Zestaw I. , a jedynie w oparciu o powyższą definicję.
|
|
- Liliana Ostrowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zestaw I I. Uzasadij wzory a liczbę permutacji zbioru -elemetowego, liczbę podzbiorów k-elemetowych zbioru -elemetowego, wariacji oraz tych pojęć z powtórzeiami. II. Liie rówoległe do boków prostokąta dzielą jego boki odpowiedio a k i l części. Iloma drogami, idąc bokami lub tymi liiami w prawo lub w górę, moża przejść od lewego dolego wierzchołka do prawego górego? III. Mamy szachowicę o wymiarach 7 7. W lewym dolym rogu szachowicy zajduje się mysz, zaś a polach o umerach (3, 3, (3,, (, 3 i (, siedzą i cierpliwie czekają cztery koty. Mysz może poruszać się jedyie w górę lub w prawo, w każdym ruchu o jedo pole. Mysz giie, gdy staie a polu zajętym przez kota. Ile jest różych dróg, którymi mysz może dotrzeć szczęśliwie do prawego górego rogu szachowicy? IV. Ile jest liczb całkowitych dodatich miejszych od 1000 oraz iepodzielych przez, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, 10 i 11? V. Przy okrągłym stole stoi 6 krzeseł. Na ile sposobów da się a ich posadzić Aglików, Fracuzów i Turków, tak aby osoby tej samej arodowości ie siedziały obok siebie? VI. W ilu permutacjach liczb 1,..., żada z liczb ie stoi a swoim miejscu? VII. Ile jest permutacji zbioru {1,,..., }, w których żade dwie sąsiedie liczby ie są parzyste (ieparzyste. VIII. Niech symbol ( k ozacza liczbę różych podzbiorów k-elemetowych zbioru -elemetowego. Uzasadij prawdziwość poiższych rówości ie odwołując się do wzorów opisujących wartość ( k, a jedyie w oparciu o powyższą defiicję. (a ( ( 0 ( 1 (... = (b ( ( 0 ( 4... = 1 (c ( ( 1 ( 3... = 1 (d ( ( 0 ( 1 (... ( = (e ( ( k = k (f ( ( k ( k1 = 1 k1 IX. Rozkładamy w rozróżialych szufladach k elemetów. Na ile sposobów moża to zrobić, jeśli (a elemety są rozróżiale; (b elemety są ierozróżiale; (c elemety są rozróżiale i żada z szuflad ie może pozostać pusta; (d elemety są ierozróżiale i żada z szuflad ie może pozostać pusta; Spróbuj zaleźć odpowiedź dla aalogiczego zadaia, w którym szuflady rówież są ierozróżiale. X.* Niech A = A 1 A... A. Uzasadij wzór #A = #A i #(A i A j 1 i 1 i<j 1 i<j<k Zestaw II #(A i A j A k... ( 1 #(A 1 A... A. I. W urie zajdują się dwie białe i trzy czare kule. Dwaj gracze, po kolei, wyciągają z ury po jedej kuli bez zwracaia. Wygra te, który pierwszy wyciągie kulę białą. Zaleźć prawdopodobieństwo, że wygra pierwszy gracz. II. W urie zajdują się dwie białe i trzy czare kule. Dwaj gracze, po kolei, wyciągają z ury po jedej kuli ze zwracaiem. Wygra te, który pierwszy wyciągie kulę białą. Zaleźć prawdopodobieństwo, że wygra pierwszy gracz. III. Rozpatrujemy rodziy o dwóch dzieciach. Obliczyć prawdopodobieństwo, że rodzia ma dwóch syów, jeżeli wiadomo, że a starsze dziecko jest syem, b co ajmiej jedo dziecko jest chłopcem.
2 Zestaw III I. Ile jest liczb aturalych miejszych iż 10 7 i o różych cyfrach? II. Kostkę rzucamy 10 razy. Tak otrzymay zbiór liczb (ieuporządkoway azywamy losowaiem. a Ile jest różych losowań? b W ilu losowaiach ie występuje 6? c W ilu losowaiach 6 występuje dokładie 3 razy? d W ilu losowaiach 6 występuje co ajwyżej 3 razy? e W ilu losowaiach 6 występują tylko liczby parzyste? III. Spośród liczb: 1,,3,4,,6,7,8,9,10 wybrao dwie. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ułamek da się skrócić. IV. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że układając losowo litery M, A, T, E, M, A, T, Y, K, A utworzy się słowo matematyka? V. W szafie zajduje się par butów. Losujemy z iej k butów ( > k. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowaych butów zajdzie się przyajmiej jeda para? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowaych butów zajdzie się dokładie jeda para? VI. Mamy rozróżialych kul i szuflad. Na ile sposobów możemy rozmieścić kule w szufladach tak, aby: a dokładie jeda komórka pozostała pusta; b dokładie ( komórki pozostały puste? VII. Zaleźć prawdopodobieństwo, że pomiędzy czterema wybraymi losowo cyframi zajdzie się, 1 lub 0 powtórzeń. VIII. Dwóch strzelców, dla których prawdopodobieństwa trafieia do celu wyoszą odpowiedio 0,7 i 0,8; oddaje po jedym strzale. Obliczyć prawdopodobieństwo, że cel został trafioy. IX. Prawdopodobieństwo wystąpieia daego zdarzeia w każdym doświadczeiu jest jedakowe i wyosi 0,. Doświadczeia przeprowadza się kolejo aż do wystąpieia tego zdarzeia. Obliczyć prawdopodobieństwo, że trzeba będzie przeprowadzać czwarte doświadczeie. Zestaw IV I. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa rzuty po trzy kości w każdym okażą tę samą kofigurację, jeżeli a kości dają się odróżić jeda od drugiej, b kości ie dają się rozróżić. II. Na ile sposobów moża ustawić 8 wież a szachowicy tak, aby ie atakowały się wzajemie? III. Na ile sposobów da się ułożyć z liczb 1,, 3, 4 i ciąg o długości 10, tak aby każda liczba występowała dokładie dwa razy oraz dwie takie same liczby ie zajdowały się w ciągu obok siebie? IV. Ile jest liczb aturalych, ie posiadających zera w zapisie dziesiętym, dla których suma cyfr rówa się 11? V. W grupie ćwiczeiowej jest 3 studetów. Jaka jest szasa, że w tej grupie: a jest ktoś obchodzący urodziy maja; b są osoby obchodzące urodziy tego samego dia? VI. W urie jest c kul czarych i b białych. Losujemy kule z ury bez zwracaia. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za -tym razem wylosujemy kulę białą? ( b c VII. Na ile sposobów moża podzielić ośmiokąt foremy przekątymi a trójkąty tak, aby żade dwie przekąte ie przeciały się w jego wętrzu? VIII. Są 44 skarboki zamykae a kluczyk, a każdy klucz pasuje dokładie do jedej skarboki. Po zamkięciu skarboek wymieszae losowo klucze powrzucao po jedym do każdej skarboki. Jaka jest szasa, że po rozbiciu dowolie wybraej skarboki uda się otworzyć wszystkie? IX. A i B grają w kości stadardową kostką sześcieą. Gracz A rzuca dwukrotie, zaś B tylko raz. Gracz B wygrywa, gdy wyrzuci liczbę oczek jedocześie miejszą od większej z liczb wyrzucoych przez A i większą od miejszej z tych liczb. W przeciwym wypadku wygrywa gracz A. Ile wyosi prawdopodobieństwo wygraej gracza B? X. Przez pustyię idzie karawaa złożoa z pięciu wielbłądów. Na ile sposobów moża zmieić kolejość wielbłądów w karawaie tak, aby przed żadym wielbłądem ie szedł te co poprzedio. XI. Ile jest różych prostopadłościaów, które moża zbudować z milioa jedakowych kostek sześcieych wykorzystując za każdym razem wszystkie z ich? Uwaga: dwa prostopadłościay uważamy za idetycze, jeżeli moża je przekształcić a siebie za pomocą izometrii.
3 Metoda fukcji tworzących (schemat Załóżmy, że poszukujemy pewego ciągu liczbowego (a spełiającego pewą zależość. Zakładamy, że wyrazy tego ciągu są współczyikami w rozwiięciu pewej fukcji w szereg potęgowy: F (x = i=0 a ix i. Zauważmy, że pewe operacje a fukcji F zmieiają te współczyiki w zay sposób, p: xf (x ma te same współczyiki, ale przesuięte o 1 i uzupełioe a początku o 0; F (x ma ciąg współczyików w postaci (( 1 a 1 ; F (x ma ciąg współczyików w postaci ( i=0 a i a i, itp. Naszym celem jest zalezieie fukcji, której współczyiki będą spełiały zadaą zależość, co sprowadza się do rozwiązaia pewego rówaia algebraiczego, różiczkowego, lub iego typu. Przykład 1. Szukamy ciągu spełiającego zależość a = a 1 a, a 0 = 0, a 1 = 1. Niech spełioa będzie zależość F (x = i=0 a ix i. Zauważmy, że fukcja F (x xf (x x F (x będzie miała współczyik przy zerowej potędze rówy 0, przy pierwszej: 1, zaś przy pozostałych wyrazach wszystkie współczyiki się zerują, więc F (x xf (x x F (x = x. To x zaczy, że musi być F (x = 1 x x. Po zalezieiu fukcji F pozostaje zaleźć jej współczyiki. Dla iektórych fukcji moża czasem je zgadąć, zaleźć w tablicach lub wyliczyć korzystając ze wzoru Taylora. Przykład. W przykładzie 1 możemy rozpisać F jako sumę ułamków prostych: ( x F (x = 1 x x = x (1 1 (1 1 = x Ze wzoru a sumę szeregu geometryczego mamy 1 1 ( ( ( 1 x... a zatem F (x = jest a = 1 (( x = 1 1 x ( ( 1 1 ( Zestaw V I. Zajdź ogóly wyraz ciągu określoego rekurecyjie: (a x 0 = 0, x 1 = 1, x = 7x 1 1x ; (b x 0 = x 1 = x = 1, x 3 = x x 1 x. x x ( 1 x 1... oraz 1 1 x = 1 1 x ( 1 x... co zaczy, że szukaym wzorem 1. II. Na ile sposobów moża szachowicę wymiaru pokryć kostkami domia o wymiarach 1? III. Ile jest ciągów długości o wyrazach 0 i 1 oraz tej własości, że żade 3 koleje wyrazy ciągu ie są takie same? IV. Ile jest ciągów {a i } i=1 długości o wyrazach 1,, 3 oraz tej własości, że dla żadego k = 1,,..., suma k i=1 a i ie jest podziela przez 3? V. Na ile sposobów da się rozmieścić awiasy w iloczyie a 1 a a 3 a 4 a a 6 a 7 w taki sposób, aby ich układ określał jedozaczie sposób wykoywaia możeia? Przykładowe rozmieszczeia awiasów: ((a 1 a (a 3 a 4 (a (a 6 a 7 ; (((a 1 a a 3 (a 4 (a a 6 a 7. VI. Na ile sposobów da się rozmieścić awiasy w wyrażeiu a 1 : a : a 3 : a 4 : a :... : a uzyskując wyrażeia opisujące róże fukcje zmieych? VII. Na półce stoi 1 książek. Na ile sposobów moża wybrać książek z półki, tak aby ie zabierać żadych dwóch stojących wcześiej obok siebie? VIII. Mamy cząstek, z których każda może się zaleźć w każdej z k komórek. Zaleźć prawdopodobieństwo zdarzeia A polegającego a tym, że w ustaloych komórkach będzie po jedej cząstce, oraz prawdopodobieństwo zdarzeia B polegającego a tym, że w jakichkolwiek komórkach będzie po jedej cząstce. Trzy modele: 1 statystyka Maxwella-Boltzmaa: cząstki zachowują się jak kule rozróżiale i wszystkie k rozmieszczeń ma jedakowe prawdopodobieństwo (okazało się, że statystyka ta ie stosuje się do żadych cząstek elemetarych; statystyka Fermiego-Diraca: cząstki zachowują się jak kule ierozróżiale przy czym (i dwie cząstki ie mogą przebywać w tej samej komórce, (ii wszystkie rozmieszczeia spełiające (i mają jedakowe prawdopodobieństwo (prawdopodobieństwo ustaloego rozmieszczeia to ( k 1, okazało się, że zgodie z tą statystyką zachowują się elektroy, protoy i eutroy; 3 statystyka Bosego-Eisteia: cząstki zachowują się jak kule ierozróżiale, rozpatrujemy wszystkie rozróżiale rozmieszczeia, uzając je za jedakowo prawdopodobe (prawdopodobieństwo ustaloego rozmieszczeia to ( k 1 1, okazało się, że zgodie z tą statystyką zachowują się fotoy..
4 Zestaw VI I. Day jest odciek AB o długości l. Wybieramy a im losowo położeie dwóch puktów: C i D. Zaleźć prawdopodobieństwo, że pukt C będzie bliżej puktu A iż puktu D. II. Wybieramy losowo trzy odciki o długości ie większej od a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że da się z tych odcików ułożyć trójkąt? III. Day jest patyk o długości a. Łamiemy go losowo a trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że da się z tych części ułożyć trójkąt? IV. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma dwóch losowo wybraych dodatich liczb rzeczywistych iewiększych iż 1 jest iewiększa od 1, a iloczy jest iewiększy od 9? V. Ola i Jola umówiły się między 1 a 13 w cetrum miasta; każda z ich czeka 1 miut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dojdzie do spotkaia? Jola już wie, że przed 1:30 a pewo ie przyjdzie. Jaka jest szasa, że dojdzie do spotkaia? VI. Zaleźć prawdopodobieństwo, że pierwiastki rówaia kwadratowego x ax b = 0 są rzeczywiste, jeżeli wartości współczyików są jedakowo możliwe dla wartości z prostokąta a, b m. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy wskazaych warukach pierwiastki będą dodatie? VII. Dwa parowce podpływają do tego samego adbrzeża. Czasy przybijaia do brzegu obu parowców są od siebie iezależe i jedakowo możliwe w ciągu całej doby. Obliczyć prawdopodobieństwo, że jede z parowców będzie musiał czekać a zwolieie się miejsca a abrzeżu, jeśli czas postoju pierwszego parowca wyosi jedą godzię, a drugiego dwie godziy. Zestaw VII I. Rzucamy 4 razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadło (a tyle samo liczb podzielych przez 3 co iepodzielych? (b więcej liczb 6 iż 1? II. Na ile sposobów moża wylosować k kul z ury, w której zajduje się m kul, gdy losujemy: a ze zwracaiem i z uwzględiaiem kolejości; b ze zwracaiem i bez uwzględiaia kolejości; c bez zwracaia i z uwzględiaiem kolejości; d bez zwracaia i bez uwzględiaia kolejości? III. Trzej posłowie ależący do jedej z partii polityczych dyskutują w kuluarach Sejmu XXV kadecji: Poseł I: Dobrze, że zdołaliśmy wprowadzić do parlametu dziewięciu posłów. Dzięki temu po trzech aszych przedstawicieli zasiada w każdej z komisji sejmowych; Poseł II: I to mimo szyka większości sejmowej, która przeforsowała pukt regulamiu mówiący, że żade dwie komisje ie mogą mieć w swojej części wspólej więcej iż jedego przedstawiciela daej partii; Poseł III: Ale gdyby w Sejmie była choć jeda komisja więcej, te maewr by się am ie udał. Ile jest komisji w Sejmie? IV. 10 osób wsiada do (pustego pociągu. Każdy wybiera jede z 4 wagoów losowo. Jaka jest szasa, że wszystkie wagoy będą zajęte? V. Kasia ma 99 czerwoych koralików, jede biały i iebieskie. Na ile sposobów może Kasia aizać koraliki a żyłkę tworząc dla siebie korale. Uwaga: Każde ułożeie koralików różiące się wyłączie o obrót lub symetrię osiową uważamy za takie samo orazk oraliki tego samego koloru uważamy za ierozróżiale. VI. [E00] Agielski pisarz Samuel Pepys apisał w roku 1693 długi list do Isaaka Newtoa, w którym poprosił go o rozwiązaie pewego problemu związaego z zakładem, którego się podjął. Pepys zapytał miaowicie Newtoa, które z astępujących trzech zdarzeń jest ajbardziej, a które ajmiej prawdopodobe: - wyrzuceie przyajmiej jedej szóstki przy rzucie sześcioma sześcieą kością, - wyrzuceie przyajmiej dwóch szóstek przy rzucie dwuastoma kośćmi, - wyrzuceie przyajmiej trzech szóstek przy rzucie osiemastoma kośćmi. Jakiej odpowiedzi powiie był udzielić (i udzielił Newto? VII. W prostokącie o bokach a = 40 cm i b = 30 cm wybrao w sposób losowy pukt, który przyjęto za środek koła o promieiu 1 cm. Obliczyć prawdopodobieństwo, że miejsze boki prostokąta moża połączyć ieprzeciającym okręgu pasem dowolego kształtu, tak aby w każdym miejscu pasa dało się umieścić koło o promieiu cm. VIII. Na odciku AB o długości l losowo wybrao dwa pukty N i M. Obliczyć prawdopodobieństwo, że długości wszystkich trzech otrzymaych odcików ie przewyższają daej wielkości a (l a 1 3 l.
5 I. Na ile sposobów moża uszeregować liczby, 3, 4,, 6, 7, 8, 9 tak, aby każde koleje liczby były względie pierwsze? II. W szafie zajduje się 10 par butów. Losujemy z iej butów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowaych butów zajdzie się przyajmiej jeda para? Dokładie jeda para? III. Day jest odciek AB o długości l. Wybieramy a im losowo położeie dwóch puktów: C i D. Zaleźć prawdopodobieństwo, że odległość puktu C od końca odcika będzie większa, iż puktu D od środka. IV. Na półce stoi 13 książek. Na ile sposobów moża wybrać pewą liczbę książek z półki, tak aby żade dwie z ich ie stały obok siebie? V. Na okręgu wybrao 3 pukty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że są oe wierzchołkami trójkąta ostrokątego? VI. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trzykrotym rzucie kostką dostaiemy trzy liczby parami względie pierwsze? VII. Dwaj studeci pisali sprawdzia, w którym było 7 zadań do zrobieia. Każdy z ich zrobił trzy zadaia. Jaka jest szasa, że przyajmiej jede z ich będzie miał zrobioe 4 zadaia, jeśli każdy z ich podglądął kartkę drugiego z losowo wybraym rozwiązaiem? Zakładamy, że zadaia są rówie trude i studeci uczyli się iezależie od siebie. Zestaw VIII I. [Uzupełieie.] Rozważmy w Z prostą l = R {0}. Niech x, y Z Z, a pukt y symetryczy do y względem prostej l. Pokaż, że ilość ścieżek długości k łączących x z y i zahaczających o prostą l jest rówa ilości wszystkich ścieżek długości k łączących x z y. W oparciu o powyższe rozumowaie rozwiąż problem astępujący. W wyborach wzięło udział dwóch kadydatów P i Q. P otrzymał p głosów, zaś Q otrzymał q głosów, przy czym p > q. Głosy obliczała jeda osoba w jedej komisji. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu obliczaia głosów P stale prowadził? (Patrz: Feller, tom I II. Sklep jest zaopatryway w żarówki pochodzące z trzech fabryk, przy czym 0% żarówek pochodzi z pierwszej fabryki, 30% z drugiej, a 0% z trzeciej. Produkcja pierwszej fabryki zawiera 1% żarówek wadliwych, produkcja drugiej %, a trzeciej 10%. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybraa żarówka pochodzi z trzeciej fabryki skoro okazała się być wadliwa. III. Rzucamy cztery razy symetryczą moetą. Po każdym rzucie, jeśli wypadie orzeł, wkładamy do ury (początkowo pustej kulę białą, a jeśli reszka kulę czarą. Następie wyciągamy pięciokrotie kulę z ury zwracając ją za każdym razem z powrotem do ury. Obliczyć prawdopodobieństwo zajdowaia się w urie białych i czarych kul pod warukiem, że pierwsza i ostatia wyciągięta kula były białe. IV. Dwóch strzelców, dla których prawdopodobieństwa trafieia do celu wyoszą odpowiedio 0,7 i 0,8; oddaje po jedym strzale. Obliczyć prawdopodobieństwo, że cel został trafioy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy trafił, jeśli wiemy, że przyajmiej jede ze strzałów był cely? V. Udowodić, że jeżeli P (A B > P (A to P (B A > P (B. VI. W czasie lotu z Warszawy do Aucklad pasażerowie trzykrotie zmieiają samolot. Prawdopodobieństwa zagiięcia bagażu w trzech kolejych miejscach przesiadki wyoszą odpowiedio: 40%, 0% i 10%. W Aucklad okazało się że mój bagaż ie dotarł ze mą do miejsca przezaczeia. Jakie jest prawdopodobieństwo, że utkął w drugim z portów loticzych? VII. Do poszukiwaia zagiioego rozbitka przydzieloo 0 helikopterów. Każdy z ich moża skierować do jedego z dwóch rejoów, w których może, z prawdopodobieństwem odpowiedio 1 3 i 1 6, zajdować się poszukiway rozbitek. Każdy helikopter wykrywa zajdującego się w rejoie poszukiwaia rozbitka z prawdopodobieństwem q = , i dokouje tego iezależie od pozostałych helikopterów. Rozstrzygij, jak ależy rozdzielić helikoptery pomiędzy rejoy poszukiwań, żeby prawdopodobieństwo zalezieia rozbitka było jak ajwiększe. VIII. Żoa ma grupę krwi 0, a mąż AB. Mają oi bliźięta dwóch chłopców o grupie krwi B. Oblicz prawdopodobieństwo, że są to bliźięta jedojajowe, wiedząc, że 3% par wszystkich bliźiąt staowią bliźięta różopłciowe?
6 Zestaw IX I. Niech X ozacza liczbę orłów wyrzucoych przy -krotym rzucie moetą. Jak wygląda przestrzeń probabilistycza w tym przypadku? Podać rozkład zmieej losowej X oraz zmieej losowej Y = ( 1 X. Jaka jest wartość oczekiwaa i wariacja tych zmieych? II. W poprzedim zadaiu iech = 4. Opisz poiższe zmiee losowe i podaj ich charakterystyki: a długość ajdłuższej serii takich samych wyików; b różica miedzy liczbą orłów i reszek; c iloczy liczby orłów i reszek; d umer pierwszego losowaia, w którym wypadł orzeł (jesli w ogóle ie wypadł przyjmijmy wartość 0. III. Gracz obstawia w ruletce (a kole której zajduje się po 18 liczb czerwoych i czarych oraz zieloe 0 stawiając a czerwoe 1. Jeśli wypadie liczba o czerwoym kolorze dostaje swoją stawkę podwojoą, jeśli iy wyik ic. Opisz przestrzeń probabilistyczą oraz zmieą losową opisującą wygraą gracza. Jaka jest wartość oczekiwaa i odchyleie stadardowe wygraej? Powtórz rozumowaie z zakładem polegającym a postawieiu a wybraą liczbę a kole. Tym razem wygraa wyosi 36-krotość postawioej sumy, jeśli obstawioa liczba wypadie. IV. Ura zawiera czare i 3 białe kule. Wyjmujemy losowo z ury po jedej kuli tak długo, dopóki ie wyjmiemy kuli czarej. Niech ξ ozacza liczbę kul wyjętych z ury. Wyzaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej ξ. Opisać dokładie przestrzeń probabilistyczą, a której odbywa się doświadczeie. V. Sześciu chłopców i sześć dziewczyek ustawiamy losowo w pary. Jaka jest oczekiwaa liczba par różej płci? Jak wygląda przestrzeń probabilistycza? Zestaw X I. Zajdź dystrybuaty i gęstości poiższych zmieych losowych: (i X, gdzie X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]; (ii X, gdzie X jest zmieą o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ = 1, zaś k > 0. (iii X Y i XY, gdzie X, Y są iezależe i mają rozkłady jedostaje a odciku [0, 1]; (iv max{x, Y }, gdzie X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach jedostajych a [0, 1] (wykładiczych z parametrem λ = 1. II. Zajdź wartości oczekiwae i wariacje zmieych losowych o rozkładach absolutie ciągłych, które ie zostały przeliczoe a wykładzie. III. Niech X będzie zmieą o rozkładzie mającym gęstość f i dystrybuacie F. Jaką gęstość i dystrybuatę mają zmiee kx (k > 0, X k (k R, X? IV. Podaj przykład zmieych losowych o rozkładach absolutie ciągłych, których suma ie jest absolutie ciągła. Zestaw XI I. Czas po którym przepala się żarówka opisyway jest przez rozkład wykładiczy. Wiadomo, że prawdopodobieństwo, że żarówka będzie świecić co ajmiej 1000 godzi wyosi 0%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żarówka będzie świecić co ajmiej 00 godzi? 000 godzi? Jaki jest oczekiway czas pracy żarówki? II. Oczekiway czas pracy żarówki opisyway jest przez zmieą o rozkładzie wykładiczym i oczekiwaej wartości 1000 godzi. W lampie zaistalowao dwie żarówki. (a Jaki jest oczekiway czas do spaleia jedej z ich? (b Jaki jest oczekiway czas do spaleia obu z ich? (c Jaki jest oczekiway czas pomiędzy spaleiem się pierwszej z ich a spaleiem drugiej? III. Ściay i wierzchołki czworościau umerujemy losowo i iezależie liczbami 1,, 3, 4 w taki sposób, że ie ma dwóch wierzchołków, ai dwóch ścia o tym samym umerze. Niech ξ ozacza zmieą losową rówą liczbie ścia, dla których istieje wierzchołek tej ściay o umerze rówym jej umerowi. Zajdź Eξ. IV. Jede z pracowików Istytutu Matematyki UJ zadaje a egzamiie trzy pytaia. Oceia każde z ich z osoba w skali: 1,, 3, 4, i skreśla ajwyższą oraz ajiższą oceę. Ta, która zostaie jest oceą końcową. Jeżeli prawdopodobieństwo otrzymaia dowolej ocey jest w przypadku każdego z pytań takie same i rówe 1 oraz ocey z poszczególych pytań są iezależe, to jak w takim razie wygląda rozkład ocey końcowej i ile wyosi jej wartość oczekiwaa?
7 V. Pewie człowiek ma dwa pudełka zapałek, w lewej i prawej kieszei po jedym. W każdym z ich są cztery zapałki. Wyciągając zapałki a chybił trafił z jedej lub drugiej kieszei, stwierdza w pewym momecie, że pudełko do którego sięgął jest puste. Niech zmiea losowa ξ ozacza liczbę zapałek w drugim pudełku. Zajdź Eξ. VI. Rycerz wracający z wyprawy krzyżowej postaowił zagrać w kości ze Śmiercią o życie komediatów z wędrowej trupy. Rycerz ma rzucać sześcieą kością do gry cztery razy, wygrywając, gdyby wyrzucił jedo lub sześć oczek, zaś przegrywając w przeciwym wypadku. Gdy przegra rzut traci postawioe moety, zaś gdy wygra zatrzymuje je i otrzymuje od Śmierci dodatkowo taką liczbę dukatów jaką postawił. Za każdym razem musi stawiać dokładie jedego dukata ze swojej puli, a początku czterodukatowej, oraz wszystkie wygrae w poprzediej turze. Gdy zakończy się gra Rycerz może wykupić od zarazy tylu komediatów, ile będzie miał w owej chwili dukatów. Jedak, gdy przegra rzut dwa razy pod rząd, to choć gra dalej, po zakończeiu całej gry traci włase życie. Jaka jest oczekiwaa liczba komediatów, których Rycerz uratuje od Śmierci? Jaka jest szasa, że sam jej tym razem uikie? Zestaw XII I. W urie mamy 4 kule poumerowae liczbami 1010, 1100, 0110, Niech A i ozacza, dla i = 1,, 3 zdarzeie, że wylosowaa kula ma 1 a i-tym miejscu. Pokaż, że A i i A j są iezależe, ale A 1, A, A 3 już ie [ie zachodzi waruek P (A 1 A A 3 = P (A 1 P (A P (A 3 ]. II. Zdarzeia A, B, C są parami iezależe, ale wszystkie trzy ie mogą zajść rówocześie. Poadto P (A = P (B = P (C = x. Zajdź ajwiększą możliwą wartość x. III. Które pary zdarzeń są iezależe? (a Dwie osoby rzucają kostkami sześcieymi. A : pierwsza osoba ma więcej oczek; B : druga osoba ma parzystą liczbę oczek. (b W rzucie kostkami sześcieymi. A : suma oczek jest podziela przez 3, B : różica jest podziela przez 3, C : różica jest podziela przez. (c W rzucie moet. A : wypadła parzysta liczba orłów, B : wypadło więcej orłów, iż reszek. IV. Załóżmy, że zdarzeia A i C są iezależe oraz, że zdarzeia B i C są iezależe, atomiast zdarzeia A i B się wykluczają. Pokazać, że zdarzeia A B i C są iezależe. V. Zajdź trzy zdarzeia, które są parami iezależe, mają dodatie prawdopodobieństwo przecięcia, ale ie są iezależe. VI. Rozważamy jedokroty rzut kostką sześcieą. Niech ω będzie wyikiem rzutu. Sprawdź iezależość zmieych losowych: X i (ω = ω (mod i dla i =, 3, 4,. VII. Rozważmy dwukroty rzut kostką sześcieą. Sprawdź, że wyik pierwszego rzutu jest iezależy od wyiku drugiego rzutu. Czy suma, różica i iloczy wyrzucoych oczek są parami iezależe? VIII. Niech X i Y będą iezależymi zmieymi o idetyczych rozkładach wykładiczych. Czy parami iezależe są zmiee X Y, X Y, mi{x, Y }, max{x, Y }? IX. Wiadomo, że 96% produkcji jest zgode ze stadardem. Uproszczoy schemat kotroli przepuszcza przedmioty dobre z prawdopodobieństwem 0,98, a przedmioty wadliwe z prawdopodobieństwem 0,0. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przedmiot, który uproszczoa kotrola przepuściła, jest zgody ze stadardem. X. Jest k 1 ur, z których w każdej zajduje się m 1 kul białych i 1 kul czarych, oraz k ur zawierających po m kul białych i czarych. Wyciągięta z losowo wybraej ury kula okazała się biała. Jakie jest prawdopodobieństwo, że daą kulę wyciągięto z pierwszej grupy ur?
8 Zestaw XIII I. W dziesięcioelemetowej partii pewego towaru są dwie sztuki wadliwe. Wylosowao bez zwracaia dwie sztuki. Niech zmiea losowa X przyjmuje wartości rówe liczbie sztuk wadliwych wśród wylosowaych sztuk, zaś Y przyjmuje wartość 1, jeśli pierwsza wylosowaa sztuka jest wadliwa, oraz 0, jeśli ie jest wadliwa. Wyzaczyć rozkład wektora losowego (X, Y. Zbadać czy zmiee losowe X i Y są iezależe. Obliczyć P (X Y =. II. Rzucamy dwukrotie symetryczą kostką sześcieą. Ozaczamy przez X 1 ajmiejszą wspólą wielokrotość liczby oczek w pierwszym i drugim rzucie pomiejszoą o 1, zaś przez X wartość bezwzględą różicy oczek, które wypadły w pierwszym i drugim rzucie. Czy zmiee X 1 i X są iezależe? III. Zmiea losowa X ma rozkład Poissoa λ λk P (X = k = e k! dla k = 0, 1,,... Wyzaczyć wartość oczekiwaą zmieej Y = X(X 1. IV. Zmiee losowe X 1 i X są iezależe i mają obie rozkład geometryczy o parametrze p (0 < p < 1. Niech Z = max(x 1, X. Zajdź rozkład zmieej losowej Z. Zestaw XIV I. Losujemy pukty a okręgu jedostkowym. Jaka jest oczekiwaa odległość między imi? A jaka jest oczekiwaa długość krótszego z łuków, a które pukty dzielą okrąg? II. 6 osób wsiada losowo do pustego tramwaju o 3 wagoach. Jaka jest oczekiwaa liczba pustych wagoów? Jaka jest oczekiwaa liczba pasażerów w środkowym wagoie? III. Trzy maszyy produkują wyroby z prędkościami, odpowiedio, 1 szt/s, szt/s, 3 szt/s, przy czym pierwsza z ich ma % produkcji wadliwej, druga 10% a trzecia 1%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrae losowo wyroby będą dobre? Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowy wyrób, który okazał się wadliwy, pochodzi z trzeciej maszyy? A jeśli okazał się dobry? IV. Na strzelicy zajdują się 3 strzelby, z których strzelec strzela po kolei. Wiadomo, że prawdopodobieństwa trafieia wyoszą 0%, 70% i 90%, ale strzelby z wyglądu ie są rozróżiale. Jaka jest szasa, że co ajmiej strzały pod rząd będą cele? Jaka jest szasa, że trzeci strzał będzie cely, jeśli cele były dwa pierwsze? V. Losujemy zgodie z rozkładem jedostajym pukt z kwadratu {ω = (x, y : x y < 1, x y < 1}. Niech X(ω = x oraz Y (ω = y dla ω = (x, y. Jaką dystrybuatę ma rozkład X? Jaka jest oczekiwaa wartość Y 3? Czy zmiee X i Y są iezależe? VI. Dwaj studeci zrobili po losowo i iezależie od siebie wybrae przez siebie zadaia z zestawu 6 zadań. Następie wymieili się rozwiązaiami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że mają rozwiązae ostatie zadaie? Jakie jest prawdopodobieństwo, że mają rozwiązae ostatie zadaie, jeśli wiemy, że ie mają rozwiązaego pierwszego, ale mają drugie?
9 Zestaw XV I. Pośród 100 elemetów zajduje się wadliwych. Zajdź prawdopodobieństwo, że losując 10 razy atrafimy więcej iż 1 raz a elemet wadliwy korzystając z dokładego rozkładu zmieej, przybliżeia rozkładem Poissoa oraz Cetralego Twierdzeia Graiczego. Proszę porówać wyiki. Powtórzmy wyliczeia przy założeiu, że 0 jest wadliwych. II. Proszę zastaowić się ad rozwiązaiem poprzediego zadaia, jeśli losujemy elemety bez zwracaia. III. W miasteczku P. zajdują się dwa kia, które grają wieczorem film Jerzego Hoffmaa Ogiem i mieczem. Oglądać ma go zamiar 400 widzów, którzy losowo i iezależie wybierają wieczorem kio, do którego mają zamiar się udać. Iloma miejscami powio dyspoować każde kio, aby prawdopodobieństwo odesłaia któregoś z klietów z daego kia (z powodu braku miejsc było miejsze iż %? IV. Otrzymaliśmy wiarygodą iformację, że pewa moeta jest ie-symetrycza co powoduje, że orzeł wypada z prawdopodobieństwem p miejszym iż 0, 3. Ile ależy wykoać rzutów tą moetą, aby mieć 9% pewości, że uzyskae wyiki pozwolą wyliczyć prawdopodobieństwo wypadięcia orła z dokładością do 0, 01? V. Jak dużą liczbę posłów w parlamecie liczącym 460 osób musi dyspoować koalicja, aby z prawdopodobieństwem rówym co ajmiej: a 0%, b 9%, c 99% uchwalić ustawę jeżeli wiadomo, że: każdy z posłów myli się przy aciskaiu przycisku do głosowaia z prawdopodobieństwem rówym %, posłowie opozycji ie mylą się igdy, zarówo posłowie opozycji, jak i koalicji są zawsze obeci a posiedzeiach parlametu, a do uchwaleia ustawy potrzeba jest (przy obecości wszystkich posłów większość 31 głosów? VI. Prawdopodobieństwo wyprodukowaia wadliwego detalu wyosi 0, 0. Ile detali powia wyprodukować fabryka, aby z prawdopodobieństwem rówym co ajmiej 0, 9 przyajmiej 100 spośród ich ie było wybrakowaych. a Podaj oszacowaie w oparciu o ierówość Czebyszewa. b Podaj oszacowaie w oparciu o cetrale twierdzeie graicze. VII. Dodajemy liczb, z których każda jest zaokrągloa z dokładością do 0,1. Zakładając, że błędy zaokrągleia są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie rówomierym a przedziale ( 0, 0, 0, 0, zaleźć ajmiejszy przedział postaci (,, gdzie N, w którym z prawdopodobieństwem 0, 99 będzie zawierał się błąd sumy. x 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,0 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,000 0,040 0,080 0,10 0,160 0,199 0,39 0,79 0,319 0,39 0,1 0,398 0,438 0,478 0,17 0,7 0,96 0,636 0,67 0,714 0,73 0, 0,793 0,83 0,871 0,910 0,948 0,987 0,606 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,617 0,6 0,693 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,617 0,4 0,64 0,691 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0, 0,691 0,690 0,698 0,7019 0,704 0,7088 0,713 0,717 0,7190 0,74 0,6 0,77 0,791 0,734 0,737 0,7389 0,74 0,744 0,7486 0,717 0,749 0,7 0,780 0,7611 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,78 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,799 0,803 0,801 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,819 0,8186 0,81 0,838 0,864 0,889 0,831 0,8340 0,836 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,848 0,808 0,831 0,84 0,877 0,899 0,861 1,1 0,8643 0,866 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,89 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,901 1,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,911 0,9131 0,9147 0,916 0,9177 1,4 0,919 0,907 0,9 0,936 0,91 0,96 0,979 0,99 0,9306 0,9319 1, 0,933 0,934 0,937 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,9418 0,949 0,9441 1,6 0,94 0,9463 0,9474 0,9484 0,949 0,90 0,91 0,9 0,93 0,94 1,7 0,94 0,964 0,973 0,98 0,991 0,999 0,9608 0,9616 0,96 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,966 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,970 0,976 0,9761 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,981 0,9817,1 0,981 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,980 0,984 0,987, 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,987 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916,4 0,9918 0,990 0,99 0,99 0,997 0,999 0,9931 0,993 0,9934 0,9936, 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,994 0,9946 0,9948 0,9949 0,991 0,99,6 0,993 0,99 0,996 0,997 0,999 0,9960 0,9961 0,996 0,9963 0,9964,7 0,996 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,997 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981,9 0,9981 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,998 0,998 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
10 Zestaw XVI I. Uzasadij, że jeśli X określoe a tej samej przestrzei probabilistyczej mają takie same rozkłady o skończoej wariacji i są iezależe, to ciąg Y = 1 k=1 X k jest ciągiem zbieżym (w jakim sesie? do rozkładu jedopuktowego. Co to za rozkład? II. Załóżmy, że ciąg zmieych X określoych a tej samej przestrzei zmierza wg. rozkładów do rozkładu jedopuktowego. Pokaż, że wtedy zmierza też do rozkładu jedopuktowego stochastyczie i z prawdopodobieństwem 1. Pokaż, że stwierdzeie powyższe ie jest prawdziwe, jeśli rozkład graiczy jest dwupuktowy. III. Niech A będą mierzalymi podzbiorami przestrzei probabilistyczej oraz X = χ Ai (fukcja charakterystycza. Pokaż, że jeśli X jest zbieży z prawdopodobieństwem 1 do zmieej X, to istieje A taki, że X = χ A oraz P (A A 0. ( to różica symetrycza zbiorów. Czy zachodzi także implikacja przeciwa? Zajdź waruek rówoważy dla zbieżości wg. rozkładów. ( X IV. Wykazać rówoważość: X 0 stochastyczie wtedy i tylko wtedy, gdy E 0. 1 X V. Niech (ξ i i N będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładach: P (ξ i = 1 = 1/, P (ξ i = 0 = 1/. Czy szereg ξ i jest zbieży słabo? stochastyczie? prawie a pewo? i i=1
Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości
Sceariusz lekcji: Kombiatoryka utrwaleie wiadomości 1 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: za pojęcia: permutacja, wariacja i kombiacja, zdarzeie losowe, prawdopodobieństwo, za iezbęde wzory. b) Umiejętości
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoZADANIA - ZESTAW 2. Zadanie 2.1. Wyznaczyć m (n)
ZADANIA - ZESTAW Zadaie.. Wyzaczyć m (), D ( ) dla procesu symetryczego (p = q =,) błądzeia przypadkowego. Zadaie.. Narysuj graf łańcucha Markowa symetrycze (p = q =,) błądzeie przypadkowe z odbiciem.
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowo1. Dany odcinek podzielić dwoma punktami na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych części da się zbudować trójkąt?
1.5. Prawdopodoieństwo warukowe 15 Zadaia 1. Day odciek podzielić dwoma puktami a trzy części. Jakie jest prawdopodoieństwo, że z tych części da się zudować trójkąt? 2. Moetę o promieiu r rzucoo a parkiet
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoZadanie 3. ( ) Udowodnij, że jeśli (X n, F n ) jest martyngałem, to. X i > t) E X n. . t. P(sup
Szkice rozwiązań zadań z serii dwuastej oraz części zadań z kartkówki. Zadaie 1. Niech (X, F ) będzie martygałem. Czy X jest domykaly, jeśli ciąg EX l X jest zbieży? X jest zbieży prawie a pewo? X jest
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo zadania na sprawdzian
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoStatystyka i rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoTrochę zadań kombinatorycznych. 1. na ile sposobów można siedmiu stojących na peronie pasażerów umieścić w trzech wagonach?
Trochę zadań kombiatoryczych 1. a ile sposobów moża siedmiu stojących a peroie pasażerów umieścić w trzech wagoach? 2. Na szachowicy o wymiarach umieszczamy 8 ierozróżialych wież szachowych tak aby żade
Bardziej szczegółowoMateriał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi
Materiał powtarzay w II etapie II. Ciągi 3 1, dla parzystych 1. Wyzacz sześć początkowych wyrazów ciągu a = { +1, dla ieparzystych. Które wyrazy ciągu a = są rówe 1? 3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoZadania z rachunku prawdopodobieństwa I* Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo
Zadaia z rachuku prawdopodobieństwa I* - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera
Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Grupę n dzieci ustawiono w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowo