1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic
|
|
- Krystian Rosiński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 1 / 56
2 1 Motywacja 2 Formalne definicje 3 Granice(w tym jednostronne) funkcji elementarnych 4 Działania na rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 2 / 56
3 Granice - motywacja Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób w przybliżeniu bądź w granicy. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 3 / 56
4 Granice - motywacja - przykład 1 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v, czyli C(q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 4 / 56
5 Granice - motywacja - przykład 1 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v, czyli C(q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Dla przykładu wybierzmy sobie k = 1, v = 2. Wtedy AC(q) = 2q+1 q. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 4 / 56
6 Granice - motywacja - przykład 1 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v, czyli C(q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Dla przykładu wybierzmy sobie k = 1, v = 2. Wtedy AC(q) = 2q+1 q. Co oznacza analiza kosztu średniego przy dużej skali produkcji? Policzmy wartości funkcji AC w kilku punktach: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 4 / 56
7 Granice - motywacja - przykład 1 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v, czyli C(q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Dla przykładu wybierzmy sobie k = 1, v = 2. Wtedy AC(q) = 2q+1. q Co oznacza analiza kosztu średniego przy dużej skali produkcji? Policzmy wartości funkcji AC w kilku punktach: q AC(q) 3 2,1 2,01 2,001 2, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 4 / 56
8 Granice - motywacja - przykład 1 Na podstawie tych wyliczeń i wykresu, możemy stwierdzić, że: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 5 / 56
9 Granice - motywacja - przykład 1 Na podstawie tych wyliczeń i wykresu, możemy stwierdzić, że: Dla dużych q, AC jest w przybliżeniu równy 2... Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 5 / 56
10 Granice - motywacja - przykład 1 Na podstawie tych wyliczeń i wykresu, możemy stwierdzić, że: Dla dużych q, AC jest w przybliżeniu równy aczkolwiek nigdy nie jest dokładnie równy 2... Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 5 / 56
11 Granice - motywacja - przykład 1 Na podstawie tych wyliczeń i wykresu, możemy stwierdzić, że: Dla dużych q, AC jest w przybliżeniu równy aczkolwiek nigdy nie jest dokładnie równy jednak błąd przybliżenia AC przez 2 robi się coraz mniejszy, gdy q rośnie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 5 / 56
12 Granice - motywacja - przykład 1 W takich okolicznościach tj. gdy zbliżając się do jakiegoś argumentu (w tym przypadku ), wartości funkcji zbliżają się do jakiejś ustalonej wartości (w tym przypadku 2) możemy powiedzieć, że ta wartość jest granicą funkcji w danym argumencie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 6 / 56
13 Granice - motywacja - przykład 1 W takich okolicznościach tj. gdy zbliżając się do jakiegoś argumentu (w tym przypadku ), wartości funkcji zbliżają się do jakiejś ustalonej wartości (w tym przypadku 2) możemy powiedzieć, że ta wartość jest granicą funkcji w danym argumencie. Zapisujemy: lim AC(q) = 2. q Oznaczenie lim to skrót od łacińskiego słowa limes (granica). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 6 / 56
14 Granice - motywacja - przykład 1 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v, czyli C(q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 7 / 56
15 Granice - motywacja - przykład 1 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v, czyli C(q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Analogicznie rozumując, dochodzimy do wniosku, że: lim AC(q) = v, q a zatem, koszt średni wyprodukowania jednostki towaru przy dużej skali produkcji jest równy (w przybliżeniu) współczynnikowi proporcjonalności i praktycznie nie zależy od kosztów stałych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 7 / 56
16 Granice - motywacja - przykład 2 Rozważmy teraz przykład nieco bardziej skomplikowany. Powiedzmy, że koszty zmienne nie są proporcjonalne do wielkości produkcji, ale rosną coraz szybciej. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 8 / 56
17 Granice - motywacja - przykład 2 Rozważmy teraz przykład nieco bardziej skomplikowany. Powiedzmy, że koszty zmienne nie są proporcjonalne do wielkości produkcji, ale rosną coraz szybciej. Najprościej można to zamodelować funkcją liniową v(q) = Aq + B. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 8 / 56
18 Granice - motywacja - przykład 2 Rozważmy teraz przykład nieco bardziej skomplikowany. Powiedzmy, że koszty zmienne nie są proporcjonalne do wielkości produkcji, ale rosną coraz szybciej. Najprościej można to zamodelować funkcją liniową v(q) = Aq + B. Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne w zależności od wielkości produkcji q wynoszą qv(q), gdzie v(q) = Aq + B, więc C(q) = (Aq + B)q + k. Jak zmienia się koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 8 / 56
19 Granice - motywacja - przykład 2 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne w zależności od wielkości produkcji q wynoszą qv(q), gdzie v(q) = Aq + B, więc C(q) = (Aq + B)q + k. Jak zmienia się koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Wiemy, że: AC(q) = C(q) q = Aq + B + k q = v(q) + k q. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 9 / 56
20 Granice - motywacja - przykład 2 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne w zależności od wielkości produkcji q wynoszą qv(q), gdzie v(q) = Aq + B, więc C(q) = (Aq + B)q + k. Jak zmienia się koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Wiemy, że: AC(q) = C(q) q = Aq + B + k q = v(q) + k q. Jako, że q jest bardzo duże, otrzymamy, że k jest pomijalnie małe, q czyli A(q) v(q) - jak w poprzednim przykładzie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 9 / 56
21 Granice - motywacja - przykład 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 10 / 56
22 Granice - motywacja - przykład 2 W tym przykładzie AC nie dąży do żadnej liczby, a upodabnia się do pewnej prostej (w takiej sytuacji zwanej asymptotą - ale to pojęcie dokładniej omówimy w przyszłości). Koszt średni zmienia się w przybliżeniu liniowo. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 10 / 56
23 Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 11 / 56
24 Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Dotąd C(100) = 1800, więc AC = 18 < 20 = P - czyli średni koszt produkcji jest jak na razie mniejszy od ceny, więc produkcja jest opłacalna i byłaby opłacalna również po niewielkim zwiększeniu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 11 / 56
25 Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Dotąd C(100) = 1800, więc AC = 18 < 20 = P - czyli średni koszt produkcji jest jak na razie mniejszy od ceny, więc produkcja jest opłacalna i byłaby opłacalna również po niewielkim zwiększeniu. Jednak pytanie jest nie o opłacalność całej produkcji, ale o opłacalność jej zwiększenia, więc musimy obliczyć średni koszt nie całej produkcji, a tylko produkcji nadwyżkowej ponad q 0 = 100, którą oznaczymy przez h. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 11 / 56
26 Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 12 / 56
27 Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Jeśli przez A(h) oznaczamy średni koszt dodatkowej produkcji, to otrzymamy: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 12 / 56
28 Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Jeśli przez A(h) oznaczamy średni koszt dodatkowej produkcji, to otrzymamy: A(h) = C(100 + h) C(100) h = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 12 / 56
29 Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Jeśli przez A(h) oznaczamy średni koszt dodatkowej produkcji, to otrzymamy: A(h) = C(100 + h) C(100) h = = 1 h2 ( h h ). h 10 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 12 / 56
30 Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Po skróceniu, zostanie nam: A(h) = 23 + h 10. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 13 / 56
31 Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Po skróceniu, zostanie nam: A(h) = 23 + h 10. Stąd widać, że średni koszt produkcji każdej kolejnej jednostki towaru (tzw. koszt krańcowy) przekraczałby jej cenę, więc nie opłaca się zwiększać produkcji, nawet o niewiele. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 13 / 56
32 Koszt krańcowy A(h) = 23 + h 10. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 14 / 56
33 Koszt krańcowy A(h) = 23 + h 10. Jaka jest wartość kosztu krańcowego dla małych h? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 14 / 56
34 Koszt krańcowy A(h) = 23 + h 10. Jaka jest wartość kosztu krańcowego dla małych h? h 1 0,1 0,01 0, A(h) 23,1 23,01 23,001 23, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 14 / 56
35 Koszt krańcowy A(h) = 23 + h 10. Jaka jest wartość kosztu krańcowego dla małych h? h 1 0,1 0,01 0, A(h) 23,1 23,01 23,001 23, Zatem, analogicznie jak poprzednio, możemy powiedzieć, że graniczna wartość kosztu średniego dodatkowej produkcji wynosi 23, czyli: C(100 + h) C(100) lim A(h) = lim h 0 h 0 h = 23. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 14 / 56
36 Granica w punkcie - definicja Rozważamy funkcje, których dziedziną i przeciwdziedziną jest pewien podzbiór R (dla innych funkcji definicje są bardzo podobne, jednak w ramach tego kursu praktycznie nie będziemy się nimi zajmować w kontekście liczenia granic). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 15 / 56
37 Granica w punkcie - definicja Rozważamy funkcje, których dziedziną i przeciwdziedziną jest pewien podzbiór R (dla innych funkcji definicje są bardzo podobne, jednak w ramach tego kursu praktycznie nie będziemy się nimi zajmować w kontekście liczenia granic). Granica Granicą funkcji f w punkcie x 0 R nazywamy liczbę g taką, że ɛ>0 δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ) f (x) g < ɛ. Oznaczamy ją przez lim x x0 f (x). Potocznie mówimy, że w punkcie x 0 funkcja f dąży do g. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 15 / 56
38 Granica w punkcie - definicja Granica w punkcie Granicą funkcji f w punkcie x 0 R nazywamy liczbę g taką, że ɛ>0 δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ) f (x) g < ɛ. Oznaczamy ją przez lim x x0 f (x). Potocznie mówimy, że w punkcie x 0 funkcja f dąży do g. Idea tej definicji jest następująca: jeśli weźmiemy jakiś punkt x bardzo blisko punktu x 0 to wartość f (x) nie będzie daleko od g. Graficznie możemy zinterpretować, że w pobliżu x 0 wykres funkcji musi się zawierać w pewnym poziomym pasie otaczającym prostą y = g. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 16 / 56
39 Granica w punkcie - definicja Granicą funkcji o widocznym wykresie w x 0 jest g. Powiększony niebieski prostokąt z lewego rysunku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 17 / 56
40 Nieskończona granica w punkcie - definicja Nieskończona granica w punkcie Granicą funkcji f w punkcie x 0 R jest +, jeśli M δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ)f (x) > M. Potocznie mówimy, że w x 0 funkcja f dąży do + i zapisujemy lim x x0 f (x) = +. Nieskończona granica w punkcie Granicą funkcji f w punkcie x 0 R jest, jeśli M δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ)f (x) < M. Potocznie mówimy, że w x 0 funkcja f dąży do i zapisujemy lim x x0 f (x) =. Jak widać, definicje te są prawie analogiczne, dlatego rysunki będą tylko dla przypadku +. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 18 / 56
41 Nieskończona granica w punkcie - definicja Granicą funkcji o widocznym wykresie w x 0 jest +. Powiększony niebieski prostokąt z lewego rysunku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 19 / 56
42 Granica - idea Idea definicji granic nieskończonych (bądź w nieskończoności) jest podobna do skończonych (w punktach z R) z wyjątkiem tego, że pobliże nieskończoności nie jest małym przedziałem ograniczonym, lecz przedziałem nieograniczonym, zaczynającym się od jakiejś (dużej) wartości. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 20 / 56
43 Granica - idea Idea definicji granic nieskończonych (bądź w nieskończoności) jest podobna do skończonych (w punktach z R) z wyjątkiem tego, że pobliże nieskończoności nie jest małym przedziałem ograniczonym, lecz przedziałem nieograniczonym, zaczynającym się od jakiejś (dużej) wartości. Jeśli granicą ma być nieskończoność, wykres w pobliżu danego argumentu (lub nieskończoności) musi znajdować się powyżej pewnej prostej poziomej ( poniżej, w wypadku minus nieskończoności). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 20 / 56
44 Granica - idea Idea definicji granic nieskończonych (bądź w nieskończoności) jest podobna do skończonych (w punktach z R) z wyjątkiem tego, że pobliże nieskończoności nie jest małym przedziałem ograniczonym, lecz przedziałem nieograniczonym, zaczynającym się od jakiejś (dużej) wartości. Jeśli granicą ma być nieskończoność, wykres w pobliżu danego argumentu (lub nieskończoności) musi znajdować się powyżej pewnej prostej poziomej ( poniżej, w wypadku minus nieskończoności). Jeśli granicę liczymy w nieskończoności, wykres badamy na prawo pewnej prostej pionowej ( na lewo, w wypadku minus nieskończoności). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 20 / 56
45 Granica w nieskończoności - definicja Granica w nieskończoności Granicą funkcji f w + nazywamy liczbę g taką, że ɛ>0 M x>m f (x) g < ɛ. Oznaczamy ją przez lim x f (x). Potocznie mówimy, że w nieskończoności funkcja f dąży do g. Granica w nieskończoności Granicą funkcji f w nazywamy liczbę g taką, że ɛ>0 M x<m f (x) g < ɛ. Oznaczamy ją przez lim f (x). x Potocznie mówimy, że w minus nieskończoności funkcja f dąży do g. Jak widać, definicje te są prawie analogiczne, dlatego rysunki będą tylko dla przypadku +. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 21 / 56
46 Granica w nieskończoności - definicja Granicą funkcji o widocznym wykresie w + jest g. Powiększony niebieski prostokąt z lewego rysunku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 22 / 56
47 Nieskończona granica w nieskończoności - definicja Zostały jeszcze cztery definicje nieskończonych granic w nieskończoności. Jako, że są prawie takie same (różnią się tylko znakiem i kierunkiem nierówności) zapiszę w nawiasach, co się może zmienić, gdy + zmienimy na Nieskończona granica w nieskończoności Granicą funkcji f w punkcie ( ) jest ( ), jeśli M m x>m(x<m) f (x) > M(f (x) < M). Potocznie mówimy, że w ( ) funkcja f dąży do ( ) i zapisujemy lim x f (x) = ± ( lim x f (x) = ± ). Rysunek będzie tylko dla przypadku granicy + w +. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 23 / 56
48 Nieskończona granica w nieskończoności - definicja Granicą funkcji o widocznym wykresie w + jest +. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 24 / 56
49 Otoczenie - uściślenie Jako, że na matematycznych przedmiotach staramy się mówić ściśle, o co nam chodzi, doprecyzuję, co oznacza użycie zwrotu w pobliżu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 25 / 56
50 Otoczenie - uściślenie Jako, że na matematycznych przedmiotach staramy się mówić ściśle, o co nam chodzi, doprecyzuję, co oznacza użycie zwrotu w pobliżu. Ściśle, jest to zbiór, który matematycy nazywają otoczeniem. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 25 / 56
51 Otoczenie - uściślenie Jako, że na matematycznych przedmiotach staramy się mówić ściśle, o co nam chodzi, doprecyzuję, co oznacza użycie zwrotu w pobliżu. Ściśle, jest to zbiór, który matematycy nazywają otoczeniem. Otoczenie Dla x 0 R otoczeniem będziemy nazywać odcinek (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) dla wybranego ɛ > 0. W rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych otoczeniem + jest dowolny przedział otwarty nieograniczony z prawej strony (a, + ), a otoczeniem jest dowolny przedział otwarty nieograniczony z lewej strony (, a). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 25 / 56
52 Otoczenie - uściślenie Jako, że na matematycznych przedmiotach staramy się mówić ściśle, o co nam chodzi, doprecyzuję, co oznacza użycie zwrotu w pobliżu. Ściśle, jest to zbiór, który matematycy nazywają otoczeniem. Otoczenie Dla x 0 R otoczeniem będziemy nazywać odcinek (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) dla wybranego ɛ > 0. W rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych otoczeniem + jest dowolny przedział otwarty nieograniczony z prawej strony (a, + ), a otoczeniem jest dowolny przedział otwarty nieograniczony z lewej strony (, a). Analogicznie można definiować ideę otoczenia w R n, gdzie otoczeniem będzie kwadrat, sześcian itp. wokół danego punktu przestrzeni. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 25 / 56
53 Zunifikowana definicja otoczeniowa Dzięki definicji otoczenia, można wszystkie definicje granicy zawrzeć w jednej: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 26 / 56
54 Zunifikowana definicja otoczeniowa Dzięki definicji otoczenia, można wszystkie definicje granicy zawrzeć w jednej: Granica - definicja otoczeniowa Granicą funkcji f w x 0 R jest g R, jeśli dla dowolnego U - otoczenia g istnieje V - otoczenie x 0 takie że x V f (x) U. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 26 / 56
55 Granica jest jak matka Jednoznaczność granicy Granica (jeśli istnieje) może być tylko jedna tj. jeśli g 1 = lim x x0 f (x) i g 2 = lim x x0 f (x) (x 0, g 1, g 2 R), to g 1 = g 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 27 / 56
56 Granica jest jak matka Jednoznaczność granicy Granica (jeśli istnieje) może być tylko jedna tj. jeśli g 1 = lim x x0 f (x) i g 2 = lim x x0 f (x) (x 0, g 1, g 2 R), to g 1 = g 2. Zauważmy, że granica może nie istnieć (co za chwilę zbadamy na przykładzie)! rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 27 / 56
57 Granica jest jak matka Jednoznaczność granicy Granica (jeśli istnieje) może być tylko jedna tj. jeśli g 1 = lim x x0 f (x) i g 2 = lim x x0 f (x) (x 0, g 1, g 2 R), to g 1 = g 2. Zauważmy, że granica może nie istnieć (co za chwilę zbadamy na przykładzie)! Teraz, kiedy już mamy intuicję, co oznacza granica, spróbujemy wykorzystać definicje do jej obliczania. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 27 / 56
58 Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56
59 Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56
60 Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56
61 Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56
62 Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56
63 Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. Chcemy, żeby f (x) 5 < ɛ, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56
64 Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. Chcemy, żeby f (x) 5 < ɛ, czyli 2x < ɛ, czyli 2x 4 < ɛ. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56
65 Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. Chcemy, żeby f (x) 5 < ɛ, czyli 2x < ɛ, czyli 2x 4 < ɛ. Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x (2 ɛ 2, 2 + ɛ 2 ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56
66 Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. Chcemy, żeby f (x) 5 < ɛ, czyli 2x < ɛ, czyli 2x 4 < ɛ. Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x (2 ɛ, 2 + ɛ ). Zatem wystarczy wybrać δ = ɛ, by warunek z definicji został spełniony. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56
67 Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. Chcemy, żeby f (x) 5 < ɛ, czyli 2x < ɛ, czyli 2x 4 < ɛ. Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x (2 ɛ, 2 + ɛ ). Zatem wystarczy wybrać δ = ɛ, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy ɛ, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od ɛ (i zazwyczaj zależy). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56
68 Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. Chcemy, żeby f (x) 5 < ɛ, czyli 2x < ɛ, czyli 2x 4 < ɛ. Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x (2 ɛ, 2 + ɛ ). Zatem wystarczy wybrać δ = ɛ, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy ɛ, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od ɛ (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56
69 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 29 / 56
70 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 29 / 56
71 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 29 / 56
72 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Wskazówką jest to, że wszystkie liczby z przedziału [ 1, 1] mają równe szanse na bycie tą granicą, a jak wiemy, granica jest tylko jedna. Ale jak tego dowieść? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 29 / 56
73 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 30 / 56
74 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 30 / 56
75 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. Gdyby tak było, to: ɛ>0 M x>m sin x 1 < ɛ. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 30 / 56
76 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. Gdyby tak było, to: ɛ>0 M x>m sin x 1 < ɛ. Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 30 / 56
77 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. Gdyby tak było, to: ɛ>0 M x>m sin x 1 < ɛ. Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli: ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 30 / 56
78 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: Zatem możemy wybrać ɛ = 1 2. ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 31 / 56
79 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. Zatem możemy wybrać ɛ = 1. M teraz niech będzie dowolną liczbą. 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 31 / 56
80 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. Zatem możemy wybrać ɛ = 1. M teraz niech będzie dowolną liczbą. 2 Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = kπ > M. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 31 / 56
81 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. Zatem możemy wybrać ɛ = 1. M teraz niech będzie dowolną liczbą. 2 Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 31 / 56
82 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. Zatem możemy wybrać ɛ = 1. M teraz niech będzie dowolną liczbą. 2 Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, a zatem sin x 1 1 = ɛ. 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 31 / 56
83 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. Zatem możemy wybrać ɛ = 1. M teraz niech będzie dowolną liczbą. 2 Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, a zatem sin x 1 1 = ɛ. 2 Zatem 1 nie jest szukaną granicą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 31 / 56
84 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 32 / 56
85 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Udowodnię teraz, że dla każdego a 1, a nie jest tą granicą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 32 / 56
86 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Udowodnię teraz, że dla każdego a 1, a nie jest tą granicą. Gdyby tak było: ɛ>0 M x>m sin x a < ɛ. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 32 / 56
87 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Udowodnię teraz, że dla każdego a 1, a nie jest tą granicą. Gdyby tak było: ɛ>0 M x>m sin x a < ɛ. Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 32 / 56
88 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Udowodnię teraz, że dla każdego a 1, a nie jest tą granicą. Gdyby tak było: ɛ>0 M x>m sin x a < ɛ. Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 32 / 56
89 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b 2 > 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56
90 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56
91 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56
92 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. Oczywiście, 2 sin x = sin(2k + 1)π = 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56
93 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. Oczywiście, 2 sin x = sin(2k + 1)π = sin 1π = 1, 2 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56
94 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. Oczywiście, 2 sin x = sin(2k + 1)π = sin 1 π = 1, a zatem 2 2 sin x a 1 a = b > b = ɛ. 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56
95 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. Oczywiście, 2 sin x = sin(2k + 1)π = sin 1 π = 1, a zatem 2 2 sin x a 1 a = b > b = ɛ. 2 Zatem żadne a 1 nie jest szukaną granicą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56
96 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. Oczywiście, 2 sin x = sin(2k + 1)π = sin 1 π = 1, a zatem 2 2 sin x a 1 a = b > b = ɛ. 2 Zatem żadne a 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56
97 Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. Oczywiście, 2 sin x = sin(2k + 1)π = sin 1 π = 1, a zatem 2 2 sin x a 1 a = b > b = ɛ. 2 Zatem żadne a 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności (dla uzupełnienia dowodu, warto sprawdzić we własnym zakresie, że granicą nie jest +, ani - acz to jest bardzo proste do udowodnienia). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56
98 Granica funkcji elementarnej w punkcie dziedziny Granica funkcji elementarnej w punkcie dziedziny Jeśli f jest dowolną z poznanych funkcji elementarnych (czyli wielomianowych i wielomianopodobnych, trygonometrycznych i cyklometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych) lub ich sumą, różnicą, iloczynem, ilorazem oraz złożeniem i jeśli x 0 D f to lim x x0 f (x) = f (x 0 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 34 / 56
99 Granica funkcji elementarnej w punkcie dziedziny Granica funkcji elementarnej w punkcie dziedziny Jeśli f jest dowolną z poznanych funkcji elementarnych (czyli wielomianowych i wielomianopodobnych, trygonometrycznych i cyklometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych) lub ich sumą, różnicą, iloczynem, ilorazem oraz złożeniem i jeśli x 0 D f to lim x x0 f (x) = f (x 0 ). W praktyce oznacza to, że jeśli w dowolnym momencie obliczania granicy takiej w miarę prostej funkcji, będziemy mogli podstawić x 0 do wzoru i uzyskać jakąś konkretną wartość, to ta wartość będzie granicą funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 34 / 56
100 Granica funkcji elementarnej w punkcie dziedziny Granica funkcji elementarnej w punkcie dziedziny Jeśli f jest dowolną z poznanych funkcji elementarnych (czyli wielomianowych i wielomianopodobnych, trygonometrycznych i cyklometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych) lub ich sumą, różnicą, iloczynem, ilorazem oraz złożeniem i jeśli x 0 D f to lim x x0 f (x) = f (x 0 ). W praktyce oznacza to, że jeśli w dowolnym momencie obliczania granicy takiej w miarę prostej funkcji, będziemy mogli podstawić x 0 do wzoru i uzyskać jakąś konkretną wartość, to ta wartość będzie granicą funkcji. Dlatego najczęstszym problemem jest obliczanie granic tych funkcji na końcach tzw. przedziałów określoności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 34 / 56
101 Przedział określoności Przedział określoności Przedziałem określoności funkcji f nazywamy przedział zawarty w dziedzinie D f, taki, że żaden przedział zawierający go (i różny od niego) nie zawiera się w D f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 35 / 56
102 Przedział określoności Przedział określoności Przedziałem określoności funkcji f nazywamy przedział zawarty w dziedzinie D f, taki, że żaden przedział zawierający go (i różny od niego) nie zawiera się w D f. Przykład log 2 [x(x 1)(x 2)(x + 1)(x + 2)]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 35 / 56
103 Przedział określoności Przedział określoności Przedziałem określoności funkcji f nazywamy przedział zawarty w dziedzinie D f, taki, że żaden przedział zawierający go (i różny od niego) nie zawiera się w D f. Przykład log 2 [x(x 1)(x 2)(x + 1)(x + 2)]. Dziedziną tej funkcji jest ( 2, 1) (0, 1) (2, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 35 / 56
104 Przedział określoności Przedział określoności Przedziałem określoności funkcji f nazywamy przedział zawarty w dziedzinie D f, taki, że żaden przedział zawierający go (i różny od niego) nie zawiera się w D f. Przykład log 2 [x(x 1)(x 2)(x + 1)(x + 2)]. Dziedziną tej funkcji jest ( 2, 1) (0, 1) (2, + ). Przedziałami określoności tej funkcji są ( 2, 1), (0, 1) i (2, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 35 / 56
105 Wielomiany i funkcje wielomianopodobne - granice W wypadku wielomianu lub funkcji wielomianopodobnej o dodatnich wykładnikach potęg, jedynym krańcem przedziału określoności, na którym możemy mieć problem z określeniem granicy jest ±. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 36 / 56
106 Wielomiany i funkcje wielomianopodobne - granice W wypadku wielomianu lub funkcji wielomianopodobnej o dodatnich wykładnikach potęg, jedynym krańcem przedziału określoności, na którym możemy mieć problem z określeniem granicy jest ±. Granicą w ± jest zawsze (za wyjątkiem wielomianu stopnia zerowego, czyli funkcji stałej) ±. Znak granicy zależy od zachowania się na danym końcu dziedziny składnika zawierającego najwyższą potęgę. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 36 / 56
107 Wielomiany i funkcje wielomianopodobne - granice W wypadku wielomianu lub funkcji wielomianopodobnej o dodatnich wykładnikach potęg, jedynym krańcem przedziału określoności, na którym możemy mieć problem z określeniem granicy jest ±. Granicą w ± jest zawsze (za wyjątkiem wielomianu stopnia zerowego, czyli funkcji stałej) ±. Znak granicy zależy od zachowania się na danym końcu dziedziny składnika zawierającego najwyższą potęgę. Oczywiście, dla funkcji wielomianopodobnej granica w może nie istnieć, jeśli liczby ujemne nie należą do jej dziedziny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 36 / 56
108 Wielomiany i funkcje wielomianopodobne - granice W wypadku wielomianu lub funkcji wielomianopodobnej o dodatnich wykładnikach potęg, jedynym krańcem przedziału określoności, na którym możemy mieć problem z określeniem granicy jest ±. Granicą w ± jest zawsze (za wyjątkiem wielomianu stopnia zerowego, czyli funkcji stałej) ±. Znak granicy zależy od zachowania się na danym końcu dziedziny składnika zawierającego najwyższą potęgę. Oczywiście, dla funkcji wielomianopodobnej granica w może nie istnieć, jeśli liczby ujemne nie należą do jej dziedziny. Przykład f (x) = x x 4 + x 73. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 36 / 56
109 Wielomiany i funkcje wielomianopodobne - granice W wypadku wielomianu lub funkcji wielomianopodobnej o dodatnich wykładnikach potęg, jedynym krańcem przedziału określoności, na którym możemy mieć problem z określeniem granicy jest ±. Granicą w ± jest zawsze (za wyjątkiem wielomianu stopnia zerowego, czyli funkcji stałej) ±. Znak granicy zależy od zachowania się na danym końcu dziedziny składnika zawierającego najwyższą potęgę. Oczywiście, dla funkcji wielomianopodobnej granica w może nie istnieć, jeśli liczby ujemne nie należą do jej dziedziny. Przykład f (x) = x x 4 + x 73. Jako, że f (x) jest wielomianem, obliczamy tylko granice w ±. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 36 / 56
Analiza matematyczna - 1. Granice
Analiza matematyczna - Granice Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób w przybliżeniu bądź w granicy Przykład
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Granica funkcji
Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w
Bardziej szczegółowoIII. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
Bardziej szczegółowo8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe
8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowo3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowo2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24
SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoII. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2
II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 1 / 34 1
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej
Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności
Bardziej szczegółowo6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowo5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowo14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe
14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 14a. wanaliza Krakowie) zmiennych dyskretnych: ciągi
Bardziej szczegółowo2. Ciągłość funkcji. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. zima 2016/2017
2. Ciągłość funkcji Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/2017 1 / 28 1 Motywacja
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoModelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Ciągi liczbowe Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są ciągi? Ciąg skończony o wartościach w zbiorze A to dowolna funkcja f: 1,2,, n A Ciąg nieskończony o wartościach w zbiorze
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowo5. Całka nieoznaczona
5. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 1 / 31 Całka nieoznaczona
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoFUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Bardziej szczegółowox a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.
Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech
Bardziej szczegółowoWykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowoIII. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU
III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań
Bardziej szczegółowoII. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoPojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowo4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoZad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY- sprawdziany i kartkówki. klasa II 2018/19. Adam Stachura
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY- sprawdziany i kartkówki klasa II 08/9 Adam Stachura Sprawdzian. Granice funkcji- przykładowe zadania ) 8 ZADANIE. Obliczyć granicę. 4 +6 4 Rozwiazanie. Dziedzina funkcji, której granice
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoZakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność
Bardziej szczegółowo