Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne

Transkrypt

1 Instrukja do ćwizeń laboratoryjnyh z przedmiotu: adania operayjne Temat ćwizenia: Komputerowe wspomaganie rozwiązywania zadań programowania liniowego, dobór struktury asortymentowej Zahodniopomorski Uniwersytet Tehnologizny Wydział Inżynierii Mehaniznej i Mehatroniki Szzein 20 Opraował: Dr inż. Artur erliński >7<

2 Algorytm Sympleks Algorytm sympleksowy, inazej metoda sympleks(ów), to stosowana w matematye iterayjna metoda rozwiązywania zadań programowania liniowego za pomoą kolejnego polepszania (optymalizaji) rozwiązania. azwa metody pohodzi od sympleksu, figury wypukłej będąej uogólnieniem trójkąta na więej wymiarów. Metoda sympleks służy do rozwiązywania (nawet bardzo złożonyh) zagadnień programowania liniowego. Jest to metoda polegająa na inteligentnym przeszukiwaniu poszzególnyh punktów wierzhołkowyh obszaru rozwiązań dopuszzalnyh, zyli dopuszzalnyh rozwiązań bazowyh. Jest to metoda iterayjna i wymaga, aby punkt startowy był dopuszzalnym rozwiązaniem bazowym. W każdej kolejnej iteraji znajdowany jest kolejne, lepsze (o mniejszej wartośi funkji elu) dopuszzalne rozwiązanie bazowe poprzez wprowadzenie jednej zmiennej do bazy i wyprowadzenie jednej zmiennej z bazy. Zadanie programowania liniowego z dowolną lizbą zmiennyh można rozwiązać, wyznazają wszystkie wierzhołkowe punkty wielośianu, a następnie porównują wartośi funkji w punktah wierzhołkowyh. W związku z wielośią punktów powstaje problem wyznazenia wartośi funkji elu i znalezienie optymalnego wierzhołka, który spełniłby warunek zadania programowania liniowego. Istota metody sympleks sprowadza się do tego, że jeżeli jest znany jakikolwiek wierzhołkowy punkt i wartość w tym punkie funkji elowej, to wtedy wszystkie wierzhołkowe punkty, w któryh elowa funkja przyjmuje gorsze wartośi, są odrzuane. Kolejny krok iteraji polega na tym, że przehodzimy do następnego wierzhołka, znajdująego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w którym elowa funkja osiąga lepsze wartośi. Iteraja końzy się, gdy kolejny przeglądany punkt wierzhołkowy jest najlepszy pod względem odpowiednih wartośi funkji elowej. Ogólny algorytm działania metody simpleks jest następująy: Krok : Wyznaz pewne rozwiązanie bazowe Krok 2: Sprawdź, zy bieżąe rozwiązanie jest optymalne. Jeśli tak->koiec Krok 3: Wybierz zmienną, którą należy wprowadzić do bazy w elu poprawy rozwiązania Krok 4: Wybierz zmienną, którą należy usunąć z bazy Krok5: Wykonaj operaje wynikająe z kroków 3 i 4 (dokonaj odpowiednih przekształeń maierzy współzynników A oraz wektora prawyh stron warunków ogranizająyh) Krok 6: Wróć do kroku 2. W metodzie sympleks rozpatruje się układ równań liniowyh postai: X + A X = b - w pierwszej iteraji oraz równoważne układy równań warunków ogranizająyh postai: X + A X = b - w kolejnyh iterajah algorytmu simpleksowego gdzie: A X =, A [ A ] = [ a ij ] mxn =,, X = [ X X ] = [ x, x,... x ], b = [ b b,..., ], 2 n, 2 b m >8<

3 Organizaje oblizeń metodą simpleks ułatwiają tzw. tablie simpleksowe postai: Dla pierwszej iteraji: x Dla każdej następnej iteraji: x z -z A I b z 0 0 -z A T A T T A b T b Komputerowe narzędzia rozwiązywania zadań programowania liniowego - Solver arzędzie Solver pozwala zoptymalizować wartość formuły w jednej z komórek arkusza - nazywanej komórką elu. Zakresem działania jest grupa komórek związanyh bezpośrednio lub pośrednio z formułą w komóre elu. Wartośi w komórkah określonyh przez użytkownika - nazywanyh komórkami zmienianymi - są zmieniane tak, aby osiągnąć żądany wynik w komóre elu. Zakres zmian wartośi występująyh w modelu można ogranizyć, wprowadzają ogranizenia. Mogą one także dotyzyć innyh komórek, które mają wpływ na formułę w komóre elu. W zagadnieniah liniowyh i ałkowityh wykorzystano metodę simpleks z ogranizeniami na zmienne oraz metodę "branh-and-bound", którą zaimplementowali John Watson i Dan Fylstra z Frontline Systems, In. Implementaja arkuszowa modelowanej sytuaji deyzyjnej zawiera następująe trze elementy składowe: o Komórka doelowa reprezentuje el. Celem może być na przykład zmaksymalizowanie miesięznego zysku. o Komórki zmieniane to komórki arkusza kalkulayjnego, któryh wartośi można zmieniać lub dostosowywać w elu zoptymalizowania komórki doelowej. Tymi wartośiami mogą być na przykład miesięzne wielkośi produkji poszzególnyh produktów. o Ogranizenia to warunki dotyząe komórek zmienianyh. Ogranizenia mogą mieć na przykład następująą postać: ilość użytyh zasobów nie może być większa niż ilość dostępnyh zasobów, a wielkość produkji nie może być większa niż wielkość popytu. >9<

4 W polu Komórka elu podaje się adres lub nazwę komórki doelowej. Komórka elu musi zawierać formułę. Jeżeli rozwiązujemy zadanie związane z maksymalizają funkji elu, zyli ozekujemy jak największej wartośi w komóre doelowej, wybieramy w Solverze opję Maks Analogiznie w przypadku minimalizaji funkji elu wybieramy opję Min. Aby określić wartość w komóre doelowej, należy kliknąć opję Wartość i wpisać wartość w dostępnym polu. W polu Komórki zmieniane podajemy nazwę lub adres każdej komórki zmiennej, oddzielają przeinkami adresy przylegająyh komórek. Komórki zmienne muszą być bezpośrednio lub pośrednio związane z komórką doelową. Można określić maksymalnie 200 komórek zmienianyh. W polu Warunki ogranizająe dodajemy adresy komórek (lub ih nazwy) implementująyh warunki ogranizająe, typ ogranizenia oraz wartośi ogranizeń zadania optymalizayjnego. Problemy do rozwiązania w ramah ćwizeń laboratoryjnyh Zadanie Zadanie rozwiązane metodą geometryzną. Optymalizaja produkji mebli: Fabryka mebli wytwarza szafy w dwóh gatunkah. Do ih produkji zużywa odpowiednio: Szafa typu Szafa typu 2 Surowie (drewno m3) 36 8 Energia kwh Praa godz >0<

5 Fabryka dysponuje 800m3 drewna, 900 kwh energii oraz 600 godzinami pray. Ile należy wyprodukować szaf i 2 gatunku, aby zysk była maksymalny. Zysk jednostkowy ze sprzedaży szafy wynosi 30, a szafy Zmienne strategizne: X ilość szaf gatunku X 2 ilość szaf gatunku 2 Funkja elu: Z MAX = 30X +20X 2 Ogranizenia: Ogranizenie ze względu na ilość surowa 36X + 8X Ogranizenie na ilość energii 30X + 20X Ogranizenie na ilość pray 20X + 20X Rozwiązanie istnieje dla X X 0, 2 Zadanie 2 Zakład krawieki szyje spodnie i spódnie. Przy szyiu spodni i spódni zakład wykorzystuje dwa zasoby: materiał oraz siłę robozą. a wykonanie pary spodni potrzeba 2 m materiału oraz 8 robozogodzin; na uszyie spódniy potrzeba 3 m materiału i 2 robozogodziny. a szyie spodni i spódni zakład może wykorzystać 60 m materiału i 80 robozogodzin. Ze sprzedaży wyrobów zakład otrzymuje 80 PL za spódnię oraz 320 PL za spodnie. Ułożyć LZD, którego rozwiązanie wyznazy plan produkji zakładu gwarantująy maksymalny przyhód ze sprzedaży uszytyh spodni i spódni. A) Jak należałoby sformułować zadanie w sytuaji, gdyby w związku z ogranizonym popytem lizba szytyh spodni nie mogła być większa od 0 sztuk? ) Jak należałoby sformułować zadanie w sytuaji, gdyby spodni miało być przynajmniej trzy razy więej niż spódni? Zadanie 3 Meble wypozynkowe są sprzedawane jako zestaw, w którego skład whodzą; kanapa, 3 fotele i 2 lampy. Zysk z tytułu sprzedaży tyh poszzególnyh elementów wynosi odpowiednio 2000zł, 300zł oraz 400zł. Zużyie zasobu wynosi 2,5 m na jedną kanapę, 0,7 m na jeden fotel i 0,3 m na jedną lampę. Do dyspozyji mamy 40 m zasobu. Celem jest maksymalizaja zysku. Sprawdzić, zy plan zakładająy produkję 8 kanap, 24 foteli i 6 lamp jest dopuszzalny? ><

6 Zadanie 4 Firma zamierza uruhomić produkję wyrobów A i. Wielkość produkji jest limitowana przez możliwośi surowów przetworzenia na wyroby. akłady surowów na wytworzenie jednostki wyrobu (kg/sztukę), możliwośi przerobu surowów (w tonah) w okresie planistyznym oraz ozekiwane eny zbytu (zł) podaje tabela. Ze względów tehnologiznyh łązna wielkość produkji nie może być mniejsza od 20 tys. sztuk, a wielkość produkji wyrobu musi być o najmniej dwukrotnie większa od wielkośi produkji wyrobu A. Ze względu na problemy ze zbytem produkja wyrobu A nie może przekrozyć 4,5 tys. sztuk. Zbudować liniowe zadanie deyzyjne, którego rozwiązanie optymalne pozwoli na wybór asortymentu produkji maksymalizująego przyhód. Wyroby A Możliwośi przerobu S S S Cena zbytu 20 8 X Zadanie 5 Przedsiębiorstwo produkuje ztery wyroby W, W2, W3, W4, przy użyiu trzeh środków produkji (patrz. tabela). Wyroby W i W4 tworzą komplety składająe się z 4 wyrobów W oraz 3 wyrobów W4. Sformułować liniowe zadanie deyzyjne wyboru asortymentu produkji przynosząego maksymalny przyhód. Środki produkji W W2 W3 W4 Zasób S S S Ceny X >2<