Macierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,

Transkrypt

1 Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = , G =, D = ,, H = Obliczy A + B, 2A 3B, 2 A, 3C, A B, B C, D E, E C, AT, C T, D T + D, D T H b) Czy mo»na wykona nast puj ce dziaªania? A + C, 2C E T, H F, H T D, (F G) H, C T H T 2 Wykona podane dziaªania: [ n 0 [ m 0 b) [ cos α sin α sin α cos α [ cos β sin β sin β cos β c) d) [ f) g)

2 3 Policzy [ b) [ c) [ n d) [ cos α sin α sin α cos α n e) g) 2 h) f) [ T T n 3 Znale¹ macierze odwrotne do macierzy [ , c) , d) 4 Pomno»y podane macierze w pier±cieniu Z/6 [ [ 4 0 b) [ [ c) d) [ f) g)

3 Macierz odwrotna, transponowana Równania macierzowe 5 Znale¹ macierz odwrotn do macierzy stopnia n , c) n n n 2 n n 3 n Rozwi za równanie macierzowe ([ 2 0 ) A T = [ X = 2 3, 7 Wyznaczy macierz ( ) A C T T A B 2, gdzie A = , B = [ [, C = Rozwi za równania macierzowe X = T [ [ T X = [ Korzystaj c z wªasno±ci dziaªa«na macierzach oraz wªasno±ci transponowania macierzy uzasadni nast pujace to»samo±ci (ABC) T = C T B T A T, gdzie A, B, C s macierzami o wymiarach odpowiednio nxm, mxk, kxl, 3

4 b) (A ± B) 2 = A 2 ± 2AB + B 2, gdzie A i B s przemiennymi macierzami kwadratowymi tych samych stopni 0 Rozwi za równanie X = X = Znale¹ wszystkie macierze A takie,»e [ 2 0 A = A [ Rozwi za równania [ X ix T = X X T X 2 = [ Sprawdzi,»e macierz A = i korzystaj c z tego faktu pokaza,»e [ 0 2 A 2 3A + 2I = 0 A = (3I A), 2 speªnia równanie gdzie I jest tu macierz jednostkow stopnia drugiego 4 Udowodni nast puj ce wªasno±ci macierzy: Ró»nica dwóch macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierz diagonaln b) Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A A T jest sko±nie symetryczna Macierz kwadratow P nazywamy idempotentn je»eli P 2 = P 4

5 c) Je»eli macierz P jest idempotentna, to dla ka»dej macierz A tego samego stopnia co P macierz Q = P + AP P AP jest idempotentna d) Je»eli macierz P jest macierza idempotentn, to macierz Q = I ap jest odwracalna dla a i Q = I + a a P e) Je»eli macierze B i BC s odwracalne, to macierz C jest odwracalna Rozwi zywanie ukªadów równa«liniowych metod Gaussa Nast puj ce ukªady równa«rozwi za stosuj c metod eliminacji Gaussa: x + y + 2z = b) 2x + 3y + 3z = 9 c) x + y + z = 4 3x y + z = 3x 4y + z = 5 x + z = 5 x + 3y + 4z = 5 x + 7y + 2z = 4 2x + 5y + 2z = 5, d) x + 3x 2 + x 3 = 4 e) 3x + x 2 2x 3 = 3x + x 2 = 4 2x + x 2 + 3x 3 = 5 2x + 3x 2 + x 3 = 3, 2x + x 2 x 3 = 8, f) x 3x 2 x 4 = g) x x 2 + x 3 2x 4 + x 5 = 0 x + 3x 2 + x 3 + x 4 = 3 3 x + 4x 2 x 3 + x 4 + 3x 5 = 2x 6x 2 + x 3 x 5 = x 8x 2 + 5x 3 9x 4 + x 5 = x + 3x 2 + 2x 3 + 5x 4 + x 5 = 6, 2 x 9x 2 + 6x 3 + x 4 + 2x 5 = h) 6 x 4x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = i) 2 x x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 2 3 x 2x 2 + 4x 3 + x 4 + 2x 5 = 3 6 x 3x 2 + 2x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 3 3 x 2x 2 2x 3 + x 4 = 7 6 x 3x 2 + 4x 3 + 8x 4 + 3x 5 = 9 9 x 6x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 2x 5 = 2, 4 x 2x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 =, j) x x 2 + 2x 3 x 4 + x 5 = 0 k) 2x + x 2 x 3 + x 4 x 5 = x + 2x 2 x 3 + x 4 + 2x 5 = x 2x 2 + x 3 x 4 x 5 = x + 2x 3 x 4 =, 5x 2x 2 4x 5 = 0, 5

6 l) 2x + 3y + 2z t = 3 2x + y + z + 2s + 3t = 6 3x z + s + t = 3 y + 4s + t = 2x + y + z 2s + 5t = 8 Wyznaczniki Policzy wyznaczniki: i i 2i, c) sin α cos α cos α sin α, d) z _ z _, z z i) e) 0 0 ω ω ω 2 ω, f) 0 0 0, g) a a a a a x a a x, gdzie ω = cos 2π 3 + i sin 2π 3 j), h) , i + i i 0 i 0, k) i i 2 4 8, l) 0 0 i i 0 cos x sin x sin x cos x 2 i 0, ª) Elementy macierzy A oraz A s liczbami caªkowitymi Jaka jest warto± wyznacznika macierzy A? 3 Nie obliczaj c wyznaczników znale¹ rozwi zania podanych równa«: x 2 x 2 4x x = x 2 2 x + 3 = 0 x Obliczy podane wyznaczniki stopnia n: 2 3 n n n 2 2 2, c)

7 5 Jakie s mo»liwe warto±ci wyznacznika macierzy rzeczywistej A stopnia n, je»eli: A 2 = 8A b) A 3 A = 0 c) A T = 4A? 6 Korzystaj c z twierdzenia o macierzy odwrotnej znale¹ macierze odwrotne do podanych macierzy: [ [ cos α sin α sin α cos α, gdzie α R c) Policzy wyznaczniki: x a b c a x c b b c x a b) c b a x x x 2 c) + x + x z z 8 Niech A i B b d macierzami tego samego stopnia Wskaza które z podanych ni»ej wzorów s ogólnie prawdziwe Do wzorów nieprawdziwych poda kontrprzykªady det (A + B) = det A + det B b) det (λa) = λ det A, gdzie λ R c) det (A 2 ) = det A det(a T ) Wyznacznikiem Vandermonde'a nazywamy wyznacznik postaci V n = x x 2 x n x 2 x 2 2 x n 2 x n x 2 n x n n = l<k n (x k x l ) 9 Wykaza,»e 7

8 2 4 2 n n n n n n = k= k! b) 2 3 n n 2 2 n 3 n n n = k= k! Wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej A = [a ij stopnia n nazywamy wyznacznik postaci ω (λ) = a λ a 2 a n a 2 a 22 λ a 2n a n a n2 a nn λ 0 Znale¹ wielomian charakterystyczny macierzy diagonalnej stopnia n która na gªównej przek tnej ma kolejne liczby naturalne 8