10. OKREŚLANIE PARAMETRÓW MODELU BIOTA ZE SZKIELETEM REOLOGICZNYM

Transkrypt

1 0. OKREŚLANIE PARAMETRÓW MODELU BIOTA ZE SZKIELETEM REOLOGICZNYM Monia Bartlewa - Urban Znajomość parametrów modeli matematycznych ma zaadnicze znaczenie dla poprawnego odwzorowania przebiegu wzytich rzeczywitych proceów zachodzących w przyrodzie. Dlatego parametry te powinny być zawze ściśle zdefiniowane, a ich poób oreślania mui być odpowiedni do itoty, jaą pełnią one w modelu. Ponieważ matematyczny model rzeczywitych proceów tanowią najczęściej równania różniczowe z odpowiednimi warunami brzegowymi i początowymi, więc poób oreślania parametrów modelu powinien odpowiadać znaczeniu, jaie te parametry pełnią w tych równaniach. Poniżej przedtawiono metodyę oreślenia parametrów Biota z uwzględnieniem cech reologicznych badanego materiału przy użyciu metod tatytycznych dla zagadnienia odwrotnego oraz algorytmów genetycznych. 0. Badania laboratoryjne 0.. Założenia teoretyczne Bazując na opianym w rozdziale 9 modelu onolidacji Biota ze zieletem reologicznym Kelvina-Voighta, w celu dalzej analizy i uzyania rozwiązania przemiezczeń próbi edometrycznej zatoowano metodę analityczną opracowaną przez Bartlewą Urban w pracy [Bartlewa-Urban, 009]. W celu uzyania rozwiązania w potaci funcji zamniętej wybrano tranformację Laplace'a. Rozwiązanie analityczne uładu równań Biota zotały wyonane dla chematu zagadnienia oiadań próbi gruntu umiejcowionej w edometrze poazanej na ryunu 0.. Analizie podlegała onolidacja wywołana działaniem obciążenia zewnętrznego przeazywanego przez przepuzczalny tło oraz gradient ciśnień hydrotatycznych, co przedtawiono chematycznie na ryunu 0.. Załadamy, że pód próbi jet nieruchomy, co otatecznie prowadzi do natępujących warunów brzegowych: ( ) σ ( ) ( t) P u ( t ) σ 33 h, t = P, h, t = Pa, (0.) σ 0, =, 0, = 0 Uzyana na drodze rozwiązania analitycznego powyżzego zagadnienia funcja oiadania górnej powierzchni próbi przedtawia ię natępująco: gdzie: u = hr ( P Pa ) H Pa H S + hr( AT + NT ) hr( AT + NT ) Pb H R( Pa P) x S3 + ( AT + NT ) H + R M + N b S + ( ) [ ] at e, (0.)

2 S = S n nπ n co x ( ) h e P ' c a ( ) ( )( + )( + ) = = n ( )( + ) = S 3 = n nπ co x h e P ' c n nπ co x h e P ' c ( )( + ) = t t, t, i: P' ( ) ac + c + =, b ( c + ) rozwiązaniem równania + R( M + N ) ( AT + NT ) H a =, b = KR, R ( nπ ) ( nπ ) + a + b + = 0 bc. h h M N c = + ( AT + NT ) i jet Ry. 0.. Schemat jednowymiarowej onolidacji Biota ze zieletem reologicznym Kelvina Voigta, [Strzeleci, 008]. Do oreślenia parametrów modelu wyorzytano powyżze rozwiązanie zczegółowo omówionego w pracy dotoriej Bartlewiej Urban [Bartlewa-Urban, 009] oiadań próbi edometrycznej Stanowio pomiarowe i przebieg badań W celu oreślenia parametrów efetywnych wyonano erię badań laboratoryjnych. Stanowio pomiarowe (zdjęcie i chemat) przedtawiono na Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.. Elementami ładowymi tanowia były: omora onolidacyjna, trzy regulatory ciśnienia oraz uład pomiarowo-rejetrujący.

3 Ry. 0. Stanowio pomiarowe, zdjęcie i chemat (Bartlewa-Urban,009). Elementy ładowe tanowia oraz połączenia urządzeń przedtawiono chematycznie na ryunu 0.. Obciążenia P wywierane na próbę gruntu umiezczoną w omorze onolidacyjnej () wytwarzane ą za pomocą regulatora () oraz przeazywane za pośrednictwem elatycznej ruri (8). Podobnie obciążenia P oraz P wytwarzane ą za pomocą regulatorów (3) i (4) oraz przeazywane a b do omory odpowiednio za pośrednictwem rure (9) i (0). Pomiar ciśnienia porowego we wnętrzu próbi odbywa ię za pomocą czujnia ciśnienia () połączonego za pośrednictwem ruri () z wnętrzem omory. Pomiar potępu onolidacji odbywa ię za pomocą czujnia przemiezczenia (3) oraz w celach ontrolnych za pomocą zegara (4). Sygnały z urządzeń pomiarowych przeazywane ą przewodami (5), (6) i (7) do przetwornia (5) ąd ondycjonowany ygnał ierowany jet przewodem (8) do omputera (6). Komputer umożliwia jednoczeną automatyczną rejetrację danych pomiarowych oraz wizualizację potępu eperymentu.

4 Urządzenie zatoowane w badaniach pozwala na jednoczene zadawanie zatoowanych w modelu obciążeń: P, P oraz P z jednoczenym pomiarem przemiezczeń, przepływu filtracyjnego a b przez próbę oraz ciśnienia porowego w połowie wyoości próbi. Przedtawiony powyżej aparat wyorzytano do czterech eperymentów różniących ię przyłożonymi obciążeniami P, P a oraz P b. Próbi iłów na początu zotały przebadane pod ątem podtawowych właściwości fizycznych. Zare badań podtawowych obejmował tandardowe analizy gruntu oraz dodatowo analizę miroopową. Do analizy miroopowej, próba gruntu zotała poddana odwodnieniu w przemrożeniu oraz poryta nanowartwą platyny onieczną do uzyania otrego obrazu. Wybrane zdjęcia, uzyane za pomocą miroopu eletronowego przedtawiono na ryunu 0.3. Przedtawione zdjęcia wazują na duże zróżnicowanie wielości ziaren gruntu (z czego duża ilość jet mniejza od µm) oraz fratalne złuzczenie ich powierzchni. Jednocześnie widoczne jet ilne upaowanie ziaren gruntu z małą objętością porów. Ry Wido miroopowy badanego gruntu. Wyznaczone podtawowe parametry gruntu ą natępujące: granica płynności: granica platyczności: w L = 37,4%; w P = 6,40%; gętość objętościowa: ρ = 784,78 g/m 3 ;

5 gętość zieletu: ρ S = 583,58 g/m 3 ; wilgotność zrobionej paty (pata A): w = 36,53%; porowatość = 0,486 Granica platyczności gruntu, oreślona na podtawie próby wałeczowania, granica płynności oreślono w Aparacie Caagrande a. Gętość zieletu wyznaczono pinometrem. W tracie trwania eperymentów, tóre z uwagi na woją naturę były rozciągnięte w czaie, wilgotność gruntu zmieniała ię, jednaże przed ażdym eperymentem była ponownie oreślana po przeprowadzeniu całowitej aturacji próbi. Jednocześnie pilnowano, aby wilgotność początowa mieściła ię w zareie platycznym. Ta więc parametry taie ja wilgotność, porowatość, i w nieznacznym topniu gętość ą nieco różne dla pozczególnych tetów przedtawionych w dalzej części tego rozdziału. Ponadto przeprowadzono tety w aparacie bezpośredniego ścinania, dla czterech różnych naprężeń ściających σ. Przebieg zmian naprężeń ścinających przedtawiono na ryunu KPa 00 KPa 300 KPa 400 KPa 00 τ; KPa t; h Ry Przebieg ścinania w ABS.

6 t ; KPa ; KPa Ry Zależność między naprężeniami podcza ścinania w ABS. Na podtawie odczytanych maymalnych naprężeń ścinających (ryune 0.5) wyznaczono rzywą regreji jao: τ = 0,3497σ + 0, 60. Kąt tarcia wewnętrznego wynoi więc 0,04 O, natomiat pójność próbi 0,60 Pa. Tet edometryczny, jao badanie pomocnicze, wyonany zotał dla czterech obciążeń, w celu wyznaczenia edometrycznego modułu ściśliwości. Przebieg onolidacji edometrycznej przedtawiono na ryunu 0.6. Krzywa opiująca zależność pomiędzy zmianą względnego odztałcenia ε próbi oraz zmianą napięcia normalnego σ, wyznaczona jao linia regreji, ma równanie: σ = 834, 6 ε. Wartość modułu ściśliwości pierwotnej można więc oreślić jao Mo =834,6 KPa ,5 KPa 5 KPa 50 KPa 00 KPa Ry Przebieg tetów edometrycznych.

7 Eperymenty oznaczone ymbolem Ex i Ex przeprowadzono zadając dwa rodzaje obciążeń: zewnętrzne P oraz gradient ciśnień P a i P b (wartości ciśnień przedtawia tabela 0.). Eperyment oznaczony ymbolem Ex3 przeprowadzony zotał w trzech etapach. Przy ażdym etapie topniowo zwięzano obciążenie zewnętrzne P olejno jao: P, P, P3 (podobnie ja dla badania edometrycznego). Dla ażdego tetu przeprowadzano pomiar wyoości, wilgotności początowej i ońcowej (tabela 0.). Eperyment Ex4 tanowi fizyczną implementację modelu obciążonego jedynie iłą P, bez gradientu ciśnień dlatego P a i P b ą równe 0. W ażdym przypadu próba miała wyoość początową h 0 =0mm oraz średnicę d =75mm. Tabela 0.. wartości obciążeń w przeprowadzonych tetach. P Eperyment obciążenie ciśnienie na górze próbi ciśnienie na dole próbi zewnętrzne Pa Pa Pa Ex Ex P, 00 P a P b Ex3 P, P3, 400 Ex Wynii tetu onolidacji Uzyane oiadania próbi w czaie dla przeprowadzonych eperymentów przedtawiono na Ry., natomiat Tabela zawiera wybrane parametry pozczególnych próbe przed i po onolidacji. Ze względu na metodę wyprowadzenia modelu, do etymacji parametrów wyorzytano tylo pierwzy profil z trójetapowego eperymentu Ex3 (wynii dla P). Obciążenia zatoowane w pozczególnych eperymentach różnią ię znacznie, dzięi czemu możliwe było zweryfiowanie uzyanego modelu analitycznego dla zeroiego zareu obciążeń. Jednocześnie należy zauważyć, że zatoowane obciążenia nie ą liniowo proporcjonalne, co zapewnia zerze petrum weryfiowalności.

8 h; mm Ex Ex Ex3 P Ex3 P Ex3 P3 Ex t; h Ry Przebieg proceu onolidacji dla przeprowadzonych eperymentów. W odrębnym badaniu laboratoryjnym oreślono podtawowe parametry fizyczne badanego gruntu. Tabela 0.. Podtawowe parametry próbe gruntu przed i po onolidacji. Nr Jedn. Ex Ex Ex3. Ex3. Ex3.3 Ex4 Gradient ciśnień MPa/m 7,5 5,5,5,5 0 Wyoość początowa mm 0,00 0,00 0, ,00 Wilgotność początowa % Porowatość początowa Wyoość ońcowa mm Wilgotność ońcowa % Porowatość ońcowa Oreślenie parametrów modelu Biota ze zieletem reologicznym Kelvina Voigta metodą optymalizacyjną Pierwzą prezentowaną metodą uzyania parametrów omawianego modelu Biota ze zieletem reologicznym Kelvina Voigta jet metoda tatytyczna dla zagadnienia odwrotnego z wyorzytaniem wyniów badań laboratoryjnych i rozwiązania zagadnienia onolidacji w potaci funcji zamniętej. Etymację parametrów modelu oparto na metodzie optymalizacyjnej. Polega ona na przezuiwaniu przetrzeni parametrów w celu odnalezienia optymalnego ich zetawu, w znaczeniu minimalnej różnicy pomiędzy wyniami eperymentów oraz wyniami obliczeń z zatoowaniem modelu. Pozwala to na zybie i automatyczne uzyanie wymaganych wartości parametrów, przy czym podcza etymacji możliwe jet jednoczene zatoowanie wzytich wyniów eperymentów. Ma to ogromne znaczenie pratyczne, jao, że wzytie eperymenty przeprowadzone zotały na tym amym gruncie i powinny mieć zbliżone (w znaczeniu uśrednione) wartości parametrów fizycznych.

9 Należy jedna pamiętać o onieczności weryfiacji uzyanych parametrów w onteście unialności rozwiązania, co znaczy, że ama etymacja parametrów powinna wpółwytępować z metodami oreślającymi identyfiowalność modelu. Zagadnienie to polega na oreśleniu zetawu parametrów możliwego do etymacji w uparciu o poiadane dane eperymentalne i zotanie zczegółowo omówione w dalzej części tego rozdziału Kalibracja modelu Optymalizacja, w ogólnym przypadu, polega na przezuiwaniu przetrzeni w celu odnalezienia minimum przyjętego waźnia. Problem optymalizacyjny generalnie zawze prowadza ię do zagadnienia pozuiwania optymalnego wetora Xˆ wobec przyjętego ryterium Y = f ( X) odnieieniu do zagadnienia etymacji parametrów modelu, problem ten prowadza ię do odnalezienia wetora parametrów pˆ zapewniającego maymalna zgodność przewidywań modelu eperymentalnymi Y.. W Y z danymi W rozwiązaniu przyjętym podcza badań, jao waźni jaości etymacji (funcję celu) przyjęto umę wadratów błędów przewidywań modelu (różnic pomiędzy wartościami zmierzonymi i uzyanymi w wyniu obliczeń), natomiat jao metodę optymalizacji zatoowano algorytm BFGS oparty na metodzie Newtona Funcja celu Jao funcję celu zatoowano etymator najmniejzych wadratów, tórego głównymi zaletami ą protota oraz uteczność. Dodatowo poiada ciągłe dwie pierwze pochodne, niezbędne do zatoowania metody peudo-newtonowiej. Formalny zapi zatoowanej w badaniach funcji przedtawia równanie 0.3 W równaniu tym, N T ( ) = [ Yi Yi ] Vi [ Yi Yi ] E p 0.3 i= Y i tanowi i -ty wetor pomiarów, Y i jet odpowiadającym mu wetorem wartości obliczonych z wyorzytaniem modelu, N jet ilością tetów, z tórych dane ą wyorzytane do etymacji parametrów (w przypadu pojedynczego tetu edometrycznego N = ). Należy zauważyć, że wetor pomiarów w ogólnym przypadu zawiera różne wielości fizyczne, a ponadto łada ię z wielości mierzonych w różnych chwilach trwania eperymentu. Wytępowanie różnych wielości fizycznych (różniących ię co do rzędów wielości) powoduje onieczność zrównoważenia wpływu pozczególnych wielości na przebieg i efet etymacji. Realizowane jet to za pomocą diagonalnej macierzy V zawierającej wagi itotności pozczególnych pomiarów. W przyjętym w badaniach i rozwiązaniu, elementy funcji celu tanowią wartości przemiezczenia górnej granicy próbi, jao, że to był bezpośrednio wyonywany pomiar.

10 0..3. Metoda optymalizacyjna Optymalizacja przeprowadzana iteracyjnymi metodami gradientowymi opiera ię na rozwinięciu funcji celu 0.3 w zereg Taylora (w -tym rou) w oolicach atualnego wetora p w ierunu h. W przypadu zatoowanej metody, wyorzytuje ię wadratowe rozwinięcie funcji celu: ( h) = E( p) + g( p) T T 3 [ ] h + h H( p) + O( h ) E p + h, 0.4 gdzie g ( p) jet wetorem gradientu: a H ( p) jet macierzą Hejanu: T E E E g ( p) = p =,,...,, 0.5 p p p n E E p p pn p H ( p) = 0.6 E E p p n pn pn Minimum funcji 0.4 definiowane jet waruniem: ( p + h) de dp = 0, 0.7 tóry dla równania 0.4 oznacza, że ierune pozuiwania minimum oreślony jet równaniem: h [ H( p) ] g( ) = 0.8 p Ja już wpomniano, złożona potać uzyanego rozwiązania analitycznego (Bartlewa-Urban, 009) prawia, że obliczenie pochodnych funcji celu po parametrach jet pratycznie niemożliwe. Zatoowanie metod gradientowych, orzytających bezpośrednio z pochodnych w potaci funcyjnej, taich ja najwięzego padu czy Newtona jet więc niewyonalne. Dlatego, wyorzytano uteczną i zybą metodę quai-newtonową Broydena-Fletchera-Goldfarba-Shannona (BFGS), w tórej, w H (dla olejnych roach pozuiwania minimum ( ) zamiat doładnej wartości Hejanu ( p ) atualnego wetora parametrów p ) wyorzytywane ą jego przybliżenia G ( p ) odwróconej V ( p ) [ G( p )] równania 0.9 =, w potaci macierzy. Na -tym rou iteracyjnym, Hejan obliczany jet za pomocą

11 T r V r r V + V r =, 0.9 T T T V V + + T T T r r r w tórym i r oznaczają przyroty wetora parametrów i gradientu: = p p r = ( ) ( ) oraz g p g p. Wetor gradientu obliczany jet na podtawie równania 0.5 za pomocą metody różnic ończonych: g ( p) E ( p + δ p,..., p ) E( p) E( p, p + δ,..., p ) E( p) E( p, p,..., p + δ ) E( p) T, n n δ, δ,..., δ n n n 0.0 Pozuiwania rozpoczyna ię od przyjęcia V 0 =, a pierwzy ro wyonuje ię za pomocą metody najmniejzego padu, w tórej ierune pozuiwań oreślany jet równaniem: ( ) h = g 0. p Identyfiowalność modelu podtawy matematyczne Celem analizy identyfiowalności modelu jet oreślenie itnienia jednoznacznego rozwiązania w potaci etyma parametrów modelu. Do analizy identyfiowalności modelu w przedtawianym przyładzie wybrano cztery metody: analizę truturalną równań, erie etymacji, obliczanie elipoid ufności oraz erie ymulacji. Należy zauważyć, że ażda z wymienionych metod wyorzytywana jet na innym etapie alibracji modelu i informacje o identyfiowalności modelu ażda z nich dotarcza w innej potaci. Łączne toowanie wzytich czterech w poób znaczny ytematyzuje proce alibracji i w efecie ułatwia uzyanie wiarygodnych wartości parametrów modelu. Oczywiście, metody te w pewnym zareie naładają ię na iebie, co jedna w tym przypadu jet cechą pożądaną, gdyż zapewnia olejny mechanizm ontroli przebiegu alibracji. I. Analiza truturalna Jej celem jet oreślenie, czy możliwe jet odtworzenie wartości parametrów modelu w przypadu, gdy etymacja opiera ię na danych pozbawionych zumu. Zagadnienie to prowadza ię więc do oreślenia czy trutura równań modelu pozwala na jednoznaczne oreślenie wartości parametrów w oparciu o planowany zare danych eperymentalnych. A więc czy dla ażdej pary zbiorów wartości parametrów p p uzyujemy różne odpowiedzi modelu y( p ) y( p ). W badaniach analizę truturalną zatoowano przed przeprowadzeniem badań eperymentalnych w celu oreślenia teoretycznie możliwego do przeprowadzenia zareu alibracji. Metodę tę oparto na analizie czynniów ładowych uzyanych równań rozwiązania analitycznego.

12 II. Elipoidy ufności Metoda ta pozwala na uzyanie obzarów ufności dla wzytich parametrów jednocześnie. Obzary te mają ztałt elipoid, a znajomość ich parametrów umożliwia jednocześnie na jaościowe i ilościowe oreślenie wytępujących w modelu zależności między parametrami. Ponadto, po obliczeniu wielowymiarowych elipoid bardzo łatwo jet wyonać ich rzutowanie na płazczyzny par parametrów a więc wyznaczenie (oraz wizualizację) ierunów zależności dla dowolnych par, co znacznie ułatwia interpretację wyniów oraz oreślenie zareu możliwej do przeprowadzenia alibracji. Dodatowo możliwe jet dalze zmniejzenie wymiaru zagadnienia i obliczenie tandardowych przedziałów ufności dla ażdego parametru niezależnie. Metoda ta opiera ię na obliczeniu macierzy owariancji parametrów i w zależności od poobu obliczania tej macierzy wytępuje w dwóch odmianach: Jaobianowej bądź Hejanowej. Pierwza metoda jet łatwiejza do przeprowadzenia, gdyż opiera ię na bezpośrednim obliczaniu różnic między wyniami obliczeń z wartościami, ponieważ jedna oparta jet na przybliżeniu za pomocą funcji liniowej, może dawać mniej doładne wynii niż metoda oparta na obliczeniach drugich pochodnych funcji błędu po etymowanych parametrach. Do obliczeń wyorzytano metodę opartą na obliczeniach Hejanu, przy czym do obliczeń amego Hejanu - metodę różnic ończonych. Dla ażdej pary analizowanych parametrów ( j, ) może być obliczony na podtawie równania 0. H j δ δ j [ E( pˆ + δ, pˆ + δ ) E( pˆ + δ, pˆ ) E( pˆ, pˆ + δ ) + E( pˆ, pˆ )] j j j j j j 0. gdzie pˆ j, pˆ tanowią optymalne wartości parametrów (uzyane podcza etymacji), δ j, δ ą długościami roów przyjętych do obliczeń, natomiat E tanowi błąd wadratowy dla wartości wetora parametrów p. Pewną trudność tanowi odpowiednie dobranie długości roów dla pozczególnych parametrów. W zatoowanej implementacji metody zatoowano więc alowanie wetora parametrów pˆ do wetora jednotowego w celu uzyania jednolitej ali dla wzytich parametrów, a natępnie iteracyjnie pozuiwano odpowiedniej długości roów. Metoda ta polega na założeniu pewnej początowej długości rou (w przyjętej implementacji wynoił on δ δ = 0. ) i iteracyjnym zmniejzaniu go. W ażdej iteracji obliczano umę różnic pomiędzy atualnymi i poprzednimi wartościami dla wzytich elementów macierzy przybliżonego Hejanu i całą procedurę zatrzymywano gdy różnica ta zaczynała ronąć. Macierz owariancji w tej metodzie obliczana jet za pomocą równania 0.3, w tórym n jet rozmiarem wetora pomiarów, p oznacza ilość analizowanych parametrów a ˆ σ jet wariancją modelu. ( P) j = Γ = ˆ σ H E ˆ H n p 0.3

13 Elementy znajdujące ię na przeątnej macierzy owariancji mogą być wyorzytane do obliczenia przedziałów ufności: δ = 0.4 α i ± tn p Γii gdzie t jet wartością rozładu t-tudenta dla n p topni wobody oraz dla zadanego α n p poziomu ufności α. Elementy macierzy orelacji obliczane ą na podtawie równania 0.5: Γ ij R = R ij = 0.5 Γii Γjj Uzyana macierz orelacji wyorzytywana jet otatecznie do obliczenia funcji opiującej elipoidę ufności 0.4. Punty znajdujące ię wewnątrz obzaru ograniczonego wartością rozładu chiwadrat χ α p tanowią zbiór możliwych wetorów parametrów na poziomie ufności α. T { : ( P Pˆ ) Γ ( P Pˆ ) χ } α p P 0.6 Przejście do uładów dwuwymiarowych (rzutowanie na płazczyzny parametrów ( i, j ) odbywa ię z wyorzytaniem równania 0.7 [ pˆ p pˆ ] ( i, i) Γ( i, j) ( j, i) Γ( j, j) Γ p ˆ i pi α p i i j j = F, n 0.7 Γ p ˆ j p j Punty na ońcach oi głównej (maj) i bocznej (min) dla dwuwymiarowego rzutu opiane ą równaniami 0.8 ( p pˆ ) = ± F α e λ i i maj, n ( p ) = ± α j p j F, n e maj ( p pˆ ) = ± F α e λ i i min, n ( p ) = ± α j p j F min, n eλ ˆ ˆ λ 0.8 Pozczególne oznaczenia w równaniu 0.7 można obliczyć natępująco: { C [( ) 4 4 ] } + C C + C CC + { C [( ) 4 4 ] } + C + C + C CC + λ, = C λ, = C e C C =, e = +, ( C λ ) e C λ

14 e C =, e C λ = + e C, ( C λ ) przy czym C, C, C oraz C ą elementami macierzy III. Serie ymulacji Γ. W celu prawdzenia poprawności uzyanych ierunów zależności między parametrami obliczono też rzeczywite ztałty obzarów o poziomie ufności α odpowiadających poziomowi błędu wadratowego obliczonego za pomocą: E α F p, n p = + α Emin 0.9 n p Obliczenia te wyonywano dla par parametrów w oolicach obliczonych minimalnych wartości funcji celu Obliczenia W niniejzym podrozdziale przedtawiono cały przebieg proceu etymacji parametrów w oparciu o przeprowadzone eperymenty, prowadzący do uzyania zetawu wyetymowanych parametrów wraz z przedziałami i obzarami ufności dla nich. Proce ten łada ię z ilu etapów, tórych olejność może być w pewnym zareie modyfiowana, jednaże ten prezentowany poniżej zapewnia minimalny naład pracy wymagany do oiągnięcia uceu alibracyjnego. I. Wtępna analiza zbioru parametrów modelu Cały opracowany model opiywany jet za pomocą dzieięciu parametrów: A, H, M, N, Q, R tałe Biota; f porowatość zieletu; wpółczynni filtracji Darcy ego; η lepość potaciową zieletu; λ lepość objętościowa zieletu Porowatość zieletu f oreślona zotała na podtawie podtawowych badań laboratoryjnych i dla ażdego eperymentu znana jet jej wartość początowa (Tabela ). Podobnie wpółczynni filtracji Darcy ego, można oreślić na podtawie pomiaru przepływu w początowej fazie eperymentu lub na podtawie niezależnego tandardowego tetu. Dodatowo, między parametrami Biota wytępują zależności:

15 Q = R, f M Q = A oraz H = Q + R. 0.0 R Do wyznaczenia pozotaje więc pięć parametrów: A, N, R, η oraz λ, z czego trzy parametry ą tałymi Biota, a dwa ą lepościami zieletu. Analizując człon ( AT + NT ) wytępujący w ońcowym równaniu (0.), przemiezczenia (mianowni pierwzych trzech członów równania 0.) poprzez podtawienie T oraz T uzyujemy: λ η AT + NT = A + N = λ + η 0. A N Ponieważ tałe λ i η wytępują w równaniu tylo w potaci uwiłanej jao T oraz T, tóre z olei wytępują tylo w potaci członu (0.) oznacza to, że w równaniu zawze wytępują w potaci umy λ + η. Konewencją tego fatu jet niemożność matematycznego rozdzielenia tych tałych, a w onewencji onieczność etymacji całego czynnia ( λ ) +. η W czwartym członie równania wytępuje czynni ( M + N ). Po podtawieniu zależności na M oraz Q (0.) uzyujemy R Q f R R R f ( M + N ) = A + N = ( A + N ) = ( A + N ) 0. Stała R wytępuje we wzytich członach równania, a więc można przyjąć, że jej etymacja A + N wytępuje tylo w tej potaci. Jet ta, gdyż ja jet możliwa, natomiat powtała uma ( ) poazano powyżej, człon zawierający te tałe ( AT + NT ) uprazcza ię matematycznie do potaci nie zawierających tych tałych. Można więc przyjąć, że w oparciu o poiadany model nie jet możliwa etymacja obu parametrów jednocześnie oraz, że podobnie ja w przypadu parametrów możliwa jet tylo etymacja umy ( A + N ). λ i η Otatecznie, optymalizacja onieczna jet do wyznaczenia trzech parametrów: ( A + N ), R oraz ( λ + ). Jednocześnie należy pamiętać, że łącznie wyznaczanych jet pięć parametrów, z czego η dwa ( f i ) wyznaczane ą w oparciu o obliczenia niezależne. Konieczność reducji ilości parametrów może być interpretowana w dwojai poób. Z jednej trony oznacza to, że nie jet możliwe przeprowadzenie eperymentu (zetawu eperymentów), w oparciu o tóry można będzie w pełni alibrować model w oparciu o uzyane rozwiązanie, co wydaje ię pewnym utrudnieniem. Jednaże z pratycznego puntu widzenia nie ma to żadnego znaczenia, ponieważ, w żadnym pratycznym zatoowaniu modelu nie będzie onieczna doładna ich znajomość, gdyż zawze będą wytępować w tych amych połączeniach. Wytępowanie

16 przedtawionych zależności w żaden poób nie zmniejza zatem pratycznego zatoowania modelu alibrowanego w tym zareie. II Wynii etymacji parametrów Wynii etymacji trzech parametrów oreślonych jao te, tóre ą możliwe do etymacji przedtawia Tabela. W tabeli znajdują ię również względne i bezwzględne wartości odchyleń tandardowych dla 95% poziomu ufności. Na ryunu 0.8 przedtawiono porównanie wyniów obliczeń z danymi eperymentalnymi. Tabela 0.3. Wynii etymacji parametrów modelu. Parametr Wartość δ i przedział ufności względny bezwzględny ( A + N ) R λ + 8.5E E+05 ( ) η 0 9 Exo Exo Ex3o Ex4o Ex Ex Ex3 Ex4 h; mm t; h Ry Porównanie wyniów obliczeń (o) z wyniami eperymentów. Wyre przedtawiający zmiany grubości próbe podcza eperymentów poazują dużą zgodność wyniów obliczeń z przebiegiem eperymentów. Nieznaczne rozbieżności wytępują dla Ex3, w tórym rzeczywita onolidacja przebiegała nieco wolniej niż wazują obliczenia wyonane z zatoowaniem optymalnego zetawu parametrów oraz zaończyła ię na nieco więzym topniu onolidacji. Jednaże należy zauważyć, że wytępujące różnice ą bardzo małe w porównaniu do różnicy obciążeń pomiędzy pozczególnymi eperymentami. Uzyane wynii etymacji wazują na relatywnie wyoie wartości przedziałów ufności dla pierwzych dwóch parametrów. Parametr zawierający lepości etymowany jet natomiat z dużą doładnością, gdyż zeroość jego względnego przedziału ufności jet mniejza od 5%. Odpowiedź na A + N i R można pytanie o przyczyny uzyania tounowo dużych zeroości przedziałów dla ( )

17 uzyać za pomocą analizy obzarów ufności. Wynii obliczeń macierzy orelacji, przedtawione w Tabela, wazują na dużą orelację między tymi parametrami. Potwierdzają to wyoie wartości długości rzutów głównych oi elipoid ufności (Xmaj i Ymaj) dla tej pary parametrów przedtawione w Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. jao wartości względne oraz w Tabela jao wartości bezwzględne (wartości uzyane dla 95% poziomu ufności). Tabela 0.4. Macierz orelacji dla trzech etymowanych parametrów. ( A + N ) R ( λ + η ) ( A + N ) R λ ( ) η Tabela 0.5. Względne długości rzutów oi elipoid ufności dla 95% poziomu. X Y X MAJ X MIN Y MAJ Y MIN ( A + N ) R ( A + N ) ( λ ) η R ( A + N ) R ( λ ) η ( λ + η ) ( A N ) ( λ ) η R Tabela 0.6. Bezwzględne długości rzutów oi elipoid ufności dla 95% poziomu. X Y X MAJ X MIN Y MAJ Y MIN ( A + N ) R ( A + N ) ( λ + ) η R ( A + N ) R ( λ + ) η ( λ + η ) ( A N ) ( λ ) η R Graficzna interpretacja tych obliczeń przedtawiona jet na Ry. - Ry., w tym przypadu w uładzie wartości bezwzględnych (oraz względnych na dodatowych oiach). Linie ciągłe oznaczają obzary obliczone przedtawioną w podrozdziale 0II metodą tatytyczną, natomiat małe punty tanowią punty obliczone za pomocą iati dla poziomu funcji celu obliczonego równaniem (0.9). Na Ryune Błąd! W doumencie nie ma tetu o podanym tylu.- przedtawiono przyładową iatę, tóra łuży do oreślania obzarów ufności wraz z przecięciem z obliczonym poziomem E 0, 95 =

18 R A+N Ry Obzary ufności dla uładu ( A + N ) - R. 8.8E E+06 lambda+*eta 8.4E+06 8.E+06 8E E E A+N Ry Obzary ufności dla uładu ( A + N ) - ( λ ) +. η

19 Error 8.8E E+06 lambda+*eta 8.4E+06 8.E+06 8E E E R Ry. 0.. Obzary ufności dla uładu R - ( λ ) +. η Z X Y 3E-06.8E-06.6E-06.4E-06.E-06 E E+06.8E (A+N) E+06 8E+06 (lambda+*eta) Ryune Błąd! W doumencie nie ma tetu o podanym tylu.-. Siata obliczeniowa dla uładu λ +. R - ( ) η Wyre na ry. 0.9, przedtawiający obzar ufności dla pary ( A + N ) - R ujawnia wytępowanie ilnej zależności pomiędzy tymi parametrami. Nie jet to zależność ściśle liniowa, ja w przypadu wcześniej przedtawionych par, jednaże jet na tyle ilna, ze obzar ufności rozciąga ię dla A + N i średnio 5% dla R. Itnieje w tym przypadu minimum tych parametrów na ooło 40% dla ( ) puntowe, jednaże wytępuje na terenie obzaru o ztałcie rowu rozciągniętego w ierunu wyznaczanym przez główne oie elipoidy v = ( , 0.30) jao względne lub (-49, 398.4) bezwzględne jednoti. Relatywne wartości ą w tym przypadu tounowo duże, jednaże wydaje ię, że oiągnięty efet można uznać za atyfacjonujący. Jednocześnie można zauważyć, że etymacja parametru R jet doładniejza, i model wyazuje więzą wrażliwość na zmiany tego parametru. W przypadu pozotałych par parametrów, obzary ufności ą bardzo małe i rajne położenia nie ą odległe w żadnym przypadu o więcej niż 5% od wartości optymalnej.

20 Warto jednocześnie podreślić uteczność metody tatytycznej oreślania obzarów ufności. Główne ieruni wyznaczone dla pary parametrów związanych oraz wielości obzarów dla parametrów niezwiązanych porywają ię z dużą doładnością z obzarami wyznaczonymi metodą doładną opartą na eriach ymulacyjnych. Metoda tatytyczna dotarcza przy tym wynii w znacznie przytępniejzej potaci, zapewniając wartości odchyleń tandardowych, głównych ierunów zależności oraz jego zeroości. Jet też mniej wymagająca pod względem obliczeniowym. Jedyną niedogodnością toowania metody tatytycznej wydaje ię być onieczność zatoowania nieco bardziej złożonego aparatu matematycznego Oreślenie parametrów modelu Biota ze zieletem reologicznym Kelvina Voigta z zatoowaniem algorytmów genetycznych Ja wpomniano w poprzednim rozdziale, bardzo ważnym roiem w toowaniu modeli matematycznych jet jego poprawne alibrowanie. Celem alibracji jet oreślenie parametrów modelu ta, aby wynii uzyane możliwie ja najbliżej odzwierciedlały modelowane zjawio. W omówionym poprzednio (punt 0.) przypadu przedtawiono alibrację modelu opartą na analizie odwrotnej z zatoowaniem algorytmu BFGS opartego na metodzie Newtona. W niniejzym rozdziale poazano ja przeprowadzić alibrację modelu Biota ze zieletem reologicznym Kelvina-Voigta opartą na odwrotnej analizie z zatoowaniem algorytmów genetycznych. Przedmiotem analizy w przedtawionym przyładzie jet wpółczynni filtracji. Przedtawiony przyład ma potwierdzić tezę, że algorytmy genetyczne ą wyoce utecznym narzędziem do automatycznej, opartej na protych regułach i odnozącej ię jednocześnie dla wzytich parametrów, alibracji. Poazuje, ja utalić podtawowe parametry modeli na przyładzie modelu Biota [Biot i Willi,957] ze zieletem reologicznym Kelvina Voigta. Prezentowana metodologia jet ontynuacją i rozwojem badań dotyczących oreślenia parametrów złożonych modeli reologicznych opianych w pracy Bartlewiej [Bartlewa, 009] i Bartlewiej oraz Strzeleciego [Bartlewa i inni, 0, 03] Opi metody Algorytmy genetyczne mogą być definiowane jao technii numeryczne zainpirowane naturalnymi proceami przetwarzania informacji [Goldberg and Holland 988]. Są one layfiowane jao odporne metody optymalizacji lub też metody wyazujące podobną uteczność w zeroim zareie zagadnień. Ta elatyczność wynia z fatu, że optymalizacja jet wyonywana wyłącznie na podtawie wartości funcji celu, algorytm nie ma już żadnych informacji o modelu lub modelowanym proceie [Srooz, 04]. Jet to zczególnie intereująca cecha metody, ponieważ dzięi rozwiniętej metodologii można pratycznie bez jaiejolwie modyfiacji zatoować ją do różnych modeli i różnych danych eperymentalnych. Metodologia jet w itocie odwrotną etymacją, ponieważ w tracie proceu etymacji algorytm generuje zetawy parametrów, tóre ą wyorzytywane do ymulacji proceu i bazując na uzyanych wyniach, podobnie ja w poprzednio poazanej metodzie również etymator najmniejzych wadratów) toowany jet do oceny wartości otrzymanych rozwiązań [Rutowa,997]. W oparciu o wartości błędów, generowane jet więcej zetawów parametrów i proce jet ontynuowany aż do uzyania atyfacjonujących wyniów. Algorytmy genetyczne oazały ię bardzo uteczne w wielu dziedzinach naui i inżynierii [Satry i in., 04 i Anderon 0]. Doonałe teoretyczne wprowadzenie do alibracji przy użyciu

21 algorytmów genetycznych podano w Goldberg (989). Złożoną alibrację modelu przedtawił Pelletier i in. (006), Zhang i in. (00), Abenar i in. (05) i wiele innych. Terminologia związana z algorytmami genetycznymi zawiera, obo typowych pojęć optymalizacyjnych, taże terminy wywodzące ię z genetyi, jao że ama metodologia nawiązuje do proceów inpirowanych tymi znanymi z przyrody. Zatoowanie taich definicji jet związane z amym działaniem algorytmów genetycznych, tóre, ja wpomniano powyżej, naśladują naturalne procey ewolucyjne. Algorytmy genetyczne działają na zmiennych reprezentowanych przez ombinacje odów nazywane chromoomami. Taie ombinacje ładają ię z zetawu cech charaterytycznych (lub znaów) zwanych genami. Znai te z olei należą do alfabetu (zwyle binarnego, wybranego dla onretnej apliacji), tórego możliwe tany ą nazywane allelami. Cała informacja genetyczna o danym elemencie jet nazywana genotypem. Itnieją rozwiązania wyorzytujące trutury ładające ię z dwóch lub trzech chromoomów. Jeśli algorytm działa na danych w potaci pojedynczej ewencji danych, terminy: chromoom i genotyp ą ynonimami. Strutury danych (ombinacje odów), na tórych działa algorytm, ą onwertowane na wartości pozczególnych zmiennych (zazwyczaj rzeczywitych lub całowitych). Natępnie zmienne podlegają ocenie za pomocą obietywnej funcji. Zbiór parametrów i ocena tanowią fenotyp. Natomiat zetaw fenotypów przetwarzanych na danym etapie optymalizacji nazywa ię populacją. Operatory genetyczne ą wyorzytywane przy tworzeniu olejnych populacji. Dzięi nim nowo utworzone poolenie ma odmienną pulę genową niż poprzednie poolenie. W proceie działania algorytmu można wyróżnić ila głównych roów: Pierwzym roiem w funcjonowaniu GA jet wybór początowej populacji, polegający na inicjalizacji, (odbywającej ię najczęściej przez przypadowy wybór wartości olejnych genów), oreślonej liczby chromoomów tworzących zbiór puntów początowych. Przytoowanie chromoomów w populacji ocenia ię na podtawie wartości funcji adaptacyjnych wzytich oób w obecnym pooleniu. Proce ten odbywa ię w ilu etapach. Najpierw toując odpowiednią metodę deodowania, chromoomy ą przeztałcane w wartości zmiennych. Natępnie zmienne łużą do obliczania obietywnej funcji wzytich oób w danej populacji. W nietórych przypadach (w zczególności w przypadu metody wyboru oła do ruleti) zalecane jet użycie alowania w celu uzyania właściwej eletywności. Stan zatrzymania jet oreślony na podtawie zadanych warunów optymalizacji. Najprotzym przypadiem może być pełnienie oreślonej liczby iteracji, tetowanie odpowiedniej liczby puntów przetrzennych lub limit czau. Niezależnie od toowanej metody dobór jet zawze doonywany wyłącznie na podtawie wartości funcji adaptacyjnych pozczególnych jednote. Wyróżnia ię trzy główne metody elecji: metodę ruleti, metodę turniejową i metodę raningową. Chromoomy jednote wybranych do puli rodzicieliej poddawane ą operacjom genetycznym, w wyniu czego uzyuje ię populację potomów. To właśnie dzięi proceom operatorów genetycznych generowane ą nowe punty w przetrzeni zmiennych i tworzone ą nowe rozwiązania. Zwyle touje ię dwa podmioty genetyczne, tj. operator rzyżowy i operator mutacji. W wyniu działania operatorów genetycznych powtaje nowa populacja jednote. Ta populacja taje ię atualną liczbą jednote, a obietywna funcja jet obliczana dla wartości funcji adaptacyjnych. Natępnie prawdzany jet tan zatrzymania i jeśli obliczenia muzą być ontynuowane, zotaje uruchomiony inny cyl. Po oiągnięciu tanu zatrzymania wyni jet wyprowadzany. Wyniiem

22 jet zetaw wartości zmiennych decyzyjnych, obliczonych dla chromoomu z najwięzą (jeśli jet to maymalna) wartością funcji celu Badania laboratoryjne Analiza zotała przeprowadzona w oparciu o badania laboratoryjne przedtawione w puncie 0. Przedmiotem badań był drobnoziarnity grunt poity - ił turozowi o opianych wcześniej właściwościach. Puntem wyjścia przedtawionych analiz był model Biota ze zieletem reologicznym Kelvina-Voigta Metodologia alibracji Wynii badań wzorcowych były wyorzytywane jao dane alibracji w badaniach. Sama alibracja zotała przeprowadzona przy użyciu autoriego programu realizującego layczny algorytm genetyczny, oraz oprogramowaniu FlexPDE do przeprowadzenia ymulacji MES (metoda elementów ończonych) potrzebnych do przeprowadzenia analizy wtecznej. Dzięi tej ombinacji oprogramowania alibracja może być wyonana doładnie na modelu, tóry jet później wyorzytywany do rozwiązywania rzeczywitych problemów inżynierich. Model matematyczny zaimplementowano do programu FlexPDE. Oczywiście w tej ytuacji można wybrać dowolne oprogramowanie pełniające wymagania. Między innymi dla tego rodzaju badań bardzo ważną cechą programu FlexPDE jet możliwość uruchomienia obliczeń z zewnętrznego programu terującego i zapiywania wyniów w formacie przyjaznym użytowniowi w pliu tetowym. Algorytm zotał zaimplementowany w formie niezależnego programu napianego w języu C # w środowiu.net. Program zotał ta zapiany, aby można było alibrować dowolny model matematyczny za pomocą zewnętrznego programu dotarczającego wynii ymulacji. W przypadu pracy równolegle z programem FlexPDE, wartość funcji celu jet oreślana w jednej ymulacji przez natępujące etapy:. Algorytm czyta wynii pomiarów laboratoryjnych z pliu.. Z pliu podtawowego dla programu FlexPDE algorytm tworzy pli.pde modelu z wartościami wzorcowymi alibrowanych parametrów. 3. Algorytm prawia, że program Flex PDE wyonuje ymulację, tórej rezultaty zapiywane ą w pliu tetowym. 4. Algorytm oczeuje na zaończenie ymulacji, a natępnie odczyt wyniów ymulacji; przy użyciu wyniów ymulacji i pomiaru algorytm oblicza obietywną wartość funcji Wynii alibracji Ja wpomniano, alibrację przeprowadzono przy użyciu pecjalnie opracowanego oprogramowania implementującego algorytm genetyczny i FlexPDE. Modelem matematycznym był model Biota z reologicznym zieletem Kelvina Voighta. Szereg etymacji obliczono na podtawie analizy zidentyfiowania i wyazano, że trzy parametry modelu można ozacować jednocześnie A, R i. Aby prawdzić uteczność metody, wyonano 0 niezależnych ocen dla tych amych parametrów. Wynii pozczególnych alibracji ą przedtawione w Tabeli 0.7. Tabela ta zawiera również średnie

23 wartości uzyanych parametrów oraz odchylenia tandardowe uzyanych wartości. Niie wartości odchyleń tandardowych dla parametrów A i R oznaczają, że dobrze zotała oreślona ich identyfiowalność. Uzyane wartości ą powtarzalne w ażdej niezależnej alibracji i mają do iebie zbliżone wartości. Również odchylenie tandardowe dla wpółczynnia filtracji ma względnie nią wartość, więc jet to również parametr identyfiowalny w przyjętym eperymencie. Wzytie przyjęte do alibracji parametry ą więc niezależne i mogą podlegać jednoczenej alibracji, a ama metoda pozwala na uteczne jej przeprowadzenie. Należy również zauważyć, że uzyane wartości półczynnia filtracji ą o - rzędy mniejze od wartości uzyanych metodą onolidacji Terzaghi ego. Tabela 0.7. Wynii etymacji parametrów Numer A R Exp. [0 8 ] [0 8 ] [0 - m/] 0,903 0,90 8,34 0,873 0,993 53,7 3 0,895,000 47,69 4 0,970 0,903 66,94 5 0,948 0,955 5,38 6 0,768 0,985 83,8 7 0,933 0,955 44,96 8 0,8,000 60,9 9 0,83 0,978 66,75 0 0,933 0,963 49,4 0,963 0,955 5,38 0,850 0,90 00,99 3 0,993 0,955 46,9 4 0,933 0,955 46,5 5 0,888,000 60,9 6 0,993 0,985 43,80 7 0,895 0,963 49,4 8 0,985 0,955 5,38 9,000 0,955 5,38 0 0,970 0,880 90,9 Avg 0,96 0,958 59,95 St.dev 0,064 0,033 6,0 Wyazano zatem, że algorytmy genetyczne ą wyoce utecznym narzędziem umożliwiającym automatyczną alibrację opartą na protych regułach. Eperymenty z algorytmami genetycznymi dowodzą jego przydatności do etymacji parametrów modelu. Stoując powyżzą metodę uzyuje ię wartości wpółczynnia filtracji co najmniej o rząd mniejze od wartości uzyanych metodą obliczeniową opartą na modelu onolidacji Terzaghi ego. Jet to zgodne z wnioami płynącymi z oberwacji, że ta metoda częto prowadzi do przezacowania. Uzyane wynii tanowią dowód na uteczność toowania algorytmów genetycznych do oreślania parametrów modelu i mogą być

24 podtawą dalzych badań, w ramach tórych można analizować jezcze inne modele reologiczne oraz inne zetawy danych eperymentalnych. 0.4 Literatura do rozdz. 0 BARTLEWSKA M.: (009) The doctoral diertation on the theme: Oreślenie parametrów efetywnych modeli reologicznych gruntów poitych, Politechnia Wrocława, Faculty of Geoengineering, Mining and Geology, Wrocław, BARTLEWSKA URBAN, M. STRZELECKI T.: T. (03) Numerical calculation of deformation of three dimenional ample in triaxial apparatu under external load and temperature field, Studia Geotechnica et Mechanica, Vol. XXXV, No., 03 DOI: 0.478/gem BARTLEWSKA URBAN, M. STRZELECKI T.: (0) Thermal conolidation of porou medium with a rheological Kelvin-Voigt eleton / Monia Bartlewa-Urban, Tomaz Strzeleci // Studia Geotechnica et Mechanica. vol. 34, nr 3,. 7-35, ry., bibliogr. 8 poz. BIOT M.A.,: (956) General Solution of the Equation of Elaticity and Conolidation of a Porou Material, J. Appl. Mech., 3. BIOT M.A. WILLIS D.G. (957) The Elatic Coefficient of the Theory of Conolidation, J. Appl. Mech., 4, GOLDBERG D., HOLLAND J., (988) Genetic Algorithm and Machine Learning, Machine Learning, Volume 3, Iue 3, GOLDBERG D. (989) Genetic Algorithm in Search, Optimization, and Machine Learning. Addion-Weley. PELLETIER G., CHAPRA S., TAO H., (006) QUALKw A framewor for modeling water quality in tream and river uing a genetic algorithm for calibration, Environmental Modelling & Software, Volume, Iue 3, pp RUBINSTEIN J., TORQUATO S.: (989) Flow in random porou media: mathematical formulation, variational principle and rigorou bound, J. Fluid Mech., 06, RUTKOWSKA D. (997) Intelligent Computational Sytem, PLJ Academic Publihing Houe, Waraw. SASTRY K., GOLDBERG D.E., KENDALL G. (04) Genetic Algorithm. In: Bure E., Kendall G. (ed) Search Methodologie. Springer, Boton, MA STRZELECKI T., UCIECHOWSKA A.(04) Thermal conolidation proce of multiphae medium coniting of elatic eleton, water, and water vapour. Acta Geophyica vol. 6, No. 5, pp ISSN STRZELECKI T., KOSTECKI S., ŻAK S.: (008) Modelowanie przepływów przez ośrodi porowate, Dolno-śląie Wydawnictwo Eduacyjne. SROKOSZ P.

25 Selected application of genetic algorithm in geotechnic (in Polih), Wydawnictwo UWM, 0 ISBN: ZHANG X., SRINIVASAN R., LIEW M. (009) On the ue of multi algorithm, genetically adaptive multi objective method for multi ite calibration of the SWAT model, Hydrological Procee, Volume4, Iue 8, pp FLEX PDE 6, (009), Ver. 6, PDE Solution Inc.