Trochę zadań kombinatorycznych. 1. na ile sposobów można siedmiu stojących na peronie pasażerów umieścić w trzech wagonach?
|
|
- Krystian Krajewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Trochę zadań kombiatoryczych 1. a ile sposobów moża siedmiu stojących a peroie pasażerów umieścić w trzech wagoach? 2. Na szachowicy o wymiarach umieszczamy 8 ierozróżialych wież szachowych tak aby żade dwie ie biły się. Na ile to moża zrobić sposobów? Jak zmiei się liczba sposobów jeśli założymy, że wieże są rozróżiale? 3. Na ile sposobów moża podzielić 24 studetów a dwie dwuastoosobowe grupy podczas kolokwium? 4. Na ile sposobów moża wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 11 chłopców i 13 dziewczyek, tak by w skład delegacji wchodziło więcej chłopców iż dziewczyek? 5. Ile jest możliwości ustawieia 24 osobowej klasy w szeregu tak, by każdy uczeń stał a miejscu o umerze k, gdzie k 3, zaś ozacza umer uczia a liście w dzieiku. 6. Na ile sposobów moża wybrać 13 kart z 52 kartowej talii tak, by w pewym kolorze mieć 7 kart, zaś w pozostałych po dwie karty? 7. Gramy w pokera talią 24 kartową. Na ile sposobów moża otrzymać z ręki 5 kart staowiących a) parę b) dwie pary c) trójkę d) fulla e) karetę f) kolor g) pokera? 8. Ile różych (iekoieczie sesowych) słów 12 literowych moża ułożyć permutując litery słowa DEGRENGOLADA? 9. Na ile sposobów moża wybrać trzy róże wierzchołki 12 kąta foremego by tworzyły oe trójkąt prostokąty? A rozwartokąty? 10. Na ile sposobów moża rozdać 28 kostek domia czterem graczom? 11. Na ile sposobów moża umieścić N listów w N zaadresowaych kopertach tak, by żade ie trafił do właściwego adresata? 1
2 Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa Daa jest przestrzeń probabilistycza (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalym i F = 2 Ω. Udowodij, że istieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A) = ω A p ω dla wszystkich A F. 2. Opisać wszystkie przestrzeie probabilistycze z przeliczalym zbiorem zdarzeń elemetarych Ω. 3*. Udowodij, że każde ieskończoe σ-ciało jest ieprzeliczale. 4. Udowodij astępujące tożsamości (lim sup A ) = lim if(a ), (lim if A ) = lim sup(a ), lim if A lim sup A, lim sup(a B ) = lim sup A lim sup B, lim sup A lim if B lim sup(a B ) lim sup A lim sup B, A A lub A A to A = lim sup A = lim if A. 5. Wykaż, że jeśli A = (, x ) oraz x = lim sup x to lim sup A = (, x) lub (, x] oraz oba te przypadki mogą zajść. 6. Udowodij, że astępujące dwie pseudometryki a F ρ 1 (A, B) = (A B) { (A B) ρ 2 (A, B) = (A B) jeśli (A B) > 0 0 jeśli (A B) = 0 spełiają waruek trójkąta. 7*. Rzucamy moetą dopóki ie wypadą dwa orły pod rząd. Zaleźć prawdopodobieństwo, że rzucimy dokładie k razy. 8. Klasa liczy 15 ucziów, a każdej lekcji do odpowiedzi jest losoway jede uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 16 lekcji każy uczeń będzie przepytay. 9. W szafie zajduje się par butów, a chybił trafił wybieramy z ich 2k butów przy czym 2k <. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) wśród wylosowaych butów jest coajmiej jeda para, b) wśród wylosowaych butów jest dokładie jeda para. 10*. Roztrzepaa sekretarka rozmieściła losowo N listów w N uprzedio zaadresowaych kopertach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dokładie k listów trafiło do właściwej koperty. 11. W rozróżialych urach umieszczoo w sposób losowy k rozróżialych kul. Oblicz prawdopodobieństwo p m (k, ), że dokładie m ur pozostaie pustych 0 m 1. (Wskazówka: policz ajpierw p 0 (k, )). 2
3 Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa Na loterii jest 10 losów wygrywających, 100 przegrywających i 1000 uprawiających do kolejego losowaia. Jakie jest prawdopodobieństwo wygraia? 2. Z talii 24 kartowej losujemy 5 kart bez zwracaia. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowaliśmy dokładie 3 asy jeśli wiadomo, że a) mamy coajmiej jedego asa b) mamy asa czarego koloru c) mamy asa pik d) pierwszą wylosowaą kartą jest as e) pierwszą wylosowaą kartą jest czary as f) pierwszą wylosowaą kartą jest as pik. 3.* (schemat urowy olya) Ura zawiera b kul białych i c kul czarych. Wykoujemy kolejo astępujące doświadczeie: losujemy z ury kulę, a astępie wkładamy ją z powrotem do ury, a wraz z ią dokładamy do ury a kul tego samego koloru. Udowodij, że prawdopodobieństwo wylosowaia w -tym losowaiu kuli białej jest b b+c. 4. rawdopodobieństwo, że losowo wybraa rodzia ma dzieci jest rówe { αp = 1, 2,... p = 1 =1 αp = 1 αp 1 p = 0 Zakładając, że wszystkie 2 rozkładów płci dzieci w rodziie o dzieciach jest rówoprawdopodobe oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybraa rodzia ma a) coajmiej jedą córkę b) dokładie jedą córkę? c) Losowo wybraa rodzia ma przyajmiej jedą córkę, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest oa jedyaczką? 5.* Dwaj gracze rzucają symetryczą moetą aż pojawi się ciąg OOO lub ORO. Jeśli ajpierw pojawi się OOO wygrywa gracz A, jeśli ORO gracz B. a) Udowodij, że z prawdopodobieństwem 1 gra się zakończy b) Jakie są szase, że grę wygra gracz A? 6.* Dwaj gracze grają w orła i reszkę moetą symetryczą. Jeśli wypadie orzeł gracz A płaci B 1 zł., jeśli reszka to B płaci A 1 zł. Gra się kończy, gdy któryś z graczy zostaie bez pieiędzy. Na początku gry gracz A ma a zł., a B b zł. a) Oblicz prawdopodobieństwo, że grę wygra gracz A. b) Jak zmiei się to prawdopodobieństwo, jeśli moeta jest sfałszowaa tz. orzeł wypada z prawdopodobieństwem p 1/2? 7.* Udowodij, że ie istieje prawdopodobieństwo określoe a wszystkich podzbiorach Z + takie, że dla wszystkich k, (A k ) = 1/k, gdzie A k jest zbiorem liczb podzielych przez k. 8.* Załóżmy, że koła rozłącze B(x i, r i ) są zawarte w pewym prostokącie oraz pokrywają te prostokąt z dokładością do zbioru miary 0. Wykaż, że i r i =. 3
4 Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa odaj przykład rodziy zbiorów A oraz dwu miar probabilistyczych pokrywających się a A, ale ie a σ(a). 2. Udowodij, że dla dowolych zdarzeń probabilistyczych a) ( A i) = k=1 ( 1)k 1 1 i 1<...<i k (A i 1... A ik ) b*) ( A i) m k=1 ( 1)k 1 1 i 1<...<i k (A i 1... A ik ) dla m ieparzystych c*) ( A i) m k=1 ( 1)k 1 1 i 1<...<i k (A i 1... A ik ) dla m parzystych. 3* Wykaż, że jeśli zdarzeia A i są parami iezależe oraz (A i) = to (lim sup A i ) = Na kiju długości l wybrao a chybił trafił 2 pukty i w tych puktach przełamao kij. Oblicz prawdopodobieństwo, że z otrzymaych 3 kawałków moża zbudować trójkąt. 5. (Igła Buffoa) Igłę o długości l rzucoo w sposób losowy a płaszczyzę z zazaczoymi liiami rówoległymi. Odległość między sąsiedimi liiami wyosi d > l. Oblicz prawdopodobieństwo, że igła przetie którąś z liii. 6* Wielokąt wypukły o średicy miejszej iż d rzucoo a płaszczyzę poliiowaą jak w poprzedim zadaiu. Oblicz prawdopodobieństwo, że wielokąt przetie którąś z liii. 7* Udowodij, że w defiicji iezależości zdarzeń każde z 2 1 rówań jest iezbęde (tz. jeśli odrzucimy jedo z rówań to istieją zdarzeia zależe spełiające wszystkie pozostałe rówaia). 8. Dla A F zdefiiujmy A 1 = A i A 1 = A. Udowodij, że dla dowolych A 1,..., A F i ε 1,..., ε { 1, 1} zdarzeia A 1,..., A są iezależe wtedy i tylko wtedy gdy zdarzeia A ε1 1,..., Aε są iezależe. 9. Oblicz prawdopodobieństwo, że w schemacie Beroulliego w próbach i prawdopodobieństwu sukcesu w pojedyczej próbie rówym p będzie parzysta liczba sukcesów. 10. Dwaj gracze rzucają symetryczą moetą razy, jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymają tę samą liczbę orłów? 11. Rzucamy wielokrotie parą symetryczych kości. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek rówa 7 wypadie przed sumą oczek Udowodij, że z prawdopodobieństwem 1 w ciągu iezależych rzutów moetą wystąpi każdy skończoy ciąg złożoy z orłów i reszek. 13. Zdarzeia A 1, A 2,... są iezależe i mają rówe prawdopodobieństwa. Jaka jest szasa, że zajdzie ieskończeie wiele spośród zdarzeń A i? 4
5 Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 4 1* Niech F : R [0, 1] będzie prawostroie ciągłą iemalejącą fukcją taką, że F ( ) = 1 oraz F ( ) = 0. Na odciku [0, 1] z miarą Lebesgue a skostruuj zmieą losową, która ma dystrybuatę F. 2* Wykaż, że dwie ograiczoe zmiee losowe X, Y są iezależe wtedy i tylko wtedy gdy E(X Y m ) = EX EY m dla dowolych liczb aturalych i m. 3. Załóżmy, że (E, E) jest przestrzeią mierzalą oraz A pewą klasą podzbiorów E taką, że σ(a) = E. Niech X, Y będą zmieymi losowymi o wartościach w (E, E) takimi, że (X A) = (Y A) dla wszytkich A A. Wykaż, że powyższe założeia ie implikują rówości rozkładów X i Y. 4. a) okazać, że fukcje Rademachera r (x) = sg(cos(2 πx)) są iezależymi zmieymi losowymi w ([0, 1], B([0, 1]),. ) b) dla t [0, 1] i = 1, 2,... iech X (t) ozacza -tą cyfrę rozwiięcia dwójkowego liczby t (w przypadku dwu rozwiięć wybieramy p. to ze skończoą liczbą 1). Udowodij, że X 1, X 2,... są iezależymi zmieymi losowymi w ([0, 1], B([0, 1]),. ). 5. Niech ε 1, ε 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych takich, że (ε i = ±1) = 1 2 (zob. zad. 4.). Dla skończoych podzbiorów A liczb całkowitych dodatich zdefiiujmy fukcje Walsha { w A = i A ε i jeśli A 1 jeśli A = a) zajdź rozkład w A b) wykaż, że w A, w B są iezależe gdy A B. Czy w A, w B, w C muszą być iezależe dla różych ideksów A, B, C? 6. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie z ciągłą dystrybuatą F. Dla ω Ω iech X 1 (ω),..., X (ω) będzie ustawieiem X 1 (ω),..., X (ω) w porządku rosącym X 1 (ω) X 2 (ω)... X (ω) (czyli w szczególości X 1 = mi(x 1,..., X ), X = max(x 1,..., X ). Zajdź dystrybuatę X k dla k = 1,..., (X k azywamy k-tą statystyką porządkową ciągu X 1,..., X ) 7. Niech X (j) i, 1 i j, j = 1, 2,... będą iezależymi zmieymi losowymi, a f j fukcjami mierzalymi a R j. Czy zmiee f j (X (j) 1,..., X(j) j ), j = 1, 2... są iezależe? Odpowiedź uzasadij. 8* Załóżmy, że X, Y zmiee losowe takie, że X jest σ(y )-mierzale tz. σ(x) σ(y ).Udowodij, że istieje ϕ : R R mierzala taka, że X = ϕ(y ). 9* Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem iezależych rzeczywistych zmieych losowych. Określmy Y := lim sup X, Z := lim if X. Udowodij, że Y i Z są zdegeerowaymi zmieymi losowymi tz. istieją c, d R {± } takie, że (Y = c) = (Z = d) = 1. 10* Czy a odciku [0, 1] istieją dwie iestałe fukcje ciągłe, będące iezależymi zmieymi losowymi względem miary Lebesgue a? 5
6 Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa Niech X, Y będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie geometryczym z parametrami odpowiedio p i r. Oblicz (X < Y ). 2. Rozwiąż zadaie j.w., ale w przypadku gdy X i Y mają rozkład wykładiczy z parametrami λ i µ. 3. Zmiee losowe X i Y są iezależe, przy czym dystrybuata X jest ciągła. Wykaż, że (X = Y ) = Na skrzyżowaiu ulic a pewym kieruku światło czerwoe świeci się 2 miuty, zaś światło zieloe 1 miutę (zakładamy, że ie ma światła żółtego). W losowym momecie samochód przyjeżdża a skrzyżowaie, ozaczmy przez X długość oczekiwaia a światło zieloe. a) Zajdź rozkład X b) Zajdź wartość oczekiwaą i wariację X. 5* Niech X będzie iestarzejącą się zmieą losową tz. t,s>0 (X > s + t X > s) = (X > t) (zakładamy, że (X > t) > 0 dla wszystkich t). Udowodij, że X ma rozkład wykładiczy. 6* Niech ε 1, ε 2,... będą iezależymi symetryczymi zmieymi losowymi Beroulliego tz. (ε i = ±1) = 1/2. Jaki rozkład ma zmiea X = 2 i ε i? 7. Udowodij, że dla dowolych liczb rzeczywistych a 1,..., a E( a i ε i ) 4 3(E( a i ε i ) 2 ) 2, gdzie ε 1,..., ε są takie jak w poprzedim zadaiu. Wykaż, że stałej 3 ie moża poprawić. 8* Roztrzepaa sekretarka umieściła w sposób losowy N listów w N uprzedio zaadresowaych kopertach. Niech X ozacza liczbę listów, które trafiły do właściwej koperty. Zajdź wartość oczekiwaą i wariację X. 9* Niech F będzie dystrybuatą pewej zmieej losowej X. Udowodij, że jeśli F jest fukcją różiczkowalą w każdym pukcie, to X ma rozkład ciągły. 10* rzy ozaczeiach jak w zadaiu 7 wykaż, że dla wszystkich t 0 t 2 ( a i ε i t) 2 exp( 2 ). a2 i 6
7 Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa Ura zawiera N kul w tym b kul białych. Losujemy z ury bez zwracaia kul ( N) i defiiujemy zmieą losową X jako liczbę wylosowaych kul białych. Oblicz wartość oczekiwaą i wariację X. 2. Oblicz wartość oczekiwaą i wariację rozkładu gamma Γ(α, β). 3. Niech X będzie miał rozkład N (0, 1). Oblicz E X p dla p R, jak wygląda ta liczba dla p aturalych? 4* X jest rzeczywistą zmieą losową, udowodij, że E X p = p 0 t p 1 ( X t)dt. 5* Rzeczywista zmiea losowa X spełia E X p <, udowodij, że lim t tp ( X t) = 0. 6* (Nierówość Chiczya) Zmiee ε 1, ε 2,... są iezależymi Rademacherami tz. (ε i = ±1) = 1 2. Udowodij, że dla dowolego p > 0 istieje stała C p < zależa tylko od p taka, że dla dowolych liczb a 1, a 2,..., a (E a i ε i p ) 1/p C p 7* X jest ieujemą zmieą losowa, udowodij, że dla λ (0, 1) a 2 i (X > λex) (1 λ) 2 (EX)2 EX Niech (ε i ) będą jak w zadaiu 7. Wykaż, że istieje stała uiwersala c > 0 taka, że dla dowolych liczb a 1, a 2,..., a a*) ( a iε i 1 ) 2 a2 i c b**) ( a iε i ) a2 i c. 7
8 Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa a) X N (a, σ 2 ), jaki rozkład ma bx + c dla b, c R? b) X N (0, 1), zajdź rozkład e X (tzw. rozkład logormaly). c) X, Y iezależe zmiee losowe o rozkładzie N (0, 1), jaki rozkład mają zmiee X + Y, X Y, czy są iezależe? 2. Zmiee X i Y są iezależe i mają rozkład jedostajy a przedziale [0, 1]. Jaki rozkład mają zmiee X + Y oraz X 2 + Y 2? 3. X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie ekspoecjalym z parametrami λ i µ, zajdź rozkład zmieej X/Y. 4. Jaki rozkład ma zmiea X Y, jeśli X i Y są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie wykładiczym? 5. Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o wspólym rozkładzie Exp(λ). Zdefiiujmy S 0 = 0, S 1 = X 1, S 2 = X 1 + X 2,.... Dla t > 0 iech N t = sup{ : S t}. Wykaż, że N t ma rozkład oissoa z parametrem λt. 6. X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie Cauchy ego z parametrami h 1 i h 2, udowodij, że X + Y ma rozkład Cauchy ego z parametrem h 1 + h 2 (iaczej jeśli X, Y iezależe o stadardowym rozkładzie Cauchy ego to h 1 X + h 2 Y (h 1 + h 2 )X). 7. Niezależe zmiee losowe X, Y przyjmują wartości w T = {z C : z = 1}. Co moża powiedzieć o rozkładzie XY jeśli X ma rozkład jedostajy a T? 8* X 0, X 1,... są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie z ciągłą dystrybuatą. Niech N = if{ : X > X 0 }. Zajdź rozkład N i oblicz EN. 9* Udowodij, że dla 0 < λ < 1 2 rozkład =1 λ ε ie jest ciągły (ε 1, ε 2,... są iezależymi zmieymi takimi, że (ε i = ±1) = 1/2). 10* Niech Z będzie zmieą losową Cauchy ego z parametrem 1. Udowodij, że zmiee Z 2 = 2Z ( ) ( 1 Z 2, Z 3Z Z3 3 = 1 3Z 2,..., Z 1 Z = 3) Z 3 + ( 5) Z ( ) 2 Z2 + (,... 4) Z4... mają rozkład Cauchy ego. 8
9 Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy symetryczą moetą. Niech X ozacza łączą liczbę orłów, zaś Y liczbę orłów w pierwszych czterech rzutach. Zajdź E(X Y ) oraz E(Y X). 2* Zmiee losowe X, Y są iezależe o tym samym rozkładzie. Udowodij, że E(X X + Y ) = E(Y X + Y ) = X + Y p.. 2 3* Niech X 1, X 2,... będą iezależymi zmieymi losowymi o wspólym rozkładzie oraz S k = X 1 + X X k. Zajdź dla i, 1 E(X i S, S +1,...) := E(X i σ(s, S +1,...)). 4. Zajdź przykład zmieych losowych X, Y, które ie są iezależe, ale E(X Y ) = EX. 5. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość g(x, y) = Zajdź E(X Y ). { x 3 2 e x(y+1) jeśli x > 0, y > 0 0 w przeciwym przypadku 6. X jest zmieą losową o rozkładzie wykładiczym z parametrem 1, zaś Y - zmieą losową taką, że jeśli X = x, to Y ma rozkład wykładiczy z parametrem X. a) Zajdź rozkład Y, b) Oblicz (X > r Y ). 7. X 1, X 2,..., X są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie jedostajym a przedziale [0, a], oblicz E(X 1 max(x 1,..., X )). 9
10 Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa Niech będzie miarą probabilistyczą a (R 2, B(R 2 )) z gęstością f(x, y) względem miary Lebesgue a (czyli (A) = f(x, y)dxdy). Niech G = A {A R : A B(R)}. Zajdź Π( G) rozkład warukowy względem G. 2. (Wersja twierdzeia Bayesa dla rozkładów warukowych) Załóżmy, że (Ω, F, ) jest przestrzeią probabilistyczą, G F σ-podciałem, zaś Π( G) regularym rozkładem warukowym względem G. Wykaż, że dla wszystkich G G, A F takich, że (A) > 0 zachodzi (G A) = G Π(A G)(ω)d(ω) Ω Π(A G)(ω)d(ω). 3* Załóżmy, że X jest ieujemą zmieą losową a (Ω, F, ) oraz G F σ-podciało. Udowodij, że a) E(X G) = (X > t G)dt p.. 0 b) (X > t G) t k E(X k G) p.. 4. Zmiee X i Y są iezależe, a f jest borelowską fukcją dwu zmieych. Wykaż, że E(f(X, Y ) Y = y) = Ef(X, y) p.. 5* Oblicz E(X X 2 +Y 2 ) i E(X 2 X+Y ), gdy X i Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie jedostajym a [ 1, 1]. 6* X jest zmieą losową taką, że E X p < dla pewego p > 0. Wykaż, że lim p 0+ (E X p ) 1/p = X 0 := exp(e l X ) (przyjmujemy, że e = 0). 7. Dla p < 0 określmy podobie jak dla p > 0, X p = (E X p ) 1/p używając dodatkowej kowecji α = 0 dla α < 0. Wykaż, że X q X p dla < q p. 8. Udowodij, że lim p X p = X := esssup X. 9* Udowodij, że fukcja f(r) := r l E X 1/r jest wypukła dla r (0, ). 10* (Ogóla postać ierówości Chiczya) Wykaż, że dla p, q > 0 istieje stała C p,q < taka, że dla dowolych liczb a 1,..., a (E a i ε i p ) 1/p C p,q (E a i ε i q ) 1/q (ε 1,..., ε - iezależe zmiee losowe takie, że (ε i = ±1) = 1/2) 10
11 Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa Dla przestrzei probabilistyczej (Ω, F, ) określmy Dla X, Y L 0 (Ω, F, ) iech L 0 (Ω, F, ) := {X : Ω R: mierzale}. d 1 (X, Y ) := E mi(1, X Y ), d 2 (X, Y ) := E X Y 1 + X Y. Wykaż, że metryki d 1 i d 2 są rówoważe oraz zbieżość w każdej z tych metryk jest rówoważa zbieżości według prawdopodobieństwa. 2* Wykaż, że zbieżość prawie wszędzie jest iemetryzowala tz. ie istieje metryka a L 0 (Ω, F, ), która metryzowałaby zbieżość prawie a pewo. 3. Udowodij, że dla dowolych zmieych losowych X, Y, X, Y a) jeśli X X i X Y to (X = Y ) = 1 b) jeśli X X i Y X to lim ( X Y > ε) = 0 dla każdego ε > 0 4. Wykaż, że jeśli X X i Y Y to ax +by ax +by dla dowolych liczb rzeczywistych a, b. 5* Udowodij ierówość Levy ego: jeśli X 1,..., X są iezależymi symetryczymi zmieymi losowymi to dla t > 0 gdzie S k = X X k. ( max 1 k S k t) 2( S t), 6* Udowodij, że istieje stała C < taka, że dla dowolych iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie i wartościach w ośrodkowej przestrzei Baacha (F,. ) dla dowolego t > 0 zachodzi ierówość gdzie S k = X X k. ( max 1 k S k Ct) C( S t), 11
12 Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa Udowodij, że dla ciągu ieujemych zmieych losowych X i, X i < p.. wtedy i tylko wtedy gdy E Xi 1+X i <. 2* Zmiee X i oraz ε i są iezależe przy czym (ε i = ±1) = 1 2. Wykaż, że εi X i jest zbieży p.w. wtedy i tylko wtedy gdy X2 i < p.. (proszę udowodić te fakt bez odwoływaia się do twierdzeia Kołmogorowa o trzech szeregach) 3. Zmiee ε i są zdefiiowae jak w poprzedim zadaiu, wykaż, że dla liczb rzeczywistych a i szereg a i ε i jest zbieży p.w. wtedy i tylko wtedy gdy a 2 i <. 4* Z poprzediego zadaia wyika, że S = =1 1 ε jest zbieży p.w. Czy S ma rozkład ciągły? 5. Dla 0 < λ < 1/2 zdefiiujmy zmieą losową S λ = =1 λ ε. Wykaż, że S λ ma ciągłą dystrybuatę oraz czysto sigulary rozkład tz. istieje zbiór borelowski A miary Lebesgue a zero taki, że (S λ A) = 1. 6* Wykaż, że dla dowolych iezależych zmieych losowych X i o wartościach w ośrodkowej przestrzei Baacha szereg X i jest zbieży wg prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieży p.. 7. Zdarzeia A 1, A 2,... są iezależe oraz p = (A ), N = I A i, = 1, 2,.... Udowodij, że wg prawdopodobieństwa. N p 1 + p p 0 8* Fukcja rzeczywista f jest ciągła a [0, 1] 2. Dla x, y [0, 1] określmy B f, (x, y) = f( k, l ( )( ) ) x k (1 x) k y l (1 y) l. k l k,l=0 Udowodij, że B f, (x, y) zbiega jedostajie do f(x, y) a [0, 1] Zmiee X 1, X 2,... są iezależe o jedakowym rozkładzie, 0 X i < 1 p.., udowodij, że X 1 X 2... X 0 p.. 10* Niezależe zmiee losowe X 1, X 2,... mają jedakowy rozkład i spełiają słabe prawo wielkich liczb tz. S / 0. Czy wyika stąd, że: a) t( X 1 t) 0 gdy t ; b) E X 1 <? 12
13 Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa Zmiee losowe X 1, X 2,... są iezależe o wspólym rozkładzie wykładiczym z parametrem λ. okazać, że ciągi zmieych losowych a) X 1X 2 + X 2 X X X +1, b) X 1 + X X X1 2 + X X2 są zbieże prawie a pewo i zaleźć ich graice. 2. Dla ciągu X 1, X 2,... iezależych zmieych losowych o wspólym rozkładzie o skończoej wariacji defiiujemy średią empiryczą m i dystrybuatę empiryczą σ 2 wzorami m = X 1 + X X, σ 2 = 1 1 (X k m ) 2. Udowodij, że E m = EX 1, E σ 2 = Var(X 1 ) (tz. m i σ 2 są ieobciążoymi estymatorami średiej i wariacji) oraz m EX 1, σ 2 Var(X 1 ) prawie a pewo gdy. 3* Day jest ciąg X 1, X 2,... iezależych zmieych losowych o wspólym rozkładzie taki, że EX i = (tz EX 1 < oraz EX+ i = ). Udowodij, że X1+X2+...+X prawie a pewo gdy. 4. Zmiee losowe X 1, X 2,... są iezależe oraz (X i = 1) = p, (X i = 1) = 1 p dla pewego p (1/2, 1]. Wykaż, że X X prawie a pewo gdy. Co się dzieje, gdy p = 1/2? 5** (Sile prawo wielkich liczb Marcikiewicza) Niech X 1, X 2,... będą iezależymi jedakowo rozłożoymi zmieymi losowymi oraz 0 < p < 2. Udowodij, że X 1 + X X p.. 1/p wtedy i tylko wtedy gdy E X p < oraz dodatkowo EX = 0 dla 1 p < 2. k=1 6* rzy założeiach poprzediego zadaia udowodij, że X 1 + X X p.. wtedy i tylko wtedy gdy X i = 0 p... 7** Udowodić, że jeśli X 1, X 2,... są rzeczywistymi zmieymi losowymi parami iezależymi o jedakowym rozkładzie takimi, że E X 1 < to zachodzi Moce rawo Wielkich Liczb tz. lim X i = EX 1 p.. 13
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa I* Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo
Zadaia z rachuku prawdopodobieństwa I* - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym
Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa - 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A)
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Grupę n dzieci ustawiono w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoP ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.
Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoZestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoZadanie 3. ( ) Udowodnij, że jeśli (X n, F n ) jest martyngałem, to. X i > t) E X n. . t. P(sup
Szkice rozwiązań zadań z serii dwuastej oraz części zadań z kartkówki. Zadaie 1. Niech (X, F ) będzie martygałem. Czy X jest domykaly, jeśli ciąg EX l X jest zbieży? X jest zbieży prawie a pewo? X jest
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoWykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług
Bardziej szczegółowo1. Dany odcinek podzielić dwoma punktami na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych części da się zbudować trójkąt?
1.5. Prawdopodoieństwo warukowe 15 Zadaia 1. Day odciek podzielić dwoma puktami a trzy części. Jakie jest prawdopodoieństwo, że z tych części da się zudować trójkąt? 2. Moetę o promieiu r rzucoo a parkiet
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoTrochę zadań kombinatorycznych. 1. na ile sposobów można siedmiu stojących na peronie pasażerów umieścić w trzech wagonach?
Trochę zadań kombinatorycznych 1. na ile sposobów można siedmiu stojących na peronie pasażerów umieścić w trzech wagonach? 2. Na szachownicy o wymiarach n n umieszczamy 8 nierozróżnialnych wież szachowych
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowo8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2
8. Jedostajość Mówimy, że fukcja f : I R spełia waruek Lipschitza ze stałą C > 0, jeśli fx) fy) C x y, x, y I. 8.. Przykład. a) Taką fukcją jest p. si : R [, ]. Rzeczywiście, si x si y = 2 si x y 2 cos
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości
Sceariusz lekcji: Kombiatoryka utrwaleie wiadomości 1 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: za pojęcia: permutacja, wariacja i kombiacja, zdarzeie losowe, prawdopodobieństwo, za iezbęde wzory. b) Umiejętości
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoWykład z Rachunku Prawdopodobieństwa II
Matematyka stosowaa Wykład z Rachuku Prawdopodobieństwa II Adam Osękowski ados@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~ados Uiwersytet Warszawski, 2011 Streszczeie. Celem iiejszego skryptu jest wprowadzeie
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoStatystyka i rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa)
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa) Literatura M. Cieciura, J. Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 005 R.Leiter, J.Zacharski, "Zarys
Bardziej szczegółowoZadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.
. Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie..
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
Kolokwiu r 5: piątek 8..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 40, 50-585. Kolokwiu r 53: piątek 5..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 50, 50-59. Kolokwiu r 54: piątek..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 83, 50-64.
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoP (A B) 7. Rzucamy monet a dopóki nie wypadn a dwa or ly pod rz ad. Znaleźć prawdopodobieństwo,
Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa - 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istniej a liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A)
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowo