BADANIE SKALOWALNOŚCI MODELI SIECI KOMPUTEROWYCH WYKORZYSTUJĄCYCH APROKSYMACJĘ DYFUZYJNĄ WRAZ ZE ZWIĘKSZENIEM ROZMIARU MODELOWANEJ SIECI 1

Transkrypt

1 STUDIA INFORMATICA 212 Volume 33 Number 3A 17 Tomasz NYCZ Poliechnika Śląska Insyu Inormayki Tadeusz CZACHÓRSKI Insyu Inormayki Teoreycznej i Sosowanej Polskiej Akademii Nauk Poliechnika Śląska Insyu Inormayki BADANIE SKALOWALNOŚCI MODELI SIECI KOMPUTEROWYCH WYKORZYSTUJĄCYCH APROKSYMACJĘ DYFUZYJNĄ WRAZ ZE ZWIĘKSZENIEM ROZMIARU MODELOWANEJ SIECI 1 Sreszczenie. Zmienne naężenie ruchu generowanego przez aplikacje inerneowe np. mulimedialne a akże przyjęa przez prookół TCP zasada regulacji naężenia ransmisji w unkcji wykryego obciążenia sieci określanego na podsawie sra lub czasu ransmisji powodują że naężenie ransmisji inerneowych jes permanennie zmienne w czasie a zmiany naężenia i dynamika ych zmian muszą być uwzględnione w ocenie algorymów serowania ruchem i unikania przeciążeń. Modelowanie srukur w Inernecie wymaga z kolei dososowania isniejących meod i modeli do analizy bardzo dużych koniguracji sieciowych. Niniejsza praca bada pod kąem obliczeń numerycznych znany model maemayczny umożliwiający analizę sanów nieusalonych w sanowisku obsługi i ich sieci wykorzysujący meodę aproksymacji dyuzyjnej. Zbadano wpływ poszczególnych paramerów modelu i rozmiaru sieci na całkowiy czas obliczeń a więc na skalowalność meody. Słowa kluczowe: aproksymacja dyuzyjna SCALABILITY STUDY OF COMPUTER NETWORK MODELS USING A DIFFUSION APPROXIMATION WITH AN INCREASE IN THE SIZE OF THE MODELED NETWORK Summary. Varying inensiy o raic generaed by Inerne applicaions such as mulimedia ogeher wih he TCP proocol rules o regulae he inensiy o he deeced ransmission as a uncion o nework load which is deermined on he basis o 1 Praca współinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego nr umowy o doinansowanie projeku: UDA-POKL /9.

2 64 T. Nycz T.Czachórski loss or ransmission ime cause ha he inensiy o Inerne broadcass is coninuously variable in ime hereore inensiy changes and dynamics o hese changes mus be included in he evaluaion o algorihms or raic conrol and congesion avoidance. Modeling o he srucures on he Inerne in urn requires adapaion o eising mehods and models or he analysis o very large nework coniguraions. This paper eamines he numerical calculaions or well-known mahemaical model ha allows analysis o ransien saes a he service saion and heir neworks using he diusion approimaion mehod. The inluence o various parameers o he model and size o he nework o he oal compuaion ime was invesigaed and hus he scalabiliy o he mehod. Keywords: diusion approimaion 1. Wprowadzenie Niniejsza praca bada możliwości dososowania modelu sieci sanowisk obsługi wykorzysującego meodę aproksymacji dyuzyjnej do opisu bardzo dużych koniguracji sieciowych akich jakie spoyka się przy modelowaniu Inerneu. Zaleą aproksymacji dyuzyjnej jes możliwość opisu sanów nieusalonych kolejek jes o cenne ponieważ naężenie ruchu w sieciach elekomunikacyjnych jes zmienne a momeny przeciążeń mogą powodować przepełnienie buorów w rouerach i znacznie pogorszyć jakość usług ransmisyjnych. Aproksymacja dyuzyjna jes meodą dokładniejszą niż sosowana częso do opisu sanów nieusalonych w sieciach komunikacyjnych aproksymacja płynna luid-low approimaion np. [8] wymaga jednak bardziej złożonych obliczeń i nie była jak doąd sosowana do analizy sieci obejmujących więcej niż kilkadziesią węzłów por. [2]. Inne eoreycznie możliwe podejścia jak symulacja zdarzeń dyskrenych czy modele opare na łańcuchach Markowa o bardzo dużej liczbie sanów są jeszcze bardziej złożone obliczeniowo por. [9]. Model sanowiska obsługi ypu G/G/1/N a więc zgodnie z noacją Kendalla sanowiska z dowolnym rozkładem czasu pomiędzy nadchodzącymi klienami dowolnym rozkładem czasu obsługi z jednym kanałem obsługi i ograniczoną do N liczbą klienów w sysemie wykorzysujący aproksymację dyuzyjną w rozparywanej uaj posaci zaproponował Gelenbe [3 4] podając rozwiązanie modelu rozkład liczby klienów w sysemie ylko dla sanu usalonego gdy prawdopodobieńswa sanów nie zależą od czasu. Rozwiązanie dla sanów nieusalonych zosało zaproponowane w pracy [1]. Model en może być wykorzysywany do opisu kolejek pakieów w rouerach IP opisując dynamikę zmian ych kolejek przy nieusannie zmiennym naężeniu przychodzącego do rouerów ruchu kórego charaker jes dodakowo różny od srumienia Poissona jak również do wyznaczania zmiennych w czasie prawdopodobieńsw uray pakieu w wyniku przepełnienia buora zadania nadchodzące w chwilach gdy w sanowisku jes obecnych N klienów są racone.

3 Badanie skalowalności modeli sieci kompuerowych wykorzysujących aproksymację W rozdziale 2 przedsawiono aproksymację dyuzyjną jako meodę rozwiązywania modeli kolejkowych dla sanów nieusalonych a w rozdziale 3 znajdują się uzyskane wyniki obliczeń w zależności od wybranych paramerów modelu i rozmiaru badanej sieci. Wszyskie obliczenia wykonano za pomocą specjalnego oprogramowania przygoowanego dla rozwiązywania meodą zaproponowaną i opisaną w [1 2] modelu w posaci sieci sanowisk obsługi o dowolnej opologii. Oprogramowanie o umożliwia eekywne wykorzysanie meody i uzyskanie na jej podsawie wyników ilościowych wymaga jednak odpowiedniego srojenia w posaci doboru paramerów arykuł podsumowuje doświadczenia auorów w ej dziedzinie. W pracy [6] analizowano błąd meody aproksymacji dyuzyjnej wynikający z zasąpienia procesu dyskrenego liczby klienów w sanowisku ciągłym procesem dyuzji uaj skoncenrowano się na zbadaniu błędów numerycznych związanych ze złożonymi obliczeniami modelu. 2. Aproksymacja dyuzyjna sacji ypu FIFO: model G/G/1/N Poniżej jes omówiony klasyczny dyuzyjny model sanowiska obsługi z jednym kanałem obsługi i kolejką. Niech A B określają rozkłady srumienia klienów przychodzących i czasu obsługi w sanowisku obsługi a a i b będą ich unkcjami gęsości. Rozkłady są dowolne ale nie sprecyzowane meoda wymaga jedynie znajomości ich dwóch pierwszych momenów. Średnie rozkładów są określone jako E[A] = 1/λ E[B] = 1/µ a wariancje jako Var[A] = C A A 2 A Var[B] = 2 B. Oznaczmy eż kwadraowe współczynniki wariancji: C B B. N przedsawia liczbę klienów obecną w sysemie w momencie. A Dla pojedynczej kolejki ypu FIFO zmiany N + δ N mają w przybliżeniu rozkład normalny ze średnią λ µδ i wariancją przy założeniu że czas δ jes wysarczająco długi i sacja działa bez przerwy. Aproksymacja dyuzyjna zamienia proces N na ciągły proces dyuzji X kórego ininiezymalne zmiany dx = X + d X mają rozkład normalny o średniej βd i wariancji αd gdzie β α są współczynnikami równania dyuzji B kóre określa unkcję gęsości prawdopodobieńswa procesu dyuzji X : d = P [ X < + d X = ]. 1 Oba procesy X i N mają rozkład normalny zmian w czasie wybór β = λ µ C C zapewnia że paramery obu ych rozkładów rosną w ym A B A samym empie wraz ze wzrosem czasu obserwacji. B

4 66 T. Nycz T.Czachórski W [3] aproksymacja dyuzyjna sacji G/G/1/N zosała przedsawiona jako proces X kóry jes określony na zamknięym przedziale [ N]. Gdy proces dyuzji dojdzie do = zachowuje ę warość przez czas kóry jes wielkością losową o rozkładzie wykładniczym z paramerem λ a nasępnie powraca do = 1. Czas przez kóry proces pozosaje w = odpowiada okresowi bezczynnemu sanowiska. Gdy dojdzie do = N zachowuje ę warość przez czas kóry jes wielkością losową o rozkładzie wykładniczym z paramerem µ a nasępnie powraca do = N 1. Czas przez kóry proces pozosaje w = N odpowiada okresowi maksymalnego obciążenia sanowiska. Równanie dyuzji jes uzupełnione przez równania równowagi dla ] [ X P p ] [ N X P p n i ma posać N p p N 2 lim p d dp 2 lim p d dp N N N Rozwiązanie parz [1] polega na rozparzeniu najpierw równania dyuzji z barierami pochłaniającymi w = i = N za pomocą sandardowych meod analiycznych i uzyskaniu unkcji gęsości prawdopodobieńswa φ ego procesu a nasępnie wyrażeniu unkcji gęsości prawdopodobieńswa procesu dyuzji z naychmiasowymi powroami jako superpozycji unkcji φ : N d N g d g gdzie unkcje g 1 g N 1 deiniują inensywność rozpoczęcia nowych procesów po skoku z bariery w punkach = 1 i = N 1. Ich warości są orzymywane z układu równań równowagi dla przepływów prawdopodobieńsw wchodzących i wychodzących z barier. Funkcję gęsości orzymuje się analiycznie w posaci jej ransormay Laplace a kórej oryginał jes uzyskiwany numerycznie. Powyższe rozwiązanie dla sanu nieusalonego jes uzyskane dla sałych paramerów. Aby wprowadzić α β odzwierciedlające ewolucję srumieni wejściowych oś czasu jes dzielona na małe przedziały w kórych paramery są sałe a rozwiązanie na końcu każdego przedziału daje warunek począkowy dla równania dyuzji nasępnego przedziału o nowych paramerach. Czasami zachodzi konieczność wprowadzenia zależności paramerów dyuzji od warości samego procesu α β odzwierciedla o np. mechanizm konroli reagujący na wielkość kolejki lub pozwala modelować serwery o wielu kanałach obsługi. W akim przypadku przedział dyuzji [ N] jes podzielony na podprzedziały o określonej np. jednoskowej długości w kórych paramery są sałe. Równania dla przedziałów przesrzeni

5 Badanie skalowalności modeli sieci kompuerowych wykorzysujących aproksymację dyuzji są rozwiązywane razem z równaniami bilansu równowagi dla przepływów prawdopodobieńswa pomiędzy sąsiadującymi przedziałami. Zasady worzenia sieci sanowisk obsługi i obliczania zmiennych w czasie paramerów srumieni pomiędzy sacjami obsługi ypu G/G/1/N są opisane np. w [2]. 3. Wpływ paramerów modelu na czas obliczeń Badanie wpływu paramerów na czas obliczeń zosało przeprowadzone dwusopniowo. W pierwszym kroku zbadano wpływ poszczególnych paramerów modelu dla pojedynczego sanowiska a w drugim wpływ rozmiaru sieci liczby węzłów przy określonych paramerach wszyskich sanowisk na czas obliczeń. Paramery modelu oparego na meodzie aproksymacji dyuzyjnej mające wpływ na czas obliczeń można podzielić na dwie grupy. Pierwsza grupa o paramery usawiane w pliku koniguracyjnym modelu i należą do nich: całkowiy czas do kórego odnosi się model Time krok czasowy Sep maksymalny rozmiar kolejki N liczba akywnych kanałów obsługi c. Druga grupa zawiera paramery mające wpływ na czas i precyzję obliczeń i są o paramery usawione w aplikacji. Do ej grupy należą: precyzja algorymu Sehesa N [7] służącego do inwersji ransorma Laplace a gdzie oryginał ransormay s oblicza się jako N ln 2 ln 2 V i i 2 i1 2 gęsość próbkowania całkowania numerycznego meodą Simpsona. Analiza wpływu długości przedziału czasu w kórym jes rozparywana ewolucja modelu i kroku obliczeń na złożoność czasową meody zosała przeprowadzona wspólnie ponieważ oba e paramery mają jednakowy wpływ na czas obliczeń. Krok obliczeń oznacza o ile zwiększa się upływ czasu meody zaczynając od aż do momenu osiągnięcia przez meodę całkowiego czasu obliczeń. Obliczenia dla ego przypadku zosały przeprowadzone w nasępujący sposób: krok obliczeń zosał usawiony na 1 sekundę a zmieniał się maksymalny czas obliczeń od 1 sekundy do 1 sekund. Nasępnie zmierzono czasy dla kolejnych sekund kóre nasępnie zosały uśrednione przykładowo dla maksymalnego czasu 2 sekund zmierzono czasy obliczeń i uśredniono zebrane czasy poprzez podzielenie ich sumy przez 2 a akże zmierzono całkowiy czas obliczeń kolejno: Maksymalna długość kolejki zosała usawiona na N = 2 sysem ma jeden kanał obsługi liczbę wyrazów n w eoreycznie nieskończonym szeregu obliczanym w algorymie Sehesa okre-

6 68 T. Nycz T.Czachórski śla o dokładność ransormacji odwronej na n = 18 a gęsość próbkowania całkowania numerycznego jes akualnie uzależniona ylko od liczby akywnych kanałów obsługi i w przypadku jednego kanału wynosi 2. Rysunek 1 przedsawia średni czas obliczeń pojedynczego kroku uśredniony po liczbie kroków zależnej od maksymalnego czasu obliczeń i jak widać liczba kroków nie ma większego wpływu na czas rwania pojedynczego kroku. Rysunek 2 przedsawia całkowiy czas obliczeń różniący się liczbą kroków wynikającą z większego maksymalnego czasu obliczeń przyjęo sały krok obliczeń równy 1 sekundzie. Jak widać wraz ze wzrosem liczby kroków mamy liniowy wzros całkowiego czasu obliczeń. Rys. 1. Średni czas pojedynczego kroku obliczeń w unkcji maksymalnego czasu obliczeń Fig. 1. Average uniary calculaions sep as a uncion o oal virual calculaions ime Rys. 2. Całkowiy czas obliczeń w unkcji maksymalnego czasu obliczeń Fig. 2. Toal calculaions ime as a uncion o oal virual calculaions ime

7 Badanie skalowalności modeli sieci kompuerowych wykorzysujących aproksymację Kolejny paramer kóry ma wpływ na złożoność czasową meody o maksymalny rozmiar kolejki. Paramer en zosał przebadany dla pojedynczego sanowiska o jednym kanale obsługi precyzji algorymu Sehesa usawionej na n=18 i gęsości próbkowania całkowania numerycznego równej 2 dla zachowania akich samych warunków obliczeń. Jak widać na rysunkach 3 i 4 wraz ze wzrosem maksymalnej długości kolejki wzrasa średni i całkowiy czas obliczeń. Wynika o ze wzrosu zakresu możliwych przepływów masy prawdopodobieńswa akualnej liczby klienów w sysemie a więc wzrosu wielkości ablic je przechowujących. Rys. 3. Średni czas pojedynczego kroku obliczeń w unkcji maksymalnej długości kolejki Fig. 3. Average uniary calculaions sep as a uncion o maimum queue lengh Rys. 4. Całkowiy czas obliczeń w unkcji maksymalnej długości kolejki Fig. 4. Toal calculaions ime as a uncion o maimum queue lengh

8 7 T. Nycz T.Czachórski Kolejnym paramerem mającym wpływ na czas obliczeń jes liczba akywnych kanałów obsługi kóry może przyjmować warości od 1 do maksymalnej długości kolejki. Paramer en określa liczbę podprzedziałów meody przepływ masy prawdopodobieńswa jes ograniczony do wielkości podprzedziałów i nasępuje zbilansowanie przepływów pomiędzy podprzedziałami. W eekcie gdy paramer en ma warość większą od 1 ablica zawierająca prawdopodobieńswa zmiany akualnej liczby klienów w sysemie z jednej warości na drugą nie jes wypełniona w całości wynika z ograniczeń podprzedziałami a co za ym idzie czas obliczeń ulega skróceniu. Z drugiej srony jeżeli podprzedział jes mały w szczególności jednoskowy i jeżeli gęsość próbkowania całkowania numerycznego jes mała o unkcja aproksymująca akualną liczbę klienów w sysemie będzie miała małą dokładność co negaywnie wpłynie na precyzję obliczeń. Aby przeciwdziałać emu zjawisku akualnie program przyjmuje dwie możliwe warości gęsości próbkowania całkowania numerycznego uzależnione od liczby akywnych kanałów obsługi: jeżeli jes jeden kanał obsługi gęsość próbkowania wynosi 2 przykładowo.5 1 dla przedziału -1 jeżeli jes więcej niż jeden kanał obsługi gęsość próbkowania wynosi 16 przykładowo dla przedziału -1. Ten negaywny problem dokładności obliczeń wysępuje również w przypadku bardzo małych maksymalnych długości kolejki w szczególności N = 1 ale ponieważ akie przypadki są znacznie rzadsze o dla ich policzenia gęsość próbkowania jes usawiana ręcznie w kodzie aplikacji. Aby zachować akie same warunki obliczeń podobnie jak w przypadku badania wpływu maksymalnej długości kolejki usawiono aką samą warość parameru gęsości próbkowania dla wszyskich przypadków równą 16. Rys. 5. Średni czas pojedynczego kroku obliczeń w unkcji liczby akywnych kanałów obsługi Fig. 5. Average uniary calculaions sep as a uncion o number o acive channels

9 Badanie skalowalności modeli sieci kompuerowych wykorzysujących aproksymację Jak widać na rysunkach 5 i 6 wzros liczby kanałów obsługi przy sałej maksymalnej długości kolejki w powyższych przykładach N = 2 powoduje znaczne przyspieszenie obliczeń wynikające z wypełniania ablicy prawdopodobieńsw przejść ylko częściowo. Można również zauważyć że przy dużej warości parameru gęsości próbkowania numerycznego i jednym kanale obsługi obliczenia bardzo mocno się wydłużają dlaego program w ym przypadku domyślnie korzysa z mniejszej warości. Sosowanie podprzedziałów ma jednak wady. We wszyskich przedziałach paramery dyuzji miały ę samą warość sąd można by oczekiwać że średnia długość kolejki powinna być we wszyskich przypadkach aka sama. Niesey ak nie jes bilansowanie pomiędzy przedziałami wprowadza dodakowy błąd co ilusruje rysunek 7. Rys. 6. Całkowiy czas obliczeń w unkcji liczby akywnych kanałów obsługi Fig. 6. Toal calculaions ime as a uncion o number o acive channels Rys. 7. Średnia długość kolejki w czasie dla różnej liczby akywnych kanałów obsługi Fig. 7. Mean queue lengh as a uncion o ime or dieren number o acive channels

10 72 T. Nycz T.Czachórski Jak widać wzros liczby akywnych kanałów obsługi znacznie przyspiesza obliczenia ale koszem dokładności orzymanych rezulaów. Kolejny paramer wpływający na czas obliczeń o wspomniany już wcześniej paramer gęsości próbkowania całkowania numerycznego kóry nie jes dosępny z poziomu pliku koniguracyjnego modelu. Domyślnie przyjmuje dwie warości: 2 dla jednego kanału obsługi i 16 dla większej ich liczby. Jak już zosało wspomniane paramer en odpowiada za dokładność całkowania numerycznego meodą Simpsona. Meoda Simpsona wymaga aby paramer en był parzysy sąd w zależności od porzeb były eż sosowane warości 4 i 8. Rysunki 8 i 9 przedsawiają wpływ warości ego parameru na czas obliczeń. Rys. 8. Średni czas pojedynczego kroku obliczeń w unkcji gęsości próbkowania całkowania numerycznego Fig. 8. Average uniary calculaions sep as a uncion o inegraion sep size Rys. 9. Całkowiy czas obliczeń w unkcji gęsości próbkowania całkowania numerycznego Fig. 9. Toal calculaions ime as a uncion o inegraion sep size

11 Badanie skalowalności modeli sieci kompuerowych wykorzysujących aproksymację Rys. 1. Średnia długość kolejki w czasie dla różnych warości gęsości próbkowania całkowania numerycznego Fig. 1. Mean queue lengh as a uncion o ime or dieren sizes o inegraion sep Rysunek 1 pokazuje wpływ ego parameru na dokładność obliczeń i jak widać jego warości od 2 w górę dają bardzo dobre wyniki. Należy jednak pamięać że w ych przykładach mamy jeden kanał obsługi i maksymalną długość kolejki równą 2 co już dla warości ego parameru równej 2 daje 41 punków do aproksymacji. Gdyby przykład miał maksymalną liczbę akywnych kanałów obsługi 2 warość parameru równa 2 oznaczałaby aproksymowania unkcji w podprzedziale zaledwie 3 punkami co znacznie pogorszyłoby orzymywane wyniki sąd przy większej liczbie kanałów obsługi aplikacja sosuje warość 16. Rys. 11. Średni czas pojedynczego kroku obliczeń w unkcji parameru algorymu Sehesa Fig. 11. Average uniary calculaions sep as a uncion o Sehes inversion precision

12 74 T. Nycz T.Czachórski Rys. 12. Całkowiy czas obliczeń w unkcji parameru algorymu Sehesa Fig. 12. Toal calculaions ime as a uncion o Sehes inversion precision Rys. 13. Średnia długość kolejki w czasie dla różnych warości parameru algorymu Sehesa Fig. 13. Mean queue lengh as a uncion o ime or dieren values o Sehes inversion precision Osanim paramerem mającym wpływ na czas obliczeń jes precyzja algorymu Sehesa służącego do inwersji Laplace a. Również z nią paramer jes usawiony w aplikacji na szywno na warość n = 18 i odpowiada on za jeden z wymiarów ablic prawdopodobieńsw przejść przy warości 18 ego parameru z 18 warości w dziedzinie Laplace a orzymujemy jeden wynik w dziedzinie czasu. Wpływ ego parameru na czas obliczeń ilusrują rysunki 11 i 12 a rysunek 13 pokazuje wpływ na dokładność obliczeń kóra w ym przypadku jes jednakowa dla wszyskich warości od 12 do 2.

13 Badanie skalowalności modeli sieci kompuerowych wykorzysujących aproksymację Kolejnym eapem prac było zbadanie wpływu rozmiaru sieci liczba węzłów na czas obliczeń. Przebadano sieć o opologii drzewa w 4 koniguracjach: 1 węzeł I poziom 1 węzłów I i II poziom 1 węzłów I II i III poziom 1 węzłów I II III i IV poziom. Paramery wszyskich węzłów były akie same z wyjąkiem węzła pierwszego. Przyjęo przypadek w kórym cały ruch jes kierowany do pierwszego węzła a nasępnie z równym prawdopodobieńswem do kolejnych 9 węzłów razem 1 węzłów. Na kolejnym eapie drzewa węzłów każdy z 9 wysyła swój ruch z równym prawdopodobieńswem do każdego ze swoich 1 dzieci razem 1 węzłów. Na osanim poziomie mamy 9 węzłów skonigurowanych podobnie jak węzły wyższej warswy z ą różnicą że one nie wysyłają już ruchu dalej. Schema sieci i poszczególnych warsw ilusruje rysunek 14. Rys. 14. Schema sieci z podziałem na kolejne poziomy Fig. 14. Nework diagram divided ino layers Badania wydajności dla ak skonsruowanej sieci zosały przeprowadzone dwukronie ponieważ w przypadku domyślnej koniguracji aplikacji nie udało się uzyskać wyników dla 1 węzłów. Wynika o z ograniczeń sysemu operacyjnego na maksymalną liczbę owarych plików. W podanej koniguracji jeden kanał obsługi maksymalna długość kolejki 2 całkowiy czas obliczeń 1 sekund z krokiem co 1 sekundę każdy z węzłów generuje 9 plików wynikowych. Niesey sysem operacyjny nie był w sanie uworzyć więcej niż 17 plików wynikowych i aplikacja zosała zamknięa z powodu braku dosępnych zasobów. Ponieważ badana jes wydajność czasowa meody na porzeby esu zapis plików wynikowych zosał wyłączony. Rysunki 15 i 16 przedsawiają orzymane czasy obliczeń dla 4 rozmiarów sieci w przypadkach z zapisem i bez zapisu plików wynikowych.

14 76 T. Nycz T.Czachórski Rys. 15. Średni czas pojedynczego kroku obliczeń w unkcji liczby węzłów sieci Fig. 15. Average uniary calculaions sep as a uncion o number o nodes Rys. 16. Całkowiy czas obliczeń w unkcji liczby węzłów sieci Fig. 16. Toal calculaions ime as a uncion o number o nodes 4. Podsumowanie W pracy przedsawiono model maemayczny umożliwiający analizę sanów nieusalonych w sanowisku obsługi wykorzysując meodę aproksymacji dyuzyjnej kóra pozwala na przyjęcie w modelu ogólnych założeń a nasępnie zbadano czy modele opare na ej meodzie nadają się do badania dużych sieci poprzez wyznaczenie czasu porzebnego do wyliczenia modelu sieci składającej się z czerech różnych wielkości. Jak widać z uzyskanych czasów meoda a pozwala na uzyskanie wyników znacznie szybciej niż odpowiednie symu-

15 Badanie skalowalności modeli sieci kompuerowych wykorzysujących aproksymację laory symulacja sanów nieusalonych jes niezwykle czasochłonna bo wymaga wielokronego rzędu seek ysięcy powórzenia przebiegów ak by dla określonego momenu czasu wyznaczyć hisogram rozkładu liczby klienów w sanowisku jednakże nie nadaje się do zasosowań wymagających wyników w czasie rzeczywisym bez zasosowania równoległego modelu obliczeń. Zbadano eż wpływ poszczególnych paramerów modelu i zasosowanego algorymu obliczeniowego na czas i precyzję obliczeń. Paramerem mającym największy wpływ na złożoność czasową meody okazał się paramer odpowiadający za gęsość próbkowania całkowania numerycznego kóry jes ściśle powiązany z liczbą akywnych kanałów obsługi. Najlepszym rozwiązaniem byłoby uzależnienie ego parameru od wielkości podprzedziału. Okazało się również że warość n = 18 elemenów szeregu jes dla precyzji algorymu Sehesa zby wysoka ponieważ już dla warości n = 12 uzyskuje się bardzo dobre rezulay przy jednoczesnym przyspieszeniu wynoszącym 33%. BIBLIOGRAFIA 1. Czachórski T.: A mehod o solve diusion equaion wih insananeous reurn processes acing as boundary condiions Bullein o Polish Academy o Sciences Technical Sciences vol no Czachórski T.: Modele kolejkowe w ocenie eekywności pracy sieci i sysemów kompuerowych. Wyd.: Pracownii Kompuerowej Jacka Skalmierskiego Gliwice Gelenbe E.: On Approimae Compuer Sysems Models J. ACM vol. 22 no Gelenbe E. Pujolle G.: The Behaviour o a Single Queue in a General Queueing Nework Aca Inormaica Vol. 7 Fasc. 2 s Newell G. F.: Applicaions o Queueing Theory Chapman and Hall London Nycz T. Czachórski T.: Analiza błędów modeli oparych na meodzie aproksymacji dyuzyjnej [w:] P. Pikiewicz red. Zasosowania Inerneu Wyższa Szkoła Biznesu Dąbrowa Górnicza 212 s Sehes H.: Algorihm 368: Numeric inversion o Laplace ransorm Comm. o ACM vol. 13 no. 1 s Hollo K. Liu Y. Misra V. Towsley D. Gong W.-B.: Fluid mehods or modeling large heerogeneous neworks. NTIS kwiecień 25. AFRL-IF-RS-TR Czachórski T Nycz M Nycz T. Pekergin F.: Transien saes o lows and rouer queues a discussion o modelling mehods Proc. o Inernaional Conerence on Neworking and Fuure Inerne ICNFI 212 Isanbul April Wpłynęło do Redakcji 14 marca 212 r.

16 78 T. Nycz T.Czachórski Absrac The aricle presens invesigaion o numerical calculaions or well-known mahemaical model ha allows analysis o ransien saes a he service saion and heir neworks using he diusion approimaion mehod. The inluence o various parameers o he model and size o he nework o he oal compuaion ime was invesigaed and hus he scalabiliy o he mehod. Adresy Tomasz NYCZ: Poliechnika Śląska Insyu Inormayki ul. Akademicka Gliwice Polska omasz.nycz@polsl.pl Tadeusz CZACHÓRSKI: Insyu Inormayki Teoreycznej i Sosowanej Polskiej Akademii Nauk ul. Bałycka Gliwice Polska adek@iiis.pl