Kolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona

Transkrypt

1 Kolokwium Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e, punktami sklejenia, gdy» jest tam albo wielomianem albo cosinusem. Sprawd¹my granice jednostronne w punktach sklejenia. lim f() a = a π π π, lim f() cos =. π + π Je»eli granice maj by równe, to a π = a = π = π. lim f() cos =, π π lim f() a + b = a π π + π + b = π Je»eli granice maj by równe, to = + b b =. Odp.: a = π, b =. π + b = + b.

2 Zadanie. Znajd¹ parametr a dla którego podana funkcja sklejona { a : 0, f() = e : > 0 jest ró»niczkowalna w 0. Przy tak dobranym a oblicz f (0). Rozwi zanie: Zbadajmy granice jednostronne ilorazów ró»nicowych: f() f(0) lim 0 f() f(0) lim 0 + a 0 e 0 0 a = a, = g (0), gdzie g() = e, czyli g (0) = e 0 =. Granice jednostronne s wi c równe (czyli granica istnieje) je»eli = a a =. Granica ta, czyli f (0) jest równa.

3 Zadanie 3. Znajd¹ promie«podstawy cylindra o podstawie b d cej koªem, o ustalonej obj to±ci V którego pole powierzchni (powierzchnia boczna, denko i wieczko) jest najmniejsze. Rozwi zanie: Obj to± cylindra to πr H, gdzie R to promie«podstawy, a H to wysoko±. Mamy wi c πr H = V H = V πr. Pole powierzchni to πr (denko i wieczko) plus πr H (powierzchnia boczna): P = πr + πr H = πr + πr V πr = πr + V R. Pytanie wi c brzmi: dla jakiej warto±ci R pole P przyjmuje najmniejsz warto±. Szukamy minimum funkcji Obliczamy pochodn : f (R) = πr V R, f(r) = πr + V R. f (R) = 0 πr = V V R = 3 R π. Pochodna zeruje si tylko w jednym punkcie, R = 3 V, przy czym na lewo od tego punktu π jest ujemna, a na prawo dodatnia. Funkcja f maleje wi c na (0, 3 V ), a nast pnie ro±nie π na ( 3 V, + ). Przyjmuje wi c najmniejsz warto± w punkcie R = 3 V. π π 3

4 Zadanie. Oblicz granic lim log log( ). + Rozwi zanie: Gdy + jest to wyra»enie nieoznaczone postaci 0. Przeksztaªcamy je do postaci 0 0 i stosujemy (dwukrotnie) reguª de l'hospitala: log( ) lim log log( ) + + log log( ) de l'h ( + ) + log log + log de l'h + log log + log log = 0.

5 Zadanie 5. Udowodnij,»e dla dowolnego > 0 zachodzi: Rozwi zanie: Rozwa»my funkcj log( + ) <. Mamy f(0) = 0 i f() = log( + ), 0. f () = > 0, > 0. + Bior c dowolne > 0 i stosuj c wzór Cauchy'ego dla przedziaªu [0, ] istnieje c (0, ) takie,»e czyli f() f(0) = f (c) = c +, ( f() = ) > 0, gdy» c > 0. c + Tak wi c dla ka»dego > 0 mamy f() > 0 log( + ) <. 5

6 Zadanie 6. Znajd¹ punkty przegi cia funkcji: f() = sin(log ). Rozwi zanie: Dziedzin funkcji jest (0, ) i funkcja jest wsz dzie na swojej dziedzinie -krotnie ró»niczkowalna. Policzmy pochodn : f () = sin(log ) + cos(log ) = sin(log ) + cos(log ) f () = cos(log ) sin(log ) = ( cos(log ) sin(log ) ). Interesuje nas znak tego wyra»enia, wi c mo»emy pomin, które jest dodatnie. Mamy ( cos(t) > sin(t) f 3 π, ) π + kπ, ( cos(t) < sin(t) f π, 5 ) π + kπ. f zmienia wi c znak w punktach takich,»e log = π + kπ oraz log = 5 π + kπ, czyli log = π + kπ. Ostatecznie wi c punkty przegi cia to = e(k+ )π, k Z. 6

7 Zadanie 7. Znajd¹ punkty ró»niczkowalno±ci i oblicz pochodn funkcji: f() = log(log (log 3 )). Rozwi zanie: Funkcja ta jest zªo»eniem funkcji ró»niczkowalnych, wi c jest ró»niczkowalna na caªej swojej dziedzinie. Jaka jest ta dziedzina? Po pierwsze, zewn trzny logarytm wymaga log (log 3 ) > 0 log (log 3 ) 0 log 3 log e. Dodatkowo ±rodkowy logarytm wymaga log 3 > 0 log > 0 >. Wewn trzny logarytm wymaga > 0, wi c podsumowuj c D f = (, e) (e, + ). f jest ró»niczkowalna w ka»dym punkcie D f. f () = log (log 3 ) log(log3 ) log 3 3 log = 6 log(log3 ) log log (log 3 ) log 3. 7