Równania różniczkowe zwyczajne
|
|
- Marcin Jastrzębski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdział 5 Równania różniczowe zwyczajne 51 Wprowadzenie Przedtawimy teraz przyłady paru zjawi z dziedziny izyi i biologii Przyład 1 Rozpad promieniotwórczy opiuje prawo mówiące, że ubyte ubtancji jet proporcjonalny do jej ilości: gdzie jet maą ubtancji w chwili, zaś jet tałą proporcjonalności Przyład a Wzrot populacji baterii w warunach dotatu pożywienia jet opiywany podobnie: przyrot liczby baterii jet proporcjonalny do ich ilości: gdzie oznacza liczbę baterii w chwili, zaś jet tałą proporcjonalności Zauważmy, że doonaliśmy w obu przypadach oniecznego uprozczenia modelowego przyjmując, że ta maa ubtancji, ja ilość baterii ą ciągłymi uncjami czau W rzeczywitości ta nie jet, bo obie wielości zmieniają ię oowo Jedna z uwagi na to, że owe oi ą malutie w porównaniu do całej populacji cząte czy baterii, to owa nieściłość nie ma więzego pratycznego znaczenia Podreślamy, że dobór modelu zjawia jet prawą niezależną od matematyi, co za chwilę zobaczymy Przyład b Wzrot populacji baterii w warunach dotatu pożywienia ożna przyjąć, że jet on proporcjonalny do liczby par: gdzie ja poprzednio oznacza liczbę baterii w chwili ożliwe ą dalze uściślenia powyżzego przyładu uwzględniające śmiertelność 1
2 & & & & ROZZIAŁ 5 RWNANIA RŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Przyład c Wzrot populacji baterii uwzględniający prawdopodobieńtwo śmierci: gdzie! jet tałą charateryzująca śmiertelność Rozpatrzmy teraz przyład mechaniczny Jeśli teraz oznacza drogę przebytą przez czątę pod działaniem iły #, to wtedy %$ jet prędością, %$ zaś przypiezeniem echania Newtona mówi, że gdzie napi ' ' oznacza do amo co, 0 położenia i prędości, tj # # jet wahadło matematyczne (' ' # %$, czy )+*-, ' )/ * ; to maa Siła # może zależeć od czau, Szczególnym przypadiem uładu mechanicznego Przyład 3 Ruch puntu materialnego o maie na ztywnej nieważiej nici o długości 1 w polu grawitacyjnym ziemi, (wahadło matematyczne) Ry 1 Wahadło matematyczne Kąt wychylenia od pionu oznaczamy przez 3, wtedy z bilanu ił wynia, że jeśli oznacza prędość ątową wahadła, to ' &87:9<; 14 ' 5 3 a po uprozczeniach uład przyjmuje potać gdzie A $B1 3 = 7>9?; 3 (1) - Przyład 4 Równanie ocylatora harmonicznego dotajemy załadając, że wychylenia od położenia równowagi ą małe, przez co można z dobrą doładnością przybliżać uncję inu uncją liniową (patrz 354): 5C E
3 51 WPROWAZENIE 3 Jet janym, że wzytie powyżze równania trzeba uzupełnić o opi tego, co dzieje ię w chwili początowej, jeśli chcemy wyznaczyć ilościowy opi proceu: w przyładach 1 i jet to początowa ilość baterii: GH la zagadnień mechanicznych ą to: początowe wychylenie i początowa prędość, GH I JGK (' Nazym celem jet poznanie metod rozwiązywania najprotzych typów równań i wazanie metod badania rozwiązań, gdy znalezienie wzoru na rozwiązanie jet niemożliwe lub niepratyczne N O Przyjrzyjmy ię równaniu w przyładzie c Niech oznacza prawą jego tronę Zauważmy że: a) jeśli QP lub R S $, to T ; b) jeśli QUV R SWP $, to ; c) jeśli lub R S $, to PX I Jeśli teraz pełnia nierówność w a), to wielość J będzie roła i jeśli YP, dla wzytich G, nb założenie I[P jet to ja ię przeonamy później ZP nieizyczne Co więcej, uncja jet malejąca aż do wymarcia populacji Jeśli Y pełnia b), to wielość będzie malała i zawze pozotanie w przedziale $ Jeśli zachodzi trzecia możliwość, tj \ lub \ $, to uncja tała [J I jet rozwiązaniem równania Zauważmy, że zdobywaliśmy wiedzę o rozwiązanich bez rozwiązywania równania L Ry Pole wetorowe uładu (1) Badanie uładu (1) wymaga robienia ryunów pól wetorowych ianowicie, polem wetorowym nazywamy dowolne odwzorowanie L^]`_ à bc _ adb W nazym przypadu e Zróbmy ryuni pól wetorowych zadawanych uładem (1) (patrz ry ) i równaniem ()
4 U 4 ROZZIAŁ 5 RWNANIA RŻNICZKOWE ZWYCZAJNE ' rozpianym jao uład za pomocą wprowadzenia zmiennej, (patrz ry 3) Strzałi poazują ja ię będzie poruzać cząta pod wpływem pola Znów warto podreślić, że zdobyliśmy wiedzę o rozwiązaniu bez znajdowania go Częto nie można go zapiać wzorem albo znany wzór jet nieczytelny latego trzeba ię poługiwać innymi metodami (np porządzaniem ryunów) do badania rozwiązań Ry 3 Pole wetorowe uładu () Powyżze zice pól wetorowych zotały uzyane z pomocą paietu do obliczeń numerycznych cilab Tenże paiet pozwala na numeryczne rozwiązywanie równań 5 Najprotze typy równań i ich rozwiazywanie Równaniem różniczowym zwyczajnym nazywamy równanie potaci _ a b i ] _ a bji _ a c g gdzie wzytie dotychczaowe przyłady mogą być ta zapiane Równania różniczowe zwyczajne ą zazwyczaj uzupełniane waruniem początowym >h _ a W itocie jet to uład, gdy e Przeonamy ię w 54, że Rozpatrzmy najprotzy przyład, w tórym uncja ]l_ amc _ a jet ciągła: Zadanie prowadza ię do znalezienia uncji pierwotnej Bo jeśli JGK # do tego taą, że # JGK h GK jet uncją pierwotną i, to jet ona rozwiązaniem powyżzego zagadnienia
5 z 5 NAJPROSTSZE TYPY RWNAŃ I ICH ROZWIAZYWANIE 5 Natępny przyład jet nieco bardziej złożony, ale K h GK ]l_ amc _ a też jet ciągła: Jeśli Ja później zobaczymy Ko przy odpowiednich założeniach jet to jedyne rozwiąznie Niech teraz p ożemy podzielić obie trony (3) przez,, to zuanym rozwiązaniem jet uncja tała G>/r a wyni całować na q, ut g Twierdzenie o całowaniu przez podtawienie zatoowane do lewej trony daje nam yx{z x0z < t Niech } będzie taą uncją pierwotną uncji $ monotoniczna w pewnym otoczeniu puntu J uncja }y~ Ponadto z mocy deinicji w, że } a zatem uncja odwrotna }!~ jet rozwiązaniem Sprawdzamy, że GK }!~ J } ' Przyład 5 Jao zatoowanie rozwiążmy równanie z przyładu 1: ' 5C JGK G G K G Zauważmy, że } Rn jet itnieje Wtedy Po podzieleniu obu tron przez dotaniemy: Teraz całujemy względem G>/r na przedziale q ut ' ut 5 C, 5C Twierdzenie o całowaniu przez podtawienie zatoowane do lewej trony daje nam Wyznaczamy z (4) i (5): t x{z x0z < t ~ ;A ~ t J GH ;y N -
6 } # # z } ROZZIAŁ 5 RWNANIA RŻNICZKOWE ZWYCZAJNE i dalej, J ~ ~ ut: Wynia tąd, że ilość materiału radioatywnego maleje wyładniczo w czaie Natępny przyład łączy oba poprzednie g h Równanie (7) nazywa ię równaniem o zmiennych rozdzielonych Potępujemy ja poprzednio {Co Niech ożemy podzielić obie trony (7) przez, dotaniemy, g Niech } będzie dowolną uncją pierwotną uncji $, a # uncją pierwotną Wtedy jeśli całujemy obie trony (7) w granicach od G do, to dotaniemy, Lewą tronę potratujemy podobnie ja wyżej i dalej t t w ] } ~ yx{z x0z < t t Rˆ w G{ } Sprawdzamy, ta zdeiniowane jet rozwiązaniem: Oczywiście JG{ }!~ K: g } ' # # GK Przyład W pratyce wygląda to ta amy do rozwiązania ' zielimy obie trony przez a wyni całujemy Sąd mamy, że dotaniemy: ;y ;! X, tj w$ 0 5 J > # } K> JGK JGK: R - RŒ zięi warunowi początowemu Jedna ama potać wzoru (8) podpowiada, że jawna potać rozwiązania może być trudna do uzyania, bądź niepratyczna w obliczeniach
7 ' 53 RWNANIA LINIOWE 7 53 Równania liniowe 531 Równania liniowe pierwzego rzędu Podamy teraz metody rozwiązywania liniowych równań pierwzego rzędu Pierwzym z nich jet równanie z przyładu 1, tj J ' J Jego rozwiązanie podane jet wzorem (), tj J RŽ Rozpatrzmy J (' 3 tóre jet równaniem liniowym z członem źródłowym Nie jet to równanie o zmiennych rozdzielonych Zatoujemy tutaj metodę uzmienniania tałej Polega ona na tym, że tałą wytępującą we wzorze (9) tratujemy jao uncję Po wtawieniu do (10) dotaniemy a tąd ', tóre jet pierwzego rozpatrywanego typu Prote rachuni dają J W zczególnych przypadach można łatwo zgadnąć potać rozwiązań równania (10) Jednym z tych przypadów jet J N H gdzie i ą wielomianami zmiennej 0 zaś 7 h šu h ~ h J -ˆ 7>9?; H _ a Powiemy wtedy, że jet quaiwielomianem Oazuje ię, że jeli jet quai-wielomianem, taim ja w (11), to rozwiązania równania (9) przyjmują natępującą potać h R J H gdzie jet tałą zaś ą wielomianami, tórych wpółczynnii trzeba dopiero oreślić (tąd nazwa, metoda wpółczynniów nieoznaczonych) poprzez wtawienie (1) do (9) Widać 0 7 3œ od razu, że topień ž nie może być niżzy niż topień Ÿ, 5 o Rozpatrzmy Przyład 7 Załóżmy, że ' V J 7>9?; H l n
8 8 ROZZIAŁ 5 RWNANIA RŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wtedy,, wtawieniu do równania (13) Stąd, Zatem J i ąd wynia uład Jego rozwiązanie to =I $ Q, d Bierzemy Q G ' w $, 5 V i Q otaniemy po Uwaga Wzory przetają być prawdziwe gdy Należy wtedy zuać wielomianu wadratowego, a nie liniowego ja wyżej 53 Równania liniowe drugiego rzędu Równanie ocylatora harmonicznego, tłumionego ocylatora i prądu w obwodzie z ondenatorem i cewą ma wpólną potać ª ' ' ª G ' ª z warunami ' otychczaowe doświadczenie z równaniami liniowymi podpowiada nam, że możemy zuać rozwiązań w potaci «J gdzie jet jezcze nie utalone Wtawmy tę uncję do (14) Po zróżniczowaniu i róceniu przez dotaniemy, że ª ª H«ª Równanie (15) nazywa ię równaniem charaterytycznym równania (14) (15) ml amy 3 przypadi do zbadania w zależności od znau wyróżnia ª ª ª równania (1) amy wtedy różne pierwiati rzeczywite równania (15) i a tym amym rozwiązania równania (14) «G «i * Tratowane ja wetory w przetrzeni wetorowej > drn q ą liniowo niezależne, czyli jet zana, że itnieje ombinacja liniowa H m H * tóra pełnia waruni początowe Zauważmy, że dzięi liniowości (3) ażda ombinacja liniowa rozwiązań jet rozwiązaniem
9 P U 7 t 7 53 RWNANIA LINIOWE 9 i mamy rozwiązanie t± Podejrze- t/, co łatwo prawdzić () š Itnieje tylo 1 pierwiate rzeczywity wamy, że to za mało rozwiązań! Itotnie mamy jezcze jedno ª J «3 )+* t ª J «) t ª ª ª ² ª K± «t )/ * )/ ³«Gẃ««tR gdzie Zatem, ª ª ª ª oro K 8µ ª - ª ² ª ma z założenia pierwiate podwójny wž ª K ª V ą rozwiązaniami Przypominamy, że liczby ze- Różniczowanie uncji wetorowych polega na różniczowaniu ażdej wpółrzędnej z oobna dzięi temu przeonamy ię, że (3) amy wtedy pierwiati zepolone wartościach zepolonych «4 0 c, polone można utożamiać z _ a i ª ª { ««t G to przężone tj uncje o z º» z¼ º < Chcemy oniecznie dotać rozwiązania rzeczywite dla rzeczywitych danych początowych ª ½ ½ mamy oraz ª ª _ a Zauważmy, że dla «G ««G «G * «G ««+ * «Gà ¾ «G _/ zięi linowości równania dotaliśmy dwa różne rozwiązania Przyład 8 W przypadu ocylatora harmonicznego (' ' K R 3 «+ À 7>9?; R 3 dotaniemy równanie charaterytyczne A i tąd /Á  +Ã, zatem 3 H à J 7:9<; à zgodnie z oczeiwaniami
10 c x ~ x ) Ô b Ñ x ) b Î P Î Ë 10 ROZZIAŁ 5 RWNANIA RŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 54 Teoria rozwiazalności Zajmiemy ię teraz odpowiedzią na pytanie, czy ażde równanie ma rozwiązanie Oazuje ię, że odpowiedź jet twierdząca, przy roządnych założeniach Wyni ormułujemy dla uładów równań ta, aby obejmował równania wyżzych rzędów Jeśli mamy równanie to podtawienia ) )/ ÄÄ b ~ b 0 x )GÅ0Æ )/ Å{Æ ÈÈÇ É )/ ÊÈÈ x ) )/ Å0Æ ÄÄ dadzą uład J0 b ~ b ~ a i _ a b c _ a b Ë Twierdzenie 1 Załóżmy, że ]EËÍÌ _ gdzie jet otwartym zbiorem, pełnia waruni: (i) jet uncją ciągłą; (ii) itnieje taie Î Wtedy, jeśli JG {ju G> dr tj uncja ] q, że dla dowolnych J0 hº0 ju Ï J0 0 ÏÐ?? b ~ mamy Ë, to itnieje doładnie jedno rozwiązanie zagadnienia 0 )/ JG{ _ a b pełniająca (1) dla pewnego owód la prototy dowód przeprowadzimy w przypadu jednego równania Podamy jedynie dowód itnienia, tóry jet ilutracją metody olejnych przybliżeń, tóra ma wiele zatoowań Niech G J GH J będzie taie że Ò ]¼ zauważmy, że jeśli jet rozwiązaniem równania (1), to po jego całowaniu dotaniemy Ta równość podpowiada nam natępującą deinicję J Poażemy, że zereg uncyjny µ J ut ºJ µ t J R H b ~ ut na -ˆ>±w > -l G -ˆ:/ G> dr q na G: `r q
11 P b 9 Ð Ð Ð Ò Î Î Î Ô b r b ª b Ð Ð ª b ~ 54 TEORIA ROZWIAZALNOŚCI 11 jet jednotajnie zbieżny Jego umy częściowe Õ Wiemy (patrz twierdzenie 353), że do wyazania jednotajnej zbieżności zeregu (17) wytarczy prawdzić, że J J Ð 8U G> dr Œ dla K~ q gdzie zereg liczbowy Ö ª jet zbieżny < 3Ï Zauważmy, że w myśl deinicji normy w przetrzeni > drj q nierówność (18) oznacza, iż Sprawdzamy (18) Zatem z właściwości całi Riemanna i założenia (ii), to ª J J =Ð < t ut ut Ï t Ï Ï t K~ Rl K~ < to -ˆ> -l -l -ˆ> Rl -ˆ> K~ -ˆ -ˆ {~ RB Rˆ ØÀÙ GÚˆÛ t ÁÜÝ K~ < Ï K~ Î < Ï K~ Ò {~ RB:/ GH Ï Ï < K~ Ò oro Ò ] ÒÀ jet wyrazem zbieżnego zeregu geometrycznego Zatem dzięi twierdzeniu 350 Ö q jet zbieżny jednotajnie do granicy, tórą oznaczymy {~ ymbolem zięi jednotajnej zbieżności mamy, że jet uncją ciągłą Nadto, twierdzenie 35 gwarantuje, że Zatem J pełnia bþ t R -ˆ/ ut t -l Rl RB:/ -ˆ>±w Co więcej prawa trona jet różniczowalna dzięi podtawowemu twierdzeniu rachunu różniczowego i całowego Zatem (19) pociąga J J0 > co należało wyazać ßà i JGK Ò Ï < Ž
12 U Ò U P Ð Ò á á Ò Ò Ò Ò 7 q 1 ROZZIAŁ 5 RWNANIA RŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 541 Uwagi na temat jaościowej teorii równań Chcielibyśmy orzeać o właściwościach rozwiązań równania wahadła ' ' 5C bez onieczności rozwiązywania tego uładu Widzieliśmy w pierwzym paragraie rozdziału, że jet to możliwe dla pewnych równań Zauważmy, że uncja â 3 H V, ma tą właściwość, że â Oznacza, to że rozwiązanie yã c 3 7>9?; (' Jh 3 J> 7:9<; 3 3G(' (' (' jet rzywą zawartą w poziomicy uncji â, a zatem jet rzywą zamniętą w płazczyźnie Powyżzą uwagę można uogólnić Otóż uład (0) jet zczególnym przypadiem uładu Hamiltona, tj uładu potaci gdzie _ a b i uncję â jet rozwiązaniem (), to ÈÇ É ' Xæ{ç ÈÊå æ0è ' 5 æ{ç Rêl ægé h Rêl Ò Ä nazywa ię Hamiltomianem Oazuje ię, że jeśli â h owód Jet to łatwe ćwiczenie, tóre pozotawiamy Czytelniowi ßà Chcielibyśmy też przeonać ię, ile jet prawdy w twierdzeniu, że równanie ocylatora harmonicznego J: µ ' 3 jet przybliżeniem równania wahadła (0) w przypadu małej amplitudy drgań Zapizmy (0) i (3) w równoważnej potaci równań drugiego rzędu i załóżmy, że wychylenie początowe jet ' ' i za pomocą twierdzenia Taylora gdzie q, Ò - - -l -Bn 7:9<; (' ' = ' ' C ¼l ¼l tj ë i intereuje na przedział czau od 0 do 1 Badamy różnicę Vì % ì (' >/r zięi założeniom o ' ' i ' ' 7:9<; 0 ' - (' ' { 3 prędość początowa { ' ' :±r
13 ñ r Û Á Ý Û Á Ý Û Á Ý Û Á Ý U n ð 54 TEORIA ROZWIAZALNOŚCI 13 gdzie 8U q Zatem i dalej Jíå îð daje ï í ð (dzięi twierdzeniu Taylora) Obliczenie maimum prawej trony dla ØÀÙ 0J co dla A5 daje niezły wyni Ð ØÀÙ {-ˆ غ٠РRˆ غ٠{-ˆ Ð Žl RB Rˆ š d RB 0l ożna zadać ogólne pytanie, iedy uład ', gdy _ adb można przybliżyć uładem Qò w oolicy puntu tacjonarnego W tym miejcu wpomnimy, że punt CU _ a b nazywa ię tacjonarnym uładu ' H jeśli Oazuje ię, że odpowiedź twierdzącą na naze pytania można uzyać, gdy ò jet porządna (objaśnimy dużo później) ziś wpomnę, że dla ]î_ a c _ a, oznacza to, że o ' Po zczegóły odyłamy zaintereowanego Czytelnia do iąże poświęconych teorii równań różniczowych zwyczajnych nl
WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA. Ćwiczenie A2. Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny metodą dynamiczną.
INSRUKCJA Ćwiczenie A Wyznaczanie wpółczynnia prężytości prężyny metodą dynamiczną. Przed zapoznaniem ię z intrucją i przytąpieniem do wyonania ćwiczenia należy zapoznać ię z natępującymi zagadnieniami:
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Podaj model matematyczny układu jak na rysunku: a) w postaci transmitancji, b) w postaci równań stanu (równań różniczkowych).
Zadanie Podaj model matematyczny uładu ja na ryunu: a w potaci tranmitancji, b w potaci równań tanu równań różniczowych. a ranmitancja operatorowa LC C b ównania tanu uładu di dt i A B du c u c dt i u
Bardziej szczegółowo1 Przekształcenie Laplace a
Przekztałcenie Laplace a. Definicja i podtawowe właności przekztałcenia Laplace a Definicja Niech dana będzie funkcja f określona na przedziale [,. Przekztałcenie (tranformatę Laplace a funkcji f definiujemy
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Inducja matematyczna Inducja jest taą metodą rozumowania, za pomocą tórej od tezy szczegółowej dochodzimy do tezy ogólnej. Przyład 1 (o zanurzaniu ciał w wodzie) 1. Kawałe żelaza, tóry zanurzyłem w wodzie,
Bardziej szczegółowoRównanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki
napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1)
Bardziej szczegółowoINSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA
Na prawach ręopi do żyt łżbowego INSYU ENERGOELEKRYKI POLIECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport erii SPRAWOZDANIA Nr LABORAORIUM EORII SEROWANIA INSRUKCJA LABORAORYJNA ĆWICZENIE Nr 4 Minimalnoczaowe terowanie optymalne
Bardziej szczegółowoIdea metody LINIE PIERWIASTKOWE EVANSA. Idea metody. Przykład. 1 s1,2 k
LINIE PIERWIASTKOWE EVANSA Idea metody Definicja linii pierwiatowych. Silni terowany napięciowo. PRz Idea metody Atualne zatoowanie metody linii pierwiatowych: amotrojenie w regulatorach przemyłowych (automatyczne
Bardziej szczegółowo1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej. 2. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
. Funkcje zepolone zmiennej rzeczywitej Jeżeli każdej liczbie rzeczywitej t, t α, β] przyporządkujemy liczbę zepoloną z = z(t) = x(t) + iy(t) to otrzymujemy funkcję zepoloną zmiennej rzeczywitej. Ciągłość
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoPOLITYKA DYWIDENDY. Podstawowy dylemat: ile zysku przeznaczyć na dywidendy, a ile zatrzymać w firmie i przeznaczyć na potrzeby jej dalszego rozwoju?
POLITYKA DYWIDENDY Treść wyładu politya dywidendy jao element trategii formy wypłaty dywidendy teorie polityi politya dywidendowa polich półe Polityę dywidendą oreśla ię jao decyzje roztrzygające o tym,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g zares rozszerzony 1. Wielomiany bardzo zna pojęcie jednomianu jednej zmiennej; potrafi wsazać jednomiany podobne; potrafi
Bardziej szczegółowoLVI Olimpiada Matematyczna
LVI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkurowych zawodów topnia trzeciego 13 kwietnia 2005 r (pierwzy dzień zawodów) Zadanie 1 Wyznaczyć wzytkie trójki (x, y, n) liczb całkowitych dodatnich pełniające
Bardziej szczegółowoWykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)
Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Zadanie 1. (Charaterytyi czętotliwościowe) Problem: Wyznaczyć charaterytyi czętotliwościowe (amplitudową i fazową) członu całującego rzeczywitego
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO
ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoĄ ń Ę Ę ź Ę Ę Ę ź Ż ź Ę ń ń ć Ę ź Ż
Ó Ś ń Ś Ź ń Ą ń Ę Ę ź Ę Ę Ę ź Ż ź Ę ń ń ć Ę ź Ż Ę Ę Ę ź ź Ą Ą ĄĄ ń Ę Ę ń ń ń Ź Ą ń ń ń ń Ę Ą Ę ń Ę Ę Ą ń ń ń ń ź Ę Ę ź ć ń Ę ń Ę Ę Ą ń Ę Ę ń Ę Ę ć ć ń ń Ę Ę Ę Ę ć ć Ź ć ć Ę Ż Ę ń Ż Ó Ę ć ń Ę Ż Ż Ż Ż Ę
Bardziej szczegółowoIII. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
Bardziej szczegółowoWykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)
Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia
Bardziej szczegółowoMateriały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Wykłady
Materiały dydatyczne Matematya Semestr III Wyłady Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego - 70-500 Szczecin WIII RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU. Pojęcia wstępne. Równania różniczowe
Bardziej szczegółowoCzęść 1 9. METODA SIŁ 1 9. METODA SIŁ
Część 1 9. METOD SIŁ 1 9. 9. METOD SIŁ Metoda ił jet poobem rozwiązywania układów tatycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowadza ię ona do rozwiązania
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoA i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy
3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja
Bardziej szczegółowoi odwrotnie: ; D) 20 km h
3A KIN Kinematyka Zadania tr 1/5 kin1 Jaś opowiada na kółku fizycznym o wojej wycieczce używając zwrotów: A) zybkość średnia w ciągu całej wycieczki wynoiła 0,5 m/ B) prędkość średnia w ciągu całej wycieczki
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowo(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej
3.10.2004 24. (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego 24.1.1 Założenia wstępne
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowoUkłady oscylacyjne w przyrodzie
20 FOTON 90, Jesień 2005 Ułady oscylacyjne w przyrodzie Mare Tyluti Studia Matematyczno-Przyrodnicze, II ro Uniwersytet Jagiellońsi. Ułady dynamiczne wstęp Ułady spotyane w przyrodzie, pomimo wieliej liczby
Bardziej szczegółowoDRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie
DRGANIA MECHANICZNE ateriały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Saochodów i Maszyn Roboczych studia inżyniersie prowadzący: gr inż. Sebastian Korcza część 5 płaszczyzna fazowa Poniższe ateriały tylo dla
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoA. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna
A. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wsaźniami esploatacyjnymi eletronicznych systemów bezpieczeństwa oraz wyorzystaniem ich do alizacji procesu esplatacji z uwzględnieniem przeglądów
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoModelowanie przez zjawiska przybliżone. Modelowanie poprzez zjawiska uproszczone. Modelowanie przez analogie. Modelowanie matematyczne
Modelowanie rzeczywistości- JAK? Modelowanie przez zjawisa przybliżone Modelowanie poprzez zjawisa uproszczone Modelowanie przez analogie Modelowanie matematyczne Przyłady modelowania Modelowanie przez
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoĄ Ł Ę Ń Ą Ó ŚĆ Ś ć Ó ń ć ŚĆ ć ć
ń Ą Ą Ł Ę Ń Ą Ó ŚĆ Ś ć Ó ń ć ŚĆ ć ć Ś Ó ć ć ć ć Ż Ę Ż Ś Ć ń ć ń ć ć ć Ż Ż Ć ć Ż ć ć ć ć ć Ż Ż Ś Ć ń Ć Ó ć Ś Ś Ź ć ć ń ć ć Ż ć ć Ć Ż ń ć ć Ś Ć ć ŚĆ ć ć Ś ć Ż ć ć Ż ŚĆ Ś ń Ś Ż Ś ń Ż ń Ś ŹĆ Ś Ś Ś ń Ś ć Ó
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoDRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoÓ Ń Ś Ą Ś Ń Ś Ś
ź Ó Ń Ś Ą Ś Ń Ś Ś Ś Ą Ś Ń Ś Ę Ń Ą Ą Ś ź Ś ć Ó Ą Ś Ć ć Ś ć Ń ć Ń Ó Ą Ś ć Ó ć ć ć Ń Ę Ń ź ź ć ć Ę ć ć Ń Ń Ę Ą ź Ą Ń Ń Ą Ą Ą Ń ź ć Ń ź Ę ź ć Ą ć Ń ć Ś Ś Ń ć Ń ź ć Ś ź ź Ń Ń Ń ź Ę Ę ź Ę Ś ź Ń ź ć Ń Ń Ń
Bardziej szczegółowoĄ Ś Ń Ś Ą Ś Ń
ź Ż Ą Ę Ą Ś Ń Ś Ą Ś Ń Ą Ś Ś Ś Ś Ą Ś Ś ź Ś Ś ŚĆ Ń Ń Ń Ś Ń Ń Ń ć Ń Ń Ó Ą Ś Ą Ń Ń Ń ź ć Ń Ń Ń ć Ń Ę Ę Ś ć Ę Ń Ń ź Ą ć Ń Ą Ś Ń Ę Ń Ę Ę Ż Ś Ń Ń Ń ć Ę Ę Ę ć Ę Ą ć Ń Ą ć Ś Ń Ń Ń ć Ń Ę Ń Ń Ę ź Ń Ą Ę Ę Ę Ę Ę Ę
Bardziej szczegółowoć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ź
Ó ć Ś ź ź ć ć ć ć ź ć ź ć ź ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ź Ó ć ć ć ć ź ź ć Ę ć ć ć ź ć ć ź ć Ę ć ć ź ć ź ć Ó ć ć Ą ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ż ć ć ć Ń ć Ą ź ź ć ć ź ć ć Ę ć ć ć ć ć ć ć ć ź
Bardziej szczegółowoBlok 4: Dynamika ruchu postępowego. Równia, wielokrążki, układy ciał
Blok 4: Dynaika ruchu potępowego Równia, wielokrążki, układy ciał I Dynaiczne równania ruchu potępowego Chcąc rozwiązać zagadnienie ruchu jakiegoś ciała lub układu ciał bardzo częto zaczynay od dynaicznych
Bardziej szczegółowoF p. F o. Modelowanie złożonych systemów biocybernetycznych. Na poprzednim wykładzie uczyliśmy się, jak tworzyć modele prostych obiektów biologicznych
Modelowanie złożonych ytemów biocybernetycznych Wyład nr 6 z uru Biocybernetyi dla Inżynierii Biomedycznej prowadzonego przez Prof. Ryzarda Tadeuiewicza Na poprzednim wyładzie uczyliśmy ię, ja tworzyć
Bardziej szczegółowoSPRĘŻYNA DO RUCHU HARMONICZNEGO V 6 74
Pracownia Dydaktyki Fizyki i Atronoii, Uniwerytet Szczecińki SPRĘŻYNA DO RUCHU HARMONICZNEGO V 6 74 Sprężyna jet przeznaczona do badania ruchu drgającego protego (haronicznego) na lekcji fizyki w liceu
Bardziej szczegółowoPoniżej 14 r.ż. 1 (0,5%) 1 (0,9%) r.ż. 11 (6,0%) 21 (18,9%) r.ż. 59 (32,2%) 44 (39,6%) r.ż. 38 (20,8%) 15 (13,5%) Powyżej 25 r.ż.
! " # $ % &! ' $ ( ) * # +, $ - *. /, 0 # 1!. 0, * 2 0 '! 3! 1 ) 4 $ % 5. ) (! +, ) 0 6 ). 7 1 $ 8, 9 : ; < = >? < ; @ = A B C D E F G @ H < I J K L D M N = A D M O E L D H B P ; A Q H < O R S G @ ; P
Bardziej szczegółowoUkład uśrednionych równań przetwornicy
Układ uśrednionych równań przetwornicy L C = d t v g t T d t v t T d v t T i g t T = d t i t T = d t i t T v t T R Układ jet nieliniowy, gdyż zawiera iloczyny wielkości zmiennych w czaie d i t T mnożenie
Bardziej szczegółowoRUCH FALOWY. Ruch falowy to zaburzenie przemieszczające się w przestrzeni i zmieniające się w
RUCH FALOWY Ruch alowy to zaburzenie przemiezczające ię w przetrzeni i zmieniające ię w czaie. Podcza rozchodzenia ię al mechanicznych elementy ośrodka ą wytrącane z położeń równowagi i z powodu właności
Bardziej szczegółowoĆw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań
KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.
Bardziej szczegółowoA4: Filtry aktywne rzędu II i IV
A4: Filtry atywne rzędu II i IV Jace Grela, Radosław Strzała 3 maja 29 1 Wstęp 1.1 Wzory Poniżej zamieszczamy podstawowe wzory i definicje, tórych używaliśmy w obliczeniach: 1. Związe między stałą czasową
Bardziej szczegółowoStatyczne charakterystyki czujników
Statyczne charakterytyki czujników Określają działanie czujnika w normalnych warunkach otoczenia przy bardzo powolnych zmianach wielkości wejściowej. Itotne zagadnienia: kalibracji hiterezy powtarzalności
Bardziej szczegółowoĘ Ę Ę Ą ź Ę ń Ę ć ć ń ć ć ń Ą Ę ć ń źć ń ć ź ń ć ć Ę ć ć ć ć ń Ś ć ć Ć ć ć Ć ń ć ć Ć Ć Ś Ś ć Ś Ż ć ń ć Ć ń ć ń ć źć ć ć ć ń Ć ć Ć ń ń ń ń ń ń ć ź ć ń ć ć ć ć ć ć ń ź ń ć ń ź ć ć ć Ć ć ć ć ź ć Ć ć ć ć ć
Bardziej szczegółowo( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego Chodzi o wyznaczenie pochodnych cząstowych funcji błędu E względem parametrów elementów uładu
Bardziej szczegółowoBADANIE ZALEŻNOŚCI PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU OD TEMPERATURY
Ć w i c z e n i e 30 BADANIE ZALEŻNOŚCI PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU OD EMPERAURY 30.1 Wtęp teoretyczny 30.1.1. Prędkość dźwięku. Do bardzo rozpowzechnionych proceów makrokopowych należą ruchy określone wpólną nazwą
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne
Wydział PRACOWNA FZYCZNA WFi AGH mię i nazwiso 1.. Temat: Ro Grupa Zespół Nr ćwiczenia Data wyonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne Cel
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTEMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podtawowy) Rozwiązania zadań Zadanie 1. (1 pkt) III.1.5. Uczeń oblicza wartości niekomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe i
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoBlok 2: Zależność funkcyjna wielkości fizycznych
Blok : Zależność funkcjna wielkości fizcznch I. Odcztwanie informacji z wkreu co tak naprawdę na nim ię znajduje. Chcąc odcztać informacje z wkreu funkcji, muim dokładnie wiedzieć, jaka wielkość fizczna
Bardziej szczegółowoć ć Ę ż Ą ż ż Ź ć Ę Ą ż Ą ć ż ć ć ż ż ć Ę ż ż ć ż ć
ć ć Ł ć ć ć Ę ż Ą ż ż Ź ć Ę Ą ż Ą ć ż ć ć ż ż ć Ę ż ż ć ż ć ż ćż Ń ż ż ż ż ż ż ż ż Ź ż ż ż ć ć ż Ę Ń ć ż Ą ż Ś ż ż ć ć Ź ć ć ż ż Ź ż ć Ę Ń Ź ż ć ć ż Ń Ł ć ć ć Ż ż ć ć ż Ź ż Ę Ą ż ż ćż ż ż ć ż ż ż ć ć ż
Bardziej szczegółowoStabilność liniowych układów dyskretnych
Akademia Morka w Gdyni atedra Automatyki Okrętowej Teoria terowania Miroław Tomera. WPROWADZENIE Definicja tabilności BIBO (Boundary Input Boundary Output) i tabilność zerowo-wejściowa może zotać łatwo
Bardziej szczegółowoŃ Ś Ó Ó Ć Ś ŃŃ Ó Ą
Ń Ó Ń Ń Ś Ń Ą Ń Ą Ź Ź Ą Ś Ż Ń Ć Ń Ń Ń Ń Ń Ś Ó Ó Ć Ś ŃŃ Ó Ą Ń Ń Ź Ś ĄŃ Ż Ń Ą Ć Ś Ą Ą Ń Ó Ą Ą Ś Ó Ą Ń Ą Ą Ą Ą Ń Ą Ś Ś Ą Ń Ą Ć Ó Ą Ś Ń Ą Ą Ą Ą Ń Ą Ń Ą Ą Ą Ą Ż Ż Ś Ń Ń Ń Ó Ó Ś Ż Ó Ą Ń Ń Ń Ń Ń Ą Ą Ń Ą Ń Ą Ą
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoś ść ő ś ś ń Í ś Ż ś Ó ś ś ś Ż Ż Ż ś ść ść Ć Ż ś Ó Ć ś Ć Ć Ć ś ś ś ś Ż Ż ń ś
é Ś Ś Ś ŁĄ ń ľ ś ń ś ś ń Í Ż ś ś Í Ż Ć Ć ś ś ś ś ń Ż ń ś ś Ć ś Ć ś ń Ć ś ś ń Ż ś ś ść ő ś ś ń Í ś Ż ś Ó ś ś ś Ż Ż Ż ś ść ść Ć Ż ś Ó Ć ś Ć Ć Ć ś ś ś ś Ż Ż ń ś ś ć ś ś ś ś ś Í ś ś ś ś Ć ć ś ś ś ś ś Í Ż ń
Bardziej szczegółowoĄĄ
Ń Ę Ą Ą ĄĄ Ś ĘĘ Ę Ę Ę Ś Ń Ń Ę Ę Ę Ń Ę Ą ź Ę Ś Ą ź ź Ę Ę Ń Ę Ę ź ź ź Ę Ń Ę Ą Ę ź ź Ń Ó Ó Ś Ę Ń Ń ź Ę Ą Ł ź Ą ź Ą Ę ź Ń Ą ź ź ź Ń ź ź ź ź Ą ź Ą Ę Ą ź Ą Ą Ś ź Ą Ę Ę Ę Ę Ę Ę ź Ń Ń ź Ę ź Ę Ń Ł Ł Ń Ś ź Ń Ń Ę
Bardziej szczegółowoŁ ś ś ń ń ś
Ę ń Ł ś ś ń ń ś ść ę ę ś ż ś ś ś ę ę ś ę ś ę ć ź ż ś ęś ż ę ś ś ś ć ź ę ę ś ś ść ć ę ę ś ś ę ę ę ę ś Ł Ł Ł Ł Ł ś ć ę ę ę ę ń Ą Ą ż ę ę Ł Ś ę Ł Ł ę ę ę ś Ą ę ę ę Ł Ł ń ń ś Ą Ń ś Ł Ó Ł ść ń ń ą ę ść ń
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoŚ ń Ó Ł Ą Ę Ą Ń Ó Ś Ż Ę ń ń Ń Ł Ą ń
Ł Ł Ń Ń Ś ń Ó Ł Ą Ę Ą Ń Ó Ś Ż Ę ń ń Ń Ł Ą ń Ą Ł ń Ś Ś ć ń ć ć ń ć ć ć ŚĆ Ż ć ć ń ń ć ń Ż Ć ń ć ć ć ń ć ć ć ć ć ń ć ć Ż ć ń ć ć Ę ć ć ć ń ć ń Ą ć Ą Ó ć ć Ą ć ć ć ń Ł ć ć ń ć ć Ś Ć Ć Ć Ć Ć Ć ć Ć Ć Ć Ż ć
Bardziej szczegółowoRelaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1
Relasaja Relasaja oznaza powrót uładu do stanu równowagi po zaburzeniu równowagi pierwotnej jaimś bodźem (wielośią zewnętrzną zmieniająą swoją wartość soowo, np. stężenie jednego z reagentów, iśnienie
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoń ź ź ń ń ź ć Ń ń Ż ń
Ę Ę ń ń ń ć Ń ć ć Ń ź ń ć ć ź ć ź ń ź ź ń ń ź ć Ń ń Ż ń Ł Ł ń Ę ź ź Ś Ś ź ń ń ź ń ń ń ń Ś ź Ę ź ń Ą ń ć ć ń ć ń Ą ć ź ź Ś ź Ś ń ń ń ń ń ń ć ń ń Ą ć ń Ś ń ń ź ź ź ć ć ń Ł Ę ń ć ń ń ź Ń ź ń Ś Ś Ś ć ń ć ź
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoUniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach. opis efektu kształcenia
Uniwersytet Śląski w Katowicach str.. Nazwa kierunku informatyka 2. Cykl rozpoczęcia 207/208Z 3. Poziom kształcenia studia pierwszego stopnia (inżynierskie) 4. Profil kształcenia ogólnoakademicki 5. Forma
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoĘ ż Ó Ł Ść ą ą ą Ą ć ż ą ż ń ą ć ż ć Ę ą ż ą ą ż ą ź ą ń ą ń ą ą ż ć
ż Ś Ą ć ą ą ą ż ż ą ą ć ą ż Ę ą ć ż ć Ó ą ą ń ą ż ń ą Ń ą ą ą Ą ą ż ż Ą ż ą ź ą ą ż ż Ę ź ą ż ą ą ą ż Ź ą ń Ę ż Ó Ł Ść ą ą ą Ą ć ż ą ż ń ą ć ż ć Ę ą ż ą ą ż ą ź ą ń ą ń ą ą ż ć ć ą ż ą ą ą ą ć ć ć ą ą
Bardziej szczegółowoż ć ć ż ż ż ż ź ć ż ć ż ż ź ż ć ż ź ż ć ź ż ż ź ć ż ż ć ż
Ś Ś Ż Ó ż ż ż ż ć ż ż ć ż ż ż ż ź ż ż ż Ó Ś ż ć ć ż ż ż ż ź ć ż ć ż ż ź ż ć ż ź ż ć ź ż ż ź ć ż ż ć ż ż Ś ż ż ć ż Ś Ó ż ż ż ć ć ż ć ź ż ż ż ć ć ć ć ż ż ź Ó ć ż ż ż ć ź ż ć ż ć ż ż ż ż ż ć ć ć ż ż ż ź ż
Bardziej szczegółowoć Ś
Ą Ą Ń Ą ć Ś Ą ć Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś ź Ś ć Ś Ś ć Ś Ś ź Ż ć ź Ż ć Ą Ś ź ź ć Ę ć Ś ć Ś Ś Ś ź Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ą ć ć ć ć Ę ć ć Ś Ś Ś ć ć ć Ś Ś Ś Ś ć Ą ć ź ć ć Ę Ą Ś Ę ć ć ź Ę ć ć Ś Ę ź ć ć Ą Ę Ę Ą Ś Ś ź ć ć
Bardziej szczegółowo6 = λ Częstotliwość odbierana przez nieruchomą głowicę, gdy źródło o prędkości v s emituje falę o częstotliwości f k : + = g g
Projet Fizya wobec wyzwań XXI w. wpółinanowany przez Unię Europeją ze środów Europejieo Funduzu Społeczneo w raach Prorau Operacyjneo Kapitał Ludzi Zadania z olowiu 16.11.2009 (Fizya Medyczna i Neuroinoratya)
Bardziej szczegółowoŚ ź Ś Ś
Ś ź Ś Ś Ę Ż Ę ź Ł Ą ź ź Ę ź Ą Ą Ę Ó Ś Ś Ś Ę Ś ź Ś Ś ź ź ź ź Ę Ą Ż Ą ź ź ź Ę ź Ę Ś ź ź ŚĆ Ś Ś ź ź Ą Ą Ą Ą ź ź ź Ż Ś Ą Ś Ą Ś Ń Ś Ą Ż Ś Ń Ś Ą Ą Ę Ś Ą ź ź ź Ą ź ź ź Ą Ż Ą Ą Ę ź Ę Ź ź ź Ą Ś Ą ź ź Ę ź Ą ź Ć
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowo