RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Transkrypt

1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy z uczestników zakupił jeden los. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnął: a) los wygrywający, b) los pusty, c) los dający wygraną 100 zł? Zadanie 2. Jaka powinna być cena losu w zadaniu 1, aby organizatorzy loterii osiągnęli przychód z loterii w wysokości: a) 1000 zł, b) przynajmniej 1000 zł. Zakładamy, że wszystkie losy zostaną sprzedane. Zadanie 3. Jaka powinna być cena losu w zadaniu 2, aby organizatorzy loterii osiągnęli przychód z loterii w wysokości przynajmniej 1000 zł, zakładając, że sprzedadzą tylko 30 % losów? Zadanie 4. Z talii złożonej z 32 kart losujemy jedną. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest siódemką. Zadanie 5. Z talii złożonej z 52 kart losujemy jedną. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest figurą (asem, królem, damą lub waletem)? Zadanie 6. Rzucamy symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie uzyskamy liczbę oczek podzielną przez dwa lub trzy? Zadanie 7. Rzucamy symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucona liczba oczek jest liczbą pierwszą? Zadanie 8. Na loterię przygotowano 100 losów, z których 5 wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród czterech zakupionych losów jest: -jeden wygrywający, -są dwa wygrywające, -jest przynajmniej jeden wygrywający, -są przynajmniej dwa wygrywające? Zadanie 9. Dwaj strzelcy oddali po jednym strzale do tarczy. Pierwszy trafia w tarczę z prawdopodobieństwem 0,7, drugi 0,8. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obaj trafią w tarczę. Zadanie 10. Trzej strzelcy oddali po trzy strzały do tarczy. Każdy z nich trafia w tarczę z prawdopodobieństwem równym 0,6. Obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo, że: -wszyscy trafili w tarczę, -dwóch trafiło w tarczę, -żaden nie trafił. Zadanie 11. Dwaj strzelcy wyborowi oddali po dwa strzały do ruchomego celu. Wiedząc, że prawdopodobieństwo trafienie strzelca pierwszego wynosi 0,8, a drugiego 0,9, oblicz prawdopodobieństwo tego, że:

2 a) przynajmniej jeden trafi w cel, b) żaden nie trafi w cel. Zadanie 12. W urnie znajdują się dwie kule czerwone i trzy kule białe. Wyciągamy losowo jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie będzie to kula biała? Zadanie 13. W urnie znajdują się dwie kule czerwone i trzy kule białe. Wyciągamy losowo jedną kulę i odkładamy ją, a następnie losujemy następną kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) wyciągniemy dwie kule białe, b) wyciągniemy dwie kule czerwone, c) wyciągniemy jedną kule białą i jedną czerwoną. Zadanie 14. W urnie znajdują się dwie kule czerwone i trzy kule białe. Wyciągamy losowo jedną kulę i zwracamy ją do urny, a następnie losujemy następną kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) wyciągniemy dwie kule białe, b) wyciągniemy dwie kule czerwone, c) wyciągniemy jedną kule białą i jedną czerwoną. Zadanie 15. Z talii liczącej 52 karty losujemy po kolei dwie karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana po raz drugi karta nie jest asem? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowane karty są figurami (asem, królem, damą lub waletem)? Zadanie 16. Z talii liczącej 52 karty losujemy jedną kartę i zwracamy ją do talii, tasujemy i losujemy kolejną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana po raz drugi karta nie jest asem? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowane karty są figurami (asem, królem, damą lub waletem)? Zadanie 17. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzy losowo wybrane wierzchołki sześcianu tworzą trójkąt równoboczny? Zadanie 18. Ruletka ma ponumerowane pola od 0 do 36. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygramy stawiając na nieparzyste grając jednokrotnie? Zadanie 19. Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania w zadaniu 18, przy założeniu, że zagramy: a) dwa razy, b) pięć razy? Zadanie 20. Grupę złożoną z 28 studentów, wśród których jest Zofia i Albert podzielono w sposób losowy na dwie równoliczne grupy laboratoryjne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Zofia i Albert będą w jednej grupie? Zadanie 21. W urnie są 4 kule białe i trzy czerwone. Losujemy dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) żadna z wylosowanych kul nie jest czerwona, b) przynajmniej jedna jest czerwona, c) obie są czerwone? Zadanie 22. W partii złożonej ze 150 żarówek kontrola wykazała, że 3 żarówki nie spełniają normy jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród dwóch losowo wybranych żarówek przynajmniej jedna nie spełnia normy jakości?

3 Zadanie 23. W partii złożonej ze 250 żarówek kontrola wykazała, że 3% żarówek nie spełnia normy jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu losowo wybranych żarówek: a) przynajmniej jedna nie spełnia normy jakości, b) dokładnie jedna nie spełnia normy jakości, c) dokładnie trzy nie spełniają normy jakości, d) wszystkie żarówki spełniają normy jakości? Zadanie 24. W urnie jest n kul, w tym 20 białych. Jakie musi być n, aby przy losowaniu z urny dwóch kul bez zwracania prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych było nie mniejsze niż 0,4? Zadanie 25. W urnie znajduje się 10 kul w tym pewna liczba kul czerwonych. Jaka najmniejsza liczba kul czerwonych zapewnia w losowaniu bez zwracania prawdopodobieństwo dwukrotnego wylosowania kuli czerwonej przynajmniej 0,2? Zadanie 26. W urnie jest 115 losów, z których 16 wygrywa. Obliczyć prawdopodobieństwo, że nabywca trzech losów nabył: a) przynajmniej jeden los wygrywający, b) dokładnie jeden los wygrywający. Zadanie 27. Rzucono trzema symetrycznymi kostkami naraz. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) suma oczek na trzech kostkach jest równa 12, b) suma oczek na trzech kostkach jest równa przynajmniej 12, c) suma oczek na trzech kostkach jest nie większa niż 12, d) suma oczek na trzech kostkach wynosi co najwyżej 12. Zadanie 28. Student zna odpowiedzi na 20 spośród 50 pytań przygotowanych przez profesora. Na egzaminie otrzymuje pięć pytań. Wiadomo, że liczba pytań, na które odpowie poprawnie jest oceną z egzaminu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że student zda egzamin. Zadanie 29. Student zna odpowiedzi na 20 spośród 50 pytań przygotowanych przez profesora. Na egzaminie otrzymuje pięć pytań. Wiadomo, że liczba pytań, na które odpowie poprawnie jest oceną z egzaminu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że student zda egzamin na piątkę. Zadanie 30. Na egzaminie ze statystyki student otrzymuje pięć pytań spośród 50 przygotowanych przez profesora. Wiadomo, że liczba pytań, na które odpowie poprawnie jest oceną z egzaminu. Ile odpowiedzi powinien znać student przed egzaminem, aby zdać egzamin z prawdopodobieństwem przynajmniej 0,5? Zadanie 31. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia szóski w Dużego Lotka. Zadanie 32. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia przynajmniej trójki w Dużego Lotka. Zadanie 33. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia czwórki w Dużego Lotka. Zadanie 34. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia trójki w Dużego Lotka. Zadanie 35. Rzucamy monetą tak długo, dopóki dwa razy pod rząd nie upadnie orzeł. Obliczyć prawdopodobieństwo, że doświadczenie zakończy się po trzech rzutach.

4 Zadanie 36. Spośród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy kolejno dwie bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest równa 14? Zadanie 37. Spośród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, losujemy kolejno dwie bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest nie większa niż 12? Zadanie 38. Z siedmiu odcinków o długościach: 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10 wybieramy losowo trzy. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze z wybranych odcinków można skonstruować trójkąt? Zadanie 39. W sklepie znajdują się żarówki wyprodukowane przez dwa zakłady Z1 i Z2. Wiadomo, że zakład Z2 dostarcza dwa razy tyle żarówek co zakład Z1. W produkcji zakładu Z1 żarówki wadliwe stanowią 6%, zaś w produkcji zakładu Z2 odsetek ten wynosi 4%. Zakłada się, ze w magazynie w czasie pakowania żarówki wymieszano. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kupujący jedną żarówkę kupi dobrą żarówkę? Zadanie 40. Z talii 52 kart wyciągamy losowo jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to: a) as, b) trefl? Zadanie 41. W urnie jest 5 kul białych i 7 czarnych. Z urny wyjmujemy losowo jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała? Zadanie 42. Rzucamy 5 razy symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że choć raz wypadnie szóstka? Zadanie 43. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania w totolotku a) szóstki b) piątki lub szóstki. Zadanie 44. W urnie jest 9 kul numerowanych cyframi od 1 do 9. Losujemy kolejno dwie kule, nie zwracając ich do urny. Z cyfr na wylosowanych kulach tworzymy liczbę dwucyfrową: cyfra wylosowana na pierwszej kuli jest cyfrą jedności, druga cyfrą dziesiątek. Zakładamy, że rezultaty losowania są jednakowo prawdopodobne. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że a) otrzymana liczba jest parzysta, b) obie cyfry są nieparzyste. Zadanie 45. W urnie znajduje się 5 kul; 3 z nich są czarne, a 2 białe. Losujemy z urny kulę, zwracamy ją do urny i dosypujemy jeszcze dwie kule tego samego koloru. Następnie losujemy kulę z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosujemy kulę czarną? Zadanie 46. Trzy elementy można połączyć na trzy sposoby według poniższych schematów: a) b) c)

5 Obliczyć prawdopodobieństwa awarii każdego z układów, jeśli prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy każdego z elementów jest jednakowe i równe 0,2. Który z układów ma największe prawdopodobieństwo awarii? Zadanie 47. Średnio 10% produkcji danego wydziału to braki. Każdy z detali przechodzi przez serię stanowisk kontroli jakości pracujących niezależnie od siebie i przepuszczających wyrób dobry z prawdopodobieństwem 0,9, a wyrób wadliwy z prawdopodobieństwem 0,2. Podać najmniejszą liczbę stanowisk potrzebną do tego, by w partii, która przejdzie przez wszystkie stanowiska kontroli z wynikiem pozytywnym, prawdopodobieństwo znalezienia braku było 4 mniejsze niż Zadanie 48. Strzelec strzela do tarczy podzielonej na trzy pola. Prawdopodobieństwo trafienia w pierwsze pole wynosi 0,45, a w drugie 0,40. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że strzelec w jednym strzale trafi w pierwsze, albo drugie pole. Zadanie 49. Zakłady metalowe kooperują z trzema odlewniami. Z poszczególnych odlewni pochodzi odpowiednio: 20%, 30% i 50% odlewów. Na podstawie obserwacji wiadomo, ze odlewy dostarczane z pierwszej odlewni zawierają 2% odlewów z ukrytymi wadami, z drugiej 9%, a z trzeciej 3%. Stwierdzono, że pewien odlew posiada ukrytą wadę. Z której odlewni najprawdopodobniej pochodzi? Zadanie 50. Na 10 klockach są wyrzeźbione litery: a, a, k, s, s, t, t, t, y, y. Bawiące się nimi dziecko układa je w rząd. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ułoży ono słowo statystyka? Zadanie 51. Zapotrzebowanie przemysłu na czółenka tkackie pokrywane jest w 40% przez zakład Z1, w 35% przez Z2 w 25% przez Z3. Wiadomo, że w produkcji Z1 braki stanowią 0,8%, w Z2 1,2%, w Z3 1,5%. Zakupione jedno czółenko okazało się brakiem. Oblicz prawdopodobieństwo, że zostało ono wyprodukowane przez Z2. Zadanie 52. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrany w sposób losowy punkt kwadratu 2 2 {( x, y ) : x 1, y 1} jest punktem leżącym wewnątrz okręgu {( x, y ) : x y 1}.