FAQ ANALIZA R c ZADANIA

Transkrypt

1 FAQ ANALIZA R c ZADANIA Rachunek ró»niczkowy wersja wst na uwaga na bª dy!!! Zadania oznaczone R maj wskazówki lub rozwi zania na ko«cu liku. Zadania rozwi zywali: Grzegorz Cieciura, Katarzyna Grabowska, Alicja Dutkiewicz. Zaraszam do uzueªniania brakuj cych rozwi za«i rozwijania wskazówek. Ró»niczkowalno±, obliczanie ochodnych Zadanie. R Udowodni,»e funkcja f + okre±lona na ], 0[ ]0, [ da si rzedªu»y do funkcji ró»niczkowalnej na ], [. Obliczy f0, f 0. Wykaza,»e f jest malej ca, a +f rosn ca. Wskazówka: rzydatne oszacowania + log +, + e Zadanie. R Obliczy ochodn f arctan + arccos + dla <.. Na jakim zbiorze funkcja ta jest okre±lona? Zadanie 3. R Zbada ci gªo± i ró»niczkowalno± funkcji 6 f sin 0 e 0 Zadanie 4. Wykaza,»e je±li funkcja ϕ ma w otoczeniu 0 drug ochodn ci gª, to istnieje granica h 0 h ϕ 0 + h + ϕ 0 h ϕ 0. Znale¹ t granic. Wskazówka: Zastosowa twierdzenie o warto±ci ±redniej do ψ ϕ ϕ h. Zadanie 5. R Wykaza,»e arctan +. Znale¹ jawny wzór na n-t ochodn funkcji arctan. Zbada ró»niczkowalno± funkcji: { arctan f π 4 sgn + > Zadanie 6. R Zaªó»my,»e funkcje f,g maj ochodne w unkcie a. Obliczy granice: a a fa af a b a fga fag a. Data: 8 wrze±nia 06 r.

2 FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zadanie 7. Dla wszystkich, którzy otrzebuj raktyki w ró»niczkowaniu: Obliczy ochodne oni»szych funkcji wsz dzie tam, gdzie s one ró»niczkowalne. a f 3 5 b f arctan + 4 c f arcsin d f e sin + cos e fu sin 4 5 f f log g f logloglog h f sincos + cossin i f tan j f e arctan3 +4 k f log arcsin 3 l f log + + m f sinh 3 4 o f tanh 5 e f sinhlog + + r f cos s f + sin t f sin u f w f f log 4 + y f log 4 + z f 3 sin log Zadanie 8. R Obliczy : a f 0 0 dla f : cos b f 00 dla f : c f 0 3 dla f : 5. Zadanie 9. R Niech g e równe 0. dla 0 i g0 0. Wykaza,»e g jest gªadka w zerze i ma wszystkie ochodne { Zadanie 0. R Niech f : R R, f : e, gdy 0, gdy 0. Dowie±,»e f jest: a klasy C na R wyliczy f 0 b malej ca c jednostajnie ci gªa na R. Srawdzi,»e funkcja R f R jest niearzysta. Badanie funkcji Zadanie. R Badaj c wªasno±ci funkcji e e stwierdzi, która z liczb e π czy π e jest wi ksza. Zadanie. R Wykaza dla m, n N nierówno± n > n m m. Zadanie 3. Niech f log dla ]0, [ ], [. Wykaza,»e funkcj f da si dookre±li w unktach 0 i, tak aby byªa ona ci gªa ewentualnie jednostronnie. Zbada t funkcj i naszkicowa wykres. Zadanie 4. Zbada rzebieg i narysowa wykres funkcji g arcsin Zadanie 5. R Zbada rzebieg funkcji, naszkicowa wykres: a f : +3+ +, R b f : + e, R \ {0} c f : 3 e, R \ {0} +

3 FAQ ANALIZA R c ZADANIA 3 d f : arcsin 3 3, R + 3// e f : + arctan, R. Zadanie 6. Niech funkcja f :]a, [ R b dzie ró»niczkowalna dwa razy i ma asymtot w niesko«czono±ci. Wykaza,»e je±li f jest wyukªa, to wykres le»y nad asymtot, a je±li wkl sªa, to od. Zadanie 7. R Dowie±,»e liczba rzeczywistych ierwiastków W n : n arzysto±ci n N. k0 k k! jest równa 0 lub, zale»nie od Zadanie 8. Niech a, b R. Dowie±,»e: je±li b > 0, to ab e a + b log b q je±li a b, to e a+b < ea e b a b < e a +e b. Zadanie 9. R Dowie±,»e: a < log + dla > 0 b log + < dla > c e < + dla 0 < < d 4 cos sin < 3 dla 0 e + arctan < π dla < f + log Zadanie 0. R Wykaza nierówno±ci: a a + a < a a+ dla a e oraz > 0 b e < + <, 0, c + log Zadanie. R Dowie±,»e funkcja f : R R, f : 3 +, ma trzy unkty rzegi cia oraz»e le» one na jednej rostej. Granice Zadanie. Obliczy granic trzema sosobami: rozwijaj c w szereg, korzystaj c z reguªy de l'hositala oraz 3 stosuj c zwykªe zabiegi algebraiczne.

4 4 FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zadanie 3. Obliczy oni»sze granice dowolnie wybran metod. a c e g j e e a a a 0 e e log + cos 0 cos 0 e e sin sin sinsin sin sin cos sin 3 log + arcsin h 0 cos 3 e 3 + tan k π sin log log + π m + 0 ª 0 «o π e π b d f i l n ó sin tan π 4 + cos 4 e + 0 e e 0 sin + log 0 cot π 0 + cot tan π cos π arctan r 0 + n log m s + ± a arcsin a a w cot a t tan tan u π 4 0 cosa y 0 ¹ 0 + loge» e 0 n tan π arctan z 0 + log Zadanie 4. Obliczy oni»sze granice dowolnie wybran metod. a cos sin b 0 3 c 0 cot d 4 log + e log f log g + e 0 a a j a a cos h sin i 0 e a a e b b e // cos k 0 4 l tan π//4 tan m + sin 3 n cos + cos cos sin o 0 0 sin π s 0 coscos sin cos / cos 4 q r 0 cosh 3 cos 4 3 cos 5 cos 3 t tan π cos cos cos 3 π + cos π u arctan log Zadania ró»ne

5 FAQ ANALIZA R c ZADANIA 5 Zadanie 5. R Srawdzi,»e: d n a d n f n n n f n dla n N, je±li f : ]0, [ R jest ró»niczkowalna n-krotnie b Sf Sg, je±li Sf : f 3 3 f, f f f jest 3-krotnie ró»niczkowalna oraz g a f+b af+b. Zadanie 6. R Dowie±,»e je±li n N oraz a k R seªniaj warunek a 0 + a + + an n k0 a k k 0. n+ 0, to ]0, [ : Zadanie 7. R Niech f : ]0, [ R b dzie funkcj dwukrotnie ró»niczkowaln, tak»e f jest ograniczona i istnieje sko«czona granica f. Wykaza,»e f 0. Srawdzi te zaªo»enia i tez dla f : sin. Zadanie 8. R Dowie±,»e je±li f : ]0, [ R jest ró»niczkowalna oraz c > 0, α : [f+c α f ] 0, to f 0. Skonstruowa rzykªady, uzasadniaj ce istotno± oczynionych zaªo»e«c > 0, α. Zadanie 9. R Dowie±,»e je±li ci gªa na [0, ] i dwukrotnie ró»niczkowalna na ]0, [ funkcja f seªnia warunki f0 f 0 oraz inf f, to istnieje ξ ]0, [, takie»e f ξ 8. Pokaza,»e tego oszacowania nie da 0 si orawi. Zadanie 30. R Niech T > 0, f : [0, T ] R dwukrotnie ró»niczkowalna, rzy czym ft f0 : L > 0, f 0 f T 0. Wykaza,»e istnieje t ]0, T [ takie,»e f t 4T L. Interretacja. Punkt materialny, oruszaj cy si tak,»e od startu do zatrzymania rzebywa drog L w czasie T, musi mie w ewnej chwili rzysieszenie 4T L. Zadanie 3. R Niech f : [a, b] R b dzie funkcj ci gl i dwukrotnie ró»niczkowaln na ]a, b[. Wykaza,»e je±li fa fb oraz M : su f < +, to M : su f b a M. Srawdzi to dla f : ab. a<<b a<<b Zadanie 3. R Niech funkcja f : R R b dzie dwukrotnie ró»niczkowalna oznaczmy M k : su R f k dla k {0,, }. Dowie±,»e je±li kresy M 0 i M s sko«czone, to M M 0 M, rzy czym oszacowania tego nie da si orawi. Zadanie 33. R Dowie±,»e: a Je±li n N, 0 < < < n, funkcja f : [ 0, n ] R jest ci gªa na [ 0, ] i n-krotnie ró»niczkowalna na ] 0, [ oraz f 0 f f n, to ξ ] 0, n [ : f n ξ 0. b Je±li φ : [a, b] R jest ci gªa na [a, b] i dwukrotnie ró»niczkowalna na ]a, b[, to ξ ]a, b[ : φa φ a+b + φb b a φ ξ. Zadanie 34. R Zaªó»my,»e f : ]a, b[ R mo»e by a lub b + jest ci gªa oraz ma sko«czone granice jednostronne l : a+ f, l : b f. Dowie±,»e: a f jest ograniczona na ]a, b[ b je±li l l, to f rzyjmuje co najmniej jeden ze swoich kresów na ]a, b[ c je±li l l i f jest ró»niczkowalna, to ξ ]a, b[ : f ξ 0. Zadanie 35. Dowie±,»e je±li funkcja f : ]a, b[ R douszczamy a lub b + jest n-krotnie ró»niczkowalna oraz k 0, n : a+ f k 0 b f k, to f n ma co najmniej n ierwiastków w ]a, b[. Korzystaj c z tego okaza,»e tzw. wielomian Laguerra L n : e dn d n e ma dokªadnie n dodatnich n ierwiastków. Wskazówki i rozwi zania

6 6 FAQ ANALIZA R c ZADANIA Podstawmy t f y y y e eby f byªa ci gªa w 0, f0 musi by równe e. Policzmy ochodn, i srawd¹my, czy funkcja jest ró»niczkowalna w 0. f + e ln+ e ln+ ln ln ln + + ln + H H f f e f jest ró»niczkowalna w f malej ca f < ln + ln + < 0 ln + > + + Wiadomo,»e e a > + a, w szczególno±ci dla a +, wi c owy»sza nierówno± jest rawdziwa. Proste rachunki okazuj,»e funkcja ma ochodn równ zero. Okre±lona jest na R. Funkcja jest wi c staªa, jej warto± mo»na okre±li znajduj c warto± w jednym unkcie, n w 0: f0 0 + π π. 5 Z twierdzenia o ochodnej funkcji odwrotnej: y arctan Szukamy wzoru na n-t ochodn : y arctan tan y sin y cos y cos y+sin y cos y cos y cos y + sin y + tan y + i y + + i i + i i i + + i i i + i i + i i i y i i + i i + i + i y i + i + i i + i 3 i 3 y n. i n n! + i n + i n Dowód indukcyjny: Dla n : y i 0! + i + i i + i i Zaªó»my,»e ostulowany wzór jest orawny dla n k. W takim razie: i y k+ k k! + i k + i k i k k! + i k + i k i k k! k + i k+ k i k+ i k+ k! + i k+ + i k+ 3 Na mocy indukcji matematycznej dowód jest orawny dla dowolnego n. + i i

7 FAQ ANALIZA R c ZADANIA 7 { arctan f π 4 sgn + > Wida,»e f jest ci gªa i ró»niczkowalna dla z rzedziaªów,,, i,. { f + < > funkcja sgn jest ci gªa na tych rzedziaªach Srawd¹my, czy jest ci gªa w i. π f sgn + π 4 f arctan arctan π 4 f arctan π 4 + f f arctan arctan π + 4 π 4 sgn + π 4 W unkcie funkcja jest nieci gªa, a wi c te» nieró»niczkowalna. W unkcie granica górna, dolna i warto±c funkcji s sobie równe i funkcja jest ci gªa. Srawd¹my, czy jest ró»niczkowalna: Granica górna i dolna s równe, wi c f jest ró»niczkowalna w. u k v n k b 8 a uv n n n k0 k +u n0 n u n, u <, u : c odstawiaj c 3 + u mamy f + u u // zastosowa wzór Maclaurina dla + v. 9 ln f ln e 0 Z ci gªo±ci logarytmu wnioskujemy,»e f 0 f 0 czyli funkcja jest ci gªa w 0. Ró»niczkujemy: f 3 e f 3 e 3 e e. f n P n 3n e P n jest wielomianem stonia n P n jest ograniczony kiedy d»y do 0. Podstawmy t 0 e 3n t 3n 0 bo funkcja wykªadnicza ro±nie szybciej ni» wielomianowa t e t 0 f n 0 f n 0, wi c f n jest ciagªa i ró»niczkowalna. Z dowolno±ci n wynika,»e f jest funkcj gªadk. 6 a fa af a a fa afa + afa af a a a fa + a fa f fa af a a afa + afa f a a

8 8 FAQ ANALIZA R c ZADANIA b fga fag a a fga faga + faga fag a a a ga f fa a + fa ga g gaf a fag a a 0 c f 0, f?? f0 e, f 0 e. Wiadomo,»e: We¹my π e. e > + e π e > π e + e π e > π e e π e e > π e e π > π e Nale»y wykaza,»e > dla wszystkich m n, m, n N 5a Wart.kryt.: f 3 min., f 5 3 maks.lok., f 7 6 min.lok..rzeg.: f 3, f 5 9, f , f asymtoty: y ± + 3 dla ± wykres nad asymtotami. b f e maks.lok., f 4e min.lok..rzeg.: f e 5 asymt.: y + 3 dla ± 0 as.ion. dla 0+. c f e jedyna wart.kryt. min.lok..rzeg.: 6 ± 30 asymt. dla ± : y rzecina wykres dla 3.5. d f± 3 ± π maks. i min. ± f π e P.rzeg.: f π min.: f dla 0.45 asymtota: y ± π +. 7 Zbada e W n 8 Pomno»y stronami rzez e b. 0 a Rozwa»my f a lna + i g a + ln a. a + a < a a+ a lna + < a + ln a f0 g0 a ln a f a a + g ln a bo a > e f < g f < g b Rozwa»my f + + oraz g ln f. g g ln + ln + ln + ln + ln ln + ln ln + ln + ln g > g > g ln + + ln + + ln ln < 0 + f > f > f 0

9 f oniewa» ln e ln ln H FAQ ANALIZA R c ZADANIA 9 ln + e e + e e ln H f 0 oniewa» 0 0 ln e ln e 0 0 ln H / 0 0 c Rozwa»my f + log f log log log f0 0 f > 0 > 0 f < 0 < 0 R f 0 9 f : + arctan skoro f π oraz f π, to wystarczy srawdzi monotoniczno± f otó» f g, g + + arctan, g +, wi c : g g0 0, czyli f 0. Punkty rzegi cia le» na rostej y b Sf Df Df, gdzie Df : f f. Leszy sosób: srawdzi,»e Saf + b Sf, Sf Sf, o czym zauwa»y,»e g a a... dla a 0. 6 Tw. Rolle'a. 7 Ze wzoru Taylora, h > 0 : ξ : f h f + h f + h f ξ dla zadanego ɛ > 0 wzi h : ɛ M, M : su ξ f ξ.dla c 0 niech f : e g, gdzie g : α cα gdy α, g : c log, gdy α. Wtedy f + c α f 0, a f jest gdy α > lub + gdy α, c < 0. e 8 Zastosowa tw. de l'hositala, licz c g f dla g : d e g c. 9 α Naisa wzór Taylora dla f0 i f 30 Wyrazi ft// wzorem Taylora, bior c t 0 0 gdy ft// f0 L// lub t 0 T w rzec. razie. 3 f 0 b a f ξ a f ξ b M [a 0 + b 0 ], rzy czym [... ] b a. 3, h : ξ +, ξ : f ± h f ± f h + h f ξ ±. f h [f + h f h] h 4 [f ξ + f ξ ] st d h > 0 : f h M 0 + h M, co daje f M 0 M. Rozwa»y f : n nn +, n : E. 33 a Indukcja wzgl. n. b Zastosowa a n do f : φ q, dobieraj c trójmian kwadratowy q tak, by fa f a+b fb. 34 a,b Funkcja F : ]arctan a, arctan b[ R, F t : ftan t, rzedªu»a si do funkcji ci gªej na zwartym domkni ciu swej dziedziny c skorzysta z tw.fermata lub z tw. Rolle'a.