4/2. Wnioskowanie statystyczne: hipotezy 2 Statystyka w zadaniach. Małgorzata Podogrodzka

Transkrypt

1 Małgorzata Podogrodzka Woskowae statystycze: hpotezy Statystyka w zadaach / Woskowae statystycze zajduje bardzo szeroke zastosowae prawe we wszystkch dzedzach auk. Osoby zgłębające wedzę z tego przedmotu e mają a ogół problemów z doborem odpowedch podręczków ale ejakm problemem jest ukazae różych techk statystyczych w ch praktyczym zastosowau. Nejszy zbór zadań ma uzupełć tą lukę. Prezetoway zbór jest drugą z dwóch ksążek omawających zagadea zwązae z woskowaem statystyczym. W ksążce perwszej zaprezetowao róże testy stotośc dla parametrów rozkładu pochodzące z jedej z dwóch węcej prób ezależych zależych atomast w obecej omówoo take zagadea jak: róże testy zgodośc z różym rozkładam teoretyczym testy zgodośc dla dwóch welu rozkładów z prób ezależych zależych róże testy stotośc dla różych mar zależośc dwóch zmeych oraz ch kształtu. W każdej z tych ksążek zaprezetowao sposób rozwązaa praktyczego zagadea dla każdego z rozważaych problemów oddzele oraz przedstawoo zestaw zadań do samodzelego rozwązaa przez użytkowka tego zboru. Na końcu każdego rozdzału podao odpowedz do tych zadań. Przedstawoy zbór zadań e może jedakże zastąpć podręczka statystyk. Nezajomość samych wzorów a przede wszystkm e zajomość teor e może dać poprawych wyków w ch praktyczym stosowau. Wybór techk aaltyczych e jest bowem łatwy e jest też pozbawoych pułapek statystyczych. Wszystke dae lczbowe prezetowae w zadaach są fkcyje. Wprawdze rzędem welkośc są oe zblżoe do rzeczywstośc ale doberae były główe pod katem oszczędośc rachuków które ależy wykoać. Założoo bowem że ważejsza jest aalza treśc różorodych stosukowo prostych lczeowo zadań a e ch żmude rachukowe rozwązywae. Mam adzeję że prezetoway zbór zadań będze pewą pomocą w lepszym zrozumeu stosowaych techk aaltyczych oraz ch terpretacj w praktyce. Autorka

2 Podstawowe pojęca symbole Zborowość (populacja) geerala zborowość statystycza tz. zbór dowolych elemetów edetyczych z puktu wdzea daej cechy. Zborowość częścowa próba część (podzbór) zborowośc geeralej podlegająca badau ze względu a określoą cechę w celu wycagęca wosków o kształtowau sę wartośc tej cechy w populacj geeralej. Próba losowa zborowość częścowa której dobór ze zborowośc geeralej dokoao w drodze losowaa w tak sposób że jedye przypadek decyduje o tym który elemet ze zborowośc geeralej wchodz w skład próby a który e. Próba reprezetatywa próba której struktura ze względu a badaą cechę e róż sę wyraźe (stote) od struktury populacj geeralej. Próba reprezetacyja jest zatem odzwercedleem populacj geeralej w mejszych rozmarach. Losowae ezależe losowae elemetów do próby w tak sposób że każdy wylosoway elemetu w trakce losowaa zwracay jest do zborowośc z której jest o losoway (losowae ze zwracaem). Te sam elemet ze zborowośc geeralej może być klka razy wylosoway do próby. Losowae zależe - losowae elemetów do próby w tak sposób że raz wylosoway elemetu w trakce losowaa e wraca już do zborowośc z której jest o losoway (losowae bez zwracaa). Te sam elemet ze zborowośc geeralej może być zatem wylosoway jedye jede raz do próby. Losowae eograczoe losowae elemetów do próby od razu ze zborowośc geeralej. Wyk próby - zaobserwowae wartośc badaej cechy u tych elemetów zborowośc geeralej które zostały wybrae do próby. Wyk próby losowej o lczeboścach staową wartośc -wymarowej zmeej losowej. Rozkład populacj geeralej rozkład wartośc cechy statystyczej w całej zborowośc. Parametry populacj parametry rozkładu badaej cechy w zborowośc geeralej. Charakteryzują oe te rozkład. Hpoteza statystycza jakekolwek przypuszczee dotyczące rozkładu populacj geeralej Hpoteza parametrycza hpoteza statystycza precyzująca wartość parametru w rozkładze zborowośc gereralej zaego typu Hpoteza zerowa (H ) podstawowa hpoteza sprawdzaa testem. Hpoteza alteratywa (H ) hpoteza statystycza kokurecyja w stosuku do hpotezy zerowej w tym sese że jeżel odrzucaa jest hpoteza zerowa to przyjmuje sę hpotezę alteratywą. Błąd perwszego rodzaju możlwy do popełea przy weryfkacj hpotezy statystyczej błąd polegający a odrzuceu testowaej hpotezy chocaż jest oa prawdzwa. Błąd drugego rodzaju możlwy do popełea przy weryfkacj hpotezy statystyczej błąd polegający a przyjęcu testowaej hpotezy chocaż jest oa fałszywa. Pozom stotośc (α) prawdopodobeństwo popełea błędu perwszego rodzaju w postępowau testującym hpotezę. Test statystyczy reguła postępowaa która a podstawe wyków z próby ma doprowadzć do decyzj przyjęca lub odrzucea postawoej hpotezy statystyczej. Moc testu prawdopodobeństwo podjęca prawdłowej decyzj przy weryfkacj hpotezy statystyczej daym testem a polegającej a odrzuceu testowaej hpotezy fałszywej. Test stotośc test pozwalający a odrzuceu hpotezy z małym ryzykem popełea błędu. W teśce tym uwzględa sę jedye błąd perwszego rodzaju co ozacza że w wyku tego tesu możlwa jest decyzja odrzucea hpotezy zerowej lub braku podstaw do jej odrzucea (e ozacza to jej przyjęca). Parametryczy test stotośc test stotośc weryfkujący hpotezę zerową precyzującą wartość parametru w ustaloym type rozkładu zborowośc geeralej. Neparametryczy test stotośc - test stotośc dla hpotezy zerowej precyzujący ogóly typ rozkładu populacj geeralej. Obszar krytyczy testu podzbór przestrze próby o tej własośc że jeżel otrzymay w próbe pukt przestrze próby ależy do tego podzboru to podejmuje sę decyzję odrzucea hpotezy zerowej. Obszar krytyczy testu dwustroy obszar krytyczy złożoy z dwóch rozłączych podzborów przestrze próby wyzaczoy ajczęścej symetrycze w rozkładze odpowedej statystyk. Obszar krytyczy testu jedostroy w zależośc od hpotezy alteratywej może być lewostroy lub prawostroy. Jest to obszar krytyczy złożoy z jedego podzboru przestrze próby wybraego z jedej stroy w rozkładze odpowedej statystyk. Hpoteza eparametrycza hpoteza statystycza precyzująca typ rozkładu w zborowośc geeralej

3 Sps treśc. Test zgodośc z rozkładem teoretyczym. z rozkładem dwumaowym. z rozkładem Possoa. z rozkładem ormalym. Test zgodośc dla dwóch rozkładów empryczych. z prób ezależych. z prób zależych. Test zgodośc dla welu rozkładów empryczych z prób ezależych. Zadaa do samodzelego rozwązaa. Test stotośc dla mary zależośc. dla wskaźka korelacj. dla współczyka korelacj. dla współczyka rag. dla współczyka zbeżośc. Zadaa do samodzelego rozwązaa.test stotośc dla kształtu zależośc mędzy dwoma zmeym. dla postac fukcyjej. dla współczyków regresj lowej. dla reszt w modelu w regresj lowej... heteroscedastyczość... autokorelacj... ormalośc. Zadaa do samodzelego rozwązaa. Test zgodośc z rozkładem teoretyczym.. z rozkładem dwumaowym Zadae... Kbce płk ręczej postaowl dowedzeć sę czy lczba cele oddaych rzutów a bramkę zakończoych golem w meczu przez pewego zawodka może być opsaa rozkładem dwumaowym. Zebral o stosowe formacje z dzewęcu wybraych losowo meczów. Uzyskae dae przedstawa poższy szereg rozdzelczy: Lczba oddaych rzutów a bramkę przez zawodka w meczu Lczba strzeloych bramek Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość - lczba oddaych rzutów a bramkę przez zawodka zmea losowa X lczba strzeloych przez ego bramek Szukae: H :P(X)P*(X) (lczba strzeloych bramek w meczu przez zawodka jest zgoda z rozkładem dwumaowym) H :P(X) P*(X) (lczba strzeloych bramek w meczu przez zawodka e jest zgoda z rozkładem dwumaowym) k k gdze: F (x) p q k x k. terwałowy pomar zmeej losowej X. stałe prawdopodobeństwo sukcesu w każdej próbe. lczebość w każdej klase >. duża lczebość próby ogółem Ʃ >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test χ ): χ k ( p) p Wyzaczamy prawdopodobeństwa dla kolejych waratów zmeej losowej X k k korzystając ze wzoru a rozkład dwumaowy: P(X x ) p q k. Poeważ ezae jest prawdopodobeństwo strzelea gola przez zawodka w meczu szacujemy je korzystając z daych z próby. E(X) p p. P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X )

4 P(X ) * *) przyjmujemy ż wartośc zmeej losowej X zaobserwowae w próbe wyczerpują zbór jej możlwych waratów Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: p p ( p ) p Ʃ χ ob Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( χ α v r k ; + ). Wartość χ α odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu χ przy zadaym α v r k oraz lczbe stop swobody vr-k- gdze r to lczba waratów zmeej losowej X k to lczba szacowaych (ezaych) parametrów rozkładu teoretyczego. α χ α v-- Tablca... Wartośc krytycze rozkładu χ v \ α. χ ob > χ α Z prawdopodobeństwem błędu I rodzaju ższym ż wyk z próby e potwerdzły przypuszczea kbców ż lczba cele oddaych rzutów a bramkę zakończoych bramką w meczu przez zawodka może być opsaa rozkładem dwumaowym. Zadae.. Pewe studet zebrał formacje o lczbe studetów przystępujących do egzamu ustego u pewego wykładowcy oraz o lczbe osób które zdały te egzam. Uzyskae dae prezetuje poższy szereg rozdzelczy: Lczba studetów podchodzących do egzamu Lczba studetów którzy zdal egzam Czy a podstawe wyków z próby moża twerdzć że rozkład osób zdających egzam u tego wykładowcy jest zmeą losową o rozkładze dwumaowym? Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość studec podchodzący do egzamu u pewego wykładowcy zmea losowa X lczba studetów którzy zdal egzam Szukae: H :P(X)P*(X) (lczba studetów którzy zdal egzam jest zgoda z rozkładem dwumaowym) H :P(X) P*(X) (lczba studetów którzy zdal egzam e jest zgoda z rozkładem dwumaowym) k k gdze: F (x) p q k x k. terwałowy pomar zmeej losowej X. stałe prawdopodobeństwo sukcesu w każdej próbe. lczebość w każdej klase >. duża lczebość próby ogółem Ʃ >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test χ ): χ k ( p) p Wyzaczamy prawdopodobeństwa dla kolejych waratów zmeej losowej X k k korzystając ze wzoru a rozkład dwumaowy: P(X x ) p q k. Poeważ ezae jest prawdopodobeństwo zdaa egzamu przez studeta szacujemy je korzystając z daych z próby. E(X) p p. P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) * *) przyjmujemy ż wartośc zmeej losowej X zaobserwowae w próbe wyczerpują zbór jej możlwych waratów Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: p p ( p ) p Ʃ χ ob

5 Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( χ α v r k ; + ). Wartość χ α odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu χ przy zadaym α v r k oraz v r-k- gdze r to lczba waratów zmeej losowej X a k to lczba szacowaych (ezaych) parametrów rozkładu teoretyczego. α χ α v-- χ ob > χ α Z prawdopodobeństwem błędu I rodzaju ższym ż wyk z próby e potwerdzły przypuszczea ż lczba studetów zdających egzam u pewego wykładowcy może być opsaa rozkładem dwumaowym. Zadae.. W pewej frme produkującej częśc zamee do samochodów osobowych zdarza sę że któryś z ch ma jakąś wadę techczą. Czy a podstawe wyków uzyskaych z klku wyprodukowaych part tej częśc moża twerdzć że lczba wyprodukowaych w ch złych elemetów może być opsaa rozkładem dwumaowym? Stosowe dae przedstawa poższy szereg rozdzelczy: Lczba wyprodukowaych częśc w jedej part Lczba wyprodukowaych częśc z usterką Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość lczba wyprodukowaych częśc w jedej part zmea losowa X lczba wyprodukowaych częśc z usterką Szukae: H :P(X)P*(X) (lczba wyprodukowaych częśc z usterką w part jest zgoda z rozkładem dwumaowym) H :P(X) P*(X) (lczba wyprodukowaych częśc z usterką w part e jest zgoda z rozkładem dwumaowym) k k gdze: F (x) p q k x k. terwałowy pomar zmeej losowej X. stałe prawdopodobeństwo sukcesu w każdej próbe. lczebość w każdej klase >. duża lczebość próby ogółem Ʃ >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test χ ): χ k ( p) p ezae jest prawdopodobeństwo wyprodukowaa złego elemetu w part szacujemy je korzystając z wyków z próby. E(X) p p. P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) * *) przyjmujemy ż wartośc zmeej losowej X zaobserwowae w próbe wyczerpują zbór jej możlwych waratów Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: p p ( p ) p Ʃ - χ ob Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( χ α v r k ; + ). Wartość χ α odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu χ przy zadaym α v r k oraz v r-k- gdze r to lczba waratów zmeej losowej X a k to lczba szacowaych (ezaych) parametrów rozkładu teoretyczego. α χ α v-- χ ob < χ α Z prawdopodobeństwem błędu I rodzaju ższym ż wyk z próby potwerdzają przypuszczee ż lczba produkowaych częśc z usterką w part może być opsaa rozkładem dwumaowym. Wyzaczamy prawdopodobeństwa dla kolejych waratów zmeej losowej X k k korzystając ze wzoru a rozkład dwumaowy: P(X x ) p q k. Poeważ

6 .. z rozkładem Possoa Zadae... Obserwacja dzeej lczby osób odwedzających pewe mały sklep spożywczy oraz dzeej lczby sprzedawaych w m opakowań jogurtów dała astępujące wyk które prezetuje poższa tabelka: Dzea lczba sprzedawaych opakowań jogurtów Dzea lczba kletów sklepu spożywczego Czy a podstawe wyków z próby moża twerdzć że lczba sprzedawaych opakowań jogurtów w tym sklepe spożywczych jest zbeża z rozkładem Possoa? Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość osoby robące zakupy w pewym sklepe spożywczym zmea losowa X lczba kupoych opakowań jogurtów przez kletów w tym sklepe Szukae: H :P(X)P*(X) (dzea lczba sprzedawaych opakowań jogurtów jest zgoda z rozkładem Possoa) H :P(X) P*(X) (dzea lczba sprzedawaych opakowań jogurtów e jest zgoda z rozkładem Possoa) k λ λ gdze: F (x) e k! k x. terwałowy pomar zmeej losowej X. stały loczy p. lczebość w każdej klase >. duża lczebość próby ogółem Ʃ >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test χ ): χ k ( p) p Wyzaczamy prawdopodobeństwa dla kolejych waratów zmeej losowej X k λ korzystając ze wzoru a rozkład Possoa: P( x k) k! e λ. Poeważ ezay jest parametr rozkładu teoretyczego szacujemy go korzystając z daych z próby. λ x.. P(x ) e P(x ) e!!.. P(x ) e P(x ) e!! P(x){-(+++)}* *) przyjmujemy ż wartośc zmeej losowej X zaobserwowae w próbe wyczerpują zbór jej możlwych waratów Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: x p p ( p ) ( p ) p x x χ ob Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( χ α v r k ; + ). Wartość χ α odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu χ przy zadaym α v r k oraz v r-k- gdze r to lczba waratów zmeej losowej X a k to lczba szacowaych (ezaych) parametrów rozkładu teoretyczego. α χ α v-- χ ob > χ α Z prawdopodobeństwem błędu I rodzaju ższym ż wyk z próby e potwerdzły przypuszczea że dzea lczba sprzedawaych opakowań jogurtów w pewym sklepe spożywczym może być opsaa rozkładem Possoa. Zadae... W pewej cetral telefoczej zbadao lczbę zgładzoych awar przez użytkowków telefoów stacjoarych w cągu losowo wybraych d. Uzyskae dae przedstawa poższy szereg rozdzelczy: Dzea lczba zgłaszaych awar lczba zbadaych d Czy a podstawe uzyskaych daych moża sądzć ż rozkład dzeej lczby zgłaszaych awar sec telekomukacyjej przez użytkowków telefoów stacjoarych może być opsay rozkładem Possoa? Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość użytkowcy telefoów stacjoarych zmea losowa X dzea lczba zgłaszaych awar Szukae: H :P(X)P*(X) (rozkład dzeej lczby zgłaszaych awar sec telekomukacyjej przez użytkowków telefoów stacjoarych moża opsać rozkładem Possoa) H :P(X) P*(X) (rozkład dzeej lczby zgłaszaych awar sec telekomukacyjej przez użytkowków telefoów stacjoarych e moża opsać rozkładem Possoa) k λ λ gdze: F (x) e k! k x. terwałowy pomar zmeej losowej X. stały loczy p. lczebość w każdej klase >

7 . duża lczebość próby ogółem Ʃ >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test χ r ( p ) ): χ p Wyzaczamy prawdopodobeństwa dla kolejych waratów zmeej losowej X k λ korzystając ze wzoru a rozkład Possoa: P( x k) k! e. Poeważ ezay jest parametr rozkładu szacujemy go korzystając z daych z próby. λ x P(x ) e P(x ) e!! P(x ) e P(x ) e!! P(x ) e P(x ) e!! P(x){-(+++++)}* *) przyjmujemy ż wartośc zmeej losowej X zaobserwowae w próbe wyczerpują zbór jej możlwych waratów Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: x p p ( p ) ( p ) p x x χ ob Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( χ α v r k ; + ). Wartość χ αv r k odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu χ przy zadaym α oraz v r-k gdze r to lczba waratów zmeej losowej X a k to lczba szacowaych (ezaych) parametrów rozkładu teoretyczego. α χ α v-- χ ob > χ α Z prawdopodobeństwem błędu I rodzaju ższy ż moża przypuszczać ż dzea lczba zgłaszaych awar do cetral telefoczej przez użytkowków telefoów stacjoarych e jest zbeża z rozkładem Possoa. Zadae... W wybraych losowo ośrodkach wypoczykowych zbadao le w cągu jedego turusu (w cągu d) zachorowało a grypę dzec w ostatch klku latach. Otrzymae dae prezetuje poższa tabelka: Lczba dzec która zachorowała a grypę w czase turusu Lczba zbadaych turusów Czy lczba dzec która zachoruje a grypę w ośrodkach wypoczykowych w czase jedego turusu może być opsaa rozkładem Possoa? Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość dzec przebywające w ośrodkach wypoczykowych zmea losowa X lczba dzec która zachoruje a grypę w czase jedego turusu Szukae: H :P(X)P*(X) (lczba dzec która zachoruje a grypę w czase jedego turusu jest zbeża z rozkładem Possoa) H :P(X) P*(X) (lczba dzec która zachoruje a grypę w czase jedego turusu e jest zbeża z rozkładem Possoa) k λ λ gdze: F (x) e k! k x. terwałowy pomar zmeej losowej X. stały loczy p. lczebość w każdej klase >. duża lczebość próby ogółem Ʃ >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test χ r ( p ) ): χ p Wyzaczamy prawdopodobeństwa dla kolejych waratów zmeej losowej X k λ korzystając ze wzoru a rozkład Possoa: P( x k) k! e λ. Poeważ ezay jest parametr rozkładu szacujemy go korzystając z daych z próby. λ x. P(x ) e P(x ) e!! P(x ) e P(x ) e!! P(x){-(+++)}* *) przyjmujemy ż wartośc zmeej losowej X zaobserwowae w próbe wyczerpują zbór jej możlwych waratów Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: x p p ( p ) ( p ) p x x χ ob

8 Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( χ α v r k ; + ). Wartość χ αv r k odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu χ przy zadaym α oraz vr-k- gdze r to lczba klas wartośc cechy X a k to lczba szacowaych (ezaych) parametrów rozkładu. α χ α v-- χ ob > χ α Z prawdopodobeństwem ższym ż wyk z próby e potwerdzły przypuszczea że lczba dzec która zachoruje a grypę w czase jedego turusu przebywaa w ośrodku wypoczykowym może być opsaa rozkładem Possoa... z rozkładem ormalym Zadae... Zbadao losowo wybraą grupę kobet w weku - lat spytao je o dzey czas pośwęcoy a pelęgację pazokc (w m). Uzyskae wyk przedstawa poższy szereg rozdzelczy lczebośc: Czas pośwęcoy a pelęgację pazokc (w m) Czy a podstawe wyków z próby moża sądzć że rozkład dzeego czasu pośwęcoego a pelęgację pazokc przez kobety w weku - lat moża opsać rozkładem ormalym? Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. dae: badaa zborowość - kobety w weku - lat zmea losowa X dzey czas pośwęcoy a pelęgację pazokc H : f(x) (rozkład dzeego czasu pośwęcoego a pelęgacje pazokc w populacj kobet w weku - lat jest zgody z rozkładem ormalym) H : f(x) (rozkład dzeego czasu pośwęcoego a pelęgacje pazokc w populacj kobet w weku - lat e jest zgody z rozkładem ormalym). terwałowy pomar zmeej losowej X. duża lczebość z próby >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test D Agosto-Pearsoa): K Z A +Z K gdze: Z A to statystyka testująca skośośc rozkładu a Z K to statystyka testująca kurtozę rozkładu. k (x x) Y Y Z l + + gdze: m A k l W W W m ( ) ( ) Y + + m m ( ) ( + ) ( + ) ( + ) W + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( c ) c m ( ) + a c m + Z gdze: a K ( ) ( ) c ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) b c + ( + ) ( + ) ( ) ( ) + + b b b

9 Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej o o x o x ( x - x ) ( x - x ) ( x - x ) Ʃ - m m m Y W + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) Z l A + + l ( ) + a ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) b ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) c ( ) + Z K ob+ K Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( χ ; + ). Wartość χ o o α v r k odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu χ przy zadaym pozome stotośc α oraz lczbe stop swobody v. αv α χ α v χ ob<χ α Przy pozome stotośc mejszym ż wyk z próby potwerdzły przypuszczee że dzey czas pośwęcoy a pelęgację pazokc przez kobety w weku - lat moża opsać rozkładem ormalym. Zadae... Przyjmuje sę że dzey czas dojazdu do pracy osób zameszkałych w pewym województwe jest zbeży z rozkładem ormalym. Czy to założee jest słusze jeżel badając dzey czas dojazdu do pracy wybraych losowo pracowków uzyskao astępujące dae które przedstawoo w poższym szeregu rozdzelczym lczebośc: Czas dojazdu pracowków do pracy (w m.) Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. dae: badaa zborowość osoby dojeżdżające do pracy zmea losowa X czas dojazdu do pracy H : f(x) (rozkład dzeego czasu dojazdu do pracy jest zgody z rozkładem ormalym) H : f(x) (rozkład dzeego czasu dojazdu do pracy e jest zgody z rozkładem ormalym). terwałowy pomar zmeej losowej X. duża lczebość z próby >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test D Agosto-Pearsoa): K Z A +Z K gdze: Z A to statystyka testująca skośośc rozkładu a Z K to statystyka testująca kurtozę rozkładu k (x x) Y Y Z l + + gdze: m A k l W W W m ( ) ( ) Y + + m m ( ) ( + ) ( + ) ( + ) W + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( c ) c m ( ) + a c m + Z gdze: a K ( ) ( ) c ( + ) ( + ) ( + )

10 ( + ) ( + ) ( + ) b c + ( + ) ( + ) ( ) ( ) + b b Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej o o x o o + b x ( x - x ) ( x - x ) ( x - x ) Ʃ - m m m ( + ) ( + ) Y ( ) W + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) Z l A + + l ( ) + a ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) b ( + ) ( + ) c ( ) Z K K ob-- ( + ) ( + ) ( ) ( ) + ( ) o Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( χ ; + ). Wartość χ α v r k odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu χ przy zadaym pozome stotośc α oraz lczbe stop swobody v. α χ α v χ ob<χ α Przy pozome stotośc mejszym ż wyk z próby potwerdzły przypuszczee że rozkład dzeego czasu dojazdu do pracy pracowków w pewym województwe może być opsay rozkładem ormalym. Zadae... Z badaa mesęczych kosztów hadlowych wyka ż korporacja "Ola" skupająca wele frm poos straty. Dla losowo wybraych fl tej korporacj zbadao wysokość pooszoych strat przedstawoo je w poższej tabelce: Wysokość mesęczych strat (w tys. zł.) Lczba zbadaych placówek Czy rozkład mesęczych strat hadlowych w flach tej korporacj jest zgody z rozkładem ormalym? Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość fle korporacj Ola zmea losowa X mesęcza wysokość strat pooszoa przez te fle Szukae: H : F(x) F (x) (rozkład mesęczych strat hadlowych w flach tej korporacj jest zgody z rozkładem ormalym) H : F(x) F (x) (rozkład mesęczych strat hadlowych w flach tej korporacj e jest zgody z rozkładem ormalym) x ( t m ) π gdze: F (x) e dt δ π. terwałowy pomar zmeej losowej X. duża lczebość z próby >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test χ r ( p ) ): χ p Wyzaczamy prawdopodobeństwa wystąpea wartośc zmeej losowej X w rozkładze teoretyczym. W celu ch oblczea stadaryzujemy krańce przedzałów w rozkładze empryczym po prowadzeu dwóch owych przedzałów tj. (- ) ( x x x x + ) według wzorów: u u gdze x S(X). S S P(- <X<) P(U<-)-P(U<- )Ф(-)-Ф(- ) P(<X<)P(U<-)-P(U<-)Ф(-)-Ф(-) αv

11 P(<X<)P(U<-)-P(U<-)Ф(-)-Ф(<-) td. Wartośc Ф(u ) Ф(u ) odczytujemy z tablcy dystrybuaty stadardowego rozkładu ormalego a astępe oblczamy p Ф(u )-Ф(u ) oraz lczebośc teoretycze ) p. Tabelka z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: x x u u F( u ) F( u ) p ) x x x x χ ob ) ) ( ) ) ( ) ) x Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( χ α v r k ; + ). Wartość χ αv r k odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu χ przy zadaym pozome stotośc α oraz lczbe stop swobody vr-k- gdze r to lczba klas wartośc zmeej losowej X a k to lczba szacowaych (ezaych) parametrów rozkładu teoretyczego. α χ α v-- χ ob > χ α Z prawdopodobeństwem mejszym ż wyk z próby e potwerdzły przypuszczee ż rozkład mesęczych strat hadlowych w flach korporacj Ola jest zbeży z rozkładem ormalym. Zadae... W pewym sklepe spożywczym w cągu jedego da zebrao formacje o wysokość płacoych rachuków przez losowo wybraych kletów. Uzyskae dae przedstawa poższy szereg rozdzelczy: Wysokość płacoych rachuków (w zł.) Lczba zbadaych rachuków Czy a podstawe wyków z próby moża twerdzć że rozkład dzeej wysokośc płacoych rachuków za zakupy przez kletów w tym sklepe jest zbeży z rozkładem ormalym? Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość rachuk osób robących zakupy w pewym sklepe spożywczym zmea losowa X wysokość rachuków Szukae: H : F(x) F (x) (rozkład wysokośc płacoych rachuków przez kletów ma rozkład ormaly) H : F(x) F (x) (rozkład wysokośc płacoych rachuków przez kletów e ma rozkładu ormalego) x ( t m ) π gdze: F (x) e dt δ π. terwałowy pomar zmeej losowej X. duża lczebość z próby >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test χ r ( p ) ) : χ p Wyzaczamy prawdopodobeństwa wystąpea wartośc zmeej losowej X w rozkładze teoretyczym. W celu ch oblczea stadaryzujemy krańce przedzałów w rozkładze empryczym po prowadzeu dwóch owych przedzałów tj. (- ) ( x x x x + ) według wzorów: u u gdze x S(X). S S P(- <X<) P(U<-)-P(U<- )Ф(-)-Ф(- ) P(<X<)P(U<-)-P(U<-)Ф(-)-Ф(-) P(<X<)P(U<-)-P(U<-)Ф(-)-Ф(<-) td. Wartośc Ф(u ) Ф(u ) odczytujemy z tablcy dystrybuaty stadardowego rozkładu ormalego a astępe wyzaczamy p Ф(u )-Ф(u ) oraz lczebośc teoretycze ) p. Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk z próby: x x u u F( u ) F( u ) p ) x x x x

12 χ ) ) ) ( ) ( ) ) x ob Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( χ α v r k ; + ). Wartość χ αv r k odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu χ przy zadaym pozome stotośc α oraz lczbe stop swobody vr-k- gdze r to lczba klas wartośc zmeej losowej X a k to lczba szacowaych (ezaych) parametrów rozkładu teoretyczego. α χ α v-- χ ob > χ α Z prawdopodobeństwem mejszym ż wyk z próby e potwerdzły przypuszczea że rozkład wysokośc płacoych rachuków przez kletów za zakupy w cągu da w pewym sklepe spożywczym moża opsać rozkładem ormalym. Zadae... Twerdz sę że w jedym z plemo afrykańskch rozkład lczby urodzeń żywych względem weku rozrodczego kobet jest zbeży z rozkładem ormalym. Sprawdź czy to przypuszczee jest słusze skoro dla losowo wybraej grupy kobet z tego plemea uzyskao astępujące formacje: Wek rodzących kobet Lczba urodzeń żywych Weryfkację odpowedej hpotezy przeprowadzć przy pozome stotośc. Dae: badaa zborowość rodzące kobety w pewym plemeu afrykańskm zmea losowa X lczba urodzeń żywych Szukae: H : F(x) F (x) (rozkład lczby urodzeń żywych względem weku rozrodczego kobety jest zgody z rozkładem ormalym) H : F(x) F (x) (rozkład lczby urodzeń żywych względem weku rozrodczego kobety e jest zgody z rozkładem ormalym) x ( t m ) π gdze: F (x) e dt δ π. terwałowy pomar zmeej losowej X. duża lczebość z próby >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test χ r ( p ) ): χ p Wyzaczamy prawdopodobeństwa wystąpea wartośc zmeej losowej X w rozkładze teoretyczym. W celu ch oblczea stadaryzujemy krańce przedzałów w rozkładze empryczym po prowadzeu dwóch owych przedzałów tj. (- ) ( x x x x + ) według wzorów: u u gdze x S(X). S S P(- <X<) P(U<-)-P(U<- )Ф(-)-Ф(- ) P(<X<)P(U<-)-P(U<-)Ф(-)-Ф(-) P(<X<)P(U<-)-P(U<-)Ф(-)-Ф(<-) td. Wartośc Ф(u ) Ф(u ) odczytujemy z tablcy dystrybuaty stadardowego rozkładu ormalego a astępe oblczamy p Ф(u )-Ф(u ) oraz lczebośc teoretycze ) p. Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk z próby: x x u u F( u ) F( u ) p ) x x x x χ ) ( ) ) ( ) ) x ob Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( χ α v r k ; + ). Wartość χ αv r k odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu χ przy zadaym pozome stotośc α oraz lczbe stop swobody vr-k- gdze r to lczba klas wartośc zmeej losowej X a k to lczba szacowaych (ezaych) parametrów rozkładu teoretyczego. α χ α v-- χ ob < χ α

13 Przy pozome stotośc mejszym ż wyk z próby potwerdzły przypuszczee ż płodość kobet w pewym plemeu afrykańskm względem ch weku rozrodczego jest zgoda z rozkładem ormalym. Zadae... Mesąc czerwec-lpec to okres zdawaa przez uczów psemych egzamów wstępych do szkół średch. Producec długopsów przypuszczają ż w tym czase lość zużytego (w ltrach) atrametu przez ogół kadydatów może być opsaa rozkładem ormalym. W celu ocey tego przypuszczea zbadao losowo wybraych uczów pszących te egzamy a otrzymae dae przedstawa poższy szereg rozdzelczy: lość zużytego atrametu przez ucza lczba zbadaych uczów Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość uczowe pszący długopsam egzam wstępy zmea losowa X lość zużytego atrametu w czase psaa egzamów wstępych Szukae: H : F(x) F (x) (rozkład zużytego atrametu przez uczów w czase egzamów wstępych jest zgody z rozkładem ormalym) H : F(x) F (x) (rozkład zużytego atrametu przez uczów w czase egzamów wstępych e jest zgody z rozkładem ormalym) x ( t m ) π gdze: F (x) e dt δ π. terwałowy pomar zmeej losowej X. duża lczebość z próby >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test λ-kolmogorowa): λ D gdze: sup F (x) F (x) D x Wyzaczamy prawdopodobeństwa wystąpea wartośc zmeej losowej X w rozkładze teoretyczym. W celu ch oblczea stadaryzujemy góry kraec x x przedzałów w rozkładze empryczym według wzoru: u gdze: x S S(X). P(X<)P(U<-)Ф(-)-Ф()- P(X<)P(U<-)Ф(-) P(X<)P(U<-)Ф(-) td. Wartośc Ф(u ) odczytujemy z tablcy dystrybuaty stadardowego rozkładu ormalego a astępe oblczamy Ф(u )-Ф(u ). Tablca... Dystrybuata stadardowego rozkładu ormalego u Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk z próby: x w F (x ) u F ( u ) λ F ( x) F ( u ) x x x x ob Wartość λ α odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu Kolmogorowa przy zadaym pozome stotośc α. Jeśl wartość statystyk z próby λ ob <λ α ozacza to że różca pomędzy rozkładem empryczym a hpotetyczym e jest statystycze stota e mamy podstaw do odrzucea hpotezy zerowej. α λ α λ ob <λ α Przy pozome stotośc mejszym ż wyk z próby potwerdzają przypuszczee że lość zużytego atrametu przez uczów w czase psaa egzamów wstępych do szkół średch moża opsać rozkładem ormalym. Zadae... Rok szkoly to okres wytężoej auk. Merkem oceającym włożoy wysłek w zdobywae przez uczów wedzy może być lczba zapsaych stro otatek w zeszyce. W jedej z warszawskch szkół średch spytao losowo wybraych uczów o lczbę zapsaych stro w tym czase otrzymao astępujące wyk: lczba zapsaych stro lczba zbadaych uczów Zweryfkować przypuszczee ż lczba zapsaych stro w zeszyce przez uczów w czase roku szkolego ma rozkład ormaly. Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość uczowe szkól średch zmea losowa X lczba zapsaych stro w zeszyce przez uczów w czase roku szkolego Szukae: Tablce rozkładu λ-kołmogorowa podają wartośc dystrybuaty K(λ) zmeej λ. Wartośc krytycze λ α zajdujemy jako K(λ λ )-α.

14 H : F(x) F (x) (rozkład lczby zapsaych stro przez uczów w roku szkolym jest zgody z rozkładem ormalym) H : F(x) F (x) (rozkład lczby zapsaych stro przez uczów w roku szkolym e jest zgody z rozkładem ormalym) x ( t m ) π gdze: F (x) e dt δ π. terwałowy pomar zmeej losowej X. duża lczebość z próby >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test λ-kolmogorowa): λ D gdze: sup F (x) F (x) D x Wyzaczamy prawdopodobeństwa wystąpea wartośc zmeej losowej X w rozkładze teoretyczym. W celu ch oblczea stadaryzujemy góry kraec x x przedzałów w rozkładze empryczym według wzoru: u gdze: x S S(X). P(X<) P(U<-)Ф(-) P(X<)P(U<-)Ф(-) P(X<)P(U<)Ф() td. Wartośc Ф(u ) odczytujemy z tablcy dystrybuaty stadardowego rozkładu ormalego a astępe oblczamy Ф(u )-Ф(u ). Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk z próby: x w F ( x) λ u F ( u ) F ( x) F ( u ) - - x x x x ob Wartość λ α odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu Kolmogorowa przy zadaym pozome stotośc α. Jeśl wartość statystyk z próby λ ob <λ α ozacza to że różca pomędzy rozkładem empryczym a hpotetyczym e jest statystycze stota e mamy podstaw do odrzucea hpotezy zerowej. α λ α λ ob <λ α Przy pozome stotośc mejszym ż wyk z próby potwerdzły przypuszczee że lczba zapsaych stro w zeszyce przez ucza w roku szkolym może być opsaa rozkładem ormalym. Zadae... W wybraych losowo małych mastach w Polsce zebrao formacje o weku osób zawerających perwszy zwązek małżeńsk. Uzyskao astępujące dae (w latach):. Czy rozkład weku osób zawerających perwszy zwązek małżeńsk moża opsać rozkładem ormalym? Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. dae: badaa zborowość osoby które zawarły perwszy zwązek małżeńsk zmea losowa X wek osób zawerających po raz perwszy zwązek małżeńsk H : f(x)f * (x) (wek osób zawerających po raz perwszy zwązek małżeńsk moża opsać rozkładem ormalym) H : f(x) f * (x) (wek osób zawerających po raz perwszy zwązek małżeńsk e moża opsać rozkładem ormalym). terwałowy pomar zmeej losowej X. mała lczebość z próby <. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test Shapro-Wlka): stablcowae współczyk dla testu Shapro-Wlka. W a (x + x ) gdze a -+ to (x x) Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk z próby: * x x -+ (x -+ -x ) a -+ [(x -+ -x ) a -+ ] (x -śr.x) Ʃ - *) wartośc x muszą być uporządkowae emalejąco Tablce rozkładu λ-kołmogorowa podają wartośc dystrybuaty K(λ) zmeej λ. Wartośc krytycze λ α zajdujemy jako K(λ λ )-α.

15 W ob Wartość W α odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu Shapro-Wlka przy zadaym pozome stotośc α oraz lczebośc z próby. Jeśl wartość statystyk z próby ależy do przedzału [W αv ] ozacza to że różca pomędzy rozkładem empryczym a hpotetyczym jest statystycze stota hpotezę zerową ależy odrzucć a korzyść hpotezy alteratywej. Tablca... Rozkład Shapro-Wlka \ α α W αv W ob <W α Przy pozome stotośc mejszym ż wyk z próby e pozwalają twerdzć że rozkład weku osób zawerających po raz perwszy zwązek małżeńsk może być opsay rozkładem ormalym. Zadae... W pewej klce chrurg plastycze kerowctwo przypuszcza sę że dzea lość zużywaego pewego preparatu do poprawea urody przez osoby w weku - może być opsaa rozkładem ormalym. W celu zweryfkowaa tego przypuszczea spytao o to losowo wybraą grupę osób w tym weku uzyskao astępujące dae (w mg):. Czy przypuszczea kerowctwa tej klk są słusze? Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. dae: badaa zborowość osoby w weku - lat zmea losowa X dzea lość zużywaego preparatu do poprawea urody H : f(x)f * (x) (dzea lość zużywaego preparatu do poprawea urody przez osoby w weku - lat może być opsaa rozkładem ormalym) H : f(x) f * (x) (dzea lość zużywaego preparatu do poprawea urody przez osoby w weku - lat e może być opsaa rozkładem ormalym). terwałowy pomar zmeej losowej X. mała lczebość z próby <. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca: a (x + x ) W gdze a -+ to stablcowae (x x) współczyk dla testu Shapro-Wlka. Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk z próby: * x x -+ (x -+ -x ) a -+ [(x -+ -x ) a -+ ] (x -śr.x) Ʃ - *) wartośc x muszą być uporządkowae emalejąco W ob Wartość W α odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu Shapro-Wlka przy zadaym pozome stotośc α oraz lczebośc z próby. Jeśl wartość statystyk z próby ależy do przedzału [W αv ] ozacza to że różca pomędzy rozkładem empryczym a hpotetyczym jest statystycze stota hpotezę zerową ależy odrzucć a korzyść hpotezy alteratywej. α W αv W ob <W α Z prawdopodobeństwem błędu mejszym ż moża twerdzć że rozkład dzeej lośc używaego preparatu a poprawę urody przez osoby w weku - lat e może być opsay rozkładem ormalym. Zadae... W pewej frme postaowoo zbadać czy pozom zmęczea pracowków po całym du pracy może być opsay rozkładem ormalym. W tym celu wybrao losowo wybraych pracowków poproszoo ch a koec da pracy o rozwązae pewego zadaa matematyczego. Czas potrzeby do rozwązaa tego zadaa był oceą skal zmęczea. Uzyskao astępujące wyk (w m.):. Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. dae: badaa zborowość osoby pracujące w pewej frme zmea losowa X pozom zmęczea pracowków

16 H : f(x)f * (x) (pozom zmęczea pracowków w pewej frmy moża opsać rozkładem ormalym) H : f(x) f * (x) (pozom zmęczea pracowków w pewej frmy e moża opsać rozkładem ormalym). terwałowy pomar zmeej losowej X. mała lczebość z próby <. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca: a (x + x ) W gdze a -+ to stablcowae (x x) współczyk dla testu Shapro-Wlka. Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk z próby: * x x -+ (x -+ -x ) a -+ [(x -+ -x ) a -+ ] (x -śr.x) Ʃ - *) wartośc x muszą być uporządkowae emalejąco W ob Wartość W α odczytujemy z tablc dla wartośc krytyczych rozkładu Shapro-Wlka przy zadaym pozome stotośc α oraz lczebośc z próby. Jeśl wartość statystyk z próby ależy do przedzału [W αv ] ozacza to że różca pomędzy rozkładem empryczym a hpotetyczym jest statystycze stota hpotezę zerową ależy odrzucć a korzyść hpotezy alteratywej. α W αv W ob <W α Z prawdopodobeństwem błędu mejszym ż wyk z próby pozwalają twerdzć że pozom zmęczea pracowków po całym du pracy e może być opsay rozkładem ormalym.. Test zgodośc dla dwóch rozkładów empryczych.. z prób ezależych Zadae.. W ektórych uczelach wyższych jest możlwość pracy przy komputerze w godzach poza zajęcam lekcyjym. Czy rozkład tygodowego czasu pracy przy komputerze a teree pewej uczel poza godzam lekcyjym jest tak sam w populacj studetek studetów skoro w przeprowadzoym badau dla losowo wybraych studetek tylu samo studetów uzyskao astępujące dae: Tygodowy czas pracy przy komputerze kobety mężczyź Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. dae: badaa zborowość studec studec zmea losowa X tygodowy czas pracy przy komputerze studetów a teree pewej uczel merzala H : F(x) F (x) (tygodowy czas pracy przy komputerze a teree uczel w obu populacjach ma jedakowy rozkład) H : F(x) F (x) (tygodowy czas pracy przy komputerze a teree uczel w obu populacjach e ma jedakowego rozkładu). terwałowy pomar zmeej losowej X. lczebość w każdej klase. duża lczebość próby ogółem Ʃ >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test Kołmogorowa-Smrowa): λ D gdze: D sup F (x) F (x) oraz + x Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: kobety mężczyź x w F ( x ) k w F ( x ) k D sup F x F x ( ) ( ) λ x x x ob x Wartość λ α odczytujemy z tablc dystrybuaty rozkładu Kolmogorowa przy zadaym pozome stotośc α. Jeśl wartość statystyk z próby λ ob <λ α ozacza to że różca

17 pomędzy rozkładem empryczym a hpotetyczym e jest statystycze stota e mamy podstaw do odrzucea hpotezy zerowej. W przecwym przypadku hpotezę zerową ależy odrzucć a korzyść hpotezy alteratywej. Tablca. Dystrybuata rozkładu λ Kołmogorowa λ K(λ) α K(λ )- λ α λ ob >λ α Przy pozome stotośc mejszym ż wyk z próby e potwerdzły przypuszczea ż rozkład tygodowego czasu pośwęcoego a pracę przy komputerze w populacj studetów studetek a teree pewej uczel jest tak sam. Zadae.. Przyjmuje sę że ćwczea gmastycze poprawają sprawość ruchową kodycję fzyczą osób. W poższej tablcy przedstawoo dae uzyskae od losowo wybraych kobet losowo wybraych mężczyz o ch mesęczym czase pośwęcoym a gmastykę (w godz.): Mesęczy czas pośwęcoy a ćwczea gmastycze kobety mężczyź Czy mesęczy czas pośwęcoy a ćwczea w obu tych populacjach ma jedakowy rozkład? Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość populacja kobet mężczyz zmea losowa X mesęczy czas pośwęcoy przez osoby a ćwczea gmastycze merzala Szukae: H : F(x) F (x) (mesęczy czas pośwęcoy a ćwczea w obu badaych populacjach ma jedakowy rozkład) H : F(x) F (x) (mesęczy czas pośwęcoy a ćwczea w obu badaych populacjach e ma jedakowego rozkładu). terwałowy pomar zmeej losowej X. lczebość w każdej klase. duża lczebość próby ogółem Ʃ >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test Kołmogorowa-Smrowa): λ D gdze: D sup F (x) F (x) oraz + x Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: kobety mężczyź x w Fk ( x) w Fk ( x) D sup F ( x) F ( x) x x x x λ Wartość λ α odczytujemy z tablc dystrybuaty rozkładu Kolmogorowa przy zadaym pozome stotośc α. Jeśl wartość statystyk z próby λ ob <λ α ozacza to że różca pomędzy rozkładem empryczym a hpotetyczym e jest statystycze stota e mamy podstaw do odrzucea hpotezy zerowej. W przecwym przypadku hpotezę zerową ależy odrzucć a korzyść hpotezy alteratywej. α λ α λ ob >λ α Przy pozome stotośc mejszym ż wyk z próby e potwerdzły przypuszczea ż rozkład mesęczego czasu pośwęcoego a ćwczea gmastycze w zborowośc kobet jest tak sam jak w zborowośc mężczyz. Zadae.. Czy rozkład tygodowego czasu pracy przy komputerze w populacj kobet mężczyz studujących a pewej uczel jest tak sam skoro w przeprowadzoym badau dla losowo wybraych studetek tylu samo studetów uzyskao astępujące dae: Tygodowy czas pracy przy komputerze (w godz.) kobety mężczyź Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość kobety mężczyź studujący a pewej uczel zmea losowa X tygodowy czas pracy przy komputerze merzala Szukae: H : F(x) F (x) (tygodowy czas pracy przy komputerze w obu populacjach osób studujących ma jedakowy rozkład) H : F(x) F (x) (tygodowy czas pracy przy komputerze w obu populacjach osób studujących e ma jedakowego rozkładu). terwałowy pomar zmeej losowej X. lczebość w każdej klase. duża lczebość próby ogółem Ʃ >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test Kołmogorowa-Smrowa): λ D gdze: D sup F (x) F (x) oraz x + Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej:

18 x λ kobety mężczyź w F x k w F x k D sup F x F x ( ) ( ) x x x x ob Wartość λ α odczytujemy z tablc dystrybuaty rozkładu Kolmogorowa przy zadaym pozome stotośc α. Jeśl wartość statystyk z próby λ ob <λ α ozacza to że różca pomędzy rozkładem empryczym a hpotetyczym e jest statystycze stota e mamy podstaw do odrzucea hpotezy zerowej. W przecwym przypadku hpotezę zerową ależy odrzucć a korzyść hpotezy alteratywej. α λ α λ ob >λ α Przy pozome stotośc mejszym ż wyk z próby e potwerdzły przypuszczea że rozkład tygodowego czasu pośwęcoego a pracę przy komputerze w populacj kobet studujących a pewej uczel jest tak sam jak w populacj studujących tam mężczyz. Zadae.. Ze zborowośc studetek studetów pewej uczel wylosowao ezależe po dzesęć osób zmerzoo ch długość włosów. W grupe perwszej długość oszoych włosów przez poszczególe osoby wyosła (w cm): a w drugej grupe to:. Zweryfkować przypuszczee że rozkład długośc włosów oszoych przez studetów studetk a tej uczel jest tak sam. Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość studetk studec pewej uczel zmea losowa X długość oszoych włosów przez osoby studujące merzala Szukae: H : f(x)f*(x) (rozkład długośc włosów w obu populacjach osób studujących a pewej uczel jest tak sam) H : f(x) f*(x) (rozkład długośc włosów w obu populacjach osób studujących a pewej uczel e jest tak sam). terwałowy pomar zmeej losowej X. mała lczebość próby <. losowy dobór elemetów do prób Statystyka testująca (test Walda-Wolfowtza): lczba ser Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: Lczba Grupa Wartośc cechy Przyporządkowae symbole: ser b a b a b Perwsza b a b a a b a a b b Druga a Wyzaczamy wartość meday dla obu prób łącze. Symbolem (a) ozaczamy wartośc mejsze od meday a symbolem (b) wartośc wększe od meday. Wartośc rówe medae pomjamy. Wartość meday z obu prób: me. k ob (lczba ser w obu próbach) (lczba elemetów (a) w obu próbach) (lczba elemetów (b) w obu próbach) a a b b Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( k α > gdze k α jest to wartość krytycza którą odczytujemy z tablc testu ser przy zadaym pozome stotośc α oraz lczbe zaków dodatch (wartośc wyższe od meday) oraz lczbe zaków ujemych (wartośc ższe od meday). Tablca...Wartośc krytycze rozkładu testu ser dla α k k*>k α Przy pozom stotośc mejszym ż wyk z próby pozwalają sądzć że obe badae zborowośc mają tak sam rozkład. Rozkład długośc włosów oszoych przez studetów studetk a pewej uczel jest zatem tak sam. Zadae..

19 W pewym meśce w dwóch jego dzelcach dokoao pomaru średcy pa losowo wybraych dwuletch drzew pewego gatuku. Uzyskao astępujące dae: dzelca A: dzelca B:. Czy wyk z próby potwerdzają przypuszczee że rozkład średcy pa drzew dwuletch w obu dzelcach tego masta jest tak sam? Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość dwulete drzewa pewego gatuku zmea losowa X średca pa drzewa dwuletego merzala Szukae: H : f(x)f*(x) (rozkład średcy pa drzew dwuletch pewego gatuku jest tak sam w obu dzelcach masta) H : f(x) f*(x) (rozkład średcy pa drzew dwuletch pewego gatuku e jest tak sam w obu dzelcach masta). terwałowy pomar zmeej losowej X. duża lczebość próby >. losowy dobór elemetów do próby Statystyka testująca (test Walda-Wolfowtza): ( ) a b a b D (K) ( ) k E(k) U ob a b gdze E(K) + D(k) Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: Grupa Uporządkowae perwote Przyporządkowae symbole Lczba ser a a a a a - b a a a a b a b a b b b b a Perwsza b a a - b a b b b b b b a b a a b - Druga - a a a a a b b b b b b b Wyzaczamy wartość meday dla obu prób łącze. Symbolem (a) ozaczamy wartośc mejsze od meday a symbolem (b) wartośc wększe od meday. Wartośc rówe medae pomjamy. Wartość meday z obu prób: me k ob (lczba ser w obu próbach) (lczba elemetów (a) w obu próbach) (lczba elemetów (b) w obu próbach) E(K) D (K) U ob Hpoteza alteratywa jest dwustroa. Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K (- ;-u α ) (u α ;+ ) gdze u α jest to wartość krytycza którą odczytujemy z tablc stadardowego rozkładu ormalego przy zadaym pozome stotośc α. α u α K (- ;-) (;+ ) U ob K Z prawdopodobeństwem błędu I rodzaju mejszym ż wyk z próby pozwalają sądzć że rozkład średcy pa drzew dwuletch jest y w obu dzelcach masta. Zadae.. Ze stada owec wylosowao dwe grupy owec po pęć sztuk poddao ch strzyżeu. Po dokoau tej czyośc zwarzoo cężar pozyskaej od ch weły. Uzyskao astępujące dae (w dkg): dla perwszej grupy: dla grupy

20 drugej:. Na pozome zweryfkuj hpotezę że obe próby pochodzą z tej samej zborowośc owec która charakteryzuje sę tym samym rozkładem lośc pozyskwaej weły. Dae: badaa zborowość owce zmea losowa X lość pozyskaej weły z owcy merzala Szukae: H : f(x)f*(x) (rozkład lośc pozyskwaej weły z obu grup owec jest tak sam) H : f(x) f*(x) (rozkład lośc pozyskwaej weły z obu grup owec e jest tak sam). terwałowy pomar zmeej losowej X. mała lczebość próby <. losowy dobór elemetów do prób Statystyka testująca (test Walda-Wolfowtza): lczba ser Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: Grupa perwsza druga Wartośc cechy Przyporządkowae symbole a a a b b a b b Lczba ser Wyzaczamy wartość meday dla obu prób łącze. Symbolem (a) ozaczamy wartośc mejsze od meday a symbolem (b) wartośc wększe od meday. Wartośc rówe medae pomjamy. Wartość meday z obu prób: me k ob (lczba ser w obu próbach) (lczba elemetów (a) w obu próbach) (lczba elemetów (b) w obu próbach) Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( k α > gdze k α jest to wartość krytycza którą odczytujemy z tablc testu ser przy zadaym pozome stotośc α oraz lczbe zaków dodatch (wartośc wyższe od meday) oraz lczbe zaków ujemych (wartośc ższe od meday). k k ob >k α Przy pozome stotośc mejszym ż moża sądzć że obe próby owec ależą do tego samego gatuku tz. charakteryzują sę tym samym rozkładem lośc produkowaej przez ch weły. Zadae.. W pewym meśce a dwóch ulcach masta spytao losowo wybraych meszkańców o ch wzrost. Na perwszej ulcy uzyskao astępujące odpowedz (w cm):. Na drugej ulcy były oe zaś astępujące:. Zweryfkuj przypuszczee że te dwe próby osób pochodzą z tej samej populacj osób o określoym rozkładze wzrostu. Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość osoby z pewego masta zmea losowa X wzrost osób merzala Szukae: H : f(x)f*(x) (rozkład wzrostu osób z obu prób jest tak sam) H : f(x) f*(x) (rozkład wzrostu osób z obu prób e jest tak sam). terwałowy pomar zmeej losowej X. mała lczebość próby <. losowy dobór elemetów do prób Statystyka testująca (test Walda-Wolfowtza): lczba ser Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: Grupa Wartośc cechy Przyporządkowae symbole Lczba ser b b a a perwsza b a a - - a - - b - druga - b a b a b Wyzaczamy wartość meday dla obu prób łącze. Symbolem (a) ozaczamy wartośc mejsze od meday a symbolem (b) wartośc wększe od meday. Wartośc rówe medae pomjamy. Wartość meday z obu prób: me k ob (lczba ser w obu próbach) (lczba elemetów (a) w obu próbach) (lczba elemetów (b) w obu próbach) Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( k α > gdze k jest to wartość krytycza którą odczytujemy z tablc testu ser przy zadaym pozome stotośc α oraz lczbe zaków dodatch (wartośc wyższe od meday) oraz lczbe zaków ujemych (wartośc ższe od meday). k k ob >k α Przy pozom stotośc mejszym ż moża przypuszczać że obe próby osób pochodzą z tej samej populacj tz. mają takego samego rozkładu długośc oszoych włosów.

21 Zadae.. Sprawdź czy obe losowo wybrae próby osób w weku - lat a badae ze względu a tygodowy czas pośwęcoy przez e a oglądae telewzj pochodzą z tej samej zborowośc osób o określoym rozkładze czasu oglądaa telewzj jeżel uzyskao astępujące dae (w m): perwsza próba: druga próba:. Do weryfkacj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc. Dae: badaa zborowość osoby oglądające telewzję w weku - lat zmea losowa X tygodowy czas pośwęcoy a oglądae telewzj merzala Szukae: H : f(x)f*(x) (obe próby losowe pochodzą z tej samej populacj) H : f(x) f*(x) (obe próby losowe pochodzą z różych populacj). terwałowy pomar zmeej losowej X. mała lczebość próby <. losowy dobór elemetów do prób Statystyka testująca (test Walda-Wolfowtza): lczba ser Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: Grupy Wartośc cechy Przyporządkowae symbole Lczba ser b a a perwsza a b b - - b b b a a druga b b b b b Wyzaczamy wartość meday dla obu prób łącze. Symbolem (a) ozaczamy wartośc mejsze od meday a symbolem (b) wartośc wększe od meday. Wartośc rówe medae pomjamy. Wartość meday z obu prób: me k ob (lczba ser w próbe) (lczba elemetów (a) w próbe) (lczba elemetów (b) w próbe) Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( k α > gdze k jest to wartość krytycza którą odczytujemy z tablc testu ser przy zadaym pozome stotośc α oraz lczbe zaków dodatch (wartośc wyższe od meday) oraz lczbe zaków ujemych (wartośc ższe od meday). k k ob k α Przy pozom stotośc mejszym ż moża przypuszczać że obe losowo wybrae grupy osób w weku - lat e pochodzą z tej samej populacj tj. e charakteryzują sę tym samym rozkładem tygodowego czasu pośwęcoego a oglądae telewzj. Zadae.. Zebrao formacje od dwóch ezależe wybraych grup pacjetów poddaych leczeu pewym preparatem a bezseość. W grupe perwszej po zażycu tego leku długość su wydłużyła sę o (w m.): a w grupe drugej wyk były astępujące:. Na pozome stotośc zweryfkuj przypuszczee że obe grupy osób moża opsać tym samym rozkładem skuteczośc dzałaa pewego preparatu a bezseość. Dae: badaa zborowość osoby cerpące a bezseość zażywające określoy preparat zmea losowa X zmaa długośc su po zażycu pewego leku merzala Szukae: H : f(x)f*(x) (obe próby losowe pochodzą z tej samej populacj) H : f(x) f*(x) (obe próby losowe pochodzą z różych populacj). terwałowy pomar zmeej losowej X. mała lczebość prób <. losowy dobór elemetów do prób Statystyka testująca (test Walda-Wolfowtza): lczba ser Tablca z pomocczym wylczeam dla statystyk testującej: Grupa perwsza druga Wartośc cechy Przyporządkowae symbole - - b a a a - - b b a b Lczba ser Wyzaczamy wartość meday dla obu prób łącze. Symbolem (a) ozaczamy wartośc mejsze od meday a symbolem (b) wartośc wększe od meday. Wartośc rówe medae pomjamy. Wartość meday z obu prób: me k ob (lczba ser w próbe) (lczba elemetów (a) w próbe) (lczba elemetów (b) w próbe) Obszar odrzuceń dla hpotezy zerowej przyjmuje postać: K ( k α > gdze k jest to wartość krytycza którą odczytujemy z tablc testu ser przy zadaym pozome stotośc α oraz lczbe zaków dodatch (wartośc wyższe od meday) oraz lczbe zaków ujemych (wartośc ższe od meday). k k ob >k α