Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian"

Transkrypt

1 Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych zawiera co najmniej 3 tomy. Zdarzenie A s oznacza, że z pierwszych dzieł zebranych wzięto s tomów, a zdarzenie B k, że z drugich dzieł zebranych wzięto k tomów. Co oznaczają zdarzenia A B C, A B C, A 1 B 3, A 2 B 2, (A 1 B 3 B 1 A 3 ) C? Zad. 2. Spośród liczb naturalnych wybrano jedną liczbę. Zdarzenie A oznacza, że wylosowana liczba dzieli się przez 5, zdarzenie B, że kończy się ona zerem. Co oznaczają zdarzenia A \ B i A B? Zad. 3. Niech A, B i C będą trzema dowolnymi zdarzeniami. Zapisz zdarzenia: 1. zachodzi tylko A, 2. zachodzą tylko A i B, 3. zachodzą wszystkie trzy zdarzenia, 4. zachodzi przynajmniej jedno z trzech zdarzeń, 5. zachodzą przynajmniej dwa zdarzenia, 6. zachodzi dokładnie jedno zdarzenie, 7. zachodzą dokładnie dwa zdarzenia, 8. nie zachodzi ani jedno zdarzenie, 9. zachodzą nie więcej niż dwa zdarzenia. Zad. 4. Wiadomo, że P (A) = 0, 8, P (B) = 0, 7, P (A \ B) = 0, 2. Obliczyć P (A B), P (B A), P (A B), P (A B), P (A \ B). Zad. 5. Wiadomo, że P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 8, P (A B) = 0, 3. Obliczyć P (A B), P (A \ B), P (A B ), P (A B), P (A B). Zad. 6. W tabeli podano dane dotyczące reakcji pewnej grupy dzieci na przeprowadzony na niej test: wiek liczebność dziewczynki dziewczynki reakcja + chłopcy reakcja + [6, 8) [8, 10) [10, 12) [12, 14) [14, 16) Losujemy jedną osobę z grupy. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba: 1. jest chłopcem co najmniej 10-letnim, 1

2 2. ma wynik ujemny, 3. ma wynik dodatni, jeśli wiadomo, że ma poniżej 12 lat, 4. jest chłopcem, jeśli wiadomo, że wynik jest ujemny. 5. Czy cechy bycie chłopcem i wynik testu jest ujemny są niezależne? Zad. 7. W tabeli podano dane dotyczące wyników testu z matematyki przeprowadzonego w klasach pierwszych szkoły A i szkoły B. Informacje dotyczą czasu potrzebnego do rozwiązania całego (w minutach) testu oraz liczebności testów rozwiązanych bezbłędnie. czas liczba testów w A bezbłędne w A liczba testów w B bezbłędne w B [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) Z wszystkich testów losujemy jeden. Znaleźć prawdopodobieństwo, że: 1. został rozwiązany w czasie krótszym niż 25 minut, 2. zawiera błędy, 3. zawiera błędy i został napisany przez dziecko ze szkoły A, 4. zawiera błąd, jeżeli wiadomo, że został napisany w czasie krótszym niż 20 minut, 5. został napisany w czasie krótszym niż 20 minut, jeżeli wiadomo, że zawiera błąd. 6. Czy cechy test zawiera błąd i czas krótszy niż 20 minut są niezależne? Zad. 8. W fizyce statystycznej rozważa się rozkład (rozmieszczenie) k cząstek w n elementarnych obszarach zwanych komórkami. W zależności od postaci tych cząstek przyjmuje się jedno z trzech następujących założeń: 1. cząstki różnią się między sobą (zatem wzajemna zamiana komórek przez dwie cząstki daje nowy rozkład) i liczba cząstek w danej komórce jest dowolna (statystyka Maxwella Boltzmanna), 2. cząstki są nierozróżnialne między sobą (zatem wzajemna zamiana komórek przez dwie cząstki daje ten sam rozkład istotne jest tylko ile cząstek trafiło do poszczególnych komórek, a nie to jakie to są cząstki) i liczba cząstek w jednej komórce jest dowolna (statystyka Bosego Einsteina), 3. cząstki nie różnią się między sobą i w każdej komórce może się znaleźć co najwyżej jedna cząstka (statystyka Fermiego Diraca). Zakładamy ponadto, ze wszystkie dopuszczalne rozmieszczenia są jednakowo prawdopodobne. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że 2

3 1. k cząstek rozmieści się po jednej w k ustalonych komórkach dla każdej z rozważanych statystyk, 2. w przypadku statystyki Bosego Einsteina znajdzie się dokładnie m cząstek i) w ustalonej komórce, ii) w jednej z n komórek, 3. w przypadku statystyki Bosego Einsteina wszystkie komórki będą zajęte, 4. w przypadku statystyki Maxwella Boltzmanna w pierwszej komórce znajdzie się dokładnie k 1 cząstek, w drugiej k 2 cząstek,..., w n tej k n cząstek. Zad. 9. Prawdopodobieństwo, że dany strzelec trafi w pierwszą tarczę jest równe 2. Jeśli 3 trafi on w tarczę przy pierwszym strzale, to uzyskuje prawo oddania drugiego strzału tym razem do drugiej tarczy. Prawdopodobieństwo, że trafi on w obie tarcze przy dwóch strzałach, jest równe 1. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia w drugą 2 tarczę, jeśli strzelec otrzymał prawo do oddania drugiego strzału. Zad. 10. Z sześciu kartek, na każdej z których jest zapisana jedna litera tworzymy słowo karate. Kartki mieszamy, a potem układamy losowo jedna bok drugiej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po odczytaniu liter zapisanych na kolejnych kartkach otrzymamy słowo kareta? Zad. 11. Obie strony jednego z trzech żetonów są białe, drugiego czarne, a trzeci żeton ma jedną stronę białą, a jedną czarną. Wybieramy w sposób losowy jeden żeton i rzucamy na stół. Jeśli wierzchnia strona po upadnięciu na stół okaże się biała, to jakie jest prawdopodobieństwo, że jego spodnia niewidoczna strona jest także biała? Zad. 12. W grupie składającej się z 2n osób liczba kobiet i mężczyzn jest jednakowa. Osoby z tej grupy siadają losowo wokół okrągłego stołu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żadne dwie osoby tej samej płci nie będą siedziały obok siebie. Zad. 13. Rzucamy dwiema kostkami. Oznaczmy zdarzenia: A 1 ={na pierwszej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek}, A 2 ={na drugiej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek}, A 3 ={suma liczb oczek wyrzuconych na obu kostkach jest liczbą nieparzystą}. Czy zdarzenia te są niezależne parami? Czy zdarzenia A 1, A 2, A 3 są niezależne zespołowo? Zad. 14. Z talii zawierającej 36 kart losujemy jedną kartę. Rozpatrujemy zdarzenia: A 1 ={wylosowana karta jest pikiem} i A 2 ={wylosowana karta jest damą}. Czy zdarzenia te są niezależne? Jaka będzie odpowiedź, gdy talia zawiera 52 karty? Zad. 15. Na n kartonikach jest zapisanych n różnych liczb rzeczywistych. Kartoniki włożono do pudełka, dobrze wymieszano, po czym losowano kolejno bez zwracania. Niech A k ={k-ta wylosowana liczba jest większa od poprzednich}. 1. Pokazać, że P (A k ) = 1, k = 1, 2,..., n. k 3

4 2. * Wykazać, że zdarzenia A 1,..., A n są niezależne. Zad. 16. Partia zawiera N wyrobów, z których n podlega sprawdzeniu. Zostaje ona przyjęta, jeśli wśród tych n wyrobów kontrola wykryje mniej niż m wybrakowanych. Obliczyć prawdopodobieństwo przyjęcia partii, jeśli zawiera ona M wyrobów wybrakowanych. Zad. 17. Do pociągu złożonego z n wagonów, wsiada k pasażerów, k n, którzy wybierają losowo wagony. Obliczyć prawdopodobieństwo, że do każdego wagonu wsiądzie przynajmniej jeden pasażer. Zad. 18. Gracz A otrzymuje informację wyrażającą się poprzez tak lub nie, i oznajmia ją graczowi B. W podobny sposób B przekazuje informację C, a następnie C przekazuje ją D, który ujawnia otrzymaną informację. Każdy z czterech graczy mówi prawdę w jednym przypadku na trzy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że A powiedział prawdę, jeśli wiadomo, że D ujawnił prawdziwy wynik? Zad. 19. W pierwszej z trzech urn znajdują się 2 białe i 4 czarne kule, w drugiej 3 białe i 5 czarnych, a w trzeciej 4 białe i 6 czarnych. Dwie wylosowane kule z pierwszej urny przełożono do drugiej urny, następnie dwie kule z drugiej urny przełożono do trzeciej urny i w końcu dwie kule z trzeciej urny przełożono do pierwszej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1. liczba kul poszczególnych kolorów w każdej z trzech urn nie ulegnie zmianie; 2. liczba kul poszczególnych kolorów w każdej z trzech urn ulegnie zmianie. Zad. 20. Rozporządzamy trzynastoma urnami: Y 1,... Y 13, przy czym Y i zawiera i białych oraz 13 i czarnych kul, i = 1,..., 13. Wybieramy jedną z tych urn, przy czym prawdopodobieństwo wybrania każdej z nich jest proporcjonalne do liczby znajdujących się w niej kul białych. Z wybranej urny losujemy dwie kule, które okazują się różnych kolorów. Do której z urn należą z największym prawdopodobieństwem te dwie kule? Zad. 21. Podczas gry w brydża talią 52 kart jeden z czterech graczy nie dostał ani jednego asa w kolejnych trzech rozdaniach. Czy ma on podstawę do uskarżania się, że mu nie idzie karta? Zad. 22. W bibliotece znajdują się książki z zakresu techniki i matematyki. Dowolny czytelnik wybiera książkę matematyczną z prawdopodobieństwem 0,7, a książkę techniczną z prawdopodobieństwem 0,3. Zakładając, że każdy czytelnik wybiera tylko po jednej książce, oblicz prawdopodobieństwo, że pięciu kolejnych czytelników wybierze książki z tej samej dziedziny. Zad. 23. Co jest bardziej prawdopodobne przy grze z przeciwnikiem równej klasy z wykluczeniem remisów: 1. wygranie trzech z czterech partii, czy wygranie pięciu partii z ośmiu, 4

5 2. wygranie nie mniej niż trzech z czterech partii, czy wygranie nie mniej niż pięciu z ośmiu partii? Zad. 24. Prawdopodobieństwo zawiedzenie dowolnego urządzenia przy sprawdzaniu jego niezawodności jest równe 0,2. Ile urządzeń należy sprawdzić, żeby prawdopodobieństwo znalezienia przynajmniej trzech urządzeń niesprawnych było mniejsze niż 0,9? Zad. 25. Obliczyć najbardziej prawdopodobną liczbę błędów ujemnych i dodatnich przy czterech pomiarach i wyznaczyć odpowiednie prawdopodobieństwa, jeśli przy dowolnym pomiarze prawdopodobieństwo błędu dodatniego jest równe 2 3, a prawdopodobieństwo błędu ujemnego jest równe 1 3. Zad. 26. Najbardziej prawdopodobną liczbą detali dobrej jakości w partii złożonej z 90 detali jest 82. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany detal z tej partii będzie dobrej jakości? Zad. 27. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w czasie wykonywania 500 niezależny prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie 0,004 zaobserwuje się nie więcej niż trzy sukcesy? Zad. 28. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w 810 rzutach symetryczną kostką liczba szóstek zmieści się w przedziale [155,185]? Zad. 29. Wydział kontroli jakości fabryki produkującej części elektroniczne stwierdził, że 2% tych części jest wadliwych. Znajdź prawdopodobieństwo, że w próbce liczącej 1000 części znajdzie się od 20 do 30 (włącznie) części wadliwych. Zad. 30. Rzucamy n razy prawidłową monetą. Jak duże musi być n, aby z prawdopodobieństwem 0,9 liczba wyrzuconych orłów była zawarta pomiędzy 0, 48n a 0, 52n? Zad. 31. Wiadomo, że prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca wynosi w przybliżeniu 0,512. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród noworodków będzie 1. nie mniej dziewczynek niż chłopców, 2. co najmniej o 200 chłopców więcej niż dziewczynek? 5

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia drugie Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 14 października 2011

Bardziej szczegółowo

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B; Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.

Bardziej szczegółowo

Zdarzenie losowe (zdarzenie)

Zdarzenie losowe (zdarzenie) Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp. Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3. Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA ( ) PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B ( ) WIĘC CO OZNACZA, ŻE ZDARZENIE B NIE MA WPŁYWU

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2 Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku

Bardziej szczegółowo

Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki

Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Pochodne funkcji i jej zastosowania 1. Oblicz pochodną funkcji f, gdy: a) f(x) = 3x 8 + 2 x + 3 7, b) f(x) = x 11 6x 5 + 2 x + 3 x, c)

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I

Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 07.10.2011 Spis treści 1 Kombinatoryka 1 1 Kombinatoryka permutacja bez powtórzeń

Bardziej szczegółowo

Rzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne?

Rzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne? Zad. Rzucamy 0 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 0 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 0 razy są zależne? Zad. Badania statystyczne przeprowadzone wśród studentów wykazały,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12. IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Rzucamy sześcienna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadna co najmniej dwa oczka. ZADANIE 2 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa 01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne

Bardziej szczegółowo

04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite,

04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, 04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa Definicja. 1. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B > 0, nazywamy

Bardziej szczegółowo

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR) .. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Co powinienem umieć Umiejętności znam pojęcie zdarzenia elementarnego znam pojęcie doświadczenia losowego i potrafię

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 1. Kombinatoryka

Laboratorium nr 1. Kombinatoryka Laboratorium nr 1. Kombinatoryka 1. Spośród n różnych elementów wybieramy k elementów. Na ile sposobów możemy to uczynić? Wypisać wszystkie możliwe wybory w przypadku gdy n=3 i k=2. Wykonać obliczenia

Bardziej szczegółowo

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6 Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna

Bardziej szczegółowo

Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.

Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum. Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda

15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda 1. Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr(cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach

Bardziej szczegółowo

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE

Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE Zadanie 1. Skoczek spadochronowy skacze nad kwadratową wyspą o boku 20km. Na środku wyspy znajduje się prostokątne lądowisko o wymiarach 2x3 km. Jakie jest prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zadanie PP RP 1. Z pojemnika, w którym znajdują się cztery losy z numerami 112, 121, 211, 212 losujemy trzy razy po jednym losie, po każdym losowaniu zwracając wylosowany los do pojemnika. Oblicz prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność

Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność przypomnienie pojęć ĆWICZENIA Piotr Ciskowski zdarzenie losowe ćwiczenie 1. zbiory Stanisz zilustruj następujące pojęcia: o A B o A B o A

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL?

Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL? Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa (Fizyka i Optyka) Lista zadań Marek Klonowski Wrocław 2015/16 Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL? 2. Ile jest ciągów bitowych

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad. 1. (1 pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których

Bardziej szczegółowo

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

rachunek prawdopodobieństwa - zadania rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz

Bardziej szczegółowo

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć

Bardziej szczegółowo

I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zad.1. Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie:

I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zad.1. Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie: Strona 1 z 9 I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie: 5 4 ( 27) ( ) a), podstawa : ( ) b) 6 ( 9) c), podstawa: (5) d) Oblicz: a) 1 6 4 2 1 1 1 2 (0,25)

Bardziej szczegółowo

P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.

P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne. Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy,

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa lista zadań nr 6

Rachunek prawdopodobieństwa lista zadań nr 6 1) Klasa zorganizowała loterię fantową. Do sprzedaży przeznaczono 50 losów ponumerowanych od 1 do 50. Organizatorzy przyjęli zasadę, że każdy los, którego numer jest liczbą podzielną przez 3, wygrywa fant.

Bardziej szczegółowo

Temat: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu.

Temat: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu. Dla nauczyciela Spotkanie 9 Temat: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu. Na zajęcia potrzebne będą pomoce tzn. kostki do gry, talia kart, monety lub inne. Przy omawianiu doświadczeń losowych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 dr Przemysław Szczepaniak Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 ZLICZANIE 1.ZmiastaAdomiastaBprowadzipięćdróg.Ilomasposobamimożnaodbyćpodróż A B Apodwarunkiem,żeniemożnawracaćtąsamądrogą?

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć

Bardziej szczegółowo

Po co nam statystyka matematyczna? Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji

Po co nam statystyka matematyczna? Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji ODSTWY STTYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. opulacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne 6.

Bardziej szczegółowo

+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x

+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x Prawdopodobieństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźnie i wypełnia wnętrze kwadratu [0 x 1; 0 y 1]. Znajdź p-stwo, że dowolny

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku

Bardziej szczegółowo

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 1 1. Na przyjęciu urodzinowym jest n dzieci i n prezentów (przy czym każdy prezent jest inny). Na ile sposobów można rozdać prezenty dzieciom tak, aby każde

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

a 1 = 1.5 dm a 2 = 2.1 dm a 3 = 3.3 dm a 4 = 4.5 dm

a 1 = 1.5 dm a 2 = 2.1 dm a 3 = 3.3 dm a 4 = 4.5 dm Zadanie 1. Zbudować szereg rozdzielczy dla danych: 2.0 2.3 2.7 2.8 2.7 2.7 2.6 2.6 2.5 2.6 2.7 2.8 2.8 2.7 2.7 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.7 2.6 2.5 2.4 2.4 2.3 przyjmując b = 0.19 oraz początek 1.98 wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI SEMESTR I ZESTAW. Podaj liczbę przeciwną i odwrotną do liczby 2 2. Jak zmieniła się cena wyrobu po podwyżce o 20%, a następnie po obniżeniu otrzymanej ceny o

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 64130 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wielomian P(x)

Bardziej szczegółowo

W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora.

W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora. Egzamin maturalny od roku szkolnego 2014/2015 Matematyka Poziom rozszerzony Przykładowy zestaw zadań dla osób słabowidzących (A4) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa

Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa - ćwiczenia ĆWICZENIA Piotr Ciskowski rozkład zerojedynkowy ćwiczenie 1. udowodnić Doświadczenie może się zakończyć dwoma wynikami: S sukces - prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 2 CZERWCA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 14:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 2 CZERWCA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 14:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6 Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Zbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki. Graniczne własności łańcuchów Markowa

Zbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki. Graniczne własności łańcuchów Markowa Zbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Graniczne własności łańcuchów Markowa Toruń, 2003 Co to jest łańcuch Markowa? Każdy skończony, jednorodny łańcuch Markowa

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Wydział Zarządzania - Rachunek prawdopodobieństwa - Ćwiczenia

Wydział Zarządzania - Rachunek prawdopodobieństwa - Ćwiczenia Arkusz 7 - ZADANIA ELEMENTARNE Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA. SCHEMAT BERNOULLIEGO. PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE Zadanie 1. W skład zarządu pewnej firmy wchodzi 17 osób, w tym 6 kobiet. Wśród kobiet dwie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II Szkic wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 4 5 Weryfikacja hipotez statystycznych Obok estymacji drugim działem wnioskowania statystycznego jest weryfikacja hipotez

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015

BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015 BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015 GEOMETRIA 1 W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu opisanego ma długość 19 cm Oblicz pole tego trójkąta

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa Zestaw 1 Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Model klasyczny prawdopodobieństwa

Rachunek Prawdopodobieństwa Zestaw 1 Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Model klasyczny prawdopodobieństwa Rachunek Prawdopodobieństwa Zestaw Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Model klasyczny prawdopodobieństwa. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ). KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO 24 MARCA 2012 CZAS PRACY: 90 MINUT 1 ZADANIE 1 (1 PKT.) Która równość jest fałszywa? Wybierz odpowiedź spośród

Bardziej szczegółowo

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo