Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo

Transkrypt

1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. 2. Ze zbioru elemetowego losujemy ze zwracaiem r elemetów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że któryś elemet się powtórzył? 3. Siedmiu pasażerów przydzieloo losowo do trzech wagoów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że i) wszyscy trafili do jedego wagou, ii) w każdym wagoie zalazło się przyajmiej dwóch z tych pasażerów? 4. Z klasy liczącej 11 chłopców i 13 dziewczyek wylosowao czteroosobową delegację. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w skład delegacji wchodzi więcej chłopców iż dziewczyek. 5. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w grze w brydża gracz N otrzymał a) wszystkie karty różej wartości; b) dokładie dwa piki; c) co ajmiej dwa piki; d) dwa piki, 3 kiery, 4 kara, 4 trefle; e) układ 4432; f) układ Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w grze w pokera talią 24 kartową gracz otrzyma z ręki a) parę b) dwie pary c) straighta d) trójkę e) fulla f) karetę g) kolor h) pokera jedakowych ciastek rozdzieloo między czwórkę dzieci w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, iż a) Jacek otrzymał dokładie 1 ciastko b) Jacek otrzymał co ajmiej 1 ciastko c) każde z dzieci otrzymało co ajmiej 1 ciastko 1

2 8. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w lotto spośród 49 liczb wylosowaa będzie szóstka ie zawierająca dwu kolejych liczb. 9. a) Ile różych słów (iekoieczie sesowych) moża utworzyć permutując litery słowa MATEMATYKA? b) Jeśli wybierzemy losowo któreś z tych słów jakie jest prawdopodobieństwo tego, że litery T ie stoją obok siebie? 1. Klasa liczy 15 ucziów, a każdej lekcji do odpowiedzi jest losoway jede uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 16 lekcji każdy uczeń będzie przepytay. 11. W szafie zajduje się par butów, a chybił trafił wybieramy z ich k butów przy czym k. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) wśród wylosowaych butów jest coajmiej jeda para, b) wśród wylosowaych butów jest dokładie jeda para. 12. a) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że przy losowym umieszczeiu N listów w N zaadresowaych kopertach żade list ie trafi do właściwego adresata? b) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dokładie k listów trafi do właściwych adresatów? 2

3 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Z przedziału [, 1] wybrao w sposób losowy dwa pukty, które podzieliły go a trzy odciki. Jaka jest szasa, że z tych odcików da się zbudować trójkąt? 2. (Igła Buffoa) Igłę o długości l rzucoo w sposób losowy a płaszczyzę z zazaczoymi liiami rówoległymi. Odległość między sąsiedimi liiami wyosi d > l. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że igła przetie którąś z liii. 3. (Paradoks Bertrada) Z okręgu wybrao w sposób losowy cięciwę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że ma oa długość większą od długości boku trójkąta rówoboczego wpisaego w okrąg. 4. Odciek P Q jest średicą okręgu. Na okręgu wybieramy a chybił trafił dwa pukty A i B. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jede z łuków AB zawiera oba pukty P i Q? 5. Na ieskończoą szachowicę o boku 1 rzucoo moetę o średicy 2 3. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że moeta a) zajdzie się całkowicie we wętrzu jedego z pól, b) przetie się z dwoma bokami szachowicy? 6. Załóżmy, że P(A B) = 1/2, P(A B) = 1/4, P(A \ B) = P(B \ A). Oblicz P(A) i P(B \ A). 7. Załóżmy, że A B C = Ω, P(B) = 2P(A), P(C) = 3P(A), P(A B) = P(B C) = P(A C). Wykaż, że 1/6 P(A) 1/4. 8. Załóżmy, że P(A) 2/3, P(B) 2/3, P(C) 2/3 i P(A B C) =. Oblicz P(A). 9. Wykaż, że dla dowolych zdarzeń A 1,..., A zachodzą ierówości i=1 ( ) P(A i ) P A i i=1 1. Wyzacz σ ciało geerowae przez a) dwa zbiory A i B; b) trzy zbiory A, B i C. 11. Czy istieje σ-ciało złożoe z 7-elemetów? P(A i ) P(A i A j ). i=1 1 i<j 3

4 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek stoi bezpośredio przed Agatką, jeśli Agatka stoi bezpośredio przed Dorotką; b) Jacek stoi przed Agatką, jeśli Agatka stoi przed Dorotką; c) Jacek stoi przed Agatką, jeśli wiemy, że Agatka ie stoi ostatia. 2. Z talii 24 kartowej losujemy 5 kart bez zwracaia. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowaliśmy dokładie 3 asy, jeśli wiadomo, że a) mamy co ajmiej jedego asa; b) mamy co ajmiej jedego asa czarego koloru; c) mamy asa pik; d) pierwszą wylosowaą kartą jest as; e) pierwszą wylosowaą kartą jest czary as; f) pierwszą wylosowaą kartą jest as pik. 3. Z odcika [, 1] wylosowao a chybił trafił dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że a) większa z liczb jest miejsza iż 1/2; b) większa z liczb jest miejsza iż 1/2, jeśli wiadomo, że miejsza z liczb jest większa iż 1/4; c) większa z liczb jest miejsza iż 1/2, jeśli wiadomo, że któraś z liczb jest większa iż 1/4. 4. W urie zajduje się b kul białych i c kul czarych. Losujemy z ury po jedej kuli a astępie zwracamy ją do ury dokładając a kul tego samego koloru. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) pierwsza i druga wylosowaa kula będzie biała; b) druga wylosowaa kula będzie biała; c) za pierwszym razem wylosowao kulę białą, jeśli wiemy, że za drugim razem wylosowao kulę białą; d) w pierwszych trzech losowaiach wylosujemy kule tego samego koloru. 5. Test a rzadką chorobę, którą dotkiętą jest jeda osoba a 5 tysięcy, daje fałszywą pozytywą odpowiedź u osoby zdrowej w 2% przypadków, a u osoby chorej zawsze daje pozytywy wyik. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba u której test przyiósł wyik pozytywy jest faktyczie chora? 6. W populacji jest 15% dyslektyków. Jeśli w teście diagostyczym uczeń popełi 6 lub więcej błędów, to zostaje uzay za dyslektyka. Każdy dyslektyk a pewo popełi co ajmiej 6 błędów w takim teście, ale rówież ie-dyslektyk może popełić więcej 4

5 iż 5 błędów z prawdopodobieństwem 1/1. Jasio popełił w teście 6 błędów - jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jest dyslektykiem? Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w kolejym teście popełi co ajmiej 6 błędów? 7. Prawdopodobieństwo, że losowo wybraa rodzia ma dzieci jest rówe { αp dla = 1, 2,... p = 1 =1 αp = 1 αp 1 p dla =. Zakładając, że wszystkie 2 rozkładów płci dzieci w rodziie o dzieciach jest rówoprawdopodobe oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybraa rodzia ma a) co ajmiej jedą córkę; b) dokładie jedą córkę? c) Losowo wybraa rodzia ma przyajmiej jedą córkę, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jest oa jedyaczką? 8. W Małej Większej są dwie szkoły podstawowe - SP1 i SP2. Przeprowadzoe pod koiec roku szkolego egzamiy wykazały, że większy procet dziewczyek w SP1 potrafi rozłożyć liczbę 215 a czyiki pierwsze iż w SP2 podobie większy procet chłopców z SP1 potrafi to zrobić iż w SP2. Czy zaczy to, że statystycze dziecko ze szkoły r 1 lepiej wypadło w rozkładaiu liczby 215 od statystyczego dziecka ze szkoły r 2? 5

6 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Rzucamy dwa razy kostką. Rozważmy zdarzeia: A za pierwszym razem wypadła liczba oczek podziela przez trzy, B za drugim razem wylosowao liczbę oczek podzielą przez trzy, C suma wyrzucoych oczek jest parzysta. Czy zdarzeia A, B, C są parami iezależe? Czy są iezależe? 2. Na kartkach zapisao różych liczb rzeczywistych, astępie kartki włożoo do pudełka, wymieszao i losowao kolejo bez zwracaia. Niech A k ozacza zdarzeie, że k-ta z wylosowaych liczb jest większa od wszystkich poprzedich. Wykaż, że P(A k ) = 1/k oraz zdarzeia A 1, A 2,..., A są iezależe. 3. Rzucoo kostkami do gry. Określmy zdarzeia A k - a k-tej kostce wypadła szóstka, 1 k oraz A +1 - suma wyrzucoych oczek jest podziela przez 6. Wykaż, że dowole spośród zdarzeń A 1,..., A +1 jest iezależych, ale łączie zdarzeia A 1,..., A ie są iezależe. 4. Wyzacz ajbardziej prawdopodobą liczbę sukcesów w schemacie Beroulliego. 5. Rzucoo 1 razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym rzucie wypadła szóstka, jeśli wiadomo, że a) w 1 rzutach wypadło dokładie 7 szóstek b) w 9 astępych rzutach wypadło dokładie 7 szóstek. 6. Rzucamy szóstką do mometu aż wypadie piątka lub po raz trzeci szóstka. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzucimy dokładie razy. 7. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jedego dia a autostradzie będzie k wypadków jest rówe 5 k e 5 /k!, k = 1, 2,.... Prawdopodobieństwo tego, że w daym wypadku będzie uczesticzył samochód czerwoy jest 1/3. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jedego dia a autostradzie będzie k wypadków z udziałem samochodów czerwoych. 8. Niech X ozacza ajdłuższą serię orłów w rzutach moetą symetryczą. Wykaż, że a) P(X a log 2 ) przy dla a < 1, b) P(X a log 2 ) 1 przy dla a > 1. 6

7 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Rzucamy ieskończeie wiele razy kostką. Udowodij, że z prawdopodobieństwem 1 wystąpi ieskończeie wiele serii złożoych z 215 szóstek pod rząd. 2. Rzucamy ieskończeie wiele razy moetą a której orzeł wypada z prawdopodobieństwem p. Przez A ozaczmy zdarzeie, że w pierwszych rzutach wypadło tyle samo orłów, co reszek. Wykaż, że i) jeśli p 1/2, to z prawdopodobieństwem 1 zajdzie skończeie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2,... ii*) jeśli p = 1/2, to z prawdopodobieństwem 1 zajdzie ieskończeie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2, Zdarzeia A 1, A 2,... są iezależe oraz P(A ) < 1 dla wszystkich. Wykaż, że astępujące waruki są rówoważe: i) z prawdopodobieństwem 1 zajdzie przyajmiej jedo ze zdarzeń A, ii) z prawdopodobieństwem 1 zajdzie ieskończeie wiele zdarzeń A. 4. Dwaj gracze grają w orła i reszkę moetą symetryczą. Jeśli wypadie orzeł, gracz A płaci B 1 zł., a jeśli reszka, to B płaci A 1 zł. Gra się kończy, gdy któryś z graczy zostaie bez pieiędzy. Na początku gry gracz A ma a zł., a B b zł. a) Wykaż, że z prawdopodobieństwem 1 gra się zakończy. b) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że grę wygra gracz A. 5. Prawdopodobieństwo wygraia w pewej loterii jest rówe 1 6. W loterii zagrało 5 tysięcy osób. Jakie jest dokłade prawdopodobieństwo tego, że i) ktoś wygrał, ii) wygrała więcej iż jeda osoba? iii) Oszacuj prawdopodobieństwa z i) i ii). iv) Czy odpowiedź w i) się zmiei, jeśli wiemy, że każda z osób obstawiała iy wyik losowaia? 6. Do pewej tabeli wpisao = 1 liczb. Prawdopodobieństwo, że pojedycza liczba została błędie wpisaa wyosi, 5. Wprowadzoe liczby są sprawdzae przez kotrolera, który ie wychwytuje błędu z prawdopodobieństwem, 2. Oszacuj prawdopodobieństwo tego, że po weryfikacji tabela zawiera przyajmiej dwie błęde liczby. 7. Jaś i Małgosia raz w tygodiu grają w teisa. Prawdopodobieństwo, że w pojedyczym meczu zwycięży Małgosia jest rówe p (, 1). Niech X ozacza umer meczu w którym Małgosia wygrała z Jasiem po raz k-ty. Zajdź rozkład X. 8. Rzucamy dwa razy kostką. Niech X ozacza miimum, a Y maksimum z uzyskaych liczb oczek. Zajdź rozkłady zmieych X i Y i sprawdż, że 7 X ma te sam rozkład co Y. Jak się zmiei odpowiedź, gdy będziemy rzucać 1 razy? 7

8 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Na przestrzei losowej Ω = [, 1] z prawdopodobieństwem geometryczym określamy zmiee losowe. X(t) = t(1 t), Y (t) = 1 [,1/2] (t). i) Wykaż, że X i Y są zmieymi losowymi ii) Wyzacz σ-ciała σ(x) i σ(y ). iii) Czy zmiea Y jest σ(x)-mierzala? Czy zmiea X jest σ(y )-mierzala? iv) Wyzacz dystrybuaty zmieych X i Y. 2. Niech X 1, X 2,..., X będą zmieymi losowymi a pewej przestrzei probabilistyczej oraz S k = X X k dla 1 k. Wykaż, że σ(x 1, X 2,..., X ) = σ(s 1, S 2,..., S ). 3. Zmiea losowa X ma dystrybuatę dla t < 1 1 F X (t) = 7 + 2t dla t < t dla 1 14 t < dla t 3 7. Oblicz P(X 3 7 ), P( < X < ), P(X = ), P( 14 X 3 7 ). 4. Dystrybuata zmieej losowej X ma postać dla t < 1 F X (t) = 2t dla t < 2 1 dla t 2. Zajdź dystrybuatę zmieych mi(1, X) i max(x, X 2 ). 5. Na pewym skrzyżowaiu zieloe światło dla pieszych świeci się przez 3 sekud, a czerwoe przez 2 miuty (ie ma światła żółtego). Pa Abacki przychodzi a skrzyżowaie w losowym momecie czasu. a) Zajdź dystrybuatę czasu oczekiwaia przez paa Abackiego a zieloe światło. b) Pa Abacki czeka już miutę a zieloe światło. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie musiał czekać jeszcze poad pół miuty? 6. Niech F : R [, 1] będzie prawostroie ciągłą, iemalejącą fukcją taką, że lim t F (t) = 1 oraz lim t F (t) =. Wykaż, że F jest dystrybutą pewej zmieej losowej. Wskazówka. Określmy Ω = (, 1) z prawdopodobieństwem geometryczym, zaś zmieą losową X jako X(t) = sup{s: F (s) t}, t (, 1). 8

9 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Zajdź wszystkie zmiee losowe X o wartościach aturalych, takie, że P(X ) > oraz P(X + m X ) = P(X m) dla wszystkich liczb aturalych, m. 2. Podaj przykład zmieej o rozkładzie dyskretym, której dystrybuata jest ściśle rosąca. 3. Zmiea losowa X ma gęstość cx 2 1 [,5] (x). Zajdź liczbę c oraz dystrybuatę zmieej X. 4. Załóżmy, że dystrybuata F zmieej losowej X jest ciągła i kawałkami klasy C 1. Wykaż, że X ma rozkład ciągły (z gęstością g = F ). 5. Zajdź rozkład zmieej ax + b oraz e X, gdy X ma rozkład wykładiczy z parametrem λ. 6. Zajdź rozkłady zmieych bx + c, e X i X 2, gdy X ma rozkład ormaly N (a, σ 2 ). 7. Podaj przykład zmieej X o ciągłej dystrybuacie, która ie ma rozkładu ciągłego (tz. ie ma gęstości). 8. Zmiea losowa ma ciągłą, ściśle rosącą dystrybuatę X. Zajdź rozkład zmieej F X (X). Czy odpowiedź się zmiei, gdy dystrybuata ie jest ściśle rosąca? A gdy jest ieciągła? 9. Załóżmy, że X jest ieujemą zmieą losową oraz P(X > t) > dla wszystkich t. Wykaż, że P(X > t + s X > s) = P(X > t) wtedy i tylko wtedy, gdy X ma rozkład wykładiczy z pewym parametrem λ. 1. Zmiea losowa X ma rozkład wykładiczy z parametrem 1. Wyzacz rozkłady zmieych X oraz {X}. Czy zmiee te są iezależe? 9

10 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Z talii 52 kartowej losujemy 5 razy ze zwracaiem po jedej karcie. Niech X ozacza liczbę wyciągiętych pików, Y - kierów, a Z - waletów. Czy zmiee X i Y są iezależe? Czy zmiee X i Z są iezależe? 2. Zmiee X 1, X 2,..., X są iezależe oraz P(X i = ±1) = 1/2. i) Czy zmiee X 1 + X 2, X 1 X 2 są iezależe? ii) Czy zmiee X 1 + X 2, X 3, X 4 + X 5 X 6 są iezależe? iii) Czy zmiee X 1, X 1 X 2,..., X 1 X 2 X są iezależe? 3. Dla t [, 1] i = 1, 2,... iech X (t) ozacza -tą cyfrę rozwiięcia dwójkowego liczby t (w przypadku dwu rozwiięć wybieramy to ze skończoą liczbą 1). Udowodij, że X 1, X 2,... są iezależymi zmieymi losowymi a ([, 1], B([, 1]), ). 4. Zmiea X jest iezależa od samej siebie. Wykaż, że istieje liczba c taka, że P(X = c) = Zmiee losowe X 1,..., X są iezależe, przy czym X i ma rozkład wykładiczy z parametrem λ i. Zajdź rozkład zmieej max{x 1,..., X }. 6. Zmiee losowe X i Y są iezależe oraz mają rozkłady geometrycze z parametrami odpowiedio p i q. Oblicz P(X Y ). 7. Zmiee losowe X i Y są iezależe oraz mają rozkłady wykładicze z parametrami odpowiedio λ i µ. Oblicz P(X Y ). 8. Zmiee losowe X i Y są iezależe, przy czym dystrybuata X jest ciągła. Wykaż, że P(X = Y ) =. 9. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie z ciągłą dystrybuatą F. Dla ω Ω iech X 1 (ω),..., X (ω) będzie ustawieiem X 1 (ω),..., X (ω) w porządku rosącym X 1 (ω) X 2 (ω)... X (ω) (czyli w szczególości X 1 = mi{x 1,..., X }, X = max{x 1,..., X }. Zajdź dystrybuatę X k dla k = 1,..., (X k azywamy k-tą statystyką porządkową ciągu X 1,..., X ). 1. Zmiee X i Y są iezależe i mają rozkład N (, 1). Zajdź łączy rozkład wektora losowego (X + Y, X Y ). Co moża powiedzieć o jego współrzędych? 1

11 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) ma rozkład z gęstością g(x, y) = cxy1 { x y 1}. i) Zajdź stałą c oraz rozkłady zmieych X i Y. ii)czy zmiee X, Y są iezależe? iii) Oblicz P(X + Y 1). iv) Zajdź rozkład zmieej X/Y. Czy zmiea X/Y jest iezależa od Y? 2. X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie wykładiczym z parametrami λ i µ, zajdź rozkład zmieej X/Y. 3. Zmiee X, Y są iezależe i mają rozkład jedostajy a przedziale [ 1, 1]. Oblicz P(X 2 + Y 2 1). 4. Zmiee losowe X 1,..., X są iezależe i mają rozkłady Poissoa z parametrami λ 1,..., λ. Wykaż, że X 1 + X X ma rozkład Poissoa z parametrem λ 1 + λ λ. 5. Zmiee X i Y są iezależe i mają rozkład geometryczy z parametrami odpowiedio p i q. Zajdź rozkład X + Y oraz X Y. 6. Mówimy, że zmiea X ma rozkład Γ z parametrem r > (oz. X Γ(r)), jeśli X ma gęstość g r (x) = 1 Γ(r) xr 1 e x I {x }, gdzie Γ(r) = x r 1 e x dx. a) Wykaż, że jeśli zmiee X 1,..., X są iezależe oraz X i Γ(r i ), to X X Γ(r r ). b) Wykaż, że jeśli zmiee X 1,..., X są iezależe oraz każda z ich ma rozkład wykładiczy z parametrem λ, to X X 1 λγ(). (Uwaga. Rozkład aγ(r) w zależości od przyjetej kowecji się ozacza jako rozkład Γ(r, a) lub Γ(r, 1/a).) c) Wykaż, że jeśli zmiee X 1,..., X są iezależe oraz X i N (, 1), to X X 2 2Γ(/2). (Uwaga. Rozkład te występuje w wielu zastosowaiach statystyczych i się azywa rozkładem chi kwadrat o stopiach swobody.) 7. Zmiee X 1, X 2, ε 1, ε 2 są iezależe, przy czym X i mają rozkład wykładiczy z parametrem λ, a P(ε i = ±1) = 1/2. Zajdź rozkład ε i X i, X 1 X 2 oraz ε 1 X 1 + ε 2 X 2. 11

12 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Załóżmy, że P(X = ) = P(X = 1) = 1 4 oraz P(X = 5) = Oblicz EX, E X+1, E si(πx) i Var(X). 2. Oblicz Et X dla t R i X o rozkładzie Poissoa z parametrem λ. 3. Zmiea losowa X ma gęstość g(x) = 3 8 x2 I [,2] (x). Oblicz EX, E 1 2+X oraz Var(X2 ). 4. Oblicz wartość oczekiwaą i wariację rozkładu geometryczego z parametrem p. 5. Zmiea losowa X ma dystrybuatę dla t < 1 F X (t) = 2t dla t < dla 1 t < 5 1 dla t 5. Oblicz E(1X + 2). 6. Roztrzepaa sekretarka umieściła w sposób losowy N listów w N uprzedio zaadresowaych kopertach. Niech X ozacza liczbę listów, które trafiły do właściwej koperty. Zajdź wartość oczekiwaą i wariację X. 7. Do klasy chodzi 2 ucziów. Nauczyciel a każdej lekcji pyta losowo wybraego uczia. Zajdź wartość oczekiwaą i wariację liczby ucziów przepytaych w ciągu 15 lekcji. 8. Każdy bok i przekątą siedmiokąta pomalowao w sposób losowy a jede z trzech kolorów (zakładamy, że kolory różych odcików są dobierae iezależie i każdy z trzech dostępych kolorów jest wybieray z jedakowym prawdopodobieństwem). Oblicz wartość oczekiwaą liczby jedobarwych trójkątów o wierzchołkach bedących wierzchołkami siedmiokąta. 9. Niech (π(1),..., π()) ozacza losową permutację zbioru {1,..., }. Niech N ozacza ajwiększą liczbę taką, że π(k) > π(k 1) dla k N. Oblicz EN. 1. Zmiee X, X 1,... są iezależe i mają jedakowy rozkład z ciągłą dystrybuatą. Niech N := if{ : X > X }. Zajdź rozkład N i oblicz EN. 11. Kij o długości 1 złamao w losowym pukcie. Oblicz wartość oczekiwaą stosuku i) długości kawałka prawego do długości lewego, ii) długości kawałka krótszego do długości kawałka dłuższego. 12. Zmiee losowe X, Y spełiają waruki Var(X) = 2, Var(Y ) = 4, Cov(X, Y ) = 1. Oblicz Var(2X 3Y ) i Cov(5X + 2Y, X 3Y ). 12

13 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Zajdź wartość oczekiwaą i wariację astępujących rozkładów probabilistyczych: i) dwumiaowego z parametrami, p, ii) Poissoa z parametrem λ, iii) geometryczego z parametrem p, iv) jedostajego a przedziale [a, b], v) wykładiczego z parametrem λ, vi) ormalego N (a, σ 2 ). 2. Zmiea X ma stadardowy rozkład ormaly. Oblicz EX k, E X k dla k = 1, 2, Załóżmy, że P(X = 1) = P(X = 1) = 1/4 oraz P(X = ) = 1/2. Zajdź mediaę X oraz X. 4. Zajdź mediaę rozkładu wykładiczego z parametrem λ. 5. Udowodij, że dla dowolej rzeczywistej zmieej losowej X i p >, E X p = p t p 1 P( X t)dt. 6. Wykaż, że jeśli zmiea losowa X przyjmuje tylko wartości całkowite ieujeme, to EX = P(X k) = k=1 P(X > k). 7. Mówimy, że zmiea losowa X jest symetrycza, jeśli zmiee X i X mają te sam rozkład. Wykaż, że astępujące waruki są rówoważe: i) X jest symetrycza, ii) X ma te sam rozkład, co εx, gdzie ε jest iezależe od X i P(ε = ±1) = 1/2, iii) Ef(X) = dla dowolej ieparzystej, ograiczoej fukcji f. k= 13

14 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Wykaż, że jeśli zmiee X 1, X 2,... są iezależe oraz mają jedakowy rozkład taki, że EXi 2 <, to X X EX 1 wg prawdopodobieństwa. 2. Wykaż, że jeśli zmiee X 1, X 2,... są iezależe oraz mają jedakowy rozkład taki, że EXi 4 <, to X X EX 1 p... Wskazówka. Sprowadź do przypadku EX 1 = i oblicz E(X X ) Ciągi zmieych losowych (X ) 1 oraz (Y ) 1 są zbieże według prawdopodobieństwa odpowiedio do X i Y. Udowodij, że i) ciąg X + Y jest zbieży do X + Y według prawdododobieństwa, ii) ciąg X Y jest zbieży do XY według prawdododobieństwa. 4. Daa jest całkowala zmiea losowa X. Określamy dla 1, dla X (ω) < X (ω) = X(ω) dla X (ω) dla X (ω) >. Czy ciąg X jest zbieży prawie a pewo? Czy jest zbieży w L 1? 5. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe, mają te sam rozkład oraz P( X i < 1) = 1. Wykaż, że ciąg R = X 1 X 2 X zbiega do p Zmiee (X ) 1 są iezależe, przy czym X ma rozkład Poissoa ze średią 1/. Zbadaj zbieżość ciągu X i) według prawdopodobieństwa; ii) prawie a pewo; iii) w L 2 i L 3/2. 7. Liczby p, q > 1 spełiają waruek 1/p + 1/q = 1. Wykaż, że jeśli X zbiega do X w L p oraz Y zbiega do Y w L q, to X Y zbiega do XY w L 1. 14

15 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Wykaż, że, jeśli X P X oraz X P Y, to P(X = Y ) = Wykaż, że X P X wtedy i tylko wtedy, gdy E mi( X X, 1). 3. Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem zmieych iezależych o jedakowym rozkładzie takim, że E X <. Wykaż, że 1 max i X i P. 4. Zmiee (ε ) 1 są iezależymi zmieymi Rademachera, tz. P(ε i = ±1) = 1/2. Zajdź wszystkie ciągi a takie, że szereg =1 a ε jest zbieży p Zmiee X 1, X 2,... są iezależe, ieujeme, mają te sam rozkład oraz P( X i = ) < 1. Wykaż, że =1 X = p Zmiee losowe X 1, X 2,... są iezależe o wspólym rozkładzie wykładiczym z parametrem λ. Pokaż, że ciągi zmieych losowych a) X 1X 2 + X 2 X X X +1, b) X 1 + X X X1 2 + X X2 są zbieże prawie a pewo i wyzacz ich graice. 7. Day jest ciąg (X ) 1 iezależych zmieych losowych o rozkładzie Poissoa z parametrem 216. Wykaż, że ciąg zmieych losowych X 1 X 2 X 3 + X 2 X 3 X X X +1 X +2 jest zbieży prawie a pewo i zajdź jego graicę. 8. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe o wspólym rozkładzie jedostajym a [, 2]. Czy ciąg M = (X 1 X 2 X ) 1/ jest zbieży p..? Jeśli tak, to do jakiej graicy? 9. Oblicz graice 1 1 x 2 1 a) lim x2 dx 1... dx, x x b) lim... x x2 dx 1... dx, 1 c) lim d) lim ( x x f e (x x ) dx 1... dx. + x x ) dx 1... dx, gdzie f : [, 1] R jest fukcją ciągłą, 15