadowalające wyniki numerycz- ne, jakościowo zgodne z wynikami eksperymentów. zbrojenia

5 Piotr Smarzewski BP-1a Metoda N-R ad [kn] Metoda A-L [kn] BP-1b Metoda N-R ad [kn] Metoda A-L [kn] Rys. 7. Porównanie zależności przemieszczenia pionowego w środku belki od obciążenia Ostatnio przeprowadzane badania belek żelbetowych [5] dowodzą, że skutki pęknięć belki w strefie rozciąganej nie są kompensowane przez sprężyste właściwości stali i plastyczność betonu w strefie ściskanej. W związku z tym na krzywej zależności obciążenie-ugięcie obserwowane są efekty osłabienia w postaci gwałtownych spadków obciążenia. Takie efekty w obliczeniach numerycznych uzyskano przy zastosowaniu szybkozbieżnego algorytmu obliczeniowego Crisfielda umożliwiającego wygenerowanie kompletnej ścieżki rozwiązania z lokalnymi spadkami sztywności i globalnym osłabieniem konstrukcji. 6. WNIOSKI Z DOŚWIADCZEŃ NUMERYCZNYCH Schematy zarysowania uzyskane w rozwiązaniu numerycznym jakościowo dobrze odpowiadają opisom mechanizmu zniszczenia w belkach doświadczalnych. Model rysy rozmytej jest więc odpowiednim modelem numerycznym do opisu mechanizmu zniszczenia. Ponadto jest on przydatny w sytuacji, gdy wymagane jest dokładne ustalenie ugięcia elementu konstrukcyjnego przy zadanym obciążeniu. Zachowanie numerycznych modeli belek żelbetowych, opisywane zależnością obciążenie-ugięcie w środku rozpiętości, wskazuje na bardzo dobrą zgodność z wynikami doświadczalnymi w całym zakresie obciążenia. Różnice pomiędzy obciążeniami granicznymi uzyskanymi w obliczeniach numerycznych a wynikami doświadczalnymi nie przekraczają 5%. Najmniejszy rozrzut wyników jest charakterystyczny w belkach rozwiązywanych metodą długości łuku Crisfielda. Modelowanie płyt stalowych w miejscach podparcia i przyłożenia obciążeń skupionych odzwierciedla rzeczy- 13

6 ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK ŻELBETOWYCH Z BETONU wiste warunki brzegowe i jest podstawowym czynnikiem zapewniającym zgodność wyników numerycznych z wynikami doświadczalnymi. W wyniku uwzględnienia nieliniowych efektów geometrycznych w belkach żelbetowych otrzymano dalszą poprawę jakościową wyników numerycznych, wyraźnie dostrzegalną w fazie po uplastycznieniu stali zbrojeniowej. Pozytywnie zweryfikowano przydatność zastosowania metody długości łuku w analizach przestrzennych modeli belek żelbetowych. Uzyskano kompletne ścieżki obciążenie-przemieszczenie wykazujące potwierdzone doświadczalnie lokalne osłabienie konstrukcji żelbetowej i ciągliwy opis zniszczenia belek charakterystyczny przy niskim stopniu zbrojenia. Literatura 1. Comité Euro-Internacional du Beton. CEB-IP Model Code 199, Bulletin d information, No. 213/21, Lausanne, May, Crisfield M.A.: An arc-length method including line searches and accelerations. International Journal for Numerical Methods in Engineering 193, Vol. 19, p Eggert G.M., Dawson P.R., Mathur K.K.: An adaptive descent method for nonlinear viscoplasticity. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1991, Vol. 31, p M.E.: Doświadczalne badania żelbetowych elementów prętowych z betonu wysokiej wytrzymałości. Łódź: KILiW, PAN, Rashid M.A., Mansur M.A.: Reinforced high-strength concrete beams in flexure. ACI Structural Journal 5, Vol., No. 3, p Smarzewski P.: Modelowanie mechanizmu zniszczenia belek żelbetowych z betonu wysokiej wytrzymałości. Praca doktorska. Politechnika Lubelska. 7. Willam K.J., Warnke E.P.: Constitutive model for the triaxial behavior of concrete. In: Proceedings International Association for Bridge and Structural Engineering. Bergamo, Italy, IS Vol. 19, p. 1975, 1-3 1