Systemy resztowe. Kongruencje. Liczby kongruentne (przystaj ce) modulo w (w moduł przystawania) (N,M ): N M(modw) k : N M=kw M N=kw
|
|
- Jerzy Łuczak
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kongruencje Lczby ongruentne (przytaj ce) modulo w (w moduł przytawana) (N,M ): N M(modw) : N Mw M Nw Kongruencja relacja równowa no c: zwrotna (reflexve): N N(modw), ymetryczna (ymmetrc): N M(modw) M N(modw), przechodna (trantve): N M(modw)&M P(modw) N P(modw). LEMAT: Kongruencja jet zachowawcza (oboj tna, ndfferent) wobec a dego z dzała : dodawana, odejmowana, mno ena ( ) N M(modw) Q P(modw) N Q M P(modw). DOWÓD: Je l NM+aw oraz QP+bw, to N±Q(M±P)+(a±b)w oraz N Q(M P)+(Μ b+p a+a b)w Iloraz całowty Xdvw (w X : X Xmodww Xdvw Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
2 Klay ongruencj Klay ongruencj (równowa no c wzgl dem relacj przytawana) w:r{z :Z r(modw); w/ r< w/ }, w: w: w:r r rezta z dzelena (redue) lczby całowtej (naturalnej) przez moduł w najmnej odległa od zera (najmnejza bezwzgl dne) W zborze lczb naturalnych jet r mamy: w:r w:r w:r w:r w 7:5{5,,9,6, } 7: {, 9,,5,,9,6, } 7:{,8,5,, } 7:{,, 6,,8,5,, } DEFINICJE Podzeln p lczby Q p Q Qmodp, p Odwrotno (multyplatywna) x modw lczby x modulo w ax modw ax modw! (je l x w maj wpólny podzeln p, to z xmodw ne ma rozw zana) Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
3 Algorytm Euldea Najw zy wpólny (po)dzeln NWD (greatet common dvor, GCD) NWD(X,Y)a (a X a Y) b : (b>a) (b X b Y) TWIERDZENIE: Dla dowolnych lczb naturalnych n m, je l m<n oraz pnwd(m,n), to:. lczba p jet te najw zym wpólnym dzelnem m oraz nmodm.. tnej tae lczby całowte u oraz v, e pun+vm (najw zy wpólny dzeln mo na przedtaw jao ombnacj lnow lczb m oraz n). DOWÓD:. Je l pnwd(m,n), to m m p oraz n n p, to n m( n m )p, w c m<n pnwd(m,n)nwd(m,nmodm). Je l pnwd(n,m), to m m p, n n p oraz NWD( n, m ). Mamy zatem vmv m p, unu n p v m +u n. Ponewa NWD( n, m ), w c a da lczba u n dla u,,, m nale y do nnej lay ongruencj modulo m. Itneje w c tae u, e u n m +. Równo jet pełnona gdy v. Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
4 Wła cwo c rezt Lczby wzgl dne perwze (relatvely prme): NWD(X,Y). LEMAT: Je el rezty z dzelena lczby przez moduły wzgl dne perwze obe równe, to one równe rezce z dzelena przez loczyn tych modułów ( w, w ) & X mod w X mod w q X mod( ww ) q. DOWÓD: Je l Xmodw q Xmodw q, to (X q)modw (X q)modw. Zatem X q w X q w, w c X q w w oraz Xmodw w q LEMAT: Kongruencje mo na dzel obutronne przez wpólny czynn: (ax)mod(aw)a(xmodw) DOWÓD: (ax)mod(aw)ax aw ax/aw a(x w X/w )a(xmodw) Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 4
5 Sto Eratotenea Je l z c gu olejnych lczb naturalnych uunemy podzelne przez (parzyte), nat pne podzelne przez (co trzec ), nat pne podzelne przez 5 (co p t po ród wzytch) etc., to w c gu pozotan tylo lczby perwze. Je l a N oraz a>n/a, to w c gu N olejnych lczb naturalnych ne ma ju lczb podzelnych przez a (zotały wcze nej wyre lone) Wzyte lczby perwze (oprócz ) neparzyte Algorytm:. Utwórz c g olejnych lczb neparzytych <N. Znajd w c gu perwz lczb A ró n od (jet na pozycj A (A+)/). W mejce a dej lczby c gu umezczonej na pozycj A +A wpz 4. Je el A <N, powró do, w przecwnym raze zao cz Najmnejza wpólna welorotno NWW(leat common multply, LCM) [X, X,, X m ]W : X W Z : (Z<W) : X Z Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 5
6 Podzelno lczb () ale xβ mod w ( x mod w)( β mod w) mod w, w c, ponewa x β, mamy β mod( β ± ) m β mod( β ± ) ( m), x β mod ( β ) x mod ( β ) x β mod ( β + ) ( ) x mod ( β + ) reguły podzelno c przez 9 w yteme dze tnym 785 mod 9 (7+8+5) mod 9, 785 mod (7 8+5) mod 4 Je l βa ±, to β mod a ± oraz β mod a ( ± ) reguły podzelno c przez a w yteme o baze βa ± 785 mod (7+8+5) mod mod Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 6
7 Podzelno lczb () n x β n / n / x + β )( β ) X ( β, gdze β x + l X warto cam cyfr po onwerj (β β ). Ale jet β mod( β ± ) β β j m mod( ± ) ( m) j, zatem: n xβ mod ( β ) n / X mod ( β ) n xβ mod ( β + ) n / ( ) X mod ( β + ) 45 mod 45 mod ( +) ( 45) mod ( +) 5 6 mod FF mod ( ) 6 (+5) 6 mod ( ) mod mod ( ) 8 (+56) 8 mod ( ) 8 8 Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 7
8 Oreowo rezt a w a mod w ( ) mod ± ± ore ongruencj β mod w & < : β mod w półore ongruencj β mod w & < : β mod w rezty pot g baz β wzgl dem modułów ± β powtarzaj oreowo β mod( β ± ) β β j m mod( ± ) ( m) j j + j β mod( β ± ) ( m ) β mod( β ± ) rezty pot g baz β wzgl dem modułów ( β ± β + β mod( β ± β + ) β ) powtarzaj oreowo: β mod( β ± β + ) m β β mod( β ± β + ) [ β ( m β )]mod( β ± β + ) ± Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 8
9 Małe twerdzene Fermata TWIERDZENIE Nech p b dze lczb perwz. Je l p ne jet podzelnem lczby a, to wtedy a p (modp) za dla dowolnego a zachodz a p a(modp). DOWÓD. Soro p ne dzel a, to j p : a j amodp, w c a da lczba c gu a, a, a,,(p ) a nale y do nnej lay reztowej p:r, r,,...,p. A zatem [( a)( a)( a) ((p ) a)]modp(p )! modp, czyl a p (p )! (p )!(modp) Ponewa NWD(p,a), w c NWD(p,(a p ) (p )!)p, (bowem (p )! ne dzel przez p). St d wyna, e a p (modp) ponewa p ne dzel a, w c a a p a(modp), a zatem a p a(modp) Je l NWD(p,a)p, to otatna zale no jet trywalna (amodp) Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 9
10 Funcja Eulera ϕ(n) co druga naturalna jet podzelna przez, co trzeca z pozotałych dzel przez, co p ta z nepodzelnych przez lub dzel przez 5, etc. TWIERDZENIE e e m Je l podzelnam lczby N p, p,, p m, czyl N p p... p e m, p, to lczb naturalnych mnejzych od N wzgl dne perwzych z lczb N jet DOWÓD: m ϕ ( N) ( p ) p, p Je l p jet podzelnem N, to w zborze {,,,N} jet N N(p ) lczb nepodzelnych przez p. [N N(p ) ] [N N(p ) ] (p j ) N ( (p ) )( (p j ) ) po ród nch ne jet podzelnych przez p j. (co p j -ta po ród N po ród p ) Je l w c p,,...,m lczbam perwzym, to w zborze {,,,N} jet e e em e e em p p... p ( )( )...( )... ( )( )...( m p p pm p p pm p p pm ) lczb nepodzelnych przez adn z nch. e WNIOSEK: Je l NWD(N,M), to ϕ(mn)ϕ(m)ϕ(n). Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
11 Twerdzene Eulera TWIERDZENIE Je l ϕ(n) jet lczb lczb mnejzych od N wzgl dne perwzych z N, to DOWÓD. ( ) a ϕ N mod N Je l Np twerdzene jet prawdzwe (ϕ(p)p ) (małe tw. Fermata). Załó my, e twerdzene jet prawdzwe dla Np m p p, czyl a m ( ) mod p St d wyna, e p ( p ) a m mod p p p m a m ( ) + p m+ oraz p p m p a m ( ) ( + p ) + Kpp. Twerdzene jet w c prawdzwe dla Np α, czyl m m., zatem a ϕ ( p m ) mod p m Je l w c a a ϕ ( p ϕ ( p a a b h q... t b h ) q... w ) N... mod q a b h a b h ϕ ( p q... t ) a ϕ ( p ) ϕ ( q... t ) a p q t, to a mod p ( a ) mod p b mod ( p ( a a q b ϕ ( q... w b h ) ) ϕ ( p a... t h ) mod q ( ) ), czyl a ϕ N mod N ϕ ( ) WNIOSEK: a N a (mod N) b a b h oraz td.. St d wyna teza twerdzena: Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
12 Ch e twerdzene o reztach ytem RNS Nech W{w,w,...,w m : j: NWP(w,w j )} za W m w Reprezentacja X x,x,,x m : x Xmodw, w W a dej lczby X<W jet unatowa. DOWÓD. Załó my, e X,Y<W, Y X: m:y Xmodw. Zatem m:w (Y X), a ponewa WNWW(w,w,,w m ), to W (Y X). Soro jedna Y X, to Y X W, co przeczy zało enu, w c YX Sytem reztowy RNS(w,w,,w m ) (Redue Number Sytem) Reprezentacja X x modw,x modw,,x m modw m : w W w baze W x {,,...,w } dla ongruencj w zborze, x { w /,,,,,..., w / } dla ongruencj w zborze WNIOSEK: W yteme RNS(w,w,,w m ),, m: x,x,,x m x ± w,x ± w,,x m ± m w m modw Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
13 Ch e twerdzene o reztach onwerja odwrotna CHI SKIE TWIERDZENIE O RESZTACH (CRT) (SUN-TZU, III W., QIN JIUSHAO, 47) Nech W{w,w,...,w n : j: NWP(w,w j )}, W ww... wn. Reprezentacja x,x,,x n : x Xmodw, w W a dej lczby X<W jet unatowa oraz gdze X X n w ˆ Ww, za mod w ( mod w ) x modw odwrotno ŵ wzgl dem modułu DOWÓD (neformalny zc dowodu onwerj odwrotnej). Ze wzgl du na zachowawczo ongruencj wobec dodawana mamy w. x,x,,x n x,,,, +x,,,, + +x n,,,,. W yteme RNS(w,w,,w m ) lczba p o reprezentacj,,,,,, jet podzelna przez a de w oprócz w, jet w c p (lczby p tnej, bo ró nych reprezentacj jet doładne W). Ponewa jej rezta wzgl dem w jet równa, w c mod w jet odwrotno c ŵ oraz p ( mod w ). x,x,,x n jet w c reprezentacj lczby (x p +x p + +x n p n ) modw. Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
14 Wybór ytemu reztowego Dobór modułów argumenty zare reprezentowanych lczb loczyn wzytch modułów łatwo zybo wyonana dzała modulo łatwo onwerj onwerj odwrotnej moduły β, β, β + dobrze pełnaj wymagana (β, β ), (β, β +) oraz (β, β +) (gdy β parzyte) w yteme dwójowym je l (,m), to (, m ) (lczby Merenne a) przy pezene dodawana ~ proporcjonalne do log z lczby modułów m w cej modułów tym trudnejza onwerja odwrotna opcje W{ +,, } W{ +,,, } W{,,,,, <...<<, (,,,)} Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 4
15 Konwerja z ytemu tałobazowego na ytem RNS(β +, β, β ) A X x { β RNS j : n ( a j j mod w )( β mod w )} mod w reguły podzelno c reguły onwerj z ytemu naturalnego na RNS, dla modułów o potac β, β β +. a + l l n A a β ( a β ) β A β, β l l gdze A warto cam cyfr lczby A w yteme o baze β. Ponewa A β, zatem A mod β A mod β oraz + l l A mod( β ) { A β }mod( β ) { A }mod( β ) A mod( β + ) { A β }mod( β + ) { ( ) A }mod( β + ) Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 5
16 Konwerja z ytemu reztowego na ytem tałobazowy (CRT) p,,,, jedyn reztowe (wag), p mod p mod w w j Warto c lczby X<WΠw o reprezentacj x, x,..., xn jet zatem (CRT) X x p + x p +... x p ) modw, ( + W celu wyznaczena -tej jedyn p wytarczy wyona w oblcze. Mamy,...,,..., w w W, mod w w, Oblczane jedyne reztowych p ( mod w ) : ( w ˆ( mod w ))mod w mod w ))mod w [( mod w )( rozw zane równana, czyl ( ( mod w )] mod w (... je l axmodw, to a xmodwx modw) odwrócony algorytm Euldea zapujemy jao um welorotno c n n x ( x mod n) n x ( x mod n) [ x ndv x + nmod x]... ϕ ( ) twerdzene Eulera: a N a (mod N) Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 6
17 Konwerja z ytemu reztowego na ytem tałobazowy Sytem reztowy RNS(a+,a,a ) (ap mu by parzyte) Mamy W(a+) a (a ). Oblczymy lczby ˆ w ww ( a + ) a, w mod w w ˆ ww ( a + )( a ), w ˆ mod w ( ) w w w a( a ), w mod w ( ) ( ) ˆ ŵ j ˆ ˆ oraz ch odwrotno c multyplatywne ( mod w ) w ˆ mod w mod( a ) mod( a ) a /, w ˆ mod w mod a mod a w ˆ mod w mod( a + ) mod( a + ) a / + St d z ( a + ) a ( / ), z ( a + ) ( a ), z a ( a ) ( a / ), a zatem warto c lczby X o reprezentacj r,r,r jet X (r z + r z + r z ) mod (a+) a (a ). + Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 7
18 Konwerja z ytemu reztowego na ytem tałobazowy przyłady () Sytem reztowy ( +,, ). Mamy W( +) ( ). Oblczymy lczby ˆ ww ( + ), w ˆ mod w ˆ ww ( + )( ) w ˆ mod w ( ) ˆ ww ( ) w ˆ mod w ( ) ( ) w w, w, oraz ch odwrotno c multyplatywne mod w mod( ) mod( w ˆ mod w mod mod w ˆ mod w mod( + ) mod( St d z ) + ) + ŵ j, a ( + ) a, z ( + ) ( ), z ( ) ( ), zatem warto c lczby X o reprezentacj r,r,r jet X (r z + r z + r z ) mod ( ). + Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 8
19 Konwerja z ytemu reztowego na ytem tałobazowy przyłady () W yteme reztowym (7,,) mamy X (7,,),,. Wyznaczmy X. Mamy W 74. Oblczymy lczby ˆ ˆ w W / w 6, w mod w 6mod7 w ˆ W / w 4, w ˆ mod w mod w W / w, w mod w ˆ ŵ j ˆ oraz ch odwrotno c multyplatywne w ˆ mod w mod w mod w, w ˆ mod w mod w mod w w mod w ± mod w mod w ˆ ± St d z 6 6mod4, z 4 8mod4, z mod4, zatem X (( ) 6 +( ) 4 + ) mod 4 5 mod 4 7. Rzeczyw ce X (7,,) 7 mod 7, 7 mod, 7 mod,,. Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 9
20 Oblczane odwrotno c multyplatywnych () Odwrócony algorytm Euldea x ( x... mod n) n p ( A x x ( x mod n B n) + ( C x Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 mod n D n) mod n) [ x ndv x + nmod x]... p + Jedyn w yteme RNS(7,,) mamy W 74. Oblczymy lczby ˆ ˆ w W / w 6, w mod w 6mod7 w ˆ W / w 4, w ˆ mod w mod w W / w, w mod w oraz ch odwrotno c multyplatywne ( ˆ ˆ mod w ) t w 6 7t 6 ( 6 + ) t 6 ( t) t, w ˆ t oraz t, czyl t w 4 t ( 5 ) t (5 t) ˆ, w ˆ oraz t t w t ( + ) t ( t) + ˆ w ˆ oraz t zatem w zatem 5 w zatem ŵ j, RNS
21 Oblczane odwrotno c multyplatywnych () Jedyn w yteme RNS(7,,) twerdzene Eulera ( ) w mod w ( Mamy W 74. Oblczymy lczby ˆ ˆ mod w ) ( ) w W / w 6, w mod w 6mod7 w ˆ W / w 4, w ˆ mod w mod w W / w, w mod w ˆ ŵ j ˆ oraz ch odwrotno c multyplatywne ( 7 w mod w ) ( w ˆ ) mod7 (6 mod7)(6 mod7) 6 mod7, zatem w ˆ 6 mod7 7 mod w ( w ˆ ) mod (4 mod)(4 mod) 4 mod, zatem w ˆ 4 mod ( w ˆ ) mod ( mod )( mod ) mod, zatem w ˆ mod St d z 6 6mod4, z 4 8mod4, z mod4, Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
22 Wyznaczane reprezentacj reztowych. Z twerdzena Fermata lub Eulera rezty pot g reducja pot g modϕ(p) Ponadto a X a x modn(a ϕ (p) ) [ x dv ϕ (p) ] a x mod ϕ (p) modna x mod ϕ (p) modn x x x x mod p a mod p [( a mod p) ( a mod p) ( a mod p)...]mod p. Ponewa dla lczby naturalnej a> a moda± (±) a moda±[ (±)] w c dla a dej lczby naturalnej danej w reprezentacj pozycyjnej o podtawe β rezty modβ ± mo na oblczy jao umy lub ró nce lczb -cyfrowych, utworzonych przez cyfry na pozycjach j,j+,,j+ (j,,, ) n xβ mod( β ± ) n / ( x j j+ n / ( x j β )( ± ) j j+ β ) β j mod( β mod( β ± ) ± ) Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
Systemy resztowe. Kongruencje. Liczby kongruentne (przystaj ce) modulo w (w moduł przystawania) (N,M ): N M(modw) k : N M=kw M N=kw
Kogruecje Lczby ogruete (przytaj ce) modulo w (w moduł przytawaa) (N,M ): N M(modw) : NMw MNw Kogruecja relacja rówowa o c: zwrota (reflexve): N N(modw), ymetrycza (ymmetrc): N M(modw) M N(modw), przechoda
Bardziej szczegółowow zbiorze liczb naturalnych N (N,M N): N Mmodw k N: N M=kw M N=kw w zbiorze liczb całkowitych Z (N,M Z): N Mmodw k Z: N M=kw
Kogruece Lczby ogruete (przyta ą ce) modulo w N (w moduł przytawaa) w zborze lczb aturalych N (NM N): N Mmodw N: N Mw M Nw w zborze lczb całowtych Z (NM Z): N Mmodw Z: N Mw Kogrueca relaca rówowaŝ oś c:
Bardziej szczegółowoRelacje, grupy, ciała
Relace Relace, grupy, cała Relaca w zborze X podzbór produtu artezańego ρ X X ρ y Relaca rówowaŝośc (equvalece) zwrota ρ ymetrycza ρ y y ρ przechoda ρ y & y ρ z ρ z Zaada abtrac Relaca rówowaŝośc dzel
Bardziej szczegółowoDzielenie. Dzielenie pozycyjne
zelene ozycyjne zelene dzelene całkowte: dzelna (dvdend), dzelnk 0 (dvor) Iloraz (uotent) rezta R (remander) z dzelena to lczby take, e R, R rozw zana (,R ) oraz (,R ) take, e R, rzy tym R R, R, R oraz
Bardziej szczegółowoIN YNIERIA BEZPIECZE STWA LABORATORIUM NR 6
IN YNIERIA BEZPIECZE STWA LABORATORIUM NR 6 WYBRANE ZAGADNIENIA Z TEORII LICZB 1. Wybrane zagadnena z teor lczb Do onstruowana systemów ryptografcznych u Ŝ ywa sę czę sto wyrafnowanego aparatu matematycznego,
Bardziej szczegółowoMADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY
MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY System ten oznaczmy skrótem RNS (residue number system czyli po prostu resztowy system liczbowy). Wartość liczby w tym systemie reprezentuje wektor (zbiór) reszt z dzielenia
Bardziej szczegółowoDla dzielnej X (dividend) i dzielnika D 0 (divisor) liczby Q oraz R takie, Ŝe
zelene ekwencyjne zelene la dzelnej X (dvdend) dzelnka (dvor) lczby Q oraz R take, Ŝe X=Q R, R < nazywa ę lorazem Q (uotent) reztą R (remander) z dzelena X rzez. Równane dzelena moŝe meć rozwązana ełnające
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowop Z(G). (G : Z({x i })),
3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W
Bardziej szczegółowoJednoznaczność dzielenia. Jednoznaczność dzielenia
Jednoznaczność dzielenia MNiechmincałkowite,n 0 Wtedy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych k i l taka że m=n k+l oraz 0 l< n Terminologia: m dzielna n dzielnik Sytuacjadlam 0in>0: k k iloraz
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoKongruencje oraz przykłady ich zastosowań
Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoKOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO JAKOŚĆ MIERZONA WARTOŚCIĄ WSPÓŁCZYNNIKA R 2 (K)
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 31 Mchał Kolupa Poltechnka Radomska w Radomu Joanna Plebanak Szkoła Główna Handlowa w Warszawe KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO
Bardziej szczegółowoZapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.
Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane
Bardziej szczegółowoProgramowanie wielokryterialne
Prgramwane welkryteralne. Pdstawwe defncje znaczena. Matematyczny mdel sytuacj decyzyjnej Załóżmy, że decydent dknując wybru decyzj dpuszczalnej x = [ x,..., xn ] D keruje sę szeregem kryterów f,..., f.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRozliczanie kosztów Proces rozliczania kosztów
Rozlczane kosztów Proces rozlczana kosztów Koszty dzałalnośc jednostek gospodarczych są złoŝoną kategorą ekonomczną, ujmowaną weloprzekrojowo. W systeme rachunku kosztów odbywa sę transformacja jednych
Bardziej szczegółowoOpis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej
Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoPierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne
Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią analityczną
WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A
Bardziej szczegółowoV. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH
Krs na Stdach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej wersja: lty 007 34 V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH. Zbór np. lczb rzeczywstych a, b elementy zbor A a A b A, podzbór B zbor A : B A, sma zborów
Bardziej szczegółowoORGANIZACJA ZAJĘĆ OPTYMALIZACJA GLOBALNA WSTĘP PLAN WYKŁADU. Wykładowca dr inż. Agnieszka Bołtuć, pokój 304, e-mail: aboltuc@ii.uwb.edu.
ORGANIZACJA ZAJĘĆ Wykładowca dr nż. Agneszka Bołtuć, pokój 304, e-mal: aboltuc@.uwb.edu.pl Lczba godzn forma zajęć: 15 godzn wykładu oraz 15 godzn laboratorum 15 godzn projektu Konsultacje: ponedzałk 9:30-11:00,
Bardziej szczegółowoNiezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstrakcyjnej
Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstracyjnej 1. Nawiasami [[]] oznacza b d omentarze. 2. Denicja 0.1 Grup z [[jaim± abstracyjnym]] dziaªaniem nazywamy zbiór G speªniaj cy waruni
Bardziej szczegółowoKongruencje i ich zastosowania
Kongruencje i ich zastosowania Andrzej Sładek sladek@ux2.math.us.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Poznamy nowe fakty matematyczne, które pozwolą nam w łatwy sposób rozwiązać
Bardziej szczegółowoDaniela Spurtacz, klasa 8W, rok szkolny 2018/2019
Poniższy zbiór zadań został wykonany w ramach projektu Mazowiecki program stypendialny dla uczniów szczególnie uzdolnionych - najlepsza inwestycja w człowieka w roku szkolnym 08/09. Tresci rozwiązanych
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoProjektowanie bazy danych
Projektowanie bazy danych Pierwszą fazą tworzenia projektu bazy danych jest postawienie definicji celu, założeo wstępnych i określenie podstawowych funkcji aplikacji. Każda baza danych jest projektowana
Bardziej szczegółowoarchitektura komputerów w. 3 Arytmetyka komputerów
archtektura komputerów w. 3 Arytmetyka komputerów Systemy pozycyjne - dodawane w systeme dwójkowym 100101011001110010101 100111101000001000 0110110011101 1 archtektura komputerów w 3 1 Arytmetyka bnarna.
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aalza Matematycza I. Sera, Potr Nayar Zadae. Nech a k >, k =,..., b d lczbam rzeczywstym o tym samym zaku. Udowodj,»e prawdzwa jest erówo± + a + a... + a + a + a +... + a. Czy zaªo»ee,»e lczby a k maj
Bardziej szczegółowoX i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.
Zadae p (X p (X ( ( π 6 6 e 6 X m ( π 6 6 e 6 ( X C e m 6 X, gdze staªa C e zale»y od statystyk X (X,, X 6, a m jest w ksze od zera Zatem p (X/p (X jest emalej c fukcj statystyk T (X 6 X ªatwo pokaza,»e
Bardziej szczegółowoOd redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.
Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowoSumy kolejnych bikwadratów
Sumy kolejnych bikwadratów Znane są następujące dwie równości Andrzej Nowicki 18 maja 2015, wersja bi-12 3 2 + 4 2 = 5 2 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3. Czy istnieją podobnego typu równości dla czwartych potęg?
Bardziej szczegółowoInfo rmatyzacja Przedsiębiorstw
Info rmatyzacja Przedsiębiorstw Laboratorium 3 Moduł finansowo - księ gowy Plan zaję ć 1 Sporzą dzanie Bilansu... 2 1.1 Zatwierdzanie bilansu otwarcia... 2 1.2 Sporzą dzanie bilansu... 2 2 Sporzą dzanie
Bardziej szczegółowoZegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup.
Rozgrzewka (Ci, którzy znają pojęcie kongruencji niech przejdą do zadania 3 bc i 4, jeśli i te zadania są za proste to proponuje zadanie 5): Zad.1 a) Marek wyjechał pociągiem do Warszawy o godzinie 21
Bardziej szczegółowoZestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Bardziej szczegółowo7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka
7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka Oczekiwane przygotowanie informatyczne absolwenta gimnazjum Zbieranie i opracowywanie danych za pomocą arkusza kalkulacyjnego Uczeń: wypełnia komórki
Bardziej szczegółowo*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Bardziej szczegółowoδ δ δ 1 ε δ δ δ 1 ε ε δ δ δ ε ε = T T a b c 1 = T = T = T
M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 8 9 6-7 7 X M O D E L O W A N I E P A S Z C Z Y Z N B A Z O W Y C H K O R P U S W N A P O D S T A W I E P O M W S P R Z D N O C I O W Y C H
Bardziej szczegółowo5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowoKONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.
KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 18. Anna Jakubowska, Edward Dutkiewicz ADSORPCJA NA GRANICY FAZ CIECZ GAZ. IZOTERMA ADSORPCJI GIBBSA
Ćwczene 18 Anna Jakubowska, Edward Dutkewcz ADSORPCJA NA GRANICY FAZ CIECZ GAZ. IZOTERMA ADSORPCJI GIBBSA Zagadnena: Zjawsko adsorpcj, pojęce zotermy adsorpcj. Równane zotermy adsorpcj Gbbsa. Defncja nadmaru
Bardziej szczegółowoZastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA
Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA Grzegorz Bobiński Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń, 22.05.2010 Kodowanie a szyfrowanie kodowanie sposoby przesyłania danych tak, aby
Bardziej szczegółowoAnaliza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji
Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Stałoprzecinkowy zapis liczb wymiernych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb wymiernych Stałoprzecinkowa bez znaku ze znakiem Zmiennoprzecinkowa pojedynczej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z teoria liczb, ciąg dalszy (pt 15 maja) Matematyka Dyskretna
Ćwiczenia z teoria licz, ciąg dalszy (pt 15 maja) Matematyka Dyskretna Przypomnienie: Mówimy a (a jest względnie pierwsze z ) jeśli NW D(a, ) = 1. (Zero jest podzielne przez każdą liczę naturalną, więc
Bardziej szczegółowoAlgorytmy w teorii liczb
Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Bardziej szczegółowoW. Guzicki: Liczby pierwsze 1 LICZBY PIERWSZE. Warszawa, 11 kwietnia 2013 r.
W. Guzicki: Liczby pierwsze 1 LICZBY PIERWSZE W. Guzicki: Liczby pierwsze 2 Zagadnienie odróżniania liczb pierwszych od złożonych i rozkładanie tych ostatnich na ich czynniki pierwsze uchodzi za najważniejszeiodużympraktycznymznaczeniuwarytmetyce...samapowaga
Bardziej szczegółowoOdwrotne twierdzenie Fermata. Odwrotne twierdzenie Fermata
Przypomnijmy... a p, a p 1 1 (mod p). Zachodzi naturalne pytanie...... czy z faktu a m 1 1 (mod m) wynika, że m = p? Niekoniecznie. Wprawdzie, jeszcze przed 25 wiekami chińscy matematycy uważali, że podzielność
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu
Bardziej szczegółowoKongruencje. Beata Łojan. Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach.
Kongruencje Beata Łojan b.lojan@knm.katowice.pl Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach www.knm.katowice.pl III Liceum Ogólnokształcące im. Lucjana Szenwalda w Dąbrowie Górniczej Spis
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście
Bardziej szczegółowo6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""
Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90
Bardziej szczegółowoPraca za granicą. Emerytura polska czy zagraniczna?
Dolnośląski Wojewódzki Urząd pracy radzi: Praca za granicą. Emerytura polska czy zagraniczna? Często pojawia się pytanie, jaki wpływ na emeryturę ma praca za granicą. Wiele osób, które pracowały w różnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa
Zamawiający: Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej 00-662 Warszawa, ul. Koszykowa 75 Przedmiot zamówienia: Produkcja Interaktywnej gry matematycznej Nr postępowania: WMiNI-39/44/AM/13
Bardziej szczegółowoX R>0 dzielenie znakowane (signed division) znak reszty = znak dzielnej R>0 dzielenie modularne (modulus division) znak reszty dodatni X D D R
} m ekwecyje dzelee całkowte Iloraz uotet rezta remader z dzelea dzelej dvded rzez dzelk dvor to lczby oraz take e rozw zaa oraz take e rzy tym oraz > dzelee zakowae ged dvo zak rezty zak dzelej > dzelee
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoOFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH
OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoMetrologia cieplna i przepływowa
Metrologia cieplna i przepływowa Systemy, Maszyny i Urządzenia Energetyczne, I rok mgr Pomiar małych ciśnień Instrukcja do ćwiczenia Katedra Systemów Energetycznych i Urządzeń Ochrony Środowiska AGH Kraków
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO
ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO NA PODSTAWIE REFERATU JUSTYNY KOSAKOWSKIEJ. Moduły prnjektywne posety skończonego typu prnjektywnego Nech I będze skończonym posetem. Przez max
Bardziej szczegółowoU M OWA DOTACJ I <nr umowy>
U M OWA DOTACJ I na dofinansowanie zadania pn.: zwanego dalej * zadaniem * zawarta w Olsztynie w dniu pomiędzy Wojewódzkim Funduszem Ochrony Środowiska i Gospodarki Wodnej
Bardziej szczegółowoLiczby pierwsze na straży tajemnic
Liczby pierwsze na straży tajemnic Barbara Roszkowska-Lech MATEMATYKA DLA CIEKAWYCH ŚWIATA Liczby rzadzą światem Ile włosów na głowie? Dowód z wiedzą zerową Reszty kwadratowe Dzielenie sekretu Ile włosów
Bardziej szczegółowoWiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.)
Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wnioskowanie przybliżone Wnioskowanie w logice tradycyjnej (dwuwartościowej) polega na stwierdzeniu
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 10: Algorytmy teorii liczb Gniewomir Sarbicki Literatura A. Chrzęszczyk Algorytmy teorii liczb i kryptografii w przykładach Wydawnictwo BTC 2010 N. Koblitz Wykład z teorii liczb
Bardziej szczegółowoKiedy opłaty za program komputerowy nie będą ujęte w definicji należności licencyjnych?
Kwestia ujęcia w definicji należności licencyjnych opłat za programy komputerowe nie jest tak oczywista, jak w przypadku przychodów za użytkowanie lub prawo do użytkowania urządzenia przemysłowego, handlowego
Bardziej szczegółowoKryptografia systemy z kluczem tajnym. Kryptografia systemy z kluczem tajnym
Krótkie vademecum (słabego) szyfranta Podstawowe pojęcia: tekst jawny (otwarty) = tekst zaszyfrowany (kryptogram) alfabet obu tekstów (zwykle różny) jednostki tekstu: na przykład pojedyncza litera, digram,
Bardziej szczegółowoWPROWADZENIE DO TEORII DECYZJI STATYSTYCZNYCH
Ćwczene nr 1 Statystyczne metody wspomagana decyzj Teora decyzj statystycznych WPROWADZENIE DO TEORII DECYZJI STATYSTYCZNYCH Problem decyzyjny decyzja pocągająca za sobą korzyść lub stratę. Proces decyzyjny
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoKryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 6a
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 6a Spis treści 10 Trochę matematyki (c.d.) 3 10.19 Reszty kwadratowe w Z p.............. 3 10.20
Bardziej szczegółowoNUMER IDENTYFIKATORA:
Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. Największy wspólny dzielnik dla danych dwóch liczb całkowitych to największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich bez reszty.
Algorytm Euklidesa Algorytm ten, jak wskazuje jego nazwa, został zaprezentowany przez greckiego matematyka - Euklidesa, żyjącego w w latach około 300r. p.n.e., w jego podstawowym dziele pt. Elementy. Algorytm
Bardziej szczegółowoż Ą Ź Ą Ż ź ż ć Ą ż ź ć ź Ś ż ź ć ż ĄĄ ż ż ź ż ć ć Ę ć ż ć Ś ć ć ź ż ż ć ż ć Ę ć Ę Ę ż ż Ę ć Ś ż ć ż ć ż Ą ź ż źć ż ż ż ż ź ź ż ć ć ż ć ż ć ć ż Ę ć ź ć ć ż ć ć ż ć ć ć ć ż Źć ź ż ć ć Ę Ą Ę ć ź Ę Ę ż Ę
Bardziej szczegółowoć ć ń ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ę Ź ź ń ć ź ń ć ź ń ź ć ń ć ć ć ć Ł Ł ń Ę ć ć ć ń ć ć ć ć Ź ć Ł ć ć Ę ć Ą Ą ć Ę Ą ć ń ź ź ń ć Ę ć ć ć Ś ć ć Ż ć ć Ą ć ć ć ć Ś ć ź Ę ć ć ń ć ć ć ć ć ć Ś ć ć ć ć ń ć ń ź
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2. Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak
Algebra Liniowa 2 Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak Podobie«stwo macierzy, diagonalizacja macierzy 1. Znale¹ macierze przeksztaªcenia liniowego T
Bardziej szczegółowoTajemnice liczb pierwszych i tych drugich
Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich Barbara Roszkowska-Lech MATEMATYKA DLA CIEKAWYCH ŚWIATA Liczby całkowite stworzył dobry Bóg, wszystko inne wymyślili ludzie Leopold Kronecker (1823-1891) Liczby
Bardziej szczegółowoProblemy optymalizacyjne - zastosowania
Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne
Bardziej szczegółowo