c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

Transkrypt

1 Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 ( ( 9 8 ( ( Zadanie. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo ułożenia słowa: MATEMATYKA ( Zadanie. Z miasta A do miasta B prowadzi n dróg, z miasta B do miasta C prowadzi m dróg. Na ile sposobów można przejść trasę A-B-C? n m Zadanie. W klasie nauczają 0 przedmiotów. W poniedziałek odbywa się lekcji (wszystkie inne. Na ile sposób można rozpisać plan lekcji na poniedziałek? Zadanie. Ile jest liczb pięciocyfrowych, które dzielą się przez? Zadanie. Spośród 0 mężczyzn i kobiet wybrano osobową delegację. Zakładamy, że każda osoba miała tę samą szansę wyboru. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w skład delegacji weszła co najmniej jedna kobieta. ( 0 ( (

2 Zadanie 7. Na loterii jest 0 losów, z których są wygrywające. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych losów: a dokładnie jeden wygrywa, b przynajmniej jeden wygrywa? a ( 7 ( ( 0 ( b ( 7 ( 0 (7 Zadanie 8. W klasie liczącej 0 uczniów, w tym dziewcząt, 0 uczniów w tym 8 dziewcząt uczy się dodatkowo języka angielskiego. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń uczący się angielskiego okaże się chłopcem? Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany uczeń uczy się angielskiego, przez C - że jest chłopcem, D - dziewczyną. Szukanym prawdopodobieństwem jest P (C A = P (C A P (A P (C A = 0 P (A = 0 0 P (C A = 0 = Zadanie 9. W grupie 0 osób, w tym 70 mężczyzn zdających na wyższe studia techniczne, absolwentami techników jest 0% mężczyzn i 0% kobiet. Z grupy tej wybrano losowo jedną osobę i okazało się, że jest ona absolwentem technikum. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna. (9 Zadanie 0. W pierwszej puszce są losy wygrywające i 7 przegrywających, w drugiej wygrywających i przegrywające. Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadnie mniej niż oczka, to losujemy z pierwszej puszki, w przeciwnym wypadku z drugiej puszki. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: wyciągnięty los jest wygrywający. P (Z = P (pp (Z p P (pp (Z p = 0 9 = 7 (0 70 Zadanie. W dwóch urnach znajdują się kule. W urnie pierwszej: kul białych i kule czarne. W urnie drugiej: białych i czarne. Rzucamy monetą. Jeżeli wypadnie reszka losujemy kule z pierwszej urny, natomiast, jeżeli wypadnie orzeł z drugiej urny losujemy kule. Oblicz (8

3 prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul jest co najmniej kula czarna. Obliczamy prawdopodobieństwo nie wylosowania kuli czarnej. P (B = P (U P (B U P (U P (B U = ( ( ( 8 ( ( 9 ( więc P (C = P (B ( Zadanie. Rzucamy dwiema kostkami. Czy zdarzenie A: wyrzucono w sumie parzystą liczbę oczek, i zdarzenie B: wyrzucono razem co najmniej 8 oczek, są zdarzeniami niezależnymi? P (A = 8 = P (B = P (A B = 9 = P (AP (B P (A B ( Zadanie. Spośród liczb,,, 0 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie, polegające na wylosowaniu liczby parzystej, B - podzielnej przez, C - podzielnej przez. Zbadać niezależność zdarzeń A, B i C. P (A = P (B = P (C = P (A B = P (B C = P (A C = P (A B C = ( więc ale P (A B = P (AP (B P (B C = P (BP (C P (A C = P (AP (C ( P (A B C P (AP (BP (C ( Zadanie. Strzelcy oddają po jednym strzale do tarczy. Strzelec I trafia z prawdopodobieństwem 0.8, strzelec II - z prawdopodobieństwem 0.9. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a tarcza zostanie trafiona co najmniej raz b tarcza została trafiona razy a 0.98 b 0.7 Zadanie. Rzucamy dwukrotnie kostką. Niech X oznacza sumę wyrzuconych oczek. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X.

4 x i p i Zadanie. Strzelec strzela raz do celu składającego się z koła i z dwóch koncentrycznych pierścieni. Prawdopodobieństwa trafienia w koło i w pierścienie są odpowiednio równe 0.0, 0. i 0.0. Obliczyć prawdopodobieństwo nietrafienia do celu. -(0.0.0.=0. Zadanie 7. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia z talii kart figury dowolnego koloru lub karty pikowej? (figury to: król, dama i walet Zadanie 8. W szufladzie jest 0 monet po 0 kopiejek, monet po kopiejek i monety po 0 kopiejek. Wyjęto na chybił trafił sześć monet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wartość ich sumy nie przekroczy jednego rubla? ( 7 ( ( 0 ( 0 ( ( ( 0 ( ( 0 ( ( ( 0 ( ( 0 0. (7 Zadanie 9. Rejestracja samochodowa składa się z liter i cyfr. Ile istnieje różnych rejestracji samochodowych, jeżeli wykorzystujemy litery z alfabetu? 0 Zadanie 0. Mamy dwie partie wyprodukowanych przedmiotów, przy czym wiadomo, że wszystkie przedmioty jednej partii odpowiadają wymaganiom technicznym, a przedmiotów drugiej partii jest złej jakości. Przedmiot wzięty z losowo wybranej partii był dobrej jakości. Obliczyć prawdopodobieństwo, że drugi przedmiot wyjęty z tej samej partii będzie złej jakości, jeżeli pierwszy przedmiot po sprawdzeniu zwrócono z powrotem do partii. Można postawić dwie hipotezy: H - wzięto partię z przedmiotami złej jakości, H - wzięto partię zawierającą przedmioty dobrej jakości. Zdarzenia A polega na tym, że pierwszy przedmiot jest dobrej jakości. Zgodnie z warunkami zadania mamy P (H = P (H =, P (A H =, P (A H =. Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy prawdopodobieństwo zdarzenia A równe P (A = ( = 7 (8 8 Po pierwszej próbie prawdopodobieństwo, że partia zawiera przedmioty złej jakości, jest równe P (H A = P (H P (A H P (A = 7 8 Prawdopodobieństwo, że partia zawiera tylko przedmioty dobrej jakości, wynosi P (H A = 7 = 7 (9 (0

5 Niech zdarzenie B polega na tym, że przy drugiej próbie przedmiot był złej jakości. Prawd. tego zdarzenia także znajduje się ze wzoru na prawd. całkowite. Jeżeli p i p są prawd. hipotez H i H po pokonaniu pomiaru, to zgodnie z poprzednimi obliczeniami p = 7 i p = 7. Ponadto P (B H =, P (B H = 0. A więc szukane prawd. P (B = 7 = 8 Zadanie. Rzut X wektora wodzącego punktu losowego okręgu o promieniu a na średnicę ma dystrybuantę dla x a F (x = arcsin x dla a < x < a ( π a 0 dla x a Obliczyć: a prawdopodobieństwo tego, że X znajdzie się w przedziale ( a, a b gęstość prawdopodobieństwa ( a b P ( a < X < a = F ( a F ( a = π arcsin = f(x = ( F (x = π a x dla x ( a, a 0 dla reszta ( ( Zadanie. Dystrubuanta zmiennej losowej X ma postać dla x > F (x = x dla 0 x 0 dla x < 0 ( Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. ( dla x (0, f(x = 0 dla reszta ( Zadanie. Przy jakiej wartości a funkcja f(x = jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X? a Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X a x < x < (7

6 b Znaleźć prawdopodobieństwo trafienia zmiennej losowej X do przedziału (,. a b f(xdx = a arctan(x F (x = x = a(π π = aπ = a = π f(tdt = π arctan(t x = π arctan x P ( < X < = F ( F ( = π (arctan arctan( = (8 (9 (0 Zadanie. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest określona następującą tabelką x (, 0] (0, ] (, ] (, 7] (7, F(x Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej. Obliczyć P ( X. p = P (X = 0 = lim F (x F (0 = 0. ( x 0 p = P (X = = lim F (x F ( = 0. ( x p = P (X = = lim F (x F ( = 0. ( x p = P (X = 7 = lim F (x F (7 = 0. ( x 7 P ( X = F ( F ( = = 0. ( Zadanie. Funkcja prawdopodobieństwa wyznaczona jest przez tabelkę: Wyznaczyć: a dystrybuantę i jej wykres b prawdopodobieństwo P (X < c prawdopodobieństwo P (X = a x i p i

7 x (, ] (,] (, ] (,] (, ] F (x b c P (X < = F ( = 0. ( P (X = = lim F (x F ( = = 0. (7 x 7